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MÉTODOS 
QUANTITATIVOS
Eduardo Dias
Lidiane Farias Costa
Démerson André Polli
Usiara Britto
Juliani Karsten Alves
Robinson Panaino
Centro Universitário Adventista de São Paulo
Fundado em 1915 — www.unasp.br
Missão Educar no contexto dos valores bíblicos para um viver pleno e para 
a excelência no serviço a Deus e à humanidade.
Visão Ser uma instituição educacional reconhecida pela excelência nos serviços prestados, 
pelos seus elevados padrões éticos e pela qualidade pessoal e pro� ssional de seus egressos.
Administração da Entidade
Mantenedora (IAE)
Diretor-Presidente: Maurício Lima
Diretor Administrativo: Edson Medeiros
Diretor-Secretário: Emmanuel Oliveira Guimarães
Diretor Depto. de Educação: Ivan Góes
Administração Geral
do Unasp
Reitor: Martin Kuhn
Vice-Reitor Executivo Campus EC: Antônio Marcos da Silva Alves
Vice-Reitor Executivo Campus HT: Afonso Ligório Cardoso
Vice-Reitor Executivo Campus SP: Douglas Jeferson Menslin
Pró-Reitor Administrativo: Telson Bombassaro Vargas
Pró-Reitor Acadêmico: Afonso Ligório Cardoso
Pró-Reitor de Educação a Distância: Fabiano Leichsenring Silva
Pró-Reitor de Pesquisa e Desenvolvimento Institucional: Allan Macedo de Novaes
Pró-Reitor de Desenvolvimento Espiritual, Comunitário e Estudantil: Martin Kuhn
Secretário-Geral: Marcelo Franca Alves
Faculdade Adventista
de Teologia
Diretor: Reinaldo Wenceslau Siqueira
Coordenador de Pós-Graduação: Vanderlei Dorneles da Silva
Coordenador de Graduação: Adriani Milli Rodrigues
Órgãos Executivos 
Campus Engenheiro Coelho
Pró-Reitor Administrativo Associado: Murilo Marques Bezerra
Pró-Reitor Acadêmico Associado: Everson Muckenberger
Pró-Reitor de Desenvolvimento Estudantil Associado: Bruno de Moura Fortes
Pró-Reitor de Desenvolvimento Espiritual e Comunitário Associado: Ebenézer do Vale Oliveira
Órgãos Executivos 
Campus Hortolândia
Pró-Reitor Administrativo Associado: Claudio Valdir Knoener
Pró-Reitora Acadêmica Associada: Suzete Araújo Águas Maia
Pró-Reitor de Desenvolvimento Estudantil Associado: Daniel Fioramonte Costa
Pró-Reitor de Desenvolvimento Espiritual e Comunitário Associado: Wanderson Paiva
Órgãos Executivos 
Campus São Paulo
Pró-Reitor Administrativo Associado: Flavio Knöner
Pró-Reitora Acadêmica Associada: Silvia Cristina de Oliveira Quadros
Pró-Reitor de Desenvolvimento Estudantil Associado: Ricardo Bertazzo
Pró-Reitor de Desenvolvimento Espiritual e Comunitário Associado: Robson Aleixo de Souza
Editor-chefe Rodrigo Follis
Gerente de projetos Bruno Sales Ferreira
Editor associado Alysson Huf
Supervisor administrativo Werter Gouveia
Gerente de vendas Francileide Santos
Editores Adriane Ferrari, Gabriel Pilon Galvani,Jônathas Sant’Ana e � amires Mattos
Designers grá� cos Felipe Rocha e Kenny Zukowski
Imprensa Universitária Adventista
Centro Universitário Adventista de São Paulo
Fundado em 1915 — www.unasp.br
Missão Educar no contexto dos valores bíblicos para um viver pleno e para 
a excelência no serviço a Deus e à humanidade.
Visão Ser uma instituição educacional reconhecida pela excelência nos serviços prestados, 
pelos seus elevados padrões éticos e pela qualidade pessoal e pro� ssional de seus egressos.
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Diretor-Presidente: Maurício Lima
Diretor Administrativo: Edson Medeiros
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Reitor: Martin Kuhn
Vice-Reitor Executivo Campus EC: Antônio Marcos da Silva Alves
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Pró-Reitor Acadêmico Associado: Everson Muckenberger
Pró-Reitor de Desenvolvimento Estudantil Associado: Bruno de Moura Fortes
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Órgãos Executivos 
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Pró-Reitor Administrativo Associado: Claudio Valdir Knoener
Pró-Reitora Acadêmica Associada: Suzete Araújo Águas Maia
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Campus São Paulo
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Pró-Reitora Acadêmica Associada: Silvia Cristina de Oliveira Quadros
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a excelência no serviço a Deus e à humanidade.
Visão Ser uma instituição educacional reconhecida pela excelência nos serviços prestados, 
pelos seus elevados padrões éticos e pela qualidade pessoal e pro� ssional de seus egressos.
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Diretor-Presidente: Maurício Lima
Diretor Administrativo: Edson Medeiros
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Reitor: Martin Kuhn
Vice-Reitor Executivo Campus EC: Antônio Marcos da Silva Alves
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Diretor Administrativo: Edson Medeiros
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Mantenedora (IAE)
Diretor-Presidente: Maurício Lima
Diretor Administrativo: Edson Medeiros
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Reitor: Martin Kuhn
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Diretor Administrativo: Edson Medeiros
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Reitor: Martin Kuhn
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Campus São Paulo
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Imprensa Universitária Adventista
1ª Edição, 2020
MÉTODOS 
QUANTITATIVOS
Imprensa Universitária Adventista
Engenheiro Coelho, SP
Eduardo Dias
Lidiane Farias Costa
Démerson André Polli
Usiara Britto
Juliani Karsten Alves
Robinson Panaino
Dias, Eduardo
Métodos quantitativos [livro eletrônico] / Eduardo Dias; Lidiane Farias Costa; Démerson
André Polli; Usiara Britto; Juliani Karsten Alves; Robinson Panaino. Engenheiro Coelho:
Unaspress, 2020.
1 Mb, PDF
ISBN 978-85-8463-172-8
1. Carreira pro� ssional 2. Contabilidade 3. Contabilidade como pro� ssão 4. Contabilidade como 
pro� ssão - Leis e legislação 5. Formação pro� ssional 6. Negócios I. Título.
20-33026 CDD-370.113
Dados Internacionais da Catalogação na Publicação (CIP)
(Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)
Índices para catálogo sistemático:
1. Contabilidade : Educação pro� ssional 370.113
Maria Alice Ferreira - Bibliotecária - CRB-8/7964
Métodos quantitativos
1ª edição – 2020
e-book (PDF)
OP 00123_034
Editora associada:
Todos os direitos reservados para a Unaspress - Imprensa Universitária Adventista. 
Proibida a reprodução por quaisquer meios, sem prévia autorização escrita da editora, 
salvo em breves citações, com indicação da fonte.
Preparação: Matheus Cardoso
Revisão: Giovanna Finco
Projeto grá� co: Ana Paula Pirani 
Capa: Jonathas Sant’Ana
Diagramação: William Nunes
Caixa Postal 88 – Reitoria Unasp
Engenheiro Coelho, SP CEP 13.448-900
Tels.: (19) 3858-5222 / (19) 3858-5221
www.unaspress.com.br
Imprensa Universitária Adventista
Validação editorial cientí� ca ad hoc:
Robertson Campelo Panaino
Mestre em Engenharia de Produção pela
Universidade Federal de São Carlos
Conselho editorial e artístico: Dr. Martin Kuhn, Esp. 
Telson Vargas, Me. Antônio Marcos, Dr. Afonso Cardoso, 
Dr. Douglas Menslin, Dr. Rodrigo Follis, Dr. Lélio Lellis, Dr. 
