Prova presencial de álgebra linear e vetorial

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Prova presencial de álgebra linear e vetorial
Questão 1 Considere as propriedades sobre determinantes e julgue as sentenças a seguir em verdadeiro (V) ou falso (F).
I) Se uma matriz quadrada A possui duas colunas proporcionais, o seu determinante será nulo, ou seja, det A = 0.
II) Considere duas matrizes A e B quadradas e de mesma ordem, sendo A.B a matriz produto temos que det (A.B)= (det A).(det B).
III) O determinante de uma matriz diagonal é igual ao produto dos elementos da diagonal principal.
Assinale a alternativa correta que corresponde respectivamente ao julgamento das sentenças:
 
E) V - V - V.
Questão 2 Os sistemas de equações lineares podem ser representados por meio de produtos envolvendo matrizes, o que possibilita, em alguns casos, a sua resolução por meio de matrizes inversíveis.
Nesse contexto, suponha que um estudante, durante a resolução de determinado problema envolvendo sistemas lineares, precisa construir uma matriz B = (bij) quadrada de ordem 3 cujas entradas podem ser determinadas a partir da seguinte expressão:
Determine os elementos que compõem a diagonal principal da matriz B e assinale a alternativa que indica a soma destes elementos:
C) A soma dos elementos da diagonal principal de B é igual a -10.
Questão 3 Um conceito importante no estudo da Álgebra Linear é o de espaços vetoriais. Sabendo disso, analise o trecho a seguir:
Seja um conjunto V, não vazio, sobre o qual estão definidas as operações ____________ e ____________. Esse conjunto V munido dessas duas operações é chamado espaço vetorial, desde que sejam satisfeitas 8 (oito) propriedades, sendo 4 (quatro) para cada operação.
Assinale a alternativa que complete adequadamente as lacunas do trecho apresentado:
C) adição - multiplicação por escalar.
Questão 4 Um vetor é uma estrutura matemática que possui comprimento, direção e sentido.
Dados os vetores u = (3, -2, 1) e v = (4, -1, 0) qual o resultado da operação ||u - v||?
B) √3.
 
Questão 5 No estudo das transformações lineares temos dois subconjuntos importantes, sendo eles o núcleo e a imagem. A respeito desses subconjuntos, analise as seguintes asserções e a relação proposta entre elas:
I) Uma transformação linear que tem núcleo com dimensão 1 e imagem com dimensão 2 possui domínio com dimensão 1.
PORQUE
II) Aplicando o teorema do núcleo e da imagem é possível encontrar o domínio de uma transformação linear.
A respeito dessas asserções, assinale a opção correta:
E) A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
Questão 6 As transformações lineares correspondem a aplicações particulares definidas a partir de espaços vetoriais, as quais podem ser empregadas no estudo, por exemplo, de reflexões e rotações de objetos no plano.
Considerando as propriedades das transformações lineares, analise as seguintes afirmações:
I. Um operador linear corresponde a uma transformação linear na qual o contradomínio corresponde necessariamente ao espaço R3.
II. O núcleo de uma transformação linear é composto por elementos do domínio da transformação, enquanto que a imagem contempla elementos de seu contradomínio.
III. Se T for uma transformação linear invertível, então o seu núcleo é dado por N(T) = {0v}.
A respeito das afirmações apresentadas, assinale a alternativa correta:
B) Apenas as afirmações II e III estão corretas.
Questão 7 Vetores são bastante úteis em aplicações, visto que podem nos dar algumas informações extras que números (escalares) não nos fornecem. 
Com base nas definições e propriedades de vetores e dados u = (-3, 2, 1) e v = (3, 2, -4). assinale a alternativa que forneça a norma (ou módulo) de  u + v:
C) 5.
Questão 8 Com base no estudo dos espaços vetoriais, analise as seguintes afirmações, classificando-as como verdadeiras (V) ou falsas (F):
( ) Para que um conjunto seja classificado como espaço vetorial é necessário que tomemos um conjunto qualquer, com uma operação associada que satisfaz a determinadas propriedades.
( ) Dizemos que um vetor v é combinação linear de vetores v1 e v2 quando for possível identificar escalares a1 e a2 tais que
v = a1v1 + a2v2.
( ) Em um espaço vetorial podemos identificar dois tipos de conjuntos de vetores: os linearmente dependentes e os linearmente independentes.
Assinale a alternativa que indica a sequência de classificações corretamente:
A) F – V – V.
Questão 9 Em um espaço vetorial podem ser aplicadas transformações lineares. 
Considere a seguinte transformação T: R² → R² tal que T(x, y) = (3x, -5y) . A alternativa que fornece a imagem do vetor u = (1, 2) multiplicado pelo escalar 2 é dada por:
C) (6,-20).
Questão 10 Considere a matriz apresentada no que segue:
Com base na matriz Q, analise as seguintes afirmações, classificando-as como verdadeiras (V) ou falsas (F):
( ) Na matriz Q, a primeira e segunda linhas são múltiplas uma da outra.
( ) O determinante da matriz Q é não nulo.
( ) A matriz Q é inversível e, assim, admite inversa Q-1.
Assinale a alternativa que corresponde, respectivamente, ao julgamento das sentenças:
A) V - F - F.
Questão 11 A diagonalização de matrizes é uma ferramenta importante para a análise teórica do conceito de matrizes. A respeito desse conceito, analise as seguintes afirmações, classificando-as em verdadeiras (V) ou falsas (F), considerando A uma matriz quadrada:
() Os elementos da matriz diagonal D, que é semelhante a matriz A, correspondem aos autovalores de A.
() Só existe um tipo de matriz diagonal, sendo que esse tipo é conhecido como matriz identidade.
() A matriz A será diagonalizável se possuir um conjunto de n autovetores linearmente independentes.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta com relação à classificação das afirmações:
C) V - F - V.
Questão 12
No estudo das transformações lineares nos deparamos com dois subconjuntos importantes, sendo eles: núcleo e imagem. 
Tendo isso mente, considere T: V → U uma transformação linear e assinale a alternativa que corresponde simbolicamente à definição de IMAGEM da transformação T:
B) Im(T) = {u pertence a U| existe v que pertence a V : T(v)=u}.