Simulados e Provas- Calculo para computação

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CÁLCULO PARA COMPUTAÇÃO
	
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	Calc.
	
	
	 
	 
	 
	 
	CCT0887_A1_202003517135_V1 
	
	
	
	
		Aluno: KETHLYN CRISTINE MARRICHI LORENZO 
	Matr.: 202003517135
	Disc.: CÁLCULO PARA COMP  
	2021.3 EAD (G) / EX
		Prezado (a) Aluno(a),
Você fará agora seu TESTE DE CONHECIMENTO! Lembre-se que este exercício é opcional, mas não valerá ponto para sua avaliação. O mesmo será composto de questões de múltipla escolha.
Após responde cada questão, você terá acesso ao gabarito comentado e/ou à explicação da mesma. Aproveite para se familiarizar com este modelo de questões que será usado na sua AV e AVS.
	
	 
		
	
		1.
		O limte lateral para a função f(x) representado por limx→2−2√x2−4x−2
		  é corretamente expresso por:
	
	
	
	-1
	
	
	−∞
	
	
	
	0
	
	
	
	+∞
	
	
	
	1
	
Explicação: 
Como x → 2+, o aluno deve lembrar x - 2 > 0 e x−2=√(x−2)2
	Além disso, (x2 - 4) = (x+2)(x-2)
	
	
	
	 
		
	
		2.
		O limx→23√x3+2x2−5x2+3x−7
		 é corretamente expresso por: 
	
	
	
	3√113
	
	
	
	1
	
	
	0
	
	
	3√1132
	
	
	
	−∞
	
	
Explicação: 
Basta o aluno aplicar os teoremas sobre limites e encontrará o resultado.
	
	
	
	 
		
	
		3.
		O limite da função f(x) expresso por
limx→2x4−16x−2
		é corretamente igual a:
	
	
	
	2
	
	
	16
	
	
	32
	
	
	0
	
	
	0/0
	
Explicação: 
O aluno deve decompor o termo (x4−16)
 em (x+2)(x−2)(x2+4)
 e, então, aplicar o limite.
Assim, obterá como resposta 32.
Atividade
1. A prova rigorosa de que limx→−7(2x+5)=−9 limx→-7(2x+5)=-9  conduz à relação:
a) δ=ε2δ=ε2 
b) δ=ε3δ=ε3 
c) δ=2εδ=2ε 
d) δ=3εδ=3ε 
e) δ=εδ=ε 
Infelizmente, você errou!
Resposta correta: letra (a).
Devemos mostrar que, dado ε>0ε>0, existe um δ>0δ>0 tal que:
|2x+5−(−9)|<ε   se   0<|x−(−7)|<δ   (1)|2x+5-(-9)|<ε   se   0<|x-(-7)|<δ   (1)
|2x+14|<ε   se   0<|x+7|<δ   (2)|2x+14|<ε   se   0<|x+7|<δ   (2)
2⋅|x+7|<ε   se   0<|x+7|<δ   (3)2·|x+7|<ε   se   0<|x+7|<δ   (3)
Deveria ser evidente por si só que (3) é verdadeiro se δ=ε2δ=ε2; e, uma vez que (3) é a reformulação de (2), mostramos que (2) é válida com δ=ε2δ=ε2. Isso prova que limx→−7(2x+5)=−9limx→-7(2x+5)=-9.
2. Para quais valores de x, se houver, a função f(x)=x2−16x2−5x+4f(x)=x2-16x2-5x+4 é descontínua?
a) 0 e - 2 
b) – 2 e 2 
c) – 1 e 4 
d) 1 e 4 
e) Não há descontinuidades 
Infelizmente, você errou!
Resposta correta: letra (d).
A função f(x) é uma função racional e, portanto, é contínua em toda parte, exceto nos pontos em que o denominador é zero. Resolvendo a equação x2 – 5x + 4, obtêm-se dois pontos de descontinuidade, x = 1 e x = 4.
3. Os valores das constantes k e m, se possível, que façam a função f ficar contínua em toda parte serão:
f⎛⎝⎜x⎞⎠⎟=⎧⎩⎨⎪⎪x2+5,m(x+1)+k,2x3+x+7,x>2−1<x≤2  x≤−1f(x)={x2+5,x>2m(x+1)+k,-1<x≤22x3+x+7,  x≤-1
a) m = 0 e k = 4 
b) m = - 3 e k = - 2 
c) m = 5/3 e k = 4 
d) m = 2 e k = - 2 
e) Não há descontinuidades 
Parabéns! Você acertou!
Resposta correta: letra (c).
limx→2−x2+5=9   ∴   limx→2[m(x+1)+k]=9  ∴   3m+k=9limx→2-x2+5=9   ∴   limx→2[m(x+1)+k]=9  ∴   3m+k=9
limx→−1(2x3+x+7)=4   ∴   limx→−1+[m(x+1)+k]=4   ∴   k=4limx→-1(2x3+x+7)=4   ∴   limx→-1+[m(x+1)+k]=4   ∴   k=4
Logo: m=53m=53
4. Em qual dos seguintes intervalos f(x)=1x−2√ f(x)=1x-2  é contínua?
a) [2, + ∞)[2, + ∞) 
b) (−∞, +∞)(-∞, +∞) 
c) (2, +∞)(2, +∞) 
d) [1, 2)[1, 2) 
e) (−∞, 0](-∞, 0] 
Infelizmente, você errou!
Resposta correta: letra (c).
x – 2 > 0   ∴   x > 2⇒ (2, +∞)x – 2 > 0   ∴   x > 2⇒ (2, +∞)
5. Considere a função f(x)=3+cos xx3f(x)=3+cos xx3. O valor do limite limx→+∞f(x)limx→+∞f(x) será:
a) +∞+∞ 
b) −∞-∞ 
c) 1 
d) -1 
e) 0 
Infelizmente, você errou!
Resposta correta: letra (e).
Utilize o Teorema do Confronto
−1≤cosx≤1 −1≤cos⁡𝑥≤1 
2≤3+cosx≤4∴2x3 ≤3+cosxx3 ≤4x3 2≤3+cos⁡𝑥≤4∴2𝑥3 ≤3+cos⁡𝑥𝑥3 ≤4𝑥3 
limx → +∞2x3=limx → +∞4x3 =0lim𝑥 → +∞2𝑥3=lim𝑥 → +∞4𝑥3 =0. Logo limx → +∞3 + cosxx3=0
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		Aluno: KETHLYN CRISTINE MARRICHI LORENZO 
	Matr.: 202003517135
	Disc.: CÁLCULO PARA COMP  
	2021.3 EAD (G) / EX
		Prezado (a) Aluno(a),
Você fará agora seu TESTE DE CONHECIMENTO! Lembre-se que este exercício é opcional, mas não valerá ponto para sua avaliação. O mesmo será composto de questões de múltipla escolha.
Após responde cada questão, você terá acesso ao gabarito comentado e/ou à explicação da mesma. Aproveite para se familiarizar com este modelo de questões que será usado na sua AV e AVS.
	
	 
		
	
		1.
		Determinar o maior intervalo (ou união de intervalos) em que a função a seguir é contínua:
√25−x2x+5
		 
	
	
	
	A função é contínua no intervalo: (0,5]
	
	
	A função é contínua ∀x∈R
	
	
	
	A função é contínua no intervalo (-5,5]
	
	
	A função é contínua no intervalo: (-∞
	,5]
	
	
	A função é contínua no intervalo: (-5,+∞)
	
	
Explicação: 
Primeiro determinamos o domínio de f:
A função é definida em qualquer parte, exceto quando x = - 5 ou 25 - x2 < 0 (isto é, quando x < - 5 ou x > 5).
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Sobre a função f(x)=1√x2−3x+2
		 é  possível afirmar que sua continuidade é garantida em:
	
	
	
	(−∞,−1]
 U [2,+∞
	)
	
	
	(−∞,+∞)
	
	
	
	A função f não é contínua para qualquer x real
	
	
	(−∞,1)
 U (2,+∞)
	
	
	
	(−1,−2)
	
	
Explicação: 
O aluno deve estudar a função quanto ao seu domínio considerando:
x2−3x+2
	 > 0
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Determine o intervalo de valores em que a função h(x)=√4−x2
		 é contínua.
	