Allan Novaes, Esp. Jael Enéas, Esp. José Júnior, Dr. Reinaldo 
Siqueira, Dr. Fábio Al� eri, Dra. Gildene Lopes, Me. Edilson 
Valiante, Me. Diogo Cavalcante, Dr. Adolfo Suárez
SUMÁRIO
ESTATÍSTICA DESCRITIVA....................................... 17
Introdução ........................................................................................18
Conceitos iniciais ..............................................................................20
Fases da estatística ...........................................................................22
Objetivo ...................................................................................23
População e amostra...............................................................24
Medidas de posição .........................................................................32Média aritmética simples .......................................................33
Média ponderada ....................................................................34
Média ponderada para dados agrupados 
com intervalo ..........................................................................38
Mediana ..................................................................................40
Moda .......................................................................................47
Medidas de variação ...............................................................53
Amplitude total ................................................................................54
Variância e desvio padrão .......................................................55
Princípios de probabilidade .............................................................60
Experimento aleatório, espaço amostral 
e eventos: definições ...............................................................62
Operações com eventos ..........................................................65
Eventos complementares, mutuamente 
exclusivos e independentes ....................................................81
Três tipos importantes de eventos ..........................................82
Função de probabilidade e valor esperado .....................................87
Referências .......................................................................................98
DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE ..................... 101
Introdução .......................................................................................102
Variáveis discretas e contínuas .......................................................104
Variáveis discretas ..................................................................108
Variável contínua ....................................................................109
Distribuições discretas ....................................................................111
Distribuição binomial .............................................................112
Distribuição de Poisson ..........................................................115
Problemas com distribuição discreta .............................................120
Problemas de distribuição binomial ......................................122
Problemas de distribuição Poisson ........................................129
Distribuição contínua (normal) ......................................................132
Uso da tabela Z ......................................................................136
Problemas de distribuição normal ........................................142
Tamanho de amostra ......................................................................150
Tamanho de amostra para estimativas de proporção ...........157
Referências ......................................................................................171
ESTIMAÇÃO .......................................................... 173
Introdução .......................................................................................174
Estimação pontual ..........................................................................176
Estimação intervalar ..............................................................179
Intervalo de confiança para média populacional ..........................183
Intervalo de confiança para a proporção ...............................188
Correlação e regressão ....................................................................196
Relações estatísticas ...............................................................197
Gráfico de dispersão ...............................................................202
Diagramas de dispersão.........................................................204
Modelo matemático do cálculo do coeficiente 
de correlação de Pearson ................................................................216
Regressão linear ..............................................................................226
Referências ......................................................................................239
PRINCÍPIOS DE CÁLCULO ATUARIAL ..................... 241
Introdução .......................................................................................242
Cálculos e análises atuariais ...........................................................245
Fundamentos da demografia, taxa de natalidade 
e mortalidade e taxa de crescimento populacional .......................247
VO
CÊ
 ES
TÁ
 A
QU
I
Taxa de natalidade .................................................................249
Taxa de mortalidade ..............................................................252
Taxa de crescimento populacional ........................................254
Tábua de mortalidade e suas funções ............................................258
Tábua de sobrevivência e suas funções .................................261
Construção das tábuas de sobrevivência 
ou mortalidade ......................................................................266
Cálculos com taxa de mortalidade .................................................269
Cálculo de vida da população ao nascer................................271
Tópicos importantes para o cálculo de seguros 
na ciência atuarial ...........................................................................280
Seguradora .............................................................................281
Risco .......................................................................................281
Sinistro....................................................................................282
Seguro ....................................................................................283
Cálculo de seguro ...................................................................289
Risco .......................................................................................290
Valor matemático do risco (VMR) .........................................292
Cálculo do valor médio por sinistro .......................................296
Cálculo do prêmio estatístico e do prêmio comercial ...........298
Referências ......................................................................................312
PARA OTIMIZAR A IMPRESSÃO DESTE ARQUIVO, CONFIGURE 
A IMPRESSORA PARA DUAS PÁGINAS POR FOLHA.
Uso da quantificação para coleta e tratamento de dados 
por meio de técnicas estatísticas com vistas à elaboração 
de relatórios e tomada de decisão. Introdução à estatística 
descritiva; estudo de probabilidade e distribuição de dados. 
Introdução à teoria de amostragem, inferência estatística e 
teoria de estimação. Interpretação de testes estatísticos (teste 
de hipóteses, teste de qui-quadrado e não paramétricos, 
análise de variância, correlação e regressão, análise fatorial, 
análise de conglomerados). Noções de cálculo atuarial.
EMENTA
CONHEÇA O CONTEÚDO
Prezado(a) aluno(a),
É um grande privilégio ter você conosco 
para estudarmos os conteúdos de métodos 
quantitativos. Convidamos você a desfrutar 
da leitura desse material onde trataremos, 
ao longo de quatro unidades, de população, 
amostra, variáveis, medidas de posição, 
medidas de variabilidade, princípios de pro-
babilidade, distribuições discretas de pro-
babilidade, distribuições contínuas de pro-
babilidade, tamanho de amostra, estimação, 
coeficiente de correlação e cálculo atuarial.
Vamos iniciar com os conceitos de estatística 
descritiva. Em seguida iremos aprofundar 
nossos conhecimentos de Probabilidade 
trabalhando com as distribuições de proba-
bilidades. Já a unidade três tratará especifi-
camente da estimação de parâmetros para 
algumas distribuições de probabilidade 
conhecidas. Começaremos os estudos com 
a apresentação dos conceitos de estimação 
pontual e intervalar (intervalos de confian-
ça). Além disso, nesta unidade estudaremos 
os principais conceitos que irão basear o 
estudo da correlação e da regressão lineares.Por fim, na unidade quatro trataremos do 
cálculo atuarial, afinal, um assunto de gran-
de importância no Brasil (e no mundo) é 
quanto dinheiro é necessário para garantir 
as aposentadorias de cerca de 200 mil par-
ticipantes e as devidas pensões a seus fami-
liares no longo de um período estipulado. 
Entre os conhecimentos exigidos dos pro-
fissionais de atuária, estão os conceitos de 
Matemática Financeira, Estatística, Matemá-
tica e as questões de demografia. Também 
abordaremos os seguros e seus elementos. 
A partir de agora, concentração, foco e bons 
estudos para você!
OB
JE
TI
VO
S
- Conhecer os métodos quantitativos normalmente utilizados nas pesquisas teóricas 
e práticas em Ciências Contábeis, bem como desenvolver a capacidade de resolução 
de problemas quantitativos encontrados pelo profi ssional de ciências contábeis; 
- Utilizar os dados estatísticos e econômicos para transformar as informações do 
mundo contemporâneo, em decisões administrativas; 
- Obter conhecimento necessário para aumentar sua competência ao tomar 
decisões organizacionais;
- Planejar e executar os procedimentos administrativos utilizando os métodos 
quantitativos fornecidos pela Estatística;
- Pensar estrategicamente.
ESTIMAÇÃO
UNIDADE 3
174
MÉTODOS QUANTITATIVOS
INTRODUÇÃO
A estatística se apoia no tripé estimação-testes de 
hipóteses-previsão. A estimação consiste em, observando uma 
amostra, obter os parâmetros de uma função de probabilidade 
que faz com que os dados sejam descritos com o menor 
erro possível. Os testes de hipóteses, por sua vez, consistem 
em testar afirmações a respeito dos parâmetros de uma 
distribuição de probabilidade. Por fim, a previsão consiste 
em, usando uma distribuição de probabilidade, obter valores 
esperados para uma variável aleatória sob certas suposições. 
Nesse tripé, classificam-se todos os modelos estatísticos 
conhecidos, sendo que muitos deles podem ser usados para 
mais que uma das pernas do tripé.
Esta unidade trata especificamente da estimação de 
parâmetros para algumas distribuições de probabilidade 
conhecidas. Começaremos nossos estudos com a 
apresentação dos conceitos de estimação pontual e intervalar 
(intervalos de confiança). Os intervalos de confiança para 
a média de uma distribuição normal e para a proporção de 
uma distribuição binomial serão apresentados. 
Além disso, estudaremos os principais conceitos que 
irão basear o estudo da correlação e da regressão lineares. 
175
ESTIMAÇÃO
Para esse propósito, vamos focar 
nas principais métricas das medidas 
de tendência central dos eventos 
estatísticos e iremos analisaremos 
como os dados dos eventos referentes à 
população ou à amostra da população 
são apresentados em torno de uma reta 
média, que é a representação teórica 
da reta de regressão linear. Veremos, 
também, que o objetivo da reta de 
regressão linear é fazer com que os 
dados de um diagrama de dispersão 
tendam para o centro dessa reta.
