Capítulo_III_parte_2

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108 
Sistemas binários com transformação eutetóide 
 
Nesta modalidade de transformação de fases tem-se: 
 
βαγ +⇒ calorextraçãode 
Este tipo de reação envolvendo três fases sólidas é monovariante, de modo que, se a 
pressão for escolhida como variável independente, devem existir relações termodinâmicas 
do tipo: 
 
(P)X 1B ϕγ = ⇒ composição da fase sólida γ no equilíbrio trifásico 
(P)X 2B ϕα = ⇒ composição da fase sólida α no equilíbrio trifásico 
(P)X 3B ϕβ = ⇒ composição da fase sólida β no equilíbrio trifásico 
(P)T 4E ϕ= ⇒ temperatura de equilíbrio ou de transformação eutetóide 
 
 
A topologia dos vários campos de estabilidade relativos a este equilíbrio é apresentada na 
Figura III-46; de acordo com o Princípio da Contigüidade de Campos, o domínio trifási-
co βγα // é circundado pelos campos bifásicos ββββαααα / , γγγγαααα / e βγ / e por três campos 
monofásicos βγα e; , o que caracteriza a existência de várias regiões de imiscibilidade 
no estado sólido. Em analogia às transformações eutéticas, as ligas podem ser denomi-
nadas hipo-eutetóides ( αBX < BX < γBX ), eutetóide( BX = γBX ), e hiper-eutetóides 
( γBX < BX < βBX ) . As ligas hipo-eutetóides geram fase primária pré-eutetóide α; enquanto 
as ligas hiper-eutetóides geram a fase primária pré-eutetóide β 
 
 
Figura III-46 – Disposição dos campos monofásicos, bifásicos e trifásico, característica de 
uma transformação eutetóide. 
 
A Figura III-47 ilustra duas topologias possíveis de um sistema binário dotado de uma 
transformação eutetóide. Em virtude da transformação eutetóide envolver apenas fases 
 109 
sólidas, é evidente a necessidade de transformações de fases outras, de modo a contem-
plar a existência de fase líquida. 
 
Figura III - 47 – Algumas das formas possíveis do diagrama de fases de um sistema com 
transformação eutetóide 
 
A figura III-48 mostra parte do diagrama de fases do sistema ferro-nitrogênio. Nota-se a 
ocorrência de duas transformações eutetóides, 'γαγ +⇒ e 'γγε +⇒ . A redução da 
solubilidade de nitrogênio no ferro sólido, explicitada pela reação 'γαγ +⇒ , explica a 
precipitação de nitretos nos contornos de grãos da fase sólida α . 
 
 
Figura III -48: Sistema ferro-nitrogênio 
 
O sistema estável ferro-carbono (ferro-grafita), bem como o sistema metaestável ferro-
cementita (Fe3C, 6,67 % em peso de carbono), apresenta também a transformação eute-
tóide. Estes dois sistemas estão superpostos na Figura III-49. A reação eutetóide pode 
ser expressa como: 
 110 
)%100,()%02,0()%69,0( CgrafitaCC (s)
calor de extração
Cα +⇒γ , 738 oC, Equilíbrio estável 
(s)3
calor de extração
CFeα +⇒ )%02,0()%765,0( CCγ , 727 oC, Equilíbrio meta-estável 
 
 
 
Figura III -49: Sistemas ferro-carbono e ferro-cementita 
 
Tal qual nos sistemas eutéticos, nos sistemas com transformação eutetóide pode ser en-
contrada uma diversidade de morfologias das duas fases sólidas conjugadas, provenien-
tes da transformação. Na maioria dos sistemas a estrutura é lamelar, tal como no sistema 
 111 
Fe- Fe3C. A Figura III-50 ilustra micro-estrutura da ferrita α (estrutura cúbica de corpo cen-
trado) - e austenita ou solução γ (estrutura cúbica de face centrada). 
 
Figura III-50: a) micro-estrutura ferrítica; b) micro-estrutura austenítica 
 
A Figura III-51 mostra esquematicamente a evolução micro-estrutural da liga eutetóide 
ferro-carbono, que resfriada, origina a perlita. Nota-se que a estrutura monofásica austení-
tica decompõe-se em uma estrutura de lamelas alternadas de ferrita e cementita. Este 
constituinte bifásico é denominado perlita. 
 
Figura III-51: Mudança de micro-estrutura de uma liga Fe-C durante a transformação eute-
tóide. 
 112 
 
O mecanismo de crescimento das fases-filhas da transformação eutetóide é similar ao da 
transformação eutética, Figura III-52. 
 
Figura III-52– Mecanismo de crescimento das fases integrantes da transformação eutetói-
de do sistema Fe-C; estrutura perlítica (parte clara ferrita, parte escura cementita). 
 
A Figura III-53 mostra a evolução de micro-estruturas típicas de ligas hipo e hipereutetói-
des do sistema Fe-Fe3C. Outros exemplos de microestruturas são mostrados na Figuras 
III-54 e III-55. 
 
 
Figura II-53: Evolução da micro-estrutura de ligas hipo e hipereutetóides do sistema ferro-
carbono. 
 
A transformação eutetóide, pelo fato de envolver fases sólidas, é lenta em comparação 
com a transformação eutética. Nesta modalidade de transformação no estado sólido, as 
transformações fora de equilíbrio ou naturais são importantes. 
 113 
 
Figura III-54: Micro-estrutura da perlita a) aumento de 1000 X; b) perlita com aumento de 
2500X (GORDON, 1983) 
 
 
Figura III -55: a) Aço hipoeutetóide com ferrita primária(branca) entre os grãos de perlita 
(400X); b) aço hipereutetóide com cementita nos contornos de grãos de perlita (ASKE-
LAND & PHULÈ, 2008) 
 
 
Sistemas binários com transformação monotética 
 
Nesta modalidade de transformação se tem 
 
21 LL
calorextraçãode
+⇒ α 
 
Como no caso de outros equilíbrios de três fases, sob condições isobáricas, a temperatu-
ra de transformação monotética e as composições das fases envolvidas são fixas. GOR-
DON (1983) ressalta que as transformações monotéticas ocorrem, na maioria das vezes, 
em sistemas em que as duas espécies componentes são eletroquimicamente dissimila-
res, por exemplo, em sistemas metal/ não-metal. 
 
Na Figura III-56 esquematiza-se alguns diagramas de fases de sistemas binários que 
comportam transformação monotética. Nota-se, em virtude da própria natureza da trans-
 114 
formação monotética, a existência de uma região de imiscibilidade no estado líquido, abri-
gada sobre o patamar de temperatura da referida transformação. As ligas de composição 
h e H são aquelas que experimentam, parcialmente, a transformação monotética, deno-
minadas ligas hipo-monotéticas e hiper-monotéticas, respectivamente. Enquanto que a 
liga binária de composição “m” é a liga monotética propriamente dita. 
 
