Ficha_Análise de Correlação e de Regressão

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Por António Fernando Zucula, Ph.D terça-feira, 15 de junho de 2020 
Consulta: 1. Kazmier, Leonardo J. (1982). Estatística aplicada à economia e administração. São Paulo: McGraw-Hill. 
 2. Levin, Jack & Fox, James Alan. (2004). Estatística para ciências humanas. São Paulo: Printice Hall 
 3. Reis, Elizabeth. (2000). Estatística descritiva. Lisboa: Edições Sílabo, Lda. 
 
1 
 
ANÁLISE DE CORRELAÇÃO E DE REGRESSÃO 
 
1. Introdução 
A estatística, na análise de dados, frequentemente procura verificar ou medir as relações qualitativas ou 
quantitativas entre processos económicos ou sociais. 
Exemplo 1: 
a) A relação entre a idade e a produtividade de um operário; 
b) A relação entre o peso e a idade de um indivíduo; 
c) A relação entre o nº de alunos por turma e o seu rendimento académico. 
 
Por vezes certos fenómenos em estudo não se descrevem apenas através de uma variável, sendo necessária a 
observação de duas (ou mais) variáveis para se ter uma visão global do problema. Quando tal ocorre, cada unidade 
estatística contribui com um conjunto de dois valores (ou variáveis) passando a trabalhar-se com dados bivariados 
(os anteriormente estudados eram univariados). 
 
Exemplo 2: 
 
a) Altura e peso de uma dada população; 
b) Renda familiar e número de elementos da família. 
 
2. Objectivo principal da análise de correlação e regressão 
 Avaliar quantitativamente a influência de outros factores no relacionamento entre fenómenos; 
 Avaliar a velocidade de mudança dos resultados recebidos quando se variam os factores independentes; 
 Determinar a presença e o sentido da relação entre fenómenos; 
 Encontrar um critério (modelo ou fórmula) que permite com exactidão estabelecer o tipo de 
relacionamento entre as variáveis. 
 
3. Diagrama de dispersão ou nuvem de pontos 
Uma maneira de visualizarmos se duas variáveis se apresentam correlacionadas é através do diagrama de 
dispersão ou nuvem de pontos, no qual os valores das variáveis são representados por pontos, num sistema 
cartesiano. Esta representação é feita sob forma de pares ordenados (xi; yi), onde xi é um valor observado de uma 
variável e yi é o correspondente valor da outra variável. As Figuras abaixo mostram quatro diagramas de dispersão, 
relativos aos cruzamentos de algumas variáveis, através dos mesmos pode concluir se que existe uma relação entre 
as variáveis. 
 
Por António Fernando Zucula, Ph.D terça-feira, 15 de junho de 2020 
Consulta: 1. Kazmier, Leonardo J. (1982). Estatística aplicada à economia e administração. São Paulo: McGraw-Hill. 
 2. Levin, Jack & Fox, James Alan. (2004). Estatística para ciências humanas. São Paulo: Printice Hall 
 3. Reis, Elizabeth. (2000). Estatística descritiva. Lisboa: Edições Sílabo, Lda. 
 
2 
 
 
Exemplo 3: 
Vamos ver um exemplo mais concreto. Usando o banco de dados hipotético para representar num diagrama de 
dispersão a relação entre as idades dos 16 cônjuges na data dos seus nascimentos, onde x é a variável no eixo 
horizontal (idade do Marido) e y é a variável no eixo vertical (idade da Mulher). Neste caso específico só há valores 
positivos, mas nada impede que haja valores negativos para x e y em outros exemplos. 
 Tabela 1: Idades dos 16 cônjuges na data dos seus nascimentos. 
X 18 20 21 21 22 23 23 23 24 25 25 26 26 26 28 28 
Y 17 20 20 22 22 21 22 23 23 24 25 23 25 27 26 27 
 
(a) linear positiva (b) linear negativa
(c) não há relação (d) curvilinear
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0 5 10 15 20 25
Série1
0
2
4
6
8
10
12
0 2 4 6 8 10 12
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0 2 4 6 8 10 12
0
1
2
3
4
5
6
7
0 2 4 6 8 10 12
Série1
 
Por António Fernando Zucula, Ph.D terça-feira, 15 de junho de 2020 
Consulta: 1. Kazmier, Leonardo J. (1982). Estatística aplicada à economia e administração. São Paulo: McGraw-Hill. 
 2. Levin, Jack & Fox, James Alan. (2004). Estatística para ciências humanas. São Paulo: Printice Hall 
 3. Reis, Elizabeth. (2000). Estatística descritiva. Lisboa: Edições Sílabo, Lda. 
 
3 
 Figura 1: Diagrama de dispersão referente à idades dos 16 cônjuges na data dos seus nascimentos. 
 
Cada ponto representa o valor de x e de y para uma dada observação. Neste caso temos duas variáveis cuja relação 
queremos estudar – “Idada do Marido” e “Idade da Mulher”. Os valores observados são os apresentados na tabela 
acima. 
 
Este diagrama, de forma intuitiva, permite-nos concluir que talvez exista uma correlação (linear) entre as duas 
variáveis em estudo. Logo, através do diagrama de dispersão ou nuvem de pontos podemos, por observação, 
concluir acerca da existência ou não da correlação linear entre duas variáveis. 
 
