Aula análise combinatória

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Matemática Aplicada a Computação I
Professora: Samantha Grisol, DSc.
Engenheira Ambiental
Análise combinatória
Introdução
As duas figuras abaixo mostram placas de veículos automotores. A primeira mostra
o modelo que era utilizado no Brasil e a segunda apresenta o modelo de placas
unificadas do Mercosul.
O fato é que a nova placa permitirá obter mais de 450 milhões de combinações
diferentes. A placa antiga permitia menos de 18 milhões de combinações.
O assunto que vamos estudar nos permite encontrar números como estes acima e a
entender situações como a que recentemente vivemos quando, aos números dos
nossos celulares, foi acrescentado um dígito.
Análise combinatória
A Análise Combinatória, visa desenvolver métodos que permitem contar o número
de elementos de um conjunto, sendo estes elementos, agrupamentos formados sob
determinadas condições. Estes métodos de contagem podem parecer pouco
necessários e realmente o são quando lidamos com conjuntos que tem poucos
elementos, mas quando trabalhamos com conjuntos muito numerosos, os métodos
tornam-se indispensáveis.
Vamos ver alguns exemplos abaixo e tentar preencher os espaços com a quantidade
de elementos de cada conjunto:
Ex.1: Conjunto formado por todos os números de dois algarismos distintos
formados, exclusivamente, pelos dígitos 1, 2 e 3: A = (12, 13, 21, 23, 31, 32}, logo o
conjunto A tem _____ elementos.
Análise combinatória
Ex.2: K é o conjunto formado pelos números de três algarismos distintos formados
a partir dos dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6. 7 e 8. Quantos elementos tem K?
Observe que neste caso, é bastante trabalhoso obter todos os elementos do conjunto
K para depois contá-los e notadamente sabemos quais as dificuldades. Usando as
técnicas que estudaremos nas próximas páginas desta apostila, veremos que o
conjunto K tem 336 elementos.
Princípio fundamenta da contagem
Apresenta o princípio multiplicativo, sendo este muito utilizado com situações em
que a tarefa se divide em várias etapas.
Ex.1: Uma pessoa quer viajar da Cidade C1 para a Cidade C3 passando pela cidade
C2. Sabendo que existem 5 estradas que ligam C1 a C2 e outras 4 estradas que
ligam C2 a C3, de quantas maneiras diferentes a pessoa poderá viajar?
Análise combinatória
Para facilitar, observe o diagrama:
Para cada uma das 5 estradas que ligam C1 
a C2, podemos escolher uma das 4 que 
ligam C2 a C3, assim, são 5 ∙ 4 = 20 
maneiras diferentes de viaja. 
Análise combinatória
Suponha que existam N1 maneiras de realizar a tarefa T1 e N2 Maneiras de realizar
a tarefa T2. Então haverá N1xN2 maneiras de se realizar a tarefa T1 seguida da
tarefa T2.
Para o exemplo anterior
T1 – Tarefa de ir da C1 à C2
N1 – 5 possibilidades
T2 - Tarefa de ir da C2 à C3
N2 – 2 possibilidades
Então N1xN2 = 5x4 = 20 possibilidades
O princípio da contagem pode ser estendido para situações em que temos várias
tarefas.
Se T1 pode ser feita de N1 maneiras, , assim como T2 e TK, podem ser feitas de
N2 e NK maneiras, então o número de maneiras de realizar T1, T2 E Tk em
sequência, é N1xN2xNk..................
Análise combinatória
Ex.2: Ao lançarmos uma moeda e um dado, quantos resultados obtidos a partir da
combinação Cara ou Coroa (da moeda) com o número (do dado) temos?
Observe o diagrama a seguir:
Note que o evento “lançar moeda e dado” tem duas 
etapas independentes com N1 2 possibilidades e N2 
6 possibilidades totalizando 12 possibilidades 
N1xN2 = 2 x 6 = 12 
Análise combinatória
Ex.3: Em um jogo de “cara ou coroa”, uma moeda é lançada 3 vezes. Qual o
número de resultados possíveis?
