cinematica de umponto material 1

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MECÂNICA GERAL II
Marcelo Quadros
Cinemática do 
ponto material I 
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Descrever a cinemática dos corpos.
 � Analisar os movimentos retilíneo e curvilíneo plano, suas características
de velocidade e aceleração.
 � Reconhecer as coordenadas retangulares e o deslocamento de um
projétil.
Introdução
Um dos principais objetivos da cinemática dos corpos é criar movimentos 
desejados em qualquer partícula e, a partir disso, determinar suas posições, 
velocidades e acelerações. Na engenharia, a maioria dos projetos de 
desenvolvimento de sistemas de movimentação e transmissão inicia-se 
pela definição da configuração cinemática necessária para fornecer os 
movimentos desejados. 
Em geral, a análise das forças, tensões e deformações necessita de 
estudos preliminares da cinemática para o desenvolvimento dos projetos. 
Dentre esses movimentos, destacam-se os retilíneos e os curvilíneos 
planos, presentes em vários sistemas de movimentação e deslocamento, 
base fundamental para determinação das velocidades e acelerações de 
todas as partículas.
Neste capítulo, você estudará a cinemática dos corpos, analisará os 
movimentos retilíneo e curvilíneo plano, assim como suas características 
de velocidade e aceleração. Por fim, conhecerá as coordenadas retangu-
lares e o deslocamento de um projétil.
Cinemática dos corpos
A cinética é o estudo da relação existente entre as forças que atuam sobre um 
corpo, a massa do corpo e seu movimento. Usamos a cinética para prever o 
movimento causado por forças conhecidas ou determinar as forças necessárias 
para produzir um dado movimento (BEER et al., 2019).
Entretanto, o objeto de nosso estudo é a cinemática, ou seja, o estudo do 
movimento sem levar em conta as forças ou outros fatores que o influenciam. 
Posição, velocidade, aceleração e tempo estão relacionados ao movimento de 
uma partícula que ocupa um ponto no espaço. Na realidade, uma partícula 
pode ser uma miçanga em um fio ou um avião no céu (NELSON et al., 2013).
A primeira e a terceira leis de Newton do movimento são muito utilizadas na 
estática para estudar corpos em repouso e forças que atuam sobre eles. Essas 
duas leis também são usadas em dinâmica. De fato, elas são suficientes para 
o estudo do movimento de corpos que não têm aceleração. Entretanto, quando 
eles são acelerados, isto é, na cinemática, quando a intensidade ou a direção 
de suas velocidades mudam, é necessário utilizar a segunda lei de Newton 
do movimento, para relacionar o movimento do corpo às forças que atuam 
sobre ele. De acordo com a segunda lei, se a resultante das forças que atuam 
sobre uma partícula não for zero, a partícula terá uma aceleração proporcional 
à intensidade da resultante e na direção dessa força resultante. Mais do que 
isso, a razão entre as intensidades da força resultante e da aceleração pode ser 
usada para definir a massa da partícula (BEER et al., 2019).
Engenheiros projetam e desenvolvem sistemas segundo essas leis, para que 
não haja falhas durante o tempo de vida útil desses mecanismos. Para isso, o 
grande objetivo desses profissionais é manter os esforços dentro dos limites 
aceitáveis para todos os materiais escolhidos conforme cada exigência. Esse 
é um dos objetivos principais da cinemática, ou seja, criar os movimentos 
desejados desses sistemas e, a partir disso, calcular as posições, velocidades 
e acelerações dos movimentos de cada mecanismo. 
Isso requer que todas as forças aplicadas nesses sistemas sejam definidas e 
mantidas dentro do limite escolhido e proporcionais à aceleração. Por exemplo, 
no caso da massa que não se altera com o tempo, podemos calcular a aceleração 
e a força em função do tempo. Já as tensões, por sua vez, são definidas em 
função das forças inerciais e forças internas.
Em função dessa análise, podemos concluir que a cinemática é a base 
fundamental no desenvolvimento desses projetos, de pleno conhecimento do 
engenheiro, pois muitas definições básicas e decisões iniciais no processo do 
projeto envolvem os princípios da cinemática. A partir do estudo da cinemática, 
Cinemática do ponto material I2
garantimos que não haja falhas nesses importantes sistemas de movimentação 
demonstrados na Figura 1, a seguir. 
Figura 1. Exemplos de aplicação da cinemática.
Fonte: (a) Basyn/Shutterstock.com; (b) u3d/Shutterstock.com; (c) ADS-DESIGN/Shut-
terstock.com.
