Matemática Financeira -JUROS SIMPLES E COMPOSTOS_AULA_VISTA 30_05_2020

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Profa. Rosângela Toledo Kulcsar
rosangela.kulcsar@fatec.sp.gov.br
Fatec de Carapicuíba
Matemática Financeira
Juros simples e compostos
CONTEÚDO:
Capitalização simples
Capitalização composta
Taxas proporcionais, equivalentes, nominal e efetiva
Matemática Financeira
Juros
Materiais utilizados
Computador, tablet ou celular
Caderno, lápis e caneta
Planilha EXCEL (novo) ou Calculadora similar à Casio fx-82ms
Matemática Financeira
Juros
A Matemática Financeira estuda:
O valor do dinheiro ao longo do tempo. 
A diferença entre receber uma quantia hoje ou no futuro.
Juros:
Representam uma recompensa pelo adiamento de uma entrada de caixa (recebimento) por certo tempo.
Induzem o adiamento do consumo e consequente formação de poupança e novos investimentos.
Matemática Financeira
As taxas de juros devem remunerar:
o risco envolvido na operação, representado pela incerteza em relação ao futuro;
a perda do poder de compra devido a inflação;
o capital emprestado (ou aplicado), gerando lucro (ou ganho) ao proprietário do capital, como forma de compensar a sua privação por determinado período de tempo. Este ganho é estabelecido em função das diversas outras oportunidades de investimento e definido como custo de oportunidade. 
Matemática Financeira
Entrada de caixa: (+) ou
Saída de caixa: (-) ou 
Matemática Financeira
Diagrama de fluxo de caixa
 
Matemática Financeira
Diagrama de fluxo de caixa
0
7
6
5
4
3
2
1
8
(Tempo)
Capitalização simples:
Os juros incidem apenas sobre o capital inicial da operação.
Tem comportamento de uma progressão aritmética PA. Os juros crescem de forma linear ao longo do tempo.
Exemplo:
Empréstimo de $ 1000,00, pelo prazo de cinco anos, pagando-se juros simples à razão de 10% ao ano.
Matemática Financeira
Juros
Capitalização simples
Matemática Financeira
Juros
	Ano	Saldo no início de cada ano($)	Juros apurados para cada ano ($)	Saldo devedor ao final de cada ano ($)	Crescimento anual do saldo devedor ($)
	 1º ano	1 000,00	0,10 x 1 000,00 = 100,00	1 100,00	100,00
	2 º ano	1 100,00	0,10 x 1 000,00 = 100,00	1 200,00	100,00
	 3º ano	1 200,00	0,10 x 1 000,00 = 100,00	1 300,00	100,00
	 4º ano	1 300,00	0,10 x 1 000,00 = 100,00	1 400,00 	100,00
	 5º ano	1 400,00	0,10 x 1 000,00 = 100,00	1 500,00	100,00
Capitalização composta:
Os juros incidem em cada período.
São incorporados ao capital os juros sobre juros acumulados até o momento anterior
Tem comportamento de uma progressão geométrica PG. Os juros incidem sempre sobre o saldo apurado no início do período correspondente (e não unicamente sobre o capital inicial).
Exemplo:
Empréstimo de $ 1000,00, pelo prazo de cinco anos, pagando-se juros compostos à razão de 10% ao ano.
Matemática Financeira
Juros
Fórmulas dos juros Compotas
Exemplo:
Empréstimo de $ 1000,00, pelo prazo de cinco anos, pagando-se juros compostos à razão de 10% ao ano.
Matemática Financeira
Juros
Capitalização composta
Matemática Financeira
Juros
	Ano	Saldo no início de cada ano($)	Juros apurados para cada ano ($)	Saldo devedor ao final de cada ano ($)	Crescimento anual do saldo devedor ($)
	 1º ano	1 000,00	0,10 x 1 000,00 = 100,00	1100,00	100,00
	2 º ano	1 100,00	0,10 x 1 100,00 = 110,00	1210,00	110,00
	 3º ano	1 210,00	0,10 x 1 210,00 = 121,00	1331,00	121,00
	 4º ano	1 331,00	0,10 x 1 331,00 = 133,31	1464,10	133,10
	 5º ano	1 464,00	0,10 x 1 464,41 = 146,41	1610,51	146,41
Comparação: Capitalização simples e composta
Matemática Financeira
Juros
	Ano	Capitalização simples		Capitalização composta		Diferença: Composta - Simples	
		Juros anuais ($)	Saldo devedor ($)	Juros anuais ($)	Saldo devedor ($)	Juros anuais ($)	Saldo devedor ($)
	 1º ano	100,00	1100,00	100,00	1100,00	Nada	Nada
	2 º ano	100,00	1200,00	110,00	1210,00	10,00	10,00
	 3º ano	100,00	1300,00	121,00	1331,00	21,00	31,00
	 4º ano	100,00	1400,00	133,10	1464,10	33,10	64,10
	 5º ano	100,00	1500,00	146,41	1610,51	46,41	110,51
Comparação: Capitalização simples e composta
Matemática Financeira
Juros
J= juros expressos em unidades monetárias ($).
C= capital. É o valor (em$) representativo em determinado momento.
n =prazo. 
i = taxa de juros expressa em sua forma unitária (por exemplo, uma taxa percentual de 10% será utilizada nas fórmulas como 10100= 0,01, que é a forma unitária).
O prazo n e a taxa i são dados na mesma unidade de tempo.
Matemática Financeira
Fórmulas: Juros simples
				
