A2 - GRA1569 CÁLCULO APLICADO _ UMA VARIÁVEL

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Pergunta 1
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da resposta:
Para derivar funções, é necessário saber como derivar as funções elementares, que são tabeladas, e também as
regras operatórias: soma, produto e quociente. Para derivar a função  , é necessário conhecer a
derivada da função exponencial, logarítmica e a regra do quociente. Nesse sentido, assinale a alternativa que
determine o valor de  
.
.
Resposta correta. O valor correto é  . Verifique os cálculos abaixo, em que inicialmente foi aplicada a regra operatória do
quociente; em seguida, as derivadas da função logarítmica e potência. Após obter a  , aplicou-se o ponto  para
alcançar o resultado. Cálculos: 
 
  
 
, desde quando 
Pergunta 2
Numa avaliação, um professor solicitou que os alunos encontrassem a derivada da seguinte função racional polinomial:  . Chamou a
atenção do professor a resolução do aluno Paulo, que derivou a função uma vez e fez as afirmações descritas nas asserções I e II, a seguir. 
  
A partir do apresentado, analise as asserções I e II  e a relação proposta entre elas. 
  
I. A derivada da função é  igual   
 
Pois: 
II. para derivar  nesse caso é necessário usar a regra do quociente. 
1 em 1 pontos
1 em 1 pontos
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da resposta:
  
A seguir, assinale a alternativa correta.
A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
Resposta correta. A asserção I é uma proposição falsa. De acordo com a regra do quociente, a derivada da função racional é
igual a  , diferentemente da derivada proposta na afirmativa I. É evidente que a afirmativa II é
verdadeira, pois foi utilizada a regra do quociente para derivar.
Pergunta 3
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da resposta:
Uma função,  definida por várias sentenças pode ser derivada, respeitando-se a limitação do domínio para
cada sentença e atendendo a condição para que a derivada de uma função exista num ponto  : as derivadas
laterais a direita,  , e a derivada lateral à esquerda,  , existem e são iguais. Segundo Fleming (2006)
nem toda função contínua num ponto é derivável, no entanto, foi comprovado por teorema que toda função derivável
num ponto é contínua. Considere a função f(x) a seguir, definida por várias sentenças:
 FLEMING, D. M. Cálculo A. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006.
 
 
 
 
 
 
Nesse contexto, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
 
 I. ( ) A função   é derivável em  .
 
II. ( ) A derivada de  existe, pois as derivadas laterais são:  .
 III. ( ) A função   não é derivável em  porque   não é contínua em  .
 
IV. ( ) A função   é derivável em  , porque   é contínua em  . 
 
 Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta.
F, F, V, F.
F, F, V, F.
Resposta correta. A afirmativa I é falsa, sendo que    é derivável em  , logo,  . De fato:
1 em 1 pontos
 
 
. 
 
A afirmativa II é falsa, visto que a derivada de  existe, pois  , pois,  . De fato:
 
. 
A afirmativa III é verdadeira, dado que   não é derivável em  , porque   não é contínua em  . De fato, 
, portanto, f não é derivável em x=2. 
 
 
 
 
 
Já a afirmativa  IV é falsa, uma vez que   é derivável em   porque   é contínua em  . O fato de uma função ser
contínua não garante a sua derivabilidade.
Pergunta 4
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da resposta:
A derivada de uma função  aplicada a um ponto P é igual ao coeficiente angular da reta tangente à curva
  no ponto P. Sendo assim, é possível encontrar as equações da reta tangente e da reta normal . Nesse
contexto, encontre as equações da reta tangente e da reta normal à curva  , no ponto 
 e analise as afirmativas a seguir. 
 
 I. A equação da reta tangente é igual a  
 
II. A equação da reta normal é igual a    
 
III. O coeficiente angular da reta normal é o valor inverso do coeficiente angular da reta normal.
 IV. A derivada da função  é igual à  , portanto, o coeficiente angular da reta normal é igual a  .
 
 
 Está correto o que se afirma em:
I e IV, apenas.
I e IV, apenas.
Resposta correta. De acordo com os cálculos a seguir: 
, a equação da reta tangente é igual a
1 em 1 pontos
 Como o coeficiente da reta normal é igual ao valor oposto inverso do valor do
coeficiente angular da reta tangente, a equação da reta normal é igual a 
Pergunta 5
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da resposta:
Existem funções que são definidas na forma implícita, ou seja, a variável dependente y não se apresenta
explicitamente como   A forma implícita pode ser representada como  , como, por exemplo, a função
  Verifique que, nesse caso, fica difícil explicitar a variável dependente y, portanto, é recomendável
derivá-la implicitamente. 
 A partir do apresentado, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas. 
 
