UNIDADE 7 - Engrenagens - Geral

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Unidade 7
Engrenagens - Geral
Projetista
de Máquinas
Projetos de Máquinas 
Prof. Me. André L. Bosso
Introdução
❑ Engrenagens são utilizadas para transmitir
movimento de um eixo rotativo para outro
com razão de velocidade angular
constante.
❑ Elemento de Máquinas mais utilizado em
equipamentos mecânicos (𝟖𝟑%)
❑ acionam eixos paralelos, concorrentes ou
reversos
Introdução
à potência,❑ grande faixa de uso quanto 
rotação e relação de transmissão
➢ de brinquedos a transmissão de navios
❑ transmissão de potência sem escorregamento
❑ alto rendimento
❑ dimensões reduzidas para distância entre 
centros pequena
Introdução
❑ vida útil elevada
❑ pouca manutenção
❑ rigidez na transmissão
❑ alto custo
❑ alto nível de ruído
Tipos de Engrenagens
❑ Engrenagens Cilíndricas de Dentes Retos
➢ Possuem dentes paralelos ao eixo de rotação
e são utilizadas para transmitir movimento
entre dois eixos paralelos
Tipos de Engrenagens
❑ Engrenagens Cilíndricas de Dentes Retos
➢ São as mais simples e utilizadas
➢ O rendimento é alto, podendo chegar a 𝟗𝟗%
➢ Em altas velocidades apresentam problemas
de ruído
Tipos de Engrenagens
❑ Engrenagens Cilíndricas de Dentes Retos
➢ Quando um par de
engrenagens tem rodas
de tamanhos diferentes,
a engrenagem maior
chama-se coroa e a
menor chama-se
pinhão
Tipos de Engrenagens
❑ Engrenagens Cilíndricas de Dentes Retos
➢ Exemplo de Aplicação: 
Redutores de velocidades
Tipos de Engrenagens
❑ Engrenagens Cilíndricas de Dentes Helicoidais
➢ Possuem os dentes inclinados em relação ao 
eixo de rotação
➢ Podem ser utilizadas nas mesmas aplicações
que as engrenagens de dentes retos
Tipos de Engrenagens
❑ Engrenagens Cilíndricas de Dentes Helicoidais
➢ São mais silenciosas devido ao maior contato
entre os dentes durante o engrenamento
➢ São mais caras em relação as engrenagens de
dentes retos
➢ O dente inclinado também cria forças axiais e
momentos flexores, os quais não estão
presentes em se tratando de dentes retos.
Tipos de Engrenagens
❑ Engrenagens Cilíndricas de Dentes Helicoidais
➢ Algumas vezes, as engrenagens helicoidais são
empregadas para transmitir movimento entre
eixos não-paralelos
Tipos de Engrenagens
❑ Engrenagens Cilíndricas de Dentes Helicoidais
➢ Exemplo de 
Aplicação: Cambio 
de marchas
Tipos de Engrenagens
❑ Engrenagens Cônicas
➢ Possuem a forma de tronco de cones.
➢ Os dentes podem ser retos ou inclinados em
relação ao eixo de rotação da engrenagem
Tipos de Engrenagens
❑ Engrenagens Cônicas
➢ São utilizadas principalmente em aplicações
que exigem eixos que se cruzam
(concorrentes)
Tipos de Engrenagens
❑ Engrenagens Cônicas
➢ Exemplo de 
Aplicação: 
Diferencial
Tipos de Engrenagens
❑ Parafuso sem fim
➢ O sem fim é um parafuso acoplado com uma
engrenagem coroa, geralmente do tipo
helicoidal
Tipos de Engrenagens
❑ Parafuso sem fim
➢ Este tipo de engrenagem é bastante usado
quando a relação de transmissão de
velocidades é bastante elevada
Tipos de Engrenagens
❑ Pinhão-Cremalheira
➢ Neste sistema, a coroa tem um diâmetro
infinito, tornando-se reta. Os dentes podem ser
retos ou inclinados
Tipos de Engrenagens
❑ Pinhão-Cremalheira
➢ O dimensionamento é semelhante às 
engrenagens cilíndricas retas ou helicoidais
através deste sistema 
movimento de rotação em
➢ Consegue-se 
transformar 
translação
❑Nomenclatura
Nomenclatura
❑ Círculo Primitivo
➢ O círculo primitivo, ou de passo, é um círculo
teórico sobre o qual todos os cálculos são
geralmente baseados
➢ O seu diâmetro é o diâmetro primitivo
➢ Os círculos primitivos de um par de
engrenagens engrenados são tangentes entre si
❑Nomenclatura
Nomenclatura
❑ Passo Circular 𝒑
➢ é a distância, medida no círculo primitivo, de
um ponto de um dente ao correspondente
ponto no dente adjacente.
circular é igual
dente e da
à soma da
largura do
➢ Assim, o passo 
espessura de 
espaçamento.
➢ Ou ainda:
𝒑 = 𝝅 ∙ 𝒎
❑Nomenclatura
INICIO DO PASSO CIRCULAR
FIM DO PASSO CIRCULAR
Nomenclatura
❑ Módulo 𝒎
➢ é a razão entre o diâmetro primitivo e o número 
de dentes.
𝑑𝑝
𝑚 =
𝑁
➢ A unidade habitual de comprimento é o
milímetro.
➢ O módulo é o índice de tamanho de dente no 
Sistema Internacional (SI).
Nomenclatura
❑ Módulo 𝒎
➢ Relação entre módulo e tamanho de dente 
(para um mesmo diâmetro)
Nomenclatura
❑ Adendo 𝒂
➢ é a distância radial entre o topo do dente e o
círculo primitivo
❑ Dedendo 𝒃
➢ é a distância radial entre o fundo do dente e o
círculo primitivo
❑ Altura do Dente 𝒉𝒕
➢ é a soma do adendo e do dedendo
𝒉𝒕 = 𝒂 + 𝒃
❑Nomenclatura
❑Nomenclatura
❑Nomenclatura
𝒅𝒑𝟐
𝒅𝒊𝟐
𝒅𝒆𝟐
𝒅𝒑𝟏
𝒅𝒆𝟏
𝒅𝒊𝟏
𝒇𝒐𝒍𝒈𝒂 𝒅𝒐𝒅𝒆𝒏𝒕𝒆
Ponto Primitivo
Distância 
entre eixos
Nomenclatura
❑ Ângulo de Pressão 𝝓
➢ É o ângulo que define a direção da força que a
engrenagem motora exerce sobre a
engrenagem movida.