N1=N2=N3 = 2
2x2x2 = 8 possibilidades
Quantos de 8, é preciso 
outra técnica para 
resolver.
Análise combinatória
Ex.3: Alguns cadeados usam anéis rotativos numéricos, em vez de chave. Existe um
número que deve ser selecionado nos anéis numéricos para abrir o cadeado. Vamos 
chamar este número de chave numérica. Suponha que um tal cadeado trabalha com 
números de 5 dígitos (por exemplo, 23478 é uma chave numérica possível). Quantas 
possibilidades de chave numérica existem?
Solução:
As chaves são números de 5 dígitos. Para cada dígito, temos 10 possibilidades, que 
são os algarismos 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. 
Portanto temos: 10x10x10x10x10 = 100000 possibilidades de chave.
Análise combinatória
Ex.4: Quantos inteiros múltiplos de 5 existem entre 1000 e 4999?
Solução:
Um número inteiro é múltiplo de 5 se, e somente se, seu algarismo das unidades for
0 ou 5. Então, se o número é x1 x2 x3 x4, temos 4 possibilidades para x1, que são os
algarismos 1,2,3 e 4; temos 10 possibilidades para x2 (todos os algarismos de 0 a 9),
10 possibilidades para x3 e apenas duas possibilidades para x4, que são os
algarismos 0 e 5.
Portanto, há no total: 4 × 10 × 10 × 2 = 800 múltiplos de 5 entre 1000 e 4999.
Análise combinatória
Ex.5: As palavras de um certo código são formadas por 2 letras e 2 algarismos, de
tal forma que não há letras ou algarismos iguais. Assim, a palavra LY45 é palavra
deste código, enquanto que AA23 não é palavra deste código, pois repete a letra A.
Quantas palavras existem neste código ?
Solução:
Para a primeira letra temos 26 possibilidades (aceitando as letras K,W e Y como
letras válidas). Para a segunda letra, temos 25 possibilidades, que são as 26 letras
possíveis, menos a letra que já usamos e não podemos repetir. De maneira análoga,
para o primeiro algarismo temos 10 possibilidades e para o segundo algarismo
temos 9 possibilidades, pois não podemos repetir o primeiro algarismo.
Portanto, há:
26 × 25 × 10 × 9 = 58500 palavras neste código.
Análise combinatória
Ex.6: Considere o mapa abaixo. Quantos caminhos um carro que sai do ponto A
pode tomar para chegar ao ponto B ? Suponha que a mão das ruas é tal que o carro
pode ir apenas para a direita, para cima ou para baixo no mapa. No mapa está
indicado, em linha tracejada, um caminho possível que vai do ponto A para o ponto
B.
Análise combinatória
Solução:
Há 4 ruas na direção vertical: são as ruas de 1 a 4, indicadas no mapa. O carro sai do
ponto A, que fica na Rua 1 e vai para o ponto B, que fica na Rua 4.
Há 4 caminhos para ir da Rua 1 à Rua 2,
Há 3 caminhos para ir da Rua 2 à Rua 3
e há 4 caminhos para ir da Rua 3 à Rua 4.
Portanto, dividimos o percurso do ponto A ao ponto B em 3 etapas.
Multiplicando o número de maneiras de realizar cada etapa, temos: 4 × 3 × 4 = 48
caminhos possíveis do ponto A ao ponto B.
Análise combinatória
FATORIAL
O fatorial de um número consiste em um relevante mecanismo nos estudos
envolvendo análise combinatória, pois a multiplicação de números naturais
consecutivos é muito utilizada nos processos de contagem.
Fatorial de um número consiste em multiplicar o número por todos os seus
antecessores até o número 1.
