Interpolação Polinomial.

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INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL
Consideremos a tabela abaixo contendo uma lista de valores para o calor especifico de um dado material em função de sua temperatura: 
	Temperatura 	20	25	30	35	40	45	50
	Calor especifico 	0.99907	0.99852	0.99826	0.99818	0.99828	0.99849	0.99878
Suponhamos que se queira calcular:
o calor específico da água a 32.5;
a temperatura para a qual o calor específico é 0.99878. 
A interpolação nos ajuda a resolver este tipo de problema. 
Interpolar uma função consiste em aproximar uma função por outra função , escolhida entre uma classe de funções definidas a priori e que satisfaça algumas propriedades. A função é então usada em substituição à função . 
INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL
Interpretação geométrica
Consideremos pontos distintos: , chamamos nós da interpolação, e os valores nesses pontos: 
A forma de interpolação de que veremos a seguir, consiste em se obter uma determinada função tal que:
A necessidade de se efectuar esta substituição surge em várias situações, como por exemplo: 
 quando são conhecidos somente os valores numéricos da função para um conjunto de pontos e é necessário calcular o valor da função em um ponto não tabelado;
 quando a função em estudo tem uma expressão tal que operações como a derivação e a integração são difíceis (ou mesmo impossíveis) de serem realizadas.
INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL
Em particular, se , onde é um polinómio de grau n, então a interpolação é denominada interpolação polinomial.
INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL
Serão tratadas a interpolação Clássica, a de Lagrange e a de Newton.
Polinómio de Interpolação algébrico ou clássico.
Se temos pontos , devemos obter um polinómio de grau menor ou igual a n, tal que:
, k=0,1, …, n
(Condição de interpolação)
Observação: O grau do Polinómio de interpolação determina-se da seguinte forma: .
A forma geral dum polinómio de interpolação para pontos, é:
Para determinar os coeficientes aplicamos a condição de interpolação, e obtemos o seguinte Sistema, de equações com incógnitas.
INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL
 
A matriz dos coeficientes é:
que é uma matriz de Vandermonde.
Se denotamos: , então para obter o polinómio de interpolação em forma clássica, é preciso resolver o Sistema de Equações Lineares: .
INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL
Exercício 1.
Ache o polinómio de interpolação em forma clássica, correspondente à
tabela:
1ro passo. 
Expressar o polinómio em forma geral. Como tem 3 pontos, então Portanto o polinómio é de segundo grau.
 
2do passo. 
Aplicar a condição de interpolação:
 
	x	-1	0	1
	y	2	-2	3
Solução: 
INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL
= 
= 
= 0
Substuindo:
= 2
= 
= 3
Substuindo :
Isolando :
3ro passo. 
Resolver o Sistema de Equações.
4to passo. 
Substituir na equação (1) :
INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL
5to passo. 
Verificação.
 
Então o resultado é certo.
6to passo. 
Algoritmo de Matlab.
Script Interp. Classica
X=[-1 0 1];Y=[3 -2 1];
V=vander(X)
S=inv(V)*Y '
syms x real
p=poly2sym(S)
subs(p, x, X)==Y
ezplot(p,[-1 1]),hold on,plot(X,Y,'ro'),grid,legend('p(x)','pontos tabelados')
 
