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Profa. Rosângela Toledo Kulcsar rosangela.kulcsar@fatec.sp.gov.br Fatec de Carapicuíba Matemática Financeira Juros simples e compostos CONTEÚDO: Capitalização simples Capitalização composta Taxas proporcionais, equivalentes, nominal e efetiva Matemática Financeira Juros Materiais utilizados Computador, tablet ou celular Caderno, lápis e caneta Planilha EXCEL (novo) ou Calculadora similar à Casio fx-82ms Matemática Financeira Juros A Matemática Financeira estuda: O valor do dinheiro ao longo do tempo. A diferença entre receber uma quantia hoje ou no futuro. Juros: Representam uma recompensa pelo adiamento de uma entrada de caixa (recebimento) por certo tempo. Induzem o adiamento do consumo e consequente formação de poupança e novos investimentos. Matemática Financeira As taxas de juros devem remunerar: o risco envolvido na operação, representado pela incerteza em relação ao futuro; a perda do poder de compra devido a inflação; o capital emprestado (ou aplicado), gerando lucro (ou ganho) ao proprietário do capital, como forma de compensar a sua privação por determinado período de tempo. Este ganho é estabelecido em função das diversas outras oportunidades de investimento e definido como custo de oportunidade. Matemática Financeira Entrada de caixa: (+) ou Saída de caixa: (-) ou Matemática Financeira Diagrama de fluxo de caixa Matemática Financeira Diagrama de fluxo de caixa 0 7 6 5 4 3 2 1 8 (Tempo) Capitalização simples: Os juros incidem apenas sobre o capital inicial da operação. Tem comportamento de uma progressão aritmética PA. Os juros crescem de forma linear ao longo do tempo. Exemplo: Empréstimo de $ 1000,00, pelo prazo de cinco anos, pagando-se juros simples à razão de 10% ao ano. Matemática Financeira Juros Capitalização simples Matemática Financeira Juros Ano Saldo no início de cada ano($) Juros apurados para cada ano ($) Saldo devedor ao final de cada ano ($) Crescimento anual do saldo devedor ($) 1º ano 1 000,00 0,10 x 1 000,00 = 100,00 1 100,00 100,00 2 º ano 1 100,00 0,10 x 1 000,00 = 100,00 1 200,00 100,00 3º ano 1 200,00 0,10 x 1 000,00 = 100,00 1 300,00 100,00 4º ano 1 300,00 0,10 x 1 000,00 = 100,00 1 400,00 100,00 5º ano 1 400,00 0,10 x 1 000,00 = 100,00 1 500,00 100,00 Capitalização composta: Os juros incidem em cada período. São incorporados ao capital os juros sobre juros acumulados até o momento anterior Tem comportamento de uma progressão geométrica PG. Os juros incidem sempre sobre o saldo apurado no início do período correspondente (e não unicamente sobre o capital inicial). Exemplo: Empréstimo de $ 1000,00, pelo prazo de cinco anos, pagando-se juros compostos à razão de 10% ao ano. Matemática Financeira Juros Fórmulas dos juros Compotas Exemplo: Empréstimo de $ 1000,00, pelo prazo de cinco anos, pagando-se juros compostos à razão de 10% ao ano. Matemática Financeira Juros Capitalização composta Matemática Financeira Juros Ano Saldo no início de cada ano($) Juros apurados para cada ano ($) Saldo devedor ao final de cada ano ($) Crescimento anual do saldo devedor ($) 1º ano 1 000,00 0,10 x 1 000,00 = 100,00 1100,00 100,00 2 º ano 1 100,00 0,10 x 1 100,00 = 110,00 1210,00 110,00 3º ano 1 210,00 0,10 x 1 210,00 = 121,00 1331,00 121,00 4º ano 1 331,00 0,10 x 1 331,00 = 133,31 1464,10 133,10 5º ano 1 464,00 0,10 x 1 464,41 = 146,41 1610,51 146,41 Comparação: Capitalização simples e composta Matemática Financeira Juros Ano Capitalização simples Capitalização composta Diferença: Composta - Simples Juros anuais ($) Saldo devedor ($) Juros anuais ($) Saldo devedor ($) Juros anuais ($) Saldo devedor ($) 1º ano 100,00 1100,00 100,00 1100,00 Nada Nada 2 