Representamos o fatorial de um número natural por n! e o desenvolvimento de n! é
dado por:
𝑛! = 𝑛∙(𝑛−1)∙(𝑛−2)∙⋯∙3∙2∙1 
Observação:
A definição acima é válida para 𝑛≥2. Para n = 1 e n = 0, definimos que: 1!=1 e 0!=1
Análise combinatória
FATORIAL
Exemplos:
2!=2∙1=2
3!=3∙2∙1=6
4!=4∙3∙2∙1=24
5!=5∙4∙3∙2∙1=120
6!=6∙5∙4∙3∙2∙1=720
7!=7∙6∙5∙4∙3∙2∙1=5040
8!=8∙7∙6∙5∙4∙3∙2∙1=40320
9!=9∙8∙7∙6∙5∙4∙3∙2∙1=362880
10!=10∙9∙8∙7∙6∙5∙4∙3∙2∙1=3628800
Observação:
Observe a situação abaixo 8!=8∙7∙6∙5∙4∙3∙2∙1
7∙6∙5∙4∙3∙2∙1=7! Então, 8!=8∙7!
Isso vale para qualquer fatorial, assim, 𝑛!=𝑛∙(𝑛−1)!
Análise combinatória
Agrupamentos
O Princípio Fundamental da Contagem (PFC) é a principal técnica para resolução de
problemas de contagem, muitas vezes porém, se utilizarmos apenas o PFC a resolução
desses problemas pode se tornar trabalhosa.
Em nosso cotidiano, formamos agrupamentos em várias situações. Por exemplo ao
escolher colegas para um trabalho escolar em grupo, formamos agrupamentos de
pessoas. Ao discutir sobre os possíveis quatro primeiros colocados do Campeonato
Brasileiro de Futebol, formamos agrupamentos de clubes de futebol etc.
A análise combinatória identifica dois tiposbásicos de agrupamentos: os arranjos e
as combinações.
Análise combinatória
Os arranjos são agrupamentos em que se considera a ordem dos elementos;
qualquer mudança da ordem dos elementos altera o agrupamento. Por exemplo, ao
formar números naturais de três algarismos distintos escolhidos dentre os algarismos 2,
4, 6, 7 e 8, estaremos arranjando esses cinco algarismos três a três. Esses números são
chamados de arranjos de algarismos porque, mudando a ordem dos algarismos em um
desses números, obtemos outro número, por exemplo:
246 ≠ 462 
Já as combinações são agrupamentos em que não se considera a ordem dos
elementos; portanto, mudanças na ordem dos elementos não alteram o agrupamento.
Um pintor ao produzir uma mistura com duas cores primárias distintas escolhidas entre
vermelho, azul e amarelo, estará combinando essas três cores tomadas duas a duas.
Esses agrupamentos são chamados de combinações porque a ordem com que são
misturadas as duas cores primárias não altera a mistura:
VERMELHO + AZUL + AMARELO = AMARELO + AZUL + VERMELHO 
Análise combinatória
ARRANJOS
Ex.1: Cinco amigos: André, Beto, Carlos, Daniel e Edio disputam uma corrida. Os
dois primeiros serão premiados. De quantas formas diferentes podemos entregar estes
prêmios?
Resolução:
A seguir , indicamos uma representação de todas as possibilidades:
(André, Beto) (Carlos, Daniel)
(André, Carlos) (Carlos, Edio)
(André, Daniel) (Daniel, André)
(André, Edio) (Daniel, Beto)
(Beto, André) (Daniel, Carlos)
(Beto, Carlos) (Daniel, Edio)
(Beto, Daniel) (Edio, André)
(Beto, Edio) (Edio, Beto)
(Carlos, André) (Edio, Carlos)
(Carlos, Beto) (Edio, Daniel)
Análise combinatória
ARRANJOS
Observe que cada possibilidade representada anteriormente corresponde a um
agrupamento ordenado que duas pessoas escolhidas entre os cinco amigos. Note, por
exemplo, que o par ordenado (André, Beto) é diferente do par ordenado (Beto, André)
pois na primeira situação André é vencedor e Beto vice enquanto na segunda situação
Beto é o vencedor e André fica em segundo lugar.
Dizemos que cada resultado da corrida corresponde a um arranjo de 5 elementos
(amigos) tomados dois a dois (isto é, escolhidos dois entre os cinco para formar o
agrupamento ordenado). Vamos, por meio do PFC, contar o número total de arranjos
possíveis e indicaremos por A5,2 (Lemos: arranjo de 5 elementos tomados dois a dois).
