ESTATÍSTICA - Avaliação 2 - Gabarito

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Avaliação 2 (Unidades 3 e 4) 
Situação Problema: 
A Organização Mundial de Saúde aponta a obesidade como um dos maiores problemas de saúde 
pública no mundo. A projeção é que, em 2025, cerca de 2,3 bilhões de adultos estejam com 
sobrepeso; e mais de 700 milhões, obesos. 
No Brasil, a obesidade vem crescendo cada vez mais, de acordo com dados da ABESO (Associação 
Brasileira para o Estudo da Obesidade e da Síndrome Metabólica). 
Alguns levantamentos apontam que mais de 50% da população está acima do peso, ou seja, na faixa 
de sobrepeso e obesidade. 
Níveis de Peso, segundo o IMC: 
 
FONTE: ABESO 
 
Definição: IMC é o índice de massa corporal, utilizado por médicos e nutricionistas, para avaliar se 
uma pessoa está no seu peso ideal. O valor do IMC é dado pela seguinte equação: 
𝐼𝑀𝐶 =
𝑃𝑒𝑠𝑜
(𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎)2
 
 
Uma pesquisa médica tem por objetivo verificar a relação entre peso e altura de um grupo de 
pacientes de um hospital, para identificar estatísticas do peso dos pacientes, ou seja, percentuais 
de pacientes com baixo peso, peso normal, sobrepeso ou obesidade, por exemplo. 
Os resultados dos exames, realizados em 20 pacientes com suas alturas e pesos, encontra-se na 
tabela abaixo: 
Paciente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
Altura (metros) 1,83 1,66 1,79 1,85 1,69 1,6 1,8 1,65 1,86 1,7 
Peso (kg) 90 50 96 90 100 56 89 64 91 65 
 
Paciente 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 
Altura (metros) 1,67 1,62 1,9 1,71 1,64 1,74 1,63 1,78 1,81 1,75 
Peso (kg) 68 60 95 88 67 68 70 82 99 78 
 
Procedimentos para elaboração do Trabalho da Disciplina (TD): 
 
1) Efetue o cálculo do IMC dos 20 pacientes, e elabore uma tabela de frequências (com valores 
absolutos e relativos) do IMC, conforme a classificação dada pela ABESO. 
Responda: 
• Os resultados encontrados, a partir da tabela construída, confirmam as informações 
apresentadas pela ABESO, no que se refere ao percentual da população acima do peso? 
 
2) Para as duas variáveis (X = altura e Y = peso), encontre os valores das seguintes medidas: 
• Média, desvio-padrão e coeficiente de variação da variável altura no exame realizado pelos 
médicos. 
• Média, desvio-padrão e coeficiente de variação da variável peso no exame realizado pelos 
médicos. 
Responda: 
• É possível encontrar um valor médio para o IMC? E o valor do desvio-padrão? Quais seriam 
esses valores? 
• Interprete os resultados obtidos. 
 
3) No que se refere às distribuições de probabilidade das variáveis X (altura) e Y (peso), e com base 
nos dados amostrais do problema: 
a) Sabe-se que a variável peso Y é normalmente distribuída, ou seja, Y segue uma distribuição 
Normal, com valores de média e desvio-padrão obtidos no item 2. Desse modo, qual é a 
probabilidade de uma pessoa selecionada ao acaso ter peso menor que 80 kg? 
b) Sabendo-se que podemos atribuir uma nova variável aleatória nesse estudo: o IMC, e que 
essa variável é normalmente distribuída, isto é, IMC segue uma distribuição Normal com valores 
de média e desvio-padrão também obtidos no item 2. Desse modo, você acha que seria alta a 
probabilidade de uma pessoa, selecionada ao acaso, ter o IMC maior do que 30? Justifique. 
(OBS: Nos dois itens a) e b) será necessário utilizar a Tabela da distribuição Normal Padrão) 
4) Encontre o intervalo de 95% confiança para o peso médio dos pacientes. 
5) Elabore um gráfico de dispersão para as variáveis. Calcule o coeficiente de correlação linear de 
Pearson das variáveis altura (X) e peso (Y). Classifique o grau de correlação entre as variáveis. 
6) Encontre a reta de regressão com a variável dependente sendo o peso (Y) e a altura como variável 
independente (X). Com base nesse modelo de regressão linear, encontre o IMC de uma pessoa com 
altura de 1,92 metros. 
 
