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Inferência Estatística:
Estimação Pontual e IntervalarEstimação Pontual e Intervalar

Média
Variância
Proporção

Inferência Estatística

POPULAÇÃO

Conjunto de métodos de análise estatística que permitem tirar
conclusões sobre uma população com base em somente uma
parte dela, a amostra.

Parâmetros:
Média µ

Desvio-padrão σ
Proporção θ

AMOSTRA
Estatísticas:

média
desvio-padrão s
proporção p

x

Tipos de Inferência Estatística

Inferência sobre

Estimação de µ Intervalo de Confiança

Inferência sobre
o parâmetro µ

Teste de Hipóteses
sobre µ

Teste de
Hipóteses

Estimação

Exemplo: de posse de uma amostra de 1000 eleitores de um
Estado, deseja-se estimar a proporção θ de eleitores desse Estado
que votarão no candidato Fulano.

O valor de θ é desconhecido e pode ser estimado de duas formas:

θEstimação Somente um valor é dado como estimativa para θ.
Ex.: proporção amostral de eleitores de Fulano,

p = 0.60.

Estimação
pontual:

Estimação
intervalar:

Um intervalo de valores é dado como estimativa para θ.
Ex.: [ p margem de erro ] = [ 0.60 0.03 ]

= [ 0.57 ; 0.63 ] .
± ±

Conceitos Básicos em Estimação

Parâmetro

Estimador
(do parâmetro)

Valor populacional desconhecido:
Ex.: média, variância, proporção, etc.,

representado por letras gregas (µ, σ, θ, …) .
Função das variáveis aleatórias X1,…,Xn

que compõem a amostra. (do parâmetro)

Estimativa
(do parâmetro)

que compõem a amostra.
Ex.:

1

n

i
i

X
X

n

=

=

∑ ( )2
1

1

n

i
i

X X
s

n

=

−

=

−

∑

Valor do estimador quando aplicado aos dados
observados na amostra.

Ex: 34.5x =

Estimação Intervalar

Intervalo de Confiança = estimativa pontual ±±±± margem de erro

Exemplo:

Em uma amostra de 40 alunos da UFMG, encontrou-se uma renda
familiar média de 1600 reais (estimativa pontual), com desvio-

padrão igual a 323 reais.

A margem de erro foi calculada em 100 reais.

Assim, a estimativa intervalar para a renda familiar média do aluno
da UFMG é de [1600 ± 100] = [1500 ; 1700] reais.

Lembrando que…

Seja uma amostra aleatória x1, x2, . . . , xn de uma
v.a. X com distribuição Normal com média µ e dp σ.

X, o estimador de µ, tem distribuição Normal
com média µ e desvio padrão σ / com média µ e desvio padrão σ /

n

Intervalo de 100(1-α)% de Confiança para uma Média µ

/ 2
100(1 )%

.IC x z
n

α
α

µ
σ

−

 
= ± 

 

Margem de Erro

estimativa da
variabilidade de

x

Nível de confiança
do intervalo

 

estimativa
pontual de µ

Fator para redução
da confiança

/ 2zα

α/2é o percentil da distribuição Normal-
padrão que deixa uma área de α/2 acima dele

/ 2zα

Intervalo de 100(1-α)% de Confiança para µ

/ 2
100(1 )%

.IC x z
n

α
α

µ
σ

−

 
= ± 

 

Nível de confiança do intervalo = 1 - α

- É um valor entre 0 e 1;
- Expressa nossa “confiança” de que o intervalo

englobe o valor (desconhecido) µ.

Distribuição de
probabilidade
dos valores
populacionais

Distribuição de
probabilidade
dos valores da
média amostral
em amostras de
tamanho 50 da
população à

Utilizando a distribuição de probabilidade do
estimador do parâmetro

população à
esquerda.

/ 2
100(1 )%

.IC x z
n

α
α

µ
σ

−

 
= ± 

 

Essa expressão para o IC de µ pode ser usada quando:

1. a variável em estudo tiver distribuição Normal

2. a variável em estudo não tiver distribuição Normal,
mas o tamanho da amostra (n) for grande ( n > 30).

É preciso conhecer σ, o d.p. populacional

Resultado 1

TCL

PROBLEMA:

Essa substituição resulta em uma nova variável
ns

xT
/

µ−
=

Substituir σ por s na variável Z

SOLUÇÃO (quando não se conhece σσσσ)

s 
/ 2;( 1)

100(1 )%
.n

sIC x t
n

α
α

µ −
−

 
= ± 

 

Intervalo de 100(1-α)% de Confiança para µ
quando σσσσ for desconhecido

/ 2;( 1)
100(1 )%

.n

sIC x t
n

α
α

µ −
−

 
= ± 

 

é o percentil
da distribuição t-Student
com (n-1) graus de liberdade
que deixa uma área de α/2

acima dele.

/ 2 ;( 1)ntα −

/ 2;( 1)ntα −

α/2

( 1)nt −

Intervalo de Confiança para a média µ

A amostra
é grande

SIM
SIM

NÃO

/ 2
100(1 )%

.IC x z
n

α
α

µ
σ

−

 
= ± 

 

/ 2
100(1 )%

.

sIC x z
n

α
α

µ
−

 
= ± 

 

σ é
conhecido ?