	
	
	[−2,+∞)
	
	
	
	(−∞,2]
	
	
	
	∀x∈R
	
	
	
	(−2,2)
	
	
	
	[−2,2]
	
	
Explicação: 
A função h(x) pode ser entendido como uma função composta f¿g.
f(x)=√x
  contínua para todo x positivo
g(x)=4−x2
 contínua em toda parte
Consequentemente, h(x) é contínua em todo número x para o qual g(x) > 0, isto é, 4 - x2 > 0.
	
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Após responde cada questão, você terá acesso ao gabarito comentado e/ou à explicação da mesma. Aproveite para se familiarizar com este modelo de questões que será usado na sua AV e AVS.
	
	 
		
	
		1.
		A derivada implícita dxdy
 quando 5y2+sen(y)=x2
		 é corretamente dada por: 
 
	
	
	
	dxdy=−10y+cos(y)2x
	
	
	
	dxdy=2x10y+cos(y)
	
	
	
	dxdy=−2x10y+cos(y)
	
	
	
	dxdy=10ysin(x)
	
	
	
	dxdy=10y+cos(y)2x
	
	
Explicação: 
Após a derivação à esquerda e á direita temos:
10ydydx+cos(y)dydx=2x
	Arrumando os termos, temos a resposta: a
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Encontre a derivada de y=x2−1x2+1
		
	
	
	
	f′(x)=
x(x2+1)2
	
	
	
	f′(x)=
3+x(x2+1)2
	
	
	
	f′(x)=
−3+x(x2−1)2
	
	
	
	f′(x)=
4x(x2+1)2
	
	
	
	f′(x)=
4x(x2−1)2
	
	
Explicação: 
O aluno deve aplicar a regra do quociente com u=x2−1
 e  v=x2+1
 
ddxuv=v∗(du/dx)−u∗(dv/dx)v2
	
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Em quais pontos o gráfico da função f(x) = x2−4x−1
		 possui tangentes horizontais?
	
	
	
	Apenas no ponto (2,-5)
	
	
	Apenas no ponto (0,0)
	
	
	Apenas no ponto (0,5)
	
	
	Apenas no ponto (-3,2)
	
	
	Apenas no ponto (-2,-5)
	
Explicação: 
O aluno deve derivar a função f(x).
f′(x)=2x−4
A qual é zero, quando x = 2. Assim, a tangente horizontal será dada em (2,-5).
	
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		Prezado (a) Aluno(a),
Você fará agora seu TESTE DE CONHECIMENTO! Lembre-seque este exercício é opcional, mas não valerá ponto para sua avaliação. O mesmo será composto de questões de múltipla escolha.
Após responde cada questão, você terá acesso ao gabarito comentado e/ou à explicação da mesma. Aproveite para se familiarizar com este modelo de questões que será usado na sua AV e AVS.
	
	 
		
	
		1.
		Encontre a derivada da função f(x)=sin(x)(1+sin(x))2
		
	
	
	
	f′(x)=cos(2x)∗[1−sin(x)][1+sin(x)]2
	
	
	
	f′(x)=cos(x)∗sin(x)[1+sin(x)]3
	
	
	
	f′(x)=cos(x)∗[1−sin(x)][1+sin(x)]3
	
	
	
	f′(x)=tan(x)∗[1−sin(x)][1+cos(x)]3
	
	
	
	f′(x)=cos(x)∗[1+sin(2x)][1−sin(x)]2
	
	
Explicação: 
O aluno deve aplicar a regra do quociente e as derivadas das funções trigonométricas correspondentes:
fg′=f′∗g−g′∗fg2
	
	
	
	
	 
		
	
		2.
		A derivada da função exp(−xx2+3x−5)
		 é dada por:
	
	
	
	f′(x)=exp(−xx2+x−5)∗[x∗(x+3)(x2+3x−5)2−1x2+x−5]
	
	
	
	f′(x)=exp(xx3+3−5x)∗[x∗(x+3)(x3+3−5)2−xx2+3x−5]
	
	
	
	f′(x)=(−xx2+3x−5)∗[x∗(2x+3)(x2+3x−5)2−1x2+3x−5]
	
	
	
	f′(x)=exp(xx2+x−5)∗[x∗(2x−3)(x2+3x−5)3−xx2+3x−5]
	
	
	
	f′(x)=exp(−xx2+3x−5)∗[x∗(2x+3)(x2+3x−5)2−1x2+3x−5]
	
	
Explicação: 
O aluno deve fazer: u=−xx2+3x−5
 e, então:
exp(u)∗dudx
	
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Derive a função f(x)=1(1+sin(x))2
		
	
	
	
	f′(x)=cos(x)[1+sin(x)]2
	
	
	
	f′(x)=sin(x)[1+sin(x)]3
	
	
	
	f′(x)=cos(x)[1+sec(x)]2
	
	
	
	f′(x)=−2∗cos(x)[1+sin(x)]3
	
	
	
	f′(x)=2∗cos(x)[1+cos(x)]4
	
	
Explicação: 
Faça: u=1+sin(x)
f(u)=u−2
f′(u)=−2∗1u3
dudx=cos(x)
d(f(u)dx=dfdu∗dudx
ATIVIDADE AULA 05
1. A aproximação linear local permite que o valor de (3,02)4(3,02)4 seja aproximadamente dado por:
a) 81,15 
b) 82,05 
c) 83,16 
d) 84,55 
e) 88,43 
Infelizmente, você errou!
Resposta correta: letra (c).
Seja f(x)=x4fx=x4 e f′(x)=4x3f'x=4x3, a aproximação linear local será dada por...
f(xo+∆x)≈f(xo )+f' (xo).∆x𝑓(𝑥𝑜+∆𝑥)≈𝑓(𝑥𝑜 )+𝑓′ (𝑥𝑜).∆𝑥
Fazendo xo=3xo=3 e ∆x=0,02∆x=0,02, teremos:
f(3+0,02)≈f(3)+f' (3).0,02=81+108.0,02=83,16𝑓(3+0,02)≈𝑓(3)+𝑓′ (3).0,02=81+108.0,02=83,16
2. A função f(x)=5−4x−x2f(x)=5-4x-x2 apresenta a característica de qual alternativa abaixo?
a) Não possui raízes reais. 
b) Apresenta a concavidade voltada para cima. 
c) Apresenta ponto de inflexão em x=−2x=-2. 
d) O ponto x=−2x=-2 será um ponto de máximo relativo. 
e) O ponto x=−2x=-2 será um ponto de mínimo relativo. 
Infelizmente, você errou!
Resposta correta: letra (d).
f′(x)=−4−2x=−2(2+x)f'x=−4−2x=−2(2+x) e f''(x)=−2 𝑓′′(𝑥)=−2 
f′(x)=0f'x=0 quando x=−2𝑥=−2
(−∞,−2)−∞,−2, f′(x)>0f'x>0, função crescente em (−∞,−2)(−∞,−2)
(−2,+∞)−2,+∞, f′(x)<0f'x<0, função decrescente em (−2,+∞)(−2,+∞)
f′(−2)=0f'−2=0, então, x=−2x=-2 será um ponto crítico e estacionário da função.
f''(x)=−2f''x=−2, x=−2x=−2 será, portanto, um ponto de máximo relativo e teremos a concavidade da função será sempre para baixo (não há ponto de inflexão).
3. A função f(x)=3x3−92x2−5fx=3x3−92x2−5 apresenta pontos críticos em:
a) -1 e 1 
b) -1 e 0 
c) 0 e 1 
d) 1 e 2 
e) −∞-∞ e +∞+∞ 
Infelizmente, você errou!
Resposta correta: letra (c).
A função ff, por ser um polinômio, é diferenciável em toda parte. Portanto, seus pontos críticos são todos estacionários.
Para encontrar esses pontos, você precisa resolver a equação f′(x)=0f'x=0.
f' (x)=9x2−9x∴f' (x)=9x.(x−1)𝑓′ (𝑥)=9𝑥2−9𝑥∴𝑓′ (𝑥)=9𝑥.(𝑥−1)
Logo: f′(x)=0f'x=0 para x=0x=0 e x=1x=1.
4. Usando os testes da derivada primeira e da derivada segunda, os extremos relativos de f(x)=1+8x−3x2fx=1+8x−3x2 podem ser encontrados em:
a) Não existem extremos relativos 
b) Nos pontos x=0x=0 e x=12/x=12 
c) Nos pontos x=−12/x=-12 e x=+12/x=+12 
d) Apenas no ponto x=0x=0 
e) Apenas no ponto  x=43/ x=43 
Infelizmente, você errou!
Resposta correta: letra (e).
f′(x)=8−6x=2(4−3x)f'x=8−6x=2(4−3x)
f''(x)=−6𝑓′′(𝑥)=−6
f'(x)=0 𝑓′(𝑥)=0  para x=43x=43
	Ponto estacionário
	(−6)−6
	f''(x)f''(x)
	Teste da derivada segunda
	x=43/x=43
	−6-6
	−-
	ff tem um máximo relativo
5. Dada a função f(x)=2x − 64 − x fx=2x − 64 − x , é correto afirmar que:
a) Não corta o eixo yy 
b) Não corta o eixo xx 
c) Possui assíntota vertical em x=−4x=-4 
d) Possui um máximo relativo em x=0x=0 
e) Possui assíntota horizontal em y=−2y=-2 
Infelizmente, você errou!
Resposta correta: letra (e).
Corte em xx: quando y=0y=0, x=3x=3
Corte em yy: quando x=0x=0, y=−32y=-32
Assíntotas verticais: 4−x=0∴x=44−𝑥=0∴𝑥=4
Assíntotas horizontais: Os limites...
limx→+∞2x − 64 − x =limx→+∞2−6x/4x/−1=−2limx→+∞2x − 64 − x =limx→+∞2−6x4x−1=−2
limx→−∞2x − 64 − x =limx→−∞2−6x/4x/−1=−2
	 