Figura III-56: Esquemas de sistemas binários dotados de transformação monotética 
 
Exemplos de sistemas reais, cobre–chumbo , alumínio-índio e ferro-enxofre, são mostra-
dos nas Figuras III-57, III-58 e III-59. 
 
Figura III -57: Sistema binário Cu-Pb com transformação monotética 
 115 
 
Figura III-58: Sistema binário alumínio-índio 
 
 
Figura III -59: Sistema binário ferro-enxofre exibindo transformação monotética 
 
 
 
 
 
 116 
Sistemas binários com transformações peritéticas 
 
Diz-se que um sistema binário experimenta uma transformação peritética (da classe das 
reações peritéticas), quando uma fase líquida e outra sólida, por extração de calor, rea-
gem entre si para compor uma outra fase sólida binária, isto é: 
βcalor de extraçãoαL ⇒+ 
 
A Figura III-60 ilustra duas topologias de diagramas de fases de sistemas binários exibin-
do transformação peritética. Na Figura III-60a , observa-se a existência de um campo de 
imiscibilidade no estado sólido, α + β; enquanto que na Figura III-60b, em virtude da trans-
formação eutética complementar, dois campos de imiscibilidade no estado sólido, α+β e 
β+γ são requeridos, sendo separados pelo campo monofásico intermediário β produto da 
transformação eutetóide. 
 
 
A Figura III-60 – Esboços de diagramas de fases com transformação peritética 
 
Curvas de variação de energia livre de formação vs composição, compatíveis com estes 
diagramas, podem ser traçadas de modo a explicitar que os prolongamentos das linhas 
Solidus, Liquidus e Solvus devem invadir as regiões dos campos bifásicos contíguos ao 
campo de transformação trifásica, Figura III-61. 
 
Figura III -61 – Representação de reação peritética, mostrando extensões meta-estáveis 
das linhas Liquidus, Solidus e Solvus 
 117 
Utilizando-se a mesma simbologia empregada anteriormente, podem ser definidas ligas 
hipo-peritéticas, peritética e hiper-peritéticas, Figura III-62. Comoa reação peritética prevê 
a associação de dois reagentes, costuma-se introduzir, à guisa das reações químicas, a 
noção de excesso e deficiência de reagentes. Por exemplo, de acordo com a Figura III-62, 
para que líquido (de composição b) e sólido α (de composição a) sejam integralmente 
consumidos, para a formação de sólido β (de composição p), os mesmos devem estar 
presentes na proporção estequiométrica: 
 
)(
)(
ap
pb
Lfase
fase
−
−
=
α
 
Não sendo obedecida esta relação, existe líquido em excesso ( BX >p) ou sólido α em 
excesso ( BX <p). Disto, naturalmente decorre que, a depender da deficiência ou excesso 
de líquido, a solidificação pode se completar ou não, através da reação peritética. 
 
 
Figura III- 62: Ligas hipo-peritéticas, peritética e hiper-peritéticas 
 
O sistema binário platina-prata é típico para esta classe de transformação de fases, Figu-
ra III-63. Neste sistema a temperatura de transformação peritética é 1186ºC, e as compo-
sições das fases envolvidas na transformação peritética são: 
 
( ) ( ) ( )Agde42,4%βAgde10,5%αAgde66,3%L oC 1186⇒+ 
 
Para este sistema, à temperatura T = 1186 + dT, de acordo com a regra da alavanca, as 
proporções de fases líquida, LP , e sólida, αp , requeridas para que a transformação peri-
tética seja completa, isto é, as fases sólida, α, e líquida, L, sejam totalmente consumidas 
para gerar apenas a fase sólida, β, são: 
 
168,57100
8,55
9,31100
5,103,66
10,5-42,4%LP ==
−
= xx 
 
83,42100
8,55
9,23100
5,103,66
42,4-66,3% ==
−
= xxPα 
 
 118 
As fases líquida e sólida são consumidas na proporção 3347,1
83,42
168,57
%
%L
P
P
==
α
, indepen-
dentemente de a liga binária sofrer parcial ou totalmente a transformação peritética. 
 
 
 
Figura III -63: Sistema binário platina-prata, dotado de transformação peritética. 
 
A Figura III-64 ilustra o diagrama de fases do sistema binário prata-magnésio, o qual exi-
be duas transformações eutéticas, uma transformação congruente e uma transformação 
peritética. Nota-se a existência de três campos de imiscibilidade no estado sólido; que o 
composto intermetálico gerado na transformação peritética – Mg2Ag - é capaz de dissol-
ver quantidades limitadas de magnésio e quase nenhuma quantidade de prata, caracteri-
zando-se como uma fase intermediária 
 
Em virtude da natureza da transformação peritética, o produto desta é inteiramente distin-
to da aparência micro-estrutural oriunda da transformação eutética. A transformação peri-
tética é um fenômeno caracteristicamente mais lento, uma vez que a fase filha β nucleia-
se e cresce na interface α/L , formando um envoltório sólido sobre os grãos de fase α , 
interrompendo, assim, o contato sólido/líquido (fases-mães), figura III-65. Este fenômeno 
é denominado envelopamento da fase-mãe α . O prosseguimento da transformação peri-
tética ocorre por difusão de A e B, em regime de contra-corrente através da carapaça da 
fase sólida β . À medida que ocorre o crescimento da fase sólida β , menor torna-se a 
velocidade de transformação peritética. Em decorrência do fenômeno de envelopamento, 
a fase líquida poderá sofrer a solidificação, independentemente da presença da fase α . A 
estrutura sólida formada terá um aspecto de ilhas de α na matriz de β . 
 119 
 
Figura III -64; Sistema prata-magnésio, exibindo duas transformações eutéticas, uma 
transformação congruente e uma transformação peritética. 
 
. 
 
Figura III-65: Envelopamento da fase sólida α pela fase-filha β durante a transformação 
peritética 
 
A estrutura formada por resfriamento fora de equilíbrio pode apresentar gradações de 
composição em toda sua extensão. Por exemplo, Figura III-66, durante a solidificação a 
fase sólida α pode apresentar crescimento zonado, de modo que a linha Solidus aparen-
te seja dada pela curva '4'3'21 αααα , e que à temperatura peritética existe uma deficiência 
de fase sólida α , em comparação com o que resultaria do resfriamento da mesma liga, 
 120 
sob condições de equilíbrio. De fato, para a solidificação em equilíbrio, de um sistema de 
composição BX , a proporção de fase α a Tp+ dT seria: 
 
44
44%
α
α
−
−
=
L
XL
equilíbrio 
enquanto que, para a solidificação fora de equilíbrio: 
 
'
44
44%
α
α
−
−
=
−
L
XL
equilíbrionão 
Note-se que equilíbrioequilíbrionão %α%α <− . Sendo constatado o envelopamento, e a impossibili-
dade da reação peritética efetivamente se concretizar (de forma significativa), então, para 
temperaturas menores do que a peritética, a fase líquida restante, de composição L4 , 
começa a solidificar-se em fase sólida β , independentemente da presença da fase sólida 
α . A fase β assim gerada se deposita sobre a fase β da reação peritética, e está sujei-
ta, por sua vez, a efeito zonado; deste modo a composição da fase sólida β varia segun-
do a Solidus (aparente) '7'6'54 ββββ . A micro-estrutura sólida formada fora do equilíbrio é 
bifásica βα / e se encontra esquematizada na Figura III-66. 
 