é grande
(n > 30) ?

NÃO
Os dados

são
Normais ?

SIM

NÃO

/ 2;( 1)
100(1 )%

.n

sIC x t
n

α
α

µ −
−

 
= ± 

 

Métodos não-
paramétricos

O que entendemos por confiança ?

EXEMPLO: estimar µ, a renda média familiar dos alunos que
ingressaram na UFMG este ano.

Experimento:
1. cada um de vocês tem acesso a uma amostra de 100 calouros

para estimar µ.para estimar µ.
2. Todos vocês construirão um intervalo de 95% de confiança

utilizando os dados da nossa amostra.

Resultado esperado:
Intervalos de confiança com limites e comprimentos diferentes

para cada um de vocês.
Como saber qual é o intervalo “correto” ?

Interpretação Gráfica do Nível de
Confiança na Estimação Intervalar

Para um intervalo de 95% de confiança para µ, temos a
uma confiança de 95% de que este intervalo em uma confiança de 95% de que este intervalo em

especial contenha o valor desconhecido de µ.

Exemplo 1: estimar a média da resistência a
compressão (em psi) da liga alumínio-lítio

2

0

0

2

5

0

R

e

s

i

s

t

e

n

c

i

a

a

c

o

m

p

r

e

s

s

a

o

,

e

m

p

s

i

n = 80 corpos-de-prova

Nível de confiança : 95%

162.66x =
33.77s =

1

0

0

1

5

0

2

0

0

R

e

s

i

s

t

e

n

c

i

a

a

c

o

m

p

r

e

s

s

a

o

,

e

m

p

s

i

Nível de confiança : 95%

100(1-α) = 0.95 � α = 0.05
1.960.025z =

/ 2
100(1 )%

.

sIC x z
n

α
α

µ
−

 
= ± 

 

Exemplo 1: continuação

95% 33.77162.66 1.96
80

ICµ
 

= ± ⋅ 
 

[ ]95% 162.66 7.40ICµ = ±

[ ]95% 155.26 ; 170.06ICµ =

A média da resistência a compressão da liga alumínio-
lítio está entre 155.26 psi e 170.06 psi, com 95% de

confiança.

Exemplo 2: estimar a carga média no ponto-de-
falha de corpos feitos com a liga U-700

Um artigo* descreve os resultados de testes trativos de adesão
em 22 corpos-de-prova de liga U-700. A carga no ponto-de-falha
de corpo-de-prova foi medida em megapascal.

A carga média nessa amostra é igual a 13.71 megapascalA carga média nessa amostra é igual a 13.71 megapascal
e o desvio-padrão é de 3.55 megapascal.

Materials Engineering, vol. II, n. 4, pp. 275-281, 1989

Amostra pequena � verificar a suposição de distribuição Normal
para os dados

Nível de confiança: 99%

Verificando a suposição de normalidade
P

e

r

c

e

n

t

99

95

90

80

70

60

50

40

30

Mean

0.838

13.71

StDev 3.554

N 22

AD 0.211

P-Value

Gráfico de Probabilidade Normal
Normal

Boxplot of Carga

Carga

22.520.017.515.012.510.07.55.0

20

10

5

1

C

a

r

g

a

20

18

16

14

12

10

8

6

Boxplot of Carga

Exemplo 2: (continuação)

/ 2;( 1)
100(1 )%

.n

sIC x t
n

α
α

µ −
−

 
= ± 

 

99% 0.005;21
3.5513.71

22
IC tµ  = ± ⋅ 

 

[ ]99% 13.71 2.83 0.76ICµ = ± ⋅
[ ]99% 13.71 2.15ICµ = ± [ ]99% 11.56 ; 15.86ICµ =

A carga média no ponto-de-falha de corpos feitos com a
liga U-700 está entre 11.56 e 15.86 megapascal, com
99% de confiança.

Como reduzir o comprimento do Intervalo de Confiança ?

/ 2
100(1 )%

.IC x z
n

α
α

µ
σ

−

 
= ± 

 

margem de erro (ε)margem de erro (ε)

Reduzindo margem de erro� aumentar n.

Qual deve ser o tamanho mínimo da amostra para que a
margem de erro na estimação de µ seja menor ou igual a εεεε
em um intervalo de 100(1-α)% de confiança ?

/ 2
100(1 )%

.IC x z
n

α
α

µ
σ

−

 
= ± 

 n 

margem de erro (ε)

Exemplo: energia de impacto em placas de aço A238

O teste Charpy V-notch (CVN) mede a energia de impacto (em J) e
é frequentemente usado para determinar se um material
experimenta ou não uma transição dúctil-frágil com um decréscimo
de temperatura.

Considerando que a energia de impacto em placas de aço A238,Considerando que a energia de impacto em placas de aço A238,
cortadas a 60o C, seja normalmente distribuída com σ = 1.0 J, qual

seria