APOSTILA MATRIZES
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APOSTILA MATRIZES


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Apostila: Matrizes e Determinantes 
Prof. André Luís Rossi de Oliveira 
 
1 Matrizes 
1.1 Conceitos Básicos 
 
Chamamos de matriz a uma tabela de elementos dispostos em linhas e colunas. 
 
Exemplos: 
(1) Considere a tabela abaixo: 
 
 Altura (metros) Peso (quilos) Idade (anos) 
Pessoa 1 1,70 70 23 
Pessoa 2 1,75 60 45 
Pessoa 3 1,60 52 25 
Pessoa 4 1,81 72 30 
 
Ao abstraírmos os significados das linhas e colunas, obtemos a matriz 
 
 
1,70 70 23
1,75 60 45
1,60 52 25
1,81 72 30
\u23a1 \u23a4\u23a2 \u23a5\u23a2 \u23a5\u23a2 \u23a5\u23a2 \u23a5\u23a3 \u23a6
 
 
(2) Os elementos de uma matriz podem ser números, funções etc, como nas 
matrizes abaixo: 
 
 [ ]
2
3
1 0
5 22
31 3
x
sen x ex
xx
\u23a1 \u23a4 \u23a1 \u23a4\u23a2 \u23a5 \u23a2 \u23a5\u2212\u23a2 \u23a5 \u23a2 \u23a5\u23a2 \u23a5 \u23a2 \u23a5+ \u23a3 \u23a6\u23a3 \u23a6
 
 1
 
Representamos uma matriz de m linhas e n colunas por 
 
 
11 12 1
21 22 2
1 2
,
n
n
m n ij m n
m m mn
a a a
a a a
A a
a a a
× ×
\u23a1 \u23a4\u23a2 \u23a5\u23a2 \u23a5 \u23a1 \u23a4= = \u23a3 \u23a6\u23a2 \u23a5\u23a2 \u23a5\u23a2 \u23a5\u23a3 \u23a6
"
"
# # % #
"
 
onde é o elemento característico da matriz, com i representando a linha e j, a coluna. ija
 
Definição: Duas matrizes e m n ij r s ijm n r sA a B b× ×× ×\u23a1 \u23a4 \u23a1= = \u23a4\u23a3 \u23a6 \u23a3 \u23a6 são iguais, ou seja, A B= , se elas 
têm o mesmo número de linhas ( m r= ) e colunas ( n s= ) e todos os seus elementos 
correspondentes são iguais ( ). ij ija b=
 
Exemplo: 
 
2
0
2 ln1 90 4 0 1
3 0 9 3 0
cos90 1 3 0 1 3
osen\u23a1 \u23a4
3
\u23a1 \u23a4\u23a2 \u23a5 \u23a2 \u23a5=\u23a2 \u23a5 \u23a2 \u23a5\u23a2 \u23a5 \u23a2 \u23a5\u2212 \u2212\u23a3 \u23a6\u23a2 \u23a5\u23a3 \u23a6
 
 
1.2 Tipos Especiais de Matrizes 
 
Seja uma matriz com m linhas e n colunas. Alguns tipos importantes de matrizes 
são os seguintes: 
m nA ×
 
(a) Quadrada: É aquela cujo número de linhas é igual ao número de colunas 
( m ). n=
 
 [ ]1 1
3 3
2 0 9
4 8 7 4
2 8 6
×
×
\u2212\u23a1 \u23a4\u23a2 \u23a5\u2212 \u2212\u23a2 \u23a5\u23a2 \u23a5\u23a3 \u23a6
 
 2
 
(b) Nula: . 0 ,ija i= \u2200 j
 
 
0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0
\u23a1 \u23a4\u23a2 \u23a5\u23a1 \u23a4 \u23a2 \u23a5\u23a2 \u23a5 \u23a2 \u23a5\u23a3 \u23a6 \u23a2 \u23a5\u23a3 \u23a6
 
 
 
(c) Coluna: . 1n =
 
6
1
0
4
8
3
7
\u23a1 \u23a4\u23a1 \u23a4 \u23a2 \u23a5\u23a2 \u23a5 \u23a2 \u23a5\u23a2 \u23a5 \u23a2 \u23a5\u2212\u23a2 \u23a5\u2212 \u23a2 \u23a5\u23a3 \u23a6 \u2212\u23a3 \u23a6
 
 
Uma matriz coluna é chamada de vetor-coluna. 
 
