Lista de Exercícios

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Lista de Exercícios – Métodos Quantitativos 
1. Considere a seguinte formulação em Programação Linear: 
Maximizar Z = x1 - x2 
Sujeito a: 
4x1 + x2 ≤ 4 
x1 + x2 ≤ 3 
x1, x2 ≤ 0. 
 
Encontre a solução ótima deste problema através do Algoritmo Simplex. 
a) X*= (3,0,8,0) e Z*= 3 
b) X*= (5,2,8,0) e Z*= 4 
c) X*= (1,0,8,0) e Z*= 8 
d) X*= (2,5,9,3) e Z*= 7 
e) X*= (9,0,8,0) e Z*= 21 
 
2. Modele o seguinte problema: uma empresa denominada "vidros lindos", fabrica copos 
personalizados de vidro. Cada copo consome 2 unidades de placas de vidro e cada 
prato consome 12 unidades de placas de vidro. Ao todo, a empresa tem 128 unidades 
de placas de vidro disponíveis para a produção semanal. Sabe-se ainda que para a 
empresa precisa de 8 horas de trabalho para produzir um copo, e necessita de 10 
horas de trabalho para produzir um prato. A empresa dispõe de 150 horas de trabalho 
para a produção semanal. O lucro obtido na venda de cada copo está previsto em R$ 
17,00 e de cada prato R$ 24,00. Apresente um modelo de Programação Linear que 
identifica a quantidade de copos e pratos que devem ser produzidos por semana e o 
lucro máximo semanal. 
 
Resposta: 
Max 17x1 + 24x2 
Sujeito a 
2x1 + 12x2 <= 128 
8x1 + 10x2 <= 150 
x1 >= 0 
x2 >= 0 
 
3. Considere a sua produção de 2 produtos: camisa e calça, produzidos durante toda a 
semana. As camisas produzidas são vendidas por R$65,00 e possuem um custo de 
R$25,00 de matérias-primas e R$15,00 de mão de obra. As calças são vendidas por 
R$120,00, com custos de R$45,00 de matérias-primas e R$30,00 de mão-de-obra. 
Considerando um processo simples de modelagem, assinale o item que apresenta a 
função objetivo correta: 
 
a) Max Z = 25X1 + 45X2 
b) Min Z = 25X1 + 45X2 
c) Max Z = 25X1 - 45X2 
d) Max Z = 35X1 + 45X2 
e) Min Z = 35X1 + 45X2 
4. Fazer levantamentos, estudos, pesquisas, sobre toda uma população (censo) é, em 
geral, muito difícil. Isto se deve à vários fatores. O principal é o custo. Assim, 
normalmente, se trabalha com partes da população denominadas de amostras. Uma 
amostra pode ser caracterizada como uma porção ou parte de uma população de 
interesse. O processo de escolha de uma amostra da população é denominado de 
amostragem. Existem, basicamente, dois tipos de amostragem, um desses tipos é 
definido com a característica de que a probabilidade de uma unidade amostral ser 
sorteada é desconhecida, que tipo de amostragem é essa? 
 
a) amostragem probabilística ou aleatória. 
b) amostragem não probabilística ou não aleatória. 
c) amostragem aleatória simples. 
d) amostragem estratificada 
e) amostragem de conglomerados. 
 
5. Uma fábrica produz dois produtos P1 e P2. O produto P1 utiliza 7 unidades da matéria 
prima A e 3 unidades da matéria prima B. O Produto P2 utiliza 8 unidades de matéria 
prima A e 2 unidades de matéria prima B. A disponibilidade no estoque é de 75 
unidades da matéria prima A e 68 unidades da matéria prima B. O tempo de fabricação 
de P1 é 12 minutos e P2 é 19 minutos, sendo a jornada de trabalho por dia de 7 horas. 
O preço de P1 é de R$ 15,00 e P2 é de R$ 19,00. O objetivo é maximizar a receita por 
dia de produção de P1 e P2. Sabendo-se que x1 = quantidade de P1 por dia e x2 = 
quantidade de P2 por dia. As inequações x1 ≥ 0 e x2 ≥ 0, representam: 
 
a) A restrição de jornada de trabalho. 
b) A restrição da matéria prima B. 
c) A restrição da matéria prima A. 
d) A restrição de não negatividade. 
e) A função objetivo. 
 