Respostas: 
1) Efetue o cálculo do IMC dos 20 pacientes, e elabore uma tabela de frequências (com valores 
absolutos e relativos) do IMC, conforme a classificação dada pela ABESO. 
 
Resolução: 
Cálculo do IMC de 20 Pacientes Contagem 
Paciente 
Altura (X) 
(metros) 
Peso (Y) 
(kg) 
IMC 
(Y/X2) 
 
Paciente IMC 
1 1,83 90 26,9 2 18,1 
2 1,66 50 18,1 6 21,9 
3 1,79 96 30,0 10 22,5 
4 1,85 90 26,3 16 22,5 
5 1,69 100 35,0 12 22,9 
6 1,60 56 21,9 8 23,5 
7 1,80 89 27,5 11 24,4 
8 1,65 64 23,5 15 24,9 
9 1,86 91 26,3 20 25,5 
10 1,70 65 22,5 18 25,9 
11 1,67 68 24,4 4 26,3 
12 1,62 60 22,9 9 26,3 
13 1,90 95 26,3 13 26,3 
14 1,71 88 30,1 17 26,3 
15 1,64 67 24,9 1 26,9 
16 1,74 68 22,5 7 27,5 
17 1,63 70 26,3 3 30,0 
18 1,78 82 25,9 14 30,1 
19 1,81 99 30,2 19 30,2 
20 1,75 78 25,5 5 35,0 
A partir dos dados acima, é possível formar a tabela de frequências abaixo: 
Classificação IMC Classes 
Freq. 
Absoluta 
Freq. 
Relativa 
 
Abaixo do peso menor que 18,5 1 5% 
40% 
Peso normal 18,6 até 24,9 7 35% 
Sobrepeso 25,0 até 29,9 8 40% 
60% 
Obesidade grau I 30,0 até 34,9 3 15% 
Obesidade grau II 35,0 até 39,9 1 5% 
Obesidade grau III acima de 40 0 0% 
TOTAL 20 100% 
Responda: 
• Os resultados encontrados, a partir da tabela construída, confirmam as informações 
apresentadas pela ABESO, no que se refere ao percentual da população acima do peso? 
Resposta: 
• Sim. Vemos que 60% da amostra está acima do peso, ou seja, na faixa de sobrepeso e 
obesidade. 
 
2) Para as duas variáveis (X = altura e Y = peso), encontre os valores das seguintes medidas: 
• Média, desvio-padrão e coeficiente de variação da variável altura no exame realizado pelos 
médicos. 
• Média, desvio-padrão e coeficiente de variação da variável peso no exame realizado pelos 
médicos. 
 
Resolução: 
Paciente 
Altura (X) 
(metros) 
X-Xm (X-Xm)2 Paciente 
Peso (Y) 
(kg) 
Y-Ym (Y-Ym)2 
1 1,83 0,09600 0,00922 1 90 11,70 136,89 
2 1,66 -0,07400 0,00548 2 50 -28,30 800,89 
3 1,79 0,05600 0,00314 3 96 17,70 313,29 
4 1,85 0,11600 0,01346 4 90 11,70 136,89 
5 1,69 -0,04400 0,00194 5 100 21,70 470,89 
6 1,60 -0,13400 0,01796 6 56 -22,30 497,29 
7 1,80 0,06600 0,00436 7 89 10,70 114,49 
8 1,65 -0,08400 0,00706 8 64 -14,30 204,49 
9 1,86 0,12600 0,01588 9 91 12,70 161,29 
10 1,70 -0,03400 0,00116 10 65 -13,30 176,89 
11 1,67 -0,06400 0,00410 11 68 -10,30 106,09 
12 1,62 -0,11400 0,01300 12 60 -18,30 334,89 
13 1,90 0,16600 0,02756 13 95 16,70 278,89 
14 1,71 -0,02400 0,00058 14 88 9,70 94,09 
15 1,64 -0,09400 0,00884 15 67 -11,30 127,69 
16 1,74 0,00600 0,00004 16 68 -10,30 106,09 
17 1,63 -0,10400 0,01082 17 70 -8,30 68,89 
18 1,78 0,04600 0,00212 18 82 3,70 13,69 
19 1,81 0,07600 0,00578 19 99 20,70 428,49 
20 1,75 0,01600 0,00026 20 78 -0,30 0,09 
Soma 34,68 Soma 0,15268 Soma 1566,00 Soma 4572,20 
Xm 1,734 m s2 = 0,00804 Ym 78,3 kg s2 = 240,64 
 s = 0,08964 m s = 15,51 
 CV = 5,1697% CV = 19,8% 
Respostas: 
Variável X: 
• Média = 1,734 m 
• Desvio-padrão = 0,08964 m 
• Coeficiente de Variação = 5,1697% 
Variável Y: 
• Média = 78,3 kg 
• Desvio-padrão = 15,5126 
• Coeficiente de Variação = 19,8% 
 
