ATIVIDADES NONA SEMANA Dízima Periódica

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"O que é uma dízima 
periódica? 
Antes de entender o que é uma fração geratriz, é fundamental compreender o que é 
uma dízima periódica. Existem dois casos possíveis de dízimas periódicas: a dízima 
periódica simples e a dízima periódica composta. Uma dízima periódica é um número 
decimal que possui parte decimal infinita e periódica. 
 
 
Fração geratriz da dízima 
0,3333… Dízima periódica 
simples 
A dízima periódica simples é composta pela parte inteira e parte decimal. A parte 
decimal é a repetição do seu período, conforme os exemplos a seguir. 
 
Exemplos: 
 
a) 1,2222… 
 
Parte inteira → 1 
Parte decimal → 
0,2222… Período 
→ 2 
 
b) 3,252525… 
 
Parte inteira → 3 
Parte decimal → 
0,252525… Período 
→ 25 
 
c) 0,8888… 
 
Parte inteira → 0 
Parte decimal → 
0,8888 Período 
→ 8 
 
Dízima periódica composta 
A dízima periódica composta é uma dízima que possui parte inteira, parte 
decimal e, em sua parte decimal, uma parte não periódica — conhecida como 
antiperíodo — e o período. 
ESCOLA MUNICIPAL: E.M.M.A 
 
PROFESSOR(A): JÚNIOR 
 
ÁREA DO CONHECIMENTO: MATEMÁTICA TURMA: 8º A e B 
 
HABILIDADE ESTRUTURANTE: 
(EF08MA05-A)(EF08MA05-B) NONA SEMANA 4º Bimestre 
Exemplos: 
 
a) 2,0666… 
 
Parte inteira → 2 
Parte decimal → 0,0666… 
Antiperíodo → 0 
Período → 6 
 
b) 13,518888… 
 
Parte inteira → 13 
Parte decimal → 0,51888… 
Antiperíodo → 51 
Período → 8 
 
c) 0,109090909… 
 
Parte inteira → 0 
Parte decimal → 0,10909090 
Antiperíodo → 1 
Período → 09 
 
 
O que é fração geratriz? 
Fração geratriz é a representação fracionária da dízima periódica, seja ela simples, seja 
composta. Como o nome sugere, a fração geratriz gera a dízima quando dividimos o 
numerador pelo denominador da representação fracionária. 
 
Exemplos: 
 
 
Passo a passo para calcular a fração geratriz 
Vejamos o passo a passo para a dízima periódica simples e para a dízima periódica 
composta. 
 
Dízimas periódicas simples 
Para encontrar a fração geratriz de uma dízima periódica simples, é necessário seguir alguns 
passos, sendo eles: 
 
1º passo: igualar a dízima periódica a x. 
 
2º passo: de acordo com a quantidade de algarismos do período, multiplicar os dois lados 
da equação por: 
 
10 → se houver 1 algarismo no período; 
100 → se houver 2 algarismos no período; 
 
1000 → se houver 3 algarismos no período; e assim sucessivamente. 
 
3º passo: calcular a diferença entre a equação encontrada no 2º passo e a equação 
igualada a x no 1º passo, e resolver a equação. 
 
Exemplo 1: 
 
Encontre a fração geratriz da dízima 1,444… 
x = 1,4444… 
O período é 4 e, como há apenas um algarismo no período, multiplicaremos por 10 dos 
dois lados: 
 
10x = 1,444… · 10 
10x = 14,444… 
 
10x – x = 14,444.. – 0,444… 
9x = 14 
x = 14/9 
 
Então, a fração geratriz da dízima é: 
 
 
Exemplo 2: 
 
Encontre a fração geratriz da dízima periódica 3,252525… 
x = 3,252525… 
O período é 25 e, como possui 2 algarismos, multiplicaremos por 100. 
 