O estudo conjunto do coeficiente de 
correlação e da reta de regressão linear 
tem papel fundamental no planejamento 
estratégico das organizações. Por 
meio dessas duas ferramentas, é 
possível tomar decisões retirando 
uma amostra dos dados que estão à 
disposição da organização, mas que 
precisam ser selecionados por métodos 
disponibilizados pela estatística quer seja 
descritiva, quer seja inferencial.
O estudo 
conjunto do 
coeficiente 
de correlação 
e da reta de 
regressão linear 
tem papel 
fundamental no 
planejamento 
estratégico das 
organizações.
176
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Agora, convidamos você a entrar nesse mundo da estimação. 
Esperamos que ao fim da unidade você tenha compreendido:
• a teoria de probabilidade com a análise de dados;
• os elementos que compõem uma amostra;
• que a estimativa é o valor numérico 
de um estimador;
• os intervalos de confiança e como são usados;
• que a regressão linear nos permite estudar 
o comportamento de variáveis.
ESTIMAÇÃO PONTUAL
A estimação de parâmetros é o que permite ligar a teoria 
de probabilidade com a análise de dados. Uma vez conhecida 
a função que descreve as probabilidades (a forma) para uma 
variável aleatória e, também, os parâmetros dessa distribuição, 
todas as probabilidades de interesse ficam definidas.
Esse mecanismo torna possível usar as características 
amostrais para responder questões de interesse sobre a 
177
ESTIMAÇÃO
população da qual os dados foram 
obtidos. Por exemplo, se determinada 
variável aleatória assume valores 
contínuos e é simétrica, poderá ser 
descrita pela distribuição normal, cuja 
forma funcional é bastante conhecida 
(tem a forma de sino, é simétrica e com 
probabilidade concentrada em torno da 
média, decaindo conforme a distância 
entre o valor de interesse e a média 
populacional aumentam).
De acordo com Loesch (2012, p. 109),
chama-se estimador uma estatística 
usada no processo de estimação 
(por ponto) de um parâmetro. É, 
portanto, uma variável aleatória 
caracterizada por uma distribuição 
de probabilidade. Já uma 
estimativa é o valor particular da 
estatística, calculada com base nos 
valores de uma dada amostra.
Assim podemos dizer que estimador 
é uma função real definida a partir dos 
A estimação de 
parâmetros é 
o que permite 
ligar a teoria de 
probabilidade 
com a análise 
de dados.
178
MÉTODOS QUANTITATIVOS
elementos que compõem uma amostra. E estimativa é o valor 
numérico de um estimador.
Podemos utilizar um único número real para avaliar um 
parâmetro. Nesse caso, estamos fazendo uma estimação por 
ponto, ou pontual. Observe a Figura 35 abaixo.
Figura 35 - Exemplo de estimador e estimativa
ESTIMADOR ESTIMATIVA POR PONTO PARÂMETRO
X X =15 μ
p p =0,45 p
Fonte: Silva (1997)
Lembre-se de que, em situações reais, o verdadeiro valor 
do parâmetro é desconhecido. O estimador nos permite ter 
um “palpite” sobre o seu valor e, por isso, é interessante que o 
estimador seja preciso, ou seja, que consiga, em média, acertar o 
valor e errar o palpite apenas por valores pequenos. 
Portanto, existe uma limitação muito grande nos 
estimadores pontuais, pois cada amostra diferente nos leva 
a obter uma estimativa diferente, o que nos leva a pensar em 
uma outra maneira de determinar a estimação. A estimação por 
intervalo é o nosso próximo tópico.
179
ESTIMAÇÃO
ESTIMAÇÃO INTERVALAR
Vimos os conceitos de estimação 
de um parâmetro de interesse em 
uma distribuição de probabilidade. 
Foi observado que a estimativa de um 
parâmetro é uma aproximação do valor 
real deste, que é desconhecido. No 
entanto, a estimativa de um parâmetro 
(quase) sempre difere do valor real. De 
acordo com Loesch (2012, p. 112), para
uma estimativa justa e consistente 
de um parâmetro populacional, os 
desvios entre o valor estimado e o 
valor do parâmetro se tornam tanto 
mais improváveis quanto maior a 
diferença absoluta (entre o parâmetro 
e a estimativa). Assim, uma atitude 
razoável é construir um intervalo em 
torno do valor estimado de modo 
que se possa calcular a probabilidade 
de que o valor do parâmetro 
populacional nele esteja contido.
Existe uma 
limitação muito 
grande nos 
estimadores 
pontuais, pois 
cada amostra 
diferente nos 
leva a obter 
uma estimativa 
diferente.
180
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Quando estudamos sobre a estimação, temos dois tipos de 
estimativas: por pontos e intervalares. Segundo Spiegel (2015, p. 
195, grifo nosso), uma
estimativa de um parâmetro populacional fornecida 
por um único número é denominada de estimativa por 
ponto do parâmetro. Uma estimativa de um parâmetro 
populacional dada por dois números que possam 
conter o parâmetro a ser estimado é denominada de 
estimativa intervalar do parâmetro sendo considerado.
A Figura 36 a seguir nos auxilia a compreender as 
diferenças entre esses dois tipos de estimação.
Figura 36 - Estimações pontual e intervalar
Estimativa pontual: 
fornece um número 
para o parâmetro 
de interesse.
Estimação intervalar: 
fornece um intervalo de 
valores para oparâmetro de interesse.
Fonte: elaborado pelo autor 
Quando calculamos a estimação por ponto, calculamos 
um único valor (estimativa) para o parâmetro populacional. 
181
ESTIMAÇÃO
Já “no caso do intervalo de confiança, busca-se um segmento, 
ou intervalo, que contém o parâmetro desconhecido” 
(FONSECA; MARTINS, 2012, p. 167). Para esses casos, 
Fonseca e Martins (2012) ressaltam que o verdadeiro valor do 
parâmetro está contido dentro do intervalo com determinado 
“nível de confiança”, e não com determinada probabilidade.
A explicação é a seguinte: suponha que uma amostra x1, 
x2, [...], xn foi observada, que o parâmetro da distribuição 
da variável aleatória foi estimado e que um intervalo [a, b] 
de confiança foi obtido. O intervalo conterá o verdadeiro 
valor do parâmetro com probabilidade 0 ou 1. Se o 
verdadeiro valor do parâmetro estiver dentro do intervalo, 
a probabilidade de que o intervalo contenha o valor real do 
parâmetro é 1, mas, caso contrário, se o verdadeiro valor 
do parâmetro estiver fora do intervalo, a probabilidade de 
que o intervalo contenha tal valor é 0. O motivo disso é que, 
uma vez coletada a amostra, não existe mais probabilidade 
associada ao processo.
Para exemplificar esses conceitos, a Figura 37 mostra 100 
intervalos de confiança para amostras geradas da distribuição 
normal com média 0. Observe que alguns intervalos não 
cruzam o eixo 0,00, indicando que a verdadeira média está fora. 
No entanto, se, ao coletar uma amostra, observou-se um desses 
182
MÉTODOS QUANTITATIVOS
intervalos (que não contém a verdadeira média), tal fato não 
será possível de ser verificado.
Figura 37 - Intervalos de confiança para 100 amostras da distribuição normal de média 0
Fonte: Polli e Alves (2019)
Observe que quatro intervalos (em 100) não possuem 
em seu interior a média populacional, o que demonstra 
o conceito da confiança dos intervalos. Todos eles foram 
gerados considerando um nível de 95% de confiança, logo, 
o esperado era ter aproximadamente cinco intervalos sem 
o valor da média populacional (como, de fato, ocorreu). 
A ideia de que o nível de confiança não representa uma 
probabilidade é, muitas vezes, surpreendente.
183
ESTIMAÇÃO
Até o momento, somente os aspectos teóricos foram 
elencados, mas nada foi dito sobre o cálculo desses intervalos. 
Podemos calcular o intervalo de confiança para a média 
populacional ou para proporção como veremos a seguir.
MATERIAL COMPLEMENTAR
Para se aprofundar no tema, indicamos a leitura do capí-
tulo 5 do livro Probabilidade e estatística, do autor Cláu-
dio Loesch.
