Apostila de Calculo ll

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Universidade Federal de Sergipe
Departamento de Matemática – DMA
Apostila de Cálculo II
Franklin Zillmer
São Cristóvão, SE - Brasil
2020
Resumo
Essa apostila é destinada aos alunos da disciplina de Cálculo II. Nesse material se encontram
a teoria e também exemplos, os quais serão resolvidos em sala de aula para que haja
fixação da teoria.
A apostila foi feita com base nos livros (STEWART, 2013) e (WEIR; HASS; GIOR-
DANO, 2009). Dentre as bibliografias complementares temos: (ANTON; DAVIS; BIVENS,
2007), (APOSTOL, 1999), (FLEMMING; GONÇALVES, 2006), (GUIDORIZZI, 2011) e
(LEITHOLD, 1994).
Sumário
1 Equações Paramétricas e Coordenadas Polares . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1 Curvas Definidas por Equações Paramétricas . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Cálculo com Curvas Parametrizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Coordenadas Polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Áreas e Comprimentos em Coordenadas Polares . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 Funções Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1 Limites e Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 Regras de Derivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3 Integral de Funções Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4 Comprimento de Arco e Vetor Tangente Unitário . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4.1 Parâmetro comprimento de arco com ponto base P (t0) . . . . . . . 16
3 Derivadas Parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.1 Funções de Várias Variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.1.1 Limite e continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.1.2 Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2 Derivadas Parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2.1 Derivadas Parciais e Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.2.2 Derivadas Parciais de Segunda Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.2.3 Diferenciabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2.4 Regra da Cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2.4.1 Funções de duas variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2.4.2 Funções de três variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2.5 Derivadas Direcionais e Vetor Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2.5.1 Gradientes e reta tangente a curvas de nível . . . . . . . . 29
3.2.6 Valores Máximo e Mínimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2.7 Multiplicadores de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4 Sequências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.1 Convergência e divergência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.2 Calculando limites de sequências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5 Séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.1 Séries Alternadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.2 Séries de Potências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.3 Convergência de Séries de Potências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.4 Derivação Termo a Termo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.5 Integração Termo a Termo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.6 Séries de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4
1 Equações Paramétricas e Coordenadas Po-
lares
1.1 Curvas Definidas por Equações Paramétricas
Definição 1 Sejam um intervalo I ⊂ R e funções contínuas x = f(t) e y = g(t) definidas
em I.
1. Dizemos que a função λ é uma curva parametrizada.
λ I → R2
t → λ(t) = (f(t), g(t))
2. O conjunto C = {(f(t), g(t)); t ∈ I} (imagem da função λ) é uma curva.
3. As equações x = f(t) e y = g(t) (t ∈ I) são equações paramétricas da curva
C. Dizemos também que essas equações parametrizam a curva C.
4. A variável t é chamada de parâmetro.
Exemplo 1 As equações paramétricas x = sen(2t), y = cos(2t), 0 ≤ t ≤ 2π represen-
tam o círculo unitário x2 + y2 = 1. O ponto inicial (sen(0), cos(0)) e o ponto final
(sen(2π), cos(2π)) representam o ponto (0, 1). Quando t varia de 0 a 2π, a curva se move
duas vezes em torno do círculo no sentido horário, como indicado na figura.
0
(0,1)
x
yt = 0, !, 2! 
Capítulo 1. Equações Paramétricas e Coordenadas Polares 5
1.2 Cálculo com Curvas Parametrizadas
Tangentes
Sabemos que se x = f(t), y = g(t) e y = h(x) são funções diferenciáveis, a regra
da cadeia nos diz que
dy
dt
= dy
dx
· dx
dt
.
Se dx
dt
6= 0, temos dy
dx
=
dy
dt
dx
dt
, que permite encontrar a inclinação da tangente para
uma curva paramétrica.
Além disso, d2y
dx2
= d
dx
(
dy
dx
)
=
d
dt( dydx)
dx
dt
.
Cicloide
A curva traçada pelo ponto P na borda de um círculo quando ele rola ao longo de
uma reta é chamada de cicloide como indicado na figura.
xeixo polarO
r
θ
P(r,θ)
P
Exemplo 2 Considere a cicloide x = r(θ − senθ), y = r(1− cos θ).
(a) Encontre a tangente à cicloide em θ = π3 ;
(b) Em que pontos a tangente é horizontal? Quando é vertical?
Solução:
(a)
(b)
�
Áreas
Sabemos que a área sob uma curva y = F (x) de a até b é A =
∫ b
a F (x)dx, em que
F (x) ≥ 0. Se a curva for dada por equações paramétricas x = f(t), y = g(t), α ≤ t ≤ β,
então podemos deduzir a fórmula da área como sendo A =
∫ b
a ydx =
∫ β
α g(t)f ′(t)dt.
Exemplo 3 Encontre a área sob um arco da cicloide x = r(θ − senθ), y = r(1− cos θ).
Capítulo 1. Equações Paramétricas e Coordenadas Polares 6
Solução:
�
Comprimento de Arco
Definição 2 Comprimento de uma curva paramétrica
Se uma curva C é definida parametricamente por x = f(t) e y = g(t), a ≤ t ≤ b, onde f ′
e g′ são contínuas em [a, b] e C é percorrida exatamente uma vez, quando t avança de a
para b, então o comprimento de C é
L =
∫ b
a
√
[f ′(t)]2 + [g′(t)]2dt.
Exemplo 4 Determine o comprimento do circulo de raio r definido parametricamente
por
x = r cos t y = rsen t 0 ≤ t ≤ 2π.
Solução:
�
Área de Superfícies
Definição 3 Área de superfície de revolução para curvas parametrizadas
Se a curva dada pelas equações paramétricas x = f(t) e y = g(t), a ≤ t ≤ b, é percorrida
exatamente uma vez quando t aumenta de a para b, então a área das superfícies geradas
pela rotação da curva em torno dos eixos de coordenadas é calculada como se segue
1. Rotação em torno do eixo x (y ≥ 0):
S =
∫ b
a
2πy
√√√√(dx
dt
)2
+
(
dy
dt
)2
dt.
2. Rotação em torno do eixo y (x ≥ 0):
S =
∫ d
c
2πx
√√√√(dx
dt
)2
+
(
dy
dt
)2
dt.
Exemplo 5 Mostre que a área da superfície de uma esfera de raio r é 4πr2.
Solução: �
Capítulo 1. Equações Paramétricas e Coordenadas Polares 7
1.3 Coordenadas Polares
No sistema de coordenadas polares definimos um ponto O no plano chamado
polo (ou origem) e o eixo polar que consiste de uma meia linha começando em O e
corresponde ao eixo x positivo nas coordenadas cartesianas.
xeixo polarO
r
θ
P(r,θ)
P
Figura 1: Representação do sistema de coordenadas polares
Se P for um ponto do plano, considere r a distância de O a P e θ o ângulo (em
radianos) entre o eixo polar e a reta OP , como na Figura 1. Assim, P = (r, θ) e r e θ são
chamados coordenadas polares de P . Convencionamos que:
- um ângulo é positivo se for medido no sentido anti-horário a partir do eixo polar e
negativo se for medido no sentido horário;
- (0, θ) representa o polo O para qualquer valor de θ;
- (−r, θ) e (r, θ) estão na mesma reta passando pelo polo O e estão à mesma distância
|r| a partir de O, mas em lados opostos de O;
- Se r > 0, (r, θ) está no mesmo quadrante que θ e se r < 0, (r, θ) está no quadrante
do lado oposto ao polo.
Exemplo 6 Marque os pontos cuja coordenadas polares são (1, 5π4), (2, 3π), (2,
−2π
3 ) e
(−3, 3π4 ).
Solução:
�
Observe que, para n inteiro:
(r, θ) = (r, θ + 2nπ)
= (−r, θ + (2n+ 1)π)
Capítulo 1. Equações Paramétricas e Coordenadas Polares 8
Relação entre coordenadas polares e cartesianas
Considere o ponto P . Em coordenadas polares representamos P como (r, θ) e em
coordenadas cartesianas como (x, y) como vemos na Figura 2.
O
r
θ
P=(x,y)=(r,θ)
P
x
y
Figura 2: Relação entre os sistemas de coordenadas
As relações entre os sistemas de coordenadas são os seguintes:
• x = r cos θ;
• y = rsenθ;
• tgθ = y
x
;
• r2 = x2 + y2.
Exemplo 7 Converta (2, π3 ) para coordenadas cartesianas e (1,−1) para coordenadas
polares.
Solução:
�
Curvas Polares
O gráfico de uma equação polar r = f(θ) consiste em todos os pontos P que têm
pelo menos uma representação (r, θ) cujas coordenadas satisfaçam a equação.
Exemplo 8 Esboce as curvas polares.
• r = 2;
• θ = π4 ;
Capítulo 1. Equações Paramétricas e Coordenadas Polares 9
• r = 2 cos θ;
• r = 1 + senθ;
• r = cos(2θ).