 
 
Responda: 
• É possível encontrar um valor médio para o IMC? E o valor do desvio-padrão? Quais seriam 
esses valores? 
• Interprete os resultados obtidos. 
 
Paciente IMC IMC-IMCm (IMC-IMCm)2 
1 26,9 1,05 1,10 
2 18,1 -7,75 60,06 
3 30,0 4,15 17,22 
4 26,3 0,45 0,20 
5 35,0 9,15 83,72 
6 21,9 -3,95 15,60 
7 27,5 1,65 2,72 
8 23,5 -2,35 5,52 
9 26,3 0,45 0,20 
10 22,5 -3,35 11,22 
11 24,4 -1,45 2,10 
12 22,9 -2,95 8,70 
13 26,3 0,45 0,20 
14 30,1 4,25 18,06 
15 24,9 -0,95 0,90 
16 22,5 -3,35 11,22 
17 26,3 0,45 0,20 
18 25,9 0,05 0,00 
19 30,2 4,35 18,92 
20 25,5 -0,35 0,12 
Soma 517,00 Soma 258,03 
IMCm 25,85 s2 = 13,58 
 s = 3,6852 
 CV = 14,26% 
 
Resultados a partir da tabela de IMC de todos os 20 pacientes: 
• Média = 25,8 
• Desvio-padrão = 3,6852 
• CV = 14,26% 
 
A média dos IMC está relativamente alta, indicando que o grupo apresenta, em média, grau de 
sobrepeso. 
 
 
3) No que se refere às distribuições de probabilidade das variáveis X (altura) e Y (peso), ecom base 
nos dados amostrais do problema: 
a) Sabe-se que a variável peso Y é normalmente distribuída, ou seja, Y segue uma distribuição 
Normal, com valores de média e desvio-padrão obtidos no item 2. Desse modo, qual é a 
probabilidade de uma pessoa selecionada ao acaso ter peso menor que 80 kg? 
b) Sabendo-se que podemos atribuir uma nova variável aleatória nesse estudo: o IMC, e que 
essa variável é normalmente distribuída, isto é, IMC segue uma distribuição Normal com valores 
de média e desvio-padrão também obtidos no item 2. Desse modo, você acha que seria alta a 
probabilidade de uma pessoa, selecionada ao acaso, ter o IMC maior do que 30? Justifique. 
(OBS: Nos dois itens a) e b) será necessário utilizar a Tabela da distribuição Normal Padrão) 
 
Resolução: 
 
a) A partir dos resultados do item 2, pode-se dizer que Y tem uma distribuição normal com média 
78,3 kg e desvio padrão 15,512 kg, como abaixo indicado: 
Y ~ Normal (μ = 78,3; σ = 15,512) 
 
Deste modo, a probabilidade de Y ser menor que 80 kg é dada pela expressão abaixo: 
 
𝑃(𝑌 < 80) = 𝑃 (
𝑌 − 𝜇
𝜎
<
80 − 78,3
15,512
) = 𝑃(𝑍 < 0,11) = 0,5 + 0,0438 = 0,5438 = 54,38% 
Nota: da tabela normal temos que P(0 < z < 0,11) = 0,0438. 
 
b) Da mesma forma, pode-se dizer que o IMC é uma distribuição normal com média 25,8 e desvio 
padrão 3,6852, como abaixo indicado: 
IMC ~ Normal (μ = 25,8; σ = 3,6852) 
 
Deste modo, a probabilidade do IMC ser maior que 30 kg é dada pela expressão abaixo: 
 
𝑃(𝐼𝑀𝐶 > 30) = 𝑃 (
𝐼𝑀𝐶 − 𝜇
𝜎
>
30 − 25,8
3,6853
) = 𝑃(𝑍 > 1,13) = 0,5 − 0,3707 = 0,1293 = 12,93% 
Nota: da tabela normal temos que P(0 < z < 1,13) = 0,3707. 
 