Disponível em: <https://bit.ly/33bPyvP>. Acesso em: 08 set. 2020.
INTERVALO DE CONFIANÇA PARA MÉDIA 
POPULACIONAL
Neste tópico, estudaremos a respeito da estimação para o 
intervalo de confiança para média populacional por meio da 
distribuição normal. Essa tem uma importância fundamental na 
teoria estatística por conta de um resultado chamado teorema 
central do limite. 
Uma variável aleatória contínua que a) assume valores no 
conjunto dos números reais; b) concentra a probabilidade em 
valores próximo à média populacional e c)cuja probabilidade 
184
MÉTODOS QUANTITATIVOS
decai somente em função da distância entre o valor da variável 
aleatória e a média populacional, pode ser modelada pela 
distribuição normal (Figura 38).
Figura 38 - Gráfico da distribuição normal
x
fdp f (x)
µ
Fonte: Polli e Alves (2019)
Na figura anterior, vemos a forma funcional da distribuição 
normal:
• a função está centrada na média;
• as probabilidades estão concentradas 
em valores próximos da média;
• a forma funcional é espelhada pela 
média, ou seja, os dois lados da função 
separados pela média são iguais;
185
ESTIMAÇÃO
• a altura da função (densidade de 
probabilidade) depende unicamente do 
valor entre o ponto (posição) e a média.
A distribuição possui dois parâmetros: média populacional 
(representada pela letra grega μ (mi), identificada na figura) 
e variância populacional (representada por σ2 [sigma], que 
está disposta nos dois lados da média no gráfico). A média 
populacional caracteriza a posição da função na escala de 
valores reais — modificar a média populacional implica em 
deslocar a função. Já a variância populacional caracteriza o 
decaimento da função — aumentando a variância, a função 
se torna mais espalhada e com menor peso para os valores 
próximos à média; por outro lado, diminuindo a variância, a 
função se torna mais concentrada e com maior peso para os 
valores próximos à média (SPIEGEL, 2015).
Quando falamos em um intervalo de confiança para média 
populacional queremos definir um limite inferior e outro 
superior para que a verdadeira média populacional se encontre 
entre eles (usando o teorema central do limite para justificar o 
uso da distribuição normal).
Para definir esses limites utilizamos uma expressão para 
calcular o erro padrão de estimativa e subtraímos da média esse 
186
MÉTODOS QUANTITATIVOS
valor obtendo o limite inferior do intervalo e somamos esse 
valor à média para obter o limite superior do intervalo.
Ɛ =
=
Z α
2
σ
√n
Ic x - ϵ < µ < x + ϵ
Exemplo: Imagine que um fabricante de parafusos mediu o 
diâmetro de uma amostra de 25 parafusos produzidos por uma 
máquina que, de acordo com o manual, produz parafusos com 
uma variância igual a 0,01. Na amostra observada, a média foi 
igual a 1,15 cm. Vamos, então, calcular o intervalo de confiança 
para o nível de 95% para o diâmetro dos parafusos.
Temos, no exemplo, o valor da variância 0,01. Como o desvio 
padrão é a raiz quadrada da variância, então temos que σ = 0,1 cm, 
a amostra (n) é igual a 25 e queremos o intervalo de confiança de 
95%. Se dividirmos 95 por 2 teremos o valor de 47,5% ou 0,4750 
transformado em decimal, esse valor servirá para encontrarmos o 
valor de Z. Na tabela “Z” como veremos a seguir na Figura 39:
Figura 39 - Distribuição normal padrão
Z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,8 0,9
0,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359
0,1
0,2
187
ESTIMAÇÃO
0,3
....
1,8 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4704
1,9 0.4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,4767
Fonte: Fonseca (2012)
Podemos agora calcular o erro através da fórmula:
Ɛ = 0,1
√25
1,96
Resolvendo, temos ε = 0,04 cm.
Como a média é de 1,15 cm, então o intervalo de confiança 
de 95% para a média populacional é:
=Ic (1,15 - 0,04 < µ < 1,15 + 0,04)
=Ic (1,11 < µ < 1,19)
Podemos assim afirmar, com 95% de confiança, que o valor 
médio dos parafusos é um valor entre 1,11 cm e 1,19 cm.
Aqui, vimos o cálculo do intervalo de confiança para a 
média. Usando o teorema central do limite, sabe-se que tal 
medida se comporta de acordo com uma distribuição normal e, 
assim, tal distribuição é utilizada para o cálculo do intervalo de 
confiança (LOESCH, 2015).
188
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Os conceitos apresentados aqui são relativamente simples. 
A dificuldade maior é compreender o mecanismo, pois os 
cálculos não apresentam dificuldades.
A obtenção dos intervalos de confiança para a proporção 
de uma variável dicotômica (aquela que aceita respostas do 
tipo sim/não) é similar ao visto até aqui e vamos tratar desse 
assunto no próximo tópico.
INTERVALO DE CONFIANÇA PARA A PROPORÇÃO
Usando o teorema central do limite é possível utilizar 
a média aritmética para estimar a média populacional com 
a distribuição normal, a fim de se fazer os cálculos, mas 
esses resultados também podem ser utilizados para obter 
intervalos de confiança para proporções. O argumento é 
que a proporção é uma média de uma variável aleatória que 
assume o valor 1, se o evento de interesse ocorrer, e valor 0 
em caso oposto.
Considere uma variável aleatória dicotômica, ou seja, 
uma variável aleatória que aceita dois valores possíveis: 1 
para o resultado positivo ou 0 para o resultado negativo.
189
ESTIMAÇÃO
A contagem de resultados positivos 
é a soma de tal variável (para cada 
resultadopositivo é somada 1 unidade 
ou 0 unidades, caso contrário), sendo 
que a proporção (contagem dividida pelo 
número de observações) é, portanto, a 
média amostral da variável dicotômica.
Como a proporção amostral é a média 
(amostral) da variável dicotômica, o teorema 
central do limite se aplica caso a amostra 
seja grande o suficiente. Dessa forma, a 
proporção segue uma distribuição com 
média “p” e variância p (1 - p)/n. Uma vez 
conhecida a distribuição e os parâmetros da 
distribuição (média e variância), torna-se 
possível definir o intervalo de confiança. No 
entanto, temos um problema: a variância 
depende da média populacional, que é 
desconhecida. Assim, não conseguimos 
definir a expressão do intervalo de confiança 
para a proporção somente aplicando 
a fórmula. Existem, pelo menos, duas 
estratégias que podem ser utilizadas para 
A variável é dicotômica 
quando pode assumir 
um dentre dois valores 
possíveis.
Fonte: Shutterstock (https://shutr.bz/2DHBGAR)
190
MÉTODOS QUANTITATIVOS
quebrar essa dependência de valores desconhecidos no cálculo da 
variância (Figura 40).
Figura 40 - Estratégias para quebrar a dependência de valores desconhecidos (cálculo da variância)
Intervalo não conservativo:
substitui o parâmetro pela
sua estimativa Intervalo conservativo:
substitui erro padrão no cálculo 
pelo valor máximo de tal erro
Fonte: Polli e Alves (2019)
A primeira e mais intuitiva consiste em substituir o 
parâmetro “p” pela sua estimativa . Nesse caso, o intervalo de 
confiança pode ser definido por ± ×√
( (
z α
2
p^ n
p^ 1 - p^ .
Essa estratégia é chamada de intervalo não conservativo 
para a proporção (LOESCH, 2012).
Uma estratégia alternativa consiste em substituir o erro 
padrão no cálculo pelo valor máximo de tal erro. Isso ocorre se 
o valor do parâmetro for substituído por 1/2. Dessa forma, o 
intervalo de confiança fica definido por ± × √z α2p
^ 1
2
1
n
. Essa 
191
ESTIMAÇÃO
estratégia é chamada de intervalo conservativo para a proporção 
(LOESCH, 2012).
