BIOESTATISTICA-E-ESTATISTICA-VITAL

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SUMÁRIO 
1 ESTATÍSTICA: HISTÓRICO .............................................................. 5 
2 ESTATÍSTICA: DEFINIÇÕES E CONCEITOS .................................. 6 
2.1 Ferramentas e aplicações da estatística ..................................... 7 
3 ESTATÍSTICA VITAL E BIOESTATÍSTICA ....................................... 8 
3.1 Dados .......................................................................................... 9 
3.2 Processos Estatísticos de Abordagem ...................................... 12 
3.3 Dados Estatísticos ..................................................................... 13 
3.4 Dados ou Variáveis Estatísticas ................................................ 15 
3.5 Fases do Experimento (ou método) Estatístico ......................... 16 
3.6 Coleta de Dados ........................................................................ 18 
4 CRÍTICA DOS DADOS .................................................................... 20 
5 APURAÇÃO OU PROCESSAMENTO DOS DADOS 
(APRESENTAÇÃO DOS DADOS) ................................................................... 21 
6 EXPOSIÇÃO OU APRESENTAÇÃO DOS DADOS (TABELAS E 
GRÁFICOS) ..................................................................................................... 21 
7 ANÁLISE E INTERPRETAÇÃO DOS DADOS ................................. 22 
7.1 Estatística Descritiva ................................................................. 23 
7.2 Distribuições de Frequência ...................................................... 23 
8 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE DISTRIBUIÇÕES DE 
FREQUÊNCIA .................................................................................................. 26 
8.1 Diagrama de Setores (Gráfico de Pizza) ................................... 27 
8.2 Diagrama de Coluna/Barras ...................................................... 29 
8.3 Diagrama de Linhas Simples/Em Faixa ..................................... 30 
8.4 Diagrama de Linhas Simples ..................................................... 30 
8.5 Diagrama de Linhas em Faixa ................................................... 31 
9 MEDIDAS ESTATÍSTICAS .............................................................. 32 
 
 
 
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9.1 Medidas de Tendência Central .................................................. 33 
9.2 Os quartis .................................................................................. 42 
9.3 Os Percentis .............................................................................. 43 
10 MEDIDAS DE DISPERSÃO.......................................................... 44 
10.1 Amplitude Total ...................................................................... 45 
10.2 Variância ................................................................................ 46 
10.3 Desvio-padrão ........................................................................ 46 
11 PROBABILIDADE ......................................................................... 49 
11.1 Experimento Aleatório ............................................................ 50 
11.2 Espaço Amostral .................................................................... 51 
11.3 Eventos .................................................................................. 52 
12 REGRAS DE PROBABILIDADE ................................................... 55 
12.1 Propriedades da Probabilidade .............................................. 55 
12.2 Teorema da Probabilidade Total ............................................ 56 
12.3 Probabilidade Condicional e Regra Da Multiplicação ............... 60 
12.4 Independência de Eventos ..................................................... 61 
12.5 Distribuição de Probabilidade ................................................. 61 
12.6 Distribuições Contínuas de Probabilidade ............................... 62 
13 INFERÊNCIA ESTATÍSTICA ........................................................ 63 
14 TEORIA ELEMENTAR DA AMOSTRAGEM ................................. 63 
15 TEORIA DA ESTIMAÇÃO ............................................................ 64 
15.1 Estimação por ponto .............................................................. 64 
15.2 Intervalo de confiança para a média quando a variância é 
conhecida 66 
16 TESTES DE SIGNIFICÂNCIA ...................................................... 66 
16.1 Hipótese Estatística ............................................................... 67 
16.2 Passos para a Construção de um Teste de Hipóteses .......... 68 
 
 
 
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17 INTERVALO DE CONFIANÇA ..................................................... 69 
17.1 Intervalo de confiança para média ......................................... 69 
17.2 Intervalo de confiança ............................................................ 70 
17.3 Amostragem ........................................................................... 70 
17.4 Plano de Amostragem ............................................................ 70 
17.5 Tipos de Amostragem ............................................................ 71 
17.6 Tamanho da Amostra ............................................................. 72 
18 REGRESSÃO ............................................................................... 73 
18.1 Correlação .............................................................................. 73 
18.2 Análise de Regressão ............................................................ 74 
19 ORGANIZAÇÃO DA PESQUISA .................................................. 74 
19.1 Estudo Descritivo ................................................................... 75 
19.2 Estudo Caso-Controle ............................................................ 75 
19.3 Estudos Tipo Coorte .............................................................. 75 
19.4 Ensaios Clínicos Aleatorizados .............................................. 75 
20 REGRESSÃO ............................................................................... 76 
20.1 Correlação .............................................................................. 76 
20.2 Análise de Regressão ............................................................ 76 
21 ORGANIZAÇÃO DA PESQUISA .................................................. 77 
21.1 Estudo Descritivo ................................................................... 77 
21.2 Estudo Caso-Controle ............................................................ 78 
21.3 Estudos Tipo Coorte .............................................................. 78 
21.4 Ensaios Clínicos Aleatorizados .............................................. 78 
BIBLIOGRAFIA ...................................................................................... 79 
 
 
 
 
 
 
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1 ESTATÍSTICA: HISTÓRICO 
 
Fonte: grupoescolar.com 
 
A origem da palavra Estatística está associada à palavra latina status 
(Estado). Há indícios de que 3000 anos A.C. já se faziam censos na Babilônia, 
China e Egito e até mesmo o 4º livro do Velho Testamento faz referência à uma 
instrução dada a Moisés, para que fizesse um levantamento dos homens de 
Israel que estivessem aptos para guerrear. 
Usualmente, estas informações eram utilizadas para a taxação de 
impostos ou para o alistamento militar. O Imperador César Augusto, por 
exemplo, ordenou que se fizesse o Censo de todo o Império Romano. A palavra 
CENSO é derivada da palavra CENSERE, que em Latim significa TAXAR. 
Em 1085, Guilherme, O Conquistador, solicitou um levantamento 
estatístico da Inglaterra, que deveria conter informações sobre terras, 
proprietários, uso da terra, empregados e animais. Os resultados deste censo 
foram publicados em 1086 no livro intitulado “Domesday Book” e serviram de 
base para o cálculo de impostos. 
Contudo, mesmo que a prática de coletar dados sobre colheitas, 
composição da população humana ou de animais, impostos, etc.,fosse 
conhecida pelos egípcios, hebreus, caldeus e gregos, e se atribuam a Aristóteles 
cento e oitenta descrições de Estados, apenas no século XVII a Estatística 
http://www.grupoescolar.com/
 
 
 
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passou a ser considerada disciplina autônoma, tendo como objetivo básico a 
descrição dos BENS do Estado. 
 As primeiras aplicações da estatística estavam voltadas para as 
necessidades de Estado, na formulação de políticas públicas, fornecendo 
dados demográficos e econômicos à administração pública. 
No século XVIII, Godofredo Achenwall batizou esses estudos como uma 
nova ciência com o nome de Estatística. Surgiram tabelas mais complexas, 
representações gráficas e cálculo de probabilidade. Formou-se a ferramenta que 
através da observação de partes (amostras) chega-se a conclusões sobre um 
todo (população). 
A abrangência da estatística aumentou no começo do século XIX para 
incluir a acumulação e análise de dados de maneira geral. 
2 ESTATÍSTICA: DEFINIÇÕES E CONCEITOS 
 
Fonte: posgraduando.com 
 
A Estatística é considerada por alguns autores como Ciência no sentido 
do estudo de uma população. É considerada como método quando utilizada 
como instrumento por outra Ciência. 
A palavra estatística frequentemente está associada à imagem de 
aglomeração de números, dispostos em uma imensa variedade de tabelas e 
gráficos, representando informações tão diversas como nascimentos, mortes, 
taxas, populações, rendimentos, débitos, créditos, etc. Isto é devido ao uso 
comum da palavra estatística como sinônimo de dados, como, por exemplo, 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Estat%C3%ADstica
https://pt.wikipedia.org/wiki/Estado
https://pt.wikipedia.org/wiki/Pol%C3%ADtica_p%C3%BAblica
https://pt.wikipedia.org/wiki/Demografia
https://pt.wikipedia.org/wiki/Administra%C3%A7%C3%A3o_p%C3%BAblica
http://posgraduando.com/
 
 
 
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quando falamos das estatísticas de uma eleição, estatísticas da saúde, 
estatísticas de acidente de trânsito ou as estatísticas de acidentes de trabalho. 
 No sentido moderno da palavra, estatística lida com o desenvolvimento e 
aplicação de métodos para coletar, organizar, analisar e interpretar dados de tal 
modo que a segurança das conclusões baseada nos dados pode ser avaliada 
objetivamente por meio de proposições probabilísticas. 
 O propósito da estatística não é exclusivo de qualquer ciência isolada. Ao 
contrário, a estatística fornece um conjunto de métodos úteis em toda área 
científica onde haja a necessidade de se coletar, organizar, analisar e interpretar 
dados. Estes métodos podem ser usados tão eficazmente em engenharia, como 
em biologia ciências sociais ou em física. 
2.1 Ferramentas e aplicações da estatística 
Estatística pode ser pensada como a ciência de aprendizagem a partir de 
dados. Em linhas gerais, ela fornece métodos que auxiliam o processo de 
tomada de decisão a partir de dados. 
Durante sua aplicação, a estatística: 
 Coleta, organiza, sintetiza e faz a apresentação de dados; 
 Faz o levantamento de dados e mede a variação que pode ocorrer nestes; 
 Produz a estimativa dos parâmetros da população e se preocupa com a 
determinação da precisão das estimativas; 
 Aplica os testes de hipótese em relação aos parâmetros; 
 Realiza a análise da relação entre duas ou mais variáveis. 
 
