Soluções dos Problemas do Capítulo 1

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Soluções dos Problemas
1a Lista de Problemas:Capítulo 1 - Medição
Atualizado em 09/11/2019
1-) Qual das seguintes não é quantidade básica no sistema SI?
(a) Massa.
(b) Comprimento.
(c) Energia.
(d) Tempo.
(e) Todas estas são quantidades básicas.
Solução:
As quantidades básicas do SI incluem massa, comprimento e tempo. Energia não é uma quantidade básica
portanto a letra (c) é correta
2-) Após efetuar um cálculo, você tem m/s no numerador e m/s2 no denominador. Quais são suas unidades
finais?
(a) m2/s3
(b) 1/s
(c) s3/m2
(d) s
(e) m/s
Solução:
Podemos simplificar a divisão de m/s por m/s2 para determinar a unidade final.
Expresse e simplifique a quantidade:
m
s
m
s2
=
m
s
· s
2
m
=
m · s2
m · s
= s
E portanto a alternativa (d) é correta.
1
3-) O prefixo giga e o prefixo mega significam respectivamente:
(a) 103 e 10−9
(b) 106 e 109
(c) 109 e 106
(d) 1012 e 109
(e) 10−9 e 10−6
Solução:
Consultando a Tabela 1-2, verificamos que o prefixo giga significa 109 e que o prefixo mega significa 106 de
modo que a alternativa (c) é a correta.
4-) Nas equações seguintes, a distância x está sem metros, o tempo t está em segundos e a velocidade v está
em metros por segundo. Quais são as unidades SI das constantes C1 e C2 em cada um dos casos?
(a) x = C1 + C2t
(b) x = 12C1t
2
(c) v2 = 2C1x
(d) x = C1 cos(C2t)
(e) v2 = 2C1v − (C2x)2
Solução:
Podemos determinar a unidade no SI de cada termo do lado direito das equações a partir da unidade do lado
esquerdo. Assim:
(a) Como x está em metros, C1 e C2 tem de estar em metros. Assim, C1 está em metros e C2 está em met-
ros por segundo, pois C2t =
m
s
· s = m
(b) Como x está em metros, 12C1t
2 também deve estar em metros. Então C1 tem de estar em m/s2 pois
C1t
2 =
m
s2
· s2 = m
(c) Como v2 = m2/s2, então 2C1x tem de estar em m/s2 pois 2C1x =
m
s2
·m = m
2
s2
= v2
(d) O argumento de uma função trigonométrica tem de ser adimensional, portanto C2t não pode ter unidades. Assim
C2 possui unidade de 1/s pois
1
s
· s = 1. Assim, C1 deve possuir unidade de m.
(e) Todos os termos da expressão devem possuir a mesma unidade de modo que 2C1v deve possuir unidades
de m2/s2 e (C2x)2 também deve possuir unidades de m2/s2. Desse modo, C1 está em m/s pois
m
s
· m
s
=
m2
s2
e C2
possui unidade de
1
s
, de modo que (C2x)2 =
(
m
s
)2
= m2/s2
2
5-) Você é entregador de uma empresa de água mineral. Seu caminhão carrega 4 plataformas de carga. Cada
plataforma carrega 60 fardos. Cada fardo possui 24 garrafas de um litro de água. O carrinho que você utiliza para
transportar a água para as lojas tem um limite de peso de 250 lb. (a) Se um mililitro de água tem uma massa de 1g
e um quilograma tem o peso de 2,2 lb, qual é o peso, em libras, de toda a água em seu caminhão? (b) Quantos
fardos completos de água você consegue transportar no carrinho?
Solução:
O peso da água no caminhão é o produto do volume de água pela sua densidade de 2,2 lb/L.
