bx_20_CURSO_NV17_SEMI 04_MAT_E

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1
07
Aula 
4E
Matemática
Polinômios: conceito, 
grau, identidade e 
operações
Iniciamos aqui o assunto polinômios. O interesse maior nesse estudo está em preparar o caminho para as chama-
das equações polinomiais que abordaremos mais adiante. 
Apenas para dar um exemplo de polinômios, considere um paralelepípedo cujas dimensões sejam representadas, 
em função de x, conforme a figura a seguir:
3x + 2
2x – 1
2x + 1
Lembrando que o volume de um paralelepípedo retângulo é determinado pelo produto das três dimensões, 
podemos representar tal volume em função de x, ou seja:
V = (3x + 2) ∙ (2x–1) ∙ (2x + 1)
V = (3x + 2) ∙ (4x2 –1)
V = 3x ∙ (4x2 – 1) + 2 ∙ (4x2 –1)
V = 12x3 – 3x + 8x2 – 2
V = 12x3 + 8x2 – 3x – 2, com x
1
2
Essa expressão, que fornece o volume do paralelepípedo em função de x, correspondente a um polinômio do 
terceiro grau em x.
 Polinômio ou função polinomial
Uma função que é uma soma de monômios é denominada função polinomial ou, simplesmente, polinômio. 
De modo geral, todo polinômio pode ser escrito na forma reduzida e ordenada:
P(x) = anx
n + an –1 x
n –1 + an –2 x
n –2 + ... + a2x
2 + a1x
1 + a0
onde n é um número natural e an, an –1, an –2, ... , a2 , a1, e a0 são os coeficientes do polinômio.
Cada um dos termos que compõem um polinômio recebe o nome de monômio.
2 Semiextensivo
Observações:
1. Quando a ≠ 0, dizemos que o número natural n é o grau do monômio a ∙ xn
2. Quando todos os coeficientes do polinômio forem nulos, o polinômio é denominado polinômio nulo. Neste 
caso, ele assume valores nulos para todo x real.
3. O grau de um polinômio não nulo, escrito na forma reduzida, é o grau de seu monômio de maior grau.
Exemplos:
 • A(x) = 2x5 + 9x4 – 2x2 + 10 é um polinômio de grau 5. Escrevemos gr(A) = 5
 • B(x) = –9x3 – 10x – 81 é um polinômio de grau 3. Escrevemos gr(B) = 3
 • C(x) = 7x2 – 7x – 3 é um polinômio de grau 2. Escrevemos gr(C) = 2
 Valor numérico de um polinômio
Como um polinômio P(x) é uma função, quando atribuímos valores reais para x, obtemos valores reais em corres-
pondência para o polinômio. Tais valores são ditos valores numéricos.
Exemplo:
Vamos calcular o valor numérico que o polinômio P(x) = 2x3 – 4x2 + 10x – 8 assume para x = 2, isto é, vamos calcular P(2):
P(2) = 2 ∙ 23 – 4 ∙ 22 + 10 ∙ 2 – 8 P(2) = 16 –16 + 20 – 8 P(2) = 12 valor númérico
Observação:
Quando P(m) = 0, para algum valor real m, dizemos que m é raiz ou zero do polinômio P(x)
 Operações com polinômios
A adição, a subtração e a multiplicação entre polinômios seguem o mesmo procedimento já conhecido para essas 
operações com expressões algébricas. Ao efetuar essas operações é importante, ao final, escrever o resultado na forma 
reduzida.
Exemplo:
Considere os polinômios e A(x) = 2x3 – 5x2 + 9x – 1 e B(x) = 7x2 – 3x + 2. Vamos obter os polinômios A(x) + B(x), 
A(x) – B(x) e A(x) ∙ B(x).