1) Para ocupar a primeira posição há cinco possibilidades; e
2) definido o primeiro lugar, sobram 4 opções para preencherem a segunda posição.
Assim: 1ª posição 2ª posição
5 x 4 =20
Então: A5,2 = 5x4=20 Assim, definimos por arranjo de n elementos tomados p a p
como qualquer agrupamento ordenado de p elementos escolhidos entre os n existentes.
Análise combinatória
FÓRMULA DO ARRANJO
Dados n elementos distintos, vamos indicar por An,p o número de arranjos desses
elementos tomados p a p.
Vamos usar o PFC.
 O primeiro elemento da sequência pode ser escolhido de 𝑛 formas possíveis.
 O segundo elemento da sequência pode ser escolhido de 𝑛 – 1 maneiras distintas,
pois já fizemos a escolha anterior e não há repetição de elementos.
 feitas as duas primeiras escolhas, há 𝑛 – 2 maneiras diferentes de escolher o
terceiro elemento da sequência, pois não pode haver repetição.
 para escolher o p-ésimo elemento, a partir de 𝑝 – 1 escolhas anteriores , sobram 𝑛 –
(𝑝 – 1) opções.
Assim, pelo PFC, a quantidade de arranjos possíveis (indicadas por An,p) é:
𝐴𝑛,𝑝=𝑛∙(𝑛−1)∙(𝑛−2)∙⋯∙(𝑛−𝑝+1) 
Análise combinatória
FÓRMULA DO ARRANJO
Para obter uma expressão equivalente a esta anterior usando o fatorial, vamos 
multiplica-la e dividi-la por um mesmo número (𝑛−𝑝)! 
Assim,
Onde, n é o número de elementos e p é o número de resultados.
Dizemos que An,p é o número de arranjos de n elementos tomados p a p, ou seja, é o 
número de maneiras de selecionar, em ordem p elementos de um conjunto com n 
elementos distintos. 
Análise combinatória
EX.2: Aline, Bárbara, Camila, Daniela e Eduarda praticam natação. As cinco amigas
resolvem disputar uma corrida na piscina. De quantas formas diferentes pode ser
preenchido um pódio de 3 lugares? R: 60 maneiras diferentes.
EX.3: De quantas formas diferentes é possível organizar 6 passageiros num ônibus de
48 lugares? R: 8.835.488.640 formas diferentes.
EX.4: Em uma urna de sorteio de prêmios existem dez bolas enumeradas de 0 a 9.
Determine o número de possibilidades existentes num sorteio cujo prêmio é formado
por uma sequência de 6 algarismos. R: 151.200 possibilidades.
EX.5: Uma família é composta por seis pessoas (pai, mãe e quatro filhos) que
nasceram em meses diferentes do ano. Calcule as sequências dos possíveis meses de
nascimento dos membros dessa família. R: 665.280 possibilidades de sequências de
meses.
EX.6: Em uma reunião de condomínio onde 10 moradores estão presentes, deve-se
escolher entre eles, um sindico, um secretário e um tesoureiro. De quantas maneiras
isso pode ser feito? R: 720 maneiras.
Análise combinatória
PERMUTAÇÕES
Na análise combinatória, as permutações dos elementos de uma sequência são um tipo
particular de arranjo, como mostra a situação abaixo.
Ao formar os números naturais de três algarismos distintos com os algarismos 2, 5 e 8,
estamos formando os arranjos simples desses três algarismos tomados três a três.
Observe:
258 285 
528 582 
825 852 
Dois quaisquer desses arranjos se diferenciam apenas pela ordem dos elementos
componentes, e não pela natureza dos elementos, já que todos esses arranjos possui os
mesmos elementos: 2, 5 e 8. por isso dizemos que cada um desses arranjos é uma
permutação simples dos algarismos 2, 5 e 8.
Análise combinatória
PERMUTAÇÕES
Dados os elementos distintos do conjunto K = {a1, a2, a3, ..., an}, chama-se
permutação simples dos n elementos de K todo arranjo simples desses n elementos
tomados n a n.