(a) O peso da água no caminhão (w) é o produto de seu volume V e sua densidade (peso por unidade de volume) D:
w = D · V
Encontre o volume V de água:
V = (4 plataformas) ·
(
60
fardos
plataforma
)
·
(
24 · L
fardos
)
= 5760 L
Substituindo os valores de D e L, conseguimos descobrir seu peso em libras:
w =
(
2.2
lb
L
)
· (5760 L) = 1, 267× 104 lb ≈ 1, 3× 104 lb
(b) O número de fardos de pode ser expresso em função do limite de peso e em função do número de fardos de água:
N =
Peso limite
Peso de cada fardo
Substituindo os valores, descobrimos N:
N =
250 lb(
2, 2 lbL
)
·
(
24 Lfardo
) = 4, 7 fardos
Assim, você pode carregar 4 fardos.
6-) No que se segue, x está em metros, t em segundos, v está em metros por segundo e a aceleração a está
em metros por segundo ao quadrado. Encontre as unidades SI de cada uma das combinações:
(a) v2/x
(b)
√
x/a
(c)
1
2
at2
Solução:
Para simplificar as contas, é comum tratarmos as unidades do SI como se elas fossem quantidades algébricas.
Munindo-se deste fato, podemos expressar as quantidades:
(a) v2/x:
v2
x
=
(m/s)2
m
=
m2
m · s2
=
m
s2
(b)
√
x/a √
m
m/s
=
√
s2 = s
3
(c)
1
2
at2: Observe que o fator 12 não possui unidades de modo que não nos interessa para o cálculo das unidades:(
m
s2
)
· (s2) = m
7-) A unidade SI de força, o quilograma-metro por segundo ao quadrado (kg · m/s2), é chamada de newton
(N). Encontre as dimensões e as unidades SI da constante G na lei de Newton da gravitação, F = G · m1 ·m2
r2
Solução:
Podemos obter a constante G da lei da gravitação de Newton e substituir as dimensões das variáveis, tratando elas
como unidades algébricas para simplificar os cálculos. O primeiro passo é então isolar a constante G:
G (m1 ·m2) = F · r2
G =
Fr2
m1m2
Agora, basta substituir os valores utilizando as unidades do SI:
G =
kg ·m
s2
·m2
kg2
=
m3
kg · s2
8-) Quando um objeto cai no ar, existe uma força resistiva que depende do produto da área da seção reta
do objeto e do quadrado de sua velocidade, isto é, Far = CAv2, onde C é uma constante. Determine as dimensões
de C.
Solução:
Podemos encontrar as dimensões de C isolando ela e substituindo as dimensões de área, força e velocidade.
Então, isolando C, obtemos:
C =
Far
Av2
Expressando as dimensões, escrevemos:
[C] =
[Far
[A][v]2
Substituindo as dimensões de força, área e velocidade e simplificando, obtemos:
[C] =
ML
T 2
L2
(
L
T
)2 = ML3
4
9-) A magnitude de força (F) que uma mola exerce quando distendida de uma distância x a partir de seu comprimento
quando frouxa é governada pela lei de Hooke, F = kx.(a) Quais as dimensões da constante de força, k?. (b) Quais
as dimensões e as unidades SI da quantidade kx2?
Solução:
As dimensões de massa e velocidade são respectivamente M e L/T . A dimensão da força é ML/T 2.
(a) Isolando a constante k da lei de Hooke, podemos escrever que:
k =
F
x
Escrevendo a respectiva equação dimensional:
[k] =
[F ]
[x]
Substituindo os valores de F e x e simplificando, obtemos:
[k] =
M · L
T 2
L
=
M
T 2
(b) Substituindo as dimensões de k e x2 e simplificando, obtemos:
[kx2] =
M
T 2
· L2 = ML
2
T 2
Substituindo as unidades do SI para kx2, obtemos:
kg ·m2
s2
10-) O detector de neutrinos japonês Super-Kamiokande é um grande cilindro transparente cheio de água ultra pura.
A altura do cilindro é 41,4 m e o diâmetro é 39,3 m. Calcule a massa da água no cilindro. Isto coincide com a
alegação colocada no site oficial do Super-K de que o detector usa 50000 toneladas de água?
Solução:
Podemos utilizar a definição de densidade para relacionar a massa de água no cilindro com seu volume.