➢ 𝝓 pequeno gera topo de dente largo
➢ 𝝓 grande gera topo de dente estreito
➢ 𝝓 pequeno aumenta a resistência do topo do
dente, porém aumenta a possibilidade de
engripamento da engrenagem
❑Ângulo de Pressão 𝝓
Ponto Primitivo
*** Círculo de base: Círculo do qual é gerado o perfil de evolvente
❑Ângulo de Pressão 𝝓
Pontos tangentes 
aos círculos de base
❑Ângulo de Pressão 𝝓
𝝓
Nomenclatura
❑ Ângulo de Pressão 𝝓
➢ É o ângulo que define a direção da força que a
engrenagem motora exerce sobre a
engrenagem movida.
➢ Valores recomendados:
✓ 𝝓 = 𝟏𝟒°𝟑𝟎′ (antigamente)
✓ 𝝓 = 𝟐𝟎° (atualmente)
❖ (material utilizado é mais resistente, portanto o topo
do dente pode ser menor)
Nomenclatura
número de dentes e o
❑ Passo diametral 𝑷
➢ é a razão entre o
diâmetro primitivo.
𝑃 =
𝑁
𝑑𝑝
➢ O passo diametral é o inverso do módulo.
➢ Uma vez que o passo diametral é utilizado
somente com unidades americanas, é expresso
como dentes por polegada.
Nomenclatura
❑ Relação entre raios e velocidades angulares
➢ Quando duas engrenagens estão engrenadas,
seus círculos primitivos rolam uns sobre os outros,
sem escorregamento (ponto Primitivo)
➢ Nesse instante, ambas engrenagens possuem a
mesma velocidade tangencial, ou seja:
𝑽𝟏 = 𝑽𝟐 = 𝑽
❑Nomenclatura
𝒅𝒑𝟐
𝒅𝒊𝟐
𝒅𝒆𝟐
𝒅𝒑𝟏
𝒅𝒆𝟏
𝒅𝒊𝟏
𝒇𝒐𝒍𝒈𝒂 𝒅𝒐𝒅𝒆𝒏𝒕𝒆
Ponto Primitivo
Distância
entre eixos 𝑽
Nomenclatura
❑ Relação entre raios e velocidades angulares
➢ Designe os raios primitivos como 𝒓𝒑𝟏 e 𝒓𝒑𝟐 e as
velocidades angulares como 𝝎𝟏 e 𝝎𝟐 ,
respectivamente.
➢ Desse modo, a velocidade no círculo primitivo
vale:
𝑽 = 𝒓𝒑𝟏 ∙ 𝝎𝟏 = 𝒓𝒑𝟐 ∙𝝎𝟐
Nomenclatura
❑ Relação entre raios e velocidades angulares
➢ Logo, a relação entre raios e velocidades 
angulares é:
𝝎𝟏
𝝎𝟐
𝒓𝒑𝟐
=
𝒓𝒑𝟏
Nomenclatura
❑ Raio do circulo de base
➢ O raio do círculo de base é determinado 
função do ângulo de pressão, ou seja:
𝒓𝒃 = 𝒓𝒑 ∙ 𝒄𝒐𝒔𝝓
Nomenclatura
❑ Adendo 𝒂
➢ é a distância radial entre o topo do dente e o
círculo primitivo e, pode ser determinado por:
𝒂 =
𝟏
𝑷
𝒂 =
𝟏
𝒑
𝑵
𝒅
𝒅𝒑
⟹ 𝒂 =
𝑵
𝒂 = 𝒎
Nomenclatura
❑ Dedendo 𝒃
➢ é a distância radial entre o fundo do dente e o
círculo primitivo e, pode ser determinado por:
𝒃 = 
𝟏, 𝟐𝟓
𝑷
𝒃 = 
𝟏,𝟐𝟓
𝒑
𝑵
𝒅
𝒅𝒑
⟹ 𝒃 = 𝟏, 𝟐𝟓 ∙
𝑵
𝒃 = 𝟏, 𝟐𝟓 ∙ 𝒎
Nomenclatura
sendo a metade do
❑ Espessura do dente 𝒕
➢ é determinada como
passo circular, ou seja:
𝑡 =𝑝
2
de raio do filete, é
❑ Raio do pé do dente 𝒄
➢ Também chamado 
determinado por:
𝒄 = 𝒃 − 𝒂
𝒄 = 𝟏, 𝟐𝟓 ∙ 𝒎 − 𝒎
𝒄 = 𝟏, 𝟐𝟓− 𝟏 ∙ 𝒎
𝒄 = 𝟎, 𝟐𝟓 ∙ 𝒎
Nomenclatura
❑ Diâmetro externo 𝒅𝒆
➢ é determinado por:
𝒅𝒆= 𝒅𝒑+ 𝟐 ∙ 𝒂
ou
𝒅𝒆= 𝒅𝒊+ 𝟐 ∙ 𝒉𝒕
Nomenclatura
❑Nomenclatura
𝒅𝒑𝟐
𝒅𝒊𝟐
𝒅𝒆𝟐
𝒅𝒑𝟏
𝒅𝒆𝟏
𝒅𝒊𝟏
𝒇𝒐𝒍𝒈𝒂 𝒅𝒐𝒅𝒆𝒏𝒕𝒆
Distância 
entre eixos
❑ Diâmetro interno 𝒅𝒊
➢ é determinado por:
𝒅𝒊= 𝒅𝒑− 𝟐 ∙ 𝒃
ou
𝒅𝒊= 𝒅𝒆− 𝟐 ∙ 𝒉𝒕
NomenclaturaNomenclatura
𝒓𝒑𝟏
𝒇𝒐𝒍𝒈𝒂 𝒅𝒐𝒅𝒆𝒏𝒕𝒆
❑ Distância entre centros 𝒅
➢ é determinado por:
𝒅 = 𝒓𝒑𝟏+ 𝒓𝒑𝟐
𝒓𝒑𝟐
Distância
entre eixos
Nomenclatura
❑ Número de dentes 𝑵
➢ deve ser o menor possível, para que a 
engrenagem seja a menor possível
✓ economia de espaço e peso
➢ Para não haver “engripamento”, 𝑵𝒎𝒊𝒏 é dado 
na tabela 1
Nomenclatura
❑ Número de dentes 𝑵
Tabela 1 - Número mínimo de dentes 𝑵𝒎𝒊𝒏
𝑵𝒎𝒊𝒏
Tipo de transmissão 𝜙 = 20° 𝜙 = 14°30′
Pequenas velocidades 
e/ou pequenas cargas
10 18
Velocidades médias 6 𝑎 9 𝑚 𝑠 12 24
Cargas e velocidades elevadas 16 30
Engrenamento Externo 𝑁1 + 𝑁2 ≥ 24
Engrenamento Interno 𝑁1 + 𝑁2 ≥ 10
Classe
𝐼 0,3 0,4 0,5 0,6 − − 0,8 1 1,25 1,50
𝐼𝐼 0,35 0,45 0,55 − − 0,7 0,9 1,125 1,375 1,75
𝐼𝐼𝐼 − − − − 0,65 − − − − − − − − − − − −
𝐼 2 2,5 3 − − 4 5 6 − − 8
𝐼𝐼 2,25 2,75 − − 3,5 4,5 5,5 − − 7 9
𝐼𝐼𝐼 − − − − 3,25 20 − − − − 6,5 − − − −
𝐼 10 12 16 22 25 32 40 50 − −
𝐼𝐼 11 14 18 − − 28 36 45 − − − −
𝐼𝐼𝐼 − − − − − − − − − − − − − − − − − −
Nomenclatura
❑ Módulos Normalizados 𝒎
➢ Disponibilizados pela tabela 2
Tabela 2 – Módulos Normalizados𝒎
Nomenclatura
❑ Largura do dente 𝒍
➢ é determinada em função do tipo de
fabricação, ou seja, quanto pior a fabricação, 
menor deve ser a largura da engrenagem