Solução:
�
Simetria
Ao esboçar curvas polares, as vezes é útil levar em conta a simetria. As regras são
as seguintes:
(a) Se uma equação polar não mudar quando θ for trocado por −θ, a curva será simétrica
em relação ao eixo polar.
(b) Se uma equação polar não mudar quando r for trocado por −r ou quando θ for
trocado por θ + π, a curva será simétrica em relação ao polo.
(c) Se uma equação polar não mudar quando θ for trocado por π − θ, a curva será
simétrica em relação à reta vertical θ = π2 .
Tangentes a Curvas Polares
Para encontrarmos a equação da reta tangente a uma curva polar r = f(θ)
procedemos como segue:
x = r cos θ = f(θ) cos θ
y = rsenθ = f(θ)senθ
dy
dx
=
dy
dθ
dx
dθ
=
dr
dθ
senθ + r cos θ
dr
dθ
cos θ − rsenθ
Localizamos as tangentes horizontais achando os pontos onde dy
dθ
= 0 (desde que
dx
dθ
6= 0). Do mesmo modo, localizamos as tangentes verticais nos pontos onde dx
dθ
= 0
(desde que dy
dθ
6= 0).
Para retas tangentes ao polo, r = 0, logo dy
dx
=
dr
dθ
senθ + r cos θ
dr
dθ
cos θ − rsenθ
=
dr
dθ
senθ
dr
dθ
cos θ
= tgθ,
se dr
dθ
6= 0.
Capítulo 1. Equações Paramétricas e Coordenadas Polares 10
Exemplo 9 (a) Para a cardioide r = 1 + senθ, calcule a inclinação da reta tangente
quando θ = π3 .
(b) Encontre os pontos na cardioide onde a reta tangente é horizontal ou vertical.
Solução:
(a) dy
dx
=
dr
dθ
senθ + r cos θ
dr
dθ
cos θ − rsenθ
= cos θsenθ + (1 + senθ) cos θcos θ cos θ − (1 + senθ)senθ =
(1 + 2senθ) cos θ
1− sen 2θ − (1 + senθ)senθ ,
logo dy
dx
= (1 + 2senθ) cos θ1− senθ − 2sen 2θ =
(1 + 2senθ) cos θ
(1 + senθ)(1− 2senθ) .
Em θ = π3 temos
dy
dx
|θ=π3 =
(1 + 2sen π3 ) cos
π
3
1− sen π3 − 2sen 2
π
3
=
(
1 + 2
√
3
2
)
1
2
1−
√
3
2 − 2
(√
3
2
)2 =
(
1 +
√
3
)
1
2
1−
√
3
2 −
3
2
=
1+
√
3
2
−1−
√
3
2
Portanto, dy
dx
|θ=π3 =
1+
√
3
2
−1−
√
3
2
= 1 +
√
3
−(1 +
√
3)
= −1.
(b) Temos que dy
dx
= (1 + 2senθ) cos θ(1 + senθ)(1− 2senθ) , logo:
dy
dθ
= (1 + 2senθ) cos θ = 0 ⇒ θ = π2 ,
3π
2 ,
7π
6 ,
11π
6
dx
dθ
= (1 + senθ)(1− 2senθ) = 0 ⇒ θ = 3π2 ,
π
6 ,
5π
6
Quando θ = 3π2 ,
dx
dθ
e dy
dθ
são 0, logo
lim
θ→ 3π2
+
(1 + 2senθ) cos θ
(1 + senθ)(1− 2senθ) = limθ→ 3π2 +
−(1 + 2senθ)senθ + 2 cos2 θ
−2(1 + senθ) cos θ + (1− 2senθ) cos θ = −∞
Portanto, a tangente horizontal é nos pontos
(
2, π2
)
,
(1
2 ,
7π
6
)
,
(1
2 ,
11π
6
)
e a tangente
vertical é nos pontos
(
0, 3π2
)
,
(3
2 ,
π
6
)
,
(3
2 ,
11π
6
)
. Uma das retas tangentes é no
polo (O =
(
0, 3π2
)
).
�
Capítulo 1. Equações Paramétricas e Coordenadas Polares 11
1.4 Áreas e Comprimentos em Coordenadas Polares
Área
Considere a área de um setor de um círculo A = 12r
2θ, sendo r o raio e θ a medida
do ângulo central.
Para obtermos a área de uma região R limitada pela curva polar r = f(θ) e por
θ = a e θ = b, sendo f contínua e positiva e 0 < b− a ≤ 2π, devemos dividir o intervalo
[a, b] em subintervalos com extremidades θ0, θ1, · · · , θn com larguras iguais a ∆θ. A i-ésima
região será aproximada como a área Ai de um setor de um círculo de raio f(θ∗i ) e ângulo
central ∆θ, ou seja,
Ai ≈
1
2f(θ
∗
i )2∆θ
E uma aproximação para a área A será:
A ≈
n∑
i=0
1
2f(θ
∗
i )2∆θ
Portanto
A = lim
n→∞
n∑
i=0
1
2f(θ
∗
i )2∆θ =
∫ b
a
1
2f(θi)
2dθ =
∫ b
a
1
2r
2dθ
Exemplo 10 Calcule a área delimitada por um laço da rosácea de quatro pétalas r =
cos(2θ).
Solução:
A =
∫ π
4
−π4
1
2r
2dθ = 12
∫ π
4
−π4
cos2(2θ)dθ
= 12 · 2
∫ π
4
0
cos2(2θ)dθ =
∫ π
4
0
cos2(2θ)dθ
=
∫ π
4
0
1
2(1 + cos(4θ))dθ =
1
2(θ +
1
4sen(4θ))|
π
4
0
= 12
(
π
4 +
1
4sen(π)− 0−
1
4sen(0)
)
= π8
�
Comprimentos de Arco
Sejam r = f(θ), a ≤ θ ≤ b, x = r cos θ = f(θ) cos θ e y = rsenθ = f(θ)senθ, então:
dx
dθ
= dr
dθ
cos θ − rsenθ e dy
dθ
= dr
dθ
senθ + r cos θ
Capítulo 1. Equações Paramétricas e Coordenadas Polares 12
(
dx
dθ
)2
+
(
dy
dθ
)2
=
(
dr
dθ
)2
cos2 θ − 2rdr
dθ
senθ cos θ + r2sen 2θ
+
(
dr
dθ
)2
sen 2θ + 2rdr
dθ
senθ cos θ + r2 cos2 θ
=
(
dr
dθ
)2
(sen 2θ + cos2 θ) + r2(sen 2θ + cos2 θ)
=
(
dr
dθ
)2
+ r2
Dessa forma, L =
∫ b
a
√√√√(dx
dθ
)2
+
(
dy
dθ
)2
dθ =
∫ b
a
√√√√(dr
dθ
)2
+ r2dθ
Exemplo 11 Calcule o comprimento da cardioide r = 1 + senθ.
Solução:
L =
∫ 2π
0
√√√√(dr
dθ
)2
+ r2dθ =
∫ 2π
0
√
(1 + senθ)2 + cos2 θdθ
=
∫ 2π
0
√
1 + 2senθ + sen 2θ + cos2 θdθ =
∫ 2π
0
√
2 + 2senθdθ
= 2
∫ π
2
−π2
√
2 + 2senθdθ = 2
∫ π
2
−π2
√
2 + 2senθ
√
2− 2senθ√
2− 2senθ
dθ
= 2
∫ π
2
−π2
√
4− 4sen 2θ√
2− 2senθ
dθ = 2
∫ π
2
−π2
2 cos θ√
2− 2senθ
dθ
Seja u = 2 − 2senθ, então du = −2 cos θdθ e θ = −π2 ⇒ u = 4, θ =
π
2 ⇒ u = 0.
Logo
L = 2
∫ π
2
−π2
2 cos θ√
2− 2senθ
dθ = −2
∫ 0
4
1√
u
du
= 2
∫ 4
0
u−
1
2du = 2 · 2
√
u|40 = 4(
√
4−
√
0) = 4 · 2 = 8
�
13
2 Funções Vetoriais
Sejam
x = f(t), y = g(t) e z = h(t), t ∈ I. (1)
Os pontos (x, y, z) = (f(t), g(t), h(t)), t ∈ I formam uma curva no espaço que é a trajetória
de uma partícula. As equações e o intervalo em (1) parametrizam a curva. A curva no espaço
também pode ser representada na forma vetorial. O vetor r(t) = −→OP = f(t)~i+g(t)~j+h(t)~k
a partir da origem até a posição da partícula P = (f(t), g(t), h(t)) no instante t é o vetor
posição da partícula. As funções f , g e h são as funções componentes do vetor posição e r
define uma função vetorial da variável real t no intervalo I.
Exemplo 12 Represente graficamente a função vetorial r(t) = (cos t)~i+ (sen t)~j + t~k.
Solução:
�
2.1 Limites e Continuidade
Definição 4 Sejam r(t) = f(t)~i+g(t)~j+h(t)~k uma função vetorial e L um vetor. Dizemos
que r tem limite em L à medida que t se aproxima de t0 e escrevemos lim
t→t0
r(t) = L se para
todo número ε > 0, existe um número correspondente δ > 0 tal que para todo t
0 < |t− t0| < δ ⇒ |r(t)− L| < ε.
Exemplo 13 Se r(t) = (cos t)~i+(sen t)~j+t~k, então calcule o limite de r(t) quando t→ π4 .
Definição 5 Uma função vetorial r(t) será contínua em um ponto t = t0 no seu domínio
se lim
t→t0
r(t) = r(t0). A função será contínua se for contínua em todos os pontos do seu
domínio.
Seja r(t) = f(t)~i+ g(t)~j + h(t)~k o vetor posição de uma partícula que se move ao
longo de uma curva e f , g e h funções deriváveis em t. Então a diferença entre as posições
da partícula no instante t e no instante t+ ∆t é
∆r = r(t+ ∆t)− r(t).
Capítulo 2. Funções Vetoriais 14
Definição 6 A função vetorial r(t) = f(t)~i+g(t)~j+h(t)~k tem uma derivada (é derivável)
em t se f , g e h têm derivadas em t. A derivada é a função vetorial
r′(t) = dr
dt
= lim
∆t→0
r(t+ ∆t)− r(t)
∆t =
df
dt
~i+ dg
dt
~j + dh
dt
~k.
Uma função vetorial r é derivável se for derivável em todos os pontos de seu domínio.
A curva traçada por r é lisa se dr
dt
for contínua e nunca 0, isto é, se f , g e h tiverem
derivadas primeiras contínuas que não sejam simultaneamente 0.
O vetor r′(t) quando diferente de 0, é um vetor tangente à curva em P . Uma curva
que é feita de um número finito de curvas lisas ligadas de maneira contínua é lisa por
partes.
Definição7 Se r é o vetor posição de uma partícula que se move ao longo de uma curva
lisa no plano, então v(t) = dr
dt
é o vetor velocidade da partícula, tangente à curva. Em
qualquer instante t, a direção de v é a direção do movimento, a magnitude de v representa o
módulo da velocidade da partícula, e a derivada a = dv
dt
, quando existe é o vetor aceleração
da partícula. Em resumo:
1. A velocidade é a derivada da posição: v = dr
dt
;
2. O módulo da velocidade é a magnitude da velocidade = |v|;
3. A aceleração é a derivada da velocidade: a = dv
dt
= d
2r
dt2
;
4. O vetor unitário v
|v|
é a direção do movimento no instante t.
Exemplo 14 Uma pessoa em uma asa-delta está espiralando para cima devido ao ar
ascendente em uma trajetória com vetor projeção r(t) = (3 cos t)~i+(3sen t)~j+t2~k. Encontre:
(a) Os vetores velocidade e aceleração;
(b) O módulo da velocidade da asa-delta em qualquer instante t;
(c) Os instantes, se houver algum, em que a aceleração da asa-delta é ortogonal a sua
velocidade.
Solução:
a
b
Capítulo 2. Funções Vetoriais 15
c
�
2.2 Regras de Derivação
Sejam u e v funções vetoriais deriváveis de t, C um vetor constante, c qualquer
escalar e f qualquer função escalar derivável, então
1. d
dt
C = 0;
2. d
dt
[c · u(t)] = c · u′(t);
d
dt
[f(t)u(t)] = f ′(t) · u(t) + f(t) · u′(t);
3. d
dt
[u(t) + v(t)] = u′(t) + v′(t);
4. d
dt
[u(t)− v(t)] = u′(t)− v′(t);
5. d
dt
[u(t) · v(t)] = u′(t) · v(t) + u(t) · v′(t);
6. d
dt
[u(t)× v(t)] = u′(t)× v(t) + u(t)× v′(t);
7. d
dt
[u(f(t))] = f ′(t) · u′(f(t)).
Se r for uma função vetorial derivável de t de comprimento constante, então
r · dr
dt
= 0.
Exemplo 15 Mostre que r(t) = (sen t)~i+ (cos t)~j +
√
3~k tem comprimento constante e é
ortogonal a sua derivada.
Solução:
�
Capítulo 2. Funções Vetoriais 16
2.3 Integral de Funções Vetoriais
Definição 8 Se as componentes de r(t) = f(t)~i+ g(t)~j + h(t)~k são integráveis sobre [a, b]
então r também é, e a integral definida de r de a até b é:
∫ b
a
r(t)dt =
(∫ b
a
f(t)dt
)
~i+
(∫ b
a
g(t)dt
)
~j +
(∫ b
a
h(t)dt
)
~k
Exemplo 16 Calcule a integral
∫ π
0
((cos t)~i+~j − 2t~k)dt.
Solução:
�
2.4 Comprimento de Arco e Vetor Tangente Unitário
Definição 9 O comprimento de uma curva lisa r(t) = f(t)~i + g(t)~j + h(t)~k, a < t < b,
que é traçado exatamente uma vez à medida que t aumenta de t = a para t = b é
L =
∫ b
a
√√√√(dx
dt
)2
+
(
dy
dt
)2
+
(
dz
dt
)2
dt =
∫ b
a
|v|dt.
Exemplo 17 Um planador está voando para cima ao longo da hélice r(t) = (cos t)~i +
(sen t)~j + t~k. Qual a distância percorrida atingida pelo planador ao longo de sua trajetória
de t = 0 até t = 2π = 6, 28s?
Solução:
�
2.4.1 Parâmetro comprimento de arco com ponto base P (t0)
s(t) =
∫ t
t0
√
[x′(τ)]2 + [y′(τ)]2 + [z′(τ)]2dτ =
∫ t
t0
|v(τ)|dτ
s(t) é um parâmetro de comprimento de arco para uma curva lisa C de um ponto
base P (t0) ao ponto P (t). Se t > t0, s(t) é a distância entre P (t0) e P (t). Se t < t0, s(t) é
o oposto da distância.
Capítulo 2. Funções Vetoriais 17
Exemplo 18 Mostre que se u = u1~i+u2~j+u3~k é um vetor unitário, então o parâmetro de
comprimento da curva r(t) = (x0 +tu1)~i+(y0 +tu2)~j+(z0 +tu3)~k do ponto P0 = (x0, y0, z0)
onde t = 0 é o próprio t.
Solução:
�
Observação 1 Como s(t) =
∫ t
t0
|v(τ)|dτ , então ds
dt
= |v(t)|.
Definição 10 O vetor tangente unitário de uma curva derivável r(t) é T = dr
ds
=
dr
dt
ds
dt
= v
|v|
.
Exemplo 19 Encontre o vetor tangente unitário da curva r(t) = (3 cos t)~i+(3sen t)~j+t2~k.
Solução:
�
Definição 11 Se T é o vetor unitário de uma curva lisa, a função curvatura da curva é
κ =
∣∣∣∣∣dTds
∣∣∣∣∣.
Fórmula para calcular a curvatura: Se r(t) é uma curva lisa, então a curvatura
é κ = 1
|v|
∣∣∣∣∣dTdt
∣∣∣∣∣ onde T = v|v| é o vetor tangente unitário.
Exemplo 20 Mostre que a curvatura de um círculo de raio a é 1
a
.
Solução:
�
Definição 12 Em um ponto onde k 6= 0, o vetor normal unitário principal para uma
curva no plano é N = 1
κ
dT
ds
.
Fórmula para calcular N : Se r(t) é uma curva lisa, então a normal unitária
principal é N =
dT
dt∣∣∣dT
dt
∣∣∣ onde T = v|v| é o vetor tangente unitário.
Capítulo 2. Funções Vetoriais 18
Exemplo 21 Encontrar T e N para o movimento circular r(t) = (cos 2t)~i+ (sen2t)~j.
Solução:
�
Observe que T ·N = 0, verificando-se que N é ortogonal a T .
Como os vetores tangente e normal são ortogonais, se calcularmos B = T ×N que
é chamado de vetor binormal de uma curva no espaço, temos que B é unitário e ortogonal
tanto a T quanto a N . Juntos T,N,B definem um referencial positivo que tem papel
significativo no cálculo de trajetórias de partículas movendo-se no espaço. Ele é chamado
de Triedro de Frenet.
Definição 13 Sejam B = T ×N . A função torção de uma curva lisa é τ = −dB
ds
·N .
Definição 14 Componentes tangencial e normal da aceleração
A aceleração pode ser decomposta em duas componentes – uma na direção da tan-
gente e outra na direção do normal – como a = aTT + aNN onde aT =
d2s
dt2
= d
dt
|v| e
aN = κ
(
ds
dt
)2
= κ|v|2 são as componentes escalares tangencial e normal da ace-
leração, respectivamente.
Fórmula para calcular aN : aN =
√
|a|2 − a2T .
Fórmula vetorial para curvatura: κ = |v × a|
|v|3
.
Fórmula para calcular a torção:
τ =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
ẋ ẏ ż
ẍ ÿ z̈
˙̈x ÿ z̈
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
|v × a|2
se v × a 6= 0.
ẋ = dx
dt
, ẏ = dy
dt
, ż = dz
dt
ẍ = d2x
dt2
, ÿ = d2y
dt2
, z̈ = d2z
dt2
ẋ = d3x
dt3
, ẏ = d3y
dt3
, ż = d3z
dt3
onde r(t) = x~i+ y~j + z~k.
Exemplo 22 Sem encontrar T e N , escreva a aceleração do movimento r(t) = (cos t+
tsen t)~i+ (sen t− t cos t)~j, t > 0 na forma a = aTT + aNN .
Capítulo 2. Funções Vetoriais 19
Solução:
�
Exemplo 23 Encontre a curvatura e a torção da hélice r(t) = (a cos t)~i+ (asen t)~j + bt~k,
a, b > 0, a2 + b2 6= 0.
Solução:
�
20
3 Derivadas Parciais
3.1 Funções de Várias Variáveis
Definição 15 Seja D = {(x1, x2, . . . , xn)/x1, x2, . . . , xn ∈ R}. Uma função real f em
D é uma regra que associa um único número real w = f(x1, x2, . . . , xn) a cada elemento
em D. O conjunto D é o domínio de f e o conjunto de valores de w assumidos por
f é a sua imagem. O símbolo w e a variável dependente de f , que por sua vez, é
considerada uma função de n variáveis independentes x1 a xn. Também chamamos os
xj de variáveis de entrada da função e w a variável de saída da função.
Exemplo 24 O valor de f(x, y, z) =
√
x2 + y2 + z2 no ponto (3, 0, 4) é f(3, 0, 4) =√
32 + 02 + 42 =
√
25 = 5. Nesse exemplo, f é a função distância da origem ao ponto
(x, y, z) nas coordenadas cartesianas espaciais.
Exemplo 25 Determine o domínio e a imagem de g(x, y) =
√
9− x2 − y2.
Definição 16 Se f é uma função com domínio D = {(x1, x2, . . . , xn)/x1, x2, . . . , xn ∈ R},
então o gráfico de f é o conjunto de todos os pontos (x1, x2, . . . , xn, xn+1) ∈ Rn+1 tal que
xn+1 = f(x1, x2, . . . , xn) e (x1, x2, . . . , xn) ∈ D.
Observação 2 Se f é uma função com domínio D ⊆ R2, então o gráfico de f é o
conjunto dos pontos (x, y, z) ∈ R3 tal que z = f(x, y) e (x, y) ∈ D.
Exemplo 26 Esboce o gráfico de g(x, y) =
√
9− x2 − y2.
Definição 17 As curvas de nível de uma função f de duas variáveis são aquelas com
equação f(x, y) = k, onde k é uma constante (na imagem de f).
Exemplo 27 Esboce as cuvas de nível da função g(x, y) =
√
9− x2 − y2 para k = 0,
k =
√
5 e k = 9.
3.1.1 Limite e continuidade
Definição 18 Limite de uma função de duas variáveis independentes
Seja f uma função de duas variáveis cujo domínio D contém pontos arbitrariamente
próximos de (a, b). Dizemos que o limite de f(x, y) quando (x, y) tende a (a, b) é L
Capítulo 3. Derivadas Parciais 21
e escrevemos lim
(x,y)→(a,b)
f(x, y) = L se, para todo ε > 0, existe um número correspondente
δ > 0 tal que
se (x, y) ∈ D e 0 <
√
(x− a)2 + (y − b)2 < δ então |f(x, y)− L| < ε.
Teorema 1 Propriedades dos limites de funções de duas variáveis
As regras a seguir são verdadeiras se L, M e K são números reais e lim
(x,y)→(a,b)
f(x, y) = L
e lim
(x,y)→(a,b)
g(x, y) = M.
1. Regra da soma: lim
(x,y)→(a,b)
(f(x, y) + g(x, y)) = L+M ;
2. Regra da diferença: lim
(x,y)→(a,b)
(f(x, y)− g(x, y)) = L−M ;
3. Regra do produto: lim
(x,y)→(a,b)
(f(x, y) · g(x, y)) = L ·M ;
4. Regra da multiplicação por constante: lim
(x,y)→(a,b)
Kf(x, y) = KL;
5. Regra do quociente: lim
(x,y)→(a,b)
f(x, y)
g(x, y) =
L
M
, (M 6= 0);
6. Regra da potência: Se r e s forem inteiros sem nenhum fator comum e s 6= 0, então
lim
(x,y)→(a,b)
(f(x, y)) rs = L rs desde que L rs seja um número real (Se s é par, assumimos
que L > 0).
Exemplo 28 Encontre lim
(x,y)→(0,0)
x2 − xy√
x−√y
.
Solução:
�
Teste 1 Teste do dois caminhos para a não existência de um limite.
Se f(x) tem limites diferentes ao longo de dois caminhos diferentes quando (x, y) se
aproxima de (a, b), então lim
(x,y)→(a,b)
f(x, y) não existe.
Exemplo 29 Mostre que a função f(x, y) = 2x
2y
x4 + y2 não tem limite quando (x, y) se
aproxima de (0, 0).
Solução:
�
Capítulo 3. Derivadas Parciais 22
Exemplo 30 Se f(x, y) = x
2 − y2
x2 + y2 , será que lim(x,y)→(0,0) f(x, y) existe?
Solução:
�
3.1.2 Continuidade
Definição 19 Funções de duas variáveis
Uma função f(x, y) é contínua no ponto (a, b) se lim
(x,y)→(a,b)
f(x, y) = f(a, b). Uma função
é contínua quando é contínua em todos os pontos de seu domínio.
Exemplo 31 Onde a função f(x, y) = x
2 − y2
x2 + y2 é contínua?
Solução:
�
Exemplo 32 A função
f(x, y) =

x2 − y2
x2 + y2 (x, y) 6= (0, 0)
0 (x, y) = (0, 0)
é contínua em (0, 0)?
Solução:
�
Para funções de mais variáveis as definições apresentadas são análogas.
3.2 Derivadas Parciais
Definição 20 Derivada parcial em relação a x
A derivada parcial de f(x, y) em relação a x no ponto (a, b) é
∂f
∂x
|(a,b) = lim
h→0
f(a+ h, b)− f(a, b)
h
desde que o limite exista.
Capítulo 3. Derivadas Parciais 23
Definição 21 Derivada parcial em relação a y
A derivada parcial de f(x, y) em relação a y no ponto (a, b) é
∂f
∂y
|(a,b) = lim
h→0
f(a, b+ h)− f(a, b)
h
desde que o limite exista.
Notação 1 Se z = f(x, y), escrevemos
fx(x, y) = fx =
∂f
∂x
= ∂f
∂x
(x, y) = ∂z
∂x
= f1 = D1f = Dxf
fy(x, y) = fy =
∂f
∂y
= ∂f
∂y
(x, y) = ∂z
∂y
= f2 = D2f = Dyf
Exemplo 33 Encontre os valores de ∂f
∂x
e ∂f
∂y
no ponto (4,−5) se f(x, y) = x2+3xy+y−1.
Solução:
�
Exemplo 34 Encontre ∂f
∂y
se f(x, y) = ysen(xy).
Solução:
�
Exemplo 35 Encontre fx e fy se f(x, y) =
2y
y + cosx .
Solução:
�
Exemplo 36 Diferenciação Parcial Implícita
Encontre ∂z
∂x
se a equação yz − ln z = x+ y definir z como uma função de duas variáveis
independentes x e y e a derivada parcial se existir.
Solução:
�
Capítulo 3. Derivadas Parciais 24
3.2.1 Derivadas Parciais e Continuidade
Uma função f(x, y) pode ter derivadas parciais em relação a x e y em um ponto
sem ser contínua nesse ponto. Isso difere de uma função de uma única variável, onde a
existência da derivada implica continuidade.
Exemplo 37 Derivadas parciais existem, mas f é descontínua
Seja f(x, y) =
 0, xy 6= 01, xy = 0 .
(a) Encontre o limite de f quando (x, y) se aproxima de (0, 0) ao longo da reta y = x;
(b) Prove que f não é contínua na origem;
(c) Mostre que ambas as derivadas parciais fx e fy existem na origem.
Solução:
(a)
(b)
(c)
�
3.2.2 Derivadas Parciais de Segunda Ordem
Quando derivamos uma função f(x, y) duas vezes, produzimos suas derivadas de
segunda ordem. Essas derivadas são, em geral, denotadas por
∂2f
∂x2
,
∂2f
∂y2
,
∂2f
∂x∂y
,
∂2f
∂y∂x
.
As equações de definição são:
∂2f
∂x2
= ∂
∂x
(
∂f
∂x
)
,
∂2f
∂x∂y
= ∂
∂x
(
∂f
∂y
)
.
Exemplo 38 Se f(x, y) = x cos y + yex, encontre ∂
2f
∂x2
,
∂2f
∂y2
,
∂2f
∂x∂y
,
∂2f
∂y∂x
.
Solução:
�
Capítulo 3. Derivadas Parciais 25
Teorema 2 Teorema de Clairaut – Teorema das Derivadas Mistas
Suponha que f seja definida em uma bola aberta D que contenha o ponto (a, b). Se as
funções fxy e fyx forem ambas contínuas em D, então fxy(a, b) = fyx(a, b).