			 
Matemática Financeira
Fórmulas: Juros simples
Um capital de $80.000,00 é aplicado à taxa de 2,5% ao mês durante um trimestre. 
Pede-se determinar o valor dos juros acumulados neste período.
Juros Simples
Exercícios (Assaf Neto)
Um capital de $80.000,00 é aplicado à taxa de 2,5% ao mês durante um trimestre. Pede-se determinar o valor dos juros acumulados neste período.
Juros Simples
Exercícios (Assaf Neto)
Resolução
C=$80.000,00
i=2,5%a.m.
n=1trimestre=3meses
J=?
=80 000 2,53
=$6.000,00
Um negociante tomou um empréstimo pagando uma taxa de juros simples de 6% ao mês durante nove meses. Ao final deste período, calculou em $270.000,00 o total de juros incorridos na operação. Determinar o valor do empréstimo.
Juros Simples
Exercícios (Assaf Neto)
Um negociante tomou um empréstimo pagando uma taxa de juros simples de 6% ao mês durante nove meses. Ao final deste período, calculou em $270.000,00 o total de juros incorridos na operação. Determinar o valor do empréstimo.
Juros Simples
Exercícios (Assaf Neto)
Resolução
C=?
i=6%a.m.
n=9meses
J=$270.000,00
 
= 9)
=$500.000,00
Um capital de $40.000,00 foi aplicado num fundo de poupança por onze meses, produzindo u rendimento financeiro de $9.680,00. Pede-se apurar a taxa de juros oferecida por esta operação.
Juros Simples
Exercícios (Assaf Neto)
Um capital de $40.000,00 foi aplicado num fundo de poupança por onze meses, produzindo u rendimento financeiro de $9.680,00. Pede-se apurar a taxa de juros oferecida por esta operação.
Juros Simples
Exercícios (Assaf Neto)
Resolução
C=$40.000,00
i=?
n=11 meses
J=$9.680,00
 
=1)
=0,22 a.m.=22% a.m.
Uma aplicação de $250.000,00, rendendo uma taxa de juros de 1,8% ao mês produz, ao final de determinado período, juros no valor de $27.000,00. Calcular o prazo da operação.
Juros Simples
Exercícios (Assaf Neto)
Uma aplicação de $250.000,00, rendendo uma taxa de juros de 1,8% ao mês produz, ao final de determinado período, juros no valor de $27.000,00. Calcular o prazo da operação.
Juros Simples
Exercícios (Assaf Neto)
Resolução
C=$250.000,00
i=1,8% a.m.
n=?
J=$27.000,00
 
=0)
=6 meses
				
			 
Matemática Financeira
Fórmulas: Juros simples, montante e capital
				
			 
Matemática Financeira
 Juros simples: montante
				
			 
Matemática Financeira
Juros simples: capital
Uma pessoa aplica $18.000,00 à taxa de 1,5% ao mês durante 8 meses. Determinar o valor acumulado ao final deste período.
Matemática Financeira
Exercícios (Assaf Neto): Juros simples, montante e capital
Uma pessoa aplica $18.000,00 à taxa de 1,5% ao mês durante 8 meses. Determinar o valor acumulado ao final deste período.
Matemática Financeira
Exercícios (Assaf Neto): Juros simples, montante e capital
Resolução
C=$18.000,00
i=1,5% a.m.
n=8 meses
M=?
=)
=$20.160,00
Uma dívida de $9.000,00 irá vencer em 4 meses. O credor cobra uma taxa simples de 7% ao mês, e aceita atualizar o valor devido se o pagamento for feito hoje. Calcular o valor que o devedor pagaria caso antecipasse o valor da dívida.
Matemática Financeira
Exercícios (Assaf Neto): Juros simples, montante e capital
Uma dívida de $9.000,00 irá vencer em 4 meses. O credor cobra uma taxa simples de 7% ao mês, e aceita atualizar o valor devido se o pagamento for feito hoje. Calcular o valor que o devedor pagaria caso antecipasse o valor da dívida.
Matemática Financeira
Exercícios (Assaf Neto): Juros simples, montante e capital
Resolução
M=$9.000,00
i=7% a.m.
n=4 meses
C=?
=
=)
=$703.125,00
Calcular omontante de um capital de $600.000,00 aplicado à taxa simples de 2,3% ao mês pelo prazo de um ano e 5 meses.
Matemática Financeira
Exercícios (Assaf Neto): Juros simples, montante e capital
Calcular o montante de um capital de $600.000,00 aplicado à taxa simples de 2,3% ao mês pelo prazo de um ano e 5 meses.
Matemática Financeira
Exercícios (Assaf Neto): Juros simples, montante e capital
Resolução
C = $600.000,00 
i=2,3% a.m.
n=1 ano e cinco meses= 17 meses
M=?
=)
=$834.600,00
PV=Valor presente = C= capital
FV=Valor futuro= M= montante 
J= juros expressos em unidades monetárias.
i = taxa de juros expressa em sua forma unitária.
n =prazo.
Matemática Financeira
Fórmulas: Juros compostos
				