FÓRMULA PERMUTAÇÃO
Conforme consta na definição acima, a permutação de n elementos de um conjunto é o
arranjo dos n elementos tomados n a n. Assim:
Análise combinatória
PERMUTAÇÕES
Ex.1: Oito carros participam de uma corrida. De quantas formas diferentes eles podem
chegar ao final?
Resolução:
𝑃8=8!= 8∙7∙6∙5∙4∙3∙2∙1=40320
Ex.2: Dez CDs diferentes sendo seis de música clássica e quatro de música popular
devem ser colocados lado a lado no porta CDs. De quantas formas diferentes estes
discos podem ser dispostos de modo que os de música clássica fiquem juntos e os de
música popular também fiquem juntos?
Análise combinatória
PERMUTAÇÕES
Ex.2:
Resolução: Como os CDs de mesmo estilo devem ficar juntos, temos duas opções: 
Primeira Opção: 
Pelo princípio multiplicativo: 6∙5∙4∙3∙2∙1∙4∙3∙2∙1=6!∙4! (ou 𝑃6∙𝑃4) 
Segunda Opção 
Análise combinatória
PERMUTAÇÕES
Ex.2:
Resolução:
Pelo princípio multiplicativo: 4∙3∙2∙1∙6∙5∙4∙3∙2∙1=4!∙6! (ou 𝑃4∙𝑃6)
Para sabermos o total de possibilidades, somamos os resultados
6!∙4! + 6!∙4! = 17280+17280=34.560 
R: Os CDs podem ser guardados de 34.560 maneiras diferentes.
Análise combinatória
PERMUTAÇÕES
Ex.3: Considerando a palavra NÚMEROS:
a) Quantos anagramas podemos formar?
b) Quantos anagramas começam por N?
c) Quantos anagramas começam por N e terminam com S?
d) Quantos anagramas começam com uma vogal?
e) Quantos anagramas terminam com uma consoante?
f) Quantos anagramas começam por uma vogal e terminam com uma consoante?
g) Quantos anagramas apresentam as letras N, U e M juntas e nesta ordem?
h) Quantos anagramas apresentam as letras N, U e M juntas em qualquer ordem?
Análise combinatória
PERMUTAÇÕES
Ex.3:
Resolução 
a) Os anagramas da palavra NUMEROS são a própria palavra ou qualquer outro
agrupamento que se obtém trocando a ordem de suas letras como por exemplo:
ERMNUSO. Assim, o número de anagramas da palavra NUMEROS é o número
total de permutações simples de sete letras distintas, isto é:
𝑃7=7!=5040 
R: 5040 anagramas
b) Para encontrar a quantidade de anagramas começados pela letra N, fixamos estaletra e fazemos as permutações de todas as demais.
𝑃6=6!=720 
R: 720 anagramas
Análise combinatória
PERMUTAÇÕES
Ex.3:
c) Para encontrar a quantidade de anagramas começados pela letra N e terminados
em S, fixamos estas letras e fazemos as permutações de todas as demais.
𝑃5=5!=120 
R: 120 anagramas
d) Neste caso, existem três possibilidades para a primeira posição: E, O ou U. Para
cada vogal fixada na primeira posição, sobram seis letras para permutar.
3∙𝑃6=3∙720=2160 
R: 2160 anagramas
e) Neste caso, existem quatro possibilidades para a última posição: M. N. R ou S. Para
cada consoante fixada na última posição, sobram seis letras para permutar.
𝑃6∙4=720∙4=2880 
R: 2880 anagramas
Análise combinatória
PERMUTAÇÕES
Ex.3:
f) Agora, existem três possibilidades de preenchimento da primeira posição, quatro
possibilidades para a última posição e sobram cinco letras para as outras cinco
posições:
3∙𝑃5∙4=3∙120∙4=1440 
R: 1440 anagramas
g) Já que as letras N, U e M devem aparecer juntas e nesta ordem, vamos “transformá-
las” num único bloco. Assim, podemos responder a questão encontrando a quantidade
de permutações de 5 elementos: NUM, E, R, O e S.
