FICHA DE EXERCÍCIOS DE I O 2024

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Docente: Msc.Fernando Vahanlé 
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 Ficha de Programação Linear 2024 
 Lê atentamente as questões que se seguem e responde-as justificando os passos cruciais. 
 
1. Uma indústria processa três tipos de fibra sintética: A,B e C usando as mesmas máquinas. No 
Departamento responsável pela mistura de componentes que dispõe de 200 horas por mês, a 
produção é limitada a 2 horas por tonelada da fibra A, 4 horas da fibra B e 3 da fibra C. No 
Departamento responsável pela embalagem as necessidades são de 6 horas por tonelada da fibra 
A, 8 horas da fibra B e 5 horas para a fibra C, com um total de 480 horas disponíveis de máquina 
por mês. Para o Departamento de corte as necessidades são de 10, 6 e 7 horas por toneladas das 
fibras A, B e C respectivamente. Esse departamento pode utilizar no mínimo 400 horas de máquina 
por mês. Outros departamentos limitam-se na produção da fibra B a um máximo de 35 toneladas 
por mês. O lucro é de 8 u.m., 10 u.m. e 9 u.m. por tonelada da fibra A,B e C respectivamente. 
 
a) Formule o modelo económico do problema de programação linear sabendo que a empresa 
deseja determinar as quantidades mensais das fibras que devem ser produzidas de forma a maximizar 
os lucros. 
b) Resolve pelo método simplex. 
 
2. Um paciente num Hospital necessita no mínimo de 84 unidades de um medicamento M1 e 120 
unidades de um outro medicamento M2 por dia. Cada grama de substância A contém 10 unidades 
de M1 e 8 de M2. Cada grama de B contém 2 unidades de M1 e 4 de M2. Se cada grama de A custa 
3um e de B custa 1 um. Qual será o modelo matemático que determina custo mínimo que este 
deverá ser cobrado? Resolve graficamente. 
 
 
Universidade Lúrio 
Faculdade de Engenharia 
Campus Universitário - Bairro Eduardo Mondlane 
 
 
Curso: Licenciatura em Engenharia Geologica e Civil (LEG / LEC) 
Disciplina: Investigação Operacional 
Ano: 4º e 2º Semestre: 1ᵒ Ano Lectivo:2024 
Docente: MSc. Fernando Vahanlé Data: 18/02/2024 
 
 
 
 
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3. Uma companhia de aluguer de camiões possui dois tipos: o tipo A com 2𝑚3 de espaço 
refrigerado e 4𝑚3 de espaço não refrigerado e o tipo B com 3𝑚3 refrigerado e 2𝑚3 não refrigerado. 
Uma fábrica de produtos alimentícios precisou de transportar 18𝑚3 de produto refrigerado e 12𝑚3 de 
produto não refrigerado. Sabendo que o aluguer do camião do tipo A custa 30 u.m. e do tipo B custa 
40 u.m. por 𝑘𝑚. Quantos camiões de cada tipo devem ser alugados de modo a minimizar o custo. 
a) Elabore o modelo matemático de programação linear. 
b) Resolve pelo método gráfico. 
c) Pelo Método simplex, efectue uma iteração da primeira fase e indica a solução básica 
Inicial, tendo em conta que o seu objectivo é de minimizar o seu dinheiro. 
A solução Básica é viável? Justifique. 
 
4. Uma carpintaria dispõe de 24 pranchas, 37 cantoneiras e 8 caixas de parafusos de aço para a 
produção de um imobiliário escolar. Uma carteira requer 1, 3 e 2 unidades de pranchas, cantoneiras e 
caixas de parafusos. Uma mesa necessita de 3,4 e 1 unidades respectivamente. Se a carteira é vendida 
a 20u.m. e a mesa 30u.m. Quantas carteiras e mesas deve este fazer de modo a obter o maior 
rendimento bruto? Resolve graficamente. 
 
5. Um estaleiro dispõe de 600kg de cimento, 150 latas de areia e 5000L de água para o fabrico de 
blocos, Grelhas e Lajes. Cada bloco necessita de 3kg, 1 lata e 10L de cimento, areia e água 
respectivamente. Uma grelha necessita de 2kg de cimento, 2 latas de areia e 8 litros de água, a Laje 
consome 70kg, 8 latas e 40L de cimento, areia e água respectivamente. Se um kg de cimento custou 
10u.m, uma lata de areia 3u.m e 1 litro de água 1u.m. e, o bloco, Grelha e laje são vendidos 
respectivamente a 50u.m, 45u.m e 1500u.m. Determine o lucro usando o algoritmo simplex. 
 