O intervalo conservativo maximiza a amplitude do intervalo 
de confiança. O intervalo não conservativo é aquele que tem um 
nível de confiança mais próximo ao esperado (1 - ). Ao tomar o 
intervalo conservativo, está sendo selecionado um intervalo cuja 
cobertura é, no mínimo, igual ao fixado. Dessa maneira, a escolha 
do intervalo conservativo garante que a cobertura do intervalo 
será, ao menos, aquela esperada. Exemplo: 
• vejamos a aplicação de um intervalo conservativo 
e um não conservativo para um intervalo 
de confiança de 95% com uma amostra de 
16 elementos onde 4 são favoráveis. Então a 
estimativa da proporção populacional é dada 
por p = 416 = 
1
4 , em que n = 16 e “x” = 4. Esta é 
uma média de uma variável dicotômica. Como o 
intervalo de confiança é para 95%, encontramos 
o valor de Z, para isto basta usar a tabela “Z” da 
probabilidade 0,4750, que se refere a 95% dividido 
por 2. O intervalo não conservativo é dado por:
192
MÉTODOS QUANTITATIVOS
± ×
×
×
×
√
( (
z α
2
p^
±p^
n
p^ 1 - p^
√
√
( (1 -
161,96
1,96
16
1
4
1
4 × ×±p^ √1,96 ±p
^ 1,96 ±0,25 0,21230,1083
3
256
3
4
1
4
Assim, com um nível de 95% de confiança, de acordo com 
o intervalo não conservativo, a proporção populacional da 
característica de interesse está no intervalo [0,0377; 0,4623].
O intervalo conservativo, por sua vez, é dado por:
± × √z α2p
^ 1
2
1
n
1,96± × √p
^ 1
2
1
16 1,96± × ×p
^ 1
2
1
16 1,96 0,1250± 0,24500,25±×p
^
Da mesma forma que antes, com um nível de 95% 
de confiança, de acordo com o intervalo conservativo, a 
proporção populacional da característica de interesse está no 
intervalo [0,0050; 0,4950].
Observe que o intervalo não conservativo está contido no 
intervalo conservativo, sendo este o maior intervalo possível 
193
ESTIMAÇÃO
para o nível de confiança selecionado. Atenção: o intervalo 
conservativo torna a amplitude do intervalo de confiança o 
maior possível. Isso ocorre porque, na fórmula do intervalo 
conservativo, assume-se que a variância populacional é 
máxima, ou seja, calcula-se a variância supondo que a 
proporção na população é 1
2
, mesmo que não seja.
Os intervalos conservativo e não conservativo assumem 
que o tamanho populacional é grande o suficiente para o 
tamanho amostral ser considerado desprezível (em comparação 
com o tamanho da população). Se o tamanho da população 
for pequeno, é necessário corrigir o tamanho do intervalo de 
confiança pelos tamanhos da amostra e da população a partir da 
multiplicação do erro padrão pelo corretor √
N - n
N - 1n = N
, em 
que “N” é o tamanho da população e “n” é o tamanho amostral. 
Essa correção varia entre 0 e 1. 
O intervalo de confiança não conservativo para populações 
pequenas é dado por:
± × ×√ √
( (
z α
2
p^ n
p^ 1 - p^ N - n
N - 1
194
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Veja que, quando o tamanho da população é grande 
o sufi ciente, e, nesse caso, a correção para 
populações fi nitas converge para 1.
Exemplo: 
• para observar o comportamento da correção 
para populações finitas com relação ao 
tamanho da população, considere o seguinte: 
a amostra tem tamanho 5 e os tamanhos 
populacionais avaliados possuem tamanhos 
10, 50, 100, 1.000 e 10.000. Iremos, então, 
calcular as correções para populações finitas 
e observar que, conforme a população cresce, 
o valor da correção também cresce.
Veja na Figura 41 a variação dessa correção: 
Figura 41 - Variação utilizando o crorretor: √
N - n
N - 1
POPULAÇÃO 
TAMANHO 10
POPULAÇÃO 
TAMANHO 50
POPULAÇÃO 
TAMANHO 100
POPULAÇÃO 
TAMANHO 1000
√
10 - 5
10 - 1 √
50 - 5
50 - 1 √
100 - 5
100 - 1 √
1000 - 5
1000 - 1
195
ESTIMAÇÃO
POPULAÇÃO 
TAMANHO 10
POPULAÇÃO 
TAMANHO 50
POPULAÇÃO 
TAMANHO 100
POPULAÇÃO 
TAMANHO 1000
√
5
9 √
45
49 √
95
99 √
995
999
0,7454 0,9184 0,9596 0,9960
Fonte: elaborado pelo autor
Dessa maneira, se a população for grande o suficiente, a 
amplitude do intervalo de confiança dependerá somente do 
tamanho da amostra. Por isso que, por exemplo, nas pesquisas 
eleitorais, é suficiente entrevistar cerca de 2000 pessoas para 
garantir uma margem de erro (amplitude do intervalo) de dois 
pontos percentuais, mesmo que o país tenha uma população 
bem maior do que o tamanho da amostra.
Uma população é chamada de infinita se o seu tamanho for 
grande o suficiente para considerar que a correção relacionada 
ao tamanho da população é igual a 1,0.
 A construção de intervalos de confiança nos fornece uma 
relação entre o tamanho amostral e a amplitude do intervalo 
(a amplitude diminui conforme a amostra cresce), mostrando 
que, uma vez fixada a amplitude, o tamanho amostral pode 
ser calculado. Além disso, o intervalo de confiança possui 
196
MÉTODOS QUANTITATIVOS
uma relação um-para-um com os testes de hipóteses para a 
igualdade do parâmetro com determinado valor fixo.
Neste tópico, a obtenção de intervalos de confiança para 
proporção de uma característica de interesse foi abordada. Nele 
foram apresentados 2 tipos distintos de intervalos: os intervalos 
conservativos e os não conservativos. Também tratou-se da 
correção que se deve fazer no cálculo caso a população seja finita 
e com tamanho reduzido. Quando a população é finita o tamanho 
amostral sofre uma penalidade, sendo reduzida, de forma que 
a amostra nunca será maior que a população. Em populações 
infinitas, tal correção é irrelevante pois o efeito de correção 
converge para 1 à medida que o tamanho da população cresce.
CORRELAÇÃO E REGRESSÃO
Até agora trabalhamos na descrição do comportamento 
de uma única variável. Ao trabalhar com uma única variável 
estamos fazendo uma análise univariada. Mas, imagine que 
queiramos saber se existe uma relação entre o preço de um 
produto e a quantidade vendida. Será que podemos afirmar 
que quanto mais barato o produto, maior a quantidade será 
vendida? Nesta situação e em outras semelhantes estamos 
analisando o comportamento de duas variáveis, que é 
197
ESTIMAÇÃO
chamado de análise bivariada.Se mais 
de duas variáveis estiverem envolvidas 
no estudo, a análise é chamada de 
multivariada. Vamos entender melhor a 
respeito do assunto a partir de agora!
RELAÇÕES ESTATÍSTICAS
As relações estatísticas, conhecidas 
como dependências estatísticas ou 
relações não funcionais, são variáveis 
essencialmente aleatórias ou estocásticas, 
as quais se aproximam do centro do alvo 
sem necessariamente acertá- lo. A exemplo 
do rendimento de lavouras — variável 
dependente ou explicada — em relação 
à temperatura, quantidade de chuvas, 
luz solar ou fertilizante — variáveis 
independentes ou explicativas. Isso 
porque as variáveis explicativas, embora 
relevantes, não permitem ao agricultor 
prever com exatidão o rendimento 
devido aos erros envolvidos na medição 
(GUJARATI; PORTER, 2011).
ESTOCÁSTICAS
Segundo o site Dicio: estocásti-
cos são aqueles “processos que 
dependem das leis do acaso.”
Fonte: <https://bit.ly/2GHpG3n>. 
Acesso em: 10 set. 2020.
198
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Para esse exemplo, temos que a variação aleatória é 
quando o rendimento da lavoura (variável dependente) 
não pode ser explicado em sua totalidade, mesmo com 
diversas variáveis independentes consideradas (GUJARATI; 
PORTER, 2011). Atenção: a relação estatística entre as 
variáveis e a inferência estatística utiliza instrumentos 
metodológicos para inferir e prever, em média, os 
acontecimentos de determinados fenômenos aleatórios em 
população ou amostras. Isso não implica em conexão causal, 
pois a causação se trata de uma relação determinística 
(GUJARATI; PORTER, 2011).