 
4. Divisão da teoria de correlação e regressão linear simples 
A teoria de correlação e regressão divide-se em duas partes, a saber: 
 
4.1 Correlação 
A correlação é uma unidade estatística que mostra o grau de relacionamento (associação) entre as variáveis. 
Quando o coeficiente de correlação for calculado para duas variáveis dizemos que a correlação é simples e quando 
é calculado para mais de duas variáveis dizemos que a correlação é múltipla (multivada). 
 
4.2 O coeficiente de correlação linear de Pearson ( xyr ) 
O coeficiente de correlação linear entre as duas variáveis x e y, procura medir a relação entre as duas variáveis e 
é dado pela expressão: 
 
 
 
15
17
19
21
23
25
27
29
15 17 19 21 23 25 27 29
Id
a
d
e 
d
a
 M
u
lh
er
Idade do Marido
Diagrama de Dispersão
 
Por António Fernando Zucula, Ph.D terça-feira, 15 de junho de 2020 
Consulta: 1. Kazmier, Leonardo J. (1982). Estatística aplicada à economia e administração. São Paulo: McGraw-Hill. 
 2. Levin, Jack & Fox, James Alan. (2004). Estatística para ciências humanas. São Paulo: Printice Hall 
 3. Reis, Elizabeth. (2000). Estatística descritiva. Lisboa: Edições Sílabo, Lda. 
 
4 
 
2
11
2
2
11
2
1 1 1
.
...



























  

  
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
n
i
n
i
iiii
xy
yynxxn
yxyxn
r
 
Onde: n é o número de pares de valores (xi,yi) observados. 
 
∑(xi.yi): fazem-se os produtos x.y, referente a cada par de observações e, depois, efetua-se a soma; 
∑xi: somam-se os valores da variável X; 
∑yi: somam-se os valores da variável Y; 
∑xi2: eleva-se ao quadrado cada valor de X e, depois, efetua-se a soma; e 
∑yi2: eleva-se ao quadrado cada valor de Y e, depois, efetua-se a soma. 
 
Ou ainda pode ser dada pela expressão: 𝑟𝑥𝑦 =
𝛿𝑥𝑦
√𝛿𝑥
2∗𝛿𝑦
2
=
𝛿𝑥𝑦
𝛿𝑥∗𝛿𝑦
 
Nesta definição está implícita a definição de uma medida que dá uma ideia da variabilidade conjunta entre as 
variáveis e que se denomina covariância amostral: 
  yyxx
n
i
n
i
ixy 

 
11
1

 
 Onde: xy é a covariância de x e y (dispersão conjunta); 
x é o desvio padrão de x (dispersão de x), dada pela expressão 𝛿𝑥 = √𝑥2̅̅ ̅ − (�̅�)² . 
e y é o desvio padrão de y (dispersão de y), dada pela expressão 𝛿𝑦 = √𝑦2̅̅ ̅ − (�̅�)². 
 
4.3 Propriedades de Correlação linear simples ( xyr ) 
 O coeficiente de correlação linear é um número do intervalo  1;1 ou 11  xyr em que: 
  1xyr Correlação negativa muito forte ou perfeita; 
  5,01 xyr Correlação negativa forte; 
  05,0 xyr Correlação negativa fraca; 
  0xyrCorrelação nula (não existe relação entre as variáveis); 
  5,00 xyr Correlação positiva fraca; 
 
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  15,0 xyr Correlação positiva forte; 
  1xyr Correlação positiva muito forte ou perfeita. 
  1xyr Correlação positiva muito forte ou perfeita. 
 
 +1 Correlação linear positiva (perfeita) 
 
 0,5 Correlação linear positiva (forte) 
 
 0 Correlação linear nula 
 
 -0,5 Correlação linear negativa (forte) 
 
 
 -1 Correlação linear negativa (perfeita) 
 
Observação: Convém estar em alerta quanto a interpretação do coeficiente de correlação linear: 
 O coeficiente de correlação linear, apesar de se expressão em percentagem, ele não é uma percentagem. 
Assim, uma correlação de 0,30 não corresponde 30% da correlação perfeita; 
 Os coeficientes de correlação não constituem uma escala de intervalo, isto é, 0,40 não é o dobro de 0,20. 
Da mesma forma que as diferenças entre 0,30 e 0,40 e entre 0,80 e 0,90 não estatisticamente iguais; 
 As variáveis x e y devem possuir escalas de intervalo ou de razão, caso contrário deve-se aplicar outras 
estatísticas para medir o grau da associação; 
 O uso de coeficiente de correlação simples é impróprio para medir uma relação curvilínea. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exemplo 4: Uma pesquisa sobre a demanda de mercado de um produto Z levou à seguintes escala de demanda. 
 
Tabela 2: Demanda de mercado de um produto Z 
i Dados cálculos intermediários 
Xi yi xi2 yi2 xi.yi 
1 101 3,2 10201 10,24 323,2 
2 193 4,6 37249 21,16 887,8 
3 42 2,8 1764 7,84 117,6 
4 304 6,5 92416 42,25 1976,0 
5 42 2,0 1764 4,00 84,0 
6 152 1,9 23104 3,61 288,8 
7 55 2,9 3025 8,41 159,5 
8 105 5,3 11025 28,09 556,5 
9 68 2,7 4624 7,29 183,6 
10 219 3,1 47961 9,61 676,9 
11 129 3,1 16641 9,61 399,9 
12 42 1,2 1764 1,44 50,4 
∑ 1452 39,3 251538 153,55 5706,2 
Notação ∑x ∑y ∑ xi2 ∑yi2 ∑ xi.yi 
 
2
11
2
2
11
2
1 1 1
.
...



























