LISTA DE EXERCICIOS - Fundamentos de geodesia

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LISTA DE EXERCICIOS 02–FUNDAMENTOS DE GEODESIA–GEO 05071–Prof. Gilberto Gagg–2021-1 
Aluno: Thiago Ualace Nascimento da Paz - 00262792 PS: Apresentar cálculos! 
OBS: Quando a questão indicar “Quadro01”, use os mesmos dados do elipsoide adotado para a Lista01. 
Abaixo segue o Quadro 01. 
 
Q1. Considerando os parâmetros do teu elipsoide e sendo a estação de coordenadas cartesianas 
X=4.280.225,939m, Y=–4.034.419,389m, Z= –2.458.267,972m, converter as coordenadas para φ, λ, h 
pelos 2 métodos (iterativo e pelo cálculo de θ). Lembre-se de apresentar cálculos envolvidos. 
 
Obs: Os resultados dos cálculos foram obtidos através do Excel. 
 
X = 4.280.225,939m 
Y = –4.034.419,389m 
Z = –2.458.267,972m 
Semi-eixo maior a = 6376985,0m (Dalambre) 
Achatamento 1/f = 308,6465 
 
 
 
Solução iterativa 
 
𝒕𝒈 𝝀 =
𝒚
𝒙
=
−𝟒𝟎𝟑𝟒𝟒𝟏𝟗, 𝟑𝟖𝟗
𝟒𝟐𝟖𝟎𝟐𝟐𝟓, 𝟗𝟑𝟗
 → 𝝀 = −𝟎. 𝟕𝟓𝟓𝟖𝟒𝟑𝟔𝟖𝟖 → −𝟒𝟑. 𝟑𝟎𝟔𝟔𝟓𝟑𝟑𝟏 (𝒆𝒎 𝒈𝒓𝒂𝒖𝒔) 
𝒑 = √𝟒. 𝟐𝟖𝟎. 𝟐𝟐𝟓. 𝟗𝟑𝟗𝟐 + (−𝟒. 𝟎𝟑𝟒. 𝟒𝟏𝟗. 𝟑𝟖𝟗)𝟐 = 𝟓𝟖𝟖𝟏𝟗𝟏𝟎. 𝟕𝟑𝟓 
 
𝜽 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 (
𝒁𝒂
𝒑𝒃
) = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 (
(−𝟐𝟒𝟓𝟖𝟐𝟔𝟕. 𝟗𝟕𝟐 ∗ 𝟔𝟑𝟕𝟔𝟗𝟖𝟓. 𝟎)
(𝟓𝟖𝟖𝟏𝟗𝟏𝟎. 𝟕𝟑𝟓 ∗ 𝟔𝟑𝟕𝟔𝟗𝟖𝟐. 𝟗𝟑𝟒)
) = −𝟎. 𝟑𝟗𝟓𝟖𝟕𝟑𝟏𝟑𝟖 
 
𝒆𝟐 =
(𝒂𝟐 − 𝒃𝟐)
𝒃𝟐
 → 
(𝟔𝟑𝟕𝟔𝟗𝟖𝟓. 𝟎𝟐 − 𝟔𝟑𝟕𝟔𝟗𝟖𝟐. 𝟗𝟑𝟒𝟐)
𝟔𝟑𝟕𝟔𝟗𝟖𝟖. 𝟎𝟐
= 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟔𝟒𝟕𝟗𝟗𝟎 
 
𝒆′
𝟐
=
(𝒂𝟐 − 𝒃𝟐)
𝒃𝟐
 → 
(𝟔𝟑𝟕𝟔𝟗𝟖𝟓. 𝟎𝟐 − 𝟔𝟑𝟕𝟔𝟗𝟖𝟐. 𝟗𝟑𝟒𝟐)
𝟔𝟑𝟕𝟔𝟗𝟖𝟐. 𝟗𝟑𝟒𝟐
= 𝟔. 𝟒𝟕𝟗𝟗𝟏𝒙𝟏𝟎−𝟕 
 
𝒃 = 𝟔𝟑𝟕𝟔𝟗𝟖𝟓. 𝟎 ∗ √(𝟏 − 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟔𝟒𝟕𝟗𝟗𝟎) = 𝟔𝟑𝟕𝟔𝟗𝟖𝟐. 𝟗𝟑𝟒 
 
 𝝋 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈 (
𝒁 + 𝒆′
𝟐
𝒃 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝟑(𝜽)
𝒑 − 𝒆𝟐𝒂 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝟑(𝜽)
) 
 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈 (
−𝟐𝟒𝟓𝟖𝟐𝟔𝟕. 𝟗𝟕𝟐 + 𝟔. 𝟒𝟕𝟗𝟗𝟏𝒙𝟏𝟎−𝟕 ∗ 𝟔𝟑𝟕𝟔𝟗𝟖𝟐. 𝟗𝟑𝟒 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝟑(−𝟎. 𝟑𝟗𝟓𝟖𝟕𝟑𝟏𝟑𝟖)
𝟓𝟖𝟖𝟏𝟗𝟏𝟎. 𝟕𝟑𝟓 − 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟔𝟒𝟕𝟗𝟗𝟎𝟐 ∗ 𝒂𝒄𝒐𝒔𝟑(−𝟎. 𝟑𝟗𝟓𝟖𝟕𝟑𝟏𝟑𝟖)
) 
 = −𝟎. 𝟑𝟗𝟓𝟖𝟕𝟑𝟐𝟓𝟒 → −𝟐𝟐. 𝟔𝟖𝟏𝟖𝟔𝟔𝟔𝟔 (𝒆𝒎 𝒈𝒓𝒂𝒖𝒔) 
 