Figura III-66: a) Deformação aparente das linhas solidi α e β , devido ao fenômeno de 
micro-segregação nas fases sólidas; b) Micro-segregação nas fases sólidas α e β , de 
uma liga binária hipo-peritética. 
 
 
Um sistema binário pode exibir várias transformações peritéticas. No sistema cal-alumina, 
as fases geradas pelas várias transformações peritéticas são compostos estequiométricos 
gerados pela reação química entre CaO e Al2O3 (CaO.3Al2O3; CaO.2Al2O3; 12CaO. 
7Al2O3, 3CaO.Al2O3), Figura III-67. Este sistema é importante para se definir a lingotabili-
dade de aços acalmados ao alumínio. Um outro exemplo, que retrata a complexidade se-
gundo a qual vários equilíbrios de três fases podem estar combinados, em um diagrama 
de fases real, é aquele do par Al-Mn, apresentado na Figura III-68. 
 121 
 
Figura III-67: Sistema CaO-Al2O3 exibindo múltiplas transformações peritéticas 
 
 
Figura III-68 Sistema alumínio – manganês 
 122 
Exemplo: Considere o sistema A-B, o qual experimenta uma transformação peritética 
simples, tal que: KT oAf 900= , KT oBf 600= ; molcalH Af /2000=∆ , molcalH Bf /1300=∆ , 
L
pp CC =α para ambos os componentes; as soluções são consideradas regulares com 
cal/mol3000Ω = . Trace curvas de energia livre de formação das soluções vs composição 
e determine o diagrama de fases compatível; utilize A e B puros e líquidos como referên-
cias. 
 
Então, pode-se escrever para a solução líquida, 
 
 
)()( olBLBBolALAAL XXG µµµµ −+−=∆ 
 
e tendo sido utilizada, neste caso, referência Raoultiana, se pode escrever diretamente 
 
 
exc
LidealL GGG +∆=∆ 
 
Então, para o caso de uma solução regular, com 
 
 
BABAL
exc
L XXXXG 3000== Ω , 
 
tem-se: 
BABBAAL XXXXXXRTG 3000)lnln( ++=∆ 
 
Para a fase sólida, considerando-se o referencial líquido puro, tem-se: 
)(X)(XG olBBBolAAA µµµµ ααα −+−=∆ 
 
Esta expressão pode ser reescrita, de forma a explicitar referência Raoultiana, fazendo-se 
somar aos parênteses as quantidades osAµ∆± e osBµ∆± ; após uma pequena série de ma-
nipulações algébricas resulta. 














−+





−−+= B
f
B
fBA
f
A
fABAidealα T
T1∆HX
T
T1∆HXXX∆G∆G αΩ 
Assim, 












−+





−−++=
600
T11300X
900
T12000XXX3000)lnln(∆G BABAα BBAA XXXXRT 
 
As curvas correspondentes a estas expressões são apresentadas na Figura III-69 e são 
compatíveis, de fato, com um diagrama peritético simples. 
 
 123 
 
Figura III - 69: Diagramas de energia livre versus composição, para sistema peritético. 
Considerou-se: KT oAf 900= , KT oBf 600= ; molcalH Af /2000=∆ , molcalH Bf /1300=∆ ; 
L
pp CC =α para ambos os componentes; soluções regulares com cal/mol3000Ω = 
 
Curvas de atividade neste sistema podem ser obtidas em se considerando o Método das 
Tangentes, 
B
AB dX
∆Gd
X∆G∆µ += 
 
Por isso, as atividades da espécie B no líquido e no sólido são expressas como: 
 








−
=
T
X
X BB 987,1
)1(3000
exp
2
L
Ba













−−
−
=
600
11
987,1
1300
987,1
)1(3000
exp
2
TT
X
X BBαBa 
 124 
 
De modo que, para as isotermas de 500 e 800º K, as curvas de atividade da espécie B 
para as fases sólida e líquida, em função da composição, são expressas na Figura IIII-70. 
 
Figura III-70 – Diagramas de atividades do componente B no líquido e no sólido a) 500ºK, 
b) 800ºK 
 
Exemplo: Retrace as curvas de atividade da figura III-70, explicitando apenas as porções 
estáveis. 
 
Exemplo: Considere o sistema A-B, tal que: KT oAf 900= , KT oBf 600= ; 
molcalH Af /2000=∆ , molcalH Bf /1300=∆ ; Lpp CC =α para ambos os componentes; as 
soluções sólida e líquida são consideradas regulares, com cal/mol3000Ω = . Trace cur-
vas de energia livre de formação das soluções vs composição, tomando A e B puros e 
sólidos como referência, e mostre que o diagrama de fases é o mesmo da figura III-69. 
 
Exemplo: Considere o sistema A-B, o qual experimenta uma transformação peritética 
simples. Sabe-se que: KT oAf 1000= , KT oBf 600= ; molcalH Af /2500, =∆ , 
molcalH Bf /1300, =∆ , ( ) molcalTG LA /5,220000 −=⇒β∆ ; ( ) molcalTG LB /4,28000 −=⇒α∆ ; 
L
ppp CCC == βα para ambos os componentes; as soluções são regulares, com 
cal/mol3200Ω =α ; cal/mol1820Ω =β ; cal/mol3090ΩL = . 
 
Trace curvas de energia livre de formação das soluções vs composição e verifique se o 
diagrama de fases compatível é aquele apresentado na Figura III-71; utilize A e B puros e 
líquidos como referências. 
 
 125 
 
Figura III-71: Diagrama de energia livre versus composição para o sistema peritético com 
duas estruturas sólidas diferentes. Dados termodinâmicos seriam : KT oAf 1000= , 
KT oBf 600= ; molcalH Af /2500=∆ , molcalH Bf /1300=∆ , ( ) molcalTG LA /5,22000 −=⇒β∆ ; 
( ) molcalTG LB /4,2800 −=⇒α∆ ; Lppp CCC == βα para ambos os componentes; soluções re-
gulares com 3200calΩ =α /mol; 1820calΩ =β /mol; 3090calΩL = /mol. 
 