º ano 100,00 1200,00 110,00 1210,00 10,00 10,00 3º ano 100,00 1300,00 121,00 1331,00 21,00 31,00 4º ano 100,00 1400,00 133,10 1464,10 33,10 64,10 5º ano 100,00 1500,00 146,41 1610,51 46,41 110,51 Comparação: Capitalização simples e composta Matemática Financeira Juros J= juros expressos em unidades monetárias ($). C= capital. É o valor (em$) representativo em determinado momento. n =prazo. i = taxa de juros expressa em sua forma unitária (por exemplo, uma taxa percentual de 10% será utilizada nas fórmulas como 10100= 0,01, que é a forma unitária). O prazo n e a taxa i são dados na mesma unidade de tempo. Matemática Financeira Fórmulas: Juros simples Matemática Financeira Fórmulas: Juros simples Um capital de $80.000,00 é aplicado à taxa de 2,5% ao mês durante um trimestre. Pede-se determinar o valor dos juros acumulados neste período. Juros Simples Exercícios (Assaf Neto) Um capital de $80.000,00 é aplicado à taxa de 2,5% ao mês durante um trimestre. Pede-se determinar o valor dos juros acumulados neste período. Juros Simples Exercícios (Assaf Neto) Resolução C=$80.000,00 i=2,5%a.m. n=1trimestre=3meses J=? =80 000 2,53 =$6.000,00 Um negociante tomou um empréstimo pagando uma taxa de juros simples de 6% ao mês durante nove meses. Ao final deste período, calculou em $270.000,00 o total de juros incorridos na operação. Determinar o valor do empréstimo. Juros Simples Exercícios (Assaf Neto) Um negociante tomou um empréstimo pagando uma taxa de juros simples de 6% ao mês durante nove meses. Ao final deste período, calculou em $270.000,00 o total de juros incorridos na operação. Determinar o valor do empréstimo. Juros Simples Exercícios (Assaf Neto) Resolução C=? i=6%a.m. n=9meses J=$270.000,00 = 9) =$500.000,00 Um capital de $40.000,00 foi aplicado num fundo de poupança por onze meses, produzindo u rendimento financeiro de $9.680,00. Pede-se apurar a taxa de juros oferecida por esta operação. Juros Simples Exercícios (Assaf Neto) Um capital de $40.000,00 foi aplicado num fundo de poupança por onze meses, produzindo u rendimento financeiro de $9.680,00. Pede-se apurar a taxa de juros oferecida por esta operação. Juros Simples Exercícios (Assaf Neto) Resolução C=$40.000,00 i=? n=11 meses J=$9.680,00 =1) =0,22 a.m.=22% a.m. Uma aplicação de $250.000,00, rendendo uma taxa de juros de 1,8% ao mês produz, ao final de determinado período, juros no valor de $27.000,00. Calcular o prazo da operação. Juros Simples Exercícios (Assaf Neto) Uma aplicação de $250.000,00, rendendo uma taxa de juros de 1,8% ao mês produz, ao final de determinado período, juros no valor de $27.000,00. Calcular o prazo da operação. Juros Simples Exercícios (Assaf Neto) Resolução C=$250.000,00 i=1,8% a.m. n=? J=$27.000,00 =0) =6 meses Matemática Financeira Fórmulas: Juros simples, montante e capital Matemática Financeira Juros simples: montante Matemática Financeira Juros simples: capital Uma pessoa aplica $18.000,00 à taxa de 1,5% ao mês durante 8 meses. Determinar o valor acumulado ao final deste período. Matemática Financeira Exercícios (Assaf Neto): Juros simples, montante e capital Uma pessoa aplica $18.000,00 à taxa de 1,5% ao mês durante 8 meses. Determinar o valor acumulado ao final deste período. Matemática Financeira Exercícios (Assaf Neto): Juros simples, montante e capital Resolução C=$18.000,00 i=1,5% a.m. n=8 meses M=? =) =$20.160,00 Uma dívida de $9.000,00 irá vencer em 4 meses. O credor cobra uma taxa simples de 7% ao mês, e aceita atualizar o valor devido se o pagamento for feito hoje. Calcular o valor que o devedor pagaria caso antecipasse o valor da dívida. Matemática Financeira Exercícios (Assaf Neto): Juros simples, montante e capital Uma