Algumas ciências utilizam a estatística aplicada largamente, e possuem 
uma terminologia especializada, por exemplo: 
 
Bioestatística Controle de qualidade 
Contabilometria Controle de qualidade 
Estatística comercial Controle de qualidade 
Estatística populacional Estatística engenharia 
Geoestatística Estatística social 
 
 
 
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Pesquisa operacional 
3 ESTATÍSTICA VITAL E BIOESTATÍSTICA 
 
Fonte: br.depositphotos.com 
 
A ciência não é apenas a descrição de fatos, organização de dados, 
enunciação de leis, apresentação de novas descobertas. 
 O método científico, exige organização de dados, análise, tomadas de 
decisões em condições de incerteza. E nos dá suporte técnico através da 
estatística (ferramenta do método científico). 
Estatística Vital é instrumento de mensuração dos níveis de saúde, 
servindo para planejamento, programação e avaliação dos serviços de saúde. A 
estatística vital e a Bioestatística é a estatística aplicada às ciências médicas e 
biológicas. São fundamentais à epidemiologia, à ecologia, à psicologia social e 
à medicina baseada em evidência, entre outras. 
A necessidade da criação e uso desses termos se deve por 
particularidades dessa área como: Familiarização com o jargão próprio da área. 
Alguns termos d vocabulário comum têm significado técnico e científico 
específico quando usado em bioestatística. 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Epidemiologia
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ecologia
https://pt.wikipedia.org/wiki/Psicologia_social
https://pt.wikipedia.org/wiki/Medicina_baseada_em_evid%C3%AAncia
 
 
 
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Por meio da atuação e uso da Bioestatística é possível a análise e 
ponderação sobre os dados relacionados à saúde, os quais a partir disso podem 
ser usados para: 
 
Estruturar a organização e 
ações para a assistência em 
saúde. 
Comprovar a eficácia de novas 
drogas/vacinas. 
Desenvolver pesquisas. Analisar dados obtidos de 
experimentos. 
Comprovar a eficácia de 
tratamentos. 
Identificar, planificar e executar 
ações de saúde pública. 
 
Como a bioestatística e a estatística vital são uma terminologia da 
estatística, elas adotam as etapas e os métodos da própria estatística. 
Como a Estatística é a ciência que trata da coleta, do processamento e 
da disposição dos dados, sua primeira etapa está relacionada aos dados. 
3.1 Dados 
 Coleta de dados 
 
Fonte: emaze.com 
http://www.emaze.com/
 
 
 
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Diversos problemas podem ocorrer durante o processo de coleta de 
dados, os quais podem comprometer seriamente as soluções propostas no final 
do processo, ou seja, a qualidade da solução do problema de gestão está 
diretamente relacionada com a qualidade dos dados obtidos. Podemos evitar 
que alguns problemas ocorram observando fatos como: 
Não se deve coletar dados sem que antes se tenha definido claramente o 
problema ou situação a ser enfrentada, bem como os objetivos com relação aos 
mesmos: 
 Os sistemas de medição (instrumento, operadores, método, meio) 
que serão utilizados devem ser avaliados e ter capacidade de 
medição. 
 Os cálculos e leituras devem ser feitos com muita atenção para evitar 
distorções. 
 Devem ser utilizados métodos adequados para coleta de dados de 
acordo com o problema estudado. 
 
Após a definição do problema a ser estudado e o estabelecimento do 
planejamento da pesquisa (forma pela qual os dados serão coletados; 
cronograma das atividades, custos envolvidos; exame das informações 
disponíveis; delineamento da amostra etc.), o passo seguinte é a coleta de 
dados, que consiste na busca ou compilação dos dados das variáveis, 
componentes do fenômeno a ser estudado. 
 A coleta de dados pode ser direta ou indireta. 
Coleta direta: Quando os dados são obtidos na fonte originária. Os valores 
assim compilados são chamados de dados primários, como, por exemplo, 
nascimentos, casamentos e óbitos, todos registrados no Cartório de Registro 
Civil; opiniões obtidas em pesquisas de opinião pública, ou ainda, quando os 
dados são coletados pelo próprio pesquisador. 
A coleta direta pode ser classificada relativamente ao fator tempo em: 
 Contínua: Quando feita continuamente, como por exemplo, 
nascimentos e óbitos, frequência dos alunos às aulas; 
 Periódica: Quando é feita em intervalos constantes de tempo, 
como os censos (de 10 em 10 anos); 
http://www.portalaction.com.br/analise-dos-sistemas-de-medicao/11-sistema-de-medicao
 
 
 
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 Ocasional: Quando é feita sem época preestabelecida. 
 
Coleta indireta: Quando os dados obtidos provêm da coleta direta. Os valores 
assim compilados são denominados de dados secundários, como,por exemplo, 
o cálculo do tempo de vida média, obtido pela pesquisa, nas tabelas 
demográficas publicadas pela Fundação Instituto Brasileiro de Geografia e 
Estatística – IBGE constitui-se em uma coleta indireta. 
Objetivando o estudo quantitativo e qualitativo dos dados (ou 
informações), obtidos nos vários campos da atividade científica, a Estatística 
manipula dois conjuntos de dados fundamentais: a "população" e a "amostra". 
 População 
População (ou Universo) é o conjunto dos seres, objetos ou informações 
que interessam ao estudo de um fenômeno coletivo segundo alguma (s) 
característica (s). É, portanto, um conjunto definido de informações relativas a 
qualquer área de interesse, podendo, quanto ao número de elementos, ser: finita 
(tamanho N) ou infinita. 
Na maioria das vezes não é conveniente, ou mesmo possível, realizar o 
levantamento dos dados referentes a todos os elementos de uma população. 
Portanto, analisamos parte da população, isto é, uma amostra. 
 Amostra 
É um subconjunto não vazio ou parte da população. Duas considerações 
devem ser feitas sobre o estudo amostral dos fenômenos: 
Uma diz respeito aos cuidados que se deve tomar para assegurar que a 
amostra seja representativa da população. Para atender a essa exigência, deve-
se selecionar os elementos de forma aleatória, de modo que todo e qualquer 
elemento da população tenha a mesma chance de participar da amostra. 
 A outra diz respeito à precisão dos dados coletados, buscando 
minimizar os erros que poderiam induzir a conclusões equivocadas. 
O número de elementos de uma amostra é chamado de tamanho da 
amostra, e denotado por n. 
 
 
 
 
 
 
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Algumas definições 
 
 
Parâmetro 
Uma característica numérica estabelecida para 
toda uma população é denominada parâmetro. 
São valores, geralmente desconhecidos (e que, 
portanto, têm de ser estimados), que 
representam certas características da 
população. 
 
Estimador 
É uma característica baseada em observações 
amostrais e usada para indicar o valor de um 
parâmetro populacional desconhecido. 
Estimativa O valor numérico assumido pelo estimador 
numa determinada amostra é denominada 
estimativa. 
 
 Exemplo: No fenômeno coletivo eleição para reitor da UFPB, a população é o 
conjunto de todos os eleitores habilitados na Universidade. Um parâmetro é a 
proporção de votos do candidato A. Uma amostra pode ser um grupo de 300 
eleitores selecionados em toda a UFPB. Um estimador é a proporção de votos 
do candidato A obtida na amostra. O valor resultante do estimador, a proporção 
amostral, é a estimativa. 
3.2 Processos Estatísticos de Abordagem 
Quando solicitados a estudar um fenômeno coletivo podemos optar entre os 
seguintes processos estatísticos: 
Censo: Avaliação direta de um parâmetro, utilizando-se todos os 
componentes da população. Entre as principais características de um Censo, 
podemos destacar: admite erro processual zero e tem confiabilidade 100%, caro, 
lento e quase sempre desatualizado. Nem sempre é viável. 
 Amostragem (inferência): Avaliação indireta de um parâmetro, com 
base em um estimador através do cálculo das probabilidades. Entre as 
principais características, podemos destacar: admite erro processual 
 
 
 
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positivo e tem confiabilidade menor que 100%, é barata, rápida e 
atualizada. É sempre viável. 
3.3 Dados Estatísticos 
 
Fonte: indaiabira.mg.gov.br 
 
Normalmente, no trabalho estatístico, o pesquisador se vê obrigado a lidar 
com grande quantidade de valores numéricos resultantes de um censo ou de 
uma amostragem. Estes valores numéricos são chamados dados estatísticos. 
A Estatística ensina métodos racionais para a obtenção de informações a 
respeito de um fenômeno coletivo, além de obter conclusões válidas para o 
fenômeno e também permitir tomada de decisões, através dos dados estatísticos 
observados. 
Desta forma, a estatística pode ser dividida em duas áreas: Estatística 
Descritiva e Estatística Inferencial. 
Estatística Descritiva: É a parte da Estatística que tem por objetivo descrever 
os dados observados. A Estatística Descritiva, na sua função de descrição dos 
dados, tem as seguintes atribuições: 
 A obtenção dos dados estatísticos: ou coleta dos dados é normalmente 
feita através de um questionário ou de observação direta de uma 
população ou amostra. 
 
 
 
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 A organização dos dados: consiste na ordenação e crítica quanto à 
correção dos valores observados, falhas humanas, omissões, abandono 
de dados duvidosos, etc. 
 A redução dos dados: envolve o entendimento e a compreensão de 
grande quantidade de dados através de simples leitura de seus valores 
individuais. 
 A representação dos dados: compreende de técnicas para uma melhor 
visualização dos dados estatísticos, facilitando sua compreensão. Por 
exemplo, os gráficos, quando bem representativos, tornam-se 
importantes instrumentos de trabalho. 
 A obtenção de algumas informações que auxiliam a descrição do 
fenômeno observado. 
 
Estatística Inferencial (ou indutiva): é a parte da Estatística que tem por 
objetivo obter e generalizar conclusões para a população a partir de uma 
amostra. Complementando o processo descritivo, a Estatística Indutiva estuda 
parâmetros a partir do uso de estimadores usando o cálculo das probabilidades, 
elemento este que viabiliza a Inferência Estatística. 
 
Fonte: ceciliatomasmpel5mico.blogspot.com 
 
 
 
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3.4 Dados ou Variáveis Estatísticas 
 As informações ou dados característicos dos fenômenos ou populações são 
denominados variáveis estatísticas ou simplesmente variáveis. Conforme suas 
características particulares podem ser classificadas da seguinte forma: 
 
Quantitativas: São aquelas que podem ser expressas em termos 
numéricos. Em geral são as resultantes de medições, enumerações ou 
contagens. São subdivididas em contínuas e discretas: 
 Contínuas: São aquelas que podem assumir qualquer valor num 
certo intervalo de medida, podendo ser associados ao conjunto dos 
números reais, ou seja, é um conjunto não enumerável. Entre outras, 
enquadram-se nesta categoria as medidas de tempo, comprimento, 
espessura, área, volume, peso, velocidade, dosagem de hemoglobina 
no sangue, concentração de flúor na água oferecida à população, etc. 
 Discretas: Quando só podem assumir determinados valores num 
certo intervalo, ou seja, é um conjunto finito ou enumerável. Em geral, 
representam números inteiros resultantes de processo de contagem, 
como o número de alunos por sala, de créditos por disciplinas, de 
pacientes atendidos diariamente num hospital, etc. 
De modo geral, as medições dão origem a variáveis contínuas e as 
contagens ou enumerações, a variáveis discretas. Designamos estas variáveis 
por letras latinas, em geral, as últimas: X, Y, Z. 
 
