PROVA PRESENCIAL - 1 CHAMADA - ÁLGEBRA LINEAR E VETORIAL 20222 - UNOPAR

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PROVA PRESENCIAL - 1º CHAMADA - ÁLGEBRA LINEAR E VETORIAL - UNOPAR
Questão 1
Por meio de representações genéricas podemos identificar os elementos a comporem as entradas das matrizes a partir de leis de formação ou dos resultados de operações aplicadas sobre matrizes.
Considere as seguintes matrizes:
Deseja-se determinar a matriz C = (cij) resultante do produto entre as matrizes A e B, nesta ordem.
Assinale a alternativa que indica corretamente o elemento c12 da matriz C descrita:
A)
 
c12 = -19.
B)
 
c12 = 16.
C)
 
c12 = 19.
D)
 
c12 = -8.
E)
 
c12 = -16.
Questão 2
O conceito de determinante é uma importante caracterização para determinadas categorias de matrizes e possibilita, dentre outros estudos, a investigação das soluções de sistemas lineares e a existência de matrizes inversas, sendo que este conceito está diretamente relacionado aos tamanhos das matrizes correspondentes.
Com base nesse tema, seja a matriz de ordem 2 definida por
Assinale a alternativa que indica corretamente o determinante associado à matriz A:
A)
 
det(A) = -2.
B)
 
det(A) = -10.
C)
 
det(A) = 5.
D)
 
det(A) = 2.
E)
 
det(A) = 10.
Questão 3
Os sistemas de equações lineares podem ser classificados com base no número de soluções que apresentam.
Considerando este tema, seja o seguinte sistema:
Em relação ao sistema apresentado, analise as seguintes afirmações, classificando-as como verdadeiras (V) ou falsas (F):
( ) O sistema de equações lineares em estudo apresenta infinitas soluções.
( ) O sistema de equações lineares apresentado possui uma única solução.
( ) O sistema em questão pode ser classificado como possível e determinado.
Assinale a alternativa que indica a sequência correta das classificações:
A)
 
F – V – F.
B)
 
V – F – F.
C)
 
V – V – F.
D)
 
V – F – V.
E)
 
F – V – V.
Questão 4
Para dizer que um conjunto é necessário satisfazer duas propriedades. Segundo essas informações analise as seguintes afirmações:
I – As duas propriedades são: ser linearmente dependente e gerar o espaço vetorial V.
II – Dado o conjunto B = {(1, 0), (0,1)}, ele é base de R² e é denominado base canônica.
III -Para ter uma base é necessário o conjunto ser linearmente independente e gerar o espaço vetorial V.
Assinale a alternativa correta.
A)
 
Apenas a afirmativa III está correta.
B)
 
Apenas a afirmativa II está correta.
C)
 
As afirmativas I e II estão corretas.
D)
 
As afirmativas II e III estão corretas.
E)
 
Todas as afirmativas estão incorretas.
Questão 5
As transformações lineares são aplicações definidas entre espaços vetoriais e que satisfazem a um conjunto de propriedades, as quais favorecem a comparação entre vetores e a identificação das imagens a partir da definição da transformação.
Com base nesse tema e nas propriedades do espaço vetorial R2, considere a transformação linear dada por
Considerando a expressão de T, assinale a alternativa que indica a imagem do vetor u + 2v pela transformação linear T considerando os vetores u = (2, 1) e v = (-1, 3):
A)
 
T(u + 2v) = (0, 14).
B)
 
T(u + 2v) = (1, 5).
C)
 
T(u + 2v) = (-1, 8).
D)
 
T(u + 2v) = (-3, 8).
E)
 
T(u + 2v) = (-4, 14).
Questão 6
Com os vetores é possível realizar operações, como a adição, a subtração, multiplicação por escalar, produto escalar e vetorial. Sabendo disso e dados os vetores u = (2, -2, 4) e v = (0, -6, 3), assinale a alternativa que forneça o produto vetorial entre u e v.
A)
 
(18, 6, 12).
B)
 
(-18, -6, 12).
C)
 
(30, -6, -12).
D)
 
(18, -6, -12).
E)
 