100x = 3,252525… · 100 
100x = 325,252525… 
 
Agora calculando a diferença entre 100x e x: 
 
100x – x = 325,2525… – 3,252525… 
99x = 322 
x = 322/99 
 
Então, a fração geratriz da dízima é: 
 
 
Dízima periódica composta 
Quando a dízima periódica é composta, o que muda é que acrescentamos um novo passo 
na resolução para encontrar a fração geratriz. 
1º passo: igualar a dízima periódica a x. 
2º passo: transformar a dízima periódica composta em uma dízima periódica simples 
multiplicando por: 
 
10, se houver 1 algarismo no antiperíodo; 
 
100, se houver 2 algarismos no antiperíodo; e assim sucessivamente. 
 
3º passo: de acordo com a quantidade de algarismos do período, multiplicar os dois lados 
da equação por: 
 
10 → se houver 1 algarismo no período; 
100 → se houver 2 algarismos no período; 
1000 → se houver 3 algarismos no período; e assim sucessivamente. 
 
4º passo: calcular a diferença entre a equação encontrada no 3º passo e 2º passo, e 
resolver a equação. 
 
Exemplo: 
 
Encontre a fração geratriz da dízima 5,0323232… 
x = 5,0323232… 
Note que há 1 algarismo no antiperíodo, que é o 0. Multiplicaremos por 10 para que ela 
vire uma dízima periódica. 
 
10x = 5,0323232… · 10 
10x = 50,323232… 
 
Agora vamos identificar o período, que é 32. Como há 2 algarismos, multiplicaremos a 
dízima por 100. 
 
1000x = 5032,323232… 
Agora calculamos a diferença entre 1000x e 10x: 
1000x – 10x = 5032,323232… – 50,323232… 
990x = 4982 
x=4982/990 
 
Então, a fração geratriz é: 
Método prático 
Utilizamos o método prático para facilitar o processo de encontrar a fração geratriz da dízima 
periódica. Vamos analisar dois casos diferentes: quando a dízima periódica é simples e 
quando ela é composta. 
 
Método prático para dízimas periódicas simples 
Em uma dízima periódica simples, o método prático consiste em: 
 
1º passo: escrever a soma entre a parte inteira e a parte decimal da dízima periódica; 
 
2º passo: transformar a parte decimal em fração, da seguinte maneira: o numerador sempre 
será o período e o denominador será: 
 
9 → se houver 1 algarismo no período; 
99 → se houver 2 algarismos no período; 
999 → se houver 3 algarismos no período; e assim sucessivamente. 
3º passo: realizar a soma da parte inteira com a fração encontrada. 
Exemplo: 
5,888… 
 
5,888… = 5 + 0,888… 
 
Transformando 0,888… em fração, temos numerador igual a 8, pois 8 é o período da 
fração, e denominador igual a 9, pois há somente 1 algarismo no período, logo: 
 
 
Método prático para dízimas periódicas compostas 
Exemplo: 
 
Encontraremos a fração geratriz da dízima 4,1252525… 
 
Primeiro identificamos a parte inteira, o antiperíodo e o período da dízima composta: 
Parte inteira: 4 
Antiperíodo: 1 
 
Período: 25 
O numerador da dízima composta é a diferença entre o número formado pelos algarismos 
da parte inteira, antiperíodo e período, com o número formado pela parte inteira e 
antiperíodo. 
 
4125 – 41 = 4084 
No denominador, para cada número no período, acrescentamos um 9 e, na sequência, 
para cada número na parte não periódica, um 0. 
 
O período é 25, então acrescentamos 99; o antiperíodo é 1, então acrescentamos 0, logo o 
denominador é 990. 
 
A fração geratriz da dízima é: 
 
 
Exercícios resolvidos 
Questão 1 - Ao realizar a divisão entre dois números naturais, foi encontrada a dízima 
periódica 1,353535… A fração geratriz dessa dízima é: 
 
 
Resolução 
Alternativa C. 
Faremos x = 1,353535… 
 
Multiplicando por 100 dos dois lados, temos que: 
 
100 x = 135,3535… 
 
Agora calcularemos a diferença entre 100x e x. 
 
 
Questão 2 - Se x = 0,151515… e y = 0,242424…, a divisão y : x é igual a? 
 
 
Resolução 
Alternativa A. 
Encontrando as frações geratrizes pelo método prático, temos que: 
x = 0,151515… 
A dízima possui período igual a 15, logo seu numerador é 15, e o denominador, 99. 
 