Qualitativas: Nem sempre os elementos de uma população são 
exclusivamente contáveis. Muitas vezes, eles podem ser qualificados também 
segundo algumas de suas características típicas. 
Nesses casos, as variáveis podem ser agrupadas em nominais ou ordinais 
(por postos): 
 Nominais: Quando puderem ser reunidas em categorias ou espécies 
com idênticos atributos. Aqui se incluem os agrupamentos por sexo, 
área de estudo, desempenho, cor, raça, nacionalidade e religião. 
 
 
 
16 
 
 Ordinais: Quando os elementos forem reunidos segundo a ordem em 
que aparecem dispostos numa lista ou rol. São típicas desta forma de 
agrupamento, variáveis como classe social, grau de instrução, entre 
outras. Em geral, uma mesma população pode ser caracterizada por 
mais de um tipo de variável. Assim, os inscritos num vestibular, por 
exemplo, podem ser contados, medidos ou pesados, podem ser 
agrupados segundo o sexo ou área de estudo e podem ainda ser 
classificados segundo as notas obtidas nas provas prestadas. 
 
 
Fonte: youtube.com 
3.5 Fases do Experimento (ou método) EstatísticoFonte: slideplayer.com.br 
http://www.youtube.com/
 
 
 
17 
 
Num estudo estatístico, normalmente, segue-se um conjunto de passos 
que designamos por fases do método (ou experimento) estatístico. 
Essas fases variam entre cinco e sete, pois alguns autores mesclam duas 
ou três fases, em apenas uma, para um melhor entendimento. 
Em linhas gerais, podemos distinguir no método estatístico as seguintes 
etapas: 
 
 Definição do Problema 
Saber exatamente o que se pretende pesquisar, ou seja, definir 
corretamente o problema. Essa primeira fase consiste na formulação correta do 
problema a ser estudado. 
 Planejamento 
É o trabalho inicial de coordenação no qual define-se a população a ser 
estudada estatisticamente, formulando-se o trabalho de pesquisa através da 
elaboração de questionário, entrevistas, etc. 
 A organização do plano geral implica em obter respostas para uma série 
tradicional de perguntas, antes mesmo do exame das informações disponíveis 
sobre o assunto, perguntas que procuram justificar a necessidade efetiva da 
pesquisa, a saber: 
Quem", "o que", "sempre", "por que", "para que", "para quando". 
Por exemplo: O Governo do Estado tem a necessidade de obter 
informações acerca do desempenho em Biologia dos estudantes matriculados 
na rede pública de ensino. 
 O primeiro trabalho da equipe encarregada da pesquisa será, 
evidentemente, o de obter respostas para aquelas perguntas. Seriam então: 
 
 
 
 
 
 
 
Ainda na fase do planejamento, temos: 
* Quem deseja as informações? 
 * O que devemos perguntar no questionário? 
* A pesquisa será periódica ou ocasional? Será executada 
sempre? 
 * Por que desejam as informações? 
* Quando deverá estar concluída a pesquisa? 
 * Qual a época oportuna para a aplicação dos 
questionários? 
 * Para que desejam as informações? 
 
 
 
 
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 O Exame das Informações Disponíveis 
Trabalho inicial de coleta de trabalhos ou publicações sobre o assunto, 
obtendo-se relatórios sobre atividades semelhantes ou correlatas; 
 A Definição do Universo 
Isto é, saber qual o conjunto a ser pesquisado, distribuindo, classificando 
ou agrupando os elementos desse conjunto em subpopulações, para permitir um 
trabalho mais fácil, mais lógico, mais racional; 
 O tipo de levantamento, Censo ou Amostragem 
 Deverá ser decidido com a devida antecedência e a necessária análise 
das vantagens e desvantagens de um e de outro, em virtude do custo financeiro 
e do prazo determinado para a conclusão do trabalho. 
3.6 Coleta de Dados 
 
Fonte: researchgate.net 
Após cuidadoso planejamento e a devida determinação das 
características mensuráveis do fenômeno coletivamente típico que se quer 
pesquisar, damos início à coleta dos dados numéricos necessários à sua 
descrição. A coleta dos dados poderá ser feita de diversas formas. 
http://www.researchgate.net/
 
 
 
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A ideal é aquela que maximiza os recursos disponíveis, dados os objetivos 
e a precisão previamente estipulados. No seu planejamento, deve-se considerar 
o tipo de dado a ser coletado, o local onde este se manifestará, a frequência de 
sua ocorrência, e outras particularidades julgadas importantes. Quando os dados 
se referirem ou estiverem em poder de pessoas, sua coleta poderá ser realizada 
mediante respostas a questionários previamente elaborados. 
Esses questionários podem ser enviados aos entrevistados para 
devolução posterior ou podem ser aplicados pelos próprios pesquisadores ou 
por entrevistadores externos ou contratados. Os dados ou informações 
representativas dos fenômenos ou problema em estudo podem ser obtidos de 
duas formas: por via direta ou por via indireta. 
Por Via Direta: Quando feita sobre elementos informativos de registro 
obrigatório (Exemplo: fichas no serviço de ambulatório, nascimentos, 
casamentos, óbitos, matrículas de alunos etc.) ou, ainda, quando os dados são 
coletados pelo próprio pesquisador através de entrevistas ou questionários. A 
coleta direta de dados, com relação ao fator tempo, pode ser classificada em: 
 Contínua: Também denominada registro, é feita continuamente, 
tal como a de nascimentos e óbitos, etc. Também são do tipo 
contínuo o registro de certas doenças, como câncer, 
hanseníase, tuberculose e também algumas doenças 
infecciosas agudas com finalidade de controle. 
 Periódica: Quando feita em intervalos constantes de tempo, 
como os censos (de 10 em 10 anos), os balanços de uma 
farmácia, etc.; 
 Ocasional: Quando feita extemporaneamente, a fim de atender 
a uma conjuntura ou a uma emergência, como no caso de 
epidemias que assolam ou dizimam seres humanos. 
 
Por Via Indireta: Quando é inferida de elementos conhecidos (coleta 
direta) e/ou conhecimento de outros fenômenos relacionados com o fenômeno 
estudado. Como exemplo, podemos citar a pesquisa sobre a mortalidade infantil, 
que é feita através de dados colhidos via coleta direta. 
 
 
 
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4 CRÍTICA DOS DADOS 
 
Fonte: pt.slideshare.net 
 
Os dados colhidos por qualquer via ou forma e não previamente 
organizados são chamados de dados brutos. Esses dados brutos, antes de 
serem submetidos ao processamento estatístico propriamente dito, devem ser 
"criticados", visando eliminar valores impróprios e erros grosseiros que possam 
interferir nos resultados finais do estudo. 
 A crítica é externa quando visa às causas dos erros por parte do 
informante, por distração ou má interpretação das perguntas que lhe foram feitas; 
é interna quando se observa o material constituído pelos dados coletados. É o 
caso, por exemplo, da verificação de somas de valores anotados. 
 
 
 
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5 APURAÇÃO OU PROCESSAMENTO DOS DADOS (APRESENTAÇÃO 
DOS DADOS) 
 
Fonte: blog.maxieduca.com.br 
 
Uma vez assegurado que os dados brutos são consistentes, devemos 
submetê-los ao processamento adequado aos fins pretendidos. A apuração ou 
processamento dos dados pode ser manual, eletromecânica ou eletrônica. Os 
processos e métodos estatísticos aos quais os conjuntos de dados podem ser 
submetidos serão nosso objeto de estudo nas seções seguintes. 
6 EXPOSIÇÃO OU APRESENTAÇÃO DOS DADOS (TABELAS E 
GRÁFICOS) 
 
Fonte: pt.dreamstime.com 
 
 
 
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Por mais diversa que seja a finalidade que se tenha em vista, os dados 
devem ser apresentados sob forma adequada (tabelas ou gráficos), tornando 
mais fácil o exame daquilo que está sendo objeto de tratamento estatístico. No 
caso particular da estatística descritiva, o objetivo do estudo se limita, na maioria 
dos casos, à simples apresentação dos dados, assim entendida a exposição 
organizada e resumida das informações coletadas através de tabelas ou 
quadros, bem como dos gráficos resultantes. 
7 ANÁLISE E INTERPRETAÇÃO DOS DADOS 
 
Fonte: pt.slideshare.net 
 
Consiste em tirar conclusões que auxiliem o pesquisador a resolver seu 
problema, descrevendo o fenômeno através do cálculo de medidas estatísticas. 
 O objetivo último da Estatística é tirar conclusões sobre o todo 
(população) a partir de informações fornecidas por parte representativa do todo 
(amostra). Realizadas as fases anteriores (Estatística Descritiva), fazemos uma 
análise dos resultados obtidos, através dos métodos da Estatística Inferencial, 
que tem por base a indução ou inferência, e tiramos desses resultados 
conclusões e previsões. 
 
 
 
23 
 
7.1 Estatística Descritiva 
A Estatística Descritiva é a parte da estatística que se ocupa com a coleta, 
crítica, ordenação e apresentação das informações fundamentais à 
caracterização e descrição do fenômeno que se deseja estudar e interpretar. 
Aqui se trabalhará com alguma característica notável do objeto de estudo, a qual 
terá de ser coletada de alguma forma e em algum lugar. Na coleta das 
informações deve-se considerar, preferencialmente, toda a população; caso a 
obtenção de dados sobre toda a população (censo) seja difícil ou até mesmo 
impossível (dado o grandenúmero de elementos ou a sua dispersão no tempo 
ou no espaço), o estudo poderá ser feito com base numa amostra representativa. 
7.2 Distribuições de Frequência 
Os dados numéricos, após coletados, são colocados em série e 
apresentados em tabelas ou quadros. Quando se estuda uma variável 
(qualitativa ou quantitativa), o maior interesse do pesquisador é conhecer a 
distribuição dessa variável através das possíveis realizações (valores) da 
mesma. 
Iremos, pois, ver uma maneira de se dispor um conjunto de valores, de 
modo a se ter uma boa ideia global sobre esses valores, ou seja, de sua 
distribuição. Uma distribuição de frequências pode ser apresentada nas 
seguintes maneiras: 
 
 Distribuição de Frequências por Valores (variável qualitativa ou 
quantitativa discreta): É construída considerando-se todos os 
diferentes valores ou categorias, levando em consideração suas 
respectivas repetições. 
 Distribuição de Frequências por Intervalos ou Classes (variável 
quantitativa): Constroem-se classes de valores, levando em 
consideração o número de valores que pertencem a cada classe e 
quando a variabilidade dos dados é grande. A construção de tabelas 
 
 
 
24 
 
de frequências para variáveis contínuas necessita de certos 
cuidados. 
 Exemplo: 
 A Tabela 1 apresenta a distribuição de frequência da variável 
PROCEDÊNCIA, a partir dos dados do Quadro 1. 
 