 
Sistemas binários com transformação peritetóide 
 
 
Uma reação peritetóide é caracterizada pela transformação de duas fases sólidas em uma 
outra fase sólida, por extração de calor, tal como resumido na equação: 
 
βγ calor de extraçãoα ⇒+ 
O que indica que a transformação é univariante, e se a pressão externa aplicada é cons-
tante, a disposição dos campos de fases contíguos ao campo de transformação de perite-
tóide seria aquela mostrada na Figura III-72. Nota-se que o campo bifásico que encerra o 
 126 
domínio de equilíbrio das fases-mãe γα / é delimitado por duas linhas Solvi superiores. 
Enquanto que os campos bifásicos βα / e γβ / , instalados abaixo do campo de trans-
formação peritetóide, são limitados, cada qual, por duas linhas Solvi inferiores. 
 
Figura III-72: Disposição dos campos de fases em um sistema binário com transformação 
peritetóide. 
 
Os sistemas binários prata-alumínio e cobre-zinco, por exemplo, além de outras transfor-
mações de fases univariantes, apresentam transformação peritetóide, Figuras III-73 e III-
74. Nesta modalidade de transformação de fase, em virtude de que todas as fases envol-
vidas são sólidas, a cinética de transformação é extremamente lenta, de modo que micro-
estruturas meta-estáveis podem ser facilmente obtidas. 
 
Figura III-73: Sistema prata-alumínio exibindo transformações peritetóide, eutética e peri-
tética (DEVEREUX, 1989) 
 127 
 
Figura III-74: Sistema cobre-zinco, exibindo transformação peritetóide. 
 
Exemplo: Esquematize as porções dos campos de fase nos sistemas Ag-Al e Cu-Zn, 
mostrados no detalhe da Figura III-75, de modo a explicitar transformações peritetóides e 
congruentes. 
 
 
 
Figura III-75: Detalhes dos diagramas expostos nas figuras III-73 e III-74 
 
 128 
A Figura III-76 exibe a micro-estrutura de uma liga hipo-peritetóide Ag-6% de Al, ver deta-
lhe, resfriada rapidamente desde temperatura superior à de transformação peritetóide, 
onde se vê a matriz de α (Ag) embebida por partículas sólidas de δ . Após longo trata-
mento térmico, a fase δ é convertida em µ com consumo de parte da matriz α . 
 
Figura III-76 a) liga hipo-peritetóide prata - 6% de alumínio, estabilizada por longo trata-
mento térmico à temperatura vizinha da transformação peritetóide, seguindo de resfria-
mento rápido; aumento de 150 X; b) mesma liga, com tratamento de homogeneização a 
temperatura bem inferior à de transformação peritetóide, por duas horas, aumento de 
150X. (RHINES,) 
 
 
Figura: Detalhe do diagrama prata-alumínio 
 
 129 
Sistemas binários com transformação sintética 
 
Uma transformação sintética é aquela na qual, por extração de calor, duas soluções líqui-
das L1 e L2 compõem uma única solução sólida, tal que: 
 
βLL
calor de extração
21 ⇒+ 
 
Como no caso dos equilíbrios de três fases já abordados, esta transformação é univarian-
te; fixando-se a pressão ficam definidos valores únicos de composições das fases envol-
vidas e de temperatura. A Figura III-77 esboça uma arquitetura dos campos fásicos de um 
sistema binário, apresentando transformação sintética. Decorrente da própria natureza da 
transformação de fases, existe necessariamente um campo de imiscibilidade do sistema 
no estado líquido. As fronteiras deste domínio de imiscibilidade representam os lugares 
geométricos das composições das fases conjugadas L1 e L2, em equilíbrio. A fase sólida 
oriunda da transformação sintética pode ser uma fase intermediária ou um composto quí-
mico, podendo ou não dissolver os componentes do sistema A-B. No caso do exemplo 
hipotético, figura III-77, duas transformações eutéticas compõem o diagrama. 
 
Figura III-77: Topologia de um sistema binário arbitrário exibindo transformação sintética e 
duas transformações eutéticas. 
 
Os sistemas binários sódio-zinco e urânio-bismuto, Figuras III-78 e III-79, apresentam 
transformações sintéticas. No caso do sistema sódio-zinco, além da transformação sinté-
tica, existe um caso limite de transformação eutética, onde zinco puro e uma fase β são 
formados. Já no caso do sistema urânio-bismuto, os campos de fases envolvendo trans-
formações polimórficas do urânio são exibidos. Nota-se neste sistema, duas transforma-
ções peritéticas e uma sintética, formando compostos intermetálicos, e um caso limite de 
transformação eutética de uma solução rica em bismuto com precipitação de bismuto me-
tálico. 
 130 
 
Figura III-78: Sistema sódio-zinco, exibindo transformação sintética, à temperatura de 
 557 ºC (DEVEREUX, 1989) 
 
 
 
Figura III-79: Sistema urânio-bismuto, exibindo transformação sintética 
 
 131 
Exemplo: Retrace a porção direita do diagrama Na-Zn, Figura III-78, explicitando uma 
reação eutética ou uma peritética para o patamar a 419 ºC. Qual opção seria correta? Re-
trace o extremo esquerdo do diagrama U-Bi, figura III-79, associando o equilíbrio de três 
fases a 776 oC com uma reação eutetóide ou com uma reação peritetóide. Qual opção 
seria correta? 
 
 
 
Considerações Finais: 
 
Apenas por questão de conveniência procurou-se dividir este estudo em três grandes tó-
picos. Aqueles relacionados com a classe isomorfa, com a classe eutética e com a classe 
peritética. A topologia destas estruturas, as regras de interpretação e de construção não 
mudam, a despeito de qual reação em particular, dentro de cada uma destas classes, es-
teja em foco. Deste modo, do ponto de vista acadêmico, a repetição se mantém ao míni-
mo. 
 
Inicialmente os temas que foram abordados o foram com o auxílio de diagramas esque-
máticos e/ou diagramas de fases reais simples. Simples no sentido em que foram esco-
lhidos aqueles que envolviam apenas (de preferência) a estrutura a ser analisada. Dia-
gramas reais, em geral, incluem transformações das várias classes citadas; neste sentido 
seriam complexos. Naturalmente esta divisão – simples / complexo – não faz sentido, 
posto que as regras de interpretação e construção não são diferentes. O texto seguinte, é 
uma adaptação de “Are You a Phase Diagram Expert ?", H. Okamoto, T.B.Massaslki, 
ASM News, Janeiro de 1992, paginas 4 e 5) e procura retratar o exposto. 
 
