AULA 4 - VARIÁVEIS CONTÍNUAS - EX 20

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Capítulo 3
MEDIDAS QUANTITATIVAS
1 - O diretor de análise estatística de uma pequena empresa de aviação deseja calcular a média, a mediana e a moda do número de passageiros que escolheram voar pela companhia durante o mês de janeiro. Assim, pediu a seu estagiário para coletar essas informações. O estagiário coletou os seguintes dados: 68, 72, 50, 70, 65, 83, 77, 78, 84, 93, 71, 74, 60, 84, 72, 84, 73, 81, 84, 92, 77, 57, 70, 59, 85, 74, 78, 79, 91, 102 e 84. Qual foi a média, a mediana e a moda do número de passageiros que voaram por essa companhia aérea em janeiro? Interprete os resultados obtidos.
MÉDIA = 
Média = 
Média = 
Mediana = 50, 57, 59, 60, 65, 68, 70, 70, 71, 72, 72, 73, 74, 74, 77, 77, 78, 78, 79, 81, 83, 84, 84, 84, 84, 84, 85, 91, 92, 93, 102
Nº impar = = 
MODA = X* = 84 Passageiros
70 – 2
72 – 2
74 – 2
77 – 2
78 – 2
84 – 5
2 - Para uma amostra de 16 clientes de um pequeno mercado, foram observados os seguintes montantes de vendas (em reais), ordenados de forma crescente: 5,10; 6,25; 6,25; 6,25; 7,45; 7,83; 8,40; 8,52; 9,90; 10,25; 10,35; 11,50; 12,55; 12,71; 13,09 e 14,10. Determinar a média, a mediana e a moda para esses valores de vendas.
MÉDIA = 
Média = 
Média = 
 por venda
Mediana = 5,10; 6,25; 6,25; 6,25; 7,45; 7,83; 8,40; 8,52; 9,90; 10,25; 10,35; 11,50; 12,55; 12,71; 13,09 e 14,10
Nº par = = 
Nº par = + 1 = + 1 = 9º posição = 9,90
Nº par = + + 1 = = 9,21
MODA = X* = 6,25 – 3 vezes
3 - Uma amostra de 20 operários de uma companhia apresentou os seguintes salários recebidos (em reais) durante certa semana, arredondados para o valor do real inteiro mais próximo: 155; 140; 140; 140; 180; 140; 165; 140; 200; 140; 140; 140; 155; 240; 165; 180; 190; 205; 225; 230. Calcular a média, a mediana e a moda para esse grupo de salários.
MÉDIA = 
Média = 
Média = 
 por semana
Mediana = 140; 140; 140; 140; 140; 140; 140; 140; 155; 155; 165; 165; 180; 180; 190; 200; 205; 225; 230; 240.
Nº par = = 
Nº par = + 1 = + 1 = 11º posição = 165
Nº par = +( + 1) = = 160,00
MODA = X* = 140,00 – 8 vezes
4 - As taxas de juros recebidas por 15 ações escolhidas ao acaso na BOVESPA durante um trimestre foram (em %): 2,65; 2,01; 1,98; 1,85; 2,71; 2,59; 2,06; 2,60; 2,62; 2,61; 2,50; 2,63; 2,64; 2,55; 2,57. Calcule a taxa de juros média, a taxa de juros mediana e a taxa de juros modal. 
Mediana = 1,85; 1,98; 2,01; 2,06; 2,50; 2,55; 2,57; 2,59; 2,60; 2,61; 2,62; 2,63; 2,64; 2,65; 2,71;
Nº impar = = 
MÉDIA = 
Média = 
Média = 
MODA = X* = não existe
5 - Numa turma com 20 moças e 50 rapazes foi aplicada uma prova de Estatística. A média aritmética das moças foi 9,2 e a dos rapazes foi 7,8. Qual foi a média de toda a turma nessa prova?
MÉDIA PONDERADA = 
 
 
 