𝑵 =
𝟔𝟑𝟕𝟔𝟗𝟖𝟓. 𝟎
√𝟏 − (𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟔𝟒𝟕𝟗𝟗𝟎 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝟐(−𝟐𝟐. 𝟔𝟖𝟏𝟖𝟔𝟔𝟔𝟔)
= 𝟔𝟑𝟕𝟔𝟗𝟖𝟓. 𝟑𝟎𝟕 
 
𝒉 = (
𝟓𝟖𝟖𝟏𝟗𝟏𝟎. 𝟕𝟑𝟓
𝒄𝒐𝒔 − 𝟐𝟐. 𝟔𝟖𝟏𝟖𝟔𝟔𝟔𝟔
) − 𝟔𝟑𝟕𝟔𝟗𝟖𝟓. 𝟑𝟎𝟕 = −𝟐𝟎𝟑𝟕. 𝟐𝟏𝟕𝟏𝟏𝟔 
 
Solução direta 
 
𝒕𝒈𝝓 =
−𝟐𝟒𝟓𝟖𝟐𝟔𝟕. 𝟗𝟕𝟐𝟎
𝟓𝟖𝟏𝟗𝟏𝟎. 𝟕𝟑𝟓 ∗ (𝟏 − 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟔𝟒𝟕𝟗𝟗𝟎)
= 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈(−𝟎. 𝟒𝟏𝟕𝟗𝟑𝟕𝟐𝟒𝟒) 
→ −𝟐𝟐. 𝟔𝟖𝟏𝟖𝟔𝟔𝟔𝟓𝟔𝟔𝟑𝟕 
 
𝑵 =
𝟔𝟑𝟕𝟔𝟗𝟖𝟓, 𝟎
√(𝟏 − (𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟔𝟒𝟕𝟗𝟗𝟎 ∗ 𝒔𝒆𝒏(−𝟐𝟐. 𝟔𝟖𝟏𝟖𝟔𝟔𝟔𝟓𝟔𝟔𝟑𝟕)𝟐)
= 𝟔𝟑𝟕𝟔𝟗𝟖𝟓. 𝟑𝟎𝟕 
 
𝒉 = (
𝟓𝟖𝟖𝟏𝟗𝟏𝟎. 𝟕𝟑𝟓
𝒄𝒐𝒔(−𝟐𝟐. 𝟔𝟖𝟏𝟖𝟔𝟔𝟔𝟓𝟔𝟔𝟑𝟕)𝟐
) − 𝟔𝟑𝟕𝟔𝟗𝟖𝟓. 𝟑𝟎𝟕 = −𝟐𝟎𝟑𝟕. 𝟐𝟏𝟕𝟑𝟏𝟐𝒎 
 
𝒕𝒈𝝓 =
−𝟐𝟒𝟓𝟖𝟐𝟔𝟕. 𝟗𝟕𝟐𝟎
𝟓𝟖𝟖𝟏𝟗𝟏𝟎. 𝟕𝟑𝟓
∗
(𝟏 − 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟔𝟒𝟕𝟗𝟗𝟎 ∗
𝟔𝟑𝟕𝟔𝟗𝟖𝟓. 𝟑𝟎𝟕
(𝟔𝟑𝟕𝟔𝟗𝟖𝟓. 𝟑𝟎𝟕 + (−𝟐𝟎𝟑𝟕. 𝟐𝟏𝟕𝟏𝟏𝟔))
)
−𝟏
= −𝟎. 𝟒𝟏𝟕𝟗𝟑𝟕𝟐𝟒𝟓 → 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈(−𝟎. 𝟒𝟏𝟕𝟗𝟑𝟕𝟐𝟒𝟓) = −𝟎. 𝟑𝟗𝟓𝟖𝟕𝟑𝟐𝟓𝟒 
→ −𝟐𝟐. 𝟔𝟖𝟏𝟖𝟔𝟔𝟔𝟔𝟎𝟖𝟓𝟖 (𝒆𝒎 𝒈𝒓𝒂𝒖𝒔) 
 
𝟏 − 𝝋 − 𝝋𝟎 < 𝝃 → −𝟐𝟐. 𝟔𝟖𝟏𝟖𝟔𝟔𝟔𝟔𝟎𝟖𝟓𝟖 − (−𝟐𝟐. 𝟔𝟖𝟏𝟖𝟔𝟔𝟔𝟓𝟔𝟔𝟑𝟕)
= −𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟒𝟐𝟐𝟏 
 