(d) Linha: . 1m =
 
 [ ] [ ]3 7 4 6 4 1 8\u2212 \u2212 \u2212 
 
Uma matriz linha é chamada de vetor-linha. 
 
(e) Diagonal: É uma matriz quadrada onde 0ija i j= \u2200 \u2260 . 
 
 
2 0 0
0 1 0
0 0 4
\u23a1 \u23a4\u23a2 \u23a5\u23a2 \u23a5\u23a2 \u23a5\u2212\u23a3 \u23a6
 
 
(f) Identidade: É uma matriz diagonal onde todos os elementos da diagonal são 
iguais a 1, ou seja, 1 e 0ii ija a i j= = \u2200 \u2260 . 
 
 3
 
1 0 0
0 1 0
0 0 1
\u23a1 \u23a4\u23a2 \u23a5\u23a2 \u23a5\u23a2 \u23a5\u23a3 \u23a6
 
 
(g) Triangular Superior: É uma matriz quadrada onde todos os elementos abaixo 
da diagonal são nulos, isto é, 0ija i j= \u2200 > . 
 
 
4 3 2 9
0 1 0 1
0 0 3 4
0 0 0 1
\u2212 \u2212\u23a1 \u23a4\u23a2 \u23a5\u2212\u23a2 \u23a5\u23a2 \u23a5\u2212\u23a2 \u23a5\u23a3 \u23a6
 
 
(h) Triangular Inferior: É uma matriz quadrada onde todos os elementos acima 
da diagonal são iguais a zero, isto é, 0ija i j= \u2200 < . 
 
 
2 0 0 0
3 2 0 0
3 3 4 0
2 4 8 9
\u23a1 \u23a4\u23a2 \u23a5\u2212 \u2212\u23a2 \u23a5\u23a2 \u23a5\u2212 \u2212\u23a2 \u23a5\u2212\u23a3 \u23a6
 
 
(i) Simétrica: É uma matriz quadrada onde ,ij jia a i j= \u2200 . 
 
 
1 2 4
2 3 1
4 1 2
\u2212\u23a1 \u23a4\u23a2 \u23a5\u23a2 \u23a5\u23a2 \u23a5\u2212\u23a3 \u23a6
 
 
1.3 Operações com Matrizes 
 
Adição: , onde ij ij m nA B a b ×\u23a1 \u23a4+ = +\u23a3 \u23a6 e m n ij m n ijA a B b× ×\u23a1 \u23a4 \u23a1= = \u23a4\u23a3 \u23a6 \u23a3 \u23a6 . 
 
 4
Exemplo: 
1 5 0 8 1 13
3 3 7 1 4 2
4 2 9 0 13 2
\u2212 \u2212 \u2212\u23a1 \u23a4 \u23a1 \u23a4 \u23a1\u23a2 \u23a5 \u23a2 \u23a5 \u23a2\u2212 + \u2212 = \u2212 \u2212\u23a2 \u23a5 \u23a2 \u23a5 \u23a2\u23a2 \u23a5 \u23a2 \u23a5 \u23a2\u2212 \u2212\u23a3 \u23a6 \u23a3 \u23a6 \u23a3
\u23a4\u23a5\u23a5\u23a5\u23a6
 
Propriedades da adição: Dadas as matrizes A, B e C de mesma ordem mxn, temos: 
(i) A B B A+ = + (comutatividade) 
(ii) ( ) ( )A B C A B C+ + = + + (associatividade) 
(iii) , onde 0 é a matriz nula mxn. 0A+ = A
 
Demonstração: Exercício! 
 
Multiplicação por escalar: . ij m nk A ka ×\u23a1 \u23a4= \u23a3 \u23a6 , onde ij m nA a ×\u23a1 \u23a4= \u23a3 \u23a6 e k é um número real. 
Exemplo: 
0 3 0 21
7
4 5 28 35
\u2212 \u2212\u23a1 \u23a4 \u23a1=\u23a2 \u23a5 \u23a2\u23a3 \u23a6 \u23a3
\u23a4\u23a5\u23a6
 
Propriedades: Dadas matrizes A e B de mesma ordem mxn e números reais , 
temos: 
1 2, e k k k
(i) ( )k A B kA kB+ = +
(ii) ( )1 2 1 2k k A k A k A+ = +
(iii) 0. 0A =
(iv) ( ) ( )1 2 1 2k k A k k A=
 
Demonstração: Exercício! 
 