 8,20
6 - Um grupo de 64 pessoas, que trabalha em uma empresa, é formado por sub-grupos que tem salários diários com as seguintes características: 12 pessoas ganham R$ 50,00; 10 ganham R$ 60,00; 20 ganham R$ 25,00; 15 ganham R$ 90,00 e 7 ganham R$ 120,00. Qual é a média salarial diária de todo o grupo?
MÉDIA PONDERADA = 
 
 
 
 R$ 60,78 por dia
7 - Uma empresa vende 4 tipos de cerca. A grade A custa R$ 5,00 por metro instalado, a grade B custa R$ 3,50 por metro instalado, a grade C custa R$ 2,50 por metro instalado e a grade D custa R$ 2,00 por metro instalado. Ontem foram instalados 100 metros de A, 150 metros de B, 75 metros de C e 200 metros de D. Qual foi o custo médio por metro instalado?
MÉDIA PONDERADA = 
 
 
 
 R$ 3,07 por metro instalado
8 - Numa loja, localizada no centro de São Paulo, foram vendidos dois de seus produtos principais. O produto A gera um lucro de R$ 200,00 por unidade e o produto B, R$ 300,00 por unidade. Durante o último mês foram vendidas 60 unidades do produto A e 90 unidades do produto B. Calcule o lucro médio mensal obtido pela loja para os dois produtos. 
MÉDIA PONDERADA = 
 
 
 
 R$ 260,00 por mês
9 - Para se estimar o número de peças defeituosas em um veículo de segunda linha, escolheu-se uma amostra de 51 veículos, encontrando-se o seguinte número de peças defeituosas por veículo: 
Calcule o número médio de peças defeituosas por veículo, o número mediano e o número modal.
MÉDIA = 
Média = 
Média = 
Média = 
Mediana =3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 5;5;5;5;5;5;5;5;6;6;6;6;6;6;7;7;7.
Nº impar = = 
MODA = X* = 3 peças defeituosas por veículo
10 - Para se estimar o número de acidentes diários em um grande estacionamento durante um período de um mês, escolheu-se o mês de setembro, encontrando-se os seguintes números:
Calcule o número médio diário de acidentes em setembro, o número mediano e o número modal.
MÉDIA = 
Média = 
Média = 
Média = 
Mediana =0; 0; 0; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 3; 3; 3; 3.
Nº par = = 
 = = 
 
 = = 2 acidentes por dia
MODA = X* = 2 acidentes por dia
11 - Em um levantamento entre os assinantes da revista Fortune 500, foi feita a seguinte pergunta: "Quantas das últimas cinco edições você leu ou folheou?" A seguinte distribuição de frequências sintetiza uma amostra de 500 respostas:
Qual é o número médio de edições lidas por um assinante da revista "Fortune"? 
b) Qual é o número mediano? 
c) Qual é o número modal? 
d) Compare os três valores obtidos nos itens anteriores e discuta esses resultados.
MÉDIA = 
Média = 
Média = 
Média = 
Mediana =
Nº par = = 
 = = 
 
 = = 5
MODA = X* = 5 edições lidas por assinante
12 - Os DJs da rádio "Balada" relatam que tocam mais músicas por hora do que sua rival "Rock Pauleira". Nas últimas 24 horas, os dados em relação ao número de músicas tocadas por cada uma das estações de rádio foram coletados e tabulados. Use os dados para calcular as medidas de tendência central e para preparar um relatório comparando as duas estações.
Rádio Balada: 
Média:21,83 músicas por hora
Mediana: 22 músicas por hora
Moda: 25 músicas por hora
Rádio Rock Pauleira:
Média; 19,17 músicas por hora
mediana: 19 músicas por hora
Moda: 19 músicas por hora
12 - Os DJs da rádio "Balada" relatam que tocam mais músicas por hora do que sua rival "Rock Pauleira". Nas últimas 24 horas, os dados em relação ao número de músicas tocadas por cada uma das estações de rádio foram coletados e tabulados. Use os dados para calcular as medidas de tendência central e para preparar um relatório comparando as duas estações.
	Nº de músicas por hora (xi)	Balada (h)
fi	Xi . fi	FAC
	8	2	16	2
	14	4	56	6
	19	6	114	12 (12ª posição)
	25	8	200	20 (13ª posição)
	31	2	62	22
	38	2	76	24
		24	524	
MÉDIA PONDERADA = 
Mediana =
Nº par = = 
 = = 
 
