RTORRES EA UNIDADE V REVISAO 02

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UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ
UNESA - CAMPUS MACAÉ - RJ
ELETRICIDADE APLICADA
APOSTILA GERAL – REVISÃO 0
APOSTILA DE INSTALAÇÕES PREDIAIS ELÉTRICAS
UNIDADE V 
Eng. Rodolfo J. M. Torres
	2
	Nov2021
	Exercício utilizando Teorema da Superposição
	R. Torres
	1
	Out2021
	Teorema de Norton e Transferência
	R. Torres
	0
	Ago2021
	Teoremas aplicados a Circuitos Elétricos
	R. Torres
	Revisão
	Data
	Modificação
	Executor
5. TEOREMAS APLICADOS A CIRCUITOS ELÉTRICOS
Os circuitos elétricos constituídos por resistências são amplamente utilizados tanto para alimentação (polarização) por tensão ou corrente contínua como por tensão variável. Neste capítulo será feita a revisão de circuitos alimentados por corrente contínua (abreviado por cc) que são os circuitos constituídos por elementos resistivos alimentados por uma fonte de tensão ou corrente contínua.
A principal característica de um circuito série de corrente contínua (CC) é a maneira como suas partes componentes estão conectadas: eles formam um único laço, iniciando e terminando na fonte de alimentação. Em todos os casos, existe apenas um caminho de corrente entre os terminais positivo (+) e negativo (–) da fonte de alimentação. Os circuitos série obedecem a um conjunto específico de leis que se aplicam apenas a eles. Este capítulo analisa essas características especiais dos circuitos série.
5.a. - Divisor de Tensão
Henrique Mattede - 10out2021
A tensão sobre um resistor em uma associação em série é igual ao valor da resistência multiplicado com o valor da corrente, uma vez que em circuitos em série, a corrente é a mesma em todos os elementos. Segundo a lei de Ohm, temos que a corrente total é igual à tensão total dividida pela soma das resistências, portanto, o valor da tensão em uma resistência é igual à multiplicação desta resistência com a tensão, dividida pela soma dos resistores, conforme apresentado na Figura 1.
Figura 1 - Circuito Divisor de Tensão
O método descrito é denominado como divisor de tensão, podendo ser aplicado para a associação em série de vários resistores.
5.b - Divisor de corrente
A corrente que passa por um resistor é igual à tensão dividida pela resistência dele, a tensão é igual à multiplicação da resistência em paralelo com a corrente total e a resistência em paralelo é igual ao produto das resistências dividido pela soma delas. Logo, a corrente sobre o resistor 2 será a razão do resistor 1 pela soma dos dois resistores multiplicada pela corrente total, conforme apresentado na Figura 2.
Figura 2 - Circuito Divisor de Corrente
Exemplo: Determine o valor da corrente I1, tendo por base a Figura 3, usando a regra do divisor de corrente.
Figura 3 - Circuito 1 em Paralelo
5.5.1 - Teoremas de circuitos (Thèvenin, Norton e Superposição)
5.5.1.a - Teorema de Thèvenin
	O Teorema de Thèvenin é aplicado principalmente para análise e simplificação de circuitos, bem como:
· Circuitos amplificadores;
· Polarizações de transistores bipolares;
· Análise de circuitos de áudio;
· Entre outros.
	O Teorema de Thévenin estabelece que qualquer circuito linear, visto de um ponto, pode ser representado por uma fonte de tensão (igual à tensão do ponto em circuito aberto) em série com uma impedância (igual à impedância do circuito vista deste ponto)
	Dado um circuito, contendo apenas bipolos lineares (resistências, geradores de tensão, geradores de corrente), sejam A e B dois pontos do circuito. O circuito entre esses dois pontos pode ser substituído por um gerador de tensão (UTH) em série com uma resistência (RTH), conforme apresentado na Figura 4.
(a)
(b)
Figura 4- Circuito Simplificado por Thèvenin
Fonte: O Autor (2020)
Onde:
RTH = é igual a resistência equivalente vista entre os pontos A e B, quando consideramos os geradores de tensão em curto e os geradores de corrente em aberto.
UTH (gerador de Thèvenin) = igual à tensão em vazio (em aberto) entre os pontos A e B.
Observação Importante 01:
Seguindo um passo a passo, você resolve, praticamente, qualquer circuito elétrico. Os passos são:
1. Determinar a resistência equivalente de Thèvenin (RTh);
2. Determinar a tensão equivalente de Thèvenin (VTh);
Obs.: As fontes de tensão devem ser curto-circuitadas no cálculo da resistência equivalente de Thèvenin e as fontes de corrente abertas.
Exemplo:
Exemplo: No circuito apresentado na Figura 5, determine o valor de IL, usando o Teorema de Thèvenin.
Figura 5 - Circuito Elétrico de Resistências (circuito original)
1º. passo: colocar RL em curto (retirar a resistência do circuito), tornando o circuito da figura 12 igual a:
Circuito 5.a
2º. passo: calcular a resistência equivalente de Thèvenin, tomando por base o circuito 12.a.
Observe que as resistências R1 e R2 estão em paralelo.
 