  

  
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
n
i
n
i
iiii
xy
yynxxn
yxyxn
r
 
 
Logo, 𝑟𝑥𝑦= 
12∗(5706,2)−(1452)∗(39,2)
√(12(251538)−(1452)2 )∗(12(153,55)−(39,3)2) 
= 0,69 
 
Interpretação: O grau de associação ou a relação entre as variáveis x e y é de 0,99, isto significa que existe um 
relacionamento positivo forte ou uma correlação positiva forte entre as variáveis x e y. 
 
5. Teste de significância do coeficiente de correlação linear (Teste de significância sobre r) 
Muitas vezes, temos o interesse em testar a existência de correlação entre duas variáveis, X e Y, a. partir de uma 
amostra de observações pares (x, y). Nestes casos, além de mensurar o grau de correlação observado nos dados, 
queremos, também, testar as seguintes hipóteses, relativas à população em estudo. 
 
Por António Fernando Zucula, Ph.D terça-feira, 15 de junho de 2020 
Consulta: 1. Kazmier, Leonardo J. (1982). Estatística aplicada à economia e administração. São Paulo: McGraw-Hill. 
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 3. Reis, Elizabeth. (2000). Estatística descritiva. Lisboa: Edições Sílabo, Lda. 
 
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 Ho: As variáveis X e Y são não correlacionadas, ou seja, Ho: xyr = 0 
 H1: As variáveis X e Y são correlacionadas, ou seja, H1: xyr ≠ 0 
podendo, ainda, a hipótese alternativa indicar o sentido da correlação (teste unilateral), tal como, H1: X e Y são 
correlacionadas positivamente ou H1”: X e Y são correlacionadas negativamente. O teste unilateral é aplicado 
nos casos em que já se espera o coeficiente de correlação com determinado sinal (+ ou -). 
Para verificar se o relacionamento entre duas variáveis x e y, é significativa ou não, usa-se o teste t de Student. O 
valor observado do teste, calcula-se pela expressão: 𝑡𝑜𝑏𝑠= r ∗ √
𝑛−2
1−𝑟2
 . Mediante a tabela dos pontos críticos da 
distribuição t de student, dado nível de significância (α), e o número de grau de liberdade (gl = k = n – 2), calcula-
se o 𝑡𝑐𝑟𝑖. 
 
5.1 Regras de decisão 
 Se |𝑡𝑜𝑏𝑠| < 𝑡𝑐𝑟𝑖 → aceita-se a ideia de que a correlação entre as variáveis é nula, isto é, a correlação não 
é significativa. 
 Se |𝑡𝑜𝑏𝑠| > 𝑡𝑐𝑟𝑖 → rejeita-se a ideia de que a correlação entre as variáveis é nula, isto é, a correlação é 
significativa. 
 
 
Exemplo 5: Verificar se o coeficiente de correlação obtido no exemplo 4 é significativa ou não. Use o nível de 
confiança (probabilidade) de 0,95. 
Para verificar se o coeficiente de correlação obtido no exemplo 4 é significativa ou não ao nível de confiança de 
0,95. Devemos seguir os seguintes passos: 
 
Passo 1. Formular as seguintes hipóteses: 
 Ho: xyr = 0 (a correlação entre as variáveis x e y não é significativa) 
 H1: xyr ≠ 0 (a correlação entre as variáveis x e y é significativa) 
Dados do problema: 
xyr = 0,69; n = 12; k = n – 2; β = 0,95 → 𝛼 =1-0,95 = 0,05 
 
Passo 2. Cálculo do valor observado (𝒕𝒐𝒃𝒔) 
 𝑡𝑜𝑏𝑠= r ∗ √
𝑛−2
1−𝑟2
 = 0,69 *√
12−2
1−(0,69)2
 =13,2 
 
Passo 3. Cálculo do valor crítico (𝒕𝒄𝒓𝒊) 
 𝑡𝒄𝒓𝒊 = 𝑡1−𝛼(k; α) = 𝑡0,95(10; 0,05) = 2,23 
 
 
 
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Passo 4. Comparação 
 |𝑡𝑜𝑏𝑠| > 𝑡𝑐𝑟𝑖 , 𝑝𝑜𝑖𝑠 13,2 > 2,23 
 
Passo 5. Interpretação 
Com o nível de significância de 0,05. Pode-se concluir que a correlação entre as variáveis é significativa. Ou seja, 
rejeita-se a hipotese nula. 
 
Observação 
Se forem conhecidos os valores críticos dos coeficientes de Pearson, o teste de significância da correlação entre as 
duas variáveis pode ser feito comparando os dois valores das correlações observados e críticos, de salientar que as 
regas de decisão são as mesmas. 
 
Exemplo 6: Suponha-se, que uma economista estuda a relação entre os custos unitários do factor trabalho e o 
índice de preço no produtor com o objetivo de fazer previsões sobre a últimavariável a partir de valores conhecidos 
da primeira. Para tal tem disponíveis dados desde 2011 até 2018. Determinar o coeficiente de correlação das 
variáveis crescimento do custo unitário do trabalho (x) e do índice de preços no produtor (y). Verifique também a 
significação do coeficiente de correlação ao nível de 0,05 e de 0,01. 
 