			 
Matemática Financeira
Fórmulas: Juros compostos
 Valor presente e valor futuro
Qual o valor de resgate de uma aplicação de $12.000,00 em um título pelo prazo de 8 meses à taxa de juros composta de 3,5% a.m.?
Matemática Financeira
Exercícios (Assaf Neto): Juros Compostos
Valor presente e valor futuro
Qual o valor de resgate de uma aplicação de $12.000,00 em um título pelo prazo de 8 meses à taxa de juros composta de 3,5% a.m.?
Matemática Financeira
Exercícios (Assaf Neto): Juros Compostos
Valor presente e valor futuro
Resolução
FV=?
i=3,5% a.m.
n=8 meses
PV=$12.000,00
= 
=$15.801,71
Se uma pessoa deseja obter $27.500,00dentro de um ano, quanto deverá aplicar ela numa alternativa de poupança que rende 1,7% de juros compostos ao mês?
Matemática Financeira
Exercícios (Assaf Neto): Juros Compostos
Valor presente e valor futuro
Se uma pessoa deseja obter $27.500,00dentro de um ano, quanto deverá aplicar ela numa alternativa de poupança que rende 1,7% de juros compostos ao mês?
Matemática Financeira
Exercícios (Assaf Neto): Juros Compostos
Valor presente e valor futuro
Resolução
FV=$27,500,00?
i=1,7% a.m.
n=1 ano
=12 meses
PV=?
=$22.463,70
				
			 
Matemática Financeira
Fórmulas: Juros compostos
Determinar o juro pago de um empréstimo de $88.000,00 pelo prazo de 5 meses à taxa composta de 4,5% ao mês?
Matemática Financeira
Exercícios (Assaf Neto): Juros Compostos
Determinar o juro pago de um empréstimo de $88.000,00 pelo prazo de 5 meses à taxa composta de 4,5% ao mês?
Matemática Financeira
Exercícios (Assaf Neto): Juros Compostos
Resolução
J=?
PV=$88.000,00
i=4,5% a.m.
n=5 meses
1º modo:
=88000 
=$21.664,02
2º modo:
= 
=$109.664,01
como
J=FV-PV=109.664,01-88.000
 =$21.664,02
				
			 
Matemática Financeira
Fórmulas: Juros compostos
				
			 
Matemática Financeira
Fórmulas: Juros compostos
				
			 
Matemática Financeira
Fórmulas: Juros compostos
				
			 
Matemática Financeira
Fórmulas: Juros compostos
Determinar a taxa mensal composta de juros de uma aplicação de $40.000,00 que produz um montante de $43.894,63 ao final de um quadrimestre.
Matemática Financeira
Exercícios (Assaf Neto): Juros Compostos
Determinar a taxa mensal composta de juros de uma aplicação de $40.000,00 que produz um montante de $43.894,63 ao final de um quadrimestre.
Matemática Financeira
Exercícios (Assaf Neto): Juros Compostos
Resolução
PV=$40.000,00
i=?
n=1 quadrimestre=4 meses
FV=$43.894,63
1º modo:
= 
=0,0235 a.m. =2,35% a.m.
2º modo:
 ^(
(^(1n)
(^(1)
=0,0235 a.m. =2,35% a.m.
Uma aplicação de $22.000,00 efetuada em certa data produz uma taxa composta de juros de 2,4% ao mês, um montante de $26.596,40 em certa data futura. Calcular o prazo da operação.
Matemática Financeira
Exercícios (Assaf Neto): Juros Compostos
Uma aplicação de $22.000,00 efetuada em certa data produz uma taxa composta de juros de 2,4% ao mês, um montante de $26.596,40 em certa data futura. Calcular o prazo da operação.
Matemática Financeira
Exercícios (Assaf Neto): Juros Compostos
Resolução
PV=$22.000,00
i=2,4% a.m.
n=?
FV=$26.596,40
 
=log(2659622000) log(1+2.4100)
=8 meses
Sejam duas taxas de juros arbitrárias i1 e i2 cujos respectivos períodos de capitalização são n1 e n2. Suponha ainda que os períodos n1 e n2 estão referidos à unidade comum de tempos das taxas.
Então, as taxas i1 e i2 se dizem proporcionais se 
Matemática Financeira
Taxas proporcionais
Verifique se as taxas de 10% ao bimestre e de 60% ao ano são proporcionais.
Matemática Financeira
Exercícios (Assaf Neto): Taxas proporcionais
Verifique se as taxas de 10% ao bimestre e de 60% ao ano são proporcionais.
Matemática Financeira
Exercícios (Assaf Neto): Taxas proporcionais
Resolução
i1 = 10% a. b. =0,1 a. b. 
i2 = 60% a. a. 
 = 0,6 a. a.
n1 =1 bimestre
=2 meses
n2 = 12 meses
 