(-30, -6, 12).
Questão 7
As transformações lineares, segundo os autores, é um tipo especial de função (ou aplicação), em que o domínio e o contradomínio são espaços vetoriais reais.
Assinale a alternativa que apresenta a imagem do vetor v = (1/4, -2/3) na transformação T: R² → R³, tal que T(x, y) = (8x, -6y, 3x – 3y).
A)
 
(2, -4, 11/4).
B)
 
(2, 4, -11/4).
C)
 
(2, -4, 1/4).
D)
 
(2, -4, -11/4).
E)
 
(2, 4, 11/4).
Questão 8
Um conjunto B de vetores de um espaço vetorial V pode ser chamado de base quando satisfizer a determinadas condições. Em relação a esse tema, analise as seguintes afirmações:
I. Se o conjunto B corresponde a uma base do espaço V então B é um conjunto de vetores linearmente dependentes.
II. O conjunto B = {(1, 0), (0,1)} corresponde a uma base do espaço vetorial R2 denominado base canônica.
III. Se o conjunto B corresponde a uma base do espaço V então B gera todos os vetores de V a partir de combinações lineares.
Com base no tema apresentado, assinale a alternativa correta:
A)
 
Apenas as afirmativas I e III estão corretas.
B)
 
Apenas as afirmativas II e III estão corretas.
C)
 
Apenas as afirmativas I e II estão corretas.
D)
 
Apenas a afirmativa III está correta.
E)
 
Apenas a afirmativa II está correta.
Questão 9
Determinadas matrizes quadradas apresentam a característica de serem inversíveis, ou seja, de admitirem inversa. Neste caso, podemos empregar diferentes processos de forma a determinar a inversa da matriz em estudo.
Considerando este tema, seja a matriz quadrada de ordem 2 dada por
Sabendo que B = (bij) corresponde à inversa da matriz A, assinale a alternativa que indica o elemento b12 que compõe a inversa de A:
A)
 
b12 = 8.
B)
 
b12 = 2.
C)
 
b12 = -8.
D)
 
b12 = 3.
E)
 
b12 = -5.
Questão 10
Considerando as características dos sistemas de equações lineares, analise as seguintes afirmações, classificando-as como verdadeiras (V) ou falsas (F):
( ) Um sistema de equações lineares classificado como possível e determinado admite infinitas soluções.
( ) Um sistema de equações lineares homogêneo sempre admite ao menos a solução trivial.
( ) Podemos resolver um sistema de equações lineares por meio de escalonamento ou pelo método da matriz inversa, caso as condições correspondentes sejam satisfeitas.
Assinale a alternativa que indica a sequência de classificações corretamente:
A)
 
V – F – F.
B)
 
F – V – V.
C)
 
V – V – F.
D)
 
F – V – F.
E)
 
V – F – V.
Questão 11
Dados dois vetores pertencentes a um espaço vetorial, podemos calcular o ângulo θ formado entre eles empregando os produtos entre vetores, o que possibilita a classificação de θ como agudo, obtuso ou reto.
Considere os vetores
u = (-1, 0, 3)
v = (2, -1, 4)
do espaço tridimensional R3. Com base em u e v, analise as seguintes asserções e a relação proposta entre elas:
I. Os vetores u e v podem ser classificados como ortogonais entre si, sendo o ângulo entre eles classificado como reto.
PORQUE
II. O produto escalar entre os vetores u e v é não nulo.
A respeito dessas asserções, assinale a alternativa correta:
A)
 
A asserção I é uma proposição falsa e a II é verdadeira.
B)
 
A asserção I é uma proposição verdadeira e a II é falsa.
C)
 
As asserções I e II são proposições falsas.
D)
 
As asserções I e II são proposições verdadeiras e a II é uma justificativa correta para I.
E)
 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta para I.
Questão 12
O estudo das transformações lineares pode contribuir com outros campos além da Matemática, como é o caso do tratamento de imagens relacionados à computação gráfica. Além de conhecer as transformações lineares e suas definições, também é importante estudar os conjuntos que estão associados aos espaços vetoriais considerados.
Nesse sentido, seja a transformação linear definida por:
Com base na transformação linear apresentada, assinale a alternativa que indica um vetor do espaço vetorial R2 que pertence ao núcleo da transformação linear T:
A)
 
u = (4, 1).
B)
 
u = (1, 0).
C)
 
u = (2, 2).
D)
 
u = (3, -1).
E)
 
u = (-1, 2).