Resolução: 
Tabela 3: Custos unitários do fator trabalho e o índice de preço no produtor 
Ano Dados Cálculos intermédio 
𝑥𝑖 𝑦𝑖 𝑥𝑖 − �̅� 𝑦𝑖 − �̅� (𝑥𝑖 − 𝑥 ̅)(𝑦𝑖 − �̅�) 𝑥𝑖
2 𝑦𝑖
2 
2012 7,8 10,8 - 0,5 1,9 0,95 60,84 116,64 
2013 5,7 4,4 - 2,6 - 4,6 11,96 32,49 19,36 
2014 6,1 6,5 - 2,2 - 2,5 5,5 37,21 42,25 
2015 7,7 7,8 - 0,6 - 1,2 0,72 59,29 60,84 
2016 11,2 11,1 2,9 2,1 6,09 125,44 123,21 
2017 11,2 13,5 2,9 4,5 13,05 125,44 182,25 
2018 8,3 9,2 0 0,2 0 68,89 84,64 
∑ 58 63,3 38,27 509,6 629,19 
 �̅� = 8,3 �̅� = 9 𝑥2̅̅ ̅ = 72,8 𝑦2̅̅ ̅ = 89,9 
 (�̅�)2 = 68,89 (�̅�)2 = 81 
 
Pela fórmula da covariância, abaixo teremos: 
 
𝛿𝑥𝑦 =
1
𝑛 − 1
∑(𝑥𝑖 − 𝑥 ̅)(𝑦𝑖 − �̅�) =
38,27
7
= 5,46 
 
 
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𝛿𝑥 = √𝑥
2̅̅ ̅ − (�̅�)² = √72,8 − 68,89 = 1,97 e 𝛿𝑦 = √𝑦
2̅̅ ̅ − (�̅�)2 = √89,9 − 81 = 2,98. 
 
∴ 𝑟𝑥𝑦 =
𝛿𝑥𝑦
√𝛿𝑥
2 ∗𝛿𝑦
2
=
𝛿𝑥𝑦
𝛿𝑥∗𝛿𝑦
=
5,46
1,97∗2,98
= 0,93 
 
Resposta: o coeficiente de correlação entre as duas variáveis é de 0,93. 
 
 
Verificação da significação do coeficiente de correlação ao nível de 0,05 e de 0,01. 
 
Passo 1. Formulação das hipóteses: 
 Ho: 𝑟𝑥𝑦 = 0 (a correlação entre as variáveis x e y não é significativa) 
 H1: 𝑟𝑥𝑦 ≠ 0 (a correlação entre as variáveis x e y é significativa) 
 
Passo 2. Dados do problema 
𝑟𝑥𝑦 = 0,93; n = n − 2 = 5; β = 0,95 = 95% → α = 1 − 0,95 = 0,05 = 5% e β = 0,99 = 99% → α = 0,01 
𝑟𝐶𝑟𝑖(5; 0,01) = 0,8745 𝑒 𝑟𝐶𝑟𝑖 (5; 0,05) = 0,7545 
 
Resposta ou interpretação: Comparando os valores críticos para 1% como para 5%, deve-se admitir que a 
correlação entre o crescimento do custo unitário do trabalho (x) e do índice de preços no produtor (y) é 
estatisticamente significativa, isto é, aceita-se a H1: 𝑟𝑥𝑦 ≠ 0. 
 
6. Regressão linear simples 
 
O termo regressão surgiu com os trabalhos de Galton no final do século passado. Estes trabalhos procuravam 
explicar certas características de um indivíduo a partir das características de seus pais. Galton acreditava que os 
filhos de pais excepcionais com respeito a determinada característica, também possuíam esta característica, porém, 
numa intensidade, em média, menor do que a média de seus pais. 
Os estudos de Galton baseavam-se em observações empíricas. Em um destes trabalhos ele relacionou centenas de 
alturas de indivíduos, com as respectivas alturas médias de seus pais. 
 
Exemplo 7: (Tabela abaixo). Vamos considerar uma parte do problema que gerou o primeiro estudo de regressão, 
realizado por Galton, por volta de 1885. A Tabela apresenta algumas observações coletadas por Galton. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Tabela 4: Alturas de indivíduos (Y) e alturas médias de seus pais (X), medidas em centímetros. 
X Y X Y X Y X Y 
164 166 164 168 166 166 166 168 
166 171 166 173 169 166 169 168 
169 171 169 173 171 166 171 168 
171 171 171 173 171 176 173 168 
173 171 173 176 173 178 176 171 
176 173 176 176 178 176 178 178 
 
Figura 2: Diagrama de dispersão dos dados da tabela 4. 
 
 
Supondo que os dados flutuem em tomo de alguma estrutura de relacionamento entre X e Y, a Figura a seguir 
ilustra dois modelos matemáticos para esta estrutura. A reta (A): y = x indica que, em média, os filhos têm alturas 
iguais a altura média de seus pais, enquanto que a reta (B) representa a hipótese de Galton, a qual afirma que existe 
uma tendência de que filhos de pais altos tenham alturas inferiores às alturas médias de seus pais, enquanto os 
filhos de pais baixos tenham alturas superiores às alturas médias de seus pais. 
 
7. Modelo da regressao linear simples 
O modelo estatístico-matemático de regressão, em sua formulação mais simples, relaciona uma variável 
Y, chamada de variável resposta ou dependente, com uma variável X, denominada de variável 
explicativa ou independente. 
 