Exemplo: Observe os diagramas expostos nas figuras III-80 a III-89. Encontre ao menos 
um problema sério em cada um dos diagramas; como texto auxiliar considere o artigo 
"Thermodynamically Improbable Phase Diagrams", H. Okamoto e T.B. Massalki, J. Phase 
Equilibria, 12[2], 148-168, 1991 ou então "Re-evaluation of Thermodynamic Models for 
Phase Diagram Evaluation", H. Okamoto, J. Phase Equilibria, 12[6], 623-644, 1991. 
 132 
 
É possível encontrar ao menos um erro em cada diagrama utilizando a Regra das Fases 
como base de julgamento. Além da regra das fases, existe uma regra empírica que esta-
belece que a velocidade de mudança de uma propriedade termodinâmica não deve apre-
sentar mudanças abruptas no domínio de estabilidade de uma fase. Em outras palavras, 
qualquer propriedade (entalpia de dissolução, parâmetros de rede, modulo de Young, etc) 
não apresentaria uma mudança súbita de valor devido a pequenas mudanças em tempe-
ratura ou composição -- a menos que exista uma razão insólita para tal. 
 
Se forem encontrados poucos problemas, ou nenhum, sugere-se projetar as linhas de 
equilíbrio de modo que os equilíbrios meta-estáveis se tornem evidentes. Extrapole as 
linhas de equilíbrio na direção dos campos de estabilidade contíguos e considere se a 
construção resultante é compatível com a regra das fases. Nesta primeira tentativa, evite 
modificar a direção de qualquer fronteira dos campos de estabilidade envolvidos. 
 
Seguindo este procedimento, os problemas com os diagramas das Figuras III-80 a III-85 
podem ser facilmente identificados. Os problemas referentes aos diagramas das Figuras 
III-86 a III-88 pertencem a uma classe diferente, e requerem considerações termodinâmi-
cas específicas. 
 
Na figura III-80 parece estar faltando um campo de equilíbrio bifásico entre L e 
(δ Ce, β Pr) (a) ou entre (δ Ce, β Pr ) e (γ Ce) (b). Na realidade estes campos de equilíbrio 
bifásicos são excessivamente estreitos, e a resolução do diagrama não permite que eles 
sejam representados de maneira adequada. Portanto, este não seria um problema. Por 
outro lado, considere-se o campo de equilíbrio bifásico (γ Ce) + ( β Ce,α Pr). 
 
Figura III-80: Alguns erros em diagramas de fases. 
 
 133 
Se a fronteira inferior (d) fosse extrapolada, esta cruzaria a vertical a 100% de Pr aproxi-
madamente a 800 oC. Extrapole a fronteira superior (c). Como (c) e (d) fazem parte da 
mesma estrutura isomorfa, seus prolongamentos precisam se encontrar num mesmo pon-
to, o que não ocorre nesta representação, que só pode estar errada. 
 
Na figura III-81 se encontra traçada a Liquidus L1 + Al2Se3 , (a), de tal maneira que sua 
extremidade(esquerda) se encontra localizada na isoterma eutética a 660 oC e muito pró-
ximo a 0% de Se. Extrapole a linha (a) até a vertical a 100% de Al. Definitivamente, a li-
nha (a) cruza a vertical a 0% de Se, um pouco abaixo de 660 oC. O significado desta in-
tersecção é que existiria uma região bifásica meta-estável abaixo deste ponto, o que re-
presentaria uma violação da regra "A” exposta na figura III-89. Na realidade, a linha (a) só 
pode se aproximar da vertical a 0% de Se, assintoticamente, a 0 oK. 
 
 
Na figura III-82, observe a Liquidus referente à fase β AlB12. Esta consiste de duas partes, 
(c) e (e). Extrapole a porção superior (e) na direção de baixas temperaturas e a porção 
inferior (c) na direção de altas temperaturas. Desde que ambas pertencem à mesma fase 
β AlB12, (c) e (e) deveriam ser parte de uma única curva. Entretanto, neste caso, seria 
preciso uma junção do tipo "Z", como exposta na figura III-89, de modo a se ligar os dois 
trechos da Liquidus. 
 
 
Figura III- 81: Alguns erros em diagramas de fases. 
 
 134 
 
Figura III- 82: Alguns erros em diagramas de fases. 
 
 
Na figura III-83 considere a fusão meta-estável da fase α Nd. Este ponto pode ser obtido 
através da extrapolação da Liquidus (h) e da Solidus (e) até a vertical a 100% de Nd. Tra-
ce um diagrama esquemático “potencial químico vs temperatura” e comprove que o ponto 
de fusão da variedade α Nd precisa ser inferior ao ponto de fusão da variedade β Nd , e 
que o prolongamento da curva (h) satisfaz este quesito. Mas, não seria possível traçar a 
Solidus (e) sem a introdução do erro do tipo "Y", como exposto na figura III-89. Neste ca-
so argumenta-se que o problema reside, não nas fronteiras de α Nd, mas naquelas de 
β Nd, (a) e (b). Os problemas poderiam ser resolvidos pela introdução de uma lacuna de 
miscibilidade no estado liquido. Neste caso, não haveria necessidade das linhas (h) e (e) 
se encontrarem a 100% de Nd. 
 
 135 
 
Figuras III-83: alguns erros em diagramas de fases. 
 
 
Na figura III-84 o ponto de fusão meta-estável da fase α Mg3Sb2 pode ser estimado pela 
extrapolação da Liquidus. A extrapolação da Liquidus (a) e da Liquidus (d) até a composi-
ção 40% de Sb resultam em estimativas completamente diferentes. Naturalmente a fase 
em questão só pode se fundir uma única vez. Para contornar este problema, um erro do 
tipo "X", figura III-89, teria que ser introduzido na construção do diagrama. Portanto uma 
das duas linhas, (a) ou (d) foi traçada incorretamente. 
 
 
 
 136 
 
Figuras III-84: alguns erros em diagramas de fases. 
 
Na figura III-85, as duas fronteiras de um campo de equilíbrio bifásico não podem se cru-
zar exceto a 0 ou 100% (elas podem, naturalmente, se tocar a qualquer composição) -- 
erro "T", como exposto na figura III-89. 
 
 
Figuras III-85: alguns erros em diagramas de fases. 
 
 137 
Na figura III-86, o ângulo de abertura entre a Solidus a Liquidus não pode assumir qual-
quer valor arbitrário. Este ângulo é limitado pela entalpia de fusão. No caso em que a So-
lidus (b) é vertical, indicando ausência de solubilidade, a inclinação inicial da Liquidus (a) 
deveria ser tal que seu prolongamento interceptasse a vertical oposta a, aproximadamen-
te 0 oC -- regra empírica válida para elementos metálicos, relacionada à equação de van't 
Hoff. Este diagrama de fases inclui outro problema. Observe o campo de estabilidade da 
fase Hg4Ni. As fronteiras (c) e (d), quando extrapoladas para temperaturas maiores, não 
deveriam apresentar um "pico" arredondado formando uma linha continua, desde que re-
presentam equilíbrios completamente diferentes; isto é, não se trata de um ponto de tan-
gência. 
 