𝑙 = 𝜆 ∙𝑚
✓ 𝜆 é dado 
na tabela 3
Tipo de construção 𝝀 = 𝒍 𝒎
Dentes brutos de fundição limpa 6
Dentes bem acabados
Suporte comum e saliente 
Suportes em vigas de aço
Bons suportes em caixas de engrenagens 
Suportes rígidos de melhor qualidade
10
15
25
30 𝑎 45
Engrenagens de construção de elevada
precisão
𝐴𝑡é 200
Nomenclatura
❑ Largura do dente 𝒍
Tabela 3 – Relação 𝝀 = 𝒍 𝒎
❑ Passo de base 𝒑𝒃
➢ Cremalheira
𝒑𝒃= 𝒑 ∙ 𝒄𝒐𝒔𝝓
Nomenclatura
❑ Um par de engrenagens consiste em um 
pinhão de 𝟏𝟔 𝒅𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔movendo uma coroa de
𝟒𝟎 𝒅𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔.
❑ As engrenagens possuem um módulo
𝑪𝑳𝑨𝑺𝑺𝑬 𝑰 de 𝟏𝟐𝒎𝒎 e foram cortadas com um 
ângulo de pressão de 𝟐𝟎°
❑ Adote:
𝝀 = 𝟏𝟓
𝝎𝟏= − 𝟔𝟎 𝒓𝒂𝒅 𝒔
❑ Determine:
Exercícios - 1
a) As informações construtivas:
➢ Passo circular
➢ Adendo
➢ Dedendo
➢ Altura do dente
➢ Folga no dente
➢ Raio do filete
➢ Espessura do dente
➢ Largura do dente
➢ Passo diametral
➢ Distância entre centros
Exercícios - 1
➢ Raio da base
✓ Pinhão e Coroa
➢ Diâmetro externo
✓ Pinhão e Coroa
➢ Diâmetro Interno
✓ Pinhão e Coroa
b) A velocidade angular da Coroa
c)Ao montar essas engrenagens, a distância
entre os centros foi, incorretamente,
aumentada em 𝟒𝒎𝒎.
➢ Calcule os novos valores do ângulo de pressão
e os diâmetros primitivos
Exercícios - 1
❑ As engrenagens helicoidais, utilizadas para
transmitir movimento entre eixos paralelos, são
mostradas na figura abaixo:
Introdução
❑ Na montagem de um par de engrenagens
helicoidais, uma deve ter uma hélice destra (mão
direita), ao passo que a outra, uma hélice sestra
(mão esquerda)
Montagem
❑ O ângulo de hélice (ou inclinação do dente) é o 
mesmo em cada engrenagem
Ângulo de Hélice
𝝍
𝝍
E. C. Dentes 
Retos
E. C. Dentes 
Helicoidais
Comprimento do Dente
❑ A largura da engrenagem helicoidal é a mesma 
de uma engrenagem de dentes retos
𝒍
𝒍𝒉
𝝍
𝑙 = 𝜆 ∙𝑚
𝒍𝒉→ comprimento do dente
Comprimento do Dente
𝝍
❑ Por possuir um dente “mais comprido”, a
engrenagem helicoidal tem como característica
um engrenamento gradual dos dentes e a
transferência suave de carga de um dente para o
outro que confere às ECDH a habilidade de
transmitir grandes cargas a altas velocidades.
𝝍
ECDR
ECDH
❑ As engrenagens helicoidais submetem os mancais
de eixo a ambas as cargas, radial e axial.
❑ Quando as cargas axiais tornam-se elevadas,
pode ser desejável utilizar E.H. Duplas
❑ As engrenagens “espinha-de-peixe” é equivalente
a duas engrenagens helicoidais de mãos opostas,
montadas lado a lado no mesmo eixo.
❑ Elas desenvolvem reações axiais opostas e, assim,
cancelam a carga axial.
Forças Axiais
❑ E.H. Duplas
✓ espinha-de-peixe
Forças Axiais
❑ Quando duas ou mais engrenagens helicoidais
simples são montadas no mesmo eixo, a mão das
engrenagens deve ser selecionada de modo a
produzir uma carga axial mínima.
Montagem
❑ Na prática → 𝝍 = 𝟓° 𝒂 𝟑𝟓°
❑ Explicação
𝝍 grande aumenta o comprimento 
aumenta a resistência do dente,
do dente, o que 
mas aumenta a
componente axial da força sobre a engrenagem, o que
sobrecarrega os mancais e diminui o rendimento da
engrenagem
Ângulo de Hélice
→ Faixa de utilização
❑ Em ECDH, 𝒑𝒕 é o passo circular transversal no 
plano de rotação
❑ Calculado da mesma forma do passo circular de 
ECDR
𝒑𝒕= 𝝅 ∙ 𝒎
Passo – Engrenagem Helicoidal
❑ 𝒑𝒏 é o passo circular normal e esta relacionado 
com o passo circular transversal pela expressão:
𝒑𝒏= 𝒑𝒕 ∙ cos𝝍
Passo – Engrenagem Helicoidal
❑ 𝒑𝒙 é o passo axial e esta definido pela 
expressão:
𝒙𝒑 =
𝒑𝒕
tan𝝍
Passo – Engrenagem Helicoidal
❑ Em ECDH, 𝑷𝒕 é o passo diametral transversal no 
plano de rotação
❑ Calculado da mesma forma do passo diametral 
de ECDR
❑ ou seja:
𝒕𝑷 =
𝑵
𝒅𝒑
Passo – Engrenagem Helicoidal
❑ Uma vez que
𝒑𝒏 ∙ 𝑷𝒏=𝝅
❑ o passo diametral normal 𝑷𝒏 é:
𝒏𝑷 =
𝑷𝒕
cos𝝍
Passo – Engrenagem Helicoidal
𝝍
𝒍
Ângulo de Pressão
→ Engrenagem Helicoidal
❑ Na figura abaixo, temos os planos RR e NN.