 • A(x) + B(x):
A(x) + B(x) = (2x3 – 5x2 + 9x –1) + (7x2 – 3x + 2)
A(x) + B(x) = 2x3 + (–5 + 7)x2 + (9 – 3)x + (–1 + 2)
A(x) + B(x) = 2x3 + 2x2 + 6x + 1
 • A(x) – B(x):
A(x) – B(x) = (2x3 – 5x2 + 9x –1) – (7x2 – 3x + 2)
A(x) + B(x) = 2x3 + (–5 – 7)x2 + (9 + 3)x + (–1 – 2)
A(x) + B(x) = 2x3 – 12x2 + 12x – 3
 • A(x) ∙ B(x)
A(x) ∙ B(x) = (2x3 – 5x2 + 9x –1) ∙ (7x2 – 3x + 2)
A(x) ∙ B(x) = 2x3 ∙ (7x2 – 3x + 2) – 5x2 ∙ (7x2 – 3x + 2) + 9x ∙ (7x2 – 3x + 2) –1 ∙ (7x2 – 3x + 2)
A(x) ∙ B(x) = 14x5 – 6x4 + 4x3 – 35x4 + 15x3 – 10x2 + 63x3 – 27x2 + 18x – 7x2 +3x – 2
A(x) ∙ B(x) = 14x5 – 41x4 + 82x3 – 44x2 + 21x – 2
Aula 07
3Matemática 4E
01. Obtenha os valores de a, b, c e d para que os polinômios A(x) = ax3 + bx2 + cx + d e B(x) = 2x3 – 7x2 + 5 sejam 
idênticos.
• Para que os polinômios sejam idênticos, os coeficientes dos monômios de mesmo grau devem ser iguais, isto é:
ax3 + bx2 + cx + d = 2x3 – 7x2 + 0x + 5
a = 2
b = –7
c = 0
d = 5
02. Determine o valor de k para que –2 seja raiz do polinômio P(x) = x3 + 3x2 + kx – 2.
• Se x = –2 é raiz do polinômio P(x), então o valor numérico que esse polinômio assume para x = –2 é igual a zero. 
Ou seja:
P(x) = x3 + 3x2 + kx – 2
P(–2) = 0
(–2)3 + 3 · (–2)2 + k · (–2) – 2 = 0
–8 + 12 – 2k – 2 = 0
–2k = –2 k = 1
Situações resolvidas
Observação:
Deixemos a divisão de polinômios para a próxima aula.
 Polinômios idênticos
Um conceito importante que temos no estudo de polinômios é o de identidade. Assim, temos:
Dizemos que os polinômios A(x) e B(x) são idênticos, ou iguais, quando os valores numéricos A(m) e B(m) são 
iguais para todo m real:
A(x) = B(x) A(m) = B(m), m |R
Observações:
1. Outra maneira de caracterizarmos a identidade de polinômios:
Dois polinômios são idênticos quando os coeficientes dos termos de mesmo grau são iguais.
2. Um polinômio é identicamente nulo quando todos os seus coeficientes são iguais a zero.
4 Semiextensivo
01. Determine o grau do polinômio P(x), tal que:
P x x x x x x( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (...) ( )= − ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ −1 1 1 1 11 2 3 4 50 
02. Determine os valores dos números reais A e B, sabendo que 
A
x
B
x
x
x−
+
+
=
+
−1 1
5 1
12
.
03. (UEL – PR) – Sejam os polinômios
f = 2x3 – 3x2 + 3; g = x2 + 3; h = x3 – 2x2
Os números reais a e b, tais que f a g b h= ⋅ + ⋅ , são, respectivamente:
a) –2 e –1 b) –2 e 1 c) –1 e –2 d) 1 e –2 e) 1 e 2
Situações para resolver
Aula 07
5Matemática 4E
Testes
Assimilação
07.01. Considere que o polinômio P(x) é do 3o. grau e o poli-
nômio Q(x) é do 4o. grau. Assim, o polinômio correspondente 
ao resultado de P(x) + Q(x) é do: 
a) 1o. grau
b) 2o. grau
c) 3o. grau
d) 4o. grau
07.02. O valor numérico que o polinômio
P x x x x( )= + − +4 10 7 103 2 
assume, para x 1, é:
a) 0
b) 13
c) 17
d) 20
07.03. Sobre um polinômio identicamente nulo, é correto 
afirmar que
a) pelo menos um de seus coeficientes é diferente de zero.
b) tem grau igual a zero.
c) todos os seus coeficientes são iguais a zero.
d) ele nunca se anula.