 
𝑵 =
𝟔𝟑𝟕𝟔𝟗𝟖𝟓, 𝟎
√(𝟏 − (𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟔𝟒𝟕𝟗𝟗𝟎 ∗ 𝒔𝒆𝒏(−𝟐𝟐. 𝟔𝟖𝟏𝟖𝟔𝟔𝟔𝟔𝟎𝟖𝟓𝟖)𝟐)
= 𝟔𝟑𝟕𝟔𝟗𝟖𝟓. 𝟑𝟎𝟕 
 
𝒉 = (
𝟓𝟖𝟖𝟏𝟗𝟏𝟎. 𝟕𝟑𝟓
𝒄𝒐𝒔(−𝟐𝟐. 𝟔𝟖𝟏𝟖𝟔𝟔𝟔𝟔𝟎𝟖𝟓𝟖)𝟐
) − 𝟔𝟑𝟕𝟔𝟗𝟖𝟓. 𝟑𝟎𝟕 = −𝟐𝟎𝟑𝟕. 𝟐𝟏𝟕𝟏𝟏𝟔𝒎 
 
𝒕𝒈𝝓 =
−𝟐𝟒𝟓𝟖𝟐𝟔𝟕. 𝟗𝟕𝟐𝟎
𝟓𝟖𝟖𝟏𝟗𝟏𝟎. 𝟕𝟑𝟓
∗ (𝟏 − 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟔𝟒𝟕𝟗𝟗𝟎 ∗
𝟔𝟑𝟕𝟔𝟗𝟖𝟓. 𝟑𝟎𝟕
(𝟔𝟑𝟕𝟔𝟗𝟖𝟓. 𝟑𝟎𝟕 + (−𝟐𝟎𝟑𝟕. 𝟐𝟏𝟕𝟏𝟏𝟔))
)
−𝟏
= −𝟎. 𝟒𝟏𝟕𝟗𝟑𝟕𝟐𝟒𝟓 → 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈(−𝟎. 𝟒𝟏𝟕𝟗𝟑𝟕𝟐𝟒𝟓) = −𝟎. 𝟑𝟗𝟓𝟖𝟕𝟑𝟐𝟓𝟒 
→ −𝟐𝟐. 𝟔𝟖𝟏𝟖𝟔𝟔𝟔𝟔𝟎𝟖𝟓𝟖 (𝒆𝒎 𝒈𝒓𝒂𝒖𝒔) 
 
𝟐 − 𝝋 − 𝝋𝟎 < 𝝃 → 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 
 
Q2. Dado o triângulo esférico com os ângulos A, B e C observados, bem como a distância AC, calcule: 
 
a) expressão algébrica (fórmula) para ε” quando se conhece apenas uma distância (no caso AC); 
 
𝑎 = 6376985,0𝑚 
𝑒2 = 0.000000647990 
𝜑𝑚 = 22°13’49” = −22.230277777778 
 
𝐴 = 59°43’25,2” = 59.72366667 
𝐵 = 58°26’37,6” = 58.44377778 
𝐶 = 61°50’16,5” = 61.83791667 
𝐷𝐴𝐶 = 30423.8 (𝛽) 
 
𝛼 = (
𝛽
𝑠𝑒𝑛(𝐵)
) ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝐴) → (
30423.8
𝑠𝑒𝑛 (59.72366667)
) = 30833.56149𝑚 
 
𝛾 = 𝑠𝑒𝑛(𝐶) ∗
𝛼
𝑠𝑒𝑛(𝐴)
→ 𝑠𝑒𝑛(61.83791667) ∗
30833.56149
𝑠𝑒𝑛(59.72366667)
= 31476.65407 
 
𝑆′ =
𝛼 𝛽 𝑠𝑒𝑛 𝐶′
2
=
30833.56149 ∗ 30423.8 ∗ 𝑠𝑒𝑛(61.83791667)
2
= 413510561.7 
 
𝑁 =
6376985.0
√(1 − (0.000000647990 ∗ 𝑠𝑒𝑛(−22.230277777778)2
= 6376985.296𝑚 
 
𝑀 =
6376985.0 ∗ (1 − 0.000000647990)
(1 − 0.000000647990 ∗ 𝑠𝑒𝑛 − (22.230277777778)2)
3
2
= 6376981.755𝑚 
 
𝑠𝑒𝑛1′′ = 0 + (
0
60
) + (
1
3600
) = 0.000277777778 
 
 
𝜀′′ =
𝑆′
𝑀𝑁𝑠𝑒𝑛1′′
=
413510561.7
6376981.755 ∗ 6376985.296 ∗ 𝑠𝑒𝑛(0.000277777778)
 
= 2.09739945 
 
 
b) os ângulos do triângulo A, B e C compensados; 
 
Ângulos do triângulo esférico observado 𝜉 + 𝑊 Ângulos do triângulo plano compensado 
�̂� 59.72366667 6.4 �̂� 59.72188889 
�̂� 58.44377778 6.4 �̂� 58.442 
�̂� 61.83791667 6.4 �̂� 61.83611111 
Σ = 180.0053611 Σ = 19.3 Σ = 180 
 