		
	
		1.
		Sobre a função f(x)=x3−6x2+5x−7
		 é correto afirmar que: 
	
	
	
	Não é contínua em x = 0
	
	
	Apresenta concavidade voltada para baixo no intervalo (−∞,+∞)
	
	
	
	Nunca intercepta o eixo x
	
	
	Apresenta concavidade voltada para cima no intervalo (−∞,0)
	
	
	
	Apresenta um ponto de máximo em x = 6−√213
	
	
Explicação: 
Primeira derivada: f′(x)=3x2−12x+5
Segunda derivada; f′′(x)=6x−12
Os pontos críticos (f'(x)=0) são: 6−√213
e 6+√213
	A análise dos sinais das derivadas conduzirá a resposta
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Encontre os intervalos para os quais a função f(x)=x4−3x2+5
		 apresenta-se como uma função crescente.
	
	
	
	A função será crescente em [−√32;0]
	
	
	
	A função será crescente em [√32;+∞)
	
	
	
	A função será crescente em [−√32;2]
e [√152;+∞)
	
	
	
	A função será crescente em [−√32;0]
e [√32;+∞)
	
	
	
	A função será crescente em [−√12;0]
e [√52;+∞)
	
	
Explicação: 
A primeira derivada da função f(x) é:
f′(x)=4x3−6x
Quando f'(x) = 0, 
x=0
; x=−√32; x=√32
Todos os pontos críticos estão no domínio da função.
Pela análise dos pontos críticos, a função será crescente em [−√32;0]
e [√32;+∞)
	
	
	
	
	 
		
	
		3.
		A função f(x)=x2−2x
		  apresenta a seguinte característica:
	
	
	
	Apresenta assíntota horizontal definida em y = x
	
	
	Apresenta um ponto de mínimo global em x = -2
	
	
	Não cruza o eixo x
	
	
	Apresenta um ponto de máximo global em x = 2
	
	
	É definida em x = 0
	
Explicação: 
O aluno deve gerar a primeira e a segunda derivada da função e, então, realizar o estudo segundo o conteúdo descrito na aula 05.
Atividade 06
1. O limite quando t→−5t→-5 para a função f(t)=t2+3t−10t + 5f(t)=t2+3t-10t + 5 é:
a) - 7 
b) - 5 
c) 0 
d) 5 
e) 7 
Infelizmente, você errou!
Resposta correta: letra (a).
	limt  → −5 f(t) = 00/limt  → -5 f(t) = 00
Aplicando a Regra de l”Hôpital
	limt  → −5 t2 + 3t − 10t + 5 = limt  → −5 2t + 31 = 2 (−5) + 31 = −7limt  → -5 t2 + 3t - 10t + 5 = limt  → -5 2t + 31 = 2 -5 + 31 = -7
2. Superpetroleiros descarregam petróleo em atracadouros a 4 milhas da costa. A refinaria mais próxima está a 9 milhas a leste do ponto da costa mais próximo do atracadouro. Uma tubulação precisa ser construída para conectar a refinaria ao atracadouro. Os dutos subaquáticos custam US$300.000 por mi e o os terrestres, US$200.000 por mi. A distância entre os pontos A e B (veja a figura), para minimizar os custos de construção deve ser de:
a) 813 mi813 mi 
b) 13√13 mi1313 mi 
c) 13−−√ mi13 mi 
d) 813√13 mi81313 mi 
e) 8 mi8 mi 
Infelizmente, você errou!
Resposta correta: letra (d).
	42+x2=y2∴y=16+x2−−−−−−√42+x2=y2∴y=16+x2
C(x)=(16+x2−−−−−−√)⋅300000+(9−x)⋅200000C(x)=(16+x2)·300000+(9-x)·200000
C′(x)=x16+x2√⋅300000−200000∴C′(x)=0C'(x)=x16+x2·300000-200000∴C'(x)=0
300000⋅x−20000016+x2√16+x2√ 0∴300000⋅x=20000016+x2−−−−−−√∴3x=216−x2−−−−−−√300000·x-20000016+x216+x2 0∴300000·x=20000016+x2∴3x=216-x2
9x2=4⋅(16−x2)∴13x2=64∴x=813√13 mi9x2=4·(16-x2)∴13x2=64∴x=81313 mi
Teremos, então, y = 4221√13 miy = 422113 mi
Custo total, c (813√13) ≅2.728.492c 81313 ≅2.728.492 dólares.
3. Duas cidades estão localizadas ao sul de um rio. Uma estação bombeadora será instalada para servir às duas cidades. A tubulação seguirá as retas que ligam cada cidade à estação (veja a figura). Defina o ponto P onde a estação bombeadora deve ser instalada paraminimizar o custo com a tubulação.
a) O ponto P deve estar situado a 2m do lado esquerdo contados a partir da margem, em frente ao ponto A. 
b) O ponto P deve estar situado a 3m do lado esquerdo contados a partir da margem, em frente ao ponto A. 
c) O ponto P deve estar situado a 37/37 m do lado esquerdo contados a partir da margem, em frente ao ponto A. 
d) O ponto P deve estar situado a 47/47 m do lado esquerdo contados a partir da margem, em frente ao ponto A. 
e) O ponto P deve estar situado a 207/207 m do lado esquerdo contados a partir da margem, em frente ao ponto A. 
Infelizmente, você errou!
Resposta correta: letra (e).
	D(x)=x2+4−−−−−√+25+(10−x)2−−−−−−−−−−−−√=x2+4−−−−−√+x2−20x+125−−−−−−−−−−−−√D(x)=x2+4+25+(10-x)2=x2+4+x2-20x+125
D′(x)= xx2+4√ + (x − 10)x2−20x+125√∴D′(x)=0D'(x)= xx2+4 + x - 10x2-20x+125∴D'(x)=0
xx2−20x+125√ +(x−10)⋅x2+4√x2+4√ ⋅ x2−20x+125√=0∴xx2−20x+125−−−−−−−−−−−−√ =−(x−10)⋅x2+4−−−−−√xx2-20x+125 +(x-10)·x2+4x2+4 · x2-20x+125=0∴xx2-20x+125 =-(x-10)·x2+4
21x2+80x−400=0∴x1=207/ 21x2+80x-400=0∴x1=207  e x2=−203/ x2=-203 
Como a raiz negativa não faz sentido ao problema: x=203/ x=203  m
Assim:
	AP¯¯¯¯¯ + PB¯¯¯¯¯ = 2149√7 + 2149√7 = 149−−−√AP¯ + PB¯ = 21497 + 21497 = 149 m
4. Encontre limx → 0 sin 5xxlimx → 0 sin 5xx :
Gabarito
Utilize a Regra de l’Hôpital
	limx → 0 sin 5xx = limx → 0 5 ⋅ cos 5x1 = 51 = 5limx → 0 sin 5xx = limx → 0 5 · cos 5x1 = 51 = 5
5. Encontre limθ → π2/ 1 −  sin θ1 +  cos 2θ limθ → π2 1 -  sin θ1 +  cos 2θ :
Gabarito
Utilize a Regra de l’Hôpital
	limθ → π2/ 1 −  sin θ1 +  cos 2θ  = limθ → π2/ −cos θ−2⋅sin 2θ  = limθ → π2/ sin θ−4⋅cos 2θ = 14limθ → π2 1 -  sin θ1 +  cos 2θ  = limθ → π2 -cos θ-2·sin 2θ  = limθ → π2 sin θ-4·cos 2θ = 14
6. A regra de l’Hôpital não ajuda a encontrar o limite da função abaixo. Encontre o limite escrevendo de outra forma a função.
limx → ∞ 9x + 1√x + 1√ limx → ∞ 9x + 1x + 1 
Gabarito
Utilize a Regra de l’Hôpital
	9x + 1√x + 1√ = 9x + 1√x√x + 1√x√ = 9x + 1x√x + 1x√ = 9 + 1x√1 + 1x√9x + 1x + 1 = 9x + 1xx + 1x = 9x + 1xx + 1x = 9 + 1x1 + 1x
limx → ∞ 9x + 1√x + 1√ = limx → ∞ 9 +1x√1 +1x√ = 9√1√ = 3
		1.
		O limite dado por limx→0sin(5x)3x
		 é dado por: 
	