Já estudamos aqui que na estatística descritiva e na de 
inferência, ao se fazer um levantamento de um conjunto de 
dados — numéricos ou não —, extraídos de uma amostra 
ou população, estamos obtendo uma ou mais características 
de interesse dos dados, como faturamento, vendas, 
endividamento, ativo circulante, salários, nível de instrução etc. 
Segundo Fonseca e Martins (2012) e Rocha (2015), cada uma 
dessas características é denominada de variável.
Também vimos que essas variáveis são divididas em 
quantitativas e qualitativas. As quantitativas são variáveis 
de natureza numérica, podendo ser subdivididas em 
variáveis discretas e contínuas. As variáveis quantitativas são 
199
ESTIMAÇÃO
discretas quando os valores podem ser 
contados, como o número de pessoas que 
trabalham em uma empresa, quantidade 
do estoque de mercadorias, o número de 
vendas etc. Já as variáveis quantitativas 
contínuas são aquelas que pode-se tomar 
qualquer valor de determinado intervalo 
de números reais, como o consumo 
médio de energia elétrica em uma planta 
produtiva de determinada indústria, a 
média da receita de vendas no ano, o 
consumo médio de combustível da frota 
de veículos etc.
As variáveis qualitativas, por sua 
vez, são de natureza não numérica 
e os possíveis valores que assumem 
representam atributos e/ou qualidades. 
Elas podem ser classificadas como 
ordinais ou nominais. As variáveis 
qualitativas ordinais são assim 
denominadas quando as variáveis têm 
uma ordenação natural ou sequência 
classificatória, sendo exemplos o 
nível de instrução da pessoa (Ensino 
Variável é a característica 
de interesse que é medi-
da em cada elemento da 
amostra ou população.
Fonte: Shutterstock (https://shutr.bz/3hV2gVf)
200
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Fundamental, Médio ou Superior) e a classe social (baixa, 
média ou alta). As variáveis qualitativas nominais, por outro 
lado, ocorrem quando não e ́ possível estabelecer uma ordem 
natural entre seus valores, como o estado civil (solteiro, casado 
etc.), o sexo (feminino ou masculino) etc. (ROCHA, 2015).
Entretanto, quando nosso objetivo é um estudo entre 
as variáveis para descobrir se existe ou não uma relação 
entre elas, dividimos essas variáveis em independentes 
e dependentes. A distinção entre variáveis dependentes 
e independentes (ou variáveis de controle) nem sempre 
é muito clara, sendo que, algumas vezes, estão ligadas 
aos objetivos em análise. Entretanto, na prática, os papéis 
das variáveis são facilmente caracterizados. Apesar de a 
expressão “variável de controle” ser padronizada, não deve 
ser interpretada literalmente. É muito difícil a ocorrência 
de situações em que a variável independente esteja 
rigorosamente sob controle, isto é, não esteja sujeita a erros 
(MARTINS; TOLEDO; FONSECA, 2012).
A análise da relação estatística investiga o relacionamento de, 
pelo menos, duas variáveis aleatórias, ou seja, duas variáveis estão 
relacionadas quando a variação de uma das variáveis influencia a 
mudança na outra variável. Algumas das técnicas para estimação 
de medidas de associação entre duas ou mais variáveis aleatórias 
201
ESTIMAÇÃO
são o diagrama de dispersão, a correlação linear e a regressão 
linear. Especialmente na regressão existe uma terminologia 
para as variáveis: variável dependente ou explicada e variável 
independente ou explicativa.
Na literatura, os termos “variável dependente” e “variável 
explicativa” são descritos de vários modos, conforme vemos na 
Figura 42:
Figura 42 - Variáveis na teoria de regressão
Variável dependente
Variável explicada
Variável prevista
Regressando
Resposta
Variável endógena
Saída
Variável controlada
Variável explicativa
Variável independente
Previsor
Regressor
Estímulo
Variável exógena
Entrada
Variável de controle
Fonte: Gujarati e Porter (2011, p. 44)
A relação entre uma variável dependente e uma única 
variável independente é conhecida como método clássico de 
202
MÉTODOS QUANTITATIVOS
regressão linear simples ou regressão 
linear entre duas variáveis. Para esse 
tipo de relação, existe somente uma 
variável explicativa, enquanto no 
método de regressão linear múltipla 
existem várias variáveis independentes. 
A variável dependente será descrita pela 
letra Y e a variável independente pelo X 
(GUJARATI; PORTER, 2011).
GRÁFICO DE DISPERSÃO
Para investigar o relacionamento 
entre variáveis é útil examinar o gráfico 
dos dados, chamado de diagrama de 
dispersão ou gráfico de dispersão. 
Normalmente, a variável independente 
é representada no eixo horizontal, 
enquanto a variável dependente é 
retratada no eixo vertical (RENDER; 
STAIR; HANNA, 2010). Como exemplo, 
na Figura 43 apresentamos uma relação 
positiva entre o nível de vendas 
As variáveis 
qualitativas 
ordinais 
são assim 
denominadas 
quando as 
variáveis têm 
uma ordenação 
natural ou 
sequência 
classificatória.
203
ESTIMAÇÃO
(variável dependente) no eixo vertical, com salários (variável 
independente) no eixo horizontal.
Figura 43 - Diagrama de dispersão da relação entre o nível de vendas com salários
Fonte: Gujarati e Porter (2011)
Quando se busca verificar a relação entre duas variáveis 
quantitativas (Y, X), graficamente, pode-se construir um 
diagrama de dispersão, como foi o caso da figura anterior, 
tratando-se da relação entre a variável dependente (Y) “vendas” 
com a variável independente (X) “salários”. Assim, observa-se 
uma relação de que, quanto maior o salário, maiores as vendas.
O diagrama é disposto de forma que cada observação 
(yi , xi) seja colocada em um gráfico de duas dimensões 
(GUJARATI; PORTER, 2011).
204
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Figura 44 - Diagrama de dispersão da relação entre o nível de vendas com a temperatura
Fonte: Gujarati e Porter (2011)
A Figura 44 demonstra um diagrama de dispersão com 
uma relação negativa no nível da venda de remédios com o 
aumento da temperatura média, ou seja, observa-se que, quanto 
maior a temperatura média, menor a venda de remédios.
Estudar métodos quantitativos aplicados na temática de relação 
estatística mostrou como ideia central a relação entre a variável 
dependente (Y) e a variável independente (X), e que, além da 
identificação do papel de cada uma delas na inferência estatística, há 
uma representação gráfica dos dados de cada variável.
DIAGRAMAS DE DISPERSÃO
Uma das formas de se visualizar o risco em estatística é por 
meio do diagrama de dispersão. Elenos mostra como os dados 
205
ESTIMAÇÃO
estão distribuídos em torno de uma reta 
“imaginária” que os divide ao meio, sendo 
que certo número de dados está acima 
dessa reta e outros dados estão abaixo. 
Essa reta é a reta de ajuste ou de regressão 
linear porque o objetivo é que todos se 
situem ao longo dela.
É muito importante o estudo do 
diagrama de dispersão porque ele 
proporciona uma função matemática, 
que será base de informações para o 
estudo da correlação. Às vezes, temos 
que refletir e tomar decisões com 
base em alguns parâmetros, como por 
exemplo: qual a relação entre o nível 
de renda de um país e o número de 
mortalidade infantil? Qual a relação 
entre a idade de uma pessoa e a sua 
altura? Qual a relação entre o peso de 
uma pessoa e o número de mortes por 
infarto? Ou, ainda, qual a relação entre 
o salário de uma pessoa e seu grau 
de instrução? É através da correlação, 
Quando se 
busca verificar 
a relação entre 
duas variáveis 
quantitativas, 
graficamente 
pode-se 
construir um 
diagrama de 
dispersão.
206
MÉTODOS QUANTITATIVOS
em estatística, que podemos ver como duas variáveis se 
comportam em função de certos parâmetros.
FORMAS DE RETAS DA FUNÇÃO DO PRIMEIRO GRAU
Há variáveis que são chamadas de diretamente 
proporcionais. Isso significa que quando uma aumenta, a 
outra aumenta também; há outras que se relacionam de 
forma inversamente proporcional: quando uma aumenta, 
a outra diminui. No caso de o coeficiente angular ser 
positivo, dizemos que as variáveis se relacionam de forma 
diretamente proporcional: y = ax + b.