Matemática Financeira
Taxas proporcionais
Calcular a taxa anual proporcional a:
6% ao mês;
10% ao bimestre.
Matemática Financeira
Exercícios (Assaf Neto): Taxas proporcionais
Calcular a taxa anual proporcional a:
6% ao mês;
10% ao bimestre.
Matemática Financeira
Exercícios (Assaf Neto): Taxas proporcionais
Calcular a taxa anual proporcional a:
6% ao mês;
10% ao bimestre.
Matemática Financeira
Exercícios (Assaf Neto): Taxas proporcionais
i1 = ?
n1 =1 ano
= 12 meses
i2 = 6% a. m. 
n2 = 1 mês
 
Matemática Financeira
Exercícios (Assaf Neto): Taxas proporcionais
Resolução
 = 
 = = =72% a.a. 
6% ao mês;
i1 = ?
n1 =1 ano
= 6 bimestres
i2 = 10% a. b. 
n2 =1bimestre
 
Matemática Financeira
Exercícios (Assaf Neto): Taxas proporcionais
Resolução
 = 
 = ==60% a.a. 
10% ao bimestre;
Calcular a taxa semestral proporcional a:
60% ao ano;
9% ao trimestre.
Matemática Financeira
Exercícios (Assaf Neto): Taxas proporcionais
Calcular a taxa semestral proporcional a:
60% ao ano;
9% ao trimestre.
Matemática Financeira
Exercícios (Assaf Neto): Taxas proporcionais
Calcular a taxa semestral proporcional a:
60% ao ano;
9% ao trimestre.
Matemática Financeira
Exercícios (Assaf Neto): Taxas proporcionais
i1 = ?
n1=1semestre
i2 = 60% a. a. 
n2 = 1 ano
=2 semestres
 
Matemática Financeira
Exercícios (Assaf Neto): Taxas proporcionais
Resolução
 = 
 = = 30 a.s. 
60% ao ano;
i1 = ?
n1=1semestre=2trimestres
i2 = 9% a.t. 
n2 =1trimestre
 
Matemática Financeira
Exercícios (Assaf Neto): Taxas proporcionais
Resolução
 = 
 = = a.s. 
9% ao trimestre.
Calcular a taxa mensal proporcional a:
x% ao ano;
x% ao bimestre.
x% ao trimestre.
x% ao semestre
Matemática Financeira
Exercícios (Assaf Neto): Taxas proporcionais
Calcular a taxa mensal proporcional a:
x% ao ano;
x% ao bimestre.
x% ao trimestre.
x% ao semestre
Matemática Financeira
Exercícios (Assaf Neto): Taxas proporcionais
Calcular a taxa mensal proporcional a:
x% ao ano;
x% ao bimestre.
x% ao trimestre.
x% ao semestre
Matemática Financeira
Exercícios (Assaf Neto): Taxas proporcionais
Calcular a taxa mensal proporcional a:
x% ao ano;
x% ao bimestre.
x% ao trimestre.
x% ao semestre
Matemática Financeira
Exercícios (Assaf Neto): Taxas proporcionais
i1 = ?
n1=1mês
i2 = x% a.a. 
n2 =1ano
=12 meses
 
Matemática Financeira
Exercícios (Assaf Neto): Taxas proporcionais
Resolução
 = 
 = = a.m. 
Então, a taxa anual de x% é proporcional a taxa mensal de .
x% ao ano.
i1 = ?
n1=1mês
i2 = x% a.b. 
n2 =1bimestre
=2 meses
 
Matemática Financeira
Exercícios (Assaf Neto): Taxas proporcionais
Resolução
 = 
 = = a.m. 
Então, a taxa bimestral de x% é proporcional a taxa mensal de .
x% ao bimestre.
i1 = ?
n1=1mês
i2 = x% a.t. 
n2 =1trimestre
=3 meses
 
Matemática Financeira
Exercícios (Assaf Neto): Taxas proporcionais
Resolução
 = 
 = = a.m. 
Então, a taxa trimestral de x% é proporcional a taxa mensal de .
x% ao trimestre.
i1 = ?
n1=1mês
i2 = x% a.t. 
n2 =1quadrimestre
=4 meses
 
Matemática Financeira
Exercícios (Assaf Neto): Taxas proporcionais
Resolução
Acredito que o leitor já percebeu que a taxa mensal proporcional é de .
Mas mesmo assim vou repetir o cálculo:
 = 
 = = a.m. 
x% ao quadrimestre.
Calcular:
a taxa bienal proporcional a x% ao ano;
a taxatrienal proporcional a x% ao ano.
Matemática Financeira
Exercícios (Assaf Neto): Taxas proporcionais
Calcular:
a taxa bienal proporcional a x% ao ano;
a taxa trienal proporcional a x% ao ano.
Matemática Financeira
Exercícios (Assaf Neto): Taxas proporcionais
i1 = ?
n1=1 biênio
=2 anos
 