Transposição: Dada uma matriz ij m nA a ×\u23a1 \u23a4= \u23a3 \u23a6 , a matriz transposta de A é definida como 
, cujas linhas são as colunas de A, isto é, T ij n mA b ×\u23a1 \u23a4= \u23a3 \u23a6 ,ij jib a i j= \u2200 . 
 
Exemplos: 
 5
 
3 8
3 0 0
0 7
8 7 3
0 3
4 2 4 2
2 1 2 1
T
T
A A
B B
\u2212\u23a1 \u23a4 \u23a1 \u23a4\u23a2 \u23a5= = \u23a2 \u23a5\u23a2 \u23a5 \u2212\u23a3 \u23a6\u23a2 \u23a5\u23a3 \u23a6
\u23a1 \u23a4 \u23a1 \u23a4= =\u23a2 \u23a5 \u23a2 \u23a5\u23a3 \u23a6 \u23a3 \u23a6
 
 
Propriedades: 
(i) Uma matriz é simétrica se, e somente se, ela é igual à sua transposta, ou seja, TA A= . 
(ii) ( )TTA A= 
(iii) ( )T T TA B A B+ = + 
(iv) ( )T TkA kA=
(v) ( )T T TAB B A= 
 
Demonstração: Exercício! 
 
Multiplicação de Matrizes: Sejam [ ] e ij rs n pm nA a B b ××\u23a1 \u23a4= =\u23a3 \u23a6 . Definimos o produto 
matricial [ ]uv m pAB c ×= por 
 
 1 1
1
n
uv uk kv u v un nv
k
c a b a b a
=
= = + +\u2211 &quot; b
 
Perceba que só é possível efetuar o produto de duas matrizes e m n l pA B× × se n l= , ou 
seja, se o número de colunas da matriz que aparece pré-multiplicando for igual ao número 
de linhas da matriz que aparece pós-multiplicando. 
 
Exemplos: 
 
 6
 
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
1 1 2 3
2 1 2
3 1
3 1 5 4 3 0 5 73 5 1 0 17 35
4 1 6 4 4 0 6 74 6 4 7 20 42
1 3 1 5 3 9 32
5
2 8 2 5 8 9 82
9
4 0 4 5 0 9 20
2 8 9 2 8 9
3 9 0 3 9
2 1 3 2
x x x x
A x x Ax x x
x x
\u23a1 \u23a4\u2212 + +\u2212\u23a1 \u23a4 \u23a1 \u23a4 \u23a1= =\u23a2 \u23a5\u23a2 \u23a5 \u23a2 \u23a5 \u23a2\u2212 + +\u23a3 \u23a6 \u23a3 \u23a6 \u23a3\u23a3 \u23a6
\u23a1 \u23a4+\u23a1 \u23a4 \u23a1 \u23a4\u23a1 \u23a4 \u23a2 \u23a5\u23a2 \u23a5 \u23a2 \u23a5= + =\u23a2 \u23a5 \u23a2 \u23a5\u23a2 \u23a5 \u23a2 \u23a5\u23a3 \u23a6 \u23a2 \u23a5\u23a2 \u23a5 \u23a2 \u23a5+\u23a3 \u23a6 \u23a3 \u23a6\u23a3 \u23a6
+ +\u23a1 \u23a4 \u23a1 \u23a4\u23a2 \u23a5 \u23a2 \u23a5= \u2212 = = \u2212 +\u23a2 \u23a5 \u23a2 \u23a5\u23a2 \u23a5 \u23a2 \u23a5\u2212 \u2212 \u2212\u23a3 \u23a6 \u23a3 \u23a6 2 33x x
\u23a1 \u23a4\u23a2 \u23a5\u23a2 \u23a5\u23a2 \u23a5\u2212 +\u23a3 \u23a6
\u23a4\u23a5\u23a6
 