07.04. Para x = 2, o polinômio do 1o. grau P(x) assume o valor 
numérico igual a zero. Dessa forma, é correto afirmar que
a) P(2) > 0
b) P(2) < 0
c) P(2) = 0
d) P(1) = 0
07.05. A soma de dois polinômios do 3o. grau é:
a) um polinômio do 3o. grau.
b) um polinômio do 4o. grau.
c) um polinômio do 2o. grau.
d) no máximo, um polinômio do 3o. grau.
07.06. Considere o polinômio 
P x x x x x x( ) ...= + + + + + +1 2 3 4 5 102 3 4 9 . 
Sobre esse polinômio, é correto afirmar que
a) P(1) = 25
b) P(1) = 33
c) P(1) = 55
d) P(1) = 66
Aperfeiçoamento
07.07. (UFPA) – O polinômio P x ax bx cx d( )= + + +3 2 é 
idêntico a Q x x x( )= − +5 3 42 . Então, temos que a b c d 
é igual a:
a) 6
b) 5
c) 4
d) 0
e) –3
07.08. (UFRGS) – Se p(x) é um polinômio de grau 5, então 
o grau de [ ( )] [ ( )] ( )p x p x p x3 2 2 é:
a) 3
b) 8
c) 15
d) 20
e) 30
07.09. (UNIFOR – CE) – Considere os polinômios 
P = x2 – 2x + 1;
Q = x3 + x – 2;
R = –x5 + 2x4 – x3 + x2 – x + 1. 
O grau do polinômio P · Q + R é:
a) 5 
b) 4 
c) 3 
d) 2 
e) 1
6 Semiextensivo
07.10. (UESPI) – O valor de m , para que o grau do po-
linômio ( )m x x x+ + − +3 2 6 74 3 seja igual a 3, é:
a) m = 0
b) m = 1
c) m = –1
d) m = –3
e) m = 3
07.11. O valor de m , para que (m2 – 4) x2 + (m – 2) x + 13 
seja um polinômio do primeiro grau, é igual a:
a) 2 
b) 4 
c) –2 
d) – 4 
e) 2 ou – 2
07.12. (EEAR) – Considere P(x) = 2x3 + bx2 + cx, tal que 
P(1) = –2 a P(2) = 6. Assim, os valores de b e c são, respec-
tivamente,
a) 1 e 2 
b) 1 e –2 
c) –1 e 3
d) –1 e –3
Aprofundamento
07.13. (PUCMG) – Se o polinômio 
P(x) = (2m + 3n – p)x2 + (m + 2n – 5p)x + (p – 2) 
é identicamente nulo, a soma m + n + p é igual a:
a) –3
b) – 6
c) 8
d) 5
e) 0
07.14. (UECE) – Se os polinômios P x
x n m
nx x( ) 2
1 1 1
2 e 
Q(x) = x3 – 4x2 + x + 4 são idênticos, então o valor de 
m
n
 é:
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
Aula 07
7Matemática 4E
07.15. (FGV – SP) – Desenvolvendo-se o binômio 
P(x) = (x + 1)5, podemos dizer que a soma de seus coefi-
cientes é:
a) 16
b) 24
c) 32
d) 40
e) 48
07.16. (UNIMONTES – MG) – Os valores de A, B eC, em IR, 
de modo que 
3 3 2
1 1
2
2 2
x x
x x
A
x
Bx C
x
+ +
+
= +
+
+( )
, são:
a) A = –2, B = 3 e C = 1.
b) A = 2, B = 1 e C = 3.
c) A = 1, B = 2 e C = 3.
d) A = 2, B = 2 e C = 1.