 = = 22
MODA = X* = 25 músicas por hora
12 - Os DJs da rádio "Balada" relatam que tocam mais músicas por hora do que sua rival "Rock Pauleira". Nas últimas 24 horas, os dados em relação ao número de músicas tocadas por cada uma das estações de rádio foram coletados e tabulados. Use os dados para calcular as medidas de tendência central e para preparar um relatório comparando as duas estações.
	Nº de músicas por hora (xi)	Rock Pauleira (h)
fi	Xi . fi	FAC
	8	4	32	4
	14	5	70	9
	19	7	133	16 (12ª e 13ª posição)
	25	5	125	21
	31	2	62	23
	38	1	38	24
		24	460	
MÉDIA PONDERADA = 
Mediana =
Nº par = = 
 = = 
 
 = = 19
MODA = X* = 19 músicas por hora
13 -Na tabela abaixo estão apresentados os resultados da análise de uma substância química (em %) presente em 30 amostras de água coletadas num rio de São Paulo.
Calcule a média, a mediana e a moda de Czuber para esse conjunto de dados e interprete os resultados obtidos.
	Quantidade da substância química (%)	Ponto médio da classe
xi	Nº de amostras (fi)	Xi . Fi	FAC
	00______16	8	3	24	3
	16______32	24	5	120	8
	32______48	40	7	280	15
	48______64	56	9	504	24
	64______80	72	4	288	28
	80______96	88	2	176	30
			30	1.392	
MÉDIA PONDERADA = 
15ª posição – (3ª classe)lmd + 
 + 
% 
14. Calcule a média, a mediana e a moda para uma amostra das alturas de 73 alunos de uma escola. Interprete os resultados obtidos.
	Alturas (cm)	Ponto médio da classe
xi	Nº de alunos (fi)	Xi . Fi	FAC
	150______160	155	2	310	2
	160______170	165	15	2.475	17
	170______180	175	18	3.150	35
	180______190	185	18	3.330	53
	190______200	195	16	3.120	69
	200______210	205	4	820	73
			73	13.205	
MÉDIA PONDERADA = 180,89cm
37ª posição
ª posição – (4ª classe – 180 à 190)
Lmd=180
N = 73
Fac ant=35
H = 10
Fmd = 18
lmd + 
 + 
Moda de Czuber - X* = lmo + 
Lmo = 170
Fmo = 18
Fant = 15
Fpost = 18
H = 10
X* = 170 + 
X* = 170 + 
X* = 180 cm
Moda de Czuber - X* = lmo + 
Lmo = 180
Fmo = 18
Fant = 18
Fpost = 16
H = 10
X* = 180 + 
X* = 180 + 
X* = 180 cm
15. Uma pesquisa para determinar a eficiência de uma nova ração para animais, em termos de ganho de peso, mostrou que após um mês em que a ração normal foi substituída pela nova ração, os animais apresentaram um aumento de peso, segundo a distribuição, dada na tabela abaixo:
Calcule o aumento médio de peso por animal, o aumento mediano e o aumento modal. Interprete os resultados obtidos.
	Aumento de peso (em Kg)	Ponto médio da classe
xi	Nº de animais (fi)	Xi . Fi	FAC
	0______2	1	5	5	5
	2______4	3	7	21	12
	4______6	5	20	100	32
	6______8	7	16	112	48
	8______10	9	7	63	55
	10______12	11	5	55	60
			60	356	
30ª posição
MÉDIA PONDERADA = 5,93 Kg por animal
0ª posição – (3ª classe – 4 à 6)
Lmd= 4
N = 60
Fac ant= 12
H = 2
Fmd = 20
lmd + 
 + 
Moda de Czuber - X* = lmo + 
Lmo = 4 
Fmo = 20 
Fant = 7
Fpost = 16
H = 2
X* = 4 + 
X* = 4 + 
X* = 5,53 Kg por animal