	
	
	-π
	
	
	
	53
	
	
	
	0
	
	
	-15
	
	
	
	13
	
	
Explicação: 
O aluno deve aplicar a regra de L'Hôpital:
limx→05∗cos(5x)3=53
	
	
	
	
	 
		
	
		2.
		O limite dado por limx→1sin(πx)x−1
		 é dado por:
	
	
	
	−π
	
	
	
	00
	
	
	
	0
	
	
	−∞
	
	
	
	+∞
	
	
Explicação: 
Aplicando a regra de L'Hôpital:
limx→1π∗cos(πx)1=−π
	
	
	
	
	 
		
	
		3.
		O limite limx→0sin(x)x
		 é corretamente indicado por:
	
	
	
	∞
	
	
	
	00
	
	
	
	1
	
	
	−∞
	
	
	
	0
	
Explicação: 
O aluno deve aplicar a regra de L'Hospital:
limx→0sin(x)x=limx→0cos(x)1=11=1
Atividades 07
1. A antiderivada da função f(x)=1−2x3x3f(x)=1-2x3x3 , ou seja, ∫1−2x3x3 dx∫1-2x3x3 dx pode ser corretamente representada por:
a) − 1x2−2x+C- 1x2-2x+C 
b) − 12x2−2x+C- 12x2-2x+C 
c) 12x2−2x+C12x2-2x+C 
d) 12x2+2x+C12x2+2x+C 
e) − 12x2−2x+C- 12x2-2x+C 
Infelizmente, você errou!
Resposta correta: letra (e).
	∫1−2x3x3 dx = ∫(1x3 − 3) dx = ∫ 1x3 dx − 2 ∫ dx = x−3+1−3+1−2x+C∫1-2x3x3 dx = ∫1x3 - 3 dx = ∫ 1x3 dx - 2 ∫ dx = x-3+1-3+1-2x+C
∫1−2x3x3 dx = − 12x2−2x+C∫1-2x3x3 dx = - 12x2-2x+C
2. Considere ∫x13/⋅(2−x)2⋅dx∫x13·(2-x)2·dx. A antiderivada é corretamente representada por:
a) 3x43/ − 127x73/ + 310x103/ + C3x43 - 127x73 + 310x103 + C 
b) 3x43/ − 127x73/ − 310x103/ − C3x43 - 127x73 - 310x103 - C 
c) 3x43/ + 127x73/ − 310x103/ + C3x43 + 127x73 - 310x103 + C 
d) 3x43/ + 127x73/ + 310x103/ + C3x43 + 127x73 + 310x103 + C 
e) −13x43/ − 127x73/ + 310x103/ + C-13x43 - 127x73 + 310x103 + C 
Parabéns! Você acertou!
Resposta correta: letra (a).
	∫x13/⋅(2−x)2⋅dx=∫x13/⋅(4−4x+x2)⋅dx=∫(4x13/ − 4x43/ + x73/) dx∫x13·(2-x)2·dx=∫x13·(4-4x+x2)·dx=∫4x13 - 4x43 + x73 dx
4⋅x1/3+113/ + 1−4⋅x4/3+143/ + 1+x7/3+173/ + 1+c=3x43/−127x73/+310x103/+c4·x1⁄3+113 + 1-4·x4⁄3+143 + 1+x7⁄3+173 + 1+c=3x43-127x73+310x103+c
3. Suponha que um ponto se mova ao longo de uma curva y=f(x)y=f(x) no plano xyxy, de tal forma que, em cada ponto (x,y)(x,y) da curva, a reta tangente tenha inclinação (1+x)2(1+x)2. Qual a equação da curva, sabendo que ela passa pelo ponto (-2,8)?
a) F(x)=[(1+x)3+25]F(x)=[(1+x)3+25] 
b) F(x)=1/3⋅[(1+x)3+25]F(x)=1/3·[(1+x)3+25] 
c) F(x)=1/3⋅[(1+x)3+253]F(x)=1/3·[(1+x)3+253] 
d) F(x)=[(1+x)2+2]F(x)=[(1+x)2+2] 
e) F(x)=1/3⋅[(1+x)2−25]F(x)=1/3·[(1+x)2-25] 
Infelizmente, você errou!
Resposta correta: letra (b).
	Fazendo u=1+x∴du=dxu=1+x∴du=dx
∫(1+x)2dx=∫u2du=u2+12+1+c=u33+c∫(1+x)2dx=∫u2du=u2+12+1+c=u33+c
Logo: ∫(1+x)2dx=(1+x)33+C∫(1+x)2dx=(1+x)33+C
A função procurada será: f(x)=(1+x)33+cfx=(1+x)33+c
Como ela passa pelo ponto (-2,8), então: 
8=(1+(−2))33+C∴C=2538=(1+(-2))33+C∴C=253
Portanto: F(x)=13⋅[(1+x)3+25]F(x)=13·[(1+x)3+25]
4. Qual a integral indefinida para uma função cuja derivada segunda é x√x?
a) x3+C1x2+C2xx3+C1x2+C2x 
b) x52/+C1xx52+C1x 
c) 415x52/+C1x+C2415x52+C1x+C2 
d) F(x)=[(1+x)2+2]F(x)=[(1+x)2+2] 
e) 315x52/+C1x2+C2315x52+C1x2+C2 
Infelizmente, você errou!
Resposta correta: letra (c).
	∫x√dx=x12+1/12/+1+C1=23x32/+C1∫xdx=x12+112+1+C1=23x32+C1
∫(23x32/+C1)dx=23∫x32/dx+∫C1 dx= 415x52/+C1x+C2∫23x32+C1dx=23∫x32dx+∫C1 dx= 415x52+C1x+C2
5. A integral indefinida dada por ∫sin2x⋅cosx⋅dx∫sin2x·cosx·dx apresenta como solução a função F(x)F(x) igual a:
a) F(x)=sin2x3+CF(x)=sin2x3+C 
b) F(x)=sin x3+CF(x)=sin x3+C 
c) F(x)=cos x3+CF(x)=cos x3+C 
d) F(x)=sin3x3+CF(x)=sin3x3+C 
e) F(x)=sic x3+CF(x)=sic x3+C 
Infelizmente, você errou!
Resposta correta: letra (d).
	Fazendo u=sinx∴du=cosx⋅dxu=sinx∴du=cosx·dx
∫sin2x⋅cosx⋅dx=∫u2⋅du=u33+C∫sin2x·cosx·dx=∫u2·du=u33+C
F(x)=sin3x3+CF(x)=sin3x3+C
6. Utilizando as identidades trigonométricas verificadas ao longo desta aula, encontre uma fórmula geral para a integral indefinida ∫dxa2+x2∫dxa2+x2, onde a≠0a≠0 é uma constante.
Gabarito comentado
A primeira coisa a fazer é dividir numerador e denominador por a2a2
	∫dxa2+x2=1a∫dxa/1+(xa)2∫dxa2+x2=1a∫dxa1+xa2
Fazendo: u=ua/∴du=dxa/u=ua∴du=dxa
∫dxa2+x2=1a∫dxa/1+(xa)2=1a∫du1+u2=1a⋅artg u+C=1a⋅arctg(xa)+c∫dxa2+x2=1a∫dxa1+xa2=1a∫du1+u2=1a·artg u+C=1a·arctgxa+c
Logo, a resposta será: ∫dxa2+x2=1a⋅artg (xa)+c∫dxa2+x2=1a·artg xa+c, para a≠0a≠0
7. Encontre a integral indefinida representada por ∫5x2  (1+x)13/dx∫5x2  (1+x)13dx
Gabarito comentado
	Faça u=1+x∴x=u−1∴dx=duu=1+x∴x=u-1∴dx=du
∫5x2(1+x)13/dx=∫5(u−1)2u13/⋅du=5∫u2−2u+1u13/⋅du∫5x21+x13dx=∫5u-12u13·du=5∫u2-2u+1u13·du
=5⋅(∫u53/du+∫u−13/du)=5⋅(38u83/−2⋅35u53/+32u23/)+C=5·∫u53du+∫u-13du=5·38u83-2·35u53+32u23+C
∫5x2(1+x)13/dx=158⋅(1+x)83/−6⋅(1+x)53/+152⋅(1+x)23/+C
		1.
		Ache a solução completa da equação diferencial dydx=2x4y
		
	
	
	
	y2=2x25+C
	
	
	
	y2=2x55+C
	
	
	
	y22=2x55+C
	
	
	
	xy22=2xy55+C
	
	
	
	y2=x55+C
	
	
Explicação: 
ydy=2x4dx
∫ydy=∫2x4dx
y22=2x55+C
	
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Em qualquer ponto (x,y) de uma determinada curva,a reta tangente tem uma inclinação igual a 3x−8
		. Se a curva contém o ponto (-2,7), qual a sua equação?
	
