Prova resolvida - Álgebra Linear (Matrizes, determinantes e sistemas lineares)

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Matemática em Exerćıcios
Prova resolvida - Álgebra Linear
Professor Guilherme Miguel Rosa
Questão 1. Seja A =
(
1 a
0 -1
)
, onde a é um número real. Determine A2021.
Solução:
A2 = A ·A =
(
1 a
0 -1
)
·
(
1 a
0 -1
)
=
(
1 0
0 1
)
= I.
Logo, A2021 = A ·A2020 = A · (A2)1010 = A · I1010 = A · I = A.
Questão 2. Mostre que
∣∣∣∣∣∣
1 a a2
1 b b2
1 c c2
∣∣∣∣∣∣ = (c− b)(b− a)(c− a).
Solução:
Como o determinante não se altera quando adicionamos a uma linha outra linha multiplicada por uma
constante, temos: ∣∣∣∣∣∣
1 a a2
1 b b2
1 c c2
∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣
1 a a2
0 b− a b2 − a2
0 c− a c2 − a2
∣∣∣∣∣∣ .
Calculando o determinante pelo Teorema de Laplace na primeira coluna:∣∣∣∣∣∣
1 a a2
0 b− a b2 − a2
0 c− a c2 − a2
∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣ b− a b2 − a2c− a c2 − a2
∣∣∣∣
= (b− a)(c2 − a2)− (c− a)(b2 − a2)
= (b− a)(c− a)(c+ a)− (c− a)(b− a)(b+ a)
= (b− a)(c− a)[(c+ a)− (b+ a)]
= (b− a)(c− a)(c− b).
Questão 3. Resolva o sistema linear
x1 − 2x2 − x3 − 2x4 = 0
−x1 + 4x2 + 4x3 + 11x4 = −1
2x1 − 5x2 − 2x3 − 5x4 = 0
3x1 − 5x2 − 2x3 − 3x4 = 0
pelo método de Gauss-Jordan.
1
Solução:
Considere a matriz aumentada do sistema linear:
1 -2 -1 -2 0
-1 4 4 11 -1
2 -5 -2 -5 0
3 -5 -2 -3 0

Devemos transformar a matriz dos coeficientes das incógnitas na matriz identidade, com isso a coluna
dos termos independentes fornece a solução do sistema. Inicialmente, vamos zerar os elementos abaixo
da diagonal principal situados na 1ª coluna. As operações serão realizadas com a 1ª linha:
L2 = L2 + L1, L3 = L3 − 2L1 e L4 = L4 − 3L1.
1 -2 -1 -2 0
0 2 3 9 -1
0 -1 0 -1 0
0 1 1 3 0

Na sequência, zeramos os elementos abaixo da diagonal principal na 2ª coluna utilizando a 2ª linha
nas operações: L3 = 2L3 + L2 e L4 = −2L4 + L2.
1 -2 -1 -2 0
0 2 3 9 -1
0 0 3 7 -1
0 0 1 3 -1

E o último elemento abaixo da digonal principal a ser zerado está na 4ª linha e 3ª coluna. A operação
será com a terceira linha: L4 = −3L4 + L3.
1 -2 -1 -2 0
0 2 3 9 -1
0 0 3 7 -1
0 0 0 -2 2
 =⇒

1 -2 -1 -2 0
0 2 3 9 -1
0 0 3 7 -1
0 0 0 1 -1

Na escrita acima, a 4ª linha ficou conclúıda com a divisão dos elementos por −2. Na sequência, devemos
zerar os elementos acima da diagonal principal, no caminho inverso do anterior. Ou seja, zeramos os
elementos da 4ª coluna operando com a 4ª linha, depois na 3ª coluna com a 3ª linha e por fim na 2ª
coluna com a 2ª linha. Na 4ª coluna, fazemos: L1 = L1 + 2L4, L2 = L2 − 9L4 e L3 = L3 − 7L4.
1 -2 -1 0 -2
0 2 3 0 8
0 0 3 0 6
0 0 0 1 -1
 =⇒

1 -2 -1 0 -2
0 2 3 0 8
0 0 1 0 2
0 0 0 1 -1

Na escrita acima, já conclúımos a terceira linha dividindo seus elementos por 3. Para zerar os elementos
da terceira coluna acima da diagonal principal, fazemos: L1 = L1 + L3 e L2 = L2 − 3L3.
1 -2 0 0 0
0 2 0 0 2
0 0 1 0 2
0 0 0 1 -1
 =⇒

1 -2 0 0 0
0 1 0 0 1
0 0 1 0 2
0 0 0 1 -1

A segunda linha também foi conclúıda ao dividir seus elementos por 2. Para finalizar: L1 = L1+2L2.
1 0 0 0 2
0 1 0 0 1
0 0 1 0 2
0 0 0 1 -1
 =⇒ x1 = 2, x2 = 1, x3 = 2 e x4 = −1.
2
Questão 4. Determine a inversa da matriz A =
 -1 1 10 2 1
1 1 3
 .
Solução:
Escrevemos a matriz identidade ao lado da matriz A, e pelo método de Gauss-Jordan (como na questão
anterior) vamos transformar A na matriz identidade, consequentemente, a matriz obtida na direita é
a inversa procurada.  -1 1 1 1 0 00 2 1 0 1 0
1 1 3 0 0 1

Na 2ª linha o primeiro elemento já vale zero, então basta fazer L3 = L3 + L1. -1 1 1 1 0 00 2 1 0 1 0
0 2 4 1 0 1

Fazendo L3 = L3 − L2 obtemos  -1 1 1 1 0 00 2 1 0 1 0
0 0 3 1 -1 1

Nesse caso, é interessante manter a 3ª linha como está por enquanto para facilitar os cálculos dessa
etapa: L1 = −3L1 + L3 e L2 = −3L2 + L3. 3 -3 0 -2 -1 10 -6 0 1 -4 1
0 0 3 1 -1 1

Zeramos o último elemento necessário fazendo: L1 = −2L1 + L2. -6 0 0 5 -2 -10 -6 0 1 -4 1
0 0 3 1 -1 1

Por fim, basta que os elementos da diagonal principal sejam iguais a um, então fazemos: L1 = −L1/6,
L2 = −L2/6 e L3 = L3/3.  1 0 0 -5/6 1/3 1/60 1 0 -1/6 2/3 -1/6
0 0 1 1/3 -1/3 1/3

Logo, A−1 =
 -5/6 1/3 1/6-1/6 2/3 -1/6
1/3 -1/3 1/3
 .
3