RR → é o plano perpendicular ao eixo da engrenagem
NN → é o plano perpendicular aos dentes
𝒑𝒕
Vista Superior de uma ECDH mostrando as designações mais importantes
Ângulo de Pressão Transversal
𝝓𝒕 𝒑𝒕
𝒑𝒕
𝝍
𝒍
Seção RR (no plano de rotação)
Ângulo de Pressão Transversal
𝝓𝒕 𝒑𝒕
Seção RR (no plano de rotação)
❑ Em ECDH, 𝝓𝒕é o ângulo de pressão transversal no
plano de rotação, possuindo a mesma definição
do ângulo de pressão de ECDR
❑ Portanto:
𝝓𝒕 = 𝝓
𝝍
𝒍
Ângulo de Pressão Normal
𝝓𝒏
𝒑𝒕
Ângulo de Pressão Normal
𝝓𝒏
❑ 𝝓𝒏 é o ângulo de pressão normal e esta
relacionado com o ângulo de pressão transversal
pela expressão:
cos 𝜓 = 
tan 𝜙𝑛
tan𝜙𝑡
Demais relações
→ Engrenagem Helicoidal
❑ Módulo normal 𝒎𝒏
→ 𝑚𝑛 = 𝑚 ∙ cos 𝜓
❑ Número virtual de dentes 𝑵′
→ 𝑁′ =
𝑁
𝑐𝑜𝑠3𝜓
*** É necessário saber o número virtual de projeto para a
resistência e também, algumas vezes, no corte de dentes
helicoidais ***
Demais relações
→ Engrenagem Helicoidal
❑ Adendo 𝒂
→ 𝑎 =𝑚
❑ Dedendo 𝒃
→ 𝑏 = 1,25 ∙𝑚
𝒉𝒕❑ Altura do dente
→ ℎ𝑡 = 𝑎 + 𝑏
Demais relações
→ Engrenagem Helicoidal
𝒅𝒑𝟏❑ Diâmetro primitivo do Pinhão
→ 𝑑𝑝1 = 𝑁𝑃 ∙ 𝑚
𝒅𝒑𝟐❑ Diâmetro primitivo da Coroa
→ 𝑑𝑝2 = 𝑁𝐺 ∙𝑚
Demais relações
→ Engrenagem Helicoidal
❑ Diâmetro de base do Pinhão 𝒅𝒃𝟏
→ 𝑑𝑏1 = 𝑑𝑝1 ∙ cos𝜙𝑡
𝒅𝒃𝟐❑ Diâmetro de base da Coroa
→ 𝑑𝑏2 = 𝑑𝑝2 ∙ cos𝜙𝑡
Demais relações
→ Engrenagem Helicoidal
✓ Engrenagens Externas
❑ Distância entre centros 𝒅
𝑑𝑝1 +𝑑𝑝2
→ 𝑑 =
2
❑ Diâmetro externo do Pinhão 𝒅𝒆𝟏
→ 𝑑𝑒1 = 𝑑𝑝1 + 2 ∙ 𝑎
𝒅𝒆𝟐❑ Diâmetro externo da Coroa
→ 𝑑𝑒2 = 𝑑𝑝2 + 2 ∙ 𝑎
Demais relações
→ Engrenagem Helicoidal
✓ Engrenagens Externas
❑ Diâmetro de raiz do Pinhão 𝒅𝒓𝟏
(diâmetro interno)
→ 𝑑𝑟1 = 𝑑𝑝1 − 2 ∙ 𝑏
𝒅𝒓𝟐❑ Diâmetro de raiz da Coroa
(diâmetro interno)
→ 𝑑𝑟2 = 𝑑𝑝2 − 2 ∙ 𝑏
Demais relações
→ Engrenagem Helicoidal
✓ Engrenagens Internas
❑ Distância entre centros 𝒅
𝑑𝑝1 −𝑑𝑝2
→ 𝑑 =
2
❑ Diâmetro interno do Pinhão 𝒅𝒊𝟏
→ 𝑑𝑖1 = 𝑑𝑝1 − 2 ∙ 𝑎
𝒅𝒊𝟐❑ Diâmetro interno da Coroa
→ 𝑑𝑖2 = 𝑑𝑝2 − 2 ∙ 𝑎
Demais relações
→ Engrenagem Helicoidal
✓ Engrenagens Externas
❑ Diâmetro de raiz do Pinhão 𝒅𝒓𝟏
(diâmetro externo)
→ 𝑑𝑟1 = 𝑑𝑝1 + 2 ∙ 𝑏
𝒅𝒓𝟐❑ Diâmetro de raiz da Coroa
(diâmetro externo)
→ 𝑑𝑟2 = 𝑑𝑝2 + 2 ∙ 𝑏
❑ Uma engrenagem helicoidal de estoque tem
ângulo de pressão transversal de 𝟐𝟎° , um
ângulo de hélice de 𝟐𝟓°, módulo 𝑪𝑳𝑨𝑺𝑺𝑬 𝑰𝑰
de 𝟏𝟖𝒎𝒎 e possui 𝟐𝟒 𝒅𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔
❑ Adote:
𝝀= 𝟏𝟓
❑ Determine:
Exercícios - 1
a) As informações construtivas:
➢ Passo circular transversal
➢ Passo circular normal
➢ Passo axial
➢ Diâmetro Primitivo
➢ Passo diametral transversal
➢ Passo diametral normal
➢ Largura da engrenagem
➢ Comprimento do dente
Exercícios - 1
➢ Adendo
➢ Dedendo
➢ Altura do dente
➢ Raio do filete
➢ Espessura do dente
b) As informações construtivas:
➢ Módulo normal
➢ Ângulo de pressão normal
➢ Número virtual de dentes
Exercícios - 1
➢ Interferência
❑ Ponto A
Início do contato
❑ Ponto B
Fim do contato
❑ Ponto C e D
Linha perpendicular
entre linha de
pressão e o centro
da engrenagem
➢ Interferência
❑ Quando os pontos C
e D então localizados 
dentro do intervalo
[A,B] a interferência 
esta presente
❑Na interferência, a 
cabeça do dente de
uma engrenagem 
toca na raiz do 
dente da outra 
engrenagem, 
provocando o
desgaste dos dentes
❑ A interferência deve ser evitada no
dimensionamento de engrenagens.