	
	
	A função será:
f(x)=32x2−8x−15
	
	
	
	A função será:
f(x)=12x2−4x−15
	
	
	
	A função será:
f(x)=32x2−8x
	
	
	
	A função será:
f(x)=x2−x−15
	
	
	
	A função será:
f(x)=x2−8x−15
	
	
Explicação: 
f′(x)=3x−8
f(x)=∫f′(x)dx=32x2−8x+C
	Para x = -2, f(x) = 7, então: C = - 15
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Seja a função f(x)=x3−3x
		. Encontre a antiderivada de f(x) sendo a condição inicial é F(x) = 10, quando x = 2.
	
	
	
	x44−32x2+12
	
	
	
	x44−32x2−12
	
	
	
	x44−32x2+2
	
	
	
	x44−32x2+8
	
	
	
	x44−32x2
	
	
Explicação: 
F(x)=x44−32x2+C
Quando F(2) = 10, então, C = 12
Atividades 08
1. A integral indefinida ∫x2x3+1dx∫x2x3+1dx pode ser corretamente descrita por:
a) ln ∣∣x2∣∣+Cln x2+C 
b) 13⋅ln |x|+C13·ln x+C 
c) ln |x|+Cln x+C 
d) 13⋅ln ∣∣x3+1∣∣+C13·ln x3+1+C 
e) ln ∣∣x3+1∣∣+Cln x3+1+C 
Infelizmente,você errou!
Resposta correta: letra (d).
	Para a resolução da integral indefinida é necessário que você faça uma substituição simples. 
Assim:
u=x3+1∴du=3x2⋅dxu=x3+1∴du=3x2·dx
∫x2x3+1dx=∫1u⋅du3=13⋅∫1u⋅du=13⋅ln u+C∫x2x3+1dx=∫1u·du3=13·∫1u·du=13·ln u+C
Consequentemente:
∫x2x3+1dx=13⋅ln ∣∣x3+1∣∣+C∫x2x3+1dx=13·ln x3+1+C
2. A integral definida por ∫32ln xxdx∫23ln xxdx representa graficamente uma região cuja área em unidades quadradas é de:
a) (ln 3)22−(ln 2)22ln 322-ln 222 
b) (ln 3)32−(ln 2)32ln 332-ln 232 
c) ln 32−ln 22ln 32-ln 22 
d) ln 3−ln 2ln 3-ln 2 
e) e3−e2e3-e2 
Infelizmente, você errou!
Resposta correta: letra (a).
	Mais uma vez a resolução da integral exige que se faça uma substituição simples. 
Logo: 
u=ln x∴du=1xdxu=ln x∴du=1xdx
Quando x=2→u=ln 2x=2→u=ln 2
Quando x=3→u=ln⁡3
∫32ln xxdx=∫ln 3ln 2udu=u22]ln 3ln 2=(ln 3)22−(ln 2)22∫23ln xxdx=∫ln 2ln 3udu=u22ln 2ln 3=ln 322-ln 222
3. A integral indefinida dada por ∫dx3−2x∫dx3-2x pode ser representada corretamente por:
a) −12⋅ln |−3+2x|+C-12·ln -3+2x+C 
b) ln |−2x|+Cln -2x+C 
c) −12⋅ln |3−2x|+C-12·ln 3-2x+C 
d) ln |3−2x|+Cln 3-2x+C 
e) −12⋅ln |2x|+C-12·ln 2x+C 
Parabéns! Você acertou!
Resposta correta: letra (c).
	Fazendo a substituição simples 3−2x=u∴−2dx=du3-2x=u∴-2dx=du
∫dx3−2x=∫1u⋅−du2=−12∫1udu=−12⋅ln u+C∫dx3-2x=∫1u·-du2=-12∫1udu=-12·ln u+C
Consequentemente:
∫dx3−2x=−12⋅ln |3−2x|+C∫dx3-2x=-12·ln 3-2x+C
4. O valor da integral definida ∫41x5−x3x3dx∫14x5-x3x3dx é corretamente dado por: (Sugestão: divida o numerador pelo denominador).
a) 34/34 
b) 103/103 
c) 157/157 
d) 139/139 
e) 274/274 
Parabéns! Você acertou!
Resposta correta: letra (e).
	Para continuar, você precisa lembrar, mais uma vez, de como se dividem polinômios. O princípio é:
A(x)=B(x)⋅Q(x)+R(x)Ax=Bx·Qx+R(x)
x5−x=(3x3)⋅(x23−13x2)∴x5−x3x3=13⋅(x2−1x2)x5-x=3x3·x23-13x2∴x5-x3x3=13·x2-1x2
Consequentemente:
∫x5−x3x3dx=13∫(x2−1x2)dx=13∫x2dx−13∫1x2dx=19x3+13⋅1x+C∫x5-x3x3dx=13∫x2-1x2dx=13∫x2dx-13∫1x2dx=19x3+13·1x+C
∫41x5−x3x3dx=19x3+13⋅1x]41=25936−49=274∫14x5-x3x3dx=19x3+13·1x14=25936-49=274
5. Em um circuito elétrico, a força eletromotriz (E)(E) varia com relação ao tempo (t)(t) segundo a equação E=2⋅sin 3tE=2·sin 3t. 
Assim sendo, ache o valor médio de EE no intervalo de tempo de t=0 st=0 s a t=π3 s.
Gabarito comentado
	A resposta deve ser encontrada aplicando-se o teorema do valor médio. Desta forma,
V.M=1(π3/−0)⋅∫π3/02⋅sin 3t⋅dtV.M=1π3-0·∫0π32·sin 3t·dt
Fazendo a substituição simples: 3t=u∴3∙dt=du
Quando t=π3/→u=πt=π3→u=π
Quando t=0→u=0t=0→u=0
2∫sin 3t⋅dt=2∫sin u⋅du3=23⋅(−cos u)+C2∫sin 3t·dt=2∫sin u·du3=23·-cos u+C
2∫π3/0sin 3t⋅dt=23⋅∫π0sin u⋅du=−23⋅cos u]π0=−23(cos π−cos 0)=432∫0π3sin 3t·dt=23·∫0πsin u·du=-23·cos u0π=-23cos π-cos 0=43
Consequentemente: 
V.M=1π3/⋅43=4π V.M=1π3·43=4π 
6. A integral definida ∫10(y2+2y)y3+3y2+4√3dy∫01y2+2yy3+3y2+43dy corresponde à uma região cuja área em unidades quadradas é:
a) 13/13 
b) 2−2√32-23 
c) 2 
d) 2√2 
e) 2−2√2-2 
Infelizmente, você errou!
Resposta correta: letra (b).
	Utilizando a substituição y3+3y2+4=u∴(3y2+6y)dy=duy3+3y2+4=u∴3y2+6ydy=du
(y2+2y)dy=du3y2+2ydy=du3
Quando y=1→u=8y=1→u=8
Quando y=0→u=4y=0→u=4
∫10(y2+2y)y3+3y2+4√3dy=∫841u√3⋅du3=13∫84u−13/du=13⋅32⋅u23/]84=2−2√3∫01y2+2yy3+3y2+43dy=∫481u3·du3=13∫48u-13du=13·32·u2348=2-23
7. A integral indefinida ∫dx1−4x2√∫dx1-4x2 é corretamente expressa por:
a) sin−1 (2x)+Csin-1 2x+C 
b) sin−1 (x)+Csin-1 x+C 
c) 12⋅sin−1 (x)+C12·sin-1 x+C 
d) 12⋅sin−1 (2x)+C12·sin-1 2x+C 
e) sin−1 (x2)+Csin-1 x2+C 
Infelizmente, você errou!
Resposta correta: letra (d).
	Você pode escrever 1−4x21-4x2 como 1−(2x)21-2x2. Assim:
∫dx1−4x2√=12∫d(2x)1−(2x)2√=12⋅sin−1 (2x)+C∫dx1-4x2=12∫d(2x)1-2x2=12·sin-1 2x+C
Lembrando que:
∫dua2−u2√=sin−1 (ua)+C∫dua2-u2=sin-1 ua+C
8. A área da região S pode ser calculada pela integral definida ∫ππ2/(cos 2x−sin 2x)dx∫π2πcos 2x-sin 2xdx. Qual o valor em unidades quadradas para a área S?
a) 1 
b) 12/12 
c) 34/34 
d) 2 
e) 13/13 
Infelizmente, você errou!
Resposta correta: letra (a).
	Uma das maneiras de se resolver a integral definida será apresentada abaixo. Nessa resolução, usaremos as identidades trigonométricas apresentadas.
cos(2x)−sin (2x)=cos (2x)−cos(π2−2x)=−2⋅sin π4⋅sin (2x−π4)=−2√⋅sin (2x−π4)cos2x-sin 2x=cos 2x-cosπ2-2x=-2·sin π4·sin 2x-π4=-2·sin 2x-π4
∫ππ2/(cos 2x−sin 2x)dx=−2√∫ππ2/sin (2x−π4)dx∫π2πcos 2x-sin 2xdx=-2∫π2πsin 2x-π4dx
Fazendo 2x−π4=u∴dx=du22x-π4=u∴dx=du2
Quando x=π2/x=π2, u=3π4/u=3π4
Quando x=πx=π, u=7π4/u=7π4
−2√∫ππ2/sin (2x−π4)dx=−2√2∫7π4/3π4/sin u⋅du=2√2⋅cos u]7π4/3π4/=1-2∫π2πsin 2x-π4dx=-22∫3π47π4sin u·du=22·cos u3π47π4=1
9. Calcule o valor da integral definida dada por ∫π0cos 2x⋅cos 4x⋅dx∫0πcos 2x·cos 4x·dx
Gabarito
	Novamente podemos utilizar as identidades trigonométricas para começar a resolver a integral.
Lembrando que: 
cos p+cos q=2⋅cos (p+q2)⋅cos (p−q2)cos p+cos q=2·cos p+q2·cos p-q2
Temos:
{p+q2=4p−q2=2∴{p+q=8p−q=4∴p=6, q=2p+q2=4p-q2=2∴p+q=8p-q=4∴p=6, q=2
Assim: 2⋅cos 4x⋅cos 2x=cos 6x+cos 2x2·cos 4x·cos 2x=cos 6x+cos 2x
∫π0cos 2x⋅cos 4x⋅dx=∫π0(cos 6x+cos 2x2)⋅dx=12⋅[∫π0cos 6x⋅dx+∫π0cos 2x⋅dx]∫0πcos 2x·cos 4x·dx=∫0πcos 6x+cos 2x2·dx=12·∫0πcos 6x·dx+∫0πcos 2x·dx
6x=u∴dx=du6;2x=t∴dx=dt26x=u∴dx=du6;2x=t∴dx=dt2
Quando x=0→u=0, t=0x=0→u=0, t=0
Quando x=π→u=6π, t=6πx=π→u=6π, t=6π
12⋅[16∫6π0cos u⋅du+12⋅∫6π0cos t⋅dt]=112⋅sin u]6π0+14⋅sin t]6π0=012·16∫06πcos u·du+12·∫06πcos t·dt=112·sin u06π+14·sin t06π=0
Assim: 
∫π0cos 2x⋅cos 4x⋅dx=0∫0πcos 2x·cos 4x·dx=0
A região foi preenchida com 1000 retângulos inscritos indicados em azul. 
 Figura 5: Região definida pelo o eixo x, as retas x=0 e x=π, e pela função f(x)=cos⁡〖2x∙cos⁡4x 〗. 
10. Resolva a integral indefinida dada por ∫1+ln xx⋅ dx ∫1+ln xx· dx 
Gabarito
	Devemos aplicar a substituição simples 1+ln x=u∴1x⋅dx=du1+ln x=u∴1x·dx=du
Consequentemente: ∫1+ln xx⋅dx=∫u⋅du=12u2+C∫1+ln xx·dx=∫u·du=12u2+C
Finalmente: ∫1+ln xx⋅dx=12⋅[1+ln x]2+C
		1.
		Encontre a integral indefinida dada por ∫1+ln(x)xdx
		