3º. passo: calcular a Tensão de Thèvenin, tomando por base o circuito 12.a.
Utilizar o Divisor de Tensão
O circuito 12.a fica reduzido ao circuito 5.b.
Circuito 5.b
4º. passo: calcular o valor da corrente IL
Interligar ao circuito 5.b a resistência RL, transformando-o no circuito 5.c
Observar que RL e Rth estão agora em série, não mais em paralelo.
Utilizando a Lei de Ohm, temos que:
Circuito 5c
Aplicando a Lei de Ohm para o determinarmos o valor de VL, temos que:
Para o lar: Determinar o valor de IL, utilizando algum outro método já comentado.
Exemplo: No circuito de duas malhas da Figura 6, determine o valor de VR3, usando o Teorema de Thèvenin.
Figura 6 - Circuito com duas malhas
5.5.1.b - Teorema da Superposição
Segundo Gussow (1985), esse teorema [[footnoteRef:1]] afirma que, uma rede com duas ou mais fontes, a corrente ou a tensão para qualquer componente é a soma algébrica dos efeitos produzidos por cada fonte atuando independentemente. [1: [] O teorema da superposição para circuitos elétricos afirma que a corrente elétrica total em qualquer ramo de um circuito bilateral linear é igual à soma algébrica das correntes produzidas por cada fonte atuando separadamente no circuito. Isto vale também para a tensão elétrica.] 
	Com o objetivo de usar uma fonte de cada vez, todas as outras fontes são retiradas do circuito elétrico (que serão substituídas por um curto-circuito), da qual fazem parte e, em seu lugar, forma-se um curto-circuito. Entretanto, cabe ressaltar, que quando uma fonte de corrente é retirada do circuito elétrico, ela é substituída por um circuito aberto.
	Quando se têm que superpor correntes e tensões elétricas, todos os componentes precisam ser lineares e bilaterais. Por lineares e bilaterais, entende-se:
a) Lineares: a corrente elétrica é proporcional à tensão aplicada (V = R x I); isto é, a corrente e a tensão obedecem à Lei de Ohm. Desta forma, as correntes calculadas para diferentes fontes de tensão podem ser superpostas, isto é, somadas algebricamente.
b) Bilaterais: entende-se que a corrente elétrica deve ter o mesmo valor nas polaridades opostas da fonte de tensão. Então os valores em sentidos opostos da corrente podem ser somados algebricamente.
Exemplo:
I1 + I2 ( mesmo sentido)?
I1 – I2 (sentidos contrários)
Exemplo: Tomando por base o circuito representado na Figura a seguir, determine o valor de V0, utilizando o Teorema da Superposição.
Solução:
· Observar que temos duas fontes, sendo uma de tensão (32V) e uma de corrente (18A)
1º. Passo: Colocar a fonte de corrente (18A) em curto (desenhar o circuito)
2º. Passo: Calcular o valor da Resistência Equivalente (Req)
3º. Passo: Calcular o valor de V0 – Aplicando o divisor de tensão, tem-se que:
Repetir todos os três passos anteriores.
4º. Passo: Colocar a fonte de corrente (32V) em curto (desenhar o circuito)
5º. Passo: Calcular o valor da Resistência Equivalente (Req)
6º. Passo: Calcular o valor de I0 – Aplicando o divisor de corrente, tem-se que:
7º. Passo: Calcular o valor de V0
Exemplo: Calcule os valores das correntes elétricas nos ramos I1, I2 e I3 utilizando o Teorema da Superposição, tendo por base a Figura 7.
Figura 7 - CircuitoElétrico por Superposição
5.5.1.c - Teorema de Norton
	Este teorema é utilizado para simplificar uma rede ou circuito elétrico em termos das correntes em vez das tensões. Tanto que para a análise de correntes, este teorema pode reduzir um circuito ou uma rede complexa em um circuito simples em paralelo com uma fonte de corrente.
	De acordo com a Figura 8, se a fonte de corrente fornece 4A, e fornecerá 4A independentemente do que estiver ligado nos terminais e saída “a” e “b” e, caso não haja nenhuma carga conectada através de “a” e “b”, os 4A fluem através da resistência R.
	Entretanto, ao conectar uma carga RL nos terminais “a” e “b”, a corrente de 4A se subdivide de acordo com a regra da divisão de corrente pelo ramo paralelo.
	