 𝐶𝑜𝑚𝑝𝑒𝑛𝑠𝑎𝑑𝑜𝑠: 
 
 𝛼 =
30423.8
𝑠𝑒𝑛(58.442)
∗ 𝑠𝑒𝑛(59.72188889) = 30833.59053 (𝐵𝐶) 
 
 𝛾 = 30833.59053 ∗
𝑠𝑒𝑛(61.83611111)
𝑠𝑒𝑛(59.72188889)
= 31476.72287 (𝐴𝐵) 
 
 𝜀′′ + 𝑊 = 19.3 → (19.3 − 2.09739945) 
 
 𝑊 = 17.20260055 
 
 
c) o excesso esférico ξ 
 
𝜉 = �̂� + �̂� + �̂� − 180𝑜 → 59.72366667 + 58.44377778 + 61.83791667 − 180
= 53611 𝑜𝑢 19.3′′ 
 
d) as distâncias BC e AB (a partir de ângulos compensados). Use os parâmetros do GRS-67. 
Â= 59°43’25,2” ^B= 58°26’37,6” ^C=61°50’16,5” DAC= 30.423,8m, ϕm = 22°13’49”. 
 
 
 
𝐷𝐴𝐶
𝑠𝑒𝑛�̂�
= (
𝐷𝐵𝐶
𝑠𝑒𝑛 �̂�
) ∗ 𝐷𝐵𝐶 = (
𝐷𝐴𝐶 ∗ 𝑠𝑒𝑛�̂�
𝑠𝑒𝑛�̂�
) =
30833.59053 ∗ 𝑠𝑒𝑛(59.72188889)
𝑠𝑒𝑛(58.442)
= 31248.90069661𝑚 
 
 
𝐷𝐴𝐶
𝑠𝑒𝑛�̂�
= (
𝐷𝐴𝐵
𝑠𝑒𝑛 �̂�
) ∗ 𝐷𝐴𝐵 = (
𝐷𝐴𝐶 ∗ 𝑠𝑒𝑛�̂�
𝑠𝑒𝑛�̂�
) =
30833.59053 ∗ 𝑠𝑒𝑛(61.83611111)
𝑠𝑒𝑛(58.442)
= 31900.69564137𝑚 
 
 
 
Q3. Dadas as coordenadas geodésicas, cartesianas e planas UTM das estações Chapecó e Maringá no 
quadro seguinte, calcule: a distância entre as estações e o azimute Chapecó-Maringá utilizando: 
a) As coordenadas geodésicas 
b) As coordenadas cartesianas 
c) As coordenadas planas UTM. 
d) Compare os resultados e faça um comentário. Caso necessário, pesquise na internet a maneira de 
efetuar alguns dos cálculos solicitados. 
 
 
 
 
Q4. Empregando as fórmulas simplificadas de Molodenski, transformar as coordenadas do ponto USP 
do datum SAD-69 para o WGS-84. É necessário apresentar os cálculos parciais (valor de Δϕ, Δλ, ΔN, entre 
outros). Dados: Coordenadas: ϕ= –23°33´01,288” λ= –46°43´52,04” h= 724,837m 
SAD-69: a1= 6378160,0m f1= 1/298,25000004356 
WGS-84: a2= 6378137,0m f2= 1/298,257223563 
 
ϕ = – 23°33´01,288” = −23.55035778 
 λ = – 46°43´52,04” = −46.73112222 
 
𝑓1 → 𝛼 = 0.003352891869 
𝑓2 → 𝛼 = 0.003352810665 
 
𝑒2 = (2 ∗ 0.003352891869) − (0.0033528918692) = 0.0066945419 (𝑆𝐴𝐷 − 69) 
 
𝑒2 = (2 ∗ 0.003352810665) − (0.0033528106652) = 0.0066943800 (𝑊𝐺𝑆 − 84) 
 
𝑁 =
6378160
√1 − (0.0066945419 ∗ 𝑠𝑒𝑛(−23.55035778)2
= 6381571.046 (𝑆𝐴𝐷 − 69) 
 
𝑁 = 
6378137
√1 − (0.0066943800 ∗ 𝑠𝑒𝑛(−23.55035778)2
= 6381547.951 (𝑊𝐺𝑆 − 84) 
 
Achando os valores de X, Y e Z: 
 
𝑋 = (6381571.046 + 724.837) ∗ cos(−23.55035778)
∗ cos(−46.73112222) = 4010210.62958 
 
𝑌 = (6381571.046 + 724.837) ∗ cos(−23.55035778) ∗ 𝑠𝑒𝑛(−46.73112222)
= −4260166.05600 
 
𝑍 = (6381571.046 ∗ (1 − 0.0066945419) + 724.837) ∗ 𝑠𝑒𝑛(−23.55035778)
= −2533008.10317 
 