	
	
	
	12[1−ln(x)]3+C
	
	
	
	13[1−ln(x)]2+C
	
	
	
	2∗[1+ln(x)]2+C
	
	
	
	12[1+ln(x)]2+C
	
	
	
	[1+ln(x)]2+C
	
	
Explicação: 
Para resolver, aplique a substuição simples: u = 1 + ln(x), du=1xdx
	
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Encontre a integral indefinida ∫x.sin(4x)dx
		
	
	
	
	−18x.cos(2x)+18.sin(2x)+C
	
	
	
	x.cos(4x)+sin(4x)+C
	
	
	
	−14x.cos(4x)+116.sin(4x)+C
	
	
	
	14x.cos(x)+118.sin(x)+C
	
	
	
	18x.cos(4x)−116.sin(4x)+C
	
	
Explicação: 
É necessário aplicar o conceito de integração por partes:
Faça: u = x e v' = sin(4x)
∫udv=uv−∫vdu
	
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Encontre a integral indefinida dada por ∫√x1+√xdx
		
	
	
	
	3x−√x+4∗ln∣√x+1∣−7+C
	
	
	
	−2√x+ln∣√x∣−3+C
	
	
	
	x−√x+2∗ln∣√x+3∣+3+C
	
	
	
	x−2√x+2∗ln∣√x+1∣−3+C
	
	
	