Figura 8 - Fonte de corrente (I) em paralelo com R
	
Observação 1: A seta da fonte de corrente representa o sentido da corrente e este sentido deve ser o mesmo que o da corrente produzida pela polaridade da fonte de tensão. Não esquecer que uma fonte produz um fluxo de corrente que sai do terminal positivo.
O Teorema de Norton afirma que qualquer rede ligada aos terminais “a” e “b” pode ser substituída por uma única fonte de corrente (IN) em paralelo com uma única resistência (RN), conforme mostrado na Figura 9.
Figura 9 - Equivalente Norton (IN) e (RN) em paralelo
Onde:
a. (IN) – igual ao valor da corrente de curto-circuito através dos terminais “a” e “b”
b. (RN) – é igual ao valor da resistência nos terminais “a” e “b”, olhando para trás, a partir dos terminais abertos ab.
Observação 2: O valor desse resistor único é o mesmo para os dois circuitos equivalentes: Norton e Thèvenin.
Exemplo: Calcule o valor da corrente IL , pelo Teorema de Norton, tendo por base a Figura 10.
Figura 10 - Circuito Elétrico com duas malhas
1ºPasso: Calcular o valor de IN – Colocar em curto-circuito os terminais “a” e “b”, conforme figura k. Cabe ressaltar, que um curto-circuito em RL, também coloca em curto R2, ficando no circuito uma única resistência.
	
	
IN = V / R1
IN = 10 / 4 = 2,5 A
2ºPasso: Calcular o valor de RN – Abra os terminais “a” e “b” e faça um curto-circuito na fonte de tensão, conforme figura m. Observe que R1 e R2 estão em paralelo
RN = (R1 . R2) / (R1 + R2)
RN = (4 . 6) / (4 + 6) = 2,4Ώ
Observe que o circuito equivalente de Norton está representado na figura n.
3ºPasso: Calcular o valor de IL – Religue RL aos terminais “a” e “b”. A fonte de corrente ainda libera 2,5A, mas agora a corrente se subdivide entre os dois ramos RN e RL, conforme figura o.
IL = IN . (RN) / (RN + RL)
IL = 2,4 . (2,5) / (2,4 + 3,6) = 1a
Exemplo A: OBF - Uma corrente de 0,10A passa pelo resistor de 25Ω, conforme indicado na figura abaixo. Qual é a corrente que passa pelo resistor de 80 Ω?
Solução:
1/Req1 = 1/20 + 1/60 = (3 + 1)/60 = 4/60 = 1/15
Req1 = 15Ω
 
Req2 = 25 + 15 = 40Ω
i = i1 + i2
i = 0,10 + i2 equação I
Seja R1 = 40 e R2 = 20, temos que: R1 = 2R2  
obs.:*R = U/i
U/i1 = 2.U/i2 Os resistores em questão estão em paralelo, logo a ddp é a mesma para ambos.
i2 = 2.i1  equação II
Substituindo II em I
i = 0,10 + 2.0,10
i = 0,10 + 0,20
i = 0,30 A
Determine o Circuito Equivalente de Thévenin entre os pontos A e B
Solução:
1º. Passo: Redesenhar o circuito apresentado no enunciado, para dar início a solução do exercício.
A fonte é de -18V
O circuito apresenta um ponto de aterramento, onde V = 0V
Precisamos determinar o Rth e o Vth = Uth = Eth
2º. Passo: Calcular o valor do Rth (resistência de Thèvenin). Como fica o desenho do circuito?
Todas as vezes que uma corrente elétrica passa por um nó, haverá divisão do valor dessa corrente e, provavelmente as resistências estarão em paralelo.
O valor do Rth é calculado através do paralelismo das resistências. Não esquecer que a fonte foi colocada em curto-circuito:
3º. Passo: Calcular o Uth
O cálculo do valor do Uth é desenvolvido e baseado na aplicação do Divisor de Tensão, onde:
Qual o valor da corrente de Thèvenin no circuito equivalente.
Determinar a intensidade e o sentido das correntes no circuito, através do Teorema de Thèvenin.
Solução:
1º Passo: Redesenhar o circuito e o colocar a fonte de 20V em curto.
Calcular a Rth e a Uth
Ao retirar do circuito original a parte vermelha, o mesmo se reduz a:
Quais os valores da Rth e da Uth
Inserindo a parte anteriormente em curto, o circuito fica da seguinte forma:
Calcular os valores de I2 e I3:
Determine o valor de i1 no circuito através do Método da Superposição. (Esta é a Revisão 02)
Solução:
Como o circuito apresenta duas fontes de tensão, a melhor alternativa, ou talvez a mais prática seja a aplicação do Método da Superposição. Desta forma, segue o passo a passo da resolução.
	
1º. Passo: Manter a fonte V1 ativa e retirar a fonte V2 do circuito, ou mantê-la inativa ou em curto, conforme figura a seguir.
Dentro deste mesmo passo, deve-se então calcular a resistência equivalente (Req) e a corrente elétrica i1
	
	
Desenvolvimento do cálculo solicitado no 1º.Passo
	
	
Circuito Equivalente referente ao 1º. Passo:
	
	
2º. Passo: Manter a fonte V2 ativa e retirar a fonte V1 do circuito, ou mantê-la inativa ou em curto, conforme figura a seguir. Dentro deste mesmo passo, deve-se então calcular a resistência equivalente (Req) e a corrente elétrica i1
	
	
Desenvolvimento do cálculo solicitado no 2º.Passo
	
	
Circuito Equivalente referente ao 2º. Passo:
	
	
Para calcularmos o valor de , usaremos o divisor de corrente.
	