dívida de $9.000,00 irá vencer em 4 meses. O credor cobra uma taxa simples de 7% ao mês, e aceita atualizar o valor devido se o pagamento for feito hoje. Calcular o valor que o devedor pagaria caso antecipasse o valor da dívida. Matemática Financeira Exercícios (Assaf Neto): Juros simples, montante e capital Resolução M=$9.000,00 i=7% a.m. n=4 meses C=? = =) =$703.125,00 Calcular omontante de um capital de $600.000,00 aplicado à taxa simples de 2,3% ao mês pelo prazo de um ano e 5 meses. Matemática Financeira Exercícios (Assaf Neto): Juros simples, montante e capital Calcular o montante de um capital de $600.000,00 aplicado à taxa simples de 2,3% ao mês pelo prazo de um ano e 5 meses. Matemática Financeira Exercícios (Assaf Neto): Juros simples, montante e capital Resolução C = $600.000,00 i=2,3% a.m. n=1 ano e cinco meses= 17 meses M=? =) =$834.600,00 PV=Valor presente = C= capital FV=Valor futuro= M= montante J= juros expressos em unidades monetárias. i = taxa de juros expressa em sua forma unitária. n =prazo. Matemática Financeira Fórmulas: Juros compostos Matemática Financeira Fórmulas: Juros compostos Valor presente e valor futuro Qual o valor de resgate de uma aplicação de $12.000,00 em um título pelo prazo de 8 meses à taxa de juros composta de 3,5% a.m.? Matemática Financeira Exercícios (Assaf Neto): Juros Compostos Valor presente e valor futuro Qual o valor de resgate de uma aplicação de $12.000,00 em um título pelo prazo de 8 meses à taxa de juros composta de 3,5% a.m.? Matemática Financeira Exercícios (Assaf Neto): Juros Compostos Valor presente e valor futuro Resolução FV=? i=3,5% a.m. n=8 meses PV=$12.000,00 = =$15.801,71 Se uma pessoa deseja obter $27.500,00dentro de um ano, quanto deverá aplicar ela numa alternativa de poupança que rende 1,7% de juros compostos ao mês? Matemática Financeira Exercícios (Assaf Neto): Juros Compostos Valor presente e valor futuro Se uma pessoa deseja obter $27.500,00dentro de um ano, quanto deverá aplicar ela numa alternativa de poupança que rende 1,7% de juros compostos ao mês? Matemática Financeira Exercícios (Assaf Neto): Juros Compostos Valor presente e valor futuro Resolução FV=$27,500,00? i=1,7% a.m. n=1 ano =12 meses PV=? =$22.463,70 Matemática Financeira Fórmulas: Juros compostos Determinar o juro pago de um empréstimo de $88.000,00 pelo prazo de 5 meses à taxa composta de 4,5% ao mês? Matemática Financeira Exercícios (Assaf Neto): Juros Compostos Determinar o juro pago de um empréstimo de $88.000,00 pelo prazo de 5 meses à taxa composta de 4,5% ao mês? Matemática Financeira Exercícios (Assaf Neto): Juros Compostos Resolução J=? PV=$88.000,00 i=4,5% a.m. n=5 meses 1º modo: =88000 =$21.664,02 2º modo: = =$109.664,01 como J=FV-PV=109.664,01-88.000 =$21.664,02 Matemática Financeira Fórmulas: Juros compostos Determinar a taxa mensal composta de juros de uma aplicação de $40.000,00 que produz um montante de $43.894,63 ao final de um quadrimestre. Matemática Financeira Exercícios (Assaf Neto): Juros Compostos Determinar a taxa mensal composta de juros de uma aplicação de $40.000,00 que produz um montante de $43.894,63 ao final de um quadrimestre. Matemática Financeira Exercícios (Assaf Neto): Juros Compostos Resolução PV=$40.000,00 i=? n=1 quadrimestre=4 meses FV=$43.894,63 1º modo: = =0,0235 a.m. =2,35% a.m. 2º modo: ^( (^(1n) (^(1) =0,0235 a.m. =2,35% a.m. Uma aplicação de $22.000,00 efetuada em certa data produz uma taxa composta de juros de 2,4% ao mês, um montante de $26.596,40 em certa data futura. Calcular o prazo da operação. Matemática Financeira Exercícios (Assaf Neto): Juros Compostos Uma aplicação de $22.000,00 efetuada em certa data produz uma taxa composta