 Tabela 1 – Frequências e percentuais dos 46 estudantes de 
EV, segundo a região de procedência. João Pessoa, 1997. 
Procedência Nº Estudantes ( Fi ) Percentual ( fi %) 
Capital 20 43,5 
Interior 16 34,8 
Outra Região 10 21,7 
Total 46 100 
 
 Quadro 1 – Informações sobre sexo, curso, idade (anos), 
procedência, renda familiar, número de disciplinas matriculado 
(a), peso (kg) e altura (cm) de 46 alunos matriculados na 
disciplina Estatística Vital (EV). 
 
 
ID 
 
SEXO 
 
CURSO 
IDADE 
(Anos) 
 
PROCEDÊNCIA 
RENDA 
FAMILIAR 
NO. DISCIP. 
MATRIC. 
PESO 
(kg) 
ALTURA 
(cm) 
1 Fem Física 19 Interior Média 6 47 156 
2 Masc Matem. 18 Capital Média 6 75 167 
3 Fem Matem. 18 Outra Região Média 6 61 169 
4 Fem Matem. 18 Capital Média 6 56 163 
5 Masc Matem. 18 Capital Média 6 80 178 
6 Fem Matem. 20 Interior Média 6 44 158 
7 Fem Matem. 20 Interior Média 6 52 158 
8 Masc Matem. 19 Capital Média 6 67 174 
9 Fem Matem. 19 Outra Região Média 3 48 167 
10 Masc Matem. 18 Capital Média 6 83 180 
11 Fem Matem. 18 Capital Média 6 53 163 
12 Masc Matem. 21 Outra Região Média 5 66,5 175 
13 Masc Matem. 18 Interior Média 6 78 180 
 
 
 
25 
 
14 Fem Matem. 18 Interior Não Info. 6 46 158 
15 Fem Matem. 18 Capital Média 6 54 160 
16 Fem Matem. 19 Capital Média 6 56 162 
17 Fem Matem. 19 Capital Média 7 53 160 
18 Fem Matem. 18 Capital Média 6 57 164 
19 Fem Física 23 Outra Região Média 6 53 160 
20 Masc Matem. 18 Interior Média 6 76 180 
21 Masc Matem. 21 Outra Região Média 6 65 171 
22 Masc Matem. 19 Capital Média 6 78,5 180 
23 Masc Matem. 19 Outra Região Média 6 104 183 
24 Fem Matem. 17 Interior Média 6 47,5 155 
25 Masc Matem. 18 Interior Baixa 6 67,5 175 
26 Masc Matem. 19 Outra Região Média 6 61 160 
27 Masc Matem. 17 Interior Não Info. 6 68 169 
28 Masc Matem. 21 Interior Média 5 75 178 
29 Fem Matem. 18 Interior Média 5 58 154 
30 Masc Matem. 21 Outra Região Média 6 65 165 
31 Masc Matem. 21 Capital Média 6 67 178 
32 Fem Matem. 18 Capital Alta 6 47 167 
33 Masc Matem. 21 Capital Média 5 69 179 
34 Fem Matem. 19 Outra Região Média 6 68 170 
35 Masc Matem. 18 Capital Média 6 53 166 
36 Fem Matem. 17 Capital Média 6 51 153 
37 Fem Matem. 19 Capital Média 6 63 168 
38 Masc Matem. 19 Capital Média 6 60 166 
39 Masc Matem
. 
1
8 
Capital Média 6 72 174 
40 Masc Matem
. 
2
1 
Interior Média 5 54 163 
41 Masc Matem
. 
1
8 
Interior Baixa 6 60 165 
42 Masc Matem
. 
1
9 
Interior Média 6 75 181 
43 Fem Matem
. 
1
8 
Capital Média 6 52 160 
44 Masc Matem
. 
1
8 
Outra Região Média 6 100 175 
45 Masc Matem
. 
2
2 
Interior Média 6 80 179 
46 Masc Matem 2 Interior Média 6 50 166 
 
 
 
26 
 
. 1 
 
Exemplo 2: A tabela 2 apresenta distribuição de frequência da variável “Nº de 
disciplina matriculado (a) ”, a partir dos dados do Quadro 1 (dados agrupados 
sem intervalos). 
 
Tabela 2: Frequências e percentuais do número de disciplinas matriculadas dos 
46 estudantes de EV. João Pessoa, 1997. 
 
Nº Disciplinas 
Matriculadas (Xi) 
Nº Estudantes (Fi) Percentual (fi %) 
3 1 2,2 
5 5 10,9 
6 39 84,8 
7 1 2,2 
Total 46 100,0 
 
8 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE DISTRIBUIÇÕES DE FREQUÊNCIA 
 
 Fonte: infoescola.com Fonte: vemqueteexplico.blogspot.com 
 
http://www.infoescola.com/
 
 
 
27 
 
O gráfico estatístico é uma forma de apresentação dos dados 
estatísticos, cujo objetivo é produzir, no investigador ou no público em geral, uma 
impressão rápida e viva do fenômeno em estudo. 
Para tornarmos possível uma representação gráfica, estabelecemos uma 
correspondência entre os termos da série estatística (tabela) e determinada 
figura geométrica, de tal modo que cada elemento da série seja representado 
por uma figura proporcional. 
A representação gráfica de um fenômeno deve obedecer aos seguintes 
requisitos primordiais: 
 Simplicidade – Indispensável devido à necessidade de levar a 
uma rápida apreensão do sentido geral do fenômeno apresentado 
a fim de não nos perdermos na observação de minúcias de 
importância secundária. 
 Clareza – O gráfico deve possibilitar uma correta interpretação dos 
valores representativos do fenômeno em estudo. 
 Veracidade – Indispensável qualquer comentário, posto que, se 
não representa uma realidade, perde o gráfico sua finalidade. 
 
Os principais tipos de gráficos estatísticos para as distribuições de 
frequências são os diagramas, que são gráficos geométricos de, no máximo 
duas dimensões. Para sua construção, em geral, fazemos uso só do sistema 
cartesiano. Dentre os principais tipos de diagramas, destacamos: 
8.1 Diagrama de Setores (Gráfico de Pizza) 
Funcionam dividindo seus dados em categorias ou grupos distintos. O 
gráfico consiste de um círculo dividido em fatias de pizza, cada qual 
representando um grupo. 
O tamanho de cada fatia é proporcional a quantidade de algo em cada 
grupo em comparação com os outros. 
 
 
 
28 
 
 
Fonte: portalaction.com.br 
 
Fonte: portalaction.com.br 
Quanto maior a fatia, maior a popularidade relativa daquele grupo. A 
quantidade de algo em cada grupo é chamada de frequência. 
Dividem seu conjunto inteiro de dados em grupos distintos. Isto é, se você 
somar a frequência de cada fatia, obterá 100%. 
 
 
 
 
 
 
Os gráficos de setores podem ser úteis se você deseja 
comparar proporções básicas. Geralmente é fácil dizer à primeira 
vista quais grupos têm uma frequência alta em comparação aos 
outros. No entanto, essa forma gráfica é pouco útil se todas as fatias 
tiverem tamanhos semelhantes, pois se torna difícil visualizar 
diferenças sutis entre os tamanhos das fatias. 
 
http://www.portalaction.com.br/
http://www.portalaction.com.br/
 
 
 
29 
 
8.2 Diagrama de Coluna/Barras 
Permitem comparar tamanhos relativos, mas a vantagem de usar essa 
forma gráfica é que ela permite um maior grau de precisão. 
 
Fonte: guiadoexcel.com.br 
 
 Fonte: portalaction.com.br 
São ideais em situações em que as categorias têm praticamente o mesmo 
tamanho, pois é possível identificar com muito mais precisão qual a categoria 
tem a frequência mais alta. Torna-se mais fácil enxergar as pequenas diferenças. 
Cada coluna/barra representa uma determinada categoria, e o seu 
comprimento indica o valor. Todas as colunas/barras têm a mesma largura, o 
que facilita sua comparação, e quanto mais longa maior o valor. 
http://www.guiadoexcel.com.br/
http://www.portalaction.com.br/
 
 
 
30 
 
 
8.3 Diagrama de Linhas Simples/Em FaixaO diagrama de linhas simples é útil na representação de tabelas ou séries 
que evoluem ao longo do tempo (séries temporais), possibilitando a identificação 
de tendências. O diagrama de linhas em faixa é usado para comparar a evolução 
de duas variáveis e, ao mesmo tempo, a evolução de cada uma delas 
isoladamente. 
8.4 Diagrama de Linhas Simples 
 
 
Fonte: pt.wikipedia.org 
O “gráfico de colunas” apresenta as categorias no eixo horizontal 
e a frequência ou porcentagem no eixo vertical. No “gráfico de 
barras” os eixos são invertidos. As categorias são mostradas no 
eixo vertical e a frequência no eixo horizontal. Portanto, as colunas 
são dispostas no sentido vertical e as barras no sentido horizontal. 
O gráfico de colunas tende a ser mais comum, mas gráficos de 
barras são úteis se os nomes de suas categorias forem muito 
longos, pois dão mais espaço para mostrar o nome de cada 
categoria. 
 
 
 
 
31 
 
8.5 Diagrama de Linhas em Faixa 
 
Fonte: vemqueteexplico.blogspot.com 
 
Perceba que todas essas formas gráficas estão associadas as variáveis 
qualitativas, ou seja, aquelas que expressam categorias. No caso das variáveis 
quantitativas discretas também podemos fazer uso de formas gráficas como 
diagrama de colunas/barras. No entanto, para representar as variáveis contínuas 
necessitamos de formas gráficas especificas como o histograma ou o polígono 
de frequências. 
 
 Histograma 
 
 
Fonte: citisystems.com.br 
 
http://www.citisystems.com.br/
 
 
 
32 
 
Histogramas são como gráficos de colunas, mas com duas importantes 
diferenças. A primeira é que a área de cada coluna é proporcional à frequência, 
e a segunda é que não há espaço vazio entre as colunas no gráfico. 
É a representação gráfica de uma distribuição de frequências de variável 
quantitativa contínua (dados agrupados em intervalos) por meio de retângulos 
justapostos, entrado nos pontos médios das classes e cujas áreas são 
proporcionais às frequências das classes. 
 
 Polígonos de frequência 
 
Fonte: alexandreprofessor.blogspot.com 
 
É outra forma de representar graficamente uma distribuição de 
frequências de variável quantitativa contínua (dados agrupados em intervalos). 
Corresponde a uma linha poligonal traçada a partir do ponto médio de 
cada retângulo do histograma, cuja área total é igual à do histograma. Pode 
referir-se às frequências absolutas ou às frequências relativas, conforme a 
escala utilizada no eixo vertical. 
9 MEDIDAS ESTATÍSTICAS 
Vimos anteriormente a sintetização dos dados sob a forma de tabelas, 
gráficos e distribuições de frequências. Agora vamos tratar dos cálculos de 
 
 
 
33 
 
medidas que possibilitem representar um conjunto de dados (valores de uma 
variável quantitativa, isto é, informações numéricas), relativos à observação de 
determinado fenômeno de forma reduzida. 
Os dados quantitativos, apresentados em tabelas e gráficos, constituem 
a informação básica do problema. É conveniente apresentar medidas que 
mostrem a informação de maneira resumida. Um conjunto de dados pode se 
reduzir a uma ou a algumas medidas numéricas que resumem todo o conjunto. 
Duas características importantes dos dados, que as medidas numéricas podem 
evidenciar são: o valor central do conjunto e a dispersão dos números. 
Estes índices estatísticos são as MEDIDAS DE POSIÇÃO e, dentre as 
mais importantes, citamos as “Medidas de Tendência Central”, que recebem tal 
denominação pelo fato dos dados observados tenderem, em geral, a se 
concentrar em torno de valores centrais. 
Dentre as medidas de tendência central, destacamos: 
 Média aritmética ou Média; 
 Moda; 
 Mediana. 
As outras medidas de posição são as “Separatrizes”, que englobam: 
 Mediana; 
 Quartis; 
 Decis. 
 Percentis. 
9.1 Medidas de Tendência Central 
São medidas que tendem para o centro da distribuição e tem a capacidade 
de representá-la como um todo. Dão o valor do ponto em torno do qual os dados 
se distribuem. 
As principais são: Média Aritmética, Mediana, Moda. 
 
 Média Aritmética (ou simplesmente MÉDIA) 
Esta é a mais importante medida de locação e que é mais comumente 
usada para descrever um conjunto de observações. A média aritmética simples 
Pode ser difícil identificar 
padrões e tendências em 
uma grande quantidade de 
números, e achar a média é 
geralmente o primeiro passo 
para conseguir enxergar o 
cenário mais geral. Com a 
média à sua disposição, é 
possível rapidamente achar 
os valores mais 
representativos dos seus 
dados e tirar importantes 
conclusões. 
 
 
 
34 
 
de um conjunto de n observações é o quociente entre a soma dos dados e a 
quantidade dessas observações. 
É denotada por 
 
 
 
Em linguagem matemática, a média amostral se expressa de forma seguinte: 
 
 
 
Exemplo: Calcule a média da variável X: 3, 5, 8, 12, 7, 12, 15, 18, 20, 20. 
 
 
 
Diante da pergunta “Como interpretar a média? ”, as respostas mais 
comuns são: 
 “Representa a posição da maioria” ou “É o valor que está no meio da 
amostra”. Ambas estão erradas. 
Quem representa a posição da (s) maioria (s) locais é a moda, e quem 
está no meio do rol é a mediana. 
 O gráfico abaixo demonstra o que é a média: 
 
 
 
35 
 
 
 
Fonte: home.ufam.edu.br 
 
 Média Aritmética Ponderada 
Em algumas situações os números que queremos sintetizar têm graus de 
importância diferentes, usa-se então a média aritmética ponderada. 
A média aritmética ponderada de um conjunto de n observações é o 
quociente da divisão pela soma dos pesos da soma das observações 
multiplicadas por seu respectivo peso. 
 
Com intervalos de Classe 
Neste caso, convencionamos que todos os valores incluídos em um 
determinado intervalo de classe coincidem com o seu ponto médio, e 
determinamos a média aritmética ponderada, por meio da fórmula: 
 
 
 
Onde é ponto médio da classe. 
Exemplo: Consideremos a distribuição relativa a 34 famílias de 4 filhos, seja X 
o número de filhos do sexo masculino: 
 
 
 
 
36 
 
Nº de 
meninos 
 
 
 
 
0 2 0 
1 6 6 
2 10 20 
3 12 36 
4 4 16 
 Σ = 34 Σ = 78 
 
Temos, então: 
 
 
Logo: 
 
 
Isto é: 
 
 
Nota: sendo X uma variável discreta, como interpretar o resultado obtido, 
2 meninos e 3 décimos de menino? 
O valor médio 2,3 meninos sugerem, neste caso que o maior número de famílias 
tem 2 meninos e 2 meninas, sendo, porém, a tendência geral de uma leve 
superioridade numérica em relação ao número de meninos. 
Exemplo: Suponha que tenhamos feito uma coleta de dados relativos às 
estaturas de 40 alunos, que compõem uma amostra dos alunos de um colégio 
A, resultando a seguinte tabela de valores. 
 
i Estaturas (cm) 
 
 
 
 
 
 
01 150 |---- 154 04 152 608 
02 154 |---- 158 09 156 1404 
03 158 |---- 162 11 160 1760 
04 162 |---- 166 08 164 1312 
05 166 |---- 170 05 168 840 
06 170 |---- 174 03 172 516 
 
 
 
37 
 
 Σ = 40 Σ = 6440 
 
Temos, neste caso: 
 
 
 
Logo: 
 
 
 
 
 Mediana 
A mediana de um conjunto de n observações é o valor “do meio” do conjunto, 
quando os dados estão ordenados. Se n é ímpar esse valor é único; se n é par, a 
mediana é a média aritmética simples dos dois valores centrais. 
Exemplo: Determinar a mediana do conjunto X: 2, 20, 12, 23, 20, 8, 12. 
Ordenando os termos: 2, 8, 12, 12, 20, 20, 23. 
A mediana será o número 12, pois ele divide o conjunto em duas 
partes iguais. Portanto, Md = 12. 
Exemplo: Determinar a mediana da série X: 7, 21, 13, 15, 10, 8, 9, 13. 
Ordenando os termos: 7, 8,9, 10, 13, 13, 15, 21. A mediana será: 
 
 
 
Com intervalos de Classe 
Neste caso, o problema consiste em determinar o ponto do intervalo em que 
está compreendida a mediana. 
Para tanto, temos inicialmente que determinar a classe na qual se 
encontra a mediana – classe mediana: É o valor que divide as observações em 
duas partes, onde 50% dos dados ficam acima dele e o restante abaixo.Tal 
classe será, evidentemente, aquela corresponde à frequência acumulado 
imediatamente superior a . 
 
 
 
38 
 
Na prática seguimos os seguintes passos: 
Determinamos as frequências acumuladas. 
Calculamos 
Marcamos a classe correspondente à frequência acumulada imediatamente 
superior a – classe mediana – e, em seguida, empregamos a fórmula: 
 
 
Onde: 
LI é o limite inferior da classe mediana 
 é a frequência acumulada da classe anterior à classe mediana 
 é a frequência simples da classe mediana 
 é a amplitude da classe mediana 
 
Exemplo: Tomemos a distribuição relativa à tabela do nº de meninos, 
completando-a com a coluna correspondente à frequência acumulada: 
 
Nº de 
meninos 
 
 
 
 
0 2 2 
1 6 8 
2 10 18 
3 12 30 
 
4 4 34 
 Σ = 34 
 
Sendo: 
 
 
A menor frequência acumulada que supera este valor é 18, que corresponde ao 
valor 2 da variável, sendo este o valor mediano. 
Logo: 
Md = 2 meninos 
 
 
 
39 
 
Exemplo: Tomemos a distribuição relativa à tabela da estatura dos alunos, 
completando-a com a coluna correspondente à frequência acumulada: 
 
i Estaturas (cm) 
 
 
 
 
1 150 |---- 154 4 4 
2 154 |---- 158 9 13 
3 158 |---- 162 11 24 
4 162 |---- 166 8 32 
5 166 |---- 170 5 37 
6 170 |---- 174 3 40 
 Σ = 40 
 
Classe Mediana 
 
Temos: 
 
 
Como há 24 valores incluídos nas três primeiras classes da distribuição e 
como pretendemos determinar o valor que ocupa o 20º lugar, a partir do início 
da série, vemos que este deve estar localizado na terceira classe ), supondo 
que as frequências dessas classes estejam uniformemente distribuídas. 
Como há 11 elementos nessa classe e sendo o intervalo de classe igual a 
4, devemos tomar do limite inferior, a distância: 
 
 
 
 
e a mediana será dada por: 
 
 
 
Logo: Md = 160,5 cm. 
 
 
 
40 
 
Moda (Mo) 
É o valor de maior freqüência em um conjunto de dados. Ela é denotada 
por Mo. 
Exemplo: Determinar a moda dos conjuntos de dados: 
 
X: 2, 8, 3, 5, 4, 5, 3, 5, 5, 1. 
 
O elemento de maior frequência é 5. Portanto, Mo = 5. 
É uma sequência unimodal, pois só temos uma moda. X: 6, 10, 5, 6, 10, 
2. 
Este conjunto de dados apresenta o elemento 6 e 10 como elementos de 
maior frequência. 
Portanto, Mo = 6 e Mo = 10. Por isso é chamada de bimodal. 
Quando não houver elementos que se destaquem pela maior frequência, 
dizemos que a série é amodal. 
Exemplo: 
X: 3, 3, 3, 4, 4, 4. 
 
Não há moda, pois, os elementos têm a mesma frequência. 
 
Com intervalos de Classe 
 
A classe que apresenta a maior frequência é denominada classe modal. 
Pela definição, podemos afirmar que a moda, neste caso, é o valor dominante 
que está compreendido entre os limites da classe modal. 
Para determinação da moda, Czuber criou a seguinte expressão 
denominada fórmula de Czuber e, na qual: 
 
 
LI é o limite inferior da classe modal 
h é a amplitude da classe modal 
 
 
 
 
41 
 
Onde: 
 é a frequência simples da classe modal 
 é a frequência simples da classe anterior à classe modal 
 é a frequência simples da classe posterior à classe modal 
 
Exemplo: Tomemos a distribuição relativa à tabela da estatura dos alunos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Classe modal 
 
Temos: 
A classe modal é: 
 D1 = 11 – 9  D1 = 2 
 
 D2 = 11 – 8  D2 = 3 
 
E como: 
 
Temos: 
 
 
Logo: 
 
i Estaturas (cm) 
 
 
1 150 |---- 154 4 
2 154 |---- 158 9 
3 158 |---- 162 11 
4 162 |---- 166 8 
5 166 |---- 170 5 
6 170 |---- 174 3 
 Σ = 40 
 
 
 
42 
 
9.2 Os quartis 
Denominamos quartis os valores de uma série que a dividem em quatro 
partes iguais. 
Há, portanto, três quartis: 
 O primeiro quartil (Q1) que é o valor que está situado de tal 
modo na série que uma quarta parte (25%) dos dados é 
menor e as três quartas partes restantes (75%) maiores do 
que ele; 
 O segundo quartil (Q2) que é, evidentemente, coincidente 
com a mediana (Q2 = Md); 
 O terceiro quartil (Q3), que é o valor situado de tal sorte que 
as três quartas partes (75%) dos termos são menores e uma 
quarta parte (25%), maior que ele. 
 
Quando os dados são agrupados para determinar os quartis, usamos a 
mesma técnica do cálculo da mediana, bastando substituir, na fórmula da 
mediana, 
Sendo k o número de ordem do quartil. 
Assim, temos: 
 
 
Exemplo: Tomemos a distribuição relativa à tabela da estatura dos alunos. 
 
 
Estaturas (cm) 
 
 
 
1 150 |---- 154 4 4 
2 154 |---- 158 9 
13 
3 158 |---- 162 11 24 
4 162 |---- 166 8 32 
5 166 |---- 170 5 37 
 
 
 
43 
 
6 170 |---- 174 3 40 
 Σ = 40 
 
2: Q1 / 4: Q2 
Primeiro quartil Terceiro quartil 
Temos: Temos: 
 
 
9.3 Os Percentis 
Denominamos percentis aos noventa e nove valores que separam uma 
série em 100 partes iguais. 
O cálculo de um percentil segue a mesma técnica do cálculo da mediana, 
porém, a fórmula: 
 
 
 
Sendo k o número de ordem do percentil. 
 
Assim, para o k-ésimo percentil, temos: 
 
 
Exemplo: Considerando a distribuição relativa à tabela da estatura dos alunos, 
temos para oitavo percentil 
 
 
 
 
44 
 
Logo: 
 
 
Então: 
 
10 MEDIDAS DE DISPERSÃO 
 
Fonte: brasilescola.uol.com.br 
 
Raramente uma única medida é suficiente para descrever de modo 
satisfatório um conjunto de dados. 
As medidas de posição fazem um excelente trabalho fornecendo um valor 
típico para o conjunto de dados analisados, mas elas não informam a história 
completa. É possível saber onde está o centro dos dados, mas, muitas vezes, a 
média, a mediana e a moda sozinhas, não são informações suficientes, em 
situações em que se está resumindo um conjunto de dados. 
O quadro a seguir apresenta as notas de 5 avaliações aplicadas em uma 
turma com 4 alunos. O professor deseja premiar o melhor aluno com uma bolsa 
de estudo. A questão é, qual deles escolher? Cada aluno tem a mesma média 
de pontos X Antônio  X João  X José  X Pedro  5, mas há diferenças nítidas entre cada 
conjunto de dados. É necessária uma forma de medir essas diferenças. 
 
 
 
45 
 
Alunos Notas Média 
 
Antônio 5 5 5 5 5 5 
João 6 4 5 4 6 5 
José 10 5 5 5 0 5 
Pedro 10 10 5 0 0 5 
 
Observando-os detalhadamente, nota-se que em cada grupo, os valores 
se distribuem diferentemente em relação à média. Necessitando-se assim, de 
uma medida estatística complementar para melhor caracterizar cada conjunto 
apresentado. 
Podemos diferenciar cada conjunto de dados observando a forma em que 
os pontos se dispersam em relação a uma medida de posição. As pontuações 
de cada aluno são distribuídas de forma diferente, e, se medirmos como os 
pontos estão dispersos, o professor poderá tomar uma decisão mais embasada. 
As medidas estatísticas responsáveis pela variação ou dispersão dos 
valores de um conjunto de dados são as medidas de dispersão ou de 
variabilidade, onde se destacam a amplitude total, a variância, o desvio 
padrão e o coeficiente de variação. 
Em princípio, entre dois ou mais conjuntos de dados, o mais disperso (ou 
menos homogêneo) é aquele que tem a maior medida de dispersão. 
10.1 Amplitude Total 
A amplitude nos diz quantos números os dados abrangem, como se 
estivéssemos medindo sua largura. Para calculá-la tomamos o maior número do 
conjunto de dados (chamado de limite superior – LS) e, em seguida, subtraímos 
do menor (chamado de limite inferior – LI): 
 
 
 
Exemplo: Com base no exemplo anterior, a amplitude de cada aluno é 
AT = LS – LI 
 
 
 
 
46 
 
Solução: 
* ATAntônio = 5 – 5 = 0 * ATJosé = 10 – 0 = 10 
* ATJoão = 6 – 4 = 2 * ATPedro = 10 – 0 = 10 
 
A amplitude: 
Só descreve a largura dos dados e não como eles são 
dispersos entre os limites. 
Pode medir até que ponto os valoresestão dispersos, mas é 
difícil ter uma ideia real de como os dados são distribuídos. 
É uma excelente forma rápida de ter uma ideia de como os valores são 
distribuídos, mas é um pouco limitada. 
10.2 Variância 
É a soma dos quadrados dos desvios em relação à média. Com ela 
estabeleceremos uma medida de variabilidade para um conjunto de dados. É 
denotada por S2 no caso amostral ou σ2 no caso populacional. 
 
Para Dados Brutos: 
 
 
Para Dados Agrupados em Intervalos de Classe: 
Variância Populacional 
 
 
10.3 Desvio-padrão 
É a raiz quadrada positiva da variância, representado por S ou DP no caso 
amostral ou σ no caso da população. 
As notas de José e 
Pedro têm mesma 
amplitude, mas os 
valores são distribuídos 
de forma diferente. Será 
que a amplitude 
realmente mede bem a 
dispersão dos dados? 
 
 
 
47 
 
 
 
 
Exemplo: Calcule a variância e o desvio padrão da série abaixo, 
representativa de uma população. 
 
 
 
 
 
 
 
2 3 6 2,72 8,17 
3 5 15 0,42 2,11 
4 8 32 0,12 0,98 
5 4 20 1,82 7,29 
 20 73 - 18,55 
 
Primeiro, calculamos a média 
 
 
Como estamos trabalhando com uma população a variância é dada por: 
 
 
 
O desvio padrão será: 
 0,9275 = 0,963 
 
 Coeficiente de Variação de Pearson 
 
Por vezes é conveniente exprimir a variabilidade em termos relativos, isto 
porque, por exemplo, um desvio padrão de 10 pode ser insignificante se a 
observação típica é 10.000, mas altamente significativo para uma observação 
típica de 100. 
Toma-se então uma medida relativa da variabilidade, comparando o 
desvio padrão com a média. Esta medida é o Coeficiente de Variação. 
 
 
 
48 
 
 
 
Já vimos que o desvio padrão tem a mesma unidade de medida que os 
dados, de modo que o coeficiente de variação é adimensional. 
A grande utilidade do coeficiente de variação é permitir a comparação da 
variabilidade de diferentes conjuntos de dados. 
Se: CV  15%  Baixa dispersão – Homogênea, estável, regular. 
 
 15%  CV 30%  Média dispersão. 
 
CV  30%  Alta dispersão – Heterogênea. 
Exemplo: Dois grupos de 50 alunos de Estatística foram submetidos a 
uma avaliação de probabilidade e o resultado foram os seguintes. 
 
 
Como pode-se observar o grupo B apresentou um nível de dispersão 
menor do que o grupo A, para confirmar a análise iremos utilizar o Coeficiente de 
Variação de Pearson conforme a tabela acima. 
Grupo Média das notas Desvio-padrão CV 
A 6 2 
 
B 6,2 1,5 
 
 
 
 
49 
 
11 PROBABILIDADE 
 
Fonte: conteudo.icmc.usp.br 
A teoria das probabilidades é o fundamento para a inferência estatística. 
O conceito de probabilidade faz parte do dia-a-dia dos trabalhadores das áreas 
das ciências exatas, ciências da saúde, ciências biológicas, ecologia, 
engenharia, etc., uma vez que seu conceito é frequentemente usado na 
comunicação diária. Por exemplo, podemos dizer que uma espécie tem 30% de 
chance de ser extinta. Um laboratório está 90% seguro de que um medicamento 
proporcione a cura de uma doença. 
O conceito de probabilidade é fundamental para o estudo de situações 
onde os resultados são variáveis, mesmo quando mantidas inalteradas as 
condições de sua realização. 
Não é possível fazer inferências estatísticas sem utilizar alguns resultados 
da teoria das probabilidades. Esta teoria, embora intimamente associada à 
estatística, tem suas características próprias. 
 Ela procura quantificar as incertezas existentes em determinada situação, 
ora usando um número, ora uma função matemática. 
Definimos probabilidade clássica como: 
 
 
 
 
50 
 
 
 
Suponha o lançamento de um dado. Qual a probabilidade da face superior 
ser 6? O nº de resultados favoráveis é 1, uma vez que existe somente um 6. O 
nº total de resultados possíveis são 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6). Então a probabilidade é 1/6. 
Outra definição de probabilidade é da frequência relativa de ocorrência de 
um evento em um grande nº de repetições. 
 Utilizando o caso do dado, calculamos a probabilidade de aparecer 6 
lançando o dado um grande número de vezes e então observando a proporção de 
vezes que o número 6 apareceu, esta proporção nos dará a probabilidade do nº da 
face superior ser 6. 
11.1 Experimento Aleatório 
Em quase tudo, em maior ou menor grau, vislumbramos o acaso. Assim, 
da afirmação “é provável que meu time ganhe a partida hoje” pode resultar: 
 Que, apesar do favoritismo, ele perca; 
 Que, como pensamos, ele ganhe; 
 Que empate. 
 