i2 = x% a.a.
n2 =1 ano
 
Matemática Financeira
Exercícios (Assaf Neto): Taxas proporcionais
Resolução
 = 
 = = x% a.b. 
(aqui é claro que a.b. significa ao biênio, não confundir com bimestre) 
Então, a taxa anual de x% é proporcional a taxa bienal de 2x%.
 a taxa bienal proporcional a x% ao ano;
i1 = ?
n1=1 triênio
=3 anos
 
i2 = x% a.a.
n2 =1 ano
 
Matemática Financeira
Exercícios (Assaf Neto): Taxas proporcionais
Resolução
 = 
 = = 3 x% a.t. 
Então, a taxa anual de x% é proporcional a taxa trienal de 3x%.
 a taxa trienal proporcional a x% ao ano;
Matemática Financeira
Exercícios (Assaf Neto): Taxas proporcionais
	Taxa	Taxa anual proporcional
	x% ao mês	12x% a.a.
	x% ao bimestre	6x% a.a.
	x% ao trimestre	4x% a.a.
	x% ao quadrimestre	3x% a.a.
	x% ao semestre	2x% a.a.
1 ano = 12 meses= 2 semestres = 4 trimestres=3 quadrimestres
1 bimestre= 2 meses
1 trimestre=3 meses 
1 semestre=6 meses
Matemática Financeira
Exercícios (Assaf Neto): Taxas proporcionais
	Taxa	Taxa proporcional
	x% ao ano	 a.m.
	x% ao ano	 ao bimestre
	x% ao ano	 ao trimestre.
	x% ao ano	 ao quadrimestre.
	x% ao ano	 ao semestre
1 ano = 12 meses= 2 semestres = 4 trimestres=3 quadrimestres
1 bimestre= 2 meses
1 trimestre=3 meses 
1 semestre=6 meses
Verifique se:
60% ao ano é proporcional a 20% ao trimestre;
36% ao ano é proporcional a 12% ao quadrimestre.
Matemática Financeira
Exercícios (Assaf Neto): Taxas proporcionais
Verifique se:
60% ao ano é proporcional a 20% ao trimestre;
36% ao ano é proporcional a 12% ao quadrimestre.
Matemática Financeira
Exercícios (Assaf Neto): Taxas proporcionais
Verifique se:
60% ao ano é proporcional a 20% ao trimestre;
36% ao ano é proporcional a 12% ao quadrimestre.
Matemática Financeira
Exercícios (Assaf Neto): Taxas proporcionais
i1 = 60% a.a
n1=1ano
=4 trimestres
i2 = 20% a. t. 
n2 =1trimestre
Matemática Financeira
Exercícios (Assaf Neto): Taxas proporcionais
Resolução
Teste: 
Multiplicando em cruz obtém-se:
1=204 (falso!)
Portanto as taxas não são proporcionais
Também poderíamos ter verificado diretamente:
 3=4 (falso!)
60% ao ano é proporcional a 20% ao trimestre;
i1 = 36% a.a
n1=1ano
=3 quadrimestres
i2 = 12% a. q. 
n2 =1quadrimestre
Matemática Financeira
Exercícios (Assaf Neto): Taxas proporcionais
Resolução
Teste: 
Multiplicando em cruz obtém-se:
1= (verdadeiro!)
Portanto as taxas são proporcionais
Também poderíamos ter verificado diretamente:
 3=3 (verdadeiro!)
36% ao ano é proporcional a 12% ao quadrimestre.
Matemática Financeira
Juro exato e juro comercial
Juro exato 
1 ano = 12 meses= 2 semestres = 4 trimestres=3 quadrimestres
1 bimestre= 2 meses
1 trimestre=3 meses 
1 semestre=6 meses
Matemática Financeira
Juro exato e juro comercial
Juro comercial
1 ano = 12 meses= 2 semestres = 4 trimestres=3 quadrimestres
1 mês=30 dias
1ano=1230 dias=360 dias
1bimestre= 2 meses = 230 dias=60 dias
1trimestre=3 meses = 3 30 dias=90 dias
1quadrimestre=4 meses = 4 30 dias=120 dias
1 semestre=6 meses = 6 30 dias=180 dias
 
Matemática Financeira
Taxas proporcionais a juros comerciais
	Taxa	Taxa proporcional
	x% ao dia	30x% ao mês
	x% ao dia	60x% ao bimestre
	x% ao dia	90x% ao trimestre
	x% ao dia	120x% ao quadrimestre
	x% ao dia	180x% ao semestre
	x% ao dia	360x% ao ano
1 mês=30 dias
1ano=360 dias
1bimestre=60 dias
1trimestre=90 dias
1quadrimestre=120 dias
1 semestre=180 dias
Matemática Financeira
Taxas proporcionais a juros comerciais
	Taxa	Taxa proporcional
	x% ao mês	ao dia
	x% ao bimestre	ao dia
	x% ao trimestre	ao dia
	x% ao quadrimestre	ao dia
	x% ao semestre	ao dia
	x% ao ano
	ao dia
1 mês=30 dias
1ano=360 dias
1bimestre=60 dias
1trimestre=90 dias
1quadrimestre=120 dias
1 semestre=180 dias
Duas taxas de juros i1 e i2 se dizem equivalentes quando:
um mesmo capital C for aplicado às duas taxas pelo mesmo intervalo de tempo, ambas produzem os mesmos juros J;
ou, de modo equivalente,
um mesmo capital C for aplicado às duas taxas pelo mesmo intervalo de tempo, ambas produzem o mesmo montante (M no caso de regime de juros simples e FV no regime composto.
Matemática Financeira
Taxas equivalentes
Exemplo Suponha que você tem $1000,00, para aplicar durante 2 anos e seu gerente do banco propõe as seguintes aplicações:
a) a juros simples de 1% ao mês;
b) a juros simples de 12% ao ano;
c) a juros compostos de 1% ao mês;
d) a juros compostos de 12% ao ano.
Pergunta-se:
i) qual é o melhor investimento?
ii) quais desses investimentos são equivalentes?
No caso de juros simples:
duas taxas são equivalentes se, e somente se, elas forem proporcionais.
Matemática Financeira
Taxas equivalentes
 i1 e i2
 são taxas
equivalentes
Matemática Financeira
Taxas equivalentes no caso de juros simples