	
	Para calcularmos o valor de I1, temos:
O circuito da Figura possui duas fontes de alimentação, sendo I1 = 3 A e V1 = 10 V, e os resistores R1 e R2 são de 10 W e 5 W, respectivamente. Determine a corrente resultante no resistor R1.
5.1.1.4 – Teorema da Máxima Transferência de Potência
5.1.4.1.a - Um pouco de teoria sobre Teorema da Máxima Transferência de Potência
A potência elétrica é uma das grandezas de maior importância na análise e projeto de circuitos elétricos e eletrônicos. Se pensarmos em termos de sistema mostrado na Figura 11 com um sinal de entrada e um sinal de saída com suas respectivas potências como, por exemplo, amplificadores de áudio, calculamos a eficiência:
Onde:
Pout: potência de entrada [W]
Pin: potência de saída [W]
Figura 11 - Sistema Elétrico genérico com Potências de entrada e saída
Via de regra, devemos sempre buscar a máxima transferência de potência para a saída do nosso sistema para obter a maior eficiência, independentemente se o sistema for um motor elétrico usado em veículos elétricos, um transmissor de rádio, um alto-falante etc. Nesse sentido, precisamos conhecer o Teorema da Máxima Transferência de Potência (MTP) e como ele deve ser aplicado.
O MTP mostra que a condição necessária para que ocorra a MTP na carga de um determinado circuito é que esta seja igual à resistência de Thévenin (ALEXANDER e SADIKU, 2013). O Teorema de Thévenin, por sua vez, é usado para reduzir um circuito linear qualquer para uma fonte de tensão em série com uma resistência. Para aplicar o Teorema de Thévenin devemos:
· Remover a resistência de carga e determinar a tensão de circuito aberto Voc ou tensão de Thévenin VTh nos terminais da carga;
· Eliminar as fontes de tensão e corrente para determinar a resistência equivalente de circuito aberto vista pelos terminais da carga, conhecida como resistência de Thévenin RTh.
Uma vez que o equivalente de Thévenin é conhecido, podemos determinar a máxima potência na carga com a equação (ALEXANDER e SADIKU, 2013):
Vamos determinar o valor da resistência de carga RL, a potência máxima que lhe pode ser transferida pelo circuito apresentado na Figura 12. Para isso, vamos determinar o seu equivalente de Thévenin.
Para encontrarmos a tensão de Thévenin, devemos remover RL e medir a tensão de circuito aberto nos terminais em que RL estava conectada. Uma vez que não há corrente circulando na malha direita do circuito, não há queda de tensão em R3 e, portanto, a tensão de circuito abertoé a tensão na resistência R2, que pode ser determinada a partir do divisor de corrente como:
Figura 12 – Circuito do Exemplo
Para determinar RTh devemos eliminar as fontes de tensão e corrente para determinar a resistência equivalente de circuito aberto vista pelos terminais da carga. As fontes de tensão devem ser colocadas em curto, isto é, substituídas por um fio, conforme apresentado na Figura 12a. Neste novo circuito as resistências R1 e R2 estão em paralelo:
A resistência equivalente deste circuito é a associação série entre Rp e R3 conforme apresentado na Figura 13:
Figura 13 - Circuito Equivalente
Portanto, o circuito equivalente de Thévenin deste exemplo é uma fonte de tensão de 15 V em série com uma resistência de 100. Dessa forma, a MTP ocorrerá quando RL=100 e valerá:
As etapas a seguir são usadas para resolver o problema pelo teorema da Máxima Potência de Transferência:
Passo 1 - Remova a resistência de carga do circuito.
Passo 2 - Encontre a resistência de Thevenin (Rº) da rede de origem que olha através dos terminais de carga de circuito aberto.
Etapa 3 - Conforme o teorema de transferência de potência máxima, este Rº é a resistência de carga da rede, ou seja, Reu = Rº que permite a máxima transferência de energia.
Passo 4 - A transferência máxima de energia é calculada pela equação mostrada abaixo
Exemplo 1: Seja um gerador com E=12V e resistência interna de 2 Ohms, Ri=2W. Consideremos duas situações:
a) O gerador conectado a uma carga de 8 Ohms (RL=4xRi)
b) O gerador conectado a uma carga de 40 Ohms (RL= 20xRi)
Em cada um dos casos calculemos a tensão nos terminais do gerador.
Caso a: E=12V	 Ri=2W 	RL=8W
Solução:
	Usando a expressão do divisor de tensão: 
	
A tensão nos terminais do gerador é 9,6V. Portanto existe uma perda interna de 2,4V
Caso b: E=12V	Ri=2W		RL=40W
Solução:
	Usando a expressão do divisor de tensão:
	
A perda interna nesse caso é de somente de 0,57V.
Exemplo 2: Para o mesmo gerador do Exemplo 1 considere que RL varia de 100W a 200W .O que acontecerá com a corrente e com a tensão nos terminais do gerador?
RL=100W
	
	e U = 12 -2x0,1176 =11,76V usando a equação do gerador
Conclusão: I = 117mA e U=11,77V (praticamente 12V)
RL=200W
	
	e U = 12 -2x0,0594 =11,88V usando a equação do gerador
Conclusão: I = 59mA e U=11,88V ( praticamente 12V)
APOSTILA GERAL ELETRICIDADE APLICADA REV.02 NOVEMBRO.2020.2 6