3Cinemática do ponto material I
Para iniciarmos o estudo da cinemática, o primeiro passo é conhecer o 
movimento retilíneo das partículas.
Movimento retilíneo de partículas
Diz-se que uma partícula em deslocamento ao longo de uma linha reta está 
em movimento retilíneo. As únicas variáveis necessárias para descrever esse 
movimento são o tempo t e a distância ao longo da linha x em função do 
tempo. Com elas, podemos definir a posição, a velocidade e a aceleração da 
partícula, que descrevem completamente o seu movimento. Quando estudamos 
o movimento de uma partícula movendo-se em um plano (duas dimensões)
ou no espaço (três dimensões), utilizamos um vetor de posição mais geral ao
invés de simplesmente a distância ao longo de uma linha (BEER et al., 2019).
Posição, velocidade e aceleração
Em qualquer instante dado t, uma partícula ocupará certa posição sobre a 
linha reta. Para definir a posição P da partícula, escolhemos uma origem fixa 
O na linha reta e um sentido positivo ao longo da reta. Medimos a distância 
x de O a P e anotamos com um sinal positivo ou negativo, de acordo com o 
fato de P ter sido alcançado a partir de O movendo-se no sentido positivo ou 
no negativo ao longo da linha. A distância x, com o sinal adequado, define 
completamente a posição da partícula; ela é chamada de coordenada de posição 
da partícula. Por exemplo, a coordenada de posição correspondente a P, na 
Figura 2a, é de x = 5 m; e a coordenada correspondente a P©, na Figura 2b, 
é de x’ = –2 m. Quando a coordenada de posição x de uma partícula é 
conhecida para qualquer valor do tempo t, dizemos que o movimento da 
partícula é conhecido (BEER et al., 2019).
Cinemática do ponto material I4
Figura 2. (a) Posição medida a partir da origem de coordenada posi-
tiva; (b) posição medida a partir da origem de coordenada negativa.
Fonte: Beer et al. (2019, p. 617).
A velocidade e a aceleração podem estar em sentidos iguais ou diferentes. 
No caso de estarem no mesmo sentido, a partícula acelera, porém, quando 
a aceleração e a velocidade estiverem em sentidos opostos, ela desacelera, 
conforme demonstrado na Figura 3, a seguir.
Figura 3. Sentido da velocidade e da aceleração.
Fonte: Beer et al. (2019, p. 619).
5Cinemática do ponto material I
Em todos os problemas relacionados à área da cinemática, você será soli-
citado a determinar a posição, a velocidade e a aceleração de uma partícula 
em movimento retilíneo. À medida que lê cada problema, é importante que 
você identifique a variável independente (tipicamente t ou x) e também o que 
é pedido (por exemplo, a necessidade de expressar v como função de x). Nesse 
caso, pode ser útil começar cada problema escrevendo a informação dada e 
um enunciado simples do que deve ser determinado. 
Resumidamente, para todos os problemas envolvendo a cinemática, teremos as 
relações conforme apresentadas na Figura 4.
Figura 4. Relações cinemáticas.
Fonte: Beer et al. (2019, p. 629).
Movimentos retilíneo e curvilíneo plano
Movimento retilíneo é o movimento de um ponto P ao longo de uma linha 
reta que, por conveniência, será escolhida como o eixo x. Símbolos vetoriais 
são desnecessários nessa parte. A posição do ponto P em qualquer instante 
t é expressa em termos de sua distância x de uma origem fixa O no eixo x 
(NELSON et al., 2013).
Cinemática do ponto material I6
Essa distância x é positiva ou negativa, de acordo com a convenção de 
sinal utilizada. A velocidade média vméd do ponto P durante o intervalo de 
tempo entre t e t + Δt, durante o qual sua posição muda dex para x + Δx, é o 
quociente . Matematicamente, isso é:
A velocidade instantânea v do ponto P no tempo t é o limite da velocidade 
média quando o incremento de tempo aproxima-se de zero. Matematicamente, 
isso é:
A aceleração média améd do ponto P durante o intervalo de tempo entre t 
e t + Δt, durante o qual sua velocidade muda de v para v + Δv, é o quociente 
. Matematicamente, isso é:
A aceleração instantânea a do ponto P no tempo t é o limite da aceleração 
média quando o incremento de tempo aproxima-se de zero. Matematicamente, 
isso é:
Para aceleração constante a = a0, as seguintes fórmulas são válidas:
v = v0 + a0t 
v2 = v0
2 + 2a0s
s = v0
t + ½ a0t
2
s = ½ (v+v0)t
7Cinemática do ponto material I
onde: 
v0 = velocidade inicial;
v = velocidade final; 
a0 = aceleração constante;
t = tempo; 
s = deslocamento.