 I. A derivada da função   aplicada ao ponto  é igual a  .
 Pois:
 II. A função derivada de y=f(x) é igual a  .
 
 
 A seguir, assinale a alternativa correta.
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.
Resposta correta. A asserção I é uma proposição verdadeira y’=2e, desde quando a asserção II também é verdadeira. De fato,
a derivada de y=f(x) é igual a   e é claro que ao aplicarmos o ponto (0,1), em que x=0 e y=1, o valor de y’ é igual
a  . Portanto, a segunda asserção justifica a primeira.
Pergunta 6
Em relação à derivada de uma função, podemos classificá-la da seguinte forma:   funções contínuas não
deriváveis, funções contínuas, que só admitem até 1ª derivada,   funções contínuas, que só admitem até 2ª
derivada e assim sucessivamente até a função de classe  . Toda função polinomial racional é uma
função de classe  , ou seja admite as derivadas de todas as ordens. 
 
LIMA, E. L. Curso de análise. 9. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 1999. v. 1.
 
 
1 em 1 pontos
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da resposta:
Nesse contexto, encontre a derivada da função  , sabendo que  , e assinale a alternativa que indique
qual é o resultado obtido para  .
Resposta correta. A derivada correta é igual a  . Inicialmente,   deve-se utilizar a regra do quociente para obter a
primeira derivada, que é igual a:  . Daí, deriva-se novamente para obter a segunda derivada,
aplicando novamente a regra do quociente. Portanto, temos:  
  
Pergunta 7
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da resposta:
Para derivar a função  , é necessário conhecer a derivada da função tangente e a regra da
cadeia, pois essa função é uma composição da função tangente, polinomial e potência. Assim, inicialmente, deve-se
aplicar a derivada da função potência, depois da função tangente e, por fim, a função polinomial. 
 
 Nesse sentido, assinale a alternativa que indique qual o valor de 
Resposta correta. Aplicando-se os passos evidenciados, a derivada da função potência, depois a derivada da
tangente e, em seguida, a derivada da função polinomial, o seguinte cálculo mostra que  .  
 
Pergunta 8
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da resposta:
Quando a indeterminação do limite é igual a 0/0, e a função é racional polinomial, recomenda-se utilizar artifícios
matemáticos para simplificar a função. Nesse caso de funções racionais polinomiais, utiliza-se a fatoração do
polinômio através da regra prática de Ruffini para facilitar os cálculos.
 Nesse sentido, encontre o limite   e assinale a alternativa que indique qual é o resultado obtido para o
limite.
 
Resposta correta. O valor correto para o limite é igual a 21/19. Inicialmente,verifica-se que, ao substituir a tendência do limite, a
indeterminação é do tipo 0/0. Assim, pela regra de Ruffini,  e
, portanto, o valor do limite é igual a :
.
Pergunta 9
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da resposta:
Para derivar a função  , é necessário conhecer a derivada da função polinomial e regras
operatórias da derivada. No entanto, inicialmente, deve-se simplificar a função, utilizando as regras operatórias da
potência: soma, produto e quociente. 
 Nesse sentido, assinale a alternativa que indica qual o valor de  
 
 
 
Resposta correta. Os seguintes cálculos mostram que inicialmente foram aplicadas as propriedades de potência para
simplificar a função e depois derivou-se a função adequadamente, obtendo o resultado de  . 
 
 
  
 
 
 
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Pergunta 10
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da resposta:
Ao calcular limites, pode ocorrer uma indeterminação matemática do tipo 0/0. Nesse caso, para determinar o limite,
devemos utilizar artifícios matemáticos para simplificar a função. Para funções racionais polinomiais de grau 2, é
recomendável utilizar a fatoração do polinômio, através da regra prática em que  .
Assim, basta encontrar as raízes do polinômio por Bhaskara. Isso facilita bastante os cálculos. Nesse sentido,
encontre o limite   e assinale a alternativa que indique qual é o resultado obtido para o limite.
-2.
-2.
Resposta correta. O valor correto para o limite é igual a -2 . Para fatorar o polinômio  , utiliza-se o quadrado da diferença,
portanto:  . Para fatorar o polinômio de grau 2, por Bhaskara, as raízes são -1 e -2, portanto 
. Assim,  .
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