Como vimos, o resultado final depende do acaso. Fenômenos como esse 
são chamados de fenômenos aleatórios ou experimentos aleatórios. 
Experimentos ou fenômenos aleatórios são aqueles que, mesmo 
repetidos várias vezes sob condições semelhantes, apresentam resultados 
imprevisíveis 
 
 
 
51 
 
11.2 Espaço Amostral 
 
Fonte alfaconnection.pro.br 
A cada experimento correspondem, em geral, vários resultados possíveis. 
Assim, ao lançarmos uma moeda, há dois resultados possíveis: ocorrer cara ou 
ocorrer coroa. Já ao lançarmos um dado há seis resultados possíveis: 1, 2, 3, 4, 
5 ou 6. 
Ao conjunto desses resultados possíveis damos o nome de espaço 
amostral ou conjunto universo, representados por . 
Os dois experimentos citados anteriormente têm os seguintes espaços 
amostrais: 
-Lançamento de uma moeda:  = {Cara, Coroa}; 
-Lançamento de um dado:  = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. 
Do mesmo modo, como em dois lançamentos sucessivos de uma moeda 
podemos obter cara nos dois lançamentos, ou cara no primeiro e coroa no 
segundo, ou coroa no primeiro e cara no segundo, ou coroa nos dois 
lançamentos, o espaço amostral é: 
= {(Cara, Cara), (Cara, Coroa), (Coroa, Cara), (Coroa, Coroa)}. 
Cada um dos elementos de  que corresponde a um resultado recebe o 
nome de ponto amostral. Assim: 
{(Cara, Cara)}    (Cara, Cara) é um ponto amostral de . 
 
 
http://www.alfaconnection.pro.br/
 
 
 
52 
 
11.3 Eventos 
 
Fonte: alfaconnection.pro.br 
Chamamos de eventos a qualquer subconjunto do espaço amostral  de 
um experimento aleatório. 
 
Operações com Eventos 
 Interseção 
O evento interseção de dois eventos A e B equivale à ocorrência de 
ambos. Ela contém todos os pontos do espaço amostral comum a A e a B. 
Denota-se por A  B (ou às vezes, por AB). A interseção é ilustrada pela área 
hachurada do diagrama abaixo. 
 
Exemplo: Seja A o conjunto de alunos de uma instituição que frequentam 
o curso secundário, e B o conjunto dos que frequentam um curso facultativo de 

http://www.alfaconnection.pro.br/
 
 
 
53 
 
interpretação musical. A interseção A  B é o conjunto dos alunos que fazem o 
curso secundário e frequentam o curso facultativo. 
 
 Exclusão 
Dois eventos A e B dizem-se mutuamente exclusivos ou mutuamente 
excludentes quando a ocorrência de um deles impossibilita a ocorrência do outro. 
Os eventos não têm nenhum elemento em comum. Exprime-se isto escrevendo 
A  B = . O diagrama a seguir ilustra esta situação. 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: Na jogada de um dado, seja A o evento “aparecer número par” e B o 
evento “aparecer número ímpar”. A e B são mutuamente excludentes; A  B = ; 
nenhum número pode ser par e ímpar ao mesmo tempo. 
 
 União 
O evento união de A e B equivale à ocorrência de A, ou de B, ou de ambos. 
Contém os elementos do espaço amostral que estão em pelo menos um dos dois 
conjuntos. Denota-se por A  B. A área hachurada do diagrama ilustra a situação. 
 
 

 
 
 
54 
 
A 
Nota-se que à interseção está associada à conjunção e, enquanto que à 
união está associada à conjunção ou. 
Exemplo: Se A é o conjunto dos alunos de um estabelecimento que 
frequentam o curso de ciências contábeis e B é o conjunto de aluno do mesmo 
estabelecimento que fazem administração de empresas, então A  B é o conjunto 
dos alunos que fazem pelo menos um daqueles dois cursos. Negação (Complementar) 
A negação do evento denotada por A é chamada de evento complementar de 
A. É ilustrada na parte hachurada. 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: Se, na jogada de um dado, o evento E1 consiste no 
aparecimento das faces 1, ou 2, ou 5, ou 6. Então: e 
Exemplo: Sejam A, B e C eventos arbitrários. Exprimir, em notação de 
conjuntos, os eventos: (a) apenas A ocorre, (b) todos os três ocorrem, (c) ao 
menos dois ocorrem. 
Solução: 
a) Se só A ocorre, então B não ocorre, C não ocorre. O evento é representado 
por A  ˉB  Cˉ . É ocorrência simultânea, ou interseção, de A, Bˉ , Cˉ . 
Ilustração a seguir. 
 

 
 
 

 
 
 
55 
 
b) A  B  C. 
c) (A  B  Cˉ)  (A  Bˉ  Cˉ)  (Aˉ  B  C)  (A  B  C). Isto é, 
ocorrem A, B, Cˉ , ou A Bˉ C, ou Aˉ , B, C ou A, B, C. É uma união 
de interseções. 
12 REGRAS DE PROBABILIDADE 
Independente do ponto de vista de probabilidade (clássico ou 
frequentaste) as regras para o cálculo de probabilidade são as mesmas. Antes 
das regras precisamos de algumas definições. Eventos A1, A2, A3,... são ditos 
mutuamente exclusivos se, quando um ocorre os outros não ocorrem. Eles são 
ditos exaustivos se exaurem todas as possibilidades. No caso do lançamento de 
um dado, os enventos A1,A2,A3,...A6 de que o dado mostre 1,2,3,4,5, e 6 são 
mutuamente exclusivos e exaustivos. 
Podemos escrever PA  B como a probabilidade de que os eventos A 
ou B ou ambos ocorram, a isto denominamos união de eventos, neste caso união 
de A e B. 
Escrevemos PA  B como a probabilidade da ocorrência conjunta de A 
e B, e denominamos de interseção dos eventos A e B. 
12.1 Propriedades da Probabilidade 
Sendo A um evento qualquer. 
 
 
Sendo A e B dois eventos quaisquer, temos: 
 
Se então 
 
 
 
 
 
 
56 
 
Exemplo: Sejam os eventos 
A: O dado mostra 1, 3 ou 5 
B: O dado mostra 3 
Então: 
A  B: O dado mostra 1, 3 ou 5 
A  B: O dado mostra 3 
 
A regra de adição de probabilidade afirma que: 
 
 
 
 
Se A e B são mutuamente exclusivos não podem ocorrer conjuntamente, 
assim P(A  B) = 0. Então para eventos mutuamente exclusivos: 
 
 
 
Se, em adição, A e B são exaustivos, . 
Nós denotamos por A o complementar de A. A representa a não corrência 
de A. Porque A ocorre ou não (isto é, A ocorre), A e A são mutuamente exclusivos 
e exaustivos. 
Então: 
12.2 Teorema da Probabilidade Total 
Inicialmente, consideremos n eventos B1, B2, ..., Bn. Diremos que eles 
formam uma partição do espaço amostral , quando: 
1) 
2) ; 
3) 
 
Isto é, os eventos B1, B2, ..., Bn são dois a dois mutuamente exclusivos e 
exaustivos (sua união é ). 
 
 
 
57 
 
B1 B2 B
 B8 4 
B3 
B7 
B9 
B5 B6 B10
 B 
11 
Ilustração para n = 11: 
 











 



Seja  um espaço amostral, A um evento qualquer de  e B1, B2, ..., Bn 
uma partição de . 
É válida a seguinte relação: 
A = (B1  A)  (B2  A)  (B3  A)  ...  (Bn  A). 
A figura ilustra o fato para n = 5 
 
 
 
B
2 
B
 
B1 
B3 B5 
A 
B2 
B4 
 
 
 
58 
 
Nesse caso: 
A = (B1  A)  (B2  A)  (B3  A)  ...  (B5  A). 
Notemos que (B1  A)  (B2  A)  ...  (Bn  A) são dois a dois 
mutuamente exclusivos, portanto: 
 
P(A) = P(B1  A) + P(B2  A) + ... + P(Bn  A). 
 
Exemplo: Na tabela abaixo temos dados referentes a alunos matriculados 
em quatro cursos de uma universidade em dado ano. 
Tabela: Distribuição de alunos segundo sexo e escolha de curso. 
 
 
 
Vamos indicar por M o evento que ocorre quando, escolhendo-se ao 
acaso um aluno do conjunto desses quatro cursos, ele for estudante de 
Matemática Pura. A, E, C, H e F têm significados análogos. Dessa maneira, 
vemos que , ao passo que 
Dados os eventos A e H, podemos considerar dois novos eventos: 
A  H, chamado a reunião de A e H, quando pelo menos um dos eventos 
ocorre; 
A  H, chamado a intersecção de A e H, quando A e H ocorrem 
simultaneamente 
É fácil ver que , pois o aluno escolhido terá de estar, 
ao mesmo tempo, matriculado no curso de matemática Aplicada e ser homem. 
Vemos que e ; suponha que nosso 
cálculo para 
exo otal Curso 
Matemática Pura 
(M) Matemática Aplicada 
(A) Estatística (E) 
Computação (C) 
Total 
0 
0 
10 
0 
81
0 
5 5 
0 
Mulheres 
(F) 
Homens 
(H) 
 
 
 
59 
 
P(A  H) fosse: 
P(A  H) = P(A) + P(H) 
P(A  H)  
 200 200 200 
 
Se assim o fizéssemos, estaríamos contando duas vezes os alunos que 
são homens e estão matriculados no curso de Matemática Aplicada, como 
destacado na Tabela. Portanto a resposta correta é: 
 
P(A  H) = P(A) + P(H) - P(A  H) 
P(A  H) =  
 200 200 200 200 
 
No entanto, considerando-se os eventos A e C, vemos que 
 e . Neste caso, os eventos A 
e C são disjuntos ou mutuamente exclusivos, pois se A ocorre, então C não 
ocorre e vice-versa. 
 
Exemplo: Uma urna contém 100 bolinhas numeradas, de 1 a 100. Uma 
bolinha é escolhida e observa-se seu número. Admitindo probabilidades iguais a 
1 para todos os eventos elementares, qual a probabilidade de? 100 
 
a) Observarmos um múltiplo de 6 e de 8 simultaneamente? 
b) Observarmos um múltiplo de 6 ou de 8? 
c) Observarmos um número não múltiplo de 5? 
 
Solução: 
 
Temos  = {1, 2, 3, ..., 99, 100} 
Um múltiplo de 6 e 8 simultaneamente terá que ser múltiplo de 24; 
portanto, o evento que nos interessa é: A = {24, 48, 72, 96}. 
 
