AD1 2021_1 Questões

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Introdução às Funções Complexas
1a Avaliação a Distância
1a Questão
Considere a função f : C− {0} → C definida por f(z) = 4
z2021
−
√
2 +
√
6i. Se
w =
√
2−
√
2i
−
√
3 + i
, calcule |f(w)|, o módulo de f(w). (1,5 ponto).
2a Questão
a) Resolva em C a equação (
√
3 + 1)z2 − 2kz − (
√
3− 1) = 0 sabendo que k
possui parte imaginária positiva e que essa equação possui somente uma
raiz. (1,5 ponto)
b) Determine a forma trigonométrica de todas as ráızes complexas da equação
z8 + z4 + 1− i = 0. (1,5 ponto)
3a Questão
a) Dados z0, z1 ∈ C, seja z2 tal que o vetor −−→z0z2 corresponde à rotação anti-
horária de θ e centro em z0 de
−−→z0z1 seguida da multiplicação de seu módulo
por k > 0, como mostrado na figura.
Prove que z2 = z0 + k(z1 − z0)(cos θ + i sen θ). (1,0 ponto)
b
z2
z0
z1
θ
O Re
Im
Sugestão: observe que −−→z0z1 = z1−z0 e utilize a interpretação geométrica
da multiplicação de números complexos estudada na Aula 3.
b) Seja ABC um triângulo retângulo de hipotenusa BC = 13. Se B = (3, 3)
e A = (7, 6), determine as coordenadas cartesianas de C. (1,5 ponto)
Sugestão: use o item anterior.
4a Questão
Sejam z0, z1 ∈ C − {0}. Se θ0 é o argumento de z0, θ1 é o argumento de z1 e
w =
z0
|z0|
+
z1
|z1|
, prove que |w| = 2
∣
∣
∣
∣
cos
(
θ1 − θ0
2
)∣
∣
∣
∣
. (1,5 ponto)
Sugestão: relembre que se α, β ∈ R, então cos(α−β) = cosα cos β+senα sen β
e que cos 2α = 2 cos2 α− 1.
5a Questão
Escreva a função f : C−{1} → C definida por f(z) = (z +2i)3 + z +
(
z
z − 1
)
sob a forma f(x+ yi) = u(x, y) + v(x, y)i. (1,5 ponto)
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