Exemplo 39 Encontre ∂
2w
∂x∂y
se w = xy + e
y
y2 + 1 .
Solução:
�
Exemplo 40 Encontre fyxyz se f(x, y, z) = 1− 2xy2z + x2y.
Solução:
�
3.2.3 Diferenciabilidade
Teorema 3 Teorema do incremento para funções de duas variáveis
Suponha que as derivadas parciais de primeira ordem de f(x, y) sejam definidas em
uma região aberta R que contenha o ponto (x0, y0) e que fx e fy sejam contínuas em
(x0, y0). Então a variação ∆z = f(x0 + ∆x, y0 + ∆y)− f(x0, y0) no valor de f que resulta
do movimento de (x0, u0) para outro ponto (x0 + ∆x, y0 + ∆y) em R satisfaz uma equação
da forma
∆z = fx(x0, y0)∆x+ fy(x0, y0)∆y + ε1∆x+ ε2∆y
na qual ε1, ε2 → 0 quando ∆x,∆y → 0.
Definição 22 Diferenciabilidade de uma função
A função z = f(x, y) é diferenciável em (x0, y0) se fx(x0, y0) e fy(x0, y0) existem e ∆z
satisfaz uma equação da forma ∆z = fx(x0, y0)∆x+ fy(x0, y0)∆y + ε1∆x+ ε2∆y na qual
ε1, ε2 → 0 quando ∆x,∆y → 0. Dizemos que f é diferenciável se ela é diferenciável em
todos os pontos de seu domínio.
Corolário 1 Continuidade de derivadas parciais implica diferenciabilidade
Se as derivadas parciais fx e fy de uma função f(x, y) são contínuas ao longo de uma
região aberta R, então f é diferenciável em todos os pontos de R.
Teorema 4 Diferenciabilidade implica continuidade
Se uma função f(x, y) é diferenciável em (x0, y0), então ela é contínua em (x0, y0).
Capítulo 3. Derivadas Parciais 26
3.2.4 Regra da Cadeia
3.2.4.1 Funções de duas variáveis
Teorema 5 Se w = f(x, y) possuir derivadas parciais contínuas fx e fy e se x =
x(t) e y = y(t) forem funções diferenciáveis de t, então a composta w = f(x(t), y(t))
será uma função diferenciável de t e df
dt
= fx(x(t), y(t)) · x′(t) + fy(x(t), y(t)) · y′(t) ou
dw
dt
= ∂f
∂x
dx
dt
+ ∂f
∂y
dy
dt
.
Exemplo 41 Use a regra da cadeia para encontrar a derivada de w = xy em relação a t
ao longo do caminho x = cos t e y = sen t, Qual é o valor da derivada em t = π2 ?
Solução:
�
3.2.4.2 Funções de três variáveis
Teorema 6 Se w = f(x, y, z) for diferenciável e x, y e z forem funções diferenciáveis de
t, então w será uma função diferenciável de t e dw
dt
= ∂f
∂x
dx
dt
+ ∂f
∂y
dy
dt
+ ∂f
∂z
dz
dt
.
Exemplo 42 Encontre dw
dt
se w = xy + z, x = cos t, y = sen t e z = t. Qual é o valor da
derivada em t = 0?
Solução:
�
Teorema 7 Suponhamos que w = f(x, y, z), x = g(r, s), y = h(r, s) e z = k(r, s). Se
todas as quatro funções forem diferenciáveis, então w terá derivadas parciais em relação a
r e s, dadas pelas fórmulas
∂w
∂r
= ∂w
∂x
∂x
∂r
+ ∂w
∂y
∂y
∂r
+ ∂w
∂z
∂z
∂r
∂w
∂s
= ∂w
∂x
∂x
∂s
+ ∂w
∂y
∂y
∂s
+ ∂w
∂z
∂z
∂s
.
Exemplo 43 Expresse ∂w
∂r
e ∂w
∂s
em termos de r e s se w = x+2y+z2, x = r
s
, y = r2+ln s
e z = 2r.
Capítulo 3. Derivadas Parciais 27
Solução:
�
Observação 3 Se w = f(x, y), x = g(r, s) e y = h(r, s), então
∂w
∂r
= ∂w
∂x
∂x
∂r
+ ∂w
∂y
∂y
∂r
∂w
∂s
= ∂w
∂x
∂x
∂s
+ ∂w
∂y
∂y
∂s
.
Exemplo 44 Expresse ∂w
∂r
e ∂w
∂s
em termos de r e s se w = x2 +y2, x = r−s e y = r+s.
Solução:
�
Observação 4 Se w = f(x) e x = g(r, s), então ∂w
∂r
= ∂w
∂x
∂x
∂r
e ∂w
∂s
= ∂w
∂x
∂x
∂s
.
Teorema 8 Uma fórmula de diferenciação implícita
Suponha que F (x, y) seja diferenciável e que a equação F (x, y) = 0 defina y como uma
função diferenciável de x. Então, em qualquer ponto onde Fy 6= 0,
dy
dx
= −Fx
Fy
.
Exemplo 45 Use o teorema anterior para encontrar dy
dx
se y2 − x2 − sen(xy) = 0.
Solução:
�
3.2.5 Derivadas Direcionais e Vetor Gradiente
Definição 23 Derivada Direcional
A derivada de f em P0(x0, y0) na direção do versor u = u1i+ u2j é o número(
df
ds
)
u,P0
= lim
s→0
f(x0 + su1, y0 + su2)− f(x0, y0)
s
desde que o limite exista.
Capítulo 3. Derivadas Parciais 28
Exemplo 46 Encontre a derivada de f(x, y) = x2 + xy em P0(1, 2) na direção do vetor
unitário u =
(
1√
2
)
i+
(
1√
2
)
j.
Solução:
�
Definição 24 Vetor Gradiente
O vetor gradiente (gradiente) de f(x, y) no ponto P0(x0, y0) é o vetor ∇f =
∂f
∂x
i+ ∂f
∂y
j
obtido por meio do cálculo das derivadas parciais de f em P0.
Teorema 9 A derivada direcional é um produto escalarSe f(x, y) for diferenciável em uma região aberta contendo P0(x0, y0), então(
df
ds
)
u,P0
= (∇f)P0 · u
o produto escalar do gradiente de f em P0 e u.
Exemplo 47 Encontre a derivada de f(x, y) = xey + cos(xy) no ponto (2, 0) na direção
de v = 3i− 4j.
Solução:
�
Propriedades da derivada direcional Duf = ∇f · u = |∇f | cos θ
1. A função f aumenta mais rapidamente quando cos θ = 1 ou quando u é a direção de
∇f . Isto é, a cada ponto P no seu domínio, ∇f cresce mais rapidamente na direção
do vetor gradiente ∇f em P . A derivada nessa direção é Duf = |∇f | cos(0) = |∇f |;
2. De maneira similar, f decresce mais rapidamente na direção de −∇f . A derivada
nessa direção é Duf = |∇f | cos(π) = −|∇f |;
3. Qualquer direção u ortogonal ao gradiente ∇f 6= 0 é uma direção de variação zero
em f porque θ é então igual a π2 e Duf = |∇f | cos(
π
2 ) = |∇f | · 0 = 0.
Exemplo 48 Encontre as direções nas quais f(x, y) =
(
x2
2
)
+
(
y2
2
)
Capítulo 3. Derivadas Parciais 29
(a) Cresce mais rapidamente no ponto (1, 1);
(b) Decresce mais rapidamente em (1, 1);
(c) Quais são as direções de variação zero de f em (1, 1)?
Solução:
a
b
c
�
3.2.5.1 Gradientes e reta tangente a curvas de nível
Se uma função diferenciável f(x, y) tiver um valor constante c ao longo de uma curva
lisa r = g(t)i+ h(t)j (fazendo da curva uma curva de nível de f), então f(g(t), h(t)) = c.
Derivar ambos os lados dessa equação em relação a t leva às equações
d
dt
f(g(t), h(t)) = d
dt
(c)
∂f
∂x
dg
dt
+ ∂f
∂y
dh
dt
= 0(
∂f
∂x
i+ ∂f
∂y
j
)
·
(
dg
dt
i+ dh
dt
j
)
= 0
∇f · dr
dt
= 0.
Portanto em todo ponto (x0, y0) no domínio de uma função diferenciável
f(x, y), o gradiente de f é normal a curva de nível por (x0, y0).
3.2.6 Valores Máximo e Mínimo
Definição 25 Máximo e mínimo local
Uma função de duas variáveis tem um máximo local em (a, b) se f(x, y) ≤ f(a, b)
quando (x, y) está próximo de (a, b). O número f(a, b) é chamado valor máximo local.
Se f(x, y) ≥ f(a, b) quando (x, y) está próximo de (a, b), então f tem um mínimo local
em (a, b) e f(a, b) é um valor mínimo local.
Se as inequações da Definição 25 valerem para todos os pontos (x, y) do domínio
de f , então f tem um máximo absoluto (ou mínimo absoluto) em (a, b).
