Solução Problema 1.1 - Mecânica Analítica (Nivaldo A. Lemos)

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Soluções de Mecânica Anaĺıtica
(Nivaldo A. Lemos) 2
Problema 1.1.
Dados do problema:
Vı́nculo 1: (x2 + y2)dx+ xzdz = 0.
Vı́nculo 2: (x2 + y2)dy + yzdz = 0.
Solução:
(i) Multiplicando o v́ınculo 1 por y e o v́ınculo 2 por x, podemos igualar ambos:
y(x2 + y2)dx+ xyzdz = x(x2 + y2)dy + xyzdz
y(x2 + y2)dx = x(x2 + y2)dy
ydx = xdy ,
resultando em
dy
y
=
dx
x
⇒ d ln y = d lnx⇒ d ln y
x
= 0 . (11)
A segunda relação advém de expandir o v́ınculo 1,
x2dx+ y2dx+ xzdz = 0 ,
e usar a primeira identidade de (11) para mudar o segundo termo,
x2dx+ xydy + xzdz = 0
x(xdx+ ydy + zdz) = 0
x(2xdx+ 2ydy + 2zdz) = 0
⇒ xd(x2 + y2 + z2) = 0 . (12)
(ii) Como x é arbitrário, conclúımos de (12) que
d(x2 + y2 + z2) = 0⇒ x2 + y2 + z2 = C1 . (13)
Já de (11), temos que
ln
y
x
= c2 ⇒
y
x
= ec2 = C2 ⇒ y = C2x . (14)
2 Antonio Capanema