6. Uma empresa de fundição extrai chumbo e zinco a partir de dois tipos de sucata. O tipo Acusta 
60€/t e, em média, permite a extracção de 100kg de chumbo e 100kg de zinco por tonelada de 
sucata. A sucata de tipo B custa 100€/t e, em média, permite a extracção de100kg de chumbo e 
300kg de zinco, por tonelada de sucata. Supondo que as vendas diárias são de pelo menos 3 
toneladas de chumbo e 4 toneladas de zinco, formalize o problema. 
 
7. Uma empresa produz dois tipos de cintos, A e B. Cada tipo de cinto A exige o dobro dotempo 
necessário à fabricação de um cinto do tipo B, e a empresa pode fabricar diariamente 1000 cintos 
do tipo B. 
A quantidade de cabedal fornecido à empresa é apenas suficiente para fabricar 
diariamente 800 cintos. O cinto do tipo A necessita de uma fivela de luxo e só se dispõe diariamente 
de 400 destas fivelas, enquanto para o cinto do tipo B podem-se dispor de 700 fivelas. Formalize o 
problema sabendo que as margens brutas unitárias dos cintos do tipo A e B são de 1.6€ e 1.7€, 
respectivamente. 
a) Resolva graficamente o problema, esboçando o espaço de soluções e a função de custo. 
 
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b) Haverá alteração da solução óptima caso a margem bruta unitária dos cintos do tipo A passar a 
ser de 2€? Esboce a nova função de custo e verifique se a mesma está de acordo com o resultado 
obtido. 
 
8. Um comboio a diesel necessita de um maquinista, um guarda, dois funcionários de limpeza e 4 
mecânicos para o pôr em circulação, enquanto que um comboio eléctrico requer um maquinista, dois 
guardas, um funcionário de limpeza e 3 mecânicos. A estação local tem 60 comboios a diesel, 40 
comboios eléctricos, 80 maquinistas, 120 guardas, 240 funcionários de limpeza e 240 mecânicos. 
a) Modele o problema. 
b) Determine pelo método simplex o número máximo de comboios que podem estar em circulação 
ao mesmo tempo. 
 Quantos maquinistas, guardas, mecânicos, funcionários de limpeza podem ser dispensados sem causar 
prejuízo dos comboios continuarem a circular? 
 
9.Uma empresa produz dois tipos de rações caninas: ração Tobi e Rex, utiliza neste processo cereais e 
carne. Sabe-se que: 
• A ração Tobi utiliza 5kg de cereais e 1kg de carne, a ração Rex utiliza 4kg de carne e 2kg 
de cereais. 
• Um pacote de ração Tobi custa 200mt e o pacote de ração Rex custa 300mt. 
• O kg de carne custa 40mt e o de cereais 10mt. 
• Estão disponíveis por mês 100 kg de carne e 300kg de cereais. 
a) Represente o modelo primal do problema tendo em conta que o objectivo da 
empresa é de maximizar lucros. 
b) Represente o modelo dual. 
c) Se esta pretende revender os cereais e/ou carne. Qual será o preço de oportunidade? 
Resolver graficamente. 
 
10. Dois países A e B, emprestam dinheiro a outro país C. Por cada unidade monetária concedida pelo 
país A, este cobra anualmentedo país C, uma tonelada de cortiça, 5 toneladas de trigo e 3 toneladas de 
peixe. Por cada unidade monetária concedida pelo país B, são cobrados anualmente ao país C, uma 
tonelada de cortiça, 2 toneladas de trigo e 8 toneladas de peixe. Anualmente o país C não tem disponível 
mais de 20 toneladas de cortiça, 100 toneladas de trigo e 120 toneladas de peixe. Sabendo que por cada 
unidade monetária emprestada, o país C recebe do país A 500 espingardas e do país B 300 
metralhadoras. Pelo método gráfico determine o número máximo de armas que C pode adquirir por este 
processo. 
11. A Sr.ͣ Maria Inês Moiane Dove possui um terreno de 9900m², recebendo uma proposta do grupo 
Privinvest onde pretende construir um conjunto de moradias em Moçambique. As moradias a construir 
nesse terreno são de três tipos: Tipos I, II e II. Cada moradia de Tipo I ocupa 170m² e permite obter um 
lucro de 3000 euros; cada uma do Tipo II ocupa 120m² e permite obter um lucro de 2000 euros; e cada 
 
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uma do Tipo III ocupa 70m² e permite obter um lucro de 1000 euros. A Empresa sabe que o projecto de 
urbanização será aprovado se e só se: 
• A área ocupada pelas moradias dos Tipo I e II não for superior a 5100m²; 
• Forem construídas pelo menos 20 moradias do Tipo III; 
• Forem reservados 2000m² para jardins, vias e aparcamentos (os custos de construção 
destes serão suportados pela Câmara Municipal) 
O estudo do mercado efectuado mostra que todas moradias construídas serão vendidas. Formule este 
problema de acordo com um modelo de programação linear. 
12. Uma companhia possuía, há 10 anos duas minas: a mina A produzindo por dia 1 tonelada de minério 
de alto teor, 3 toneladas de minério de médio teor e 5 toneladas de minério de baixo teor; a mina B 
produzia por dia 2 toneladas de cada um dos teores. A companhia precisou de 80 toneladas de minério 
de alto teor, 160 de médio teor e 200 de baixo teor. Usando o método simplex de duas fazes determine 
quantos dias funcionou, se custava 200 u.m. por dia para se fazer funcionar cada uma. 
 
13. Uma empresa de construção de edifícios recorre a dois computadores A e B para projectar 
plantas de construção. Cada período de utilização do computador A é de 4 horas, custa à 
empresa 20 dólares e desenha 1200 projectos, enquanto que o período de utilização do 
computador B é de 3 horas e custa a empresa 50 dólares, traçando em contrapartida 1900 
projectos. Sabendo que a empresa não consegue desenhar automaticamente todos os projectos 
em 84 horas e com 760 dólares que dispõe para a utilização dos computadores. 
a) Modele o problema de modo a obter o número máximo de projectos? 
Quantas vezes a empresa deve programar para o uso do computador A e B de modo a desenhar 
o máximo número de projectos? 
14.Uma rede de televisão local descobriu que o programa A com 20 minutos de música e 1 
minuto de propaganda chama a atenção de 30.000 telespectadores, enquanto o programa B 
com 10 minutos de música e 1 minuto de propaganda chama a atenção de 10.000 
telespectadores. No decorrer de uma semana, o patrocinador insiste no uso de no mínimo, 5 
minutos para a sua propaganda e que não há verba para mais de 80 minutos de música. 
a) Efectue uma iteração do método simplex de grande M para determinar quantas 
vezes por semana cada programa deve ser levado ao ar para obter o número 
máximo de telespectadores. 
b) Determine o modelo dual do problema primal. 
 
15. Um vendedor de frutas pode transportar 800 caixas para sua região de vendas. Ele necessita 
transportar 200 caixas de laranjas a 20u.m. de lucro por caixa, pelo menos 100 caixas de 
pêssegos a 10u.m. de lucro por caixa e no máximo 200 caixas de tangerinas a 30u.m. de lucro 
 
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por caixa. De que forma deverá ele carregar o camião para obter o lucro máximo? (Resolve 
graficamente). 
16. As existências actuais de tábuas numa fábrica de serração são constituídas por pranchas de 
madeira de 70 cm de comprimento. Esta fábrica tem uma encomenda de 50 pranchas de 22 cm e 
25 pranchas de 20 cm (todas as pranchas têm a mesma largura). Pretende-se satisfazer a 
encomenda por forma a minimizar o desperdício de madeira, o qual é constituído pelos restos e 
pelas pranchas produzidas a mais. Formule este problema como um problema de programação 
linear, interpretando claramente as variáveis de decisão, restrições e a função objectivo. 
17.Considere que se pretende produzir dois bens A e B. Utilizam-se na produção duas matérias 
primas C e D. Para o efeito podem utilizar-se dois processos tecnológicos: 
1) Para produzir 5 unidades de A e duas unidades de B são necessárias, 1 
unidade de C e 3 de D. 
2) Para produzir 3 unidades de A e 8 unidades de B são necessárias 4 unidades 
de C e 2 de D 
Sabe-se ainda que, durante o período de planeamento, dispomos de 100 unidades de “C” 
e de 150 unidades de “D”. Por outro lado, pretende-se produzir pelo menos 200 
unidades de A e 75 de B. 
Pretende-se maximizar a produção de A+B durante o período de planeamento. 
18. Uma empresa de serviços de cedência de pessoal-Modus apresenta duas actividades : 
registo de pessoal para que conste da sua base de dados (actividades que não dá lucro, mas 
apresenta um custo de 15 u.m por candidato) e a colocação do pessoal seleccionado nas 
empresas clientes que apresentam solicitações concretas (actividade que rende 10 u.m. por 
individuo colocado por dia). A empresa pretende garantir um lucro mínimo por dia de75 u.m., 
calculado pela diferença entre os custos de organização e os rendimentos líquidos da colocação. 
O Director Geral da Modus dedica no máximo 1 hora e 15 minutos por dia ao 
acompanhamento das colocações, por forma a garantir um controlo permanente de qualidade. 
Para isto, dedica-se ao conhecimento de cada candidato angariado através de uma pequena 
reunião de 5 minutos, mantendo depois um contacto diário também de igual tempo com cada 
individuo colocado. 
Quanto maior for o número de candidatos angariados por dia, maior é o risco do 
insucesso da sua colocação posterior. Pode-se dizer que o risco aumenta de forma directamente 
proporcional ao número de angariações. Por outro, quanto maior o número de colocações, 
menor o risco do seu insucesso. Poder-se-á dizer que cada colocação contribuirá duas vezes para 
a diminuição do risco de insucesso do processo. 
 
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Pretende-se determinar graficamente o número de angariações e colocações diárias 
necessárias, por forma a minimizar o risco de más colocações. 
 
19. Uma empresa após um processo de racionalização de produção, ficou com disponibilidade de 3 
recursos produtivos R1, R2 e R3. Um estudo sobre o uso desses recursos indicou a possibilidade de se 
fabricar dois produtos P1 e P2. Levantando os custos e consultando o departamento de vendas sobre o 
preço de colocação no mercado, verificou-se que P1 daria um lucro de 120 u.m. por unidade e P2 , 150 
u.m. por unidade. O departamento de produção forneceu a seguinte tabela de uso de recursos. 
Produto Recurso R1 por unidade Recurso R2 por unidade Recurso R3 por unidade 
P1 2 3 5 
P2 4 2 3 
Disponibilidade de 
Recursos por Mês 
100 90 120 
 
Resolve Pelo método simplex tendo em vista que o objectivo é determinar o lucro máximo. 
 
20. O ferro Ø16 necessário para as armaduras das sapatas, pilares e vigas de um pavilhão industrial 
chega à obra em atados de 200 varões de 12 metros de comprimento. Estudos efetuados pelo 
gabinete de preparação de obra permitiram identificar as necessidades de ferros com cada um 
dos comprimentos identificados,conforme indicado na tabela seguinte: 
Comprimento de varões (m) Quantidade necessária (No) 
4 60 
5 20 
6 50 
 
Formule o problema de programação linear que lhe permita minimizar os desperdícios de ferro. 
 
21. Um representante de uma marca de equipamento de fotocópia decidiu reorganizar o seu 
departamento de assistência pós-venda, que apresenta como principal receita a venda de peças 
sobresselentes. Para dinamizar as vendas e incentivar os clientes a manter o equipamento já 
adquirido, desenvolveu uma campanha de incentivos à compra de peças de substituição, em vez 
do vulgar conceito “ utilize, deite fora e compra novo”. Para isso, a oferta tabalho de 
assistência ao mesmo tempo deu a conhecer as vantagens da compra de uma peça que 
 
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aumentará a resistência das máquina, que rende 10 u.m. ao representante. O trabalho de 
montagem custa 10 u.m. por hora. A empresa conta com 5 tecnicos de assistência que 
trabalham 8 horas diárias. Por questões de gestão de stock é necessário vender pelo menos 20 
peças por semana. Por questões de controlo de gestão, o departamento de vendas cobra 2 u.m. 
ao departamento de assistência pós-venda, por cada peça vendida, mas paga 2 u.m. por cada 
hora de trabalho de manutenção. A dívida ao departamento de vendas não pode contudo 
exceder 80 u.m. por semana. Resolve graficamente tendo e vista que o objectivo é de 
maximizar o lucro. 
22.A Whitt Window Co. é uma empresa com apenas três funcionários que fazem dois tipos 
diferentes de janelas feitas à mão: uma com esquadria de alumínio e outra com esquadria de 
madeira. Eles têm um lucro de US$ 60 por janela com esquadria de madeira e de US$ 30 para 
janela com esquadria de alumínio. João faz as de esquadria de madeira e é capaz de construir 
seis delas por dia. Maria faz as janelas com esquadrias de alumínio e é capaz de construir 
quatro delas por dia. Roberto monta e corta os vidros e é capaz de fazer 48m2 /dia. Cada janela 
com esquadria de madeira usa 6m2 de vidro e cada janela com esquadria de alumínio usa 8m2 
de vidro. A empresa quer determinar quantas janelas de cada tipo de esquadria podem ser 
fabricadas diariamente para maximizar o lucro total. Efectue uma iteracção pelo método 
simplex. 
23.Em resposta ao projeto Sustenta, um agricultor pretende cultivar 80 ha de terra com Arroz e 
Milho de modo a maximizar a receita por área de cultivo, no distrito de Pemba Metuge. A 
cultura de arroz e milho necessitam respectivamente de 8000m3 e 1500m3 de água por hectare 
e, o projeto dispõe para o sistema de regadio 320000m3. O volume de trabalho necessita de 40 
e 20 de Mão-de-obra nos campos de arroz e milho respectivamente e estão disponíveis 2000 
trabalhadores. Sabendo que as receitas resultantes de cada hectare de Arroz e Milho são 300 e 
200 euros, respectivamente. Suponha que oportunamente uma mineradora pretenda comprar a 
área de cultivo para uma prospessão. Modele o problema de modo que permita determinar o 
custo mínimo. 
24.Um fabricante dispõe de 24, 37 e 18kg de madeira, plástico e aço, respectivamente. O 
produto A requer 1, 3 e 2kg de madeira, plástico e aço e o produto B requer 3, 4 e 1 quilos, 
 
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respectivamente. Se A é vendido por 20u.m. e B por 30 u.m, quantos kg de cada produto ele 
deve fazer de modo a obter o máximo rendimento bruto. Formule o problema de programação 
linear e resolva-o pelo método gráfico. 
25.Um padeiro dispõe de 150, 90 e 150 unidades dos ingredientes A, B e C respectivamente. 
Cada pão necessita de 1 unidade de A, 1 de B e 2 de C, e um bolo precisa de 5, 2 e 1 unidades de 
A, B e C, respectivamente. Se um pão é vendido a 35 u.m., e um bolo é vendido por 80 u.m. 
Como deve o padeiro distribuir as matérias-primas disponíveis de modo a obter o maior lucro? 
Elabore o modelo matemático correspondente a este problema de programação linear. 
26.Uma companhia fabrica dois produtos P1 e P2 que utilizam os mesmos recursos produtivos: 
matéria-prima, montagem e polimento. Cada unidade de P1 exige 4 horas de montagem, 2 h de 
polimento e utiliza 100 unidades de matéria-prima. Cada unidade de P2 requer 2 horas de 
montagem, 3 h de polimento e 200 unidades de materia-prima. O preço de venda de P1 é 1.900 
u.m. e de P2, 2.100 u.m. Toda produção tem mercado garantido. As disponibilidades são de: 
20h de montagem; 10h de polimento e 500 unidades de matéria-prima, por dia. Elabore o 
modelo linear para o problema. 
27.Cada kg do alimento A custa 85 u.m. e contém 2 unidades de proteína, 6 de hidrato de 
carbono e 1 de gordura. O alimento B que pode se comprar a 45u.m. por kg, contém 1, 1 e 3 
unidades, daqueles produtos, respectivamente. Supondo que as necessidades semanais mínimas 
de uma pessoa são 8 unidades de proteínas, 12 de hidrato de carbono e 9 de gordura. Elabore o 
modelo económico - matemático de forma que a pessoa economize os seus gastos. 
28.Uma empresa fabrica dois produtos, A e B. O volume de vendas de A e de, no mínimo, 80% 
do total de vendas de ambos (A e B). Contudo, a empresa não pode vender mais do que 100 
unidades de A por dia. Ambos os produtos usam uma materia-prima cuja disponibilidade 
máxima diária e 240 lb. As taxas de utilizacão da matéria-prima são 2 lb por unidade de A e 4 lb 
por unidade de B. Os lucros unitários para A e B são $ 20 e $ 50, respectivamente. Construa o 
modelo para a resolução deste problema. 
29. Uma pequena manufactura produz dois modelos, Standart e Luxo, de um certo produto. 
Cada unidade do modelo standart requer 3 horas de lixa e 1 hora de polimento. Cada unidade 
do modelo de luxo exige 1 hora de lixa e 4 horas de polimento. A fábrica dispõe de 2 lixadores e 
3 polidores, cada uma trabalha 40 horas semanais. As margens de lucro são 24 e 32 unidades 
de medida, respectivamente, para cada unidade standart e luxo. Não existem restrições de 
demanda para ambos os modelos. Elabore um modelo de programação linear que permita 
calcular a produção semanal que maximiza a margem total de lucro do fabricante. 
30. O ChemLabs usa as matérias-primas I e II para produzir dois produtos líquidos para limpeza 
doméstica, A e B. As disponibilidades diárias das matérias-primas I e II são de 150 e 145 
 
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unidades, respectivamente. Uma unidade do produto A consome 0,5 unidade da matéria-prima 
I e 0,6 unidade da materia prima II, e uma unidade do produto B usa 0,5 unidade da matéria-
prima I e 0,4 unidade da matéria prima II. Os lucros por unidade dos produtos A e B são de $ 8 e 
$ 10, respectivamente. A demanda diária do produto A varia entre 30 e 150 unidades, e a do 
produto B, entre 40 e 200. Formule o modelo que maximize o lucro da firma. 
31.Certa empresa fabrica dois produtos P1 e P2. O lucro unitario do produto P1 é de 1000 
unidades monetárias (u.m.) e o lucro unitário de P2 é de 1800 u.m. A empresa precisa de 20 
horas para fabricar uma unidade de P1 e de 30 horas para fabricar uma unidade de P2. O tempo 
anual de produção disponível para isso é de 1200 horas. A demanda máxima esperada para 
cada produto é de 40 unidades anuais para P1 e 30 unidades anuais para P2. Ajude a empresa a 
definir o plano produção que maximiza o lucro, construindo o modelo de programação linear 
para esse caso. 
32.Bolos e Pães é uma fábrica de processamento de alimentos que produz salsichas e pães para 
cachorro-quente. A empresa moe sua propria farinha para fazer os pães em uma taxa máxima 
de 200 libras (peso) por semana. Cada pãozinho para cachorro-quente requer 0,1 libra de 
farinha. Actualmente, possui um contrato com a Pigland, Inc. que especifica que uma entrega 
de 800 libras de carne bovina é entregue toda segunda-feira. Cada salsichaprecisa de 1/4 de 
libra de carne bovina. Todos os demais ingredientes para fabricação de salsicha e pães se 
encontram em estoque pleno. Finalmente, a força de trabalho da empresa é formada por cinco 
empregados em período integral ( 40 h/semana cada). Cada salsicha requer três minutos de 
trabalho e cada pãozinho, dois minutos. Cada salsicha gera um lucro de US$ 0,20 e cada 
pãozinho, US$ 0,10. A empresa gostaria de saber quantas salsichas e quantos pães deve 
produzir para obter o maior lucro possível. Formule um modelo de programação linear para 
esse problema. 
33.A empresa PAINT, S.A. produz tinta para interior e tinta para exterior a partir de duas 
matérias-primas, M1 e M2, conforme a informação sistematizada na tabela seguinte: 
Materia Prima Tipo de Tinta por produzir (tonelada) Disponibilidade 
Máxima Exterior Interior 
M1 6 4 24 
M2 1 2 6 
Lucro por Tonelada 5 4 
 
Uma pesquisa de mercado mostra que a procura máxima diária de tinta para interior 
não excede as 2 toneladas. Além disso, a procura diária de tinta para interior não pode 
exceder a procura de tinta para exterior mais do que 1 tonelada. Qual a combinação que 
maximiza o lucro? Resolve graficamente. 
 
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34. Resolva os seguintes problemas de minimização pelo método simplex. 
a) Min W = 5x1 + 4x2 Suj à {
3𝑥1 + 𝑥2 ≥ 8
4𝑥1 + 4𝑥2 ≥ 15
𝑥1 + 𝑥2 ≥ 6
𝑥𝑖 ≥ 0
 
 
b) Min W = 6x1 + 8x2 + 12x3 Suj. à {
𝑥1 + 3𝑥2 + 3𝑥3 ≥ 6
𝑥1 + 5𝑥2 + 5𝑥3 ≥ 4
−2𝑥1 − 2𝑥2 − 3𝑥3 ≤ −8
𝑥𝑖 ≥ 0
 
35. Resolva os exercícios pelos métodos convenientes. 
a) Max 𝑍 = 𝑥1 + 2𝑥2 + 3𝑥3 Suj à {
𝑥1 + 2𝑥2 ≤ 4
𝑥1 + 2𝑥3 = 5
𝑥𝑖 ≥ 0
 
 
b) Min W = 2𝑥1 + 𝑥2 Suj à {
2𝑥1 + 2𝑥2 ≤ 8
3𝑥1 ≥ 3
𝑥2 ≥ 2
𝑥𝑖 ≥ 0
 
 
c) Min 𝑊 = −5𝑥1 − 12𝑥2 + 16𝑥3 Suj à {
𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑥3 ≤ 10
2𝑥1 + 3𝑥2 + 𝑥3 ≥ 6
2𝑥1 + 𝑥2 − 𝑥3 = 1
𝑥𝑖 ≥ 0
 
 
d) Max 𝑍 = 2𝑥1 + 3𝑥2 + 𝑥3 Suj à {
𝑥1 − 2𝑥2 + 𝑥3 ≤ 7
−𝑥1 − 𝑥2 + 2𝑥3 ≤ −2
3𝑥1 + 2𝑥2 − 𝑥3 = 4
𝑥𝑖 ≥ 0
 
 
36. Resolva pelo Método gráfico os seguintes PPL. 
 
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a) Max 𝑧 = 𝑥1 + 𝑥2 Suj à {
𝑥1 + 𝑥2 ≤ 6
𝑥1 + 2𝑥2 ≤ 10
𝑥𝑖 ≥ 0
 
b) Min W = 10x1 + 20x2 Suj à {
6𝑥1 + 2𝑥2 ≥ 36
2𝑥1 + 4𝑥2 ≥ 32
𝑥2 ≥ 20
𝑥𝑖 ≥ 0
 
 
c) Max z = 30x1 + 40x2 Suj à {
2𝑥1 + 𝑥2 ≤ 10
𝑥1 + 𝑥2 ≤ 7
𝑥1 + 2𝑥2 ≤ 12
𝑥𝑖 ≥ 0
 
 
d) Max z = 20x1 + 10x2 Suj à {
3𝑥1 + 𝑥2 ≤ 21
𝑥1 + 𝑥2 ≤ 9
𝑥1 + 3𝑥2 ≤ 21
𝑥𝑖 ≥ 0
 
 
e) Min 𝑊 = 2𝑥1 + 3𝑥2 Suj à {
2𝑥1 + 2𝑥2 ≥ 8
𝑥1 + 2𝑥2 ≥ 8
𝑥𝑖 ≥ 0
 
37. Resolva pelo Método simplex os seguintes PPL 
a) Max Z = 4x1 + 2x2 + 3x2 Suj à {
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 ≤ 11
2𝑥1 + 3𝑥2 + 𝑥3 ≤ 20
𝑥1 + 3𝑥2 + 2𝑥3 ≤ 20
𝑥𝑖 ≥ 0
 
 
b) Min W = 40x1 + 12x2 + 40x3 Suj à {
2𝑥1 + 𝑥2 + 5𝑥3 ≥ 20
4𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 ≥ 30
𝑥𝑖 ≥ 0
 
 
c) Max Z = 2x1 + 5 × 2 Suj à {
𝑥1 + 2𝑥2 ≤ 18
2𝑥1 + 𝑥2 ≤ 21
𝑥1 + 3𝑥2 ≥ 10
𝑥𝑖 ≥ 0
 
 
 
Docente: Msc.Fernando Vahanlé 
 12 
 
d) Min W = 3x1 + 4x2 Suj à {
2𝑥1 + 𝑥2 ≤ 10
𝑥1 + 3𝑥2 ≥ 5
𝑥𝑖 ≥ 0
 
 
Ensinar é recordar os outros que sabem tanto quanto você. 
O único lugar onde o sucesso vem antes de trabalho é no dicionário: ( Albert Einstein). 
Bom trabalho!