Δ𝜑𝑜 = (
1
𝑀1
) ∗ ((𝑎1 ∗ Δ𝑓 + 𝑓1 ∗ Δ𝑎)𝑠𝑒𝑛(2 ∗ 𝜑1) − Δ𝑥
∗ 𝑠𝑒𝑛(𝜑1 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝜆1) − Δ𝑦 ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝜑1) ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝜆1 + Δ𝑧) ∗ cos (𝜑1) ∗ (
180
Π
) Δ𝜑𝑜) 
 
Osvalores da tabela foram calculados passo a passo como mostra as fórmulas a seguir: 
 
 1/M1 a1 Δf Δx Δy Δz {} 
Δϕ° 1.57589E-07 0.435903698 -18.4447479 -1.128823893 -35.03662777 -54.17429587 -0.000489149 Δϕ° 
 
Δλ° 1.70939E-07 -49.04057765 2.659440993 -0.00045426 Δλ° 
 
 
 
 
 
 Δa Δx Δy Δz 
Δhm -0.094996025 23 -42.3182646 -2.589890002 15.27098932 -6.732161307 Δhm 
 
 
Para 𝜟𝝓°: 
 
1
𝑀
= 1.57589𝑥10−7 
 
𝑎1 Δ𝑓 = 6378160 ∗ −0.000000081204) + (0.003352891869 ∗ −23) ∗ 𝑠𝑒𝑛(2
∗ (−23.55035778)) = 0.435903698 
 
Δ𝑥 = (−28 ∗ 𝑠𝑒𝑛(−23.55035778)) ∗ (cos(−46.73112222)) = −18.4447479 
 
Δ𝑦 = 3.88 ∗ 𝑠𝑒𝑛(−23.55035778) ∗ 𝑠𝑒𝑛(−46.73112222) = −1.128823893 
 
Δ𝑍 = −38.22 ∗ cos(−23.55035778) = −35.03662777 
 
Σ(𝑎1Δ𝑓 + Δ𝑥 + Δ𝑦 + Δ𝑧) = −54.17429587 
 
𝚫𝝋𝒐 = 𝟏. 𝟓𝟕𝟓𝟖𝟗𝒙𝟏𝟎−𝟕 ∗ −𝟓𝟒. 𝟏𝟕𝟒𝟐𝟗𝟓𝟖𝟕 (
𝟏𝟖𝟎
𝚷
) = −𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟒𝟖𝟗𝟏𝟒𝟗 
 
 
Para 𝚫𝝀𝒐: 
 
1
𝑀
= 1.70939𝑥10−7 
 
𝑎1 Δ𝑓 = −67.35 ∗ sen(−46.73112222) = −49.04057765 
 
Δ𝑥 = 3.88 ∗ cos(−46.73112222) = 2.659440993 
 
𝚫𝝀𝒐 = 𝟏. 𝟕𝟎𝟗𝟑𝟗𝒙𝟏𝟎−𝟕 ∗ (−𝟒𝟗. 𝟎𝟒𝟎𝟓𝟕𝟕𝟔𝟓 + 𝟐. 𝟔𝟓𝟗𝟒𝟒𝟎𝟗𝟗𝟑) ∗
𝟏𝟖𝟎
𝚷
= −𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟒𝟓𝟒𝟐𝟔 
 
 
Para 𝚫𝒉𝒎: 
 
Δ𝑓 = 𝛼(𝑊𝐺𝑆 84) − 𝛼(𝑆𝐴𝐷 69) → 0.003352810665 − 0.003352891869
= −0.000000081204 
 
Δ𝑎 = 6378137 − 6378160 = −23 
 
𝑁1 =
6378160
√1 − (𝑒2 ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝜆)2)
=
6378160
√1 − (0.0066945419 ∗ 𝑠𝑒𝑛(−46.73112222)2)
= 6381571.046𝑚 
 
𝑀1 =
6378160 ∗ (1 − 𝜆)
((1 − 𝜆) ∗ 𝑠𝑒𝑛(−23.550357782))
3
2
=
6378160 ∗ (1 − 0.0066945419)
((1 − 0.0066945419) ∗ 𝑠𝑒𝑛(−23.550357782))
3
2
= 6345631.209 
 
 
Δ𝑥 = −67.35 ∗ cos(−23.55035778) ∗ cos(−46.73112222) = −42.3182646 
 
Δ𝑦 = 3.88 ∗ cos(−23.55035778) ∗ 𝑠𝑒𝑛(−46.73112222) = −2.589890002 
 
Δ𝑧 = −38.22 ∗ 𝑠𝑒𝑛(−23.5535778) = 15.27098932 
 
𝚫𝒉𝒎 = (𝒂𝟏 ∗ 𝚫𝒇) + (𝟎. 𝟎𝟎𝟑𝟑𝟓𝟐𝟖𝟗𝟏𝟖𝟔𝟗 ∗ 𝚫𝒂) ∗ 𝒔𝒆𝒏(−𝟐𝟑. 𝟓𝟓𝟎𝟑𝟓𝟕𝟕𝟖)𝟐
= −𝟎. 𝟎𝟗𝟒𝟗𝟗𝟔𝟎𝟐𝟓 
→ −𝟎. 𝟎𝟗𝟒𝟗𝟗𝟔𝟎𝟐𝟓 + 𝚫 − 𝚫𝐱 − 𝚫𝐲 + 𝚫𝐳 = −𝟔. 𝟕𝟑𝟐𝟏𝟔𝟏𝟑𝟎𝟕 
 
 
 
 
𝜑2 = −23.55035778 + (−0.000489149) = −23.550846926676 
 
𝜆2 = −46.73112222 + (−0.00045426) = −46.731576482534 
 
ℎ2 = ℎ + Δℎ𝑚 = 724.837 + (−6.732161307) = 718.1048387 
 
 
𝑒2 = 2 ∗ 𝛼(𝑊𝐺𝑆84) − (𝑊𝐺𝑆84)2 = 2 ∗ (0.003352810665) − (0.003352810665)2
= 0.0066943800 
𝑁 =
6378137
√1 − (0.0066943800 ∗ (𝑠𝑒𝑛(−23.550846926676))
2
= 6381548.085 
 
 
Valores de X, Y e Z para WGS-84: 
 
𝑥 = (6381548.085 + 718.1048387) ∗ cos(−23.550846926676)
∗ cos(−46.731576482534) = 4010143.274 
 
𝑦 = (6381548.085 + 718.1048387) ∗ cos(−23.550846926676)
∗ 𝑠𝑒𝑛(−46.731576482534) = −4260162.177 
 
𝑧 = (6381548.085 ∗ (1 − 0.0066943800) + 718.1048387) ∗ 𝑠𝑒𝑛(−23.550846926676)
= −2533046.328 
 
 
4010210.62958 + (−67.35) = 4010143.280 → 4010143.274 − 4010143.280
= −𝟎. 𝟎𝟎𝟓𝟑𝟓𝟒𝟐𝟏𝟐 
 
−4260166.05600 + 3.88 = −4260162.176 → −4260162.177 − (−4260162.176)
= −𝟎. 𝟎𝟎𝟏𝟒𝟑𝟏𝟐𝟗𝟐 
 
−2533008.10317 + (−38.22) = −2533046.323 → −2533046.328 − (−2533046.323)
= −𝟎. 𝟎𝟎𝟒𝟒𝟎𝟎𝟑𝟖𝟐 
 
 
 Q5. Calcule a longitude dos pontos nos casos abaixo: 
 
A) Para um ponto de coordenadas X= 3.044.783,89m, Y= –4.043.786,16m e Z= 3.867.416,97m; 
 
 𝑡𝑔−1 (
−4043786.16
3044783.89
) = −0.92541 → 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑑𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑔𝑟𝑎𝑢𝑠 (𝐺𝑀𝑆) → −53.0219 
 
B) Para um ponto de coordenadas X= –444.853,9m, Y= –4.140.860,1m e Z= –3.273.166,7m; 
 
𝑡𝑔−1 (
−4140860.1
−444853.9
) = 1.463776 → 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑑𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑔𝑟𝑎𝑢𝑠 (𝐺𝑀𝑆) → 83.86821 
 
→ 83.86821 − 180 = −96.1318 
 
 
 
C) Para um ponto de coordenadas X= –4.646.220,9m, Y= 4.140.860,1m e Z= –3.273.166,7m. 
 
𝑡𝑔−1 (
4140860.1
4646220.9
) = −0.72795 → 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑑𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑔𝑟𝑎𝑢𝑠 (𝐺𝑀𝑆) → −41.7084 
 
→ 180 + (−41.7084) = 138.2916 
 
 
Q6. Calcular a distância entre os pontos P e Q, reduzida ao geoide e após ao elipsoide, dados os elementos: 
m=–22°07’18,2”, HA= 1.319,79m, HB= 1025,34m, sendo a distância reduzida ao horizonte igual a 
16.483,78321m. Utilize os parâmetros elipsoidais do teu elipsoide especificado no quadro. 
 
𝜙𝑚 = 22°07’18,2” = 𝟐𝟐. 𝟏𝟐𝟏𝟕𝟐 
 
𝐻𝐴 = 1.319,79𝑚 
𝐻𝐵 = 1025,34𝑚 
 
𝑚é𝑑𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝐻𝐴 𝑒 𝐻𝐵 = 1172.565 
 
𝑒𝑙𝑖𝑝𝑠𝑜𝑖𝑑𝑒 𝑎 = 6376985.0𝑚 
𝐴𝑐ℎ𝑎𝑡𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜
1
𝑓
= 308.6465 
 
𝛼 =
1
308.6465
= 3.24𝑥10−7 
 
𝑒2 = (2 ∗ 3.24𝑥10−7) − (3.24𝑥10−7)2 = 6.4799𝑥10−7 
 
𝑏 = 6376985.0 ∗ √1 − 6.4799𝑥10−7 = 6376982.93 
 
𝑁 =
6376985.0
√1 − 6.4799𝑥10−7 ∗ (𝑠𝑒𝑛(22.12172))
2
= 6376985.293 
 
𝑀 =
6376985.0 ∗ (1 − 6.4799𝑥10−7)
(1 − 6.4799𝑥10−7 ∗ 𝑠𝑒𝑛(22.12172)2)
3
2
= 6376981.747 
 