 i1 e i2
 são taxas
proporcionais
(Só no caso de regime simples de juros!)
Uma dívida de $30.000,00 a vencer dentro de um ano é saldada 3 meses antes. Para a sua quitação antecipada, o credor concede um desconto de 15% ao ano. Esse desconto será efetuado de modo a atualizar o total da dívida para a data da quitação a juros simples. Apurar o valor da dívida a ser pago antecipadamente. 
Matemática Financeira
Exercícios (Assaf Neto): Taxas equivalentes
Uma dívida de $30.000,00 a vencer dentro de um ano é saldada 3 meses antes. Para a sua quitação antecipada, o credor concede um desconto de 15% ao ano. Esse desconto será efetuado de modo a atualizar o total da dívida para a data da quitação a juros simples. Apurar o valor da dívida a ser pago antecipadamente. 
Matemática Financeira
Exercícios (Assaf Neto): Taxas equivalentes
Resolução
M= $30.000,00 
i=15% a.a.
n=3meses
C=?
Primeiro observe que a taxa mensal simples equivalente a 15% ao ano é 
= 
=3)
=$28.915,66
Qual o capital que produz $18.000,00 de juros simples à taxa de 3% ao mês, pelo prazo de:
60 dias;
80 dias;
3 meses e 20 dias;
2 anos, 4 meses e 14 dias.
Matemática Financeira
Exercícios (Assaf Neto): Taxas equivalentes
Qual o capital que produz $18.000,00 de juros simples à taxa de 3% ao mês, pelo prazo de:
60 dias;
Matemática Financeira
Exercícios (Assaf Neto): Taxas equivalentes
Resolução
J=$18.000,00 
i=3% a.m.
n=60 dias
=2meses
C=?
= 
=
=$300.000,00
Qual o capital que produz $18.000,00 de juros simples à taxa de 3% ao mês, pelo prazo de:
80 dias;
Matemática Financeira
Exercícios (Assaf Neto): Taxas equivalentes
Resolução
J=$18.000,00
n=80 dias
i=3% a.m.
= a.d.
=0,1%a.d.
C=?
= 
=
=$225.000,00
Qual o capital que produz $18.000,00 de juros simples à taxa de 3% ao mês, pelo prazo de:
3 meses e 20 dias;
Matemática Financeira
Exercícios (Assaf Neto): Taxas equivalentes
Resolução
J=$18.000,00
n=3 meses e 20 dias
=90dias+20 dias =110 dias
i=3% a.m. = a.d.
=0,1%a.d.
C=?
= 
=
=$163.636,36
Qual o capital que produz $18.000,00 de juros simples à taxa de 3% ao mês, pelo prazo de:
	2 anos, 4 meses e 14 dias.
Matemática Financeira
Exercícios (Assaf Neto): Taxas equivalentes
Resolução
J=$18.000,00
n=2 anos, 4 meses e 14 dias.
=720dias+120 dias+14dias =854 dias
i=3% a.m. = a.d.
=0,1%a.d.
C=?
= 
=
=$21.077,28
No caso de juros compostos
i= taxa para um período
iq= taxa para q períodos submúltiplos do período da taxa i
Matemática Financeira
Taxas equivalentes no caso de juros compostos
No caso de juros compostos
Exemplo: i= taxa semestral
iq= taxa equivalente mensal 
q=6
1
6
3
2
4
5
Taxa i
1 semestre
6 meses
Matemática Financeira
Taxas equivalentes no caso de juros compostos
Determine a taxa equivalente composta mensal equivalente a taxa:
de 6% ao semestre;
de 12% ao ano;
de 2% ao bimestre. 
MatemáticaFinanceira
Exercícios: Taxas equivalentes
Determine a taxa equivalente composta mensal equivalente a taxa:
de 6% ao semestre;
Matemática Financeira
Exercícios (Assaf Neto): Taxas equivalentes
Resolução
i=6% ao semestre (taxa semestral)
1 semestre =6 meses:
	1 semestre é dividido em seis 	períodos submúltiplos de 1 mês 	cada
q=6 
76 a.m.=0,976% a.m.
Determine a taxa equivalente composta mensal equivalente a taxa:
de 12% ao ano;
. 
Matemática Financeira
Exercícios (Assaf Neto): Taxas equivalentes
Resolução
i=12% ao ano (taxa anual)
1 ano =12 meses:
	1 ano é dividido em 12períodos submúltiplos de 1 mês cada
q=12 
 a.m.=0,949% a.m.
Determine a taxa equivalente composta mensal equivalente a taxa:
de 2% ao bimestre. 
Matemática Financeira
Exercícios (Assaf Neto): Taxas equivalentes
Resolução
i=2% ao bimestre 
1 bimestre =2 meses:
q=2 
995 a.m.=0,995% a.m.
Determine a taxa equivalente composta anual equivalente a taxa:
de 1% ao mês;
de 1% ao bimestre
de 1% ao semestre. 
Matemática Financeira
Exercícios: Taxas equivalentes
Determine a taxa equivalente composta anual equivalente a taxa:
de 1% ao mês;
Matemática Financeira
Exercícios (Assaf Neto): Taxas equivalentes
Resolução
1 ano é dividido em 12 	períodos submúltiplos de 1 mês cada:
i=taxa anual=?
iq = taxa mensal=1%
q=1
- = - a.a.=12,7% a.a.
Determine a taxa equivalente composta mensal equivalente a taxa:
de 1% ao bimestre. 
Matemática Financeira
Exercícios (Assaf Neto): Taxas equivalentes
Resolução
1 ano é dividido em 6 	períodos submúltiplos de 1 bimestre cada:
i=taxa anual=?
iq = taxa bimestral=1%
q=6
- = - a.a.=6,15% a.a.
Determine a taxa equivalente composta mensal equivalente a taxa:
de 1% ao semestre. 
Matemática Financeira
Exercícios (Assaf Neto): Taxas equivalentes
Resolução
1 ano é dividido em 2	períodos submúltiplos de 1 semestre cada:
i=taxa anual=?
iq = taxa bimestral=1%
q=2
- = - a.a.=2,01% a.a.
Quando se diz que uma taxa de juros é nominal, geralmente é admitido que o prazo de capitalização de juros não é o mesmo definido pela taxa de juros.
Em contraposição à taxa nominal de juros, será chamada de taxa efetiva de juros, aquela em que o prazo de capitalização de juros é o mesmo definido pela taxa de juros.
Matemática Financeira
taxas nominal e efetiva 
Em geral a taxa efetiva de juros é a taxa dos juros apurados durante o prazo n, sendo formada exponencialmente através dos períodos de capitalização.
Taxa efetiva: 
Onde q é o número de períodos de capitalização.
Isto é, a taxa efetiva if é a taxa equivalente composta, sendo o prazo n dividido em q períodos submúltiplos.
Matemática Financeira
taxa efetiva
Considere uma taxa nominal de juros de 12% ao ano, capitalizados mensalmente. Vamos calcular a taxa anual efetiva de juros correspondente.
	Neste caso, ao dizer que a taxa anual é 12% capitalizada mensalmente, está implícito que tal taxa anual é proporcional à taxa mensal de que é capitalizada mensalmente, isto é, a juros compostos mensais.
Então, a taxa efetiva anual, que será denotada por , será
 a equivalente composta à taxa mensal de , e dada por:
Matemática Financeira
Exemplos: Taxa nominal e efetiva
Suponha que a taxa nominal de rendimento da caderneta de poupança é de 6% ao ano, capitalizados mensalmente. Vamos calcular então a taxa efetiva anual de juros dessa poupança. 
	Primeiro observe que a taxa mensal proporcional é de de .
Então, os juros efetivos anuais serão aqueles equivalentes aos juros mensais de e daí a taxa efetiva anual que chamaremos de será:
Matemática Financeira
Exemplos: Taxa nominal e efetiva
Calcule a taxa efetiva semestral equivalente à taxa nominal de 10% ao semestre.
	Primeiro observe que a taxa mensal proporcional é depois um semestre é igual a seis meses.
Então, os juros efetivos semestrais serão aqueles equivalentes aos juros mensais e daí a taxa efetiva semestral será:
Matemática Financeira
Exemplos: Taxa nominal e efetiva
Determine a taxa anual efetiva de juros correspondente a uma taxa nominal anual de 12%, capitalizados bimestralmente.
Resolução
Primeiro observe que a taxa bimestral proporcional é depois um ano é igual a seis bimestres.
Então, a taxa efetiva anual será aquela equivalentes à taxa mensal . 
Daí a taxa efetiva anual será:
Matemática Financeira
Exercícios: taxa efetiva
Determine a taxa anual efetiva de juros correspondente a uma taxa mensal de 1%.
Matemática Financeira
Exercícios (Assaf Neto): Taxas equivalentes
Resolução
Como 1 ano é dividido em 12	períodos submúltiplos de 1 mês cada:
iq = taxa mensal=1%
q=12
- = - a.a.=12,68% a.a.
Observe que neste caso não foi falado em taxa nominal
Determine a taxa efetiva anual de juros correspondente a uma taxa nominal de 6% ao ano capitalizados trimestralmente.
Matemática Financeira
Exercícios (Assaf Neto): Taxas equivalentes
Resolução
Como 1 ano é igual a 4 trimestres teremos:
 q=4 = 
E portanto,
- = - a.a.=61,36% a.a.
4. Após 7 meses aplicado, um capital inicial formou um montante de $13.000 e estima-se que, daqui a 5 meses, esse montante já será de $19.500. Calcule o capital inicial aplicado e a taxa de juros, considerando regime de juros simples. Resposta: $3.900, 33,3% a.m.
6. Uma loja vende seus produtos com pagamento em duas prestações iguais, “sem juros”. A primeira prestação é paga no ato da compra e a segunda, um mês após. Entretanto, um desconto de 10% é concedido se o cliente pagar a vista. Qual são os juros que, na realidade, essa loja cobra, nas vendas a prazo? Resposta: 25% a.m.
 