❑ Para isso, devem ser determinados os
números mínimos de dentes de acordo com o
tipo de engrenamento:
➢ Pinhão/Coroa
➢ Pinhão/Cremalheira
Interferência - ECDR
➢ Pinhão/Coroa
𝑵𝑷❑ O número mínimo de dentes que um pinhão
pode ter para evitar a interferência é:
𝑃𝑁 =
2𝑘
1 + 2𝑚𝑅 ∙ 𝑠𝑒𝑛2𝜙
𝑅∙ 𝑚 + 𝑚𝑅2 + 1 + 2𝑚𝑅 ∙ 𝑠𝑒𝑛2𝜙
❑ onde:
→ 𝒌 = 𝟏 (para engrenagens normais)
→ 𝒌 = 𝟎, 𝟖 (para engrenagens rebaixadas)
→ 𝒎𝑹 = 𝑵𝑮𝑵𝑷 (relação do nº de dentes pinhão/coroa)
Interferência - ECDR
➢ Pinhão/Coroa
❑ O número máximo de dentes que uma coroa 𝑵𝑮
pode ter para se acoplar em um pinhão com 
número de dentes igual a 𝑵𝑷 sem que haja 
interferência é:
𝑁𝑃
2 ∙ 𝑠𝑒𝑛2𝜙 − 4𝑘2
𝑁𝐺 = 4𝑘 − 2𝑁𝑃 ∙ 𝑠𝑒𝑛2𝜙
❑ onde:
→ 𝒌 = 𝟏 (para engrenagens normais)
→ 𝒌 = 𝟎, 𝟖 (para engrenagens rebaixadas)
Interferência - ECDR
➢ Pinhão/Cremalheira
❑ O número mínimo de dentes que um pinhão 𝑵𝑷
pode ter para operar em uma cremalheira sem 
que haja interferência é:
𝑃𝑁 =
4𝑘
2 ∙ 𝑠𝑒𝑛2𝜙
❑ onde:
→ 𝒌 = 𝟏 (para engrenagens normais)
→ 𝒌 = 𝟎, 𝟖 (para engrenagens rebaixadas)
Interferência - ECDR
❑ Um par de engrenagens, construídas com ângulo
de pressão de 𝟐𝟎°, possui uma relação entre o
número de dentes pinhão/coroa igual a 𝟒 e
dentes de altura completa.
❑ Determine para esse par de engrenagens:
a) o número mínimo de dentes do pinhão
b) o número de dentes da coroa
❖ lembrando que a interferência deve ser evitada ?
Exercícios - 1
❑ Considere um pinhão que possui o ângulo de 
pressão de 𝟐𝟎° , dentes dealtura completa e
𝟏𝟑𝒅𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔.
❑ Determine a maior coroa que pode ser acoplada
a esse pinhão, sem que haja interferência.
Exercícios - 2
❑ Determine o menor pinhão que pode operar em 
uma cremalheira, sem que haja interferência.
❑ Considere:
ângulo de pressão → 𝟐𝟎°
dentes de altura completa
Exercícios - 3
❑ Da mesma forma que no caso de engrenagens
de dentes retos, dentes de engrenagens
helicoidais podem apresentar interferência
❑ Para isso, devem ser determinados os números
mínimos de dentes de acordo com o tipo de
engrenamento:
➢ Pinhão/Coroa
➢ Pinhão/Cremalheira
Interferência - ECDH
❑ Relembrando:
𝝓𝒏→ é o ângulo de pressão normal
𝝓𝒕→ é o ângulo de pressão transversal
tan𝜙𝑡
cos 𝜓 =
tan𝜙𝑛 ⇒ 𝜙 = tan−1
tan𝜙𝑛
cos𝜓
Interferência - ECDH
➢ Pinhão/Coroa
𝑵𝑷❑ O número mínimo de dentes que um pinhão
pode ter para evitar a interferência é:
𝑃𝑁 =
2𝑘 ∙ cos𝜓
1 + 2𝑚𝐻 ∙ 𝑠𝑒𝑛2𝜙𝑡
𝐻∙ 𝑚 + 𝐻𝑚 2 + 1 + 2𝑚𝐻 ∙ 𝑠𝑒𝑛2𝜙
❑ onde:
→ 𝒌 = 𝟏 (para engrenagens normais)
→ 𝒌 = 𝟎, 𝟖 (para engrenagens rebaixadas)
→ 𝒎𝑯 = 𝑵𝑮𝑵𝑷 (relação do nº de dentes pinhão/coroa)
Interferência - ECDH
➢ Pinhão/Coroa
❑ O número máximo de dentes que uma coroa 𝑵𝑮
pode ter para se acoplar em um pinhão com 
número de dentes igual a 𝑵𝑷 sem que haja 
interferência é:
𝑁𝑃
2 ∙ 𝑠𝑒𝑛2𝜙𝑡 − 4𝑘2 ∙𝑐𝑜𝑠2𝜓
𝑁𝐺 = 4𝑘 ∙ cos 𝜓 − 2𝑁𝑃 ∙ 𝑠𝑒𝑛2𝜙𝑡
❑ onde:
→ 𝒌 = 𝟏 (para engrenagens normais)
→ 𝒌 = 𝟎, 𝟖 (para engrenagens rebaixadas)
Interferência - ECDH
➢ Pinhão/Cremalheira
❑ O número mínimo de dentes que um pinhão 𝑵𝑷
pode ter para operar em uma cremalheira sem 
que haja interferência é:
𝑁𝑃 = 
4𝑘 ∙ cos𝜓
2 ∙ 𝑠𝑒𝑛2𝜙𝑡
❑ onde:
→ 𝒌 = 𝟏 (para engrenagens normais)
→ 𝒌 = 𝟎, 𝟖 (para engrenagens rebaixadas)
Interferência - ECDH
❑ Um par de engrenagens helicoidais, construídas
com ângulo de pressão normal de 𝟐𝟎° e ângulo
de hélice de 𝟑𝟎° , possui uma relação entre o
número de dentes pinhão/coroa igual a 𝟐 e
dentes de altura completa.
❑ Determine para esse par de engrenagens:
a) o número mínimo de dentes do pinhão
b) o número de dentes da coroa
❖ lembrando que a interferência deve ser evitada ?
Exercícios - 1
❑ Considere um pinhão de uma engrenagem
helicoidal que possui o ângulo de pressão normal
de 𝟐𝟎°, ângulo de hélice de 𝟑𝟎° , dentes de altura
completa e 𝟗 𝒅𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔.
❑ Determine a maior coroa que pode ser acoplada
a esse pinhão, sem que haja interferência.
Exercícios - 2
❑ Determine o menor pinhão que pode operar em 
uma cremalheira, sem que haja interferência.