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑜 𝑅𝑀 𝑢𝑠𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎 𝑓ó𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎 𝑹𝒎 = (𝑴 ∗ 𝑵)
𝟏
𝟐 =
𝒃
(𝟏 − 𝒆𝟐 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝟐∅𝒎)
 ∶ 
 
𝑹𝒎 = (𝑴 ∗ 𝑵)
𝟏
𝟐 = √6376981.747 ∗ 6376985.293 = 6376983.52 
 
𝒃
(𝟏 − 𝒆𝟐 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝟐∅𝒎)
=
6376982.93
(1 − 6.4799𝑥10−7 ∗ 𝑠𝑒𝑛2(22.12172))
= 6376983.52 
 
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑜 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝐷𝐺 𝑝𝑜𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑡𝑖𝑙𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑎𝑠 𝑓ó𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎𝑠: 𝑫𝑮
= 𝑫𝑯 −
𝑫𝑯 ∗ 𝑯𝑴
𝑹𝑴
+
𝑫𝑯 ∗ 𝑯𝑴
𝟐
𝑹𝑴
𝟐
 𝑜𝑢 𝑫𝑮 = 𝑫𝑯 − [𝑫𝑯 (
𝑯𝑴
𝑹𝑴
−
𝑯𝑴
𝟐
𝑹𝑴
𝟐
)] 
 
𝑫𝑯 −
𝑫𝑯 ∗ 𝑯𝑴
𝑹𝑴
+
𝑫𝑯 ∗ 𝑯𝑴
𝟐
𝑹𝑴
𝟐
= 16483.78321 −
16483.78321 ∗ 1172.565
6376983.52
+
16483.78321 ∗ 1172.5652
6376983.522
= 16480.75282 
-ou- 
 
𝑫𝑮 = 𝑫𝑯 − [𝑫𝑯 (
𝑯𝑴
𝑹𝑴
−
𝑯𝑴
𝟐
𝑹𝑴
𝟐
)]
= 16483.78321 − [16483.78321 (
1172.565
6376983.52
−
1172.5652
6376983.522
)]
= 16480.75282 
 
𝑫𝑬 = 𝑫𝑮 +
𝑫𝑮
𝟑
𝟐𝟒 𝑹𝑴
𝟐
= 16480.75282 +
16480.752823
24 ∗ 6376983.522
= 16480.75741 
 
 
Q7. Conhecidas as coordenadas geodésicas do ponto R: ϕ= 38°20´33,53” N, λ= 53°48´54,07” E, h= 
1090,8m, e empregando teus dados elipsoidais, calcule as coordenadas geodésicas do ponto S, afastado 
1527,52m do ponto R, com AzRS= 265°33’14”. Calcule também o contra-azimute. 
 
GRS67 
A=6376985.0 
𝑒2 = 0.000000647990 
 
𝜑𝐴 = 38°20´33,53” = −38.34264722 
𝜆𝐴 = 53°48´54,07” = −53.81501944 
𝐴𝑧 = 265°33’14” = 265.5538889 
𝑆 = 1527.52 
 
𝑠𝑒𝑛1 = 0 + (
0
60
) + (
1
3600
) = 0.000277778 
 
𝑀1 =
6376985.0 ∗ (1 − 0.000000647990)
(1 − 0.000000647990 ∗ 𝑠𝑒𝑛(0.000277778)2)
3
2
= 6376983.253 
 
𝑁1 =
6376985.0
√1 − 0.000000647990 ∗ 𝑠𝑒𝑛(−38.34264722)2
= 6376985.795 
 
𝐵 =
1
6376983.253 ∗ 𝑠𝑒𝑛(0.000277778)
= 0.032345201 
 
𝐶 =
𝑡𝑔(0.000277778)
2 ∗ 6376983.253 ∗ 6376985.795 ∗ 𝑠𝑒𝑛(0.000277778)
= −2.00595𝑥10−9 
 
𝐷 =
3 ∗ 0.000000647990 ∗ cos(0.000277778) ∗ 𝑠𝑒𝑛(0.000277778) ∗ 𝑠𝑒𝑛(0.000277778)
(2 ∗ (1 − 0.000000647990) ∗ 𝑠𝑒𝑛(0.000277778))2
= −2.2928𝑥10−12 
 
𝐸 =
1 + 3 ∗ 𝑡𝑔(−38.34264722)2
6 ∗ 6376985.7952
= 1.17906𝑥10−14 
 
ℎ =
1527.52 ∗ cos (265.5538889)
6376983.253 ∗ 𝑠𝑒𝑛(0.000277778)
= −3.830173899 
 
𝛿𝜑𝐴𝐵′′ = (0.032345201 ∗ 1527.52) ∗ (cos(265.5538889)) − (−2.00595𝑥102) ∗ 1527.522
∗ 𝑠𝑒𝑛(265.5538889)2 − (−3.830173899) ∗ (1.17906𝑥10−14) ∗ 1527.522
∗ 𝑠𝑒𝑛(265.5538889)2 = −3.825521406 
 