 
 
 
 
 
 
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Quadro 1 
Variável independente (explicativa), X → Variável dependente (explicada), Y 
Renda → Consumo (em dinheiro) 
Gasto com controle de qualidade → Número de defeitos nos produtos 
Memória ram do computador (gb) → Tempo de resposta do sistema (segundos) 
Precedentes → Sentenças (em meses) 
Crescimento do custo unitário do trabalho → Índice de preços no produtor 
 
Matematicamente os dados do Quadro 1 acima traduzem pela expressão: 
 
𝑌 = 𝛼 + 𝛽𝑋 + 𝜀 
 
Onde: 𝜺 representa o efeito aleatório, isto é, o efeito de uma infinidade de fatores que estão afetando a 
observação y de forma aleatória. Por exemplo, a altura de um indivíduo (y) não depende somente da 
altura média de seus pais (x), mas, também, de sua alimentação, do genótipo de seus ancestrais e de uma 
infinidade de outros fatores, representados no modelo por 𝜺. 
O parâmetro (termo) 𝜶, chamado intercepto Y , refere-se ao nível esperado de Y quando X = 0 (não há 
antecedentes), implica 𝜶 = 𝒚. 
O parâmetro (termo) 𝜷, chamado inclinação (ou coeficiente angular da recta de regressão) para X, 
representa o valor da variação de Y (aumento ou diminuição) para cada variação de uma unidade em X. 
Ou seja, fornece uma estimativa de variação esperada de Y, a partir de variação de uma unidade em X. 
 
Figura 3: Modelo de regressão linear dos dados da tabela 4. 
 
 
 
Por António Fernando Zucula, Ph.D terça-feira, 15 de junho de 2020 
Consulta: 1. Kazmier, Leonardo J. (1982). Estatística aplicada à economia e administração. São Paulo: McGraw-Hill. 
 2. Levin, Jack & Fox, James Alan. (2004). Estatística para ciências humanas. São Paulo: Printice Hall 
 3. Reis, Elizabeth. (2000). Estatística descritiva. Lisboa: Edições Sílabo, Lda. 
 
12 
8. Estimativas dos parâmetros 𝛂 e 𝛃 
A idéia básica da construção da parte estrutural do modelo, supostamente linear, é encontrar a reta que passe mais 
próxima possível dos pontos observados. Representaremos esta reta por 
�̂� = 𝛼 + 𝛽𝑋 
e a chamaremos de reta deregressão ou equação de regressão é: 
 
Figura 4 
.
Y
Xi
(Xi, Yi)
X
iBXAYi ˆ
__
Y
iYYi
ˆ
__
YYi  __^
YYi
 
O chamado método de mínimos quadrados (MMQ) fornece as seguintes expressões para a equação de regressão: 
 
 𝑏 =
𝑛∑𝑋𝑌 − ∑𝑋∑𝑌
𝑛∑𝑋2 − (𝑋)²
 ou 𝑏 =
∑(𝑋 − �̅�)(𝑌 − �̅�)
∑(𝑋 − �̅�)²
 ou b = 
∑𝑋𝑌 − 𝑁�̅�𝑌 ̅
∑𝑋2 − 𝑁�̅�2
 
 
e o intercepto 𝑎 = �̅� − 𝑏�̅� . 
Onde: ∑(𝑋 − �̅�)(𝑌 − �̅�) = 𝑆𝑃 = 𝑆𝑜𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜𝑠; 
∑(𝑋 − �̅�)2 = 𝑆𝑄𝑥 
n: número de pares (x, y) observados (tamanho da amostra); 
∑(X.Y): somatório dos produtos x.y (primeiramente fazem-se os produtos x.y, relativos a todos os pares observados 
e, depois, efetua-se a soma dos resultados destes produtos); 
∑X: soma dos valores observados da variável X; 
∑Y: soma dos valores observados da variável Y; e 
∑𝑋2: soma dos quadrados dos valores de X (primeiro elevam-se os valores de X ao quadrado e, depois, efetua-se 
a soma). 
 
 
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Consulta: 1. Kazmier, Leonardo J. (1982). Estatística aplicada à economia e administração. São Paulo: McGraw-Hill. 
 2. Levin, Jack & Fox, James Alan. (2004). Estatística para ciências humanas. São Paulo: Printice Hall 
 3. Reis, Elizabeth. (2000). Estatística descritiva. Lisboa: Edições Sílabo, Lda. 
 
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Exemplo 8: Ilustraremos a obtenção da equação de regressão, com os dados da tabela 3 (exemplo 7). 
 
Tabela 5: Custos unitários do fator trabalho e o índice de preço no produtor 
Ano Dados Cálculos intermédio 
𝑥𝑖 𝑦𝑖 𝑥𝑖 − �̅� 𝑦𝑖 − �̅� (𝑥𝑖 − 𝑥 ̅)(𝑦𝑖 − �̅�) 𝑥𝑖
2 (𝑥𝑖 − �̅� )² 
2012 7,8 10,8 - 0,5 1,9 0,95 60,84 0,25 
2013 5,7 4,4 - 2,6 - 4,6 11,96 32,49 6,75 
2014 6,1 6,5 - 2,2 - 2,5 5,5 37,21 4,84 
2015 7,7 7,8 - 0,6 - 1,2 0,72 59,29 0,36 
2016 11,2 11,1 2,9 2,1 6,09 125,44 8,41 
2017 11,2 13,5 2,9 4,5 13,05 125,44 8,41 
2018 8,3 9,2 0 0,2 0 68,89 0 
∑ 58 63,3 38,27 509,6 29,02 
 �̅� = 8,3 �̅� = 9 𝑥2̅̅ ̅ = 72,8 𝑆𝑄𝑥 = 29,02 
 (�̅�)2 = 68,89 (�̅�)2 = 81 
 
 
𝑏 =
∑(𝑋 − �̅�)(𝑌 − �̅�)
∑(𝑋 − �̅�)²
=
38,27
29,02
= 1,31 
 
𝑎 = �̅� − 𝑏�̅� = 9 − 1,31(8,3) = −1,87 ∴ 𝑌 ̂ = 𝛼 + 𝛽𝑋 → �̂� = −1,87 + 1,31𝑋 . 
 