07.17. (UECE) – Se a expressão algébrica x2 + 9 se escreve 
identicamente como a(x + 1)2 + b(x + 1) + c, onde a, b e c 
são números reais, então o valor de a – b + c é: 
a) 9
b) 10
c) 12
d) 13
07.18. (ACAFE – SC) – Considerando o polinômio 
P(x) = 1 + 2x + 3x2 + ... + 49x48 + 50x49, 
analise as proposições abaixo.
I. P(1) = 1275
II. P(–1) = 25
III. P(0) = 0
IV. A soma dos coeficientes dos termos de grau ímpar é 650.
Estão corretas, somente:
a) I, II, IV
b) III, IV
c) II, III
d) I, II
e) I, IV
8 Semiextensivo
Discursivos
07.19. (UFSE) – Analise a afirmação abaixo:
Se p é o produto dos polinômios 2 13 2x x− + e x x2 2 , então p x x x x x= − − + − −2 3 3 3 25 4 3 2 .
07.20. (UFOP – MG) – O polinômio P x x Ax Bx C( )= − + + +2 3 2 é tal que P x P x x( ) ( ),= − − ∀ ∈ e P( ) .− =2 0 Calcule o valor 
de A B C2 2 2 .
Gabarito
07.01. d
07.02. c
07.03. c
07.04. c
07.05. d
07.06. c
07.07. a
07.08. c
07.09. c
07.10. d
07.11. c
07.12. d
07.13. b
07.14. b
07.15. c
07.16. b
07.17. d
07.18. e
07.19. A afirmação é verdadeira.
07.20. 64
9Matemática 4E
Matemática
Aula 08 4E
Polinômios: métodos de 
divisão de polinômios
Nesta aula, veremos três procedimentos que podem ser utilizados na divisão entre polinômios. 
Inicialmente é importante observar como efetuamos a divisão entre dois números naturais. Assim, ao dividirmos um 
número natural A por outro número natural B, queremos determinar os números naturais Q e R que satisfazem duas 
condições, simultaneamente:
A
R
B A = B · Q + R 
e
0 R BQ
(A é dividendo, B é divisor, Q é quociente e R é o resto da divisão)
 Divisão de polinômios
Dividir um polinômio A(x) pelo polinômio B(x) não identicamente nulo equivale a determinar dois polinômios Q(x) 
(quociente da divisão) e R(x) (resto da divisão) que satisfazem simultaneamente as seguintes condições:
A(x)
R(x)
B(x)
DivisorDividendo
QuocienteResto
Q(x)
A(x) = B(x) ∙ Q(x) + R(x) 
e 
gr(R) < gr(B) ou R(x) 0
Quando R(x) 0, dizemos que a divisão é exata, ou, de forma equivalente, que o polinômio A(x) é divisível pelo 
polinômio B(x).
1
o
. método: Descartes
Esse procedimento para dividir um polinômio por outro utiliza a identidade entre polinômios. Apresentamos a 
seguir um exemplo em que empregamos o método de Descartes (também conhecido como método dos coeficientes 
a determinar).