4) Encontre o intervalo de 95% confiança para o peso médio dos pacientes. 
 
Resolução: 
A partir dos dados do item 2: Y̅ = 78,30kg 
Desvio-padrão amostral: s = 15,51 kg (obtido a partir dos dados amostrais – vide item 2) 
Tamanho da amostra (n): 20 medidas. Logo, teremos n - 1 = 19 graus de liberdade 
Nível de Confiança: 95% (dado do problema) 
Para obter o valor t19; 5% deve-se consultar a tabela t-Student: 
• Linha da tabela: 𝑛 − 1 = 19 graus de liberdade (ou seja, linha 19 da tabela t-Student) 
• Coluna da tabela: metade da diferença (100% - 95%), ou seja, 5% ÷ 2 = 2,5% 
• Teremos então o valor: t19; 5% = 2,0930 
𝑡
1−
𝛼
2
 25% 10% 5% 2,5% 1% 0,5% 
Graus de liberdade 
 
1 1,0000 3,0777 6,3138 12,7062 31,8207 63,6574 
2 0,8165 1,8856 2,9200 4,3027 6,9646 9,9248 
3 0,7649 1,6377 2,3534 3,1824 4,5407 5,8409 
4 0,7407 1,5332 2,1318 2,7764 3,7469 4,6041 
5 0,7267 1,4759 2,0150 2,5706 3,3649 4,0322 
6 0,7176 1,4398 1,9432 2,4469 3,1427 3,7074 
7 0,7111 1,4149 1,8946 2,3646 2,9980 3,4995 
8 0,7064 1,3968 1,8595 2,3060 2,8965 3,3554 
9 0,7027 1,3830 1,8331 2,2622 2,8214 3,2498 
10 0,6998 1,3722 1,8125 2,2281 2,7638 3,1693 
11 0,6974 1,3634 1,7959 2,2010 2,7181 3,1058 
12 0,6955 1,3562 1,7823 2,1788 2,6810 3,0545 
13 0,6938 1,3502 1,7709 2,1604 2,6503 3,0123 
14 0,6924 1,3450 1,7613 2,1448 2,6245 2,9768 
15 0,6912 1,3406 1,7531 2,1315 2,6025 2,9467 
16 0,6901 1,3368 1,7459 2,1199 2,5835 2,9208 
17 0,6892 1,3334 1,7396 2,1098 2,5669 2,8982 
18 0,6884 1,3304 1,7341 2,1009 2,5524 2,8784 
19 0,6876 1,3277 1,7291 2,0930 2,5395 2,8609 
 
Substituindo essas informações na definição do intervalo de confiança, teremos: 
𝐼𝐶(𝜇 , 1 − 𝛼) = (�̅� − 𝑡19 ;5% ∙
𝑆
√𝑛
 ; �̅� + 𝑡19 ;5% ∙
𝑆
√𝑛
) 
𝐼𝐶(𝜇 , 1 − 𝛼) = (78,30 − 2,0930 ∙
15,5126
√20
 ; 78,30 + 2,0930 ∙
15,5126
√20
 ) 
𝐼𝐶(𝜇 , 1 − 𝛼) = (78,30 − 7,26 ; 78,30 + 7,26) 
𝐼𝐶(𝜇 , 1 − 𝛼) = (71,04 ; 85,56) 
 
5) Elabore um gráfico de dispersão para as variáveis. Calcule o coeficiente de correlação linear de 
Pearson das variáveis altura (X) e peso (Y). Classifique o grau de correlação entre as variáveis. 
 
Resolução: 
 