	x+2∗ln∣√x+1∣−3+C
	
	
Explicação: 
Faça a substituição simples: u=1+√x
Depois divida o polinômio e obtenha: u2−2u+1u=u−2+1u
	Após a integração, teremos a resposta.
Atividades 09
1. A integral indefinida ∫dx2x3 + x∫dx2x3 + x é corretamente dada por:
a) ln∣∣x2∣∣−12∙ln∣∣2x2∣∣+Cln⁡x2-12∙ln⁡2x2+C 
b) ln∣∣x2∣∣−12∙ln∣∣2x2∣∣+Cln⁡x2-12∙ln⁡2x2+C 
c) ln|x|−14∙ln∣∣2x2+1∣∣+Cln⁡x-14∙ln⁡2x2+1+C 
d) ln|x|+12∙ln∣∣2x2+1∣∣+Cln⁡x+12∙ln⁡2x2+1+C 
e) ln|x|−12∙ln∣∣2x2+1∣∣+Cln⁡x-12∙ln⁡2x2+1+C 
Infelizmente, você errou!
Resposta correta: letra (e).
	∫dx2x3 + x=∫dxx(2x2+1)∫dx2x3 + x=∫dxx2x2+1
1x(2x2+1)≡Ax+Bx+C2x2+1=A∙(2x2+1)+(Bx+C)∙xx∙(2x2+1)1x(2x2+1)≡Ax+Bx+C2x2+1=A∙2x2+1+(Bx+C)∙xx∙2x2+1
⎧⎩⎨⎪⎪2A+B=0C=0A=1∴A=1, B=−2, C=02A+B=0C=0A=1∴A=1, B=-2, C=0
∫dxx(2x2+1)≡∫dxx+∫−2x2x2+1dx=ln|x|−12∙ln∣∣2x2+1∣∣+C∫dxx2x2+1≡∫dxx+∫-2x2x2+1dx=ln⁡x-12∙ln⁡2x2+1+C
Resolvendo a segunda integral:
∫−2x2x2+1dx=−2∫x2x2+1dx=−24∫duu=−12∙ln|u|+C=−12∙ln∣∣2x2+1∣∣+C1∫-2x2x2+1dx=-2∫x2x2+1dx=-24∫duu=-12∙ln⁡u+C=-12∙ln⁡2x2+1+C1
2. Calcule a integral indefinida ∫dx9x2+16∫dx9x2+16
Gabarito
	Aplique a substituição x=4u3/x=4u3
∫dx9x2+16=43∫du16(u2+1)=112∫duu2+1=112∙tg−1(u)+C∫dx9x2+16=43∫du16u2+1)=112∫duu2+1=112∙tg-1⁡u+C
∫dx9x2+16=112∙tg−1(3x4)+C∫dx9x2+16=112∙tg-1⁡3x4+C
3. Calcule a integraldefinida ∫101 + x1 + x2dx∫011 + x1 + x2dx
Gabarito
	1+x1+x2≡11+x2+x1+x21+x1+x2≡11+x2+x1+x2
∫1+x1+x2dx=∫11+x2dx+∫x1+x2dx=tg−1(x)+12∙ln∣∣1+x2∣∣+C∫1+x1+x2dx=∫11+x2dx+∫x1+x2dx=tg-1⁡x+12∙ln⁡1+x2+C
∫101 + x1 + x2dx=tg−1(x)+12∙ln∣∣1+x2∣∣∣∣10=π4+ln22∫011 + x1 + x2dx=tg-1⁡x+12∙ln⁡1+x201=π4+ln⁡22
4. Calcule a integral indefinida ∫dww2w2−7√∫dww2w2-7
Gabarito
	Aplicar a integração por substituição w=7√∙secuw=7∙sec⁡u
∫dww2w2−7√=∫tgu7√∙secu∙7∙sec2u−7√du∫dww2w2-7=∫tg⁡u7∙sec⁡u∙7∙sec2u-7du
Seja 7∙sec2u−7−−−−−−−−−−√=7√∙sec2u−1−−−−−−−−√7∙sec2u-7=7∙sec2u-1
17√∙∫tgusecu∙7√∙sec2u−1√du17∙∫tg⁡usec⁡u∙7∙sec2u-1du
Usando a identidade: sec2u−tg2u=1sec2u-tg2u=1
17√∙∫tgusecu∙7√∙sec2u−1√du=17√∙∫tgusecu∙7√∙tg2u√du17∙∫tg⁡usec⁡u∙7∙sec2u-1du=17∙∫tg⁡usec⁡u∙7∙tg2udu
Assumindo que tgu≥0tg⁡u≥0, tg2u−−−−√=tg utg2u=tg u. 
Simplificando e removendo a constante:
17∙∫1secudu=17∫cosu∙du=17∙sinu+C∴∫dww2w2−7√=17∙sin(sec−1w7√)+C17∙∫1sec⁡udu=17∫cos⁡u∙du=17∙sin⁡u+C∴∫dww2w2-7=17∙sin⁡sec-1⁡w7+C
Para simplificar, utilize a relação sin(sec−1t)=1−1t2−−−−−√sin⁡sec-1⁡t=1-1t2
∫dww2w2−7√=17∙sin(sec−1w7√)+C=17∙1−1(w7)2−−−−−−−√+C=w2−7√7w+C∫dww2w2-7=17∙sin⁡sec-1⁡w7+C=17∙1-1w72+C=w2-77w+C
5. Calcule a integral indefinida ∫3x2 − x + 1x3 − x2dx∫3x2 - x + 1x3 - x2dx
Gabarito
	∫3x2 − x + 1x3 − x2dx=3∙ln|x−1|+1x+C∫3x2 - x + 1x3 - x2dx=3∙ln⁡x-1+1x+C
6. Calcule o valor da integral definida ∫50(x2−3)x3 + 4x2+ 5x + 2dx∫05x2-3x3 + 4x2+ 5x + 2dx
Gabarito
	∫50(x2−3)x3 + 4x2+ 5x + 2dx=ln|x+2|+2x+1∣∣50=ln(72)−53≅−0,4139
		1.
		Encontre a integral indefinida ∫x22x+1dx
		
	
	
	
	116∗[4x2+2∗ln[2x+1]]+C
	
	
	
	116∗[−4x+ln[2x+1]]+C
	
	
	
	116∗[4x2−4x+2∗ln[2x+1]−3]+C
	
	
	
	[x2−x+2∗ln[2x+1]−3]+C
	
	
	
	4x2−4x+2∗ln[2x+1]−3+C
	
	
Explicação: 
A técnica de frações parciais deve ser aplicada ou, mais rapidamente, a substituição:
u=2x+1
	
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Encontre a integral indefinida ∫x2x+1dx
		
	
	
	
	(x+1)22−2(x+1)+ln[x+1]+C
	
	
	
	(x+1)2+(x+1)+ln[x]+C
	
	
	
	(x+1)22(x+1)+ln[x]+C
	
	
	
	(x+1)24−2+ln[3x+1]+C
	
	
	
	(x)22+x+1+ln[x]+C
	
	
Explicação: 
A técnica de frações parciais pode ser aplicada.
No entanto, a resolução fica mais rápida se a substituição abaixo for considerada:
u=x+1
	
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Encontre a integral indefinida ∫(x2+3x−3)(x−1)dx
		
	
	
	
	5+12∗(x−1)2−3+C
	
	
	
	x+ln[x+1]+14∗(x−1)3−5+C
	
	
	
	5x+ln[x−1]+12∗(x−1)2−5+C
	
	
	
	x−ln[x+1]+23∗(x+1)2−5+C
	
	
	
	ln[x−1]+52∗(x−1)3+C
	
	
Explicação: 
Faça: ∫x2(x−1)dx+∫3x(x−1)dx−∫3(x−1)dx
Aplique a divisão de polinômios e a técnica de frações parciais
ATIVIDADE 10
1. Calcule a área compreendida entre as curvas y=x2y=x2 e y=2xy=2x.
Gabarito comentado
Os pontos de intersecção entre a parábola e a reta devem ser encontrados. Assim: x2=2x∴x(x−2)=0x2=2x∴xx-2=0
Pontos de intersecção: (0,0) e (2,4)
Desta forma, a área pode ser calculada por:
	A=∫20[2x−x2]dx=43  u.qA=∫022x-x2dx=43  u.q
2. Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo x, da região limitada por y=x2y=x2, x=2x=2 e x=0
Gabarito
	V=π∫ba[f(x)]2dxV=π∫abf(x)2dx
V=π∫20[x2]2dx=π∫20x4dx=π(x55)]20=325π  u.c.V=π∫02x22dx=π∫02x4dx=πx5502=325π  u.c.
3. Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo xx, da região limitada por y=e−xy=e-x, x=1, x=0x=1, x=0 e y=0y=0.
Gabarito
	V=π∫ba[f(x)]2dxV=π∫abf(x)2dx
V=π∫10[e−x]2dx=π∫10e−2xdx=π2∙[1−1e2]  u.c.V=π∫01e-x2dx=π∫01e-2xdx=π2∙1-1e2  u.c.
Observação:
∫e−2xdx=−12∙e−2x+C∫e-2xdx=-12∙e-2x+C
4. Determine a área da região limitada por f(x)=8−x2fx=8-x2 e g(x)=x2gx=x2.
Gabarito comentado
Os pontos de intersecção entre as funções devem ser determinados. Assim:
	8−x2=x2∴x1=−2   e   x2=28-x2=x2∴x1=-2   e   x2=2
Logo: P1P1(-2,4) e P2P2(2,4). 
Um esboço do gráfico fornece a Figura abaixo:
	A=∫2−2[(8−x2)−x2]dx=∫2−2[8−2x2]dxA=∫-228-x2-x2dx=∫-228-2x2dx
A=643 u.qA=643 u.q
5. Calcule o volume gerado pela rotação, em torno do eixo xx, da região limitada pela curva y=x2y=x2, o eixo xx e as retas x = 1 x = 1  e x = 2 x = 2 .
Gabarito comentado
Na figura abaixo há o esboço do gráfico e da superfície de revolução gerada.
	A rotação foi executada em torno do eixo yy. Portanto:
y=x2∴x=y√y=x2∴x=y
Para x = 1 → y = 1x = 1 → y = 1; para x = 2 → y = 4x = 2 → y = 4
V=π∫41[y√]2dy=π∫41y∙dy=π2∙[42−12]=15π2 u.c.
		1.
		Seja f(x)=x2
, com 0≤x≤2
		Determine o volume do sólido obtido pela revolução do gráfico de f(x) em torno do eixo x.
	