❑ Considere:
ângulo de pressão normal → 𝟐𝟎°
ângulo de hélice → 𝟑𝟎°
dentes de altura completa
Exercícios - 3
❑ aço laminado
❖ (aço de baixo carbono)
❑ aço para cementação
❖ (aço de médio carbono)
❑ aço liga
❖ (maiores tensões admissíveis, mesma rigidez)
❑ aço inoxidável
❖ (aplicações especiais – custo elevado)
❑ ferro fundido
❖ (baixa solicitação, grandes dimensões)
❑ bronze
❖ (para parafuso sem fim – devido ao alto atrito)
❑ plástico
❑ material sinterizado
❑ Podem ser divididas em duas categorias:
1. Conformação
✓ Fundição
✓ Sinterização
✓ Molde de injeção
✓ Extrusão
✓ Repuxe a frio
✓ Estampagem
Fabricação
❖ Todos dentes feitos ao mesmo
tempo em um molde
❖ Precisão do dente
dependente da qualidade da
matriz
❖ Ferramentas de alto custo
❖ Produção de altas 
quantidades
❖ Em geral menos preciso que
usinagem
❑ Podem ser divididas em duas categorias:
1. Usinagem
✓ Fresagem
✓ Geração
por cremalheira
por pinhão cortador 
por fresa caracol
Fabricação
❖ Técnicas de remoção de
material para cortar ou polir a
forma do dente na 
temperatura ambiente
❖ Dentes suaves e preciso
❖ Quando requerido, alta
precisão e funcionamento 
silencioso
❑ Podem ser divididas em duas categorias:
1. Usinagem
✓ Fresagem
Fabricação
❑ Podem ser divididas em...
1. Usinagem
✓ Geração
por cremalheira (2)
Fabricação
❑ Podem ser divididas em duas categorias:
1. Usinagem
✓ Geração
por pinhão cortador (3)
Fabricação
❑ Podem ser divididas em duas categorias:
1. Usinagem
✓ Geração
por fresa caracol (4)
Fabricação
❑ Para evitar erros no perfil do dentes:
➢Antes do tratamento térmico
✓ Rebarbação
✓ Brunimento
➢Após o tratamento térmico
✓ Retifica
✓ Lapidação
Acabamento
❑ Engrenagens cônicas são aquelas que têm forma
de tronco de cone
❑ As engrenagens cônicas transmitem rotação
entre eixos concorrentes. Eixos concorrentes são
aqueles que vão se encontrar em um mesmo
ponto, quando prolongados.
Introdução
❑ Coroa
é a engrenagem com
maior número de dentes
❑ Pinhão
É a engrenagem com
menor número de dentes
Introdução
Introdução
❑ Embora essas engrenagens sejam geralmente
construídas para um ângulo entre eixos de 90°,
elas podem ser produzidas para quase qualquer
ângulo
❑ Os dentes podem ser
fundidos, fresados ou
gerados
*** Apenas os dentes 
gerados podem ser 
classificados como 
precisos ***
➢Nomenclatura
Folga 
Uniforme
Diâmetro 
Primitivo,𝒅𝒑
Cone traseiro
Ângulo 
Primitivo
𝜸
𝚪
Ângulo 
Primitivo
❑ O passo de tais engrenagens é medido na
extremidade maior do dente, e ambos, o passo
circular 𝒑 e o passo diametral 𝑷 , são calculados
da mesma maneira que para engrenagens
cilíndricas de dentes retos, ou seja:
𝒑 = 𝝅 ∙ 𝒎
e
𝑷 =
𝟏
𝒎
Passo – Engrenagens Cônicas
➢ÂngulosPrimitivos
Ângulo Primitivo
da Coroa
Ângulo Primitivo
do Pinhão
Folga 
Uniforme
Cone traseiro
Diâmetro 
Primitivo, 𝒅𝒑
𝜸
𝚪
tan 𝜸 =
𝑵𝑷
𝑵𝑮
𝒆 tan 𝚪 =
𝑵𝑮
𝑵𝑷
❑ onde:
→ 𝑵𝑷 (Número de dentes do Pinhão)
→ 𝑵𝑮 (Número de dentes da Coroa)
Ângulos Primitivos
→ Engrenagens Cônicas
❑ São definidos pelos cones primitivos que se
encontram no ápice (como mostrado no slide
anterior). Eles são relacionados ao número de
dentes, como segue:
➢ Folga Uniforme
Folga 
Uniforme
Diâmetro 
Primitivo,𝒅𝒑
Cone traseiro
Ângulo 
Primitivo
𝜸
𝚪
Ângulo 
Primitivo
❑ Deve ser observado que a folga é uniforme e, 
relacionada pela expressão:
𝒄 = 𝟎, 𝟏𝟖𝟖 ∙ 𝒎 + 𝟎, 𝟎𝟓𝟎𝟖 𝒎𝒎
Folga Uniforme
→ Engrenagens Cônicas
➢Diâmetro Primitivo
Folga 
Uniforme
Diâmetro 
Primitivo,𝒅𝒑
Cone traseiro
Ângulo 
Primitivo
𝜸
𝚪
Ângulo 
Primitivo
diâmetro
➢ Para o pinhão:
𝒅𝒑𝟏= 𝑵𝑷 ∙𝒎
➢ Para a coroa:
𝒅𝒑𝟐= 𝑵𝑮 ∙𝒎
Diâmetro Primitivo
→ Engrenagens Cônicas
❑ Calculado da mesma forma do
primitivo de ECDR
➢Número Virtual
de Dentes Ângulo 
Primitivo
Folga 
Uniforme
Diâmetro 
Primitivo,𝒅𝒑
Cone traseiro
𝜸
𝚪
Ângulo 
Primitivo
❑ A figura (ao lado) mostra
que a forma dos dentes,
quando projetada no cone
