APS_Cálculo Aplicado - Uma Variável

Prévia do material em texto

Baseado no livro STEWART, James. Cálculo, v.1. 3. São Paulo Cenagage Learning 2013 1 recurso 
online ISBN 9788522114610. 
 
Resolva a lista de Exercícios abaixo, justificando as respostas com os cálculos realizados. 
 
1)Considere 
𝑓(𝑥) = {𝑥
2 𝑠𝑒 𝑥 ≤ 2
𝑚𝑥 + 𝑛 𝑠𝑒 𝑥 > 2
 
Encontre os valores de m e n que tomem 𝑓 derivável em toda parte. E determine os limites. 
 
𝑎) lim
𝑥→2+
𝑓(𝑥) = 
𝑏) lim
𝑥→2−
𝑓(𝑥) = 
𝑐) lim
𝑥→2
𝑓(𝑥) = 
𝟐) (STEWART, 2013 – adaptada) Analise cada gráfico apresentado e defina cada quatidade, 
se existir. Se não existir, explique por quê. 
 
 
 
 
 
 
 
𝑎) lim
𝑥→−3
𝑓(𝑥) = 
𝑏) lim
𝑥→0
𝑓(𝑥) = 
𝑐) lim
𝑥→2
𝑓(𝑥) = 
𝑑) lim
𝑥→5
𝑓(𝑥) = 
 
 
A Derivada e Taxas de Variação 
 
3) Encontre a inclinação da reta tangente à parábola 𝑦 = 4𝑥 − 𝑥2, 𝑎𝑏𝑠𝑐𝑖𝑠𝑠𝑎 𝑥 = −1 . 
Apresente o gráfico da função e da reta tangente. 
4) Encontre a inclinação da reta tangente à parábola 𝑦 = √𝑥, 𝑎𝑏𝑠𝑐𝑖𝑠𝑠𝑎 𝑥 = 1 . 
Apresente o gráfico da função e da reta tangente. 
A Derivada como uma Função 
 
5) Determine as derivadas pela definição. 
 
𝑓´(𝑥) = lim
∆𝑥→0
𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥)
∆𝑥
 
a) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 4𝑥 − 9 
b) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 𝑥 
Derivadas de Funções Polinomiais e Exponenciais 
 
6) Determine a derivada das funções: 
 
 
 
 
 
 
 
7) Determine as derivadas das funções pelas Regra da Soma, Produto e Quociente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8) Se 𝑓(𝑥) = 2𝑥4 calcule 𝑓′(2) 
 
 
9) Dada a função 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 calcule 𝑓′ (
𝜋
6
). 
 
 
10) Dada a função 𝑓(𝑥) = √𝑥²
3
 calcule a derivada de 𝑓(𝑥) 𝑛𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑥 = 64. 
 
 
11) Dada a função 𝑓(𝑥) = 2 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥 − cos 𝑥 calcule 𝑓′ (
𝜋
3
). 
 
 
 
12) Seja a função 𝑓(𝑡) = 4𝑡3 − 6𝑡2 + 3𝑡 + 2. 𝐷𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑒 𝑓′(1). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13) Dada a função, determine a derivada: 
 
 
 
14) Determine 𝑑𝑦 𝑑𝑥 diferenciando implicitamente cada função: 
 
 
15) (STEWART, 2013 – adaptada) O deslocamento de uma partícula em uma corda vibrante é dado 
por 𝑠(𝑡) = 10 + 1 4 𝑠𝑒𝑛(10𝜋𝑡), onde s é medido em centímetros e t, em segundos. Qual a velocidade 
da partícula após 3 segundos? 
 
 
16) Uma partícula se move sobre uma trajetória segundo a equação abaixo onde S é dado em metros 
e t em segundos. Determine a velocidade e aceleração nos valores indicados: