Primeira Lista - Modelagem_2

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1) Um sapateiro faz 6 sapatos por hora, se fizer somente sapatos, e 5 cintos por hora, se fizer 
somente cintos. Ele gasta 2 unidades de couro para fabricar 1 unidade de sapato e 1 unidade de 
couro para fabricar uma unidade de cinto. Sabendo-se que o total disponível de couro é de 6 
unidades e que o lucro unitário por sapato é de $5,00 e o do cinto é de $2,00, pede-se: o modelo 
do sistema de produção do sapateiro, se o objetivo é maximizar seu lucro por hora. 
 
2) Uma rede de televisão local tem o seguinte problema: foi descoberto que o programa "A" 
com 20 minutos de música e 1 minuto de propaganda chama a atenção de 30.000 
telespectadores, enquanto o programa "B", com 10 minutos de música e 1 minuto de 
propaganda chama a atenção de 10.000 telespectadores. No decorrer de uma semana, o 
patrocinador insiste no uso de no mínimo 5 minutos para sua propaganda e que não há verba 
para mais de 80 minutos de música. Quantas vezes por semana cada programa deve ser levado 
ao ar para obter o número máximo de telespectadores? Construa o modelo do sistema. 
 
3) É preciso programar a produção agrícola alocando as atividades para três tipos de regiões. Os 
produtos cultivados podem ser trigo, algodão e soja. As características das regiões e dos 
produtos são mostradas nas tabelas abaixo. Defina um modelo para maximizar o lucro. 
 
Regiões Área Total (em alqueires) Disponibilidade de água por região (m3) 
A 400 600 
B 600 800 
C 300 375 
 
Produto Área máxima 
por produto 
(em alqueires) 
Consumo de água por 
área de terreno 
(m3/alqueire) 
Lucro por 
unidade de área 
($/alqueire) 
Trigo 600 3 400 
Algodão 500 2 300 
Soja 325 1 100 
 
4) Uma fábrica tem dois tipos de inspetores, I e II, responsáveis pelo controle de qualidade. Há 
necessidade de que pelo menos 1800 peças sejam inspecionadas em 8 horas por dia. Os 
inspetores do tipo I podem inspecionar peças numa taxa de 25 por hora, com uma confiabilidade 
de 95%. Já os inspetores do tipo II inspecionam 15 peças por hora com um confiabilidade de 
95%. Os salários são de R$4,00/hora para o inspetor I e de R$3,00/hora para o inspetor II. Cada 
erro de qualquer dos inspetores custa à fábrica R$2,00. Há disponíveis 8 inspetores tipo I e 10 
do tipo II. Construir o modelo para determinar o número ótimo de inspetores que minimizam o 
custo total de inspeção. 
 
 
 
 
 
5) Uma liga especial constituída de ferro, carvão, silício e níquel pode ser obtida usando a 
mistura desses minerais puros além de 2 tipos de materiais recuperados: 
 
Material Recuperado 1 - MR1 - Material Recuperado 2 - MR2 - 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO 
 
Pesquisa Operacional I - CEA406 
Primeira Lista de Exercícios – Modelagem de Problemas 
Professor: Alexandre Xavier Martins 
 
Composição 
ferro - 60% 
carvão - 20% 
silício - 20% 
Custo por Kg: $0,20 
Composição 
ferro - 70% 
carvão - 20% 
silício - 5% 
níquel - 5% 
Custo por Kg: $0,25 
 
A liga deve ter a seguinte composição final: 
 
Matéria-prima %Mínima %Máxima 
Ferro 60 65 
Carvão 15 20 
Silício 15 20 
Níquel 5 8 
 
O custo dos materiais puros são (por Kg): ferro: $0,30; carvão: $0,20; silício: $0,28; 
níquel:$0,50. Qual deverá ser a composição da mistura em termos dos materiais disponíveis, 
com menor custo por Kg ? Construa o modelo de decisão. 
 
6) Uma empresa fabrica 2 modelos de cintos de couro. O modelo M1, de melhor qualidade, 
requer o dobro do tempo de fabricação em relação ao modelo M2. Se todos os cintos fossem do 
modelo M2, a empresa poderia produzir 1.000 unidades por dia. A disponibilidade de couro 
permite fabricar 800 cintos de ambos os modelos por dia. Os cintos empregam fivelas 
diferentes, cuja disponibilidade diária é de 400 para M1 e 700 para M2. Os lucros unitários são 
de $4,00 para M1 e $3,00 para M2. Construa, o modelo para otimizar o sistema descrito. 
 
7) Um vendedor de frutas pode transportar 800 caixas de frutas para sua região de vendas. Ele 
necessita transportar 200 caixas de laranjas a $20,00 de lucro por caixa, pelo menos 100 caixas 
de pêssegos a $10,00 de lucro por caixa, e no máximo 200 caixas de tangerinas a $30,00 de 
lucro por caixa. Construa o modelo do problema. 
 
8) Um fabricante de tiras metálicas recebeu um pedido para produzir 2000 tiras de tamanho 2 
cm x 4 cm e 1000 tiras de 4 cm x 7 cm. As tiras podem ser produzidas a partir de chapas 
maiores disponíveis nos tamanhos de 10 cm x 3000 cm e 11 cm x 2000 cm. O departamento 
técnico encarregado de planejar o atendimento ao pedido decidiu que os padrões de corte 
mostrados na figura a seguir são adequados para produzir as tiras encomendadas. Formule um 
modelo de programação linear que permita minimizar o material usado (ou minimizar as perdas) 
no atendimento à encomenda. 
 
 
9) Um jovem atleta indeciso sente-se atraído pala prática de dois esportes: natação e ciclismo. 
Sabe por experiência que: 
A natação exige um gasto em mensalidade do clube e deslocamento até a piscina que pode ser 
expresso em um custo médio de 3 reais por seção de treinamento de 2 horas. 
O ciclismo, mais simples, acaba custando cerca de 2 reais pelo mesmo tempo de prática. 
O orçamento do rapaz dispõe de 70 reais para seu treinamento. 
Seus afazeres de aluno de graduação na universidade lhe dão liberdade de empregar, no 
máximo, 18 horas mensais e 80.000 calorias para os esforços físicos. 
Cada seção de natação consome 1.500 calorias, enquanto cada etapa ciclística gasta 1.000 
calorias. Considerando que o rapaz goste igualmente de ambos os esportes o problema consiste 
em planejar seu treinamento de forma a maximizar o número de seções de treinamento. 
 
10) Um investidor deseja investir certa quantidade de dinheiro em ações. Ele está avaliando 
diferentes empresas para investir e estima o retorno de seu investimento em um ano. A Tabela 1 
abaixo mostra para cada empresa seu país de origem, a categoria de risco (A: Alto, B: Baixo), e 
a expectativa de retorno para cada unidade monetária investida. Para diminuir o risco ele 
determinou que não deve ser investido mais que 30% do total em nenhuma empresa, que no 
mínimo metade deve ser investidos em empresas norte americanas e não mais um terço em 
empresas de alto risco. Como deve ser investido o dinheiro do investidor de maneira a obter o 
maior retorno? 
Número Ramo País Risco Retorno 
1 Farmacêutico Canadá B 5 
2 Computadores EUA A 17 
3 Entretenimento EUA B 26 
4 Comunicações EUA A 12 
5 Software Inglaterra B 8 
6 Construções França B 9 
7 Carros Alemanha B 7 
8 Banco Holanda B 6 
9 Internet Índia A 31 
10 Eletrônicos Japão A 21 
Tabela 1 
 
11) Uma empresa siderúrgica possui 3 usinas e cada uma delas requer quantidade mensal 
mínima de minério para operar. A empresa adquire minério de 4 minas diferentes. Cada uma 
das minas tem uma capacidade máxima de produção mensal estabelecida. Por imposições 
contratuais, o custo do minério para a empresa é composto por um custo fixo mensal para cada 
mina (este valor é pago em caso de haver produção na mina), mais um custo de transporte ($/t) 
que varia de acordo com a distância entre as minas e usinas (cada par mina/usina tem um custo 
diferente). Os dados são mostrados na tabela a seguir: 
Minas Usina 1 Usina 2 Usina 3 Cap. Máx. das 
Minas (t/mês) 
Custo 
Fixo ($) 
Mina 1 ($/t) 10 8 13 11500 50000 
Mina 2 ($/t) 7 9 14 14500 40000 
Mina 3 ($/t) 6,5 10,8 12,4 13000 30000 
Mina 4 ($/t) 8,5 12,7 9,8 12300 25500 
Quant. Req. (t/mês) 10000 15400 13300 - - 
 
 
Construir um modelo de otimização para determinar a quantidade de minério a ser comprada de 
cada mina e levada a cada usina de forma a minimizar o custo total de compra de minério. 
 
12) O administrador de um hospital deseja determinar a escala dos enfermeiros. Para isso ele 
organiza um sistema de plantão dividindo o dia em 6 períodos de 4 horas. A tabela a seguir 
mostra o número mínimo de enfermeiros que devem estar presentes em cada horário. 
 
Horário 8-12 12-16 16-20 20-24 24-04 04-08 
# enfermeiros 51 58 62 41 32 19 
 
 
Cada enfermeiro cumpreum plantão de 8 horas, que pode começar apenas no início de um 
destes períodos. No horário de 8 às 20 horas, o enfermeiro recebe R$100 por hora de trabalho e 
R$125 por hora de trabalho noturno (20 horas às 08 horas). Construa o modelo de programação 
matemática que faça a escala dos enfermeiros de modo a minimizar o custo de mão-de-obra. 
 
13) Certa empresa trabalha com a produção de etiquetas autocolantes. O papel usado para sua 
confecção encontra-se em bobinas de mesmo comprimento. A largura das bobinas é de 50 cm. 
As encomendas para a próxima semana impõem a necessidade mínima de se cortarem 32 
bobinas de 15 cm de largura, 17 bobinas de 17,5 cm de largura e 21 bobinas de 20 cm de 
largura. E política da empresa manter em estoque o excedente ao pedido em quantidade máxima 
de 10 bobinas cortadas de acordo com a encomenda. Esta ação evita a imobilização de capital. 
A tabela abaixo relaciona os possíveis padrões de corte, tendo em vista as encomendas. 
 
Padrões de Corte Largura da faixa cortada Desperdício (cm) 15 cm 17,5 cm 20 cm 
1 3 0 0 5 
2 2 1 0 2,5 
3 1 2 0 0 
4 2 0 1 0 
5 0 1 1 12,5 
6 0 0 2 10 
 
 
 
14) Numa determinada região, o problema da poluição atmosférica tornou-se crítico devido a emissão de 
um poluente por um certo número n de fábricas. Este poluente é liberado pela queima de m combustíveis 
para a produção da energia necessária. Cada fábrica j necessita diariamente ej unidades de energia. Cada 
tonelada de combustível i, cujo custo é ci, produz aij unidades de energia e emite pij unidades do poluente, 
quando utilizada na fábrica j. Deseja-se que a emissão diária do poluente para a região não exceda a k 
unidades. Formular o problema de modo a minimizar o custo total de energia para as n fábricas. 
 
15) Um mineradora possui F frentes de minério. O minério explorado possui E elementos químicos que 
interessam na mistura final. O minério de cada frente possui um teor químico específico para cada 
elemento. Os pedidos de cada cliente chegam contendo as seguintes especificações: Peso total do pedido, 
teor máximo de cada elemento químico na mistura final, teor mínimo de cada elemento químico na 
mistura final, teor desejado de cada elemento químico na mistura final. Construa um modelo de 
programação linear que resolva o problema atendendo as especificações do cliente com o objetivo de 
encontrar a solução mais próxima do teor desejado.