de juros de 2,4% ao mês, um montante de $26.596,40 em certa data futura. Calcular o prazo da operação. Matemática Financeira Exercícios (Assaf Neto): Juros Compostos Resolução PV=$22.000,00 i=2,4% a.m. n=? FV=$26.596,40 =log(2659622000) log(1+2.4100) =8 meses Sejam duas taxas de juros arbitrárias i1 e i2 cujos respectivos períodos de capitalização são n1 e n2. Suponha ainda que os períodos n1 e n2 estão referidos à unidade comum de tempos das taxas. Então, as taxas i1 e i2 se dizem proporcionais se Matemática Financeira Taxas proporcionais Verifique se as taxas de 10% ao bimestre e de 60% ao ano são proporcionais. Matemática Financeira Exercícios (Assaf Neto): Taxas proporcionais Resolução i1 = 10% a. b. =0,1 a. b. i2 = 60% a. a. = 0,6 a. a. n1 =1 bimestre =2 meses n2 = 12 meses Matemática Financeira Taxas proporcionais Calcular a taxa anual proporcional a: 6% ao mês; 10% ao bimestre. Matemática Financeira Exercícios (Assaf Neto): Taxas proporcionais i1 = ? n1 =1 ano = 12 meses i2 = 6% a. m. n2 = 1 mês Matemática Financeira Exercícios (Assaf Neto): Taxas proporcionais Resolução = = = =70% a.a. 6% ao mês; i1 = ? n1 =1 ano = 6 bimestres i2 = 10% a. b. n2 =1bimestre Matemática Financeira Exercícios (Assaf Neto): Taxas proporcionais Resolução = = ==60% a.a. 10% ao bimestre; Calcular a taxa semestral proporcional a: 60% ao ano; 9% ao trimestre. Matemática Financeira Exercícios (Assaf Neto): Taxas proporcionais i1 = ? n1=1semestre i2 = 60% a. a. n2 = 1 ano =2 semestres Matemática Financeira Exercícios (Assaf Neto): Taxas proporcionais Resolução = = = 30 a.s. 60% ao ano; i1 = ? n1=1semestre=2trimestres i2 = 9% a.t. n2 =1trimestre Matemática Financeira Exercícios (Assaf Neto): Taxas proporcionais Resolução = = = a.s. 9% ao trimestre. Calcular a taxa mensal proporcional a: x% ao ano; x% ao bimestre. x% ao trimestre. x% ao semestre Matemática Financeira Exercícios (Assaf Neto): Taxas proporcionais i1 = ? n1=1mês i2 = x% a.a. n2 =1ano =12 meses Matemática Financeira Exercícios (Assaf Neto): Taxas proporcionais Resolução = = = a.m. Então, a taxa anual de x% é proporcional a taxa mensal de . x% ao ano. i1 = ? n1=1mês i2 = x% a.b. n2 =1bimestre =2 meses Matemática Financeira Exercícios (Assaf Neto): Taxas proporcionais Resolução = = = a.m. Então, a taxa bimestral de x% é proporcional a taxa mensal de . x% ao bimestre. i1 = ? n1=1mês i2 = x% a.t. n2 =1trimestre =3 meses Matemática Financeira Exercícios (Assaf Neto): Taxas proporcionais Resolução = = = a.m. Então, a taxa trimestral de x% é proporcional a taxa mensal de . x% ao trimestre. i1 = ? n1=1mês i2 = x% a.t. n2 =1quadrimestre =4 meses Matemática Financeira Exercícios (Assaf Neto): Taxas proporcionais Resolução Acredito que o leitor já percebeu que a taxa mensal proporcional é de . Mas mesmo assim vou repetir o cálculo: = = = a.m. x% ao quadrimestre. Calcular: a taxa bienal proporcional a x% ao ano; a taxa trienal proporcional a x% ao ano. Matemática Financeira Exercícios (Assaf Neto): Taxas proporcionais i1 = ? n1=1 biênio =2 anos i2 = x% a.a. n2 =1 ano Matemática Financeira Exercícios (Assaf Neto): Taxas proporcionais Resolução = = = x% a.b. (aqui é claro que a.b. significa ao biênio, não confundir com bimestre) Então, a taxa anual de x% é proporcional a taxa bienal de 2x%. a taxa bienal proporcional a x% ao ano; i1 = ? n1=1 triênio =3 anos i2 = x% a.a. n2 =1 ano Matemática Financeira Exercícios (Assaf Neto): Taxas proporcionais Resolução = = = 3 x% a.t. Então, a taxa anual de x% é proporcional a taxa trienal de 3x%. a taxa trienal proporcional a x% ao ano; Matemática Financeira Exercícios (Assaf Neto): Taxas proporcionais Taxa Taxa anual proporcional x% ao mês 12x% a.a. x% ao