No exemplo prático, temos um carro-foguete que se move ao longo de 
uma pista de teste reta, de acordo com a equação x = 3t3 + t + 2, onde x está 
em metros e t em segundos. 
Em função dessa equação e do tempo, quando t = 4s, podemos determinar:
 � deslocamento;
 � velocidade;
 � aceleração;
 � aceleração média no quinto segundo.
O primeiro passo é determinar o deslocamento em função do tempo. Nesse 
caso, temos:
x = 3t3 + t + 2 → x = 3(4)3 + 4 + 2 → x = 198 m
O segundo passo é calcular a velocidade em função do tempo e do 
deslocamento:
v = 9t2 + 1 → v = 9(4)2 + 1 → v = 145 m/s
O terceiro passo é calcular a aceleração em função da velocidade e do tempo:
a = 18t → a = 18(4) → a = 72 m/s2
Por fim, calculamos a velocidade média no fim do quinto segundo.
v = 9(5)2 + 1 → v =226 m/s.
Cinemática do ponto material I8
Assim, a mudança na velocidade durante o quinto segundo é 226 m/s − 145 
m/s = 81 m/s.
A aceleração média é:
Além do movimento retilíneo, temos o movimento curvilíneo que, em um 
plano, é o movimento ao longo de uma curva plana (trajetória). A velocidade 
e a aceleração de um ponto sobre essa curva são expressas em componentes 
retangulares, componentes tangencial e normal, e componentes radial e trans-
versal (NELSON et al., 2013).
Para definir a posição P ocupada por uma partícula em movimento curvi-
líneo em um dado tempo t, selecionamos um sistema de referência fixo, como 
os eixos x, y, z mostrados na Figura 5, a seguir, e desenhamos o vetor r, unindo 
a origem O e o ponto P. O vetor r é caracterizado pela sua intensidade r e sua 
direção em relação aos eixos de referência, de modo que define completamente 
a posição da partícula em relação a esses eixos. Referimo-nos ao vetor r como 
vetor de posição da partícula no tempo t.
Figura 5. Vetores de posição para uma partícula que se move ao longo de 
uma curva.
Fonte: Beer et al. (2019, p. 663).
9Cinemática do ponto material I
Considere, agora, o vetor r’ que define a posição P’ ocupada pela mesma 
partícula em um momento posterior t+Δt. O vetor Δr unindo P e P’ representa 
a variação no vetor de posição durante o intervalo de tempo Δt e é chamado 
de vetor de deslocamento. Podemos verificar isso diretamente na Figura 6, 
onde obtemos o vetor r’ adicionando os vetores r e Δr de acordo com a regra 
do triângulo. Notamos que Δr representa uma variação na direção, bem como 
uma variação na intensidade do vetor de posição r. A velocidade média da 
partícula no intervalo de tempo Δt é definida como o quociente de Δr e Δt. 
Como Δr é um vetor, e Δt é um escalar, o quociente Δr/Δt é um vetor ligado 
a P com a mesma direção que Δr e uma intensidade igual à intensidade de 
Δr dividida por Δt.
Figura 6. Vetores de velocidade média.
Fonte: Beer et al. (2019, p. 663).
Obtemos a velocidade instantânea da partícula no instante t, usando o 
limite quando o intervalo de tempo Δt aproxima-se de zero. A velocidade 
instantânea é, então, representada pelo vetor:
Cinemática do ponto material I10
À medida que Δt e Δr se tornam menores, os pontos P e P’ se aproximam. 
Assim, o vetor v obtido no limite deve ser tangente à trajetória da partícula, 
conforme demonstrado na Figura 7.
Figura 7. Vetor de velocidade instantânea.
Fonte: Beer et al. (2019, p. 663).
Para se aprofundar nos conhecimentos sobre movimentos retilíneo e curvilíneo plano, 
e em suas características de velocidade e aceleração, leia o livro Mecânica Vetorial 
para Engenheiros — Dinâmica, de Beer et al. , publicado pela McGraw-Hill Education/
Bookman em 2019.