	
	
	π5
	 unidades cúbicas
	
	
	2π5
	 unidades cúbicas
	
	
	32π5
	 unidades cúbicas
	
	
	32π
	 unidades cúbicas
	
	
	3π5
	 unidades cúbicas
	
Explicação: 
Para encontrar o volume, o aluno deve resolver a integral:
V = ∫20π(x2)2dx
	
	
	
	
	 
		
	
		2.
		O comprimento do arco de parábola y=x2+1
,  para 0≤x≤2
		 terá um valor de:
	
	
	
	14∗ln[4+171/2]
	
	
	
	171/2
	
	
	
	171/2+14∗ln[4+171/2]
	
	
	
	171/2+14
	
	
	
	17+ln[4+171/2]
	
	
Explicação: 
Para encontrar o comprimento do arco:
f′(x)=2x
L=∫ba(1+[f′(x)]2)1/2dx
	Onde: a = 0 e b = 2
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Dada um função definida como f(x)=3
, o volume do sólido de revolução, no intervalo x=0  a  x=5
		 , obtido pela rotação de f(x) em torno do eixo x, é dado por:
	
	
	
	25π
	  unidades cúbicas
	
	
	90π
	  unidades cúbicas
	
	
	9π
	  unidades cúbicas
	
	
	50π
	  unidades cúbicas
	
	
	45π
	  unidades cúbicas
	
Explicação: 
A resposta pode ser facilmente encontrada aplicando-se:
V=∫50π∗32dx
		Disc.: CÁLCULO PARA COMPUTAÇÃO   
	Aluno(a): KETHLYN CRISTINE MARRICHI LORENZO
	202003517135
	Acertos: 10,0 de 10,0
	13/10/2021
		1a
          Questão 
	Acerto: 1,0  / 1,0 
	
	O limte lateral para a função f(x) representado por limx→2−2√x2−4x−2
	  é corretamente expresso por:
		
	
	+∞
	
	
	1
	
	-1
	
	−∞
	
	
	0
	
	Respondido em 13/10/2021 20:08:05
	
	Explicação: 
Como x → 2+, o aluno deve lembrar x - 2 > 0 e x−2=√(x−2)2
		Além disso, (x2 - 4) = (x+2)(x-2)
	
		2a
          Questão 
	Acerto: 1,0  / 1,0 
	
	Sobre a função f(x)=1√x2−3x+2
	 é  possível afirmar que sua continuidade é garantida em:
		
	
	(−∞,+∞)
	
	
	(−1,−2)
	
	
	A função f não é contínua para qualquer x real
	
	(−∞,−1]
 U [2,+∞
	)
	
	(−∞,1)
 U (2,+∞)
	
	Respondido em 13/10/2021 20:08:51
	
	Explicação: 
O aluno deve estudar a função quanto ao seu domínio considerando:
x2−3x+2
		 > 0
	
		3a
          Questão 
	Acerto: 1,0  / 1,0 
	
	A derivada implícita dxdy
 quando 5y2+sen(y)=x2
	 é  corretamente dada por: 
 
		
	
	dxdy=10ysin(x)
	
	
	dxdy=2x10y+cos(y)
	
	
	dxdy=−2x10y+cos(y)
	
	
	dxdy=10y+cos(y)2x
	
	
	dxdy=−10y+cos(y)2x
	
	Respondido em 13/10/2021 20:09:36
	
	Explicação: 
Após a derivação à esquerda e á direita temos:
10ydydx+cos(y)dydx=2x
		Arrumando os termos, temos a resposta: a
	
		4a
          Questão 
	Acerto: 1,0  / 1,0 
	
	A derivada da função exp(−xx2+3x−5)
	 é dada por:
		
	
	f′(x)=exp(−xx2+3x−5)∗[x∗(2x+3)(x2+3x−5)2−1x2+3x−5]
	
	
	f′(x)=exp(−xx2+x−5)∗[x∗(x+3)(x2+3x−5)2−1x2+x−5]
	
	
	f′(x)=exp(xx3+3−5x)∗[x∗(x+3)(x3+3−5)2−xx2+3x−5]
	
	
	f′(x)=exp(xx2+x−5)∗[x∗(2x−3)(x2+3x−5)3−xx2+3x−5]
	
	
	f′(x)=(−xx2+3x−5)∗[x∗(2x+3)(x2+3x−5)2−1x2+3x−5]
	
	Respondido em 13/10/2021 20:11:16
	
	Explicação: 
O aluno deve fazer: u=−xx2+3x−5
 e, então:
exp(u)∗dudx
		
	
		5a
          Questão 
	Acerto: 1,0  / 1,0 
	
	Encontre os intervalos para os quais a função f(x)=x4−3x2+5
	 apresenta-se como uma função crescente.
		
	
	A função será crescente em [−√32;0]
	
	
	A função será crescente em [−√12;0]
e [√52;+∞)
	
	
	A função será crescente em [√32;+∞)
	
	
	A função será crescente em [−√32;0]
e [√32;+∞)
	
	
	A função será crescente em [−√32;2]
e [√152;+∞)
	
	Respondido em 13/10/2021 20:11:56
	
	Explicação: 
A primeira derivada da função f(x) é:
f′(x)=4x3−6xQuando f'(x) = 0, 
x=0
; x=−√32; x=√32
Todos os pontos críticos estão no domínio da função.
Pela análise dos pontos críticos, a função será crescente em [−√32;0]
e [√32;+∞)
		
	
		6a
          Questão 
	Acerto: 1,0  / 1,0 
	
	O limite dado por limx→1sin(πx)x−1
	 é dado por:
		
	
	−∞
	
	
	−π
	
	
	00
	
	
	+∞
	
	
	0
	Respondido em 13/10/2021 20:12:29
	
	Explicação: 
Aplicando a regra de L'Hôpital:
limx→1π∗cos(πx)1=−π
		
	
		7a
          Questão 
	Acerto: 1,0  / 1,0 
	
	Em qualquer ponto (x,y) de uma determinada curva,a reta tangente tem uma inclinação igual a 3x−8
	. Se a curva contém o ponto (-2,7), qual a sua equação?
		
	
	A função será:
f(x)=32x2−8x
	
	
	A função será:
f(x)=12x2−4x−15
	
	
	A função será:
f(x)=32x2−8x−15
	
	
	A função será:
f(x)=x2−x−15
	
	
	A função será:
f(x)=x2−8x−15
	
	Respondido em 13/10/2021 20:13:10
	
	Explicação: 
f′(x)=3x−8
f(x)=∫f′(x)dx=32x2−8x+C
		Para x = -2, f(x) = 7, então: C = - 15
	
		8a
          Questão 
	Acerto: 1,0  / 1,0 
	
	Encontre a integral indefinida dada por ∫√x1+√xdx
	
		
	
	x−√x+2∗ln∣√x+3∣+3+C
	
	
	3x−√x+4∗ln∣√x+1∣−7+C
	
	
	x+2∗ln∣√x+1∣−3+C
	
	
	−2√x+ln∣√x∣−3+C
	
	
	x−2√x+2∗ln∣√x+1∣−3+C
	
	Respondido em 13/10/2021 20:15:22
	
	Explicação: 
Faça a substituição simples: u=1+√x
Depois divida o polinômio e obtenha: u2−2u+1u=u−2+1u
		Após a integração, teremos a resposta.
	
		9a
          Questão 
	Acerto: 1,0  / 1,0 
	
	Encontre a integral indefinida ∫(x2+3x−3)(x−1)dx
	
		
	
	5x+ln[x−1]+12∗(x−1)2−5+C
	
	
	5+12∗(x−1)2−3+C
	
	
	ln[x−1]+52∗(x−1)3+C
	
	
	x−ln[x+1]+23∗(x+1)2−5+C
	
	
	x+ln[x+1]+14∗(x−1)3−5+C
	
	Respondido em 13/10/2021 20:14:10
	
	Explicação: 
Faça: ∫x2(x−1)dx+∫3x(x−1)dx−∫3(x−1)dx
		Aplique a divisão de polinômios e a técnica de frações parciais
	
		10a
          Questão 
	Acerto: 1,0  / 1,0 
	
	Dada um função definida como f(x)=3
, o volume do sólido de revolução, no intervalo x=0  a  x=5
	 , obtido pela rotação de f(x) em torno do eixo x, é dado por:
		
	
	45π
	  unidades cúbicas
	
	9π
	  unidades cúbicas
	
	25π
	  unidades cúbicas
	
	90π
	  unidades cúbicas
	
	50π
	  unidades cúbicas
	Respondido em 13/10/2021 20:15:41
	
	Explicação: 
A resposta pode ser facilmente encontrada aplicando-se:
V=∫50π∗32dx