bimestre 6x% a.a. x% ao trimestre 4x% a.a. x% ao quadrimestre 3x% a.a. x% ao semestre 2x% a.a. 1 ano = 12 meses= 6 semestres = 4 trimestres=3 quadrimestres 1 bimestre= 2 meses 1 trimestre=3 meses 1 semestre=6 meses Matemática Financeira Exercícios (Assaf Neto): Taxas proporcionais Taxa Taxa proporcional x% ao ano a.m. x% ao ano ao bimestre x% ao ano ao trimestre. x% ao ano ao quadrimestre. x% ao ano ao semestre 1 ano = 12 meses= 6 semestres = 4 trimestres=3 quadrimestres 1 bimestre= 2 meses 1 trimestre=3 meses 1 semestre=6 meses Verifique se:60% ao ano é proporcional a 20% ao trimestre; 36% ao ano é proporcional a 12% ao trimestre. Matemática Financeira Exercícios (Assaf Neto): Taxas proporcionais i1 = 60% a.a n1=1ano =4 trimestres i2 = 20% a. t. n2 =1trimestre Matemática Financeira Exercícios (Assaf Neto): Taxas proporcionais Resolução Teste: Multiplicando em cruz obtém-se: 1=204 (falso!) Portanto as taxas não são proporcionais Também poderíamos ter verificado diretamente: 3=4 (falso!) 60% ao ano é proporcional a 20% ao trimestre; i1 = 36% a.a n1=1ano =3 quadrimestres i2 = 12% a. q. n2 =1quadrimestre Matemática Financeira Exercícios (Assaf Neto): Taxas proporcionais Resolução Teste: Multiplicando em cruz obtém-se: 1= (verdadeiro!) Portanto as taxas são proporcionais Também poderíamos ter verificado diretamente: 3=3 (verdadeiro!) 36% ao ano é proporcional a 12% ao quadrimestre. Matemática Financeira Juro exato e juro comercial Juro exato 1 ano = 12 meses= 6 semestres = 4 trimestres=3 quadrimestres 1 bimestre= 2 meses 1 trimestre=3 meses 1 semestre=6 meses Matemática Financeira Juro exato e juro comercial Juro comercial 1 ano = 12 meses= 6 semestres = 4 trimestres=3 quadrimestres 1 mês=30 dias 1ano=1230 dias=360 dias 1bimestre= 2 meses = 230 dias=60 dias 1trimestre=3 meses = 3 30 dias=90 dias 1quadrimestre=4 meses = 4 30 dias=120 dias 1 semestre=6 meses = 6 30 dias=180 dias Matemática Financeira Taxas proporcionais a juros comerciais Taxa Taxa proporcional x% ao dia 30x% ao mês x% ao dia 60x% ao bimestre x% ao dia 90x% ao trimestre x% ao dia 120x% ao quadrimestre x% ao dia 180x% ao semestre x% ao dia 360x% ao ano 1 mês=30 dias 1ano=360 dias 1bimestre=60 dias 1trimestre=90 dias 1quadrimestre=120 dias 1 semestre=180 dias Matemática Financeira Taxas proporcionais a juros comerciais Taxa Taxa proporcional x% ao mês ao dia x% ao bimestre ao dia x% ao trimestre ao dia x% ao quadrimestre ao dia x% ao semestre ao dia x% ao ano ao dia 1 mês=30 dias 1ano=360 dias 1bimestre=60 dias 1trimestre=90 dias 1quadrimestre=120 dias 1 semestre=180 dias Duas taxas de juros i1 e i2 se dizem equivalentes quando: um mesmo capital C for aplicado às duas taxas pelo mesmo intervalo de tempo, ambas produzem os mesmos juros J; ou, de modo equivalente, um mesmo capital C for aplicado às duas taxas pelo mesmo intervalo de tempo, ambas produzem o mesmo montante (M no caso de regime de juros simples e FV no regime composto. Matemática Financeira Taxas equivalentes No caso de juros simples: duas taxas são equivalentes se, e somente se, elas forem proporcionais. Matemática Financeira Taxas equivalentes i1 e i2 são taxas equivalentes Matemática Financeira Taxas equivalentes no caso de juros simples i1 e i2 são taxas proporcionais (Só no caso de regime simples de juros!) Uma dívida de $30.000,00 a vencer dentro de um ano é saldada 3 meses antes. Para a sua quitação antecipada, o credor concede um desconto de 15% ao ano. Esse desconto será efetuado de modo a atualizar o total da dívida para a data da quitação a juros simples. Apurar o valor da dívida a ser pago antecipadamente. Matemática Financeira Exercícios (Assaf Neto): Taxas equivalentes Uma dívida