	Faixa salarial (nº de salários minímos)	Ponto médio da classe
xi	Nº de funcionários (fi)	Xi . Fi	FAC	(xi – x) 2 . fi
	4______5	4,50	12	54	12	(4,50 – 6,52) 2 . 12 = 48,96
	5______6	5,50	30	165	42	(5,50 – 6,52) 2 . 30 = 31,21
	6______7	6,50	42	273	84	(6,50 – 6,52) 2 . 42 = 0,02
	7______8	7,50	24	180	108	(7,50 – 6,52) 2 . 24 = 23,05
	8______9	8,50	7	59,50	115	(8,50 – 6,52) 2. 7 = 27,44
	9______10	9,50	6	57	121	(9,50 – 6,52) 2 . 6 = 53,28
			121	788,50		183,96
16. O departamento de recursos humanos de uma empresa fez um levantamento dos salários de uma amostra de 121 funcionários do setor de logística, obtendo os seguintes resultados: 
a) Calcule o no de salários mínimos médio dos funcionários do setor de logística. b) Calcule o no de salários mínimos mediano. c) Calcule o no de salários mínimos modal utilizando a fórmula de Czuber. d) Calcule a variância do no de salários mínimos recebidos pelos funcionários do setor de logística e o desvio padrão amostral correspondente, interpretando os resultados obtidos em termos de coeficiente de variação. 
MÉDIA PONDERADA = 
b) 1ª posição – (3ª classe – 6 à 7)
Lmd= 6
N = 121
Fac ant= 42
H = 1
Fmd = 42
lmd + 
 + 
 salários minimos
c) Moda de Czuber - X* = lmo + 
Lmo = 6 
Fmo = 42
Fant = 30
Fpost = 24
H = 1
X* = 6 + 
X* = 6 + 
X* = 6,40 salários mínimos
a) MÉDIA PONDERADA = 
d) Variância
S 2 (x) = 
Desvio Padrão
S = 
S = 
S = ± 1,24 salários mínimos
Coeficiente de Variação
CV = x 100 = 
CV = 
CV = 19,02%
17. Dadas as idades dos 100 maiores executivos das empresas citadas na Fortune 500, revelou-se que a média é de 56,2 anos de idade e o desvio padrão 12,7 anos. A renda média desses executivos é 89.432 dólares com desvio padrão de 16.090 dólares. Qual das variáveis tem maior variação: idade ou renda?
IDADE
Coeficiente de Variação
CV = x 100 = 
CV = 
CV = 22,60%
RENDA
Coeficiente de Variação
CV = x 100 = 
CV = 
CV = 17,99%
R: A variável idade tem a maior variação.
18. A variável x, que representa uma amostra das notas de Estatística dos alunos de uma turma da UniXYZ, tem sua distribuição dada na tabela abaixo:
	Notas de Estatística	Ponto médio nº de alunos
xi	Nº de alunos (fi)	Xi . Fi	(xi – x) 2 . fi	FAC
	0______2	1	3	3	(1 – 5) 2 . 3 = 48	3
	2______4	3	12	36	(3 – 5) 2 . 12 = 48	15
	4______6	5	18	90	(5 – 5) 2 . 18 = 0	33
	6______8	7	12	84	(7 – 5) 2 . 12 = 48	45
	8______10	9	3	27	(9 – 5) 2 . 3 = 48	48
			48	240	192	
MÉDIA PONDERADA = 
Complete a tabela, calculando a média, a mediana, a moda de Czuber e o desvio padrão amostral das notas x de Estatística. Interprete todos os resultados obtidos. 
b) 24ª posição – (3ª classe – 4 à 6)
Lmd= 4
N = 48
Fac ant= 15
H = 2
Fmd = 18
lmd + 
 + 
 (Nota dos alunos)
c) Moda de Czuber - X* = lmo + 
Lmo = 4 
Fmo = 18
Fant = 12
Fpost = 12
H = 2
X* = 4 + 
X* = 4 + 
X* = 5 (nota dos alunos)
A) MÉDIA PONDERADA = 