 
Propriedades: 
(i) Em geral, AB BA\u2260 . 
Exemplo: Se , então 
1 1 1 1 2 3
3 2 1 2 4 6
2 1 0 1 2 3
A B
\u2212\u23a1 \u23a4 \u23a1\u23a2 \u23a5 \u23a2= \u2212 \u2212 =\u23a2 \u23a5 \u23a2\u23a2 \u23a5 \u23a2\u2212\u23a3 \u23a6 \u23a3
\u23a4\u23a5\u23a5\u23a5\u23a6
 
 
0 0 0 11 6 1
0 0 0 e 22 12 2
0 0 0 11 6 1
AB BA
\u2212 \u2212\u23a1 \u23a4 \u23a1\u23a2 \u23a5 \u23a2= = \u2212\u23a2 \u23a5 \u23a2\u23a2 \u23a5 \u23a2
\u23a4\u23a5\u2212 \u23a5\u23a5\u2212 \u2212\u23a3 \u23a6 \u23a3 \u23a6
 
 
É importante perceber que 0AB = sem que 0 ou 0A B= = . 
Desde que estejam bem definidas as operações, as seguintes propriedades são válidas: 
(ii) AI IA A= = 
(iii) ( )A B C AB AC+ = + 
(iv) ( )A B C AC BC+ = + 
(v) ( ) ( )AB C A BC= 
(vi) ( )T T TAB B A= 
(vii) 0. 0 e .0 0A A= =
 
 7
1.4 Matriz Inversa 
 
Definição: Seja A uma matriz quadrada. A matriz inversa de A, denotada por , é aquela 
que satisfaz a condição . 
1A\u2212
1 1AA A A I\u2212 \u2212= =
 
Obs.: (i) Nem toda matriz quadrada possui inversa. Se uma matriz quadrada possui 
inversa, ela é chamada de não-singular. Se ela não possui inversa, é chamada de singular. 
(ii) Se existe a matriz inversa, então ela é única. 
 
Exemplos: Se e 
3 1
0 2
A \u23a1 \u23a4= \u23a2 \u23a5\u23a3 \u23a6
1 1
3 6
10
2
B
\u23a1 \u23a4\u2212\u23a2 \u23a5= \u23a2\u23a2 \u23a5\u23a2 \u23a5\u23a3 \u23a6
\u23a5 , então 
 
 
3 1 2 1 6 0 1 01 1 .
0 2 0 3 0 6 0 16 6
AB I
\u2212\u23a1 \u23a4 \u23a1 \u23a4 \u23a1 \u23a4 \u23a1 \u23a4= = =\u23a2 \u23a5 \u23a2 \u23a5 \u23a2 \u23a5 \u23a2 \u23a5\u23a3 \u23a6 \u23a3 \u23a6 \u23a3 \u23a6 \u23a3 \u23a6 = 
Podemos verificar facilmente que BA I= , de forma que 1B A\u2212= e . 1A B\u2212=
 
Propriedades: 
(i) ( ) 11A A\u2212\u2212 = 
(ii) ( ) 1 1 1AB B A\u2212 \u2212 \u2212= 
Demonstração: Seja C a inversa de AB. Então CAB I= , de forma que 
 
 1 1 1 1 1 1.CABB A IB A B A\u2212 \u2212 \u2212 \u2212 \u2212= = \u2212 
 
Mas também é verdade que 
 
 1 1 1 1 ,CABB A CAIA CAA CI C\u2212 \u2212 \u2212 \u2212= = = = 
 
o que implica 1 1C B A\u2212 \u2212= . 
 8
(iii) ( ) ( )1 1 TTA A\u2212 \u2212=
 
1.5 Sistemas de Equações Lineares e Matrizes 
 
Um sistema de equações lineares com m equações e n incógnitas é um conjunto de 
equações do tipo: 
 
 
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
n n
n n
m m mn n
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
+ + + =\u23a7\u23aa + + + =\u23aa\u23a8\u23aa\u23aa
m+ + + =\u23a9
&quot;
&quot;
#
&quot;
 
 
onde os , são números reais. , 1 ,1ija i m j\u2264 \u2264 \u2264 \u2264 n
)
Uma solução do sistema acima é uma lista de n números (n-upla) do tipo 
( 1 2, , , nx x x\u2026 que satisfaça simultaneamente as m equações. 
O sistema pode ser escrito na forma matricial como 
 
 
11
Ricardo
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Valeu! Humberto.
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