Figura 5: Recta de regressão dos dados da tabela 5 
 
 
Interpretacao da recta de regressão 
Com respeito aos sete anos observados, podemos predizer o índice de preço no produtor (Y) de , a partir de um 
dado custo do fator de trabalho (X), através da equação: �̂� = −𝟏, 𝟖𝟕 + 𝟏, 𝟑𝟏𝑿. Por exemplo, para um dado custo 
do fator de trabalho de x = 9, temos uma estimativa para o índice de preço no produtor �̂� = −𝟏, 𝟖𝟕 + 𝟏, 𝟑𝟏 (𝟗) =
𝟗, 𝟗𝟐. 
 
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Consulta: 1. Kazmier, Leonardo J. (1982). Estatística aplicada à economia e administração. São Paulo: McGraw-Hill. 
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 3. Reis, Elizabeth. (2000). Estatística descritiva. Lisboa: Edições Sílabo, Lda. 
 
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O coeficiente b, que no caso é 1,31, fornece uma estimativa da variação esperada de Y, a partir da variação de uma 
unidade em X. O sinal deste coeficiente indica o sentido do relacionamento. Como é positivo, indica uma 
correlação positiva entre as variáveis X e Y, para os sete observados em estudo. 
 
9. Medição do modelo de regressão 
Para medir o grau de explicabilidade que a variável de causa tem sobre a variável de resultado no modelo de 
regressão calculam-se a redução proporcional do erro (RPE) e o coeficientes de determinação (
2R ), partindo das 
variações explicadas e não explicadas. 
 
9.1 Variação explicada e não explicada 
Ao ajustar uma equação de regressão aos dados, podemos estar interessados em verificar o quanto as variações da 
variável dependente, Y, podem ser explicadas por variações da variável independente, X, segundo o modelo 
especificado e a amostra observada. Vamos, então, desenvolver alguns procedimentos que permitem fazer este 
tipo de análise. 
Para cada valor x observado (ou estabelecido), temos o correspondente valor observado da variável Y, representado 
por y, e o valor predito pelo modelo: �̂� = −𝟏, 𝟖𝟕 + 𝟏, 𝟑𝟏𝑿. Por exemplo, para o par observado (X = 5,7 e Y 
= 4,4) temos o próprio valor observado de Y (y = 4,4) e o valor predito pela equação de 
Regressão: �̂� = −1,87 + 1,31 (5,7) = 5,597. Temos o erro de predição de 𝜀 = 𝑌 − �̂� = 4,4 − 5,6 = −1,2 
Sendo �̅� a média aritmética dos valores de Y e sendo 𝑌 ̂os valores preditos pela equação de regressão, vamos 
considerar os seguintes desvios; 
a) 𝑌 − 𝑌 ̅(desvios em relação à média dos valores de Y e, portanto, não leva em consideração a relação entre Y e 
X); 
b) 𝑌 − �̂� (desvios em relação aos valores preditos pela equação de regressão - são os chamados resíduos, pois, 
mesmo levando em conta a relação entre Y e X, ainda não se tem uma predição exata dos valores observados devido 
ao efeito aleatório); e 
c) �̂� − �̅� (desvios dos valores preditos em relação à média dos valores de Y - é a diferença entre os dois desvios 
anteriores e corresponde à parcela do desvio total, 𝑌 − 𝑌 ̅, explicada pelo modelo de regressão). 
A seguir apresentamos as somas dos quadrados dos desvios: 
 
a) ∑(𝑌 − �̅�)2 = 𝑆𝑄𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 (soma dos quadrados dos desvios de cada valor em relação à média) é uma medida da 
variacao total dos valores de Y; 
b) ∑(𝑌 − �̂�)
2
= 𝑆𝑄𝐸𝑟𝑟𝑜 = 𝜀² (sorna quadrática dos resíduos) pode ser interpretada como uma medida da variação 
não explicada pelo modelo de regressão ou variação residual e 
c) ∑(�̂� − �̅�)
2
= S𝑄𝑅𝑒𝑔 (soma dos quadrados dos desvios dos valores preditos em relação à média): é uma medida 
da parcela da variação de Y explicada pelo modelo de regressão. 
 
 
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Consulta: 1. Kazmier, Leonardo J. (1982). Estatística aplicada à economia e administração. São Paulo: McGraw-Hill. 
 2. Levin, Jack & Fox, James Alan. (2004). Estatística para ciências humanas. São Paulo: Printice Hall 
 3. Reis, Elizabeth. (2000). Estatística descritiva. Lisboa: Edições Sílabo, Lda. 
 
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O valor preditivo da equação de regressão reside em sua capacidade de reduzir o erro de predição, isto é, até que 
ponto ∑(𝑌 − �̂�)
2
= 𝑆𝑄𝐸𝑟𝑟𝑜 = 𝜀² é menor do que ∑(𝑌 − �̅�)
2 = 𝑆𝑄𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 . A diferença entre as duas é a soma de 
quadrados que X pode explicar, chamada soma de quadrados de regressão (ou soma de quadrados explicada). 
 