Teorema 10 Se f tem um máximo ou mínimo local em (a, b) e as derivadas de primeira
ordem de f existem nesses pontos, então fx(a, b) = 0 e fy(a, b) = 0.
Capítulo 3. Derivadas Parciais 30
Um ponto (a, b) é chamado ponto crítico de f se fx(a, b) = 0 e fy(a, b) = 0, ou
se uma das derivadas parciais não existir.
Teste 2 Teste da Segunda Derivada
Suponha que as segundas derivadas parciais de f sejam contínuas em uma bola aberta com
centro em (a, b), e suponha que fx(a, b) = 0 e fy(a, b) = 0. Seja
D = D(a, b) = fxx(a, b)fyy(a, b)− [fxy(a, b)]2.
(a) Se D > 0 e fxx(a, b) > 0, então f(a, b) é um mínimo local.
(b) Se D > 0 e fxx(a, b) < 0, então f(a, b) é um máximo local.
(c) Se D < 0, então (a, b) é um ponto de sela.
Exemplo 49 Determine a menor distância entre o ponto (1, 0,−2) e o plano x+ 2y + z = 4.
Solução:
�
Exemplo 50 Uma caixa retangular sem tampa deve ser feita com 12m2 de papelão.
Determine o volume máximo dessa caixa.
Solução:
�
Valores Máximo e Mínimo Absolutos
Teorema 11 Teorema do Valor Extremo para Funções de Duas Variáveis
Se f é contínua em um conjunto fechado e limitado D em R2, então f assume um valor
máximo absoluto f(x1, y1) e um valor mínimo absoluto f(x2, y2) em alguns pontos (x1, y1)
e (x2, y2) de D.
Para determinar os valores máximo e mínimo absolutos de uma função contínua f
em um conjunto fechado e limitado D:
(1) Determine os valores de f nos pontos críticos de f em D.
(2) Determine os valores extremos de f na fronteira D.
Capítulo 3. Derivadas Parciais 31
(3) O maior dos valores dos passos 1 e 2 é o valor máximo absoluto; o menor desses
valores é o valor mínimo absoluto.
Exemplo 51 Determine os valores máximo e mínimo absolutos da função f(x, y) = x2 − 2xy + 2y
no retângulo D = {(x, y)|0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 2}.
Solução:
�
3.2.7 Multiplicadores de Lagrange
Método dos Multiplicadores de Lagrange: para determinar os valores máximo
e mínimo de f(x, y, z) sujeitos à restrição g(x, y, z) = k (supondo que esses valores extremos
existam e que ∇g 6= 0 sobre a superfície g(x, y, z) = k):
(a) Determine todos os valores de x, y, z e λ tais que ∇f(x, y, z) = λ∇g(x, y, z) e
g(x, y, z) = k.
(b) Calcule f em todos os pontos (x, y, z) que resultam do passo (a). O maior desses
valores será o valor máximo de f , e o menor será o valor mínimo de f .
Exemplo 52 Uma caixa retangular sem tampa deve ser feita com 12m2 de papelão.
Determine o volume máximo dessa caixa.
Solução:
�
Exemplo 53 Determine os valores extremos da função f(x, y) = x2 + 2y2 no círculo
x2 + y2 = 1.
Solução:
�
Exemplo 54 Determine os pontos da esfera x2 + y2 + z2 = 4 que estão mais próximos e
mais distantes do ponto (3, 1,−1).
Capítulo 3. Derivadas Parciais 32
Solução:
�
33
4 Sequências
Definição 26 Uma sequência infinita de números é uma função cujo domínio é o
conjunto dos números inteiros positivos.
Exemplo 55 2, 4, 6, 8, 10, 12, . . . , 2n, . . . é uma sequência. A função associada atribui 1 a
a1 = 2, 2 a a2 = 4, 3 a a3 = 6, . . ., n a an = 2n que é o comportamento geral da função.
Nesse exemplo an = 2n é o termo geral da sequência.
Tabela 1: Descrição das Sequências por meio de Regras
an =
√
n {an} = {
√
1,
√
2, . . . ,
√
n, . . .} {an} = {
√
n}∞n=1
bn = (−1)n+1
1
n
{bn} =
{
1,−12 ,
1
3 ,−
1
4 , . . . , (−1)
n+1 1
n
, . . .
}
{bn} =
{
(−1)n+1 1
n
}∞
n=1
cn =
n− 1
n
{cn} =
{
0, 12 ,
2
3 ,
3
4 , . . . ,
n− 1
n
, . . .
}
{cn} =
{
n− 1
n
}∞
n=1
dn = (−1)n+1 {dn} = {1,−1, 1,−1, . . . , (−1)n+1, . . .} {dn} = {(−1)n+1}∞n=1
Exemplo 56 Encontre uma fórmula para o termo geral an da sequência{3
5 ,−
4
25 ,
5
125 ,−
6
625 ,
7
3125 , . . .
}
.
Solução:
�
Exemplo 57 A sequência de Fibonacci (fn) é definida recursivamente pelas condições
f1 = 1, f2 = 1, fn = fn−1 + fn−2 para n ≥ 3. Cada termo é a soma dos dois termos
precedentes. Os primeiros termos são {1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, . . .}.
4.1 Convergência e divergência
Definição 27 A sequência {an} converge para o número L se para todo número positivo
ε existe um inteiro N tal que para todo n
n > N ⇒ |an − L| < ε.
Se esse número L não existe, dizemos que {an} diverge. Se {an} converge para L,
escrevemos lim
n→∞
an = L, ou an → L e chamamos L de limite da sequência.
Capítulo 4. Sequências 34
Definição 28 A sequência {an} diverge para o infinito (menos infinito) se para
todo número M (m) existe um inteiro N tal que para todo n > N , an > M (an < m). Se
essa condição for verdadeira lim
n→∞
an =∞, ou an →∞ ( lim
n→∞
an = −∞, ou an → −∞).
4.2 Calculando limites de sequências
Teorema 12 Sejam {an} e {bn} sequências de números reais e sejam A e B números
reais. As regras a seguir são verdadeiras se lim
n→∞
an = A e lim
n→∞
bn = B.
1. Regra da Soma: lim
n→∞
(an + bn) = A+B;
2. Regra da Diferença: lim
n→∞
(an − bn) = A−B;
3. Regra do Produto: lim
n→∞
(an · bn) = A ·B;
4. Regra da Multiplicação por Constante: lim
n→∞
(kbn) = kB (para todo k);
5. Regra do Quociente: lim
n→∞
an
bn
= A
B
se B 6= 0.
Exemplo 58 Considerando o teorema anterior, calcule:
(a) lim
n→∞
−1
n
;
(b) lim
n→∞
n− 1
n
;
(c) lim
n→∞
4− 7n6
n6 + 3 .
Solução:
(a)
(b)
(c)
�
Capítulo 4. Sequências 35
Teorema 13 Teorema do confronto para sequências
Sejam {an}, {bn} e {cn} sequências de números reais. Se an ≤ bn ≤ cn para todo n além
de algum índice N e se lim
n→∞
an = lim
n→∞
cn = L, então lim
n→∞
bn = L.
Exemplo 59 Discuta a convergência de an =
n!
nn
.
Solução:
�
Teorema 14 Teorema da função contínua para sequências
Seja {an} uma sequência de números reais. Se an → L e se f for uma função contínua
em L e definida para todo an, então f(an)→ f(L).
Exemplo 60 Encontre lim
n→∞
sen
(
π
n
)
.
Solução:
�
Teorema 15 Suponha que f(x) seja definida para todo x ≥ n0 e que {an} seja uma sequên-
cia de númerosreais tal que an = f(n) para n ≥ n0. Então lim
x→∞
f(x) = L⇒ lim
n→∞
(an) = L.
Exemplo 61 Mostre que lim
n→∞
lnn
n
= 0.
Solução:
�
Exemplo 62 Encontre lim
n→∞
2n
5n .
Solução:
�
Exemplo 63 A sequência cujo n-ésimo termo é an =
(
n+ 1
n− 1
)n
converge? Em caso afir-
mativo, encontre lim
n→∞
an.
Capítulo 4. Sequências 36
Solução:
�
Teorema 16 Se lim
n→∞
|an| = 0, então lim
n→∞
an = 0.
Exemplo 64 Calcule lim
n→∞
(−1)n
n
se ele existir.
Solução:
�
Teorema 17 As seis sequências a seguir convergem para os limites listados:
1. lim
n→∞
lnn
n
= 0;
2. lim
n→∞
n
√
n = 1;
3. lim
n→∞
x
1
n = 1 (x > 0);
4. lim
n→∞
xn = 0 (|x| < 1);
5. lim
n→∞
(
1 + x
n
)n
= ex (todo x);
6. lim
n→∞
xn
n! = 0 (todo x).
De 3− 6 o valor de x se mantém fixo enquanto n→∞.
Exemplo 65 Utilizando o teorema anterior, calcule:
(a) lim
n→∞
lnn2
n
;
(b) lim
n→∞
n
√
n2;
(c) lim
n→∞
n
√
3n;
(d) lim
n→∞
(
−12
)n
;
(e) lim
n→∞
(
n− 2
n
)n
;
(f) lim
n→∞
100
n! .