6. Um fazendeiro dispõe de 5 alqueires para plantar feijão e arroz. Ele deve decidir 
quanto planejar de cada cultura de modo que o rendimento total seja máximo. Cada 
alqueire de feijão produz um rendimento líquido de 800 reais; cada alqueire de 
arroz,1000 reais. Para o feijão, são necessários 10000 litros de água por alqueire; para 
o arroz,20000 litros. Cada alqueira de feijão necessita de 150 kg de fertilizante, o que 
não é necessário no cultivo do arroz. Dispõe-se de um total de 80000 litros de água e 
de 600 kg de fertilizantes para a empreitada. Quantos alqueires de feijão e quantos de 
arroz devem ser plantados? 
 
a) X= 4 (alqueres de Feijão) 
 Y= Alqueires de Arroz e rendimento Máx: 3.600 reais. 
b) X= 2 (alqueres de Feijão); 
 Y= 3 (Alqueires de Arroz) e rendimento Máx: 4.600 reais. 
c) X= 1 (alqueres de Feijão); 
 Y= 1 (Alqueires de Arroz) e rendimento Máx: 4.600 reais. 
D) X= 6 (alqueres de Feijão); 
 Y= 3 (Alqueires de Arroz) e rendimento Máx: 4.600 reais. 
E) X= 3 (alqueres de Feijão); 
 Y= 4 (Alqueires de Arroz) e rendimento Máx: 2.600 reais. 
 
Explicação: 
Max z= 800x+1.000y 
x+y=5 
10.000x+20.000y ≤ 80000 
150x+0y ≤600 
x, y ≥ 0 
Ponto ótimo é x=2 e y=3 e rendimento máximo é de 4.600 reais 
 
7. Os problemas de programação linear consistem em determinar valores não negativos 
para as variáveis de decisão satisfazendo as restrições impostas de forma a otimizar, 
maximizando ou minimizando, a função objetivo. Quando temos um problema que 
apresenta duas variáveis de decisão, a solução ótima pode ser encontrada 
graficamente. Considerando a representação gráfica a seguir sendo o conjunto de 
restrições para função objetivo Max Z = 170x1 + 110x2, pode-se afirmar que 
 
 
a) o ponto A é o ponto que representa sua maximização. 
b) o ponto B é o ponto que representa sua maximização. 
c) o ponto C é o ponto que representa sua maximização. 
d) a maximização ocorre na origem do plano cartesiano. 
e) não é possível determinar sua maximização. 
 
8. Coloque o seguinte PPL no formato padrão: 
Max 2x1 + 2x2 
Sujeito a 
x1 + 3x2 ≤ 6 
x1 ≥ 4 
x1 ≥ 0, x2 ≤ 0 
 
Resposta: 
Max 2x1 - 2x2 
Sujeito a 
x1 - 3x2 + x3 = 6 
x1 - x4 = 4 
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0, x4 ≥ 0 
 
9. Coloque o seguinte PPL no formato canônico: 
Max 2x1 + 2x2 
Sujeito a 
x1 + 3x2 ≤ 6 
x1 ≥ 4 
x1 ≥ 0, x2 ≤ 0 
 
Resposta: 
Max 2x1 - 2x2 
Sujeito a 
x1 - 3x2 ≤ 6 
- x1 ≤ -4 
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0 
 
10. Apresente o modelo dual do PPL apresentado a seguir: 
 
Max 2x1 + 3x2 
Sujeito a 
x1 + x2 ≤ 6 
4x1 + 7x2 ≤ 12 
x1, x2 ≥ 0 
 
Resposta: 
 
Min 6y1 + 12y2 
Sujeito a 
y1 + 4y2 ≥ 2 
y2 + 7y2 ≥ 3 
y1, y2 ≥ 0 
 
11. Analise a seguinte tabela simplex e indique qual a variável que entra na solução e qual 
a variável que sai: 
 
Resposta: 
Entra x2, sai x5 
 
 
12. Considere o seguinte problema de transporte: 
 
Construa a solução inicial utilizando os métodos: 
a) Canto Noroeste 
b) Menor Custo 
c) Aproximação de Vogel 
Resposta: 
a) Canto Noroeste 
 
b) Menor custo 
 
c) Aproximação de Vogel