d) Variância
S 2 (x) = 
Desvio Padrão
S = 
S = 
S = ± 2,02 (nota dos alunos)
Coeficiente de Variação
CV = x 100 = 
CV = 
CV = 40,40%
19. Na tabela abaixo é apresentada a distribuição de frequências dos montantes (em R$) de uma amostra de 40 empréstimos pessoais de uma instituição financeira para assalariados de baixa renda.
	Montante	Ponto médio 
xi	Nº de empréstimos
(fi)	Xi . Fi	(xi – x) 2 . fi
	300______700	500	13	6.500	(500 – 1.110) 2 . 13 = 4.837.300
	700______1.100	900	11	9.900	(900 – 1.110) 2 . 11 = 485.100
	1.100______1.500	1.300	6	7.800	(1.300 – 1.110) 2 . 6 = 216.600
	1.500______1.900	1.700	5	8.500	(1.700 – 1.110) 2 . 5 = 1.740.500 
	1.900______2.300	2.100	3	6.300	(2.100 – 1.110) 2 . 3 = 2.940.300
	2.300______2.700	2.500	1	2.500	(2.500 – 1.110) 2 . 1 = 1.932.100
	2.700______3.100	2.900	1	2.900	(2.900 – 1.110) 2 . 1 = 3.204.100 
			40	44.400	15.356.000
Complete a tabela, calcule a média e o desvio padrão amostral dos valores dos empréstimos. Interprete o resultado obtido em termos de CV.
A) MÉDIA PONDERADA = 
d) Variância
S 2 (x) = 
Desvio Padrão
S = 
S = 
S = ± 627,49 (montante)
Coeficiente de Variação
CV = x 100 = 
CV = 
CV = 56,53%
20. Um posto de gasolina registrou a seguinte distribuição de frequências para o número de litros de gasolina vendido por carro em uma amostra de 680 carros. 
Calcule a média e o desvio padrão para esses dados agrupados. Interprete o resultado obtido. 
Se o posto de gasolina espera atender cerca de 120 carros em determinado dia, qual é a estimativa do número total de litros de gasolina que serão vendidos? 
Calcule a mediana e a moda. 
Se o proprietário do posto de gasolina deseja oferecer um brinde para 5% dos clientes que colocarem o maior número de litros de gasolina em seu tanque, a partir de que número de litros o cliente será premiado?
	Gasolina (em litros)	Ponto médio nº de litros
xi	Nº de carros(fi)	Xi . Fi	(xi – x) 2 . fi	FAC
	0______8	4	74	296	(4 – 18) 2 . 74 = 14.504,00	74
	8______16	12	192	2.304	(12 – 18) 2 . 192 = 6.912,00	266
	16______24	20	279	5.580	(20 – 18) 2 . 279 = 1.116,00	545
	24______32	28	106	2.968	(28 – 18) 2 . 106 = 10.600,00	651
	32______40	36	23	828	(36 – 18) 2 . 23 = 7.452,00	674
	40______48	44	6	264	(44 – 18) 2 . 6 = 4.056,00	680
			680	12.240	44.640,00	
a) Variância
S 2 (x) = 
Desvio Padrão
S = 
S = 
S = ± 8,11 (litros)
Coeficiente de Variação
CV = x 100 = 
CV = 
CV = 45,06%
A) MÉDIA PONDERADA = litros
c) 40ª posição – (3ª classe – 16 à 24)
Lmd= 16
N = 680
Fac ant= 266
H = 8
Fmd = 279
lmd + 
 + 
 (litros)
c) Moda de Czuber - X* = lmo + 
Lmo = 16
Fmo = 279
Fant = 192
Fpost = 106
H = 8
X* = 16 + 
X* = 16 + 
X* = 18,68 (litros)
b) 120 carros x 18 litros = 2.160 litros 
d) Percentil = 100% - 5% = 95%
 = 646º posição – (4ª classe – 24 à 32)
Lpi= 24
N = 680
Fac ant= 545
H = 8
Fpi = 106
lpi + 
 + 
 (litros)