 
 
Figuras III-86: alguns erros em diagramas de fases. 
 
Quanto à figura III-87, quando a Liquidus de um composto se apresenta bastante "acha-
tada" no seu máximo, isto indica que a energia livre de Gibbs de formação deste compos-
to se torna marcantemente negativa (isto é, o composto se torna mais estável) quando a 
temperatura é reduzida a valores abaixo da temperatura de fusão. Este efeito é tão domi-
nante a baixas temperaturas que os compostos vizinhos não conseguem "sobreviver". 
Nesta figura, a Liquidus da fase Cu8Hf3 se apresenta bastante "achatada", enquanto que o 
Liquidus da fase Cu10Hf7 se apresenta em uma forma "aguda". Portanto, deveria se espe-
rar a decomposição eutetóide da fase Cu10Hf7 a temperaturas relativamente altas. De fato, 
cálculos termodinâmicos indicam que todos os compostos, exceto Cu8Hf3 se decompõem 
acima de 876 oC. 
 
 
 
 138 
 
Figuras III-87: alguns erros em diagramas de fases. 
 
Na figura III-88, quando a linha Liquidus de uma fase apresenta exagerada assimetria, 
como é o caso para o Au3U, isto indica que a curva energia livre x composição passa por 
uma mudança, abrupta, de curvatura no ponto referente à composição do composto. Este 
não seria um comportamento esperado, desde que, usualmente, as transformações são 
gradativas. 
 
 
Figura III-88: alguns erros em diagramas de fases. 
 139 
Finalmente, violações típicas da regra das fases são ilustradas através dos pontos "A"-
"T", no diagrama hipotético da figura III-89. 
 
 
Figura III-89: alguns erros em diagramas de fases. 
 
 
A - um campode equilíbrio bifásico não pode se estender de modo a se tornar parte da 
vertical correspondente ao componente puro. Neste caso, a Liquidus e a Solidus deveriam 
se encontrar no ponto de fusão do componente puro. 
B - duas curvas Liquidi precisam se encontrar a uma única composição, à temperatura 
eutética. 
C - uma “tie-line” deveria ter seu término localizado em uma fronteira de um campo de 
estabilidade monofásico. 
D - no caso em que uma reação univariante esteja envolvida, duas Solvi, ou duas Liquidi, 
ou duas Solidi, ou uma Solvus e uma Solidus de uma certa fase deveriam se encontrar 
em uma única composição. 
E - a fronteira referente ao campo de estabilidade de uma fase deve se extrapolar no sen-
tido de um campo de equilíbrio de duas fases. 
F - dois campos de estabilidade de uma única fase, α e β , não podem se tocar ao longo 
de uma linha. 
G - um campo de estabilidade de uma única fase, neste caso, α , não deve ser sub-
dividido. 
H - em um sistema binário, uma isoterma deveria representar o equilíbrio de três fases. 
I - campos de equilíbrio monofásicos devem ser separados pelo campo de equilíbrio bi-
fásico correspondente. 
J - campos de equilíbrio monofásico devem se tocar somente em extremos de temperatu-
ra. 
 140 
K - neste ponto as curvas Liquidus e Solidus devem ser tangentes uma à outra, seja num 
ponto de máximo ou de mínimo. 
L, M e N – representam o mesmo problema; deveriam estar definidos valores únicos de 
composição das fases sólida e líquida em equilíbrio, o que o diagrama pressupõe; entre-
tanto, dependendo da escolha de temperatura e composição, são fornecidas composições 
de dois líquidos. 
O – a fronteira de um campo de estabilidade não pode sofrer solução de continuidade no 
interior do campo de estabilidade de outra fase. 
P – a condição de equilíbrio de três fases precisa expressar equilíbrio térmico, mesma 
temperatura. 
Q - a Liquidus não deveria apresentar um pico "agudo" na composição referente a um com-
posto, a menos que o líquido retenha o estado molecular do composto; quando uma Solidus 
e uma Liquidus se tocam, as duas precisam apresentar tangente única e horizontal neste 
ponto. 
R – as composições das três fases em equilíbrio, aparentemente, no que se refere a uma 
reação peritética, não obedecem ao princípio de conservação de massa; a composição da 
fase ξ1 precisa ser intermediária às outras duas. 
 S – o equilíbrio de quatro fases em um sistema binário não é impossível, mas improvável; 
escreva a reação correspondente a este equilíbrio de quatro fases. 
T – duas curvas referentes a fronteiras de estabilidade não podem se cruzar. 
X, Y e Z - embora as situações ilustradas por estes pontos não violem a regra das fases, 
elas são indicativas de mudanças abruptas nos valores das funções termodinamicas, o que 
não seria razoável de se esperar. A menos que uma justificativa seja providenciada, estas 
construções devem ser consideradas suspeitas. 
 
A figura III-90 apresenta uma proposta para o diagrama exposto na figura III-89, após cor-
reções. 
 
Figura III-90: Diagrama hipotético após correção de erros apresentados na figura III-89 
 
 141 
Exercícios: 
 
1-Assuma que as soluções sólidas e líquidas no sistema U-Zr se comportam regularmente 
e que a entalpia em excesso seja a mesma, vide tabela, para ambas. Os valores de tem-
peratura e entalpia de fusão podem ser tomados como sendo: 2130 oK e 4600 cal/mol, 
respectivamente, para o Zr; 1405 oK e 2500 cal/mol, respectivamente, para o U. Trace 
curvas de variação de energia livre de formação das soluções sólidas e líquidas a 1500 oK 
, 1800 oK e 2000 oK e, a partir delas, o diagrama de fases. 
XZr 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 
H∆ cal/mol 340 590 800 940 1010 1000 910 740 468 
 
2-Considere o diagrama Fe-Rh. Identifique, por cor única, todas as regiões monofásicas. 
Identifique todos os equilíbrios univariantes, especificando nome, temperatura e composi-
ções das fases envolvidas. Analise o resfriamento em equilíbrio das ligas de composições 
médias : 5%, 10% e 17,5% de Rh (base atômica). 
 
 
 
 
 142 
3-Considere o diagrama Fe-Pd. Identifique, por cor única, todas as regiões monofásicas. 
Identifique todos os equilíbrios univariantes, especificando nome, temperatura e composi-
ções das fases envolvidas. Analise o resfriamento em equilíbrio das ligas de composições 
médias : 5%, 15% e 55% de Pd (base atômica). 
 