 ∑(�̂� − �̅�)
2
= S𝑄𝑅𝑒𝑔 = ∑(𝑌 − �̅�)
2 = 𝑆𝑄𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 - ∑(𝑌 − �̂�)
2
= 𝑆𝑄𝐸𝑟𝑟𝑜 = 𝜀² 
 
 Não conhecendo X Conhecendo X 
Valor efectivo Y Y 
Valor predito �̅� �̂� = −1,87 + 1,31𝑋 
Erro de predição 𝑌 − 𝑌 ̅ 𝑌 − �̂� 
Soma de quadrados ∑(𝑌 − �̅�)2 = 𝑆𝑄𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 ∑(𝑌 − �̂�)
2
= 𝑆𝑄𝐸𝑟𝑟𝑜 = 𝜀² 
Diferença S𝑄𝑅𝑒𝑔 = 𝑆𝑄𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 - 𝑆𝑄𝐸𝑟𝑟𝑜 
 
 
Exemplo 9: 
Tabela 6. Custos unitários do fator trabalho e o índice de preço no produtor 
Ano Dados Cálculos intermédio 
𝑥𝑖 𝑦𝑖 �̂� = −1,35 + 1,25𝑋 𝑦𝑖 − �̅� (�̂� − �̅�)
2
 (𝑌 − �̂�)
2
 (𝑌 − �̅� )² 
2012 7,8 10,8 8,4 1,9 0,36 5,76 3,24 
2013 5,7 4,4 5,78 - 4,6 10,37 1,90 21,16 
2014 6,1 6,5 6,28 - 2,5 7,39 0,05 6,25 
2015 7,7 7,8 8,37 - 1,2 0,39 0,32 1,44 
2016 11,2 11,1 12,65 2,1 13,32 2,40 4,41 
2017 11,2 13,5 12,65 4,5 13,32 0,72 20,25 
2018 8,3 9 11,74 0,2 7,51 2.74 0,04 
∑ 58 63,3 52,66 11,15 56,79 
 �̅� = 9Com os dados obtidos, podemos expressar a capacidade de uma recta de regressão de fazer predições no que é 
conhecido como redução proporcional do erro (RPE), ou seja, a proporção do erro de predição que pode ser 
reduzida desde que conheça a variável independente. A redução proporcional do erro (RPE) devida a X é: 
 
𝑅𝑃𝐸 =
𝑆𝑄𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 − 𝑆𝑄𝑒𝑟𝑟𝑜
𝑆𝑄𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
=
𝑆𝑄𝑟𝑒𝑔
𝑆𝑄𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
=
52,66
56,79
= 0,93 ou 93% 
 
Assim, é possível reduzir 0,93 (ou 93%) do erro na predição do índice de preço no produtor levando-se em conta 
o custo unitário do fator trabalho. Colocado de outro modo, 93% da variância do índice de preço no produtor é 
explicado pelo custo unitários do fator trabalho. 
 
 
 
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9.2 Coeficiente de determinação 
 
Denomina-se de coeficiente de determinacao à seguinte razão: 
 𝑅2 =
𝑆𝑄𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 − 𝑆𝑄𝑒𝑟𝑟𝑜
𝑆𝑄𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
=
𝑆𝑄𝑟𝑒𝑔
𝑆𝑄𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
=
∑(�̂� − �̅�)²
∑(𝑌 − �̅�)²
=
𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜 𝑒𝑥𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎
𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
 
 
O coeficiente de determinação é uma medida descritiva da proporção da variação de Y que pode ser explicada por 
X, segundo o modelo especificado. O intervalo de valores possiveis de 𝑅2 é sempre positivos, porque mesmo 
uma correlação negativa torna-se positiva quando elevada ao quadrado. 
O complemento 1 − 𝑅2 é chamado coeficiente de não-determinação, ou seja, a proporção da variância em Y que 
não é explicada po X é 1 − 𝑅2: 
 
Para os dados da tabela 6, temos: 
 
𝑅2 =
𝑆𝑄𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 − 𝑆𝑄𝑒𝑟𝑟𝑜
𝑆𝑄𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
=
𝑆𝑄𝑟𝑒𝑔
𝑆𝑄𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
=
∑(�̂� − �̅�)²
∑(𝑌 − �̅�)²
=
𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜 𝑒𝑥𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎
𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
=
52,66
56,79
= 0, 93 ou 93% 
 
1 − 𝑅2 = 1 − 0,93 = 0,07 ou 7% 
 
Interpretação: Dentre os sete anos estudados, a variação do índice de preço no produtor é explicada, em parte, 
pela variação pelo custo unitário do fator trabalho (𝑅2 = 0,93 de explicação), e outra parte (1 − 𝑅2 = 7%) 
devido a outros factores. Ou seja, assim, 93% da variância do índice de preço no produtor é explicada pelo custo 
unitário do fator trabalho e 7% é explicada pelo outro factores. 
Pode-se mostrar matematicamente que, no caso do modelo da regressão linear simples, o coeficiente de 
determinação coincide com o quadrado do coeficiente de correlação r de Pearson, estudado anteriormente. 
 
Exercícios 
 
1. Abaixo você encontra uma lista de situações de pesquisa. Para cada uma delas indique se o apropriado é proceder 
uma análise de regressão ou uma de correlação. Justifique sua indicação. 
a) O rendimento escolar na Universidade favorece o êxito profissional? 
b) O tempo de treinamento influi no desempenho profissional? 
c) O objectivo é estimar o tempo necessário a consecução de certa tarefa usando, para tanto, o tempo de treinamento 
do executor; 
d) O objectivo é utilizar o preço da carne de gado para estimar a quantidade de procura desse bem; 
e) A quantidade procurada de carne de gado depende do preço da carne de porco? 
 