de $30.000,00 a vencer dentro de um ano é saldada 3 meses antes. Para a sua quitação antecipada, o credor concede um desconto de 15% ao ano. Esse desconto será efetuado de modo a atualizar o total da dívida para a data da quitação a juros simples. Apurar o valor da dívida a ser pago antecipadamente. Matemática Financeira Exercícios (Assaf Neto): Taxas equivalentes Resolução M= $30.000,00 i=15% a.a. n=3meses C=? Primeiro observe que a taxa mensal simples equivalente a 15% ao ano é = =3) =$28.915,66 Qual o capital que produz $18.000,00 de juros simples à taxa de 3% ao mês, pelo prazo de: 60 dias; 80 dias; 3 meses e 20 dias; 2 anos, 4 meses e 14 dias. Matemática Financeira Exercícios (Assaf Neto): Taxas equivalentes Qual o capital que produz $18.000,00 de juros simples à taxa de 3% ao mês, pelo prazo de: 60 dias; Matemática Financeira Exercícios (Assaf Neto): Taxas equivalentes Resolução J=$18.000,00 i=3% a.m. n=60 dias =2meses C=? = = =$300.000,00 Qual o capital que produz $18.000,00 de juros simples à taxa de 3% ao mês, pelo prazo de: 80 dias; Matemática Financeira Exercícios (Assaf Neto): Taxas equivalentes Resolução J=$18.000,00 n=80 dias i=3% a.m. = a.d. =0,1%a.d. C=? = = =$225.000,00 Qual o capital que produz $18.000,00 de juros simples à taxa de 3% ao mês, pelo prazo de: 3 meses e 20 dias; Matemática Financeira Exercícios (Assaf Neto): Taxas equivalentes Resolução J=$18.000,00 n=3 meses e 20 dias =90dias+20 dias =110 dias i=3% a.m. = a.d. =0,1%a.d. C=? = = =$163.636,36 Qual o capital que produz $18.000,00 de juros simples à taxa de 3% ao mês, pelo prazo de: 2 anos, 4 meses e 14 dias. Matemática Financeira Exercícios (Assaf Neto): Taxas equivalentes Resolução J=$18.000,00 n=2 anos, 4 meses e 14 dias. =720dias+120 dias+14dias =854 dias i=3% a.m. = a.d. =0,1%a.d. C=? = = =$21.077,28 No caso de juros compostos i= taxa para um período iq= taxa para q períodos submúltiplos do período da taxa i Matemática Financeira Taxas equivalentes no caso de juros compostos No caso de juros compostos Exemplo: i= taxa semestral iq= taxa equivalente mensal q=6 1 6 3 2 4 5 Taxa i 1 semestre 6 meses Matemática Financeira Taxas equivalentes no caso de juros compostos Determine a taxa equivalente composta mensal equivalente a taxa: de 6% ao semestre; de 12% ao ano; de 2% ao bimestre. Matemática Financeira Exercícios: Taxas equivalentes Determine a taxa equivalente composta mensal equivalente a taxa: de 6% ao semestre; Matemática Financeira Exercícios (Assaf Neto): Taxas equivalentes Resolução i=6% ao semestre (taxa semestral) 1 semestre =6 meses: 1 semestre é dividido em seis períodos submúltiplos de 1 mês cada q=6 76 a.m.=0,976% a.m. Determine a taxa equivalente composta mensal equivalente a taxa: de 12% ao ano; . Matemática Financeira Exercícios (Assaf Neto): Taxas equivalentes Resolução i=12% ao ano (taxa anual) 1 ano =12 meses: 1 ano é dividido em 12períodos submúltiplos de 1 mês cada q=12 a.m.=0,949% a.m. Determine a taxa equivalente composta mensal equivalente a taxa: de 2% ao bimestre. Matemática Financeira Exercícios (Assaf Neto): Taxas equivalentes Resolução i=2% ao bimestre 1 bimestre =2 meses: q=2 995 a.m.=0,995% a.m. Determine a taxa equivalente composta anual equivalente a taxa: de 1% ao mês; de 1% ao bimestre de 1% ao semestre. Matemática Financeira Exercícios: Taxas equivalentes Determine a taxa equivalente composta anual equivalente a taxa: de 1% ao mês; Matemática Financeira Exercícios (Assaf Neto): Taxas equivalentes Resolução 1 ano é dividido em 12 períodos submúltiplos de 1 mês cada: i=taxa anual=? iq = taxa mensal=1% q=1 - = - a.a.