 
 
 
 
 
4-Considere o diagrama Fe-Be. Identifique, por cor única, todas as regiões monofásicas. 
Identifique todos os equilíbrios univariantes, especificando nome, temperatura e composi-
ções das fases envolvidas. Analise o resfriamento em equilíbrio das ligas de composições 
médias : 20%, 65% e 90% de Be (base atômica). 
 143 
 
 
5-Considere o diagrama Fe-Mo. Identifique, por cor única, todas as regiões monofásicas. 
Identifique todos os equilíbrios univariantes, especificando nome, temperatura e composi-
ções das fases envolvidas. Analise o resfriamento em equilíbrio das ligas de composições 
médias: 10%, 20% e 45% de Mo (base atômica). 
 
 
 144 
 
6-As soluções sólidas e líquidas no sistema A-B se comportam idealmente. O ponto de 
fusão de A é 1500 oK e sua entalpia de fusão 3500 cal/mol. O ponto de fusão de B é 2300 
oK e sua entalpia de fusão desconhecida. Durante o resfriamento em equilíbrio de uma 
solução líquida de composição XB = 0,22 , os primeiros cristais se formam a 1700 oK. As-
suma que, para ambos os componentes, Cp líquido – Cp sólido é nulo. Escreva as expres-
sões correspondentes às condições gerais de equilíbrio. A partir da condição de equilíbrio 
 145 
de distribuição do componente A, estime a composição da fase sólida. A partir da condi-
ção de equilíbrio de distribuição do componente B, estime sua entalpia de fusão. 
 
7-Considere o diagrama de fases hipotético em anexo. Identifique, fornecendo as devidas 
justificativas, os possíveis erros de construção. 
 
 
8-Considere o sistema W-C: identifique, por cores, todas as regiões monofásicas; identifi-
que todos os equilíbrios univariantes. Descreva o aquecimento em equilíbrio, desde 1000 
oC até completa fusão, de ligas com 3,4% C e 5% C. 
 
 146 
 
9-Considere solução sólida e solução líquida estritamente regulares, com Gexc = 3000 XA 
XB cal/mol. Assuma ainda para o componente A: fusãoH∆ = 2000 cal/mol, Tfusão = 900 oK ; 
para o componente B: fusãoH∆ = 1300 cal/mol, Tfusão = 600 oK. Trace curvas de variação 
de energia livre de formação destas soluções a 900 K, 840 oK, 780 oK, 700 oK, 635 oK, 
620 oK, 610 oK, 600 oK, 500 oK , referência SÓLIDOS puros, trace duplas tangentes (se 
pertinente) e o diagrama de fases correspondente. 
 
10-Considere o sistema Ag-Ge: estime o coeficiente Henryano do Ge na fase (Ag), a 651 
e 500 oC, a partir do equilíbrio (Ge) + (Ag); estime a entalpia de dissolução à diluição infi-
nita do Ge na fase (Ag); trace a curva de atividade do Ge no sistema, a 500 oC. Determine 
as composições das soluções líquida e sólida (Ag) em equilíbrio a 800 oC, estime a ativi-
dade do Ge neste líquido. 
 
 
11-Com relação ao diagrama binário Ag-Ge: a) identifique (nome,temperatura,composição e 
proporção das fases envolvidas) a reacão univariante; b) descreva a solidificação em 
condições de equilíbrio de uma liga cuja composição global corresponde a 50% em peso de 
Ge. São de interesse nesta descrição: temperatura de inicio de cristalização; composição e 
proporção das fases presentes a 1000 oK, a um dT acima da isoterma univariante e a um dT 
abaixo da isoterma univariante; c)qual é a diferença se o resfriamento da liga descrita no 
 147 
item anterior for conduzida em condições naturais? e)determine as composições e 
proporções das fases presentes, a 800 oK, nas ligas com fração molar de prata igual a 0,2 e 
0,8, respectivamente. Qual a relação entre os potenciais químicos de Germânio nas duas 
ligas? 
 
12-Com referência ao diagrama de fases Al2O3-CaO, descreva -- nome, composição e 
proporções das fases envolvidas nas váriasreações univariantes ; aplique a regra da 
alavanca em ao menos, uma temperatura interior a cada campo de equilíbrio bifásico; 
descreva o resfriamento em equilíbrio, entre 2000 e 1400 oC, das ligas contendo 25, 50 e 
75% em peso de Al2O3. 
 
13-Trace um esquema do diagrama eutético correspondente ao seguinte caso: os pontos de 
fusão de A e B são 1000 e 700 oC, respectivamente; a solidificação de uma liga com 25% 
de B se completa a 500 oC e, no equilíbrio esta liga é composta de 73 e 1/3 % de α primário 
e 26 e 2/3 % de eutético α + β ; uma liga com composição média 50% de B, à mesma 
temperatura, é composta de 40% de α primário, o total de α nesta liga sendo 50%. 
 
14- No diagrama Cd-Zn estão identificadas as regiões monofásicas de equilíbrio das fases 
α , β e L. Identifique as regiões bi-fásicas. Considere uma liga com 60% em peso de zin-
co e determine as composições e as proporções das fases presentes em equilíbrio a 250 
e 300 oC. 
 
 
 
 
15- Considere o diagrama Cr-W. Descreva o resfriamento em equilíbrio de uma liga com 
90% de W. Assuma que a solução sólida seja estritamente regular e encontre, a partir da 
temperatura critica, o valor do parâmetro Ω . Compare os valores previstos e indicados do 
gap de miscibilidade a 1000 oC. 
 148 
 
 
 
16-Considere a solução líquida quase-regular, para a qual Gexc= 500 XA XB (1 – T/3000) 
cal/mol. Estas soluções formam um eutético simples em que a solubilidade mútua, no es-
tado sólido, é negligenciável. Valores de temperatura de fusão e entalpia de fusão são 
1500 oK e 3600 cal/mol (componente A) e 1200 oK e 2650 cal/mol (componente B). En-
contre as expressões que permitem determinar a composição e temperatura do eutético. 
 
17-Identifique temperatura, composição das fases e nome de cada um dos equilíbrios de 
três fases, no diagrama ferro-ouro. Descreva o resfriamento em equilíbrio de uma liga 
com 35% atômico de Ouro, desde 1500 até 500 oC. Estime o coeficiente de atividade do 
ferro, em ambas as soluções presentes em equilíbrio a 1000 oC e 500 oC. 
 
 
18-Descreva as transformações que ocorrem quando ligas ferro-cromo com 20%, 40% e 
60% em peso de Cromo são aquecidas, em condições de equilíbrio, desde 600 C ate 1700 
C. Inclua na descrição: composição das fases presentes, proporção das mesmas e 
caracterização das reações univariantes. 
 
19-Considere o diagrama de fases cobalto-tungstênio: a) dê o nome de cada uma das 
reações univariantes, especificando, sempre, as composições das fases envolvidas ; b) para 
a liga de composição média 35% em peso de cobalto, determine a composição e proporção 
das fases presentes a 800, 1200, 1600 e 1700 oC. Considere condições de equilíbrio ; c) 
repita o item b), porém considerando a liga com 60% de Co. 
 