8. Se aplicarmos determinada quantia durante oito meses, seu montante será de $63.000. Caso a aplicação durasse 13 meses, o montante seria de $74.250. Qual é a taxa mensal (capitalização simples) empregada? Resposta: 5,00%.
O preço a vista de uma mercadoria é de $1.000. O comprador pode, entretanto, pagar 20% de entrada no ato e o restante em uma única parcela de $1.002 vencíveis em 90 dias. Admitindo-se o regime de juros simples, qual é a taxa de juros anuais cobrada na venda a prazo? Utilize juros comerciais. Resposta: 101%.
7. O preço a vista de uma mercadoria é de $1.000. O comprador pode, entretanto, pagar 20% de entrada no ato e o restante em uma única parcela de $1.002 vencíveis em 90 dias. Admitindo-se o regime de juros simples, qual é a taxa de juros anuais cobrada na venda a prazo? Utilize juros comerciais. Resposta: 101%.
14. Paulo deve a Carlos dois títulos de $20.000 cada um, vencíveis em três e cinco meses. Quanto Paulo deverá aplicar no banco para que possa pagar os títulos com este dinheiro? Considere que o banco paga 7% ao mês? Resposta: $30.586.
13. Paulo tem uma dívida formada por três parcelas com vencimentos em dois meses, cinco meses e seis meses, sendo os valores $800, $1.000 e $600, respectivamente. O credor, para quem o dinheiro vale 10% ao mês, aceita que a dívida seja liquidada imediatamente, ou que o total seja pago em um ano. Quanto José teria que pagar (a) agora e (b) em um ano? Resposta: a) $1.621; b) 5.087.
9 )Em uma festa havia 200 pessoas, dentre as quais 40% eram homens. Alguns homens saíram, de modo que, das pessoas que restaram na festa, 25% eram homens. Quantos homens saíram da festa ?
 