A função CORREL, no Microsoft Excel, fornece o seguinte resultado para a correlação linear de 
Pearson: r = 0,7738. 
A correlação é positiva, significando que se a variável X aumenta, a variável Y também aumenta. 
Essa correlação é avaliada de média a forte. 
Fazendo as contas diretamente pelos dados do problema: 
Paciente Altura (X) Peso (Y) x ∙ y x2 y2 
1 1,83 90 164,70 3,35 8100,00 
2 1,66 50 83,00 2,76 2500,00 
3 1,79 96 171,84 3,20 9216,00 
4 1,85 90 166,50 3,42 8100,00 
5 1,69 100 169,00 2,86 10000,00 
6 1,6 56 89,60 2,56 3136,00 
7 1,8 89 160,20 3,24 7921,00 
8 1,65 64 105,60 2,72 4096,00 
9 1,86 91 169,26 3,46 8281,00 
10 1,7 65 110,50 2,89 4225,00 
11 1,67 68 113,56 2,79 4624,00 
12 1,62 60 97,20 2,62 3600,00 
13 1,9 95 180,50 3,61 9025,00 
14 1,71 88 150,48 2,92 7744,00 
15 1,64 67 109,88 2,69 4489,00 
16 1,74 68 118,32 3,03 4624,00 
17 1,63 70 114,10 2,66 4900,00 
18 1,78 82 145,96 3,17 6724,00 
19 1,81 99 179,19 3,28 9801,00 
20 1,75 78 136,50 3,06 6084,00 
soma = 34,68 1566 2735,89 60,2878 127190 
𝑟 =
𝑛 ∑ 𝑥𝑦 − (∑ 𝑥)(∑ 𝑦)
√[𝑛 ∑ 𝑥2 − (∑ 𝑥)2][𝑛 ∑ 𝑦2 − (∑ 𝑦)2]
=
20 ∙ 2735,89 − (34,68)(1566)
√[20 ∙ 60,29 − (34,68)2][20 ∙ 127190 − (1566)2]
 
Logo r = 0,7738 
40
50
60
70
80
90
100
110
1,55 1,6 1,65 1,7 1,75 1,8 1,85 1,9 1,95
Gráfico de Dispersão
6) Encontre a reta de regressão com a variável dependente sendo o peso (Y) e a altura como variável 
independente (X). Com base nesse modelo de regressão linear, encontre o IMC de uma pessoa com 
altura de 1,92 metros. 
 
Resolução: 
Para calcular os parâmetros a e b da reta de regressão, iremos utilizar a seguinte tabela: 
(𝑥𝑖) (𝑦𝑖) 𝑥𝑖 ∙ 𝑦𝑖 𝑥𝑖
2 
1,83 90 164,70 3,3489 
1,66 50 83,00 2,7556 
1,79 96 171,84 3,2041 
1,85 90 166,50 3,4225 
1,69 100 169,00 2,8561 
1,6 56 89,60 2,5600 
1,8 89 160,20 3,2400 
1,65 64 105,60 2,7225 
1,86 91 169,26 3,4596 
1,7 65 110,50 2,8900 
1,67 68 113,56 2,7889 
1,62 60 97,20 2,6244 
1,9 95 180,50 3,6100 
1,71 88 150,48 2,9241 
1,64 67 109,88 2,6896 
1,74 68 118,32 3,0276 
1,63 70 114,10 2,6569 
1,78 82 145,96 3,1684 
1,81 99 179,19 3,2761 
1,75 78 136,50 3,0625 
∑ 𝑥𝑖 = 34,7 ∑ 𝑦𝑖 = 1566 ∑ 𝑥𝑖 ∙ 𝑦𝑖 = 2735,89 ∑ 𝑥𝑖
2 = 60,287 
Substituindo os valores obtidos da tabela acima, teremos: 
𝑎 =
𝑛 ∙ ∑ 𝑥𝑖 ∙ 𝑦𝑖 − (∑ 𝑥𝑖) ∙ (∑ 𝑦𝑖)
𝑛 ∙ ∑ 𝑥𝑖
2 − (∑ 𝑥𝑖)2
=
20 ∙ 2735,89 − 34,7 ∙ 1566
20 ∙ 60,287 − (34,7)2
= 133,91 
 �̅� =
∑ 𝑦𝑖
𝑛
=
1566
20
 �̅� =
34,7
20
 
𝑏 = �̅� − 𝑎 ∙ �̅� ⇒ 𝑏 = 
1566
20
− 133,91 ∙
34,7
20
= −154,03 
Desse modo, a equação da reta de regressão linear será: 𝑦 = 133,91 ∙ 𝑥 − 154,03 
Projeção para a altura 1,92 m: 𝑦 = 133,91 ∙ 1,92 − 154,03 = 103,07 ≅ 103 𝑘𝑔 
Deste modo, o IMC será: IMC = 103/(1,922) = 27,94 
O gráfico será: 
 
y = 133,91 x - 154,03
40
60
80
100
120
1,55 1,6 1,65 1,7 1,75 1,8 1,85 1,9 1,95
Gráfico de Dispersão e Reta de Regressão 
Linear