 
Com o mesmo raciocínio para y = 0,242424…, o numerador é 24, e o denominador, 99. 
Exercícios sobre fração geratriz 
 
Questão 1- Desenvolvemos esta lista de exercícios sobre fração geratriz, a representação 
fracionária de uma dízima periódica, para você testar seus conhecimentos sobre o 
assunto.Publicado 
Analise a fração a seguir: 
 
 
Podemos afirmar que ela é a fração geratriz da dízima: 
 
A) 2,77… 
 
B) 0,62626262… 
 
C) 2,55… 
 
D) 0,2666… 
 
E) 0,27272727… 
 
Questão 2 - (MS Concursos) Sejam x e y dois números reais, sendo x = 2,333... e y = 
0,1212..., dízimas periódicas. A soma das frações geratrizes de x e y é: 
 
 
Questão 3 - Sobre as dízimas, julgue as afirmativas a seguir: 
 
I. A representação fracionária da dízima periódica é chamada de fração geratriz. 
 
II. As dízimas não periódicas possuem fração geratriz. 
 
III. Toda dízima periódica é um número racional. 
 
Marque a alternativa correta: 
A) Somente a afirmativa I é verdadeira. 
 
B) Somente a afirmativa II é verdadeira. 
 
C) Somente a afirmativa III é verdadeira. 
 
D) Somente a afirmativa II é falsa. 
 
E)Todas as afirmativas são verdadeiras. 
 
Questão 4 - Seja x = 1,123123… A diferença entre o numerador e o denominador da sua 
representação fracionária é: 
 
A) 123. 
 
B) 999. 
 
C) 321. 
 
D) 112. 
E)1122. 
Questão 5 - A fração geratriz de dízima periódica 3,151515… é igual a: 
 
 
Questão 6 (TRT) Renato dividiu dois números inteiros positivos em sua calculadora e obteve 
como resultado a dízima periódica 0,454545… Se a divisão tivesse sido feita na outra ordem, 
ou seja, o maior dos dois números dividido pelo menor deles, o resultado obtido por Renato 
na calculadora teria sido: 
 
A) 0,22. 
 
B) 0,222… 
 
C) 2,22. 
D) 2,222… 
 
E) 2,2. 
 
 
Questão 7 - A solução da expressão numérica a seguir é: 
 
9 · (1,2525… + 0,888..) 
 
 
Questão 8 - Analise os números reais a seguir: 
 
 
Podemos escrever como uma dízima periódica: 
 
A) somente II e III. 
B) somente I e II. 
C) somente III e IV. 
D) somente I, II e III. 
E) somente II, III e IV. 
 
Questão 9 - (Pref. de Niterói) Simplificando a expressão abaixo 
 
 
Obtém-se: 
 
 
Questão 10 - Durante os estudos dos números racionais, Eduardo encontrou como 
resultado de uma divisão o número 3,0121212… Com base no resultado encontrado por ele, 
julgue as afirmativas a seguir: 
 
I. O resultado é um número racional. 
 
II. O resultado é uma dízima periódica composta. 
 
III. O resultado não pode ser representado como uma fração. 
 
Marque a alternativa correta: 
 
A) Somente a afirmativa I é falsa. 
 
B) Somente a afirmativa II é falsa. 
 
C) Somente a afirmativa III é falsa. 
 
D) Todas as afirmativas são verdadeiras. 
 
E) Todas as afirmativas são falsas. 
 
Questão 12 - A fração geratriz da dízima 1,52222… é ? 
 
 
 
 
Questão 13 - Sobre as dízimas, julgue as afirmativas a seguir: 
 
I. Toda dízima possui uma fração geratriz. 
 
II. Uma dízima pode ser um número racional ou irracional. 
 
III. A representação decimal do número π é uma dízima periódica 
Marque a alternativa correta: 
A) Somente a afirmativa I é verdadeira. 
 
B) Somente a afirmativa II é verdadeira. 
 
C) Somente a afirmativa III é verdadeira. 
 
D) Somente a afirmativa I e II são verdadeiras. 
 
E) Somente as afirmativas II e III são verdadeiras. 
 