 
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 3. Reis, Elizabeth. (2000). Estatística descritiva. Lisboa: Edições Sílabo, Lda. 
 
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2. Uma cadeia de supermercados financiou um estudo dos gastos realizados por família de quatro pessoas com 
renda mensal líquida entre oito e vinte salários mínimos. A pesquisa levou a equação de regressão �̂�= -1,2 + 0,4 
X, onde �̂� representa a despesa mensal estimada (através do modelo) e X a renda mensal líquida expressa em 
número de salários mínimos. 
a) Estime a despesa mensal de uma família com renda líquida mensal de 15 salários mínimos; 
b) A equação parece sugerir que uma família com renda mensal de 3 salários mínimos nada gasta com mercadorias. 
O que você tem a dizer sobre isso? 
c) A equação em questão serve para estimar a despesa mensal de uma família de 5 pessoas com renda líquida de 
12 salários mínimos? Justifique. 
 
3. Uma amostra de fábricas de uma indústria levou a: 
Custo total (Y) 80 44 51 70 61 
Produção (X) 12 4 6 11 8 
 
a) Determine a equação de regressão linear; 
b) Quais os significados econômicos de "a ou α" e "b ou β"? 
c) Encontre o coeficiente de determinação (ou de explicação); 
d) Teste a existência da regressão a um nível de significância de 5%; 
e) Determine um Intervalo de Predição (90%) para a média de Y dado X=10. 
 
 
4. Pretendendo estudar a relação entre o tempo necessário a um consumidor para optar e o número de produtos 
substitutos alternativos expostos a ele, foi observada uma amostra aleatória de 15 consumidores, da qual resultaram 
os seguintes dados: 
X 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 
Y 5 8 8 7 9 7 9 8 9 10 10 11 10 12 9 
A variável Y refere-se ao tempo necessário para a tomada de decisão e X o número de alternativas. 
a) Estime o coeficiente de correlação linear de Pearson; 
b) Determine a equação de regressão para a amostra dada; 
c) Interprete os valores dos coeficientes encontrados para a recta; 
d) Estime e interprete o coeficiente de determinação entre X e Y. 
 
5. Para cada caso abaixo, estime a correspondente recta de regressão: 
a) n = 20; ∑X = 200; ∑Y=300; ∑XY = 6200 e ∑X2 = 3600 
 
b) n = 36; ∑X = 7,2; ∑Y=37; ∑XY = 3100 e ∑X2 = 620 
 
 
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6. Uma população é composta por N = 6 pontos (X;Y). São eles: 
 (1;2), (5;6), (2;4), (2;3), (3;5) e (5;10) 
a) Determine a recta de regressão populacional; 
b) Faça um diagrama de dispersão, localize a recta do item anterior e os segmentos que representam os 6 valores 
de u. Verifique que a soma de u é igual a zero. 
 
7. A tabela abaixo mostra o volume de vendas (em 1.000 unidades) e os gastos promocionais (em 100.000,00 
MZN). 
 
Promoção 2 4 5 6 8 8 10 10 12 15 
Vendas 80 90 95 95 100 110 115 110 120 130 
 
a) Represente graficamente estes pontos. 
b) Calcule o coeficiente de correlação linear de Pearson. 
c) Ajuste os dados através de uma recta de mínimos quadrados (modelo linear). 
d) Determine o coeficiente de explicação para a recta. 
e) Teste a existência da regressão ao um nível de significância de 5%. 
 
8. A tabela seguinte mostra os resultados de uma pesquisa com 10 famílias de determinada região. 
Famílias Renda (u.m.:100) Poupança (u.m.:100) Números de Filhos Média de Anos de 
Estudos da Família 
A 10 4 8 3 
B 15 7 6 4 
C 12 5 5 5 
D 70 20 1 12 
E 80 20 2 16 
F 100 30 2 18 
G 20 8 3 8 
H 30 8 2 8 
I 10 3 6 4 
J 60 15 1 8 
Calcule o coeficiente de correlação linear de Pearson entre: 
a) Renda familiar e poupança das dez famílias; 
b) Renda e número defilhos para as dez famílias; 
c) Poupança e número de filhos; 
d) Média de anos de estudo e número de filhos; 
e) Renda familiar e media de anos de estudo. 
 
 
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 3. Reis, Elizabeth. (2000). Estatística descritiva. Lisboa: Edições Sílabo, Lda. 
 
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9. Um grupo de pesquisa estabeleceu uma escala de quocientes de violência para programas de televisão. 
Classificou cada um dos 6 programas e colectou dados sobre o percentual de pessoas que assistem cada programa. 
Verifique se existe correlação significativa entre as variáveis com um nível de significância de 5%. 
 
Programa Quociente de violência (X) % que assistem (Y) 
1 10 15 
2 30 20 
3 40 24 
4 50 30 
5 65 35 
6 70 35 
 
10. Os dados abaixo representam o Consumo (Y) e Renda disponível (X) num período de 14 anos. As variáveis 
são expressas em milhões de dólares. 
∑X = 3915,5; ∑Y=3273,4; ∑XY = 959198,36; ∑X2 = 1150349,73 e ∑Y2 = 800330,16 
a) Determine as estimativas de “a” e “b” dos parâmetros da recta estimada; 
b) Qual o significado econômico dessas estimativas? 
c) Qual o consumo esperado para uma renda de 400 milhões de dólares? 
d) Calcule o poder explicativo da regressão e interprete-o.