traseiro, é a mesma que
em uma engrenagem
cilíndrica de dentes retos
com um raio igual à
distância de cone traseiro
𝒓𝒕
❑ 𝒓𝒕 é conhecido também
como a aproximação de
Tredgold
Número Virtual de Dentes
→ Engrenagens Cônicas
*** É necessário saber o número virtual de projeto para a
resistência ***
Número Virtual de Dentes
→ Engrenagens Cônicas
❑ O Número virtual de dentes 𝑵′ é:
𝑁′ =
2𝜋𝑟𝑡
𝑝
❑ onde:
→ 𝒑 (passo circular)
Fonte: Shigley
➢Demais Relações
Engrenagens Cônicas
Tabela 13-3. Proporções de dimensões de dentes para dentes de 
engrenagens cônicas de dentes retos de 20°
❑ Um par de engrenagens cônicas de dentes retos, 
construídas com ângulo de pressão de 𝟐𝟎° e
módulo 𝑪𝑳𝑨𝑺𝑺𝑬 𝑰 de 𝟒𝒎𝒎 , possuem
respectivamente 𝟑𝟎 e 𝟏𝟐𝟎 𝒅𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔 e ângulo entre
eixos de 𝟗𝟎°
❑ Determine para esse par de engrenagens:
a) os ângulos primitivos
b) o passo circular e diametral
c) os diâmetros primitivos
d) largura da face do dente
Exercícios - 1
Introdução
❑ O par [sem-fim/coroa] consiste do acoplamento 
de um parafuso com uma engrenagem (a coroa)
❑ Consegue-se através deste par grandes reduções
(𝟏𝟎𝟎:𝟏)
coroa
parafuso com 
rosca sem-fim
➢Nomenclatura
Diâmetro de raiz
Diâmetro Primitivo, 𝒅𝒘
D
iâ
m
e
tr
o
 P
ri
m
it
iv
o
,
𝒅
𝑮
Cilindro Primitivo
Hélice
Parafuso 
sem-fim
Passo 
axial, 𝒑𝒙
Coroa 
sem-fim
Ângulo de Avanço, 𝝀
Avanço, 𝑳
Ângulo de Hélice,𝝍𝒘
❑ Para que haja engrenamento, o passo axial do
sem-fim 𝒑𝒙 deve ser igual ao passo circular
transversal da coroa 𝒑𝒕 (engrenagem helicoidal),
ou seja:
𝒑𝒙= 𝒑𝒕
Passos
→ Parafuso Sem-Fim
𝒑𝒙
𝒑𝒕
coroa
parafuso com 
rosca sem-fim
❑ Relembrando:
𝒑𝒕→ passo circular transversal (ECDH)
𝑝𝑡= 𝜋 ∙ 𝑚
𝒑𝒙→ passo axial (parafuso Sem-Fim)
𝑝𝑥= 𝑝𝑡
Passos
→ Parafuso Sem-Fim
❑ Atenção:
𝝍𝒘 é→ o ângulo de hélice do parafuso
normalmente muito grande
→ o ângulo de hélice da coroa 𝝍𝑮 é muito 
pequeno
Ângulo de Hélice
→ Parafuso Sem-Fim
Ângulo de Avanço
→ Parafuso Sem-Fim
❑ Por causa disso, é comum especificar o ângulo 
de avanço 𝝀 no sem-fim e o ângulo de hélice
𝝍𝑮 na coroa
Cilindro Primitivo
Hélice
Ângulo de Hélice,𝝍𝒘
𝝍𝒘 + 𝝀 = 𝟗𝟎°
Ângulo de Avanço, 𝝀
Avanço, 𝑳
❑ 𝒅𝑮→ diâmetro primitivo da coroa
𝑑𝐺 = 
𝑁𝐺 ∙ 𝑝𝑡
𝜋
❑ onde:
→ 𝒑𝒕 (passo circular transversal da Coroa)
→ 𝑵𝑮 (Número de dentes da Coroa)
Diâmetro Primitivo
→ Parafuso Sem-Fim
Diâmetro Primitivo, 𝒅𝒘
D
iâ
m
e
tr
o
 P
ri
m
it
iv
o
,
𝒅
𝑮
❑ 𝒅𝒘→ diâmetro primitivo do sem-fim
𝐶0,875
3,0
≤ 𝑑𝑤 ≤
𝐶0,875
1,7
❑ onde:
→ 𝑪 (distância entre centros)
→ diâmetro primitivo = diâmetro de passo
Diâmetro Primitivo
→ Parafuso Sem-Fim
Diâmetro Primitivo, 𝒅𝒘
D
iâ
m
e
tr
o
 P
ri
m
it
iv
o
,
𝒅
𝑮
(𝝀) ,
𝐿 = 𝑝𝑥 ∙ 𝑁𝑤
e
tan 𝜆 =
𝐿
𝜋 ∙ 𝑑𝑊
❑ onde:
→ 𝑵𝒘 (número de entradas do parafuso)
Avanço e Ângulo de Avanço
→ Parafuso Sem-Fim
❑ O Avanço (𝑳) e o Ângulo de Avanço
obedecem as seguintes relações
Adendo e Dedendo
→ Parafuso Sem-Fim
Fonte: Shigley
❑ A tabela 13-5 (Shigley), resume o que pode ser
considerado como boa prática para
profundidade do dente
Tabela 13-5. Ângulos de pressão recomendados e profundidades de 
dentes para engrenagens sem-fim
❑ A largura de face 𝑭𝑮 de um parafuso sem-fim
deve ser feita igual ao comprimento de uma
tangente ao círculo primitivo do sem-fim, entre
seus pontos de intersecção com o círculo de
adendo, como mostrado abaixo:
Largura da Face
→ Parafuso Sem-Fim
→ 𝐹𝐺≤ 𝑙𝑎𝑟𝑔𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑎 𝑐𝑜𝑟𝑜𝑎
❑ Dimensione uma parafuso sem-fim que se acople
a uma engrenagem helicoidal de 𝟔𝟎 𝒅𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔 ,
construídas com ângulo de pressão normal de 𝟐𝟎°
e ângulo de hélice de 𝟑𝟎°
❑ Adote:
módulo 𝑪𝑳𝑨𝑺𝑺𝑬 𝑰 de 𝟔 𝒎𝒎
ângulo entre eixos de 𝟗𝟎°
Número de entradas do parafuso → 𝟒
Distância entre centros → 𝟐𝟏𝟎𝒎𝒎
Exercícios - 1
❑ Considere o pinhão 1 (engrenagem motora) 
movendo uma coroa 2 (engrenagem movida).