Respostas 
 
Questão 1 
Alternativa D. 
 
Para encontrar a representação fracionária, basta realizar a divisão de 12 por 45. 
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/divisao.htm
 
 
 
 
Questão 2 
Alternativa C. 
 
Primeiro encontraremos a fração geratriz de x e de y: 
 
x = 2,333… 
 
x = 2 + 0,333… 
 
Na dízima 0,333…, o período é igual a 3. Por meio do método prático, para transformar em 
uma fração, o numerador será 3 e, como há um único algarismo no período, o denominador 
será 9. 
 
 
Agora a fração geratriz de y terá numerador igual a 12 (que é o seu período) e denominador 
igual a 99, já que há dois algarismos no período. 
 
 
Vamos realizar, então, a soma x + y: 
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/fracao-geratriz.htm
 
 
Questão 3 
Alternativa D. 
 
I → Verdadeira, pois a fração geratriz é a representação fracionária da dízima. 
 
II → Falsa, pois a dízima não periódica não possui representação fracionária, somente 
dízimas periódicas possuem. 
 
III → Verdadeira, pois um número racional é aquele que possui representação fracionária, 
e a fração geratriz é essa representação. 
 
Questão 4 
Alternativa A. 
 
Primeiro encontraremos a fração geratriz de x: 
 
x = 1,123123… 
 
x = 1+ 0,123123… 
 
Na dízima periódica 0,123123…, 123 é o período e será o numerador da fração. Já o 
denominador será 999, pois há três algarismos no período. 
 
 
Com a fração geratriz, a diferença entre o numerador e o denominador será de: 
https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-dizima-periodica-e-fracao-geratriz.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/fracao.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/subtracao.htm
1122 – 999 = 123 
 
Questão 5 
Alternativa A. 
 
Seja x = 3,1515…, temos que: 
 
 
Questão 6 
Alternativa E. 
 
Primeiro vamos encontrar a fração geratriz da dízima 0,454545… Como o período é 45 e é 
composto por dois algarismos, ele será o numerador, e o denominador será 99. O exercício 
propõe uma divisão entre o denominador e o numerador, logo: 
 
99 : 45 = 2,2 
 
Questão 7 
Alternativa C. 
 
Para encontrar a solução, encontraremos a fração geratriz da dízima 1,252525… 
 
 
Também é necessário encontrar a fração geratriz da dízima 0,888… 
 
 
Agora, substituindo as dízimas pela sua fração geratriz, temos que: 
 
 
Questão 8 
Alternativa B. 
 
I → É uma dízima periódica. Se dividirmos 2 por 3, encontramos a dízima periódica 0,6666. 
 
II → É uma dízima periódica composta. É possível perceber que, em sua parte decimal, há 
uma parte não periódica e uma parte periódica. 
 
III → Não é uma dízima periódica. 
 
IV → Não é uma dízima periódica, pois, se dividirmos 1 por 2, encontraremos um número 
decimal exato. 
 
Questão 9 
Alternativa B. 
 
Primeiro encontraremos a fração geratriz da dízima 1,333.. 
 
1,333… = 1 + 0,333… 
 
A dízima 0,333… possui período 3 e denominador 9, então: 
 
 
Questão 10 
Alternativa C. 
 
I → Verdadeira, pois as dízimas periódicas são números racionais. 
 
II → Verdadeira, pois é possível perceber que, em sua parte decimal, há uma parte não 
periódica. 
 
III → O resultado não pode ser representado como uma fração. 
 
Questão 11 
Alternativa C. 
 
Seja x = 1,5222…, temos que: 
 
10x = 15,222… 
 
10x = 15 + 0,222… 
 
A fração geratriz de 0,222… possui numerador igual a 2 e denominador igual a 9, então: 
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numeros-racionais.htm
 
 
Questão 12 
Alternativa B. 
 
I → Falsa, pois as dízimas não periódicas não podem ser representadas como fração. 
 
II → Verdadeira, pois as dízimas periódicas são números racionais, e as dízimas não 
periódicas são números irracionais. 
 
III → Falsa, pois π = 3,14159265…, que é uma dízima não periódica. 
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numeros-irracionais.htm