Capítulo 4. Sequências 37
Solução:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
�
Definição 29 Uma sequência {an} é chamada crescente se an < an+1, ∀n ≥ 1, isto é,
a1 < a2 < a3 < . . .. Uma sequência {an} é chamada decrescente se an > an+1, ∀n ≥ 1.
Uma sequência {an} é chamada monótona se for crescente ou decrescente.
Exemplo 66 Mostre que a sequência an =
n
n2 + 1 é decrescente.
Solução:
�
Definição 30 Uma sequência {an} é limitada superiormente se existir um número
M tal que an ≤M , ∀n ≥ 1. Uma sequência {an} é limitada inferiormente se existir
um número m tal que an ≥ m, ∀n ≥ 1. Se ela for limitada superior e inferiormente, então
{an} é uma sequência limitada.
Teorema 18 Teorema da Sequência Monótona
Toda sequência monótona limitada é convergente.
Exemplo 67 Investigue a sequência {an} definida pela relação de recorrência a1 = 2,
an+1 = 12(an + 6) para n = 1, 2, 3, . . ..
Solução:
�
38
5 Séries
Definição 31 Dada uma sequência de números {an}, uma expressão da forma a1 + a2 +
a3 + . . .+an + . . . =
∞∑
n=1
an =
∑
an é uma série infinita (ou apenas série). A sequência
{sn} definida por
s1 = a1
s2 = a1 + a2
...
sn = a1 + a2 + . . .+ an =
n∑
k=1
ak
é a sequência de somas parciais da série na qual o número sn é a n-ésima soma
parcial. Se a sequência de somas parciais convergir para um limite s ( lim
n→∞
sn = s e s ∈ R),
dizemos que a série converge e que sua soma é s. Nesse caso, também escrevemos
a1 + a2 + . . .+ an =
n∑
k=1
ak = s.
Se a sequência {sn} é divergente, dizemos que a série diverge.
Exemplo 68 Suponhamos que a soma dos primeiros n termos da série
∞∑
n=1
an seja
sn =
2n
3n+ 5 . Mostre que a série é convergente.
No exemplo foi dada a soma dos primeiros termos da série, mas em geral não é
fácil de encontrar tal expressão. No próximo exemplo, temos uma série que nos permite
encontrar uma fórmula para sn.
Exemplo 69 Série Geométrica
Séries geométricas são séries da forma
a+ ar + ar2 + . . .+ arn−1 + . . . =
∞∑
n=1
arn−1 =
∞∑
n=0
arn
onde a 6= 0 e a e r reais fixos (r é chamada razão da série geométrica). A razão r pode
ser positiva, como
1 + 12 +
1
4 + . . .+
(1
2
)n−1
+ . . .
ou negativa, como em
1− 13 +
1
9 − . . .+
(
−13
)n−1
+ . . .
Capítulo 5. Séries 39
Podemos mostrar que se |r| < 1, a série geométrica a+ar+ar2 + . . .+arn−1 + . . . converge
para a1− r , ou seja,
∞∑
n=1
arn−1 = a1− r , se |r| < 1.
Se |r| ≥ 1, a série diverge.
Exemplo 70 Encontre a soma da série geométrica 19 +
1
27 +
1
81 + . . ..
Solução:
�
Exemplo 71 As séries
∞∑
n=0
(−1)n5
4n e
∞∑
n=1
22n31−n convergem ou divergem? Se convergem,
calcule sua soma.
Solução:
�
Exemplo 72 Série Telescópica
Encontre a soma da série
∞∑
n=1
1
n(n+ 1) .
Solução:
�
Exemplo 73 Série Harmônica
Mostre que a série harmônica
∞∑
n=1
1
n
é divergente.
Solução:
�
Teorema 19 Se a série
∞∑
n=1
an for convergente, então lim
n→∞
an = 0.
A partir do teorema, obtemos o seguinte teste.
Teste do n-ésimo termo para divergência:
∞∑
n=1
an diverge, se lim
n→∞
an não existe ou lim
n→∞
an 6= 0.
Capítulo 5. Séries 40
Exemplo 74 Verifique se as séries convergem ou divergem.
(a)
∞∑
n=1
n2;
(b)
∞∑
n=1
n+ 1
n
;
(c)
∞∑
n=1
(−1)n+1;
(d)
∞∑
n=1
−n
2n+ 5 .
Solução:
(a)
(b)
(c)
(d)
�
Teorema 20 Se
∞∑
n=1
an = A e
∞∑
n=1
bn = B forem séries convergentes, então:
1.
∞∑
n=1
(an + bn) =
∞∑
n=1
an +
∞∑
n=1
bn = A+B;
2.
∞∑
n=1
(an − bn) =
∞∑
n=1
an −
∞∑
n=1
bn = A−B;
3.
∞∑
n=1
kan = k
∞∑
n=1
an = kA para todo k.
Se
∞∑
n=1
an diverge e k 6= 0, então
∞∑
n=1
kan diverge.
Se
∞∑
n=1
an converge e
∞∑
n=1
bn diverge, então
∞∑
n=1
(an ± bn) diverge.
Se
∞∑
n=1
an diverge e
∞∑
n=1
bn diverge,
∞∑
n=1
(an ± bn) pode ser convergente, como por exemplo:
∞∑
n=1
an = 1 + 1 + 1 + . . . diverge,
∞∑
n=1
bn = (−1) + (−1) + (−1) + . . . diverge e sua soma
∞∑
n=1
(an + bn) = 0 + 0 + 0 + . . . converge sendo igual a zero.
Capítulo 5. Séries 41
Exemplo 75 Calcule a soma das seguintes séries.
(a)
∞∑
n=1
3n−1 − 1
6n−1 ;
(b)
∞∑
n=0
4
2n .
Teorema 21 Seja {an} uma sequência de termos positivos. Suponha que an = f(n), onde
f é uma função de x contínua, positiva e decrescente para todo x ≥ N (N inteiro positivo).
Então, tanto a série
∞∑
n=N
an quanto a integral
∫ ∞
1
f(x)dx convergem ou tanto uma quanto
a outra divergem.
Exemplo 76 As p-séries
Mostre que a p-série
∞∑
n=1
1
np
= 11p +
1
2p +
1
3p + . . .+
1
np
+ . . . converge se p > 1 e diverge
se p ≤ 1 (p ∈ R).
Solução:
�
Teorema 22 Teste da Comparação
Seja
∞∑
n=1
an uma série com termos não-negativos.
(a)
∞∑
n=1
an converge se existe uma série convergente
∞∑
n=1
cn com an ≤ cn para todo n > N ,
para algum inteiro N .
(b)
∞∑
n=1
an diverge se existe uma série divergente de termos não negativos
∞∑
n=1
dn com
an ≥ dn para todo n > N , para algum inteiro N .
Exemplo 77 Use o teste da comparação para verificar se as séries convergem ou divergem.
(a)
∞∑
n=1
5
5n− 1 ;
(b)
∞∑
n=0
1
n! .
Solução:
(a)
Capítulo 5. Séries 42
(b)
�
Teorema 23 Teste de comparação no limite
Suponha que an > 0 e bn > 0 para todo n ≥ N (N inteiro positivo).
1. Se lim
n→∞
an
bn
= c > 0, então ambos
∞∑
n=1
an e
∞∑
n=1
bn convergem ou divergem.
2. Se lim
n→∞
an
bn
= 0 e
∞∑
n=1
bn converge, então
∞∑
n=1
an converge.
3. Se lim
n→∞
an
bn
=∞ e
∞∑
n=1
bn diverge, então
∞∑
n=1
an diverge.
Exemplo 78 Quais das séries a seguir convergem? E quais divergem?
(a)
∞∑
n=1
2n+ 1
(n+ 1)2 ;
(b)
∞∑
n=1
1
2n − 1 ;
(c)
∞∑
n=2
1 + n lnn
n2 + 5 .
Solução:
(a)
(b)
(c)
�
Teorema 24 Teste da Razão
Seja
∞∑
n=1
an uma série com termos positivos e suponha que lim
n→∞
an+1
an
= p. Então:
(a) a série converge se p < 1;
(b) a série diverge se p > 1 ou p for infinito;
Capítulo 5. Séries 43
(c) o teste é inconclusivo se p = 1.
Exemplo 79 Investigue a convergência das séries a seguir:
(a)
∞∑
n=1
2n + 5
3n ;
(b)
∞∑
n=1
(2n)!
n!n! ;
(c)
∞∑
n=1
4nn!n!
(2n)! .
Solução:
(a)
(b)
(c)
�
Teorema 25 Teste da Raiz
Seja
∞∑
n=1
an uma série com an ≥ 0 para n ≥ N e suponha que lim
n→∞
n
√
an = p. Então:
(a) a série converge se p < 1;
(b) a série diverge se p > 1 ou p for infinito;
(c) o teste é inconclusivo se p = 1.
Exemplo 80 Quais das séries a seguir convergem e quais divergem?
