Atividade para avaliação- Matemática semana 6 Rodrigo

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Atividade para avaliação - Matemática semana 6 
 
1. Resolva a inequação 𝑠𝑒𝑛2𝑥 ≥
1
4
 com 0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋 (sugestão: faça 𝑡 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 e resolva 𝑡2 ≥
1
4
 ) 
𝑡2 ≥
1
4
⇔ 𝑡2 −
1
4
≥ 0 ⇔ 𝑡2 −
1
4
= 0 ⇔ √𝑡2 = √
1
4
⇔ |𝑡| =
1
2
⇔ 𝑡 = 
1
2−
+ 
𝑠𝑒𝑛(𝑥) =
1
2
⇔ 𝑥 =
𝜋
6
𝑜𝑢 𝑥 =
5𝜋
6
 
𝑠𝑒𝑛 (𝑥) = −
1
2
⇔ 𝑥 =
7𝜋
6
 𝑜𝑢 𝑥 =
11𝜋
6
 
 
 2. Resolva a equação 2 cos2 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛𝑥 − 1 = 0 no intervalo 0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋 
2 cos2(𝑥) − 𝑠𝑒𝑛(𝑥) − 1 = 0 
2 − 2𝑠𝑒𝑛2(𝑥) − 𝑠𝑒𝑛2(𝑥) − 1 = 0 
2𝑠𝑒𝑛2(𝑥) − 𝑠𝑒𝑛2(𝑥) + 1 = 0 substituindo sen(x) por t 
−𝑡2 − (𝑡) + 1 = 0 𝒂 = 𝟐 𝒃 = −𝟏 𝒄 = 𝟏 
𝑡 =
−(−1) √(−1)2 − 4(−2)1
−
+
2(−2)
 
𝑡 =
1 √1 + 8−
+
−4
 
𝑡 =
1 3−
+
−4
 
𝑡′ = −1 𝑜𝑢 𝑡" =
2
4
=
1
2
 
 
𝑺 = {𝒙𝝐ℝ /𝒙 
𝝅
𝟔
𝒐𝒖 𝒙 =
𝟓𝝅
𝟔
 𝒐𝒖 𝒙 =
𝟑𝝅
𝟐
} 
Então; 
𝑺 = {𝒙𝝐ℝ/
𝝅
𝟔
≤ 𝒙 ≤
𝟓𝝅
𝟔
𝒐𝒖
𝟕𝝅
𝟔
≤ 𝒙 ≤
𝟏𝟏𝝅
𝟔
} 
 
𝑠𝑒𝑛 (𝑥) = −1 ⇔ 𝑥 =
3𝜋
2
 
𝑠𝑒𝑛 (𝑥) =
1
2
=
5𝜋
6
 𝑜𝑢 𝑥 =
5𝜋
6
 
 
3. Calcule o valor da soma ∑ 𝑖𝑛20.241𝑛=1 , lembrando que 𝑖
2 = −1 
∑ 𝒊𝒏 = 𝒊𝟏 + 𝒊𝟐 + 𝒊𝟑 + 𝒊𝟒 + 𝒊𝟓 + 𝒊𝟔 … 𝒊𝟐𝟎𝟐𝟒𝟎 + 𝒊𝟐𝟎𝟐𝟒𝟏
𝟐𝟎𝟐𝟒𝟏
𝒏=𝟏
 
= 𝒊 − 𝟏 − 𝒊 + 𝟏 + 𝒊 − 𝟏 … simplificando 
∑ 𝒊𝒏 = 𝒊𝟐𝟎𝟐𝟒𝟏 = 𝒊𝟐𝟎𝟐𝟒𝟎+𝟏 = 𝒊𝟐𝟎𝟐𝟒𝟎. 𝒊𝟏 = (𝒊𝟒)𝟓𝟎𝟔𝟎 = 𝟏𝟓𝟎𝟔𝟎 = 𝟏 = 𝟏. 𝒊𝟏 = 𝒊𝟏 = 𝒊
𝟐𝟎𝟐𝟒𝟏
𝒏=𝟏
 
 Então, 
𝑺 = { ∑ 𝒊𝒏 = 𝒊
𝟐𝟎𝟐𝟒𝟏
𝒏=𝟏
} 
 
4. a) Obtenha o módulo e o argumento do número complexo 𝑧 = −1 − 𝑖 
|𝑧|√𝑎2 + 𝑏2 = 𝜌 
𝜌 = |𝑧| = √(−1) + (1)2 = √1 + 1 = √2 
|𝑧| = √2 
𝑠𝑒𝑛𝜃 =
𝑏
|𝑧|
=
−1
√2
√2
√2
=
−√2
√2
 
𝑐𝑜𝑠𝜃 =
𝑎
|𝑧|
=
−1
√2
√2
√2
=
−√2
√2
 
𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 (
−√2
2
) 
𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 (
−√2
2
) 
 
 Resposta: 
 Módulo ⇒ |𝒛| = √𝟐 
 Argumento ⇒ 𝜽 = 𝟐𝟐𝟓 𝒐𝒖 
𝟓𝝅
𝟒
 
 
 
 
b) Escreva a forma trigonométrica de 𝑧 
𝑧 = |𝑧|(𝑐𝑜𝑠(𝜃) + 𝑖𝑠𝑒𝑛(0)) 
 Resposta: 
𝑺 = {𝒛 = √𝟐 (𝒄𝒐𝒔(𝟐𝟐𝟓°) + 𝒊 𝒔𝒆𝒏(𝟐𝟐𝟓°))} 
c) Obtenha 𝑧12 
𝑧12 
𝑧𝑛 = |𝑧|𝑛(cos (𝑛𝜃) + 𝑖 𝑠𝑒𝑛(𝑛𝜃)) 
𝑧12 = [(√2)
2
]
6
(cos(2700°) + 𝑖 𝑠𝑒𝑛(12225°)) simplificando a raiz, 
𝑧12 = 26(cos(180°) + 𝑖 𝑠𝑒𝑛(180°)) 
𝑧12 = 64 (−1) = −64 
 Resposta: 
 𝑺 = {𝒛𝟏𝟐 = −𝟔𝟒}