=12,7% a.a. Determine a taxa equivalente composta mensal equivalente a taxa: de 1% ao bimestre. Matemática Financeira Exercícios (Assaf Neto): Taxas equivalentes Resolução 1 ano é dividido em 6 períodos submúltiplos de 1 bimestre cada: i=taxa anual=? iq = taxa bimestral=1% q=6 - = - a.a.=6,15% a.a. Determine a taxa equivalente composta mensal equivalente a taxa: de 1% ao semestre. Matemática Financeira Exercícios (Assaf Neto): Taxas equivalentes Resolução 1 ano é dividido em 2 períodos submúltiplos de 1 semestre cada: i=taxa anual=? iq = taxa bimestral=1% q=2 - = - a.a.=2,01% a.a. Quando se diz que uma taxa de juros é nominal, geralmente é admitido que o prazo de capitalização de juros não é o mesmo definido pela taxa de juros. Em contraposição à taxa nominal de juros, será chamada de taxa efetiva de juros, aquela em que o prazo de capitalização de juros é o mesmo definido pela taxa de juros. Matemática Financeira taxas nominale efetiva Em geral a taxa efetiva de juros é a taxa dos juros apurados durante o prazo n, sendo formada exponencialmente através dos períodos de capitalização. Taxa efetiva: Onde q é o número de períodos de capitalização. Isto é, a taxa efetiva if é a taxa equivalente composta, sendo o prazo n dividido em q períodos submúltiplos. Matemática Financeira taxa efetiva Considere uma taxa nominal de juros de 12% ao ano, capitalizados mensalmente. Vamos calcular a taxa anual efetiva de juros correspondente. Neste caso, ao dizer que a taxa anual é 12% capitalizada mensalmente, está implícito que tal taxa anual é proporcional à taxa mensal de que é capitalizada mensalmente, isto é, a juros compostos mensais. Então, a taxa efetiva anual, que será denotada por , será a equivalente composta à taxa mensal de , e dada por: Matemática Financeira Exemplos: Taxa nominal e efetiva Suponha que a taxa nominal de rendimento da caderneta de poupança é de 6% ao ano, capitalizados mensalmente. Vamos calcular então a taxa efetiva anual de juros dessa poupança. Primeiro observe que a taxa mensal proporcional é de de . Então, os juros efetivos anuais serão aqueles equivalentes aos juros mensais de e daí a taxa efetiva anual que chamaremos de será: Matemática Financeira Exemplos: Taxa nominal e efetiva Calcule a taxa efetiva semestral equivalente à taxa nominal de 10% ao mês. Primeiro observe que a taxa mensal proporcional é depois um semestre é igual a seis meses. Então, os juros efetivos semestrais serão aqueles equivalentes aos juros mensais e daí a taxa efetiva semestral será: Matemática Financeira Exemplos: Taxa nominal e efetiva Determine a taxa anual efetiva de juros correspondente a uma taxa nominal anual de 12%, capitalizados bimestralmente. Resolução Primeiro observe que a taxa bimestral proporcional é depois um ano é igual a seis bimestres. Então, a taxa efetiva anual será aquela equivalentes à taxa mensal . Daí a taxa efetiva anual será: Matemática Financeira Exercícios: taxa efetiva Determine a taxa anual efetiva de juros correspondente a uma taxa mensal de 1%. Matemática Financeira Exercícios (Assaf Neto): Taxas equivalentes Resolução Como 1 ano é dividido em 12 períodos submúltiplos de 1 mês cada: iq = taxa mensal=1% q=12 - = - a.a.=12,68% a.a. Observe que neste caso não foi falado em taxa nominal Determine a taxa efetiva anual de juros correspondente a uma taxa nominal de 6% ao ano capitalizados trimestralmente. Matemática Financeira Exercícios (Assaf Neto): Taxas equivalentes Resolução Como 1 ano é igual a 4 trimestres teremos: q=4 = E portanto, - = - a.a.