 
 
 
 
 
60 
 
b) Sejam os eventos: 
B: o número é múltiplo de 6. C: o número é múltiplo de 8. 
O evento que nos interessa é , então: 
 B = {6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, 84, 90, 96 } 
e 
C = {8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, 88, 96} 
e 
Portanto : 
Ora, B  C nada mais é do que o evento A (do item a). 
Logo, P(B  C) = 1 
 25 
 
 Segue-se então que: P(B  C) = 4 +3 – 1 = 6 
 25 25 25 25 
 
d) Seja D o evento, o número é múltiplo de 5. Temos: 
 
D = {5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95, 
100} 
 P(D) = 20 = 1 
 100 5 
 
O evento que nos interessa é . Logo, 
 
 
12.3 Probabilidade Condicional e Regra Da Multiplicação 
Às vezes, nós restringimos nossa obtenção ao subconjunto de todos os 
eventos possíveis. Por exemplo, suponha que ao lançarmos um dado, os casos 
1, 2 e 3 não sejam levados em consideração; considere o evento B o dado 
mostrar 4, 5 ou 6. Considere o evento A de que o dado mostre 6. A probabilidade 
 
 
 
61 
 
P( A  B)  P( A)  P(B) 
de A é agora 1/3 porque o número total de resultados é 3 e não 6. A probabilidade 
condicional é definida como segue: A probabilidade de um evento A dado que 
outro evento B ocorreu, é denotada e é definido por 
 
 
12.4 Independência de Eventos 
Dizemos que dois eventos A e B são independentes, se as probabilidades 
condicionais P(A | B) = P(A) e P(B | A) = P(B). Isto equivale, a partir da regra da 
multiplicação, escrever a ocorrência simultânea de A e B como sendo: 
 
 
 
 
12.5 Distribuição de Probabilidade 
 Variáveis Aleatórias e Distribuições de Probabilidade 
A variável X é dita variável aleatória se para todo n.º real a existe uma 
probabilidade que X assuma os valores menores ou iguais que a, ou 
seja, é a variável que associa um número real ao resultado de um experimento 
aleatório. 
 
 Distribuições Discretas de Probabilidade 
Algumas variáveis aleatórias adaptam-se muito bem a uma série de 
problemas práticos. Um estudo dessas variáveis é de grande importância para a 
construção de modelos probabilísticos para situações reais e a consequente 
estimação de seus parâmetros.Para algumas destas distribuições, existem 
tabelas que facilitam o cálculo das probabilidades em função dos seus 
parâmetros. Existem dois modelos discretos mais importantes: a distribuição 
binomial e a distribuição de Poisson. 
 
 
 
62 
 
Distribuição Binomial: Uma das mais comuns em estatística. Deriva de um 
processo conhecido como teste de Bernoulli em que cada tentativa tem duas 
possibilidades excludentes de ocorrência chamada de sucesso e falha (ex. 
moeda). 
O Processo de Bernoulli: Uma sequência de testes de Bernoulli forma um 
Processo de Bernoulli, sob as seguintes condições: 
a) Cada tentativa resulta em um de dois resultados mutuamente 
excludentes. Um dos resultados possíveis é chamado (arbitrariamente) 
de sucesso e o outro de falha; 
b) A probabilidade de sucessos denotada p, permanece constante em todas 
as tentativas. A probabilidade da falha, 1 - p, é denotada por q. 
c) As tentativas são independentes; isto é, o resultado de uma tentativa 
particular não é afetado pelos resultados das outras tentativas. 
 
Assim, a probabilidade de obtermos exatamente X sucessos em n 
tentativas é a distribuição binomial: 
 
 
12.6 Distribuições Contínuas de Probabilidade 
De modo geral, podemos dizer que as variáveis aleatórias cujos valores 
resultam de algum processo de mensuração são variáveis aleatórias contínuas. 
 
Distribuição Normal: A distribuição normal é uma distribuição em forma de 
sino que é usado muito extensivamente em aplicações estatísticas em campos 
bem variados. Sua densidade de probabilidade (f.d.p.) é dada por: 
 
 
 
Distribuição Normal Padrão: Caracterizada pela média igual a zero e desvio 
padrão igual a 1. 
 
 
 
63 
 
13 INFERÊNCIA ESTATÍSTICA 
Consiste em um conjunto de procedimentos por meio dos quais as 
informações obtidas com base em dados amostrais são utilizadas para o 
estabelecimento de conclusões e a tomada de decisões sobre a população da 
qual a amostra foi extraída. Os problemas básicos da inferência estatística são: 
o chamado teste de hipótese e a estimação. O problema de estimação 
apresenta-se em todas as situações, seja no cotidiano ou em qualquer ciência. 
A estimativa pode ser de uma média de uma medida de variabilidade ou de uma 
proporção. 
Distribuição Amostral É a distribuição que descreve o padrão de 
variação dos valores de uma estatística, para diferentes amostras extraídas da 
população de interesse, é denominada distribuição amostral. 
Amostra Aleatória  As observações X1, X2, ..., Xn constituem uma 
amostra aleatória de tamanho n da população, se cada observação resulta de 
seleções independentes dos elementos da população e se cada tem a mesma 
distribuição da população da qual foi extraída. 
14 TEORIA ELEMENTAR DA AMOSTRAGEM 
A essa teoria é um estudo das relações existentes entre uma população 
e as amostras dela extraídas. É útil em: 
 estimação de parâmetros populacionais; 
 determinação das causas de diferenças observadas entre 
amostras. 
Constitui o que chamamos de estatística indutiva ou inferência estatística 
que consiste em inferir conclusões importantes sobre uma população a partir da 
análise de resultados observados em amostras aleatórias. Como toda conclusão 
deduzida a partir da amostragem é acompanhada de um grau de incerteza ou 
risco, o problema fundamental da inferência estatística é medir este grau de 
incerteza ou risco das generalizações. 
 
 
 
64 
 
Parâmetro: medida numérica que descreve uma população. Genericamente 
representado por θ. 
 Exemplos: média (µ ), variância ( 2 σ ). 
 Estatística ou estimador: medida numérica que descreve uma amostra. 
Genericamente representado por θ ˆ. 
Exemplos: média ( x ), variância ( 2 S ). Estimativa: valor numérico de um 
estimador. Erro amostral: erro que ocorre pelo uso da amostra. Denotado por ε 
e definido por: ε =θ −θ ˆ. 
15 TEORIA DA ESTIMAÇÃO 
Um dos métodos para realizar inferências a respeito dos parâmetros é a 
estimação, que determina estimativas dos parâmetros populacionais. Consiste 
em utilizar dados amostrais para estimar (ou prever) os valores de parâmetros 
populacionais desconhecidos, tais como média, desvio padrão, proporções, etc. 
Existem dois tipos de estimação de um parâmetro populacional: 
estimação por ponto e a estimação por intervalo. 
15.1 Estimação por ponto 
É a estimativa de um parâmetro populacional dada por um único número. 
A partir das observações, usando o estimador, procura-se encontrar um 
valor numérico único (estimativa) que esteja bastante próximo do verdadeiro 
valor do parâmetro. 
Este procedimento não permite julgar a magnitude do erro que podemos 
estar cometendo, mas a distribuição por amostragem dos estimadores torna 
possível o estudo das qualidades do estimador. 
Na estimativa pontual, raramente os estimadores estatísticos coincidem 
com os valores populacionais. Assim, é importante delimitar a faixa de valores 
onde o parâmetro populacional deve ser procurado. Isso ocorre através das 
estimativas intervalares. 
Estimadores pontuais dos principais parâmetros populacionais: 
 
 
 
 
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 Estimação por intervalo: Essa estimativa consiste em uma amplitude 
(ou um intervalo) de valores, no qual se admite esteja o parâmetro populacional. 
Procura determinar um intervalo que contenha o valor do parâmetro 
populacional, com certa margem de segurança. Este procedimento permite 
julgar a magnitude do erro que podemos estar cometendo. 
Intervalo de Confiança: Quando se constrói um intervalo de confiança 
são determinados dois limites entre os quais se espera estar o parâmetro da 
população, de acordo com um risco conhecido de erro (ou nível de confiança). 
As informações sobre a precisão de uma estimativa de intervalo são 
transmitidas pela sua extensão. Se o nível de confiança for alto e o intervalo 
resultante, bastante restrito, o conhecimento do valor do parâmetro será 
razoavelmente preciso. Um intervalo de confiança muito amplo passa a ideia de 
que há muita incerteza com relação ao valor que estamos estimando. 
Com base na amostra, uma maneira de expressar a precisão da 
estimação é calcular os limites de um intervalo, o Intervalo de Confiança (IC), 
tais que (1 – α) seja a probabilidade de que o verdadeiro valor do parâmetro 
esteja contido nele. 
 
Portanto: 
α = grau de desconfiança, nível de incerteza ou nível de significância. 
1-α = coeficiente de confiança ou nível de confiabilidade; 
Os valores de α mais utilizados são: 
α = 0,10 →(1 – α) = 0,90 ou 90% 
α = 0,05 →(1 – α) = 0,95 ou 95% 
α = 0,01 →(1 – α) = 0,99 ou 99% 
 
Estima-se que o verdadeiro valor do parâmetro estará contido em (1 – α). 
Algumas estimativas intervalares incluem e outras não incluem o verdadeiro 
valor do parâmetro da população. Ao se retirar uma amostra e calcular um 
intervalo de confiança não se sabe, na verdade, se o parâmetro da população 
se encontra naquele intervalo calculado. O importante é saber que se está 
utilizando um método com (1 – α) de probabilidade de sucesso. 
 
 
 
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15.2 Intervalo de confiança para a média quando a variância é conhecida 
Utiliza-se quando por quantidade de medidas ou por conhecimento 
histórico do processo de medida, o valor do desvio padrão está perfeitamente 
estabelecido de modo que o mesmo pode ser considerado como desvio padrão 
da população. 
Para grandes amostras, utiliza-se a seguinte fórmula: 
 
 
Para populações finitas, utiliza-se a seguinte fórmula: 
 
Intervalo de confiança para a proporção (grandes amostras) 
 
Para populações finitas o IC será: 
 
 
16 TESTES DE SIGNIFICÂNCIA 
Testes de significância (também conhecidos como Testes de Hipóteses) 
correspondem a uma regra decisória que nos permite rejeitar ou não rejeitar uma 
hipótese estatística com base nos resultados de uma amostra. 
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