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SEGUNDO TRABALHO – CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
PROFA IVETE BARALDI – 2º SEMESTRE DE 2011 
 
Em grupos de, no máximo, TRÊS alunos, resolver CINCO exercícios de cada um dos assuntos 1 e 
2. (TOTAL DE 10 EXERCÍCIOS). 
Entregar até dia 22/11/2011. 
 
 
Assunto 1: Centro de gravidade e Momento de inércia. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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5. 
6. 
 2 
 
 
REFERÊNCIAS PARA O ASSUNTO 1 
FLEMMING, D. M., GONÇALVES, M. B. Cálculo A – funções, limite, derivação, integração. 
São Paulo: Makron, 2007. 
LEITHOLD, L. O cálculo com geometria analítica. v. 1 e 2. 2. ed. São Paulo: HARBRA, 1982. 
STEWART, J. Cálculo. v. 1. 4. ed. São Paulo: Pioneira, 2001. 
SWOKOWSKI, E.W. Cálculo com geometria analítica. v. 1. 2. ed. São Paulo: Makron Books, 
1994. 
THOMAS, G. B. Cálculo. v. 1. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2002 
 
 
Assunto 2: Função Densidade de Probabilidade e outras funções 
 
FUNÇÃO DENSIDADE DE PROBABILIDADE – uma explicação 
Uma aplicação importante da integral definida envolve probabilidade. A probabilidade de um 
evento ocorrer é um número no intervalo fechado [0,1]. Quanto mais segura for a ocorrência de um 
evento, mais próxima de 1 será a probabilidade. Suponha que o conjunto de todos os resultados 
possíveis de uma dada situação seja o conjunto de todos números x em algum intervalo I. Por 
exemplo, x pode ser o número de horas da vida útil de um tubo de televisão, o número de minutos 
no tempo de espera por uma mesa em um restaurante, ou o número de centímetros na altura de uma 
pessoa. 
Algumas vezes é necessário determinar a probabilidade de que x esteja em algum subintervalo de I. 
Por exemplo, pode-se querer encontrar a probabilidade de um tubo de televisão durar de 2000 a 
2500 horas, ou a probabilidade de uma pessoa ter que esperar de 20 a 30 minutos por uma mesa em 
um restaurante, ou ainda que alguém escolhido ao acaso tenha uma altura entre 1,63m a 1,80m. 
Tais problemas envolvem o cálculo de uma integral definida chamada uma FUNÇÃO 
DENSIDADE DE PROBABILIDADE. As funções densidade de probabilidade são obtidas de 
experimentos estatísticos e as técnicas usadas fogem do contexto desse curso. Há duas propriedades 
que devem estar satisfeitas por uma função densidade de probabilidade em um intervalo fechado 
[a, b]. Elas são: 
1. f(x) ≥ 0 para todo x em [a,b] 
2. ∫a
b 
 f(x)dx = 1 
Definição de P([c, d]): Se f é uma função densidade de probabilidade no intervalo fechado [a, b] e 
[c, d] é um subintervalo de [a, b], então a probabilidade de que um particular evento irá ocorrer no 
intervalo [c,d] é denotada por P([c, d]), e P([c, d]) = ∫c
d 
 f(x)dx . 
EXEMPLO: Em certo armazém, a função densidade de probabilidade de 100x por cento dos 
pedidos serem atendidos por dia de trabalho é dada por f(x) = 12(x2 – x3) 0 ≤ x ≤ 1. 
a) Mostre que f satisfaz as duas propriedades requeridas por um a função densidade de 
probabilidade. 
1. Se 0 ≤ x ≤ 1, 12 x2 ≥ 12x3, e assim, 12(x2 – x3) ≥ 0 
2. ∫0
1
 12(x2 – x3)dx = 12 [x3/3 – x4/4]01 = 1 
 
b) Determine a probabilidade de que no máximo 70% dos pedidos sejam atendidos em 1 dia de 
trabalho. 
7. 
 3 
P([0; 0,70]) = ∫0
0,70 
 12(x2 – x3)dx = 12 [x3/3 - x4/4]00,70 = 0,6517 
 
c) Ache a probabilidade de que pelo menos 80% dos pedidos sejam atendidos em UM dia de 
trabalho. 
P([0,80; 1]) = ∫0,8
1
12(x2 – x3)dx = 12 [x3/3 – x4/4]0,801 = 0,1808 
 
OUTROS EXEMPLOS 
Suponha que a utilização de certa maquinaria resulte numa receita a uma taxa de 
R(x) = (1400 – 2x2) unidades monetárias por mês, se x meses se passaram desde a instalação da 
mesma. Além disso, vamos admitir que o custo de operação e manutenção do equipamento seja 
C(x) = 200 + x2 unidades monetárias por mês. Ache o lucro total obtido com a utilização do 
equipamento durante 20 meses. (ver figura) 
Observe que quando x = 20, R(x) = C(x); quando 0 ≤ x ≤ 20, 
R(x) > C(x) a utilização do equipamento mostra lucro; quando 
x >20, R(x) < C(x) o uso do equipamento não é rentável. O 
lucro total obtido da utilização do equipamento por 20 meses 
está relacionado com a área limitada pelas duas curvas, quando 
x está em [0,20]. Assim, o lucro total será: 
A = ∫020 [R(x) – C(x)]dx = ∫020 [ (1400 – 2x2) – (200 + x2)]dx = 
= ∫020 (1200 – 3x2)dx = [1200x – x3]020 = 1200(20) – (20)3 = 
= 24000 – 8000 = 16000 
Logo, o lucro total é $ 16000. 
 