No caso de o coeficiente angular ser negativo as 
variáveis assumem direções contrárias e dizemos que elas 
são variáveis inversamente proporcionais. Quando uma 
aumenta, a outra diminui. O sinal do coeficiente angular 
é o que nos indicará essa relação. Quando o coeficiente 
angular for negativo, as variáveis serão inversamente 
proporcionais: y = - ax + b.
Analisando a função, notamos que se trata de uma função 
decrescente. Por que chegamos a essa conclusão? Quando o 
coeficiente angular da reta é negativo, a variável independente 
(x) aumenta e a variável dependente (y) diminui caracterizando 
uma função decrescente. O exemplo aplicado à empresa se 
207
ESTIMAÇÃO
dá com a função depreciação. No instante inicial do bem 
imobilizado, não há depreciação. O valor do bem é a própria 
constante (b) da reta. O coeficiente angular da reta (a) é a taxa 
de depreciação. À proporção que passa o tempo (x), o valor do 
bem imobilizado e (y) diminui.
DIAGRAMAS DE DISPERSÃO
A forma como os pontos de uma série de dados se 
distribuem em torno de uma reta média forma a dispersão 
desses dados. Essa dispersão pode ser muito próxima dessa 
reta média ou muito afastada dela. Esses dados também podem 
estar acima ou abaixo da reta média. A isso nós denominamos 
de diagrama de dispersão.
Exemplo: veja a seguinte situação que lhe foi colocada 
para analisar a relação entre os parâmetros idade versus massa 
muscular de mulheres. Para estudar a relação entre a idade e 
a massa muscular, uma nutricionista selecionou 16 mulheres, 
com idade entre 40 e 79 anos, e observou a seguinte relação:
Figura 45 - Diagrama de dispersão entre idade (x- em anos) versus massa muscular (y- em kg)
X 71 64 43 67 56 73 68 57 76 65 45 58 45 53 49 78
Y 79 78 102 78 88 73 78 83 68 84 112 76 97 90 105 64
Fonte: Bruni (2010)
208
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Na Figura 45 temos a variável x (independente - idade) e a 
variável y (dependente - massa muscular). O objetivo é analisar 
quão próximos estão as variáveis x e y; ou quão afastadas estão 
essas variáveis. Esse resultado indicará se x e y se relacionam 
de maneira direta ou inversamente proporcional. Para isso, 
não necessariamente, vamos organizar a variável em ordem 
crescente, conforme a Figura 46.
Figura 46 - Idade versus massa muscular (kg) de mulheres selecionadas, em ordem crescente de idade (ano)
Idade (x) 43 45 45 49 53 56 57 58 64 65 67 68 71 73 76 78
Massa (y) 102 112 97 105 90 88 83 76 78 84 78 78 79 73 68 64
Fonte: Bruni (2010)
Podemos, antes de elaborar o diagrama de dispersão, 
calcular medidas de tendência central e medidas de dispersão 
das idades e das massas musculares das mulheres selecionadas.
Medidas de tendência central das idades:
• média: 60,5 anos;
• mediana: 61 anos;
• moda: 45 anos.
Medidas de dispersão das idades:
• desvio padrão: 11,43 anos;
209
ESTIMAÇÃO
MATERIAL COMPLEMENTAR
Para se aprofundar neste tema, indicamos a leitura do 
capítulo 3 do livro Matemática comercial e financeira e 
fundamentos de estatística, dos autores Augusto Mas-
sashi Horiguti e Juliane Donadel.
Disponível em: <https://bit.ly/2ZmA7zQ>. Acesso em : 08 set. 2020.
Isto é, a maior parte das idades da amostra está entre 11,43 
anos acima da média (60,5 + 11,43 anos), ou seja, 71,93 anos; 
e 11,43 anos abaixo da média (60,5 – 11,43 anos), isto é, 49,07 
anos. Observe que a dispersão entre as idades das mulheres 
selecionadas é alta.
Medidas de tendência central das massas musculares:
• média: 84,69 kg;
• mediana: 81 kg;
• moda: 78 kg.
Medidas de dispersão da massa muscular:
• desvio padrão: 11,50 kg.
A Figura 47 nos mostra como se comportam as variáveis 
x e y. Notamos que elas são inversamente proporcionais 
210
MÉTODOS QUANTITATIVOS
(coeficiente angular negativo). Ou seja, quando a idade 
aumenta, a massa muscular diminui.
Figura 47 – Diagrama de dispersão entre idade (em anos) e massa muscular (em kg) de mulheres
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
Idade, em anos
120
100
80
60
40
20
0
y = -1,085x +150,33
Fonte: Bruni (2010)
As informações do diagrama de dispersão entre idades 
e massas musculares das mulheres selecionadas pela 
nutricionista, são: a variável dependente é a massa muscular 
(y); a variável independente é a idade (x); essa informação 
é reforçada pela equação do 1º grau, tendo em vista que o 
coeficiente angular é negativo. Portanto, a relação entre a 
idade e a massa muscular é que são variáveis inversamente 
proporcionais, isto é, à medida que aumenta a idade da mulher, 
a sua massa muscular diminui. Atenção: lembre-se de que 
211
ESTIMAÇÃO
sempre que o coeficiente angular da reta for negativo, esta é 
decrescente e as variáveis são inversamente proporcionais.
Vejamos mais um exemplo, um médico pediatra anotou, 
durante um ano, os pesos e as respectivas alturas de 30 crianças 
pré-adolescentes. Na Figura 48 estão esses dados tabulados. 
Note que coletamos os dados e os colocamos em ordem 
crescente de peso.
Figura 48 - Peso (kg) versus altura (cm) em ordem crescente do peso
Paciente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Peso 23 25 25 26 28 28 28 29 30 30
Altura 107 132 144 145 147 140 150 157 152 145
Fonte: Martins (2006)
Com base nos dados do quadro, encontramos as medidas 
de posição central e de dispersão.
Medidas de tendência central do peso:
• média: 27,20 kg;
• mediana: 28,00 kg;
• moda: 28,00 kg.
Medidas de dispersão do peso:
• desvio padrão: 2,35 kg.
212
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Medidas de tendência central da altura:
• média: 141,90 cm;
• mediana: 145,00 cm;
• moda: 145,00 cm.
Medida de dispersão da altura:
• desvio padrão: 1 cm.
Com as informações da Figura 48, construímos o diagrama 
de dispersão, que você pode ver na Figura 49:
Figura 49 - Diagrama de dispersão entre peso (kg) versus altura
Peso em kg
Peso x Altura
0 5 10 15 20 25 30 35
180
160
140
120
100
80
60
40
20
0
y = 4,7016x +14,016
Fonte: elaborado pelo autor
Com esse exemplo, podemos extrair as seguintes 
informações: o peso e a altura são variáveis diretamente 
proporcionais, ou seja, quando o peso aumenta, a altura 
213
ESTIMAÇÃO
aumenta também; o coeficiente angular da função é positivo, 
por isso, é uma função crescente. Portanto, as variáveis “x” 
(peso) e “y”(altura)são diretamente proporcionais.
Através destes exemplos podemos ver que o diagrama 
de dispersão indica quão próximos ou afastados estão os 
pontos de um conjunto de dados em relação à reta média. 
Destacamos também a importância de reconhecer o sinal do 
coeficiente angular de uma reta do 1º grau para inferirmos 
como se relacionam as variáveis: se diretamente proporcionais 
ou inversamente proporcionais. Com isso, percebemos que 
o coeficiente angular positivo indica que a relação entre as 
variáveis é diretamente proporcional; enquanto o coeficiente 
angular negativo indica que a relação entre as variáveis é 
inversamente proporcional; já o coeficiente angular nulo 
indica que não existe relação entre as variáveis. A partir dessas 
informações podemos avaliar essas relações, porém, ainda não 
podemos indicar qual a intensidade dessa relação.
Ao analisarmos um evento, precisamos indicar qual é a 
métrica que será dada para ele. Para medirmos a força da relação 
entre duas variáveis, estudaremos o coeficiente de correlação de 
Pearson. Essa força tem como métrica um valor que vai de -1 a 
1, sendo que esse valor é positivo se as variáveis têm a mesma 
direção; e negativo se as variáveis têm direções opostas.