𝑃5=5!=120 
R: 120 anagramas
h) Tomando como base o item anterior, devemos considerar que para cada uma das
120 permutação em que as letras N, U e M aparecem juntas, existem 𝑃3 diferentes
então fazemos:
𝑃5∙𝑃3=5!.3!=120∙6=720 
R: 720 anagramas
Análise combinatória
PERMUTAÇÕES COM ELEMENTOS REPITIDOS
Em vários cálculos combinatórios, temos que calcular o número de permutações de n
elementos, nem todos distintos.
Consideremos n o número de elementos entre os quais o elemento a1 aparece n1 vezes,
o elemento a2 aparece n2 vezes ... o elemento ak aparece nk vezes:
Sendo a1, a2, ... , ak distintos entre si e n1 + n2 + ... nk = n. O número de permutações
desses n elementos será dada por:
Análise combinatória
PERMUTAÇÕES COM ELEMENTOS REPITIDOS
Para entender esse tipo de cálculo, convém analisar os exemplos a seguir.
Ex.1: Quantos são os anagramas da palavra CASA?
Resolução
Já estudamos que, se a palavra em questão fosse formada por letras distintas, faríamos
4! = 24 permutações. Para encontrar a quantidade correta de anagramas distintos da
palavra CASA, vamos, em princípio, considerar as letras A como distintas utilizando
cores para diferenciá-las
Análise combinatória
PERMUTAÇÕES COM ELEMENTOS REPITIDOS
Agora, vamos agrupar os anagramas iguais desconsiderando a diferenciação de cores:
É possível observar que, para cada anagrama que apresenta o A antes do A, existe um
correspondente com essas letras em posição (de cores) inversa. Neste caso, para
encontrar a quantidade de anagramas da palavra CASA, devemos calcular todos os
anagramas considerando as todas as letras como distintas e, em seguida, “eliminar” as
repetições. Para tal, dividimos a quantidade de permutações considerando todas as
letras distintas pelas permutações das letras que se repetem, ou, em linguagem
matemática:
Assim, concluímos que a palavra CASA tem 12 anagramas.
Análise combinatória
PERMUTAÇÕES COM ELEMENTOS REPITIDOS
Ex.2: Quantos são os anagramas da palavra PALAVRA? 
Total de letras: 7 Repetições: 
A → 3 vezes 
Assim, concluímos que a palavra PALAVRA tem 840 anagramas. 
Ex.3: Quantos são os anagramas da palavra ITATIAIA?
Total de letras: 8 Repetições: I → 3 vezes
T → 2 vezes
A → 3 vezes
Assim, concluímos que a palavra ITATIAIA tem 560 anagramas.
Análise combinatória
COMBINAÇÃO
Em todos os casos estudados até agora, a ordem dos elementos era relevante para
diferenciar dois agrupamentos, porém existem situações em que a ordem com que os
elementos são tomados, não diferencia dois agrupamentos. Para exemplificar,
tomemos dois casos: Numa primeira situação, se tivermos que eleger dentre os alunos
da sua sala dois colegas para serem representante e vice representante da turma junto à
pedagogia, a ordem de escolha seria relevante. Porém, se tivermos que escolher agora,
dois colegas para irem à pedagogia com a finalidade de tratar de um assunto de
interesse da turma, neste caso não faria diferença a ordem com que os colegas fossem
escolhidos. Situações como esta, em que a ordem de escolha não diferencia dois
agrupamentos, são chamadas de combinação.
Ex.1: Todos os dias, ao chegar do treino, Vítor faz uma vitamina de três frutas dentre
seis disponíveis (Abacate, Banana, Maçã, Mamão, Morango e Amora). Quantos tipos
diferentes de vitamina ele pode fazer?
Análise combinatória
COMBINAÇÃO
Resolução:
Sabemos que a ordem com que ele escolhe as frutas não vai diferenciar o resultado
final da vitamina então calcularemos a quantidade de formas diferentes de selecionar
as 3 frutas dentre as 6 disponíveis e, em seguida, eliminaremos as repetições.