EXERCÍCIOS – resolver CINCO deles 
1 – Para uma determinada empresa a função densidade de probabilidade de que 100x por cento de 
seus pedidos sejam atendidos é dada por f(x) = 3/10(x2 + 3) 0≤ x ≤ 1 
a) Mostre que f satisfaz as propriedades requeridas por uma função densidade de probabilidade. 
b) Ache a probabilidade de que pelo menos 90% dos pedidos semanais sejam atendidos. 
c) Determine a probabilidade de 70 a 90% dos pedidos semanais serem atendidos. 
 
2 – A função densidade de probabilidade de que determinado componente de um gravador de vídeo 
dure 1000x horas é dada por f(x) = 1/144(36 – x2) 0 ≤ x ≤ 6 
a) Mostre que f satisfaz as propriedades requeridas por um a função densidade de probabilidade. 
b) Determine a probabilidade de que o componente dure pelo menos 4000 horas. 
 
3 – A função densidade de probabilidade de que um tubo de televisão dure 1000x horas é dada por 
f(x) = 1/18(9 – x2) 0 ≤ x ≤ 5 
a) Mostre se f satisfaz as propriedades requeridas por um a função densidade de probabilidade. 
b) Se a f não satisfaz as propriedades requeridas por uma função densidade de probabilidade, nesse 
intervalo, em qual intervalo poderia satisfazer? Mostre por quê. 
c) Determine a probabilidade de que o componente dure pelo menos 2000 horas, segundo o 
intervalo determinado na letra b. 
 
4 – O uso de determinada máquina x meses após sua compra gera uma receita total a uma taxa de 
R(x) unidades monetárias mensais onde R(x) = 11000 – 3x2. O custo total de operação e 
manutenção da máquina aumenta com o tempo; assim, em x meses o custo total será C(x) unidades 
monetárias mensais, onde C(x) = 1000 + x2 
 4 
a) Faça uma figura mostrando esboços dos gráficos das funções R e C no mesmo conjunto de 
eixos. 
b) Determine o número de meses em que é rentável usar o equipamento 
c) Qual é o lucro total obtido com o uso do equipamento durante o número de meses determinado 
na parte b? 
 
5 – Uma certa máquina gera uma receita total a uma taxa de R(x) = 5000 – 10x2 unidades 
monetárias por ano, x anos após sua compra. Além disso, o custo total de operação e manutenção da 
máquina cresce com o tempo, de tal forma que em x anos o custo total será C(x) = 1760 + 30x2 por 
ano. 
a) Faça uma figura mostrando os esboços dos gráficos de R e C, no mesmo conjunto cartesiano; 
b) Por quantos anos é rentável operar a máquina? 
c) Qual o lucro total obtido quando se opera a máquina no número de anos determinado em b? 
 
6 – O uso de determinada máquina x meses após sua compra gera uma receita total a uma taxa de 
R(x) unidades monetárias mensais onde R(x) = 15000 – 80x2. O custo total de operação e 
manutenção da máquina aumenta com o tempo; assim, em x meses o custo total será C(x) unidades 
monetárias mensais, onde C(x) = 3000 + 40x2 
a) Faça uma figura mostrando esboços dos gráficos das funções R e C no mesmo conjunto de 
eixos. 
b) Determine o número de meses em que é rentável usar o equipamento 
c) Qual é o lucro total obtido com o uso do equipamento durante o número de meses determinado 
na parte b? 
 
7 – Numa certa comunidade, t dias após o início de uma epidemia, sua taxa de crescimento é f(t) 
pessoas por dia, onde f(t) = 100t – 6t2. 
a) Quantas pessoas são infectadas durante a primeira semana da epidemia? 
b) E no 8° dia de epidemia? 
 
8 – O número de mortes/ano relacionadas com a AIDS nos Estados Unidos é dado pela função 
f(t) = - 53,254t4 + 673,7t3 – 2801,07t2 + 8833,379t + 20000 (0≤ t ≤ 9) onde t = 0 corresponde ao 
início de 1988. Determine o número totalde mortes relacionadas com a AIDS nos Estados Unidos 
entre o início de 1988 e o final de 1996. 
 
 
REFERÊNCIAS PARA O ASSUNTO 2 
 
LEITHOLD, L. Matemática aplicada à economia e administração. São Paulo: Harbra, 1988. 
STEWART, J. Cálculo. v. 1. 4. ed. São Paulo: Pioneira, 2001. 
 
	OUTROS EXEMPLOS
	EXERCÍCIOS – resolver CINCO deles