214
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Há três modos clássicos de duas 
variáveis se relacionarem: diretamente 
proporcional, inversamente proporcional 
e sem qualquer relação. É por meio do 
diagrama de dispersão que podemos 
analisar como se dão essas relações.
Vamos imaginar, agora, que um 
conjunto de dados está disposto em torno de 
uma reta média. Esses dados podem estar 
acima da reta, abaixo da reta ou ao longo 
da reta e essa disposição denominamos de 
diagrama de dispersão. Podemos avaliar 
quão próximos ou quão distantes estão 
esses dados em torno da reta, sendo que 
essa disposição pode se dirigir para a 
mesma direção ou se afastar em direção 
diferente. Podemos, também, avaliar 
quanta força existe entre as variáveis, 
independentemente das direções que elas 
tomam. Para avaliarmos a força entre as 
variáveis, estudaremos o coeficiente de 
correlação de Pearson.
É por meio 
do diagrama 
de dispersão 
que podemos 
analisar como 
se dão essas 
relações.
215
ESTIMAÇÃO
Vejamos na Figura 50 como classificar a força da 
correlação com base no resultado obtido no coeficiente de 
correlação de Pearson:
Figura 50 - Coeficientes de correlação positiva e negativa, respectivamente
COEFICIENTE FORÇA COEFICIENTE FORÇA
1,00
Muito forte
- 1,00
Muito forte
0,90 - 0,90
0,80
Forte
- 0,80
Forte
0,70 - 0,70
0,60
Moderada
- 0,60
Moderada
0,50 - 0,50
0,40
Fraca
- 0,40
Fraca
0,30 - 0,30
0,20
Muito fraca
- 0,20
Muito fraca
0,10 - 0,10
0,00 Nula 0,00 Nula
Fonte: Martins e Domingues (2012)
Dessa forma, utilizaremos o lado esquerdo do quadro 
quando a correlação entre as variáveis for positiva, isto é, 
quando elas “caminharem” no mesmo sentido; e usaremos o 
lado direito do quadro quando a correlação for negativa, ou 
seja, quando “caminharem” em sentido contrário.
216
MÉTODOS QUANTITATIVOS
M ODELO MATEMÁTICO DO CÁLCULO DO 
COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO DE PEARSON
É possível calcular o coefi ciente de correlação de Pearson 
a partir de modelos matemáticos. O modelo de metodologia 
de cálculo do coefi ciente de Pearson é dado por 
×√
ρρ =
Sxy
Szz Sxysendo que é o coefi ciente de correlação de Pearson.
Para melhor entendimento, vamos segregar as 
informações do modelo:
= −Sxy Σxy Σx × Σyn
= −Sxx Σx2
(x)2
n
= −Syy Σy2
(Σy)2
n
Onde “n” é o número de observações feitas em nossa 
amostra. Quando agrupamos esses valores, podemos montar 
uma expressão que calcule o coefi ciente de correlação de uma 
forma mais sintetizada, como:
(n × Σxi × yi ) − [(Σxi) × (Σii)] 
[n × Σx2 − ( Σxi)2] × [n × Σy2 − ( Σyi)2] √
ρ =
217
ESTIMAÇÃO
NA PRÁTICA
Imagine que uma empresa transportadora deseja analisar a relação entre 
o consumo de combustíveis e o peso do caminhão. Como a frota é muito 
grande, selecionou-se, aleatoriamente, 10 caminhões. Cada veículo 
selecionado foi pesado juntamente com o carregamento, em toneladas. 
Esses veículos foram abastecidos com óleo diesel. Ao voltar à empresa, 
foi anotado o consumo de combustível, em litros, por quilômetro rodado 
(km/l). Para esse caso, temos a variável independente (peso) e a variável 
dependente (consumo de combustível).
Veja a tabela a seguir (Figura 51), que demonstra os dados 
desse exemplo.
Figura 51 – Tabela da variável independente (peso) e a variável dependente (consumo de combustível)
Veículo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Peso (Tonelada) 4,30 4,40 4,50 3,20 3,40 3,60 3,60 3,70 3,80 4,10
Consumo (km/l) 2,60 2,70 2,80 3,20 3,40 3,60 3,70 3,70 3,80 4,10
Fonte: elaborado pelo autor
Na tabela, vemos que os dados estão apresentados em 
variável independente (peso) e variável dependente (consumo 
de combustível). A partir desses dados, você pode ver o 
diagrama de dispersão dessas variáveis em torno de uma reta, 
conforme a Figura 52, a seguir.
218
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Figura 52 – Diagrama de dispersão das variáveis em torno de uma reta
Peso, em tonelada
y = -1,5957x -4,1878
0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00
Fonte: Polli e Alves (2019)
A informação mais importante que o diagrama de 
dispersão nos dá é a relação entre peso e consumo de 
combustíveis, que são diretamente proporcionais, isto é, 
quando o peso aumenta, o consumo de combustível também 
aumenta. Contudo, perceba que não nos informa quão 
intensa é essa relação. Além disso, a equação mostra que, 
para cada tonelada acrescentada no peso do veículo, há um 
incremento de 1,60 de consumo de combustível, em litros, 
para cada quilômetro rodado.
Vamos analisar qual é a força da relação entre o peso de 
um veículo e o consumo de combustível por km rodado. A 
219
ESTIMAÇÃO
tabela a seguir serve de base para o cálculo do coeficiente de 
Pearson, usando-se a equação:
(n × Σxi × yi ) − [(Σxi) × (Σii)] 
[n × Σx2 − ( Σxi)2] × [n × Σy2 − ( Σyi)2] √
ρ =
A variável independente é “x” (peso do veículo) e a variável 
dependente é “y” (consumo de combustível) (Ver Figura 53).
Figura 53 - Matriz dos cálculos base do coeficiente de Pearson
VEÍCULO X Y X*Y X2 Y2
1 4,30 2,60 11,18 18,49 6,76
2 4,40 2,70 11,88 19,36 7,29
3 4,50 2,80 12,60 20,25 7,84
4 4,60 3,20 14,72 21,16 10,24
5 4,60 3,40 15,64 21,16 11,56
6 4,70 3,60 16,92 22,09 12,96
7 4,90 3,70 18,13 24,01 13,69
8 5,00 3,70 18,50 25,00 13,69
9 5,10 3,80 19,38 26,01 14,44
10 5,20 4,10 21,32 27,04 16,81
Soma 47,30 33,60 160,27 224,57 115,28
Fonte: Polli e Alves (2019)
A partir das informações da matriz da tabela anterior, 
vamos proceder os passos para o cálculo do coeficiente de 
correlação de Pearson.
220
MÉTODOS QUANTITATIVOS
n × ∑x × y − ( ∑x × ∑y) (numerador da equação). Vamos 
multiplicar o número de observações feitas (n=10) pela soma 
da quarta coluna e subtrair pelo produto da soma da segunda 
coluna pela soma da terceira coluna:
10. 160,27 – (47,30 . 33,60) = 13,42
Resolvido o numerador vamos para o denominador onde 
temos duas partes para serem resolvidas e depois multiplicadas 
e, por último, extrair a raiz quadrada do resultado.
Para resolver a primeira parte, multiplicamos o 
número de observações (n=10), pela soma da quinta coluna 
e subtraímos pela soma da segunda linha elevada ao 
quadrado. Assim temos:
[n × Σx2 − ( Σxi)2] = 10 × 224,57 −(47,30)2 2245,70 − 2237,29 = 23,84
Quanto à segunda parte, novamente multiplicamos o 
número de observações (n = 10) pela soma da sexta coluna e 
subtraímos pela soma da terceira linha elevada ao quadrado. 
Como está desmonstrado:
[n × Σy2 − ( Σyi)2] = 10 × 115,28 − (33,60)2 1152,80 − 1128,96 = 23,84
221
ESTIMAÇÃO
Ainda falta, para completar o denominador, multiplicar 
esses dois resultados e depois extrair a raiz quadrada:
8,41 × 23,84 =√ 200,4944 = 14,1569√
Agora já temos o numerador e seu denominador prontos. 
Vamos dividir um pelo outro e teremos o coeficiente de