 149 
 
 
20-Bismuto e Cádmio são mutuamente miscíveis no estado líquido e virtualmente insolúveis 
um no outro no estado sólido. Assuma que as soluções líquidas do sistema em questão 
podem ser consideradas ideais e que o diagrama de fases resultante é um eutético simples. 
Determine a posição da linha Liquidus bem como a do ponto eutético e as compare com o 
diagrama real. Temperaturas e entalpias de fusão de interesse são: 
544,5 oK e 2600 cal/mol, para o Bismuto; 594,0 oK e 1450 cal/mol, para o Cádmio. 
 
21-Em um sistema binário A-B as soluções líquidas são ideais enquanto que as sólidas 
podem ser consideradas estritamente regulares, de desvio positivo. a) encontre as 
expressões que permitem calcular as posições da Solidus e da Liquidus. b - determine a 
expressão que permite calcular a posição da lacuna de miscibilidade. 
 
22- Considere regulares as soluções sólidas no sistema binário A-B, com Gexc = 
BA XXΩ ; as soluções líquidas são ideais. Forma-se um sistema eutético simples, com 
 150 
equilíbrio de três fases à temperatura ET e composições de fases correspondentes a 
α
BX , LBX e βBX . Esquematize as curvas de Variação de Energia Livre de Formação vs 
Composição, à temperatura ET , referência Sólidos Puros. Se αBX = 0,15, qual o valor de 
β
BX ? Sendo ET =1100 °K qual o valor de Ω ? Qual o valor de Variação de Energia Livre 
de formação de 1 mol de solução sólida α participante deste equilíbrio trifásico? E para as 
fases β e líquida? Considerando LBX = 0,7, temperatura de fusão de A igual a 1700 °K; 
temperatura de fusão de B igual a 1350 °K, qual o v alor de entalpia de fusão de B? 
 
 
 
 
 151 
 
23- Considere solução líquida A-B estritamente regular, com Gexc = 3000 XA XB cal/mol. 
Assuma ainda para o componente A: fusãoH∆ = 2000 cal/mol, fusãoT = 900 oK ; para o com-
ponente B: fusãoH∆ = 1300 cal/mol, fusãoT = 600 oK. Encontre a expressão para a curva de 
variação de energia livre de formação destas soluções, referência SÓLIDOS puros. Dedu-
za a expressão que fornece a temperatura crítica da lacuna de miscibilidade. Determine a 
extensão do gap de miscibilidade a 400 oK. 
 
24-Considere o diagrama meta-estável ferro carbono. Identifique todos os equilíbrios de 
três fases. Descreva o resfriamento em equilíbrio desde o estado líquido e até solidifica-
ção completa, de liga com 0,3% em peso de carbono. Descreva o resfriamento em equilí-
brio desde o estado líquido e até temperatura ambiente, de liga com 3% em peso de car-
bono. Porque na região bifásica L+austenita a atividade de carbono só é função de tem-
peratura? 
 
25- Trace curvas de variação de energia livre de formação vs composição, compatíveis 
com o fato de que os equilíbrios ferro-grafita são estáveis, comparativamente aos equilí-
brios ferro-cementita, a 1000 oC. 
 
26- Considere regulares as soluções do sistema A-B. Encontre as expressões de variação 
de energia livre de formação das soluções sólida e líquida, referencia sólidos puros, e 
mostre que realmente são gerados os diagramas de fases indicados, de acordo com os 
valores de Ω . Note-se os valores de entropia de fusão (10 J/ K.mol) e de temperatura de 
fusão de A(800 K) e B(1000 K). 
 
27- Considere regulares as soluções do sistema A-B. Encontre as expressões de variação 
de energia livre de formação das soluções sólida e líquida, referencia sólidos puros, e 
mostre que o diagrama de fases indicado está correto. 
 
 
 152 
 
 
 
 
28 – A janela de lingotabilidade se define como o espaço temperatura vs composição no 
qual as inclusões do sistema Al2O3-CaO são líquidas, à temperatura de lingotamento do 
aço. Em geral a composição da inclusão é ajustada pela adição de cálcio, que transforma 
as inclusões originais de Al2O3, oriundas do processo de desoxidação. Encontre, para 
temperatura de 1600 oC, os limites desta janela, em termos de razão %Ca/%Al. 
 153 
 
 
 
29- Encontre a temperatura de imiscibilidade iminente, para o caso de solução quase re-
gular, para a qual Gex = 3000 (1- T/1800) cal/mol. Trace o “gap” de miscibilidade. 
 
30- Considere o diagrama de fases em anexo. Identifique todos os equilíbrios monovari-
antes (temperatura, composições e natureza das transformações). Analise o resfriamento 
em equilíbrio, desde 900 oC até 300 oC, de uma liga com 10% em peso de As. 
 
 
 154 
31- O diagrama de fases Pb-Sn é um eutético simples, com ET = 183 oC. Foram realiza-
das experiências de solidificação de ligas deste sistema, nas quais uma quantidade fixa 
de liga, M[kg] era resfriada com taxa de extração de calor constante, q[J/s]. Tendo sido 
previamente determinada a variação de entalpia referente à reação eutética βα +=L , 
H∆ [J/kg], e considerando os dados ilustrativos seguintes, encontre as expressões que 
relacionam a duração do patamar eutético, t[s], à composição da liga, %Sn, e, a partir 
destas, as composições das fases envolvidas. 
Hipo-eutética Hiper-eutética 
t[s] %Sn t[s] %Sn 
65 50 62 73 
18 27 32 85 
 
32- Identifique as reações univariantes do sitema Ag-Ga. Descreva a solidificação, em 
equilíbrio, de uma liga com 24% em peso de Gálio. 
 
 
33- As energias livre em excesso, de soluções cúbicas de corpo centrado (ccc) do siste-
ma Fe-Cr e das soluçõescúbicas de face centrada (cfc) do sistema Fe-Cr são dadas por: 
)7152,1125104(])[( TXXJcccG FeCrexc −= ; referencias Fe(ccc) e Cr(ccc) 
)ln823,3113108(])[( TTXXJcfcG FeCrexc +−= ; referencias Fe(cfc) e Cr(ccc) 
Encontre as expressões de energia livre parcial molar para ambos os componentes; trace 
as curvas de atividade correspondentes; encontre as expressões de variação de entalpia 
de formação das soluções. Verifique se seria possível encontrar equilíbrio destas solu-
ções a 1300 oK, sabendo-se que a temperatura e entalpia de transição (ccc => cfc) para o 
ferro são 911 o C e 160 cal/mol, respectivamente. 
 155 
Referências: 
 
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