 
INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL
Gráfico.
INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL
Polinómio de Interpolação de Lagrange.
A forma geral do Polinómio de Interpolação segundo Lagrange é:
onde e:
Exercício 2.
Ache o polinómio de interpolação em forma de Lagrange, correspondente à tabela:
	x	-1	0	1
	y	2	-2	3
Solução: 
INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL
1ro passo. 
Expressar o polinómio em forma de Lagrange. Como tem 3 pontos, então Portanto o polinómio é de segundo grau.
2do passo. 
Calcular os polinómios :
:
:
INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL
:
3ro passo. 
Substituir , na equação (2) :
4to passo. 
Verificação.
O resultado coincide com o do Exemplo 1, e não é preciso verificar.
INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL
5to passo. 
Algoritmo de Matlab.
Script Lagrange
X=[-1 0 1],Y=[3 -2 1]
syms x real;do 
L1=(x-X(2))*(x-X(3))/((X(1)-X(2))*(X(1)-X(3)))
L1=expand(L1)
L2=(x-X(1))*(x-X(3))/((X(2)-X(1))*(X(2)-X(3)))
L2=expand(L2)
L3=(x-X(1))*(x-X(2))/((X(3)-X(1))*(X(3)-X(2)))
L3=expand(L3)
p=Y(1)*L1+Y(2)*L2+Y(3)*L3
p=expand(p)
subs(p, x, X)==Y
ezplot(p,[-1 1]),hold on,plot(X,Y,'ro'),grid,legend('p(x)','pontos tabelados')
O gráfico coincide com o gráfico do Exercício 1. 
Polinómio de Interpolação de Newton.
INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL
A forma geral do Polinómio de Interpolação de Newton é:
Os 
são chamados: Operadores Diferenças Divididas 
de ordem .
Para calcular os , utilizam-se as fórmulas:
= 
= 
Para sistematizar os cálculos, utiliza se a Tabela de Diferenças
Divididas, que permite calcular as diferenças 
INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL
As diferenças de primeira ordem calculam-se como quocientes das
= 
= 
= 
As diferenças de ordens superiores, calculam-se como quocientes das
A seguir mostra-se a tabela que permite calcular todas as diferenças
As diferenças classificam-se tendo em conta a sua ordem. 
Por exemplo, as diferenças de ordem zero coincidem com os valores :
= 
= 
= 
= 
= 
diferenças entre as ordenadas e as abscisas de dois pares ordenados:
diferenças entre as diferenças de uma ordem inferior a elas, e a
diferença entre as abscisas superior e inferior em essas diferenças.
divididas associadas a um conjunto de pontos.
INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL
		 				
			= 	= 		
				= 		
				=		
						
			= 	=		
			= 	=		
			= 			
						
16
INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL
Exercício 3.
Ache o polinómio de interpolação em forma de Newton, correspondente à tabela:
A partir da tabela, os valores podem-se calcular da forma seguinte:
Observe que esses valores correspondem aos primeiros elementos de cada coluna na tabela.
	 x	-1	0	2
	y	2	-1	1
Solução: 
1ro passo. 
Expressar o polinómio em forma de Newton. Como tem 3 pontos, então Portanto o polinómio é de segundo grau.
INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL
		 		
			= 	= 
			= 	
				
2
Construir a tabela de Diferenças Divididas.
 
2do passo. 
3ro passo. 
Determinar os coeficientes do Polinómio de Newton a partir da tabela de Diferenças Divididas.
INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL
Substituir na equação (3) :
4to passo. 
 
5to passo. 
Verificação.
 
Então o resultado é certo.
 
 
INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL
6to passo. 
Algoritmo de Matlab.
Script Newton
XX=[-1 0 2]; YY=[2 -1 1];
d0=YY(1)
d11=(YY(2)-YY(1))/(XX(2)-XX(1))
d12=(YY(3)-YY(2))/(XX(3)-XX(2))
d1=d11;
d2=(d12-d11)/(XX(3)-XX(1))
syms x real
p=expand(d0+d1*(x-XX(1))+d2*(x-XX(1))*(x-XX(2)))
ezplot(p,[-1 2]),hold on,plot(XX,YY,'ro'),grid,legend('p(x)','pontos tabelados')
subs(p,x,XX)==YY
INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL
Gráfico.
INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL
Exercícios Propostos.
Ache o polinómio de interpolação nas formas: Clássica, de Lagrange e de Newton, correspondente às tabelas:
	x	-1	4	0
	y	4	1	-1
	x	-1	0	2
	y	4	-1	1
	x	-1	0	1	2	3
	y	1	1	0	-1	-2
-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81
x
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
x/2 + (9x
2
)/2 - 2
p(x)
pontos tabelados
-1-0.500.511.52
x
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
(4x
2
)/3 - (5x)/3 - 1
p(x)
pontos tabelados