Para calcular a quantidade de formas diferentes de selecionar as 3 frutas dentre as 6
disponíveis, faremos 𝐴6,3:
Uma das 120 formas de escolher essas três frutas é, por exemplo, Abacate, Mamão e
Morango mas já sabemos que se forem escolhidas nesta ordem ou em outra, o
resultado da vitamina será o mesmo. Então vamos contar todas as permutações
possíveis em grupos de três frutas e eliminar essas repetições.
Análise combinatória
COMBINAÇÃO
Resolução:
Já vimos que para calcular a quantidade de permutações entre as três frutas, devemos
fazer 𝑃3 e:
𝑃3=3!=6 
Agora, dividindo 120 (𝐴6,3) por 6 (𝑃3) encontramos a quantidade procurada:
Assim, Vitor pode fazer 20 tipos de vitaminas diferentes.
Análise combinatória
COMBINAÇÃO
FÓRMULA COMBINAÇÃO
Como acabamos de ver no exemplo acima, para calcular a quantidade de combinações
de n elementos tomados p a p, fazemos
(Lemos: Combinação de n elementos tomados p a p é igual a n fatorial sobre n menos
p fatorial vezes p fatorial)
Análise combinatória
COMBINAÇÃO
Ex.2: Dentre os 26 alunos de uma turma, pretende-se formar uma comissão de 3
estudantes para representar a turma numa reunião junto ao setor pedagógico da escola.
De quantas formas esta comissão pode ser formada?
Resolução:
R: A comissão ode ser formada de 2600 maneiras diferentes.
Análise combinatória
COMBINAÇÃO
Ex.3: Em uma academia trabalham 7 professores de musculação e 10 de ginástica
aeróbica. Quantas equipes de 2 professores de musculação e 2 de ginástica aeróbica
podem ser formadas?
Resolução: 
Primeira vamos escolher os professores de musculação: 
Agora vamos escolher os professores de ginástica aeróbica: 
A cada uma das 21 equipes de professores de musculação, podemos associar uma das 
45 equipes de professores de Ginástica Aeróbica. Então o resultado procurado é: 
21∙45=945 
Análise combinatória
COMBINAÇÃO
Ex.4:Uma locadora de automóveis têm à disposição de seus clientes uma frota de 16
carros nacionais e quatro carros importados, todos distintos. De quantas formas uma
empresa poderá alugar três carros de modo que pelo menos um carro nacional seja
escolhido?
Resolução:
A forma de a empresa alugar 3 carros quaisquer é 𝐶20,3
A forma de a empresa alugar apenas carros importados 𝐶4,3
Assim, fazendo 1140−4 temos a quantidade de formas de alugar ao menos um carro
nacional.
R: São 1136 formas de alugar ao menos um carro nacional. 
Análise combinatória
Exercícios
1) Quantas senhas com 4 algarismos diferentes podemos escrever com os algarismos 1, 2, 3,
4, 5, 6, 7, 8,e 9?
2) Um técnico de um time de voleibol possui a sua disposição 15 jogadores que podem jogar
em qualquer posição. De quantas maneira ele poderá escalar seu time?
3) Quantas comissões de 4 elementos podemos formar com 20 alunos de uma turma?
4) Em uma estante de uma loja de discos serão colocados 15 CD’s de música popular
brasileira, sendo 10 do Chico Buarque, 3 do Gilberto Gil e 2 do Djavan. De quantas
maneiras estes 15 CD’s podem ser arrumados na estante?
5) Um DJ tem 6 músicas para tocar. A música mais popular deve ser repetida 4 vezes. Outras
duas músicas devem ser repetidas 2 vezes. As músicas restantes serão tocadas apenas 1
vez. Determinede quantas maneiras diferentes este DJ pode organizar seu show.
6) Um empregador tem 3 tarefas distintas que deve distribuir para 6 empregados. De quantas
maneiras pode fazer isto, se cada empregado pode realizar apenas uma tarefa e cada tarefa
deve ser dada a apenas um empregado?