Trem de Engrenagens
𝝎𝟏 𝝎𝟐+ −
𝒓𝟏
𝒓𝟐
Pinhão 1 -𝑵𝟏 Coroa 2 -𝑵𝟐
❑ Da relação entre raios e velocidades angulares, 
temos:
Trem de Engrenagens
𝝎𝟏 =
𝒓𝟐
𝝎𝟐 𝒓𝟏
𝒏𝟏 =
𝒅𝟐
𝒏𝟐 𝒅𝟏
𝝎𝟏 =
𝒅𝟐
𝝎𝟐 𝒅𝟏
𝒏𝟏 =
𝑵𝟐
𝒏𝟐 𝑵𝟏
𝒏𝟏 =
𝑵𝟐
𝑵𝟏
𝒏𝟐
❑ Portanto, a velocidade da engrenagem 
acionada (movida) é:
❑ Portanto, a velocidade da engrenagem 
acionada (movida) é:
Trem de Engrenagens
𝒏𝟏 =
𝑵𝟐
𝑵𝟏
𝒏𝟐
❑ em que:
→ 𝒏 (revoluções em [rpm])
→ 𝑵 (número de dentes da engrenagem)
❑ Essa expressão é aplicada para qualquer par de 
engrenagem (ECDR, ECDH, Cônicas e Sem-Fim)
❑ Sentido de rotação:
→ + (anti-horário)
→ − (horário)
➢ Dentes Retos e Dentes Helicoidais (eixos paralelos)
→ regra da mão direita (inverte a rotação)
➢ Cônicas
→ (mantém a rotação)
➢ Dentes Helicoidais (eixos cruzados) e Sem-fim
→ Figura 13.26 (Shigley) 
(próximo slide)
Trem de Engrenagens
➢ Figura 13.26 (Shigley)
❑ O trem de engrenagem mostrado abaixo, possui
5 engrenagens
Trem de Engrenagens
❑ a velocidade da engrenagem de saída (última 
engrenagem – 6) será:
Trem de Engrenagens
𝒏𝑳 = 𝒆 ∙ 𝒏𝑭
❑ Onde:
→ 𝒏𝑳 (velocidade da última engrenagem)
→ 𝒏𝑭 (velocidade da primeira engrenagem)
→ 𝒆 (valor do trem)
Trem de Engrenagens
❑ Onde:
→ 𝒆 (valor do trem)
𝒆 =
𝒑𝒓𝒐𝒅𝒖𝒕𝒐 𝒅𝒐 𝒏𝒖𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒅𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔𝒎𝒐𝒕𝒐𝒓𝒆𝒔
𝒑𝒓𝒐𝒅𝒖𝒕𝒐 𝒅𝒐 𝒏𝒖𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒅𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔𝒎𝒐𝒗𝒊𝒅𝒐𝒔
❑ Para o exemplo abaixo:
→ engrenagens motoras [𝟐, 𝟑,𝟓]
→ engrenagens movidas [𝟑, 𝟒,𝟔]
Trem de Engrenagens
Trem de Engrenagens
❑ Para o exemplo abaixo:
→ engrenagens motoras [𝟐, 𝟑,𝟓]
→ engrenagens movidas [𝟑, 𝟒,𝟔]
➢ Portanto:
𝒆 =
𝒑𝒓𝒐𝒅𝒖𝒕𝒐 𝒅𝒐 𝒏𝒖𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒅𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔𝒎𝒐𝒕𝒐𝒓𝒆𝒔
𝒑𝒓𝒐𝒅𝒖𝒕𝒐 𝒅𝒐 𝒏𝒖𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒅𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔𝒎𝒐𝒗𝒊𝒅𝒐𝒔
𝒆 = 
𝑵𝟐 ∙ 𝑵𝟑 ∙𝑵𝟓
𝑵𝟑 ∙ 𝑵𝟒 ∙𝑵𝟔
❑ Trens planetários sempre incluem uma engrenagem
sol (2), um carregador de planeta ou braço (3) e
uma ou mais engrenagens planetas (4)
Trem de Engrenagem
→ Planetário
Trem de Engrenagem
→ Planetário
❑ Trens de engrenagens planetárias são mecanismos
incomuns, uma vez que têm dois graus de liberdade;
isto é, para um movimento restringido, um trem
planetário deve dispor de duas entradas
❑ Nesse exemplo:
→ Entradas
Engrenagem sol (2)
Engrenagem anular (5)
→ Saída
Braço (3)
❑ Outro exemplo:
→ Entradas
Engrenagem sol (2)
Engrenagem planeta (5)
→ Saída
Braço (3)
Trem de Engrenagem
→ Planetário
❑ A velocidade angular de uma 
(entrada ou intermediária) em
engrenagem 
relação à
Trem de Engrenagem
→ Planetário
velocidade ao braço em [𝒓𝒑𝒎] é:
𝒏𝒙𝑩 = 𝒏𝒙 − 𝒏𝑩
❑ Onde:→ 𝒏𝒙 (velocidade da engrenagem em questão)
→ 𝒏𝑩 (velocidade do braço)
Trem de Engrenagem
→ Planetário
𝒏𝑳𝑩 𝒏𝑭𝑩❑ A razão expressa o valor do trem, ou
seja:
❑ (2) Entradas
Engrenagem de entrada (1) → sol → 𝒏𝑭
Engrenagem de entrada (2) → 𝒏𝑳
𝒏𝑳𝑩 = 𝒏𝑳 −𝒏𝑩
𝒏𝑭𝑩 = 𝒏𝑭 −𝒏𝑩
𝒆 =
𝒏𝑳𝑩
𝒏𝑭𝑩
𝒆 é determinado❑ Portanto, o valor do trem
através da seguinte relação:
Trem de Engrenagem
→ Planetário
𝒆 = 
𝒏𝑳 − 𝒏𝑩
𝒏𝑭 −𝒏𝑩
❑ Onde:
→ 𝒏𝑳 (velocidade da última engrenagem)
→ 𝒏𝑭 (velocidade da primeira engrenagem)
→ 𝒏𝑩 (velocidade do braço)
❑ Dado o trem de engrenagem abaixo, determine 
a rotação e o sentido de 𝒏𝟔
Exercícios - 1
(𝟏𝟐𝟎)
(𝟗𝟎)
(𝟓𝟎)
(𝟑𝟓)
(𝟏𝟎𝟎)
[𝟔𝟎𝟎 𝒓𝒑𝒎]
Exercícios - 2
❑ Na figura abaixo, a engrenagem sol é a engrenagem 
de entrada, sendo movida, em sentido horário, a
𝟏𝟎𝟎 𝒓𝒑𝒎. A engrenagem anular é mantida estacionária 
por meio de fixação à estrutura.
❑ Encontre a velocidade
em [𝒓𝒑𝒎], bem como a
direção de rotação do
braço e da engrenagem
𝟒.
❑ Repita o Exemplo 2, mas desta vez permita a rotação 
anti-horária da engrenagem anular a 𝟒𝟎 𝒓𝒑𝒎
Exercícios - 3
❑ A figura abaixo apresenta um trem de engrenagens
consistindo em um par de engrenagens mitrais (do
mesmo tamanho que as engrenagens cônicas), com
𝟏𝟔 𝒅𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔 cada, um pinhão sem-fim destro de
𝟒 𝒅𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔 e uma coroa sem-fim de 𝟒𝟎𝒅𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔.
❑ A velocidade da engrenagem 2 é fornecida por
𝒏𝟐 = +𝟐𝟎𝟎 𝒓𝒑𝒎 , o que corresponde à rotação anti-
horária em relação ao eixo y.
❑ Qual é a velocidade e a direção de rotação da coroa
sem-fim?
Exercícios - 4
❑ Qual é a velocidade e a direção de rotação da coroa 
sem-fim?
Exercícios - 4