Exemplo:
Vamos dividir o polinômio A(x) = 2x3 – 6x2 + 4x – 10 pelo polinômio B(x) = x2 + x – 2
2x3 – 6x2 + 4x – 10 x
2 + x – 2
R(x) Q(x)
 • O polinômio R(x) é da forma R(x) = ax + b, pois gr(R) < gr(B) ou R(x) 0
 • O quociente Q(x) é da forma Q(x) = mx + n, pois gr(A) = gr(B ∙ Q + R) = 3
10 Semiextensivo
 • Assim, podemos escrever:
2x3 – 6x2 + 4x – 10 (x2 + x – 2) ∙ Q(x) + R(x)
2x3 – 6x2 + 4x – 10 (x2 + x – 2) ∙ (mx + n) + ax + b
 • Vamos, agora, desenvolver o lado direito da identidade e, em seguida, somar os monômios semelhantes:
2x3 – 6x2 + 4x – 10 (x2 + x – 2) ∙ (mx + n) + ax + b
2x3 – 6x2 + 4x – 10 x2 ∙ (mx + n) + x ∙ (mx + n) – 2 ∙ (mx + n) + ax + b
2x3 – 6x2 + 4x – 10 mx3 + nx2 + mx2 + nx – 2mx – 2n + ax + b
2x3 – 6x2 + 4x – 10 mx3 + (n + m)x2 + (n – 2m + a)x – 2n + b
 • Pela identidade entre polinômios, temos o seguinte sistema:
m = 2
n + m = –6
n – 2m + a = 4
–2n + b = – 10
Portanto, na divisão anterior, o quociente é o polinômio Q(x) = 2x – 8 e o resto é o polinômio R(x) = 16x – 26
2
o
. método: chave
Neste procedimento efetuamos a divisão como fazemos para dividir números decimais. Observe que o mesmo 
exemplo anterior será resolvido agora por esse método:
 • Dividimos o monômio de maior grau do dividendo pelo monômio de maior grau do divisor, obtendo-se assim o 
monômio de maior grau do quociente da divisão (2x3 : x2 = 2x). Multiplicamos a seguir o monômio 2x pelo divisor 
e subtraímos do dividendo o produto obtido:
2x3 – 6x2 + 4x – 10
–2x3 –2x2 + 4x
–8x2 + 8x – 10
x2 + x – 2
2x
 • O polinômio –8x2 + 8x – 10 é denominado primeiro resto parcial da divisão. Repetimos com cada resto parcial o 
procedimento inicial até obtermos um resto de grau menor que o grau do divisor ou, se a divisão for exata, o resto 
como o polinômio identicamente nulo:
2x3 – 6x2 + 4x – 10
–2x3 –2x2 + 4x
–8x2 + 8x – 10
8x2 + 8x – 16
16x – 26
x2 + x – 2
2x – 8
O método da chave (também conhecido como algoritmo da divisão) é vantajoso pelo simples fato de evitar a 
resolução de sistemas.
3
o
. método: dispositivo prático (divisões particulares)
Quando da divisão de um polinômio A(x) = anx
n + an –1 x
n –1 + an –2 x
n –2 + ... + a2x
2 + a1x
1 + a0, de grau n (n ≥ 1), por 
um polinômio B(x) = x – a, podemos efetuar essa divisão utilizando um procedimento muito mais simples conhecido 
como dispositivo prático de Briot-Ruffini. Tal método utiliza apenas os coeficientes do polinômio dividendo. Vejamos 
como proceder, por meio de um exemplo.
 m = 2; n = –8; a = 16; b = –26
Aula 08
11Matemática 4E
Exemplo:
Vamos dividir o polinômio A(x) = 4x4 – 3x3 + 5x2 – 10x – 30 pelo polinômio B(x) = x – 2
 • Na primeira linha do dispositivo, colocamos os coeficientes do dividendo (todos os coeficientes do polinômio completo).
4 –3 5 –10 –30
 • No canto superior, à esquerda, colocamos o número que anula B(x). No nosso exemplo, colocamos o número 2. 
A seguir, repetimos o coeficiente de maior grau, do polinômio dividendo, na segunda linha:
4 –3 5 –10 –30
4
2
 • Multiplicamos esse número pelo número que está no canto superior, à esquerda, adicionamos o resultado ao 
segundo coeficiente de maior grau do dividendo e escrevemos o resultado abaixo dele (4 ∙ 2 + (–3) = 5)
4 –3 5 –10 –30
4 5
2
 • Continuamos com esse procedimento até obtermos o número abaixo do último coeficiente do polinômio 
divisor.
4 –3 5 –10 –30
4 5 15 20 10
2
Quociente da divisão: Q(x) = 4x3 + 5x2+ 15x + 20; Resto da divisão: R(x) = 10
 • Os números que aparecem na segunda linha do dispositivo representam os coeficientes do polinômio quo-
ciente, e o número mais à direita dessa linha, o resto da correspondente divisão.