29. Depois de quanto tempo um capital, aplicado à taxa de 2,5% a.m., triplica de valor,considerando as seguintes situações: a) regime de capitalização simples; b) regime de capitalização composta. Resposta: a) 80,0 meses; b) 44,5 meses.
23. Sabe-se que a taxa de juros cobrada de 2 em 2 meses por uma instituição financeira é de 8%. Calcule o prazo em que o empréstimo de $25.000 será resgatado por $43.500.
Resposta: 7,20 períodos de 2 meses.
 
11. Após quantos meses um capital empregado a 5% a.m. duplica seu valor? Utilize duas casas decimais com arredondamento. Resposta: 15 meses.
17. Uma pessoa depositou determinado capital num banco, a juros compostos,com capitalização mensal. Sabendo-se que, após 10 meses, o saldo era de $16.000, e que, após 15 meses da aplicação, o saldo já era de $18.500, determine a taxa de juros. Resposta: 2,95% a.m.
n
i
C
J
´
´
=
n
C
J
i
´
=
n
i
J
C
´
=
i
C
J
n
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J
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+
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)
1
(
n
i
C
M
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)
1
(
n
i
M
C
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=
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1
(
n
i
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simples
ção
capitaliza
de
Fator
FCS
:
)
1
(
1
)
1
(
n
i
M
n
i
M
C
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=
´
+
=
simples
o
Atualizaçã
de
Fator
FAS
:
)
1
(
1
n
i
´
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n
i
PV
FV
)
1
(
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n
i
FV
PV
)
1
(
+
=
composta
ção
capitaliza
de
Fator
FCC
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n
i
)
1
(
+
n
i
)
1
(
1
+
Composta
o
Atualizaçã
de
Fator
FCC
:
]
1
)
1
[(
-
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n
i
PV
J
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J
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n
PV
FV
i
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1
log(
log
i
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FV
n
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2
1
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).
2
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0
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,
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i
2
1
2
1
ais
proporcion
são
taxas
as
Logo
meios
dos
produto
ao
igual
é
extremos
dos
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o
que
se
verifica
valores
os
se
do
substituin
fato
de
se
verificar
Vamos
´
´
-
=
-
=
11
q
q
ii
=+-
(1)1
q
q
ii
=+-
1
1
6
6
-
+
=
i
i