11Cinemática do ponto material I
Coordenadas retangulares e descolamento de 
um projétil
Suponha que a posição de uma partícula P seja definida em qualquer instante 
pelas suas coordenadas retangulares x, y e z. Nesse caso, é frequentemente 
conveniente decompor a velocidade v e a aceleração a da partícula em compo-
nentes retangulares, conforme demonstrado na Figura 8 (BEER et al., 2019). 
Figura 8. Componentes retangulares de posição e de velocidade 
para uma partícula.
Fonte: Beer et al. (2019, p. 667).
Para decompor o vetor de posição r da partícula em componentes retan-
gulares, escrevemos que as coordenadas x, y e z são funções de t. Derivando 
duas vezes, obtemos velocidade e aceleração em componentes retangulares, 
conforme Figura 9, a seguir.
Cinemática do ponto material I12
Figura 9. Componentes retangulares de aceleração para a 
partícula P.
Fonte: Beer et al. (2019, p. 667).
Nesse caso, o vetor posição r de um ponto P sobre essa curva, em termos 
dos vetores unitários i e j ao longo dos eixos x e y, respectivamente, é escrito:
r = xi + yj 
À medida que P move, r varia, e a velocidade v pode ser expressa como:
Usando dx / dt = ẋ, dy/dt = ẏ e dr/dt = ṙ como símbolos convenientes, temos:
v = ṙ = ẋi + ẏj
13Cinemática do ponto material I
A velocidade do ponto é a magnitude da velocidade v. Ou seja:
A utilização de componentes retangulares para descrever a posição, a 
velocidade e a aceleração de uma partícula é particularmente eficaz quando o 
componente ax da aceleração depende apenas de t, x, ou vx, e, da mesma forma, 
quando ay depende somente de t, y, ou vy, e quando az depende de t, z ou vz. 
Nesse caso, podemos integrar equações independentemente. Em outras 
palavras, o movimento da partícula na direção x, seu movimento na direção 
y e seu movimento na direção z podem ser estudados separadamente. 
No caso do movimento de um projétil, por exemplo, os componentes da 
aceleração são:
Se a resistência do ar for desprezada, indicando as coordenadas de uma 
arma por x0, y0 e z0 e os componentes da velocidade inicial v0 do projétil por 
(vx)0, (vy)0 e (vz)0, podemos integrar duas vezes em t e obter:
Se o projétil é disparado no plano xy da origem O, temos x0 = y0 = z0 = 0 e 
(vz)0 = 0, e as equações de movimento reduzem-se a:
Essas equações mostram que o projétil permanece no plano xy, que seu 
movimento na direção horizontal é uniforme e seu movimento na direção 
vertical é uniformemente acelerado, conforme Figura 10. 
Cinemática do ponto material I14
Figura 10. Componentes retangulares de aceleração para a partícula P.
Fonte: Beer et al. (2019, p. 668).
Portanto, podemos substituir o movimento de um projétil por dois movi-
mentos retilíneos independentes (Figura 11), que são facilmente visualizados 
se considerarmos que o projétil é disparado verticalmente com uma velocidade 
inicial (vy)0 de uma plataforma, movendo-se com uma velocidade horizontal 
constante (vx)0.
Figura 11. Componentes retangulares de aceleração para a partícula P.
Fonte: Beer et al. (2019, p. 668).
15Cinemática do ponto material I
De maneira resumida, a coordenada x do projétil é igual, em qualquer 
instante, à distância percorrida pela plataforma. Podemos calcular sua co-
ordenada y como se o projétil estivesse movendo-se ao longo de uma linha 
vertical. Além disso, como os valores (vx)0 são os mesmos, o projétil pousará 
na plataforma, independentemente do valor de (vy)0.
Observe que as equações que definem as coordenadas x e y de um projétil em um 
instante qualquer são as equações paramétricas de uma parábola. Dessa forma, a 
trajetória de um projétil é parabólica.Esse resultado, entretanto, deixa de ser válido 
em projetos quando a resistência do ar ou a variação da aceleração da gravidade com 
a altitude forem levadas em conta (BEER et al., 2019).
BEER, F. P. et al. Mecânica vetorial para engenheiros: dinâmica. 11. ed. Porto Alegre: AMGH; 
Bookman, 2019. 894 p.
NELSON, E. W. et al. Engenharia mecânica: dinâmica. 5. ed. Porto Alegre: Bookman, 
2013. 310 p. (Coleção Schaum).
Leitura recomendada
NORTON, R. L. Cinemática e dinâmica dos mecanismos: com unidades do Sistema In-
ternacional. Porto Alegre: AMGH; Bookman, 2010. 800 p.
Cinemática do ponto material I16