(a)
∞∑
n=1
n2
2n ;
(b)
∞∑
n=1
2n
n2
;
(c)
∞∑
n=1
( 1
1 + n
)n
.
Solução:
Capítulo 5. Séries 44
(a)
(b)
(c)
�
Exemplo 81 Seja an =

n
2n n impar
1
2n n par
,
∞∑
n=1
an converge?
Solução:
�
5.1 Séries Alternadas
Teorema 26 Teste da Série Alternada
A série
∞∑
n=1
(−1)n+1un = u1 − u2 + u3 − u4 + . . . convergirá se as três condições forem sa-
tisfeitas:
1. un positivos;
2. un ≥ un+1 para todo n ≥ N , para algum N inteiro;
3. un → 0.
Exemplo 82 A série harmônica alternada
∞∑
n=1
(−1)n+1 1
n
= 1− 12 +
1
3 −
1
4 + . . . converge?
Solução:
�
Definição 32 Uma série
∞∑
n=1
an converge absolutamente (é absolutamente conver-
gente) se
∞∑
n=1
|an| converge. Uma série que converge, mas não converge absolutamente,
converge condicionalmente.A série harmônica alternada é um exemplo de uma série que converge condicional-
mente.
Capítulo 5. Séries 45
Teorema 27 Teste da Convergência Absoluta
Se
∞∑
n=1
|an| converge, então
∞∑
n=1
an converge.
Exemplo 83 Verifique a convergência da série
∞∑
n=1
senn
n2
.
Solução:
�
5.2 Séries de Potências
Definição 33 Uma série de potências centrada em 0 é uma série da forma
∞∑
n=0
cnx
n = c0 + c1x+ c2x2 + . . .+ cnxn + . . .
Uma série de potências centrada em a é uma série da forma
∞∑
n=0
cn(x− a)n = c0 + c1(x− a) + c2(x− a)2 + . . .+ cn(x− a)n + . . .
na qual o centro a e os coeficientes c0, c1, c2, . . . , cn, . . . são constantes.
Exemplo 84 Encontrem o intervalo de x no qual as séries convergem e calculem a sua
soma.
(a)
∞∑
n=0
xn;
(b) 1− 12(x− 2) +
1
4(x− 2)
2 + . . .+
(
−1
2
)n
(x− 2)n + . . ..
Solução:
(a)
(b)
�
Capítulo 5. Séries 46
5.3 Convergência de Séries de Potências
A convergência de séries
∞∑
n=0
cn(x− a)n é descrita por uma das três possibilidades
a seguir:
1. Existe R > 0 tal que a série diverge para x com |x − a| > R, mas converge
absolutamente para x com |x− a| < R. A série pode ou não convergir em uma das
extremidades x = a−R e x = a+R;
2. A série converge absolutamente para todo x (R =∞);
3. A série converge em x = a e diverge em todos os outros pontos (R = 0).
(Chamamos R de raio de convergência da série de potências).
Exemplo 85 Para quais valores de x as séries de potências a seguir convergem?
(a)
∞∑
n=1
(−1)n−1x
n
n
;
(b)
∞∑
n=1
(−1)n−1 x
2n−1
2n− 1 ;
(c)
∞∑
n=1
xn
n! ;
(d)
∞∑
n=1
n!xn.
Solução:
(a)
(b)
(c)
(d)
�
Capítulo 5. Séries 47
5.4 Derivação Termo a Termo
Se
∞∑
n=0
cn(x− a)n converge para a−R < x < a+R para algum R > 0, isso define
uma função f :
f(x) =
∞∑
n=0
cn(x− a)n, a−R < x < a+R.
Tal função f tem derivadas de todas as ordens dentro do intervalo de convergência, sendo
elas
f ′(x) =
∞∑
n=1
ncn(x− a)n−1
f ′′(x) =
∞∑
n=2
n(n− 1)cn(x− a)n−2
e assim por diante. Cada uma dessas séries derivadas converge em todo ponto interior do
intervalo de convergência da série original.
Exemplo 86 Encontre as séries para f ′(x) e f ′′(x) se
f(x) = 11− x = 1 + x+ x
2 + x3 + x4 + . . .+ xn + . . . =
∞∑
n=0
xn,−1 < x < 1.
Solução:
�
5.5 Integração Termo a Termo
Suponha que f(x) =
∞∑
n=0
cn(x− a)n convirja para a − R < x < a + R (R > 0).
Então
∞∑
n=0
cn
(x− a)n+1
n+ 1 converge para a−R < x < a+R e
∫
f(x)dx =
∞∑
n=0
cn
(x− a)n+1
n+ 1 + C
para a−R < x < a+R.
Exemplo 87 Identifique a função f(x) = x− x33 +
x5
5 − . . . ,−1 ≤ x ≤ 1.
Solução:
�
Capítulo 5. Séries 48
5.6 Séries de Taylor
Definição 34 Seja f uma função com derivadas de todas as ordens em algum intervalo
contendo a como um ponto interior. Então, a série de Taylor gerada por f em x = a é
∞∑
n=0
f (k)(a)
k! (x− a)
k = f(a) + f ′(a)(x− a) + f
′′(a)(x− a)2
2! + . . .+
f (n)(a)
n! (x− a)
n + . . .
Se a = 0,
∞∑
n=0
f (k)(0)
k! x
k = f(0) + f ′(0)x+ f
′′(0)x2
2! + . . .+
f (n)(0)
n! x
n + . . .
é a série de Taylor de f , ou também chamamos série de Maclaurin gerada por f .
Exemplo 88 Encontre a série de Taylor gerada por f(x) = 1
x
em a = 2. Se a série
converge para 1
x
, onde isso ocorre?
Solução:
�
Definição 35 Seja f uma função com derivadas de ordem k, k = 1, 2, . . . , N em algum
intervalo contendo a como um ponto interior. Então para qualquer inteiro n de 0 a N , o
polinômio de Taylor de ordem n gerado por f em x = a é o polinômio
Pn(x) = f(a) + f ′(a)(x− a) +
f ′′(a)(x− a)2
2! + . . .+
f (k)(a)
k! (x− a)
k + . . . f
(n)(a)
n! (x− a)
n.
Exemplo 89 Encontre a série de Taylor e os polinômios de Taylor gerados por f(x) = ex
em x = 0.
Solução:
�
Exemplo 90 Encontre a série e os polinômios de Taylor gerados por f(x) = cosx em
x = 0.
Solução:
�
49
Referências
ANTON, H.; DAVIS, S. L.; BIVENS, I. C. Cálculo. 8th. ed. [S.l.]: Bookman, 2007. v. 1.
ISBN 9788560031634. Citado na página 1.
APOSTOL, T. M. Cálculo. 2nd. ed. [S.l.]: Reverté, 1999. v. 1. ISBN 9788429150025.
Citado na página 1.
FLEMMING, D. M.; GONÇALVES, M. B. Cálculo A. 6th. ed. [S.l.]: Pearson, 2006. v. 1.
ISBN 857605115X. Citado na página 1.
GUIDORIZZI, H. L. Um Curso De Cálculo. 5th. ed. [S.l.]: LTC, 2011. v. 1. ISBN
9788521612599. Citado na página 1.
LEITHOLD, L. O Cálculo com Geometria Analítica. 3rd. ed. [S.l.]: Harbra, 1994. v. 1.
ISBN 8529400941. Citado na página 1.
STEWART, J. Cálculo. 7th. ed. [S.l.]: Cengage Learning, 2013. v. 1. ISBN 9788522112586.
Citado na página 1.
WEIR, M. D.; HASS, J.; GIORDANO, F. R. Cálculo (George B. Thomas Jr.). 11th. ed.
[S.l.]: Addison-Wesley, 2009. v. 1. ISBN 9788588639317. Citado na página 1.
	Resumo
	Sumário
	Equações Paramétricas e Coordenadas Polares
	Curvas Definidas por Equações Paramétricas
	Cálculo com Curvas Parametrizadas
	Coordenadas Polares
	Áreas e Comprimentos em Coordenadas Polares
	Funções Vetoriais
	Limites e Continuidade
	Regras de Derivação
	Integral de Funções Vetoriais
	Comprimento de Arco e Vetor Tangente Unitário
	Parâmetro comprimento de arco com ponto base P(t0)
	Derivadas Parciais
	Funções de Várias Variáveis
	Limite e continuidade
	Continuidade
	Derivadas Parciais
	Derivadas Parciais e Continuidade
	Derivadas Parciais de Segunda Ordem
	Diferenciabilidade
	Regra da Cadeia
	Funções de duas variáveis
	Funções de três variáveis
	Derivadas Direcionais e Vetor Gradiente
	Gradientes e reta tangente a curvas de nível
	Valores Máximo e Mínimo
	Multiplicadores de Lagrange
	Sequências
	Convergência e divergência
	Calculando limites de sequências
	Séries
	Séries Alternadas
	Séries de Potências
	Convergência de Séries de Potências
	Derivação Termo a Termo
	Integração Termo a Termo
	Séries de Taylor
	Referências