Primeiro iremos relacionar a massa de água contida no cilindro com sua densidade:
m = ρV
Mas podemos expressar o volume do cilindro em termos de seu diâmetro d e sua altura h:
V = Abase · h = πr2 · h = π
(
d
2
)2
h =
π
4
d2h
Substituindo o volume V na expressão da massa:
m = ρ
pi
4
d2 h
Substituindo os valores, determinamos a massa:
m = (103 kg/m3)
(
π
4
)
(39, 3m)2(41, 4m) = 5, 022× 107 kg
Convertendo para toneladas:
m = 5, 022× 107kg · 1 ton
1000 kg
= 50220 toneladas
Logo a afirmação coincide com a alegação colocada no site oficial
5
11-) A massa de um átomo de urânio é 4, 0×10−26kg. Quantos átomos de urânio existem em 8,0 g de urânio puro?
Solução:
Podemos usar a informação dada para expressar a quantidade de átomos de urânio em 8 g de urânio puro.
Expressaremos a proporção relacionando a quantidade de átomos de urânio NU em 8 g através da expressão:
NU
8, 0g
=
1 atom
4, 0× 10−26 kg
Isolando e determinando o NU , obtemos:
NU =
(
8, 0 g × 1 kg
103 g
)(
1 atom
4, 0× 10−26 kg
)
= 2, 0× 1023 atomos
12-) As cidades de Nova York e Los Angeles estão separadas por aproximadamente 3000 milhas; a diferença
entre tempo entre as duas cidades é de 3 horas. Calcule a circunferência da Terra.
Solução:
Neste exercício convém utilizar os fuso-horários. Podemos escrever que:
3000milhas
3 horas
= 1000milhas/hora(fuso− horrio)
Existem existem 24 fuso-horários, então a circunferência da Terra é de aproximadamente24 × 1000 mi =
24000milhas = 38624km (A atual circunferência da Terra é de 40.075 km.)
13-) O período T de um pêndulo simples depende do comprimento L do pêndulo e da aceleração da gravidade g
(dimensões L/T 2) (a) Encontre uma combinação simples de L e g que tenha a dimensão do tempo. (b) Cheque
a dependência do período T com o comprimento L medindo o período (tempo para um balanço de ida e volta
completo) de um pêndulo para dois valores diferentes de L. (c) A fórmula correta que relaciona T com L e g envolve
uma constante que é múltipla de π e não pode ser obtida pela análise dimensional da Parte (a). Ela pode ser
encontrada experimentalmente, como na parte (b), se g é conhecido. Usando o valor de g = 9, 81 m/s2 e seus
resultados experimentais da Parte (b), encontre a fórmula que relaciona T com L e g.(Dados : utilize que o período
para um pêndulo de 1,0 m é igual a 2,0 s e que o período para um pêndulo de 0,50 m é igual a 1,4 s)
Solução:
Podemos expressar a relação entre o período T do pêndulo, seu comprimento L e a aceleração da gravidade
g como sendo algo parecido com T = CLagb e utilizar a analise dimensional para encontrar os valores de a e b.
(a) Assim, expressaremos T como sendo o produto de L e g elevados a a e b respectivamente:
T = CLagb
Onde C é uma constante adimensional. Escrevendo essa expressão na forma dimensional e substituindo as dimensões
de suas quantidades físicas, podemos dizer que:
[T ] = [L]a [g]b
T = La
(
L
T 2
)b
Como L não aparece do lado esquerdo da equação, podemos escrever a equação como sendo:
L0T 1 = La+b T−2b
6
Igualando os expoentes,obtemos que:
a+ b = 0
−2b = 1
De forma que podemos escrever que a = 12 e b = −a = −
1
2 Substituindo os expoentes encontrados na primeira
equação podemos escrever que:
T = CL1/2 g−1/2 = C
√
L
g
(b) Se utilizarmos os dados, podemos escrever que:
T (1, 0m) = 2, 0 s
T (0, 5m) = 1, 4 s
(c) Isolando C, obtemos:
C = T
√
g
L
Substituindo os valores de L = 1,0 m e T = 2,0 s:
C = (2, 0 s)
√
9, 81m/s2
1, 0m
= 6, 26 ≈ 2π
Então finalmente obtemos a fórmula de um pêndulo a partir da análise dimensional:
T = 2π
√
L
g
7