Importante:
O dispositivo prático de Briot-Ruffini é utilizado para obter o quociente e o resto da divisão de um polinômio de 
grau maior ou igual a 1 por um polinômio da forma x ± a.
 Teorema do resto
Quando dividimos um polinômio P(x) de grau maior ou igual a um por um binômio de grau um, o resto da divisão é um 
número que pode ser obtido a partir do valor numérico que o polinômio assume para a raiz do binômio de grau um, isto é:
O resto da divisão de um polinômio P(x) pelo binômio ax + b (com a ≠ 0) é igual ao valor numérico desse poli-
nômio para x
b
a
= − . Ou seja:
 P
b
a
−⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = resto da divisão de P(x) por ax – b.
Exemplo:
 • O resto da divisão de P(x) por x – 1 é P(1).
 • O resto da divisão de P(x) por x + 4 é P(– 4). 
 • O resto da divisão de P(x) por 3x – 2 é P
2
3
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟.
 • O resto da divisão de P(x) por 3x + 2 é P
−⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
2
3
.
01. Calcule o resto da divisão do polinômio P(x) = 3x3 – 4x2 + 4x – 1 pelo binômio (3x + 1) 
• Pelo teorema do resto, o valor numérico que esse polinômio assume para a raiz de (3x + 1) corresponde ao resto 
da divisão:
R P= −⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
1
3
R = ⋅ −⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ − ⋅ −
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ + ⋅ −
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟−3
1
3
4
1
3
4
1
3
1
3 2
R = − − − −
1
9
4
9
4
3
1
R = − − − − = −
1
9
4
9
12
9
9
9
26
9
02. Determine o valor de m para que o polinômio A(x) = x4 – 3x2 – mx + 6 seja divisível pelo binômio (x – 2).
• Como o polinômio é divisível, temos que o resto da divisão é zero. Assim, pelo teorema do resto:
R = A(2)
0 = A(2)
0 = 24 – 3 · 22 – m · 2 + 6
2m = 16 – 12 + 6 m = 5
12 Semiextensivo
Observações:
1. O resto da divisão de um polinômio P(x), de grau maior ou igual a um, pelo binômio (x – a)é igual a P(a).
2. Consequência importante do teorema do resto:
O polinômio P(x) é divisível por (x – a) se, e somente se, P(a) = 0.
 Teorema da divisibilidade
Esse teorema também é conhecido como teorema da divisibilidade pelo produto, e pode ser assim enunciado:
Sejam a e b constantes quaisquer, com a ≠ b. Um polinômio P(x) é divisível por (x – a) e por (x – b), se, e 
somente se, P(x) é divisível pelo produto (x – a) · (x – b).
Observações:
1. O teorema da divisibilidade é composto de duas partes:
• Se P(x) é divisível por (x – a) e por (x – b), então P(x) é divisível pelo produto (x – a) · (x – b).
• Se P(x) é divisível pelo produto (x – a) · (x – b), então P(x) é divisível separadamente por (x – a) e por (x – b).
2. Esse teorema pode ser generalizado para um número finito de fatores (x – a), (x – b), ..., (x – m), onde as 
constantes a, b, ... e m são, duas a duas, distintas.
Situações resolvidas
03. Obtenha os valores das constantes reais m e n considerando que o polinômio P(x) = x3 + mx2 + nx + 10 é divisível 
pelo polinômio (x – 1) · (x – 2).
• Pelo teorema da divisibilidade, sabemos que, se o polinômio é divisível pelo produto (x – 1) · (x – 2), será divisível 
separadamente pelos binômios (x – 1) e (x – 2). Dessa forma, aplicamos duas vezes o teorema do resto.
(x – 1):
R = P(1)
0 = 13 + m · 12 + n · 1 + 10 m + n = –11 (I)
(x – 2):
R = P(2)
0 = 23 + m · 22 + n · 2 + 10 2m + n = –9 (II)
• Resolvemos o sistema formado pelas equações (I) e (II), isto é:
m + n = –11
2m + n = –9
 m = 2; n = –13
01. Prove que o resto da divisão de um polinômio P(x), de grau maior ou igual a um, pelo binômio (x – a) é R, sendo 
que R = P(a).
02. Calcule o resto da divisão do polinômio P(x) = x + 5x5 + 9x9 + 13x13 + ... + 797x797 por (x – 1).
Situações para resolver
Aula 08
13Matemática 4E
03. (OSEC–SP) – Um polinômio P(x) quando dividido por x + 2 dá resto 5 e quando dividido por x – 2 dá resto 13. 
Calcule o resto da divisão de P (x) por x2 – 4.
04. Determine os valores de m e n para os quais o polinômio P x x x x mx n( )= − − + +4 3 222 é divisível pelo polinômio 
x x2 5 6.
Testes
Assimilação
08.01. Ao dividirmos um polinômio P(x), do 3o. grau, pelo 
binômio x – 3, podemos afirmar que o resto dessa divisão 
é igual a:
a) P( )0 
b) P( )3
c) P( )3
d) P( )1
08.02. Se um polinômio P(x), do 3o. grau, é divisível pelo 
binômio x + 7, então é correto afirmar que
a) P( )− =7 0 
b) P( )7 0 
c) P( )0 7 
d) P( )0 7= − 
14 Semiextensivo
08.03. Se um polinômio P(x), do 3o. grau, é divisível sepa-
radamente por x – 3 e por x + 3, então esse polinômio é 
divisível por:
a) x 2 9 
b) x 2 3
c) x 2 9
d) x 2 3
08.04. Se dividirmos um polinômio do 4o. grau por um 
polinômio do 3o. grau, então o resto dessa divisão, se não for 
nulo, será um polinômio de grau n, n .
É correto afirmar que
a) n = 0
b) n = 1
c) n = 2
d) 0 ≤ n < 3
e) 0 < n ≤ 2
08.05. Sabe-se que P(2) = 0 e que P(4) = 0. Assim, o poli-
nômio P(x) é divisível
a) apenas pelo polinômio x 2. 
b) apenas pelo polinômio x 4. 
c) pelo polinômio ( )( ).x x2 4 
d) pelo polinômio ( )( ).x x2 4
08.06. Se a soma dos coeficientes de um polinômio P(x), do 
3o. grau, é igual a zero, então esse polinômio é divisível por:
a) x – 1
b) x + 1
c) x – 2
d) x + 3 
Aperfeiçoamento
08.07. (FGV – SP) – Sabendo-se que o resto da divisão do 
polinômio P(x) = x3 – x2 + 2k + 2 por x – 3 é igual a 4k – 220, 
o valor de k é:
a) – 4 b) –2 c) 2 d) 3 e) 4
08.08. (UFRGS) – O resto da divisão de P(x) = x3 + ax2 – x + a 
por (x – 1) é 4. Então o valor de a é:
a) 0 b) 1 c) 2 d) 4 e) 6
08.09. (UFV – MG) – Dividindo-se o polinômio x x3 2 1 
por x x2 2 1, encontra-se como resto o binômio:
a) 3 2x b) 3 3x c) 5 2x d) 5 3x 
08.10. (UFTM – MG) – Dividindo-se o polinômio 
p(x) = 3x4 – 2x3 + mx + 1 por (x – 1) ou por (x + 1), os 
restos são iguais. Nesse caso, o valor de m é igual a:
a) –2 b) –1 c) 1 d) 2 e) 3
Aula 08
15Matemática 4E
08.11. (UFPA) – Sejam P e Q dois polinômios de graus n e 
m, respectivamente. Então, se r é o grau de R, resto da divisão 
de P por Q, temos:
a) r
m
n
 
b) r m n= − 
c) r m≤ 
d) r m
e) r n m< −
08.12. (UNICAMP – SP) – Considere o polinômio 
p(x) = xn + xm + 1,
em que n > m ≥ 1. Se o resto da divisão de p(x) por x + 1 é 
igual a 3, então
a) n é par e m é par.
b) n é ímpar e m é ímpar.
c) n é par e m é ímpar.
d) n é ímpar e m é par.
Aprofundamento
08.13. (PUCPR) – Se o polinômio x4 + px2 + q é divisível 
pelo polinômio x2 – 6x + 5, então p + q vale:
a) –1
b) 3
c) 5
d) – 4
e) 10
08.14. (UERN) – Qual é o valor de m + n, para que o resto da 
divisão de x3 + mx2 + nx – 10 por x2 – x – 2 seja igual a zero?
a) 8 b) –5 c) 4 d) –3
08.15. (PUCSP) – Sejam –1 e 2, respectivamente, os restos 
das divisões de um polinômio f por x – 1 e x – 2. O resto da 
divisão de f por (x – 1) · (x – 2) é:
a) 0
b) –2 
c) –x + 2
d) x – 1
e) 3x – 4
08.16. (UFRR) – Se dividirmos P = 4x2 + 2mx – 5 por x – 2 
e por x – 3, encontraremos restos iguais. E se dividirmos 
R = 4x3 – tx + 2 por x + 1, o resto será zero. Qual o valor de 
(m + t )2?
a) 64 b) 16 c) –144 d) 12 e) 8
16 Semiextensivo
08.17. (UEM – PR) – Ao efetuar a divisão de um polinô-
mio a(x) por outro b(x), com coeficientes reais, obtemos 
polinômios q(x) e r(x), tais que a(x) = b(x)q(x) + r(x) e grau 
de r(x) < grau de b(x). O polinômio q(x) é o quociente (ou 
resultado) da divisão, e r(x), o resto da divisão. Diz-se ainda 
que o polinômio b(x) divide o polinômio a(x) se o resto da 
divisão for o polinômio nulo, isto é, se r(x) = 0. 
Sobre essa situação, assinale o que for correto.
01) Se um polinômio divide tanto a(x) quanto b(x), então 
ele também divide o resto r(x) da divisão de a(x) por 
b(x).
02) Se b(x) divide os polinômios a1(x) e a2(x), então ele tam-
bém divide a soma a1(x) + a2(x).
04) Se b(x) divide o produto a1(x) · a2(x) de dois polinômios, 
então b(x) divide algum dos dois fatores, a1(x) ou a2(x).
08) O resto da divisão de a(x) = x3 + x2 + x + 1 por b(x) = 
x2 – 1 divide o quociente dessa mesma divisão.
16) Se b(x) divide a(x), então toda raiz de b(x) também é 
raiz de a(x).
08.18. (UNIMONTES – MG) – Considere um número real x > 2. 
Se o volume de um paralelepípedo é V(x) = 2x3 – x2 – 5x – 2 
e sua altura é H(x) = x + 1, então a área da base desse pa-
ralelepípedo é:
a) A(x) = (2x + 1)(x – 2)
b) A(x) = (2x – 11)(x – 2)
c) A(x) = (2x – 4)(2x + 1)
d) A(x) = (2x – 4)(2x – 1)
Discursivos
08.19. (UFMA) – Quais os valores de a e b para que o polinômio p x x x ax b( )= + + +3 25 seja divisível por ( )x 1 e por ( )x 3 ?
Aula 08
17Matemática 4E
08.20. (UFMG) – Os polinômios p x x1
2 4( )= − e p x x x2
2 7 10( )= − + dividem o polinômio p x ax bx x c( )= + − +3 2 12 , em 
que a, b e c são números reais. Determine a, b e c.
Gabarito
08.01. c
08.02. a
08.03. c
08.04. d
08.05. c
08.06. a
08.07. e
08.08. c
08.09. d
08.10. d
08.11. d
08.12. a
08.13. a
08.14. d
08.15. e
08.16. a
08.17. 27
08.18. a
08.19. a = 39 e b = – 45
08.20. a = 3, b = –15 e c = 60
18 Semiextensivo