=61,36% a.a. 4. Após 7 meses aplicado, um capital inicial formou um montante de $13.000 e estima-se que, daqui a 5 meses, esse montante já será de $19.500. Calcule o capital inicial aplicado e a taxa de juros, considerando regime de juros simples. Resposta: $3.900, 33,3% a.m. 6. Uma loja vende seus produtos com pagamento em duas prestações iguais, “sem juros”. A primeira prestação é paga no ato da compra e a segunda, um mês após. Entretanto, um desconto de 10% é concedido se o cliente pagar a vista. Qual são os juros que, na realidade, essa loja cobra, nas vendas a prazo? Resposta: 25% a.m. 8. Se aplicarmos determinada quantia durante oito meses, seu montante será de $63.000. Caso a aplicação durasse 13 meses, o montante seria de $74.250. Qual é a taxa mensal (capitalização simples) empregada? Resposta: 5,00%. O preço a vista de uma mercadoria é de $1.000. O comprador pode, entretanto, pagar 20% de entrada no ato e o restante em uma única parcela de $1.002 vencíveis em 90 dias. Admitindo-se o regime de juros simples, qual é a taxa de juros anuais cobrada na venda a prazo? Utilize juros comerciais. Resposta: 101%. 7. O preço a vista de uma mercadoria é de $1.000. O comprador pode, entretanto, pagar 20% de entrada no ato e o restante em uma única parcela de $1.002 vencíveis em 90 dias. Admitindo-se o regime de juros simples, qual é a taxa de juros anuais cobrada na venda a prazo? Utilize juros comerciais. Resposta: 101%. 14. Paulo deve a Carlos dois títulos de $20.000 cada um, vencíveis em três e cinco meses. Quanto Paulo deverá aplicar no banco para que possa pagar os títulos com este dinheiro? Considere que o banco paga 7% ao mês? Resposta: $30.586. 13. Paulo tem uma dívida formada por três parcelas com vencimentos em dois meses, cinco meses e seis meses, sendo os valores $800, $1.000 e $600, respectivamente. O credor, para quem o dinheiro vale 10% ao mês, aceita que a dívida seja liquidada imediatamente, ou que o total seja pago em um ano. Quanto José teria que pagar (a) agora e (b) em um ano? Resposta: a) $1.621; b) 5.087. 9 )Em uma festa havia 200 pessoas, dentre as quais 40% eram homens. Alguns homens saíram, de modo que, das pessoas que restaram na festa, 25% eram homens. Quantos homens saíram da festa ? 29. Depois de quanto tempo um capital, aplicado à taxa de 2,5% a.m., triplica de valor,considerando as seguintes situações: a) regime de capitalização simples; b) regime de capitalização composta. Resposta: a) 80,0 meses; b) 44,5 meses. 23. Sabe-se que a taxa de juros cobrada de 2 em 2 meses por uma instituição financeira é de 8%. Calcule o prazo em que o empréstimo de $25.000 será resgatado por $43.500. Resposta: 7,20 períodos de 2 meses. 11. Após quantos meses um capital empregado a 5% a.m. duplica seu valor? Utilize duas casas decimais com arredondamento. Resposta: 15 meses. 17. Uma pessoa depositou determinado capital num banco, a juros compostos, com capitalização mensal. Sabendo-se que, após 10 meses, o saldo era de $16.000, e que, após 15 meses da aplicação, o saldo já era de $18.500, determine a taxa de juros. Resposta: 2,95% a.m. n i C J ´ ´ = n C J i ´ = n i J C ´ = i C J n ´ = J C M + = ) 1 ( n i C M ´ + = ) 1 ( n i M C ´ + = ) 1 ( n i ´ + simples ção capitaliza de Fator FCS : ) 1 ( 1 ) 1 ( n i M n i M C ´ + ´ = ´ + = simples o Atualizaçã de Fator FAS : ) 1 ( 1 n i ´ + n i PV FV ) 1 ( + = n i FV PV ) 1 ( + = composta ção capitaliza de Fator FCC : n i ) 1 ( + n i ) 1 ( 1 + Composta o Atualizaçã de Fator FCC : ] 1 ) 1 [( - + = n i PV J PV FV J - = 1 - = n PV FV i ( ) ) 1 log( log i PV FV n + = 2 1 2 1 n n i i = . , ). 2 6 , 0 ( ) 12 1 , 0 ( 12 2 6 , 0 1 , 0 : , n n i i 2 1 2 1 ais proporcion são taxas as Logo meios dos produto ao igual é extremos dos produto o que se verifica valores os se do substituin fato de se verificar Vamos ´ ´ - = - = 11 q q ii =+- (1)1 q q ii =+- 1 1 6 6 - + = i i
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