Δ𝜑𝐴𝐵" = −3.825521406 − (−2.29282𝑥10−12) ∗ (−3.825521406)2 = −3.825521406 
 
𝜑2 = 0.000277778 + (
−3.825521406
3600
) = −38.343709867057 
 
Para 𝝀𝑩: 
 
𝑁𝐵 =
6376985
√1 − (0.000000647990 ∗ 𝑠𝑒𝑛(−38.343709867057)2
= 6376985.8 
 
𝑇𝐴𝐵 =
1527.52 ∗ 𝑠𝑒𝑛(265.5538889)
6376985.8 ∗ cos(−38.343709867057)
= −0.000304494 
 
Δ𝜆 𝐴𝐵′′ =
−0.000304494
𝑠𝑒𝑛(0.000277778)
∗ 1 −
1527.522
6 ∗ 6376985.82
+
−0.0003044942
6
= −62.80636182 
 
𝜆𝐵 = −53.81501944 +
−62.80636182
3600
= −53.83246566 
 
Para 𝑨𝒛 𝑩𝑨: 
 
𝜑𝑚 =
−53.81501944 ± 38.343709867057
2
= −38.34317854 
 
𝐹 =
1
12
∗ 𝑠𝑒𝑛(−38.34317854) ∗ cos(−38.34317854)2 ∗ 𝑠𝑒𝑛(0.000277778)2
= −7.4747𝑥10−13 
 
1527.52 ∗ 𝑠𝑒𝑛(265.5538889)
6376983.253 ∗ 𝑠𝑒𝑛(0.000277778) ∗ cos (−38.343709867057)
= −62.806361 
 
𝛾12′′ = −62.806361 ∗ 𝑠𝑒𝑛(−38.34317854) ∗ sec(−0.001062644835) ± 7.4747𝑥10−13
∗ −62.8063613 = 38.96319938 
 
Δ𝜑𝐴𝐵′′ =
38.96319938
3600
= 0.010823111 
 
Contra 𝑨𝒛: 
 
𝐴𝑧𝐵𝐴 = 265.5538889 + 0.010823111 − 180 = 85.564712 
 
Q8. A) Obter acorreção atmosférica pela fórmula Barrel-Sears (em ppm), sendo dados t=XX°C, umidade 
relativa de 80%, pressão atmosférica P= 736mmHg. No lugar de XX coloque o dia do teu nascimento! 
 
P = 736 
𝒕 = 𝟎𝟑°C 
𝒉 = 𝟖𝟎% 
 
𝑚𝑏 =
736 ∗ 1013
760
= 981.0105 
 
𝑥 =
(7.5 ∗ 03)
237.3 + 03
+ 0.7857 = 0.879332959 
 
Δ𝑠 = 281.5 −
0.29035 ∗ 981.0105
1 + 0.00366 ∗ 03
+
11.27 + 80%
100 ∗ (273.16 + 03) ∗ 100.879332959
= 0.004408739 
 
B) Calcular o valor da redução angular ψ12 com os seguintes dados: 
E1= 556.000m; N1= 7.182.000m; E2= 561.000m; N2= 7.178.000m; ϕ1= 25°28’40,9”S; λ1= 50°26’34,4”W, 
ϕ2= 25°30’50,3”S; λ2= 50°23’34,6”W. Usar parâmetros GRS-80 (a = 6378137m; e2 = 0,006694380069). 
 
Dados: 
 
𝐸1 = 556000 
𝐸2 = 561000 
 
𝑁1 = 7182000 
𝑁2 = 7178000 
 
𝜙1 = −25.478027777778 
𝜙2 = −25.513972222222 
 
𝜆1 = −50.442888888889 
𝜆2 = −50.392944444444 
 
𝐴 = 6378137 
𝑒2 = 0.006694380069 
 
𝐸′1 = 556000 − 500000 = 56000 
𝐸′2 = 561000 − 500000 = 61000 
 
Δ𝑁21 = 7178000 − 7182000 = −4000.00 
 
Δ𝜙 =
−25.478027777778 + (−25.513972222222)
2
= −25.496 
 
𝑁 =
6378137
√1 − 0.006694380069 ∗ 𝑠𝑒𝑛(−25.496)2
= 6382096.315 
 
𝑀 =
6378137 ∗ (1 − 0.006694380069)
(1 − 0.006694380069 ∗ 𝑠𝑒𝑛(−25.496)2)
3
2
= 6347245.081 
 
𝐾𝑜 = 0.9996 
𝑋𝑉𝐼𝐼𝐼 =
1012
2 ∗ 6347245.081 ∗ 6382096.315 ∗ 0.9996
= 0.012347957760 
 
 
𝜓12 = 68755𝑥10−8 ∗ −4000.00 ∗ (2 ∗ 56000) + 61000 ∗ 0.012347957760
= −5874.968144 
 
Segundos para minutos →
 −5874.968143888340 
60.000000000000
= -97.91613573 (fazendo a regra de três) 
 
Minuto para graus → 
−97.91613573
60.000000000000
=-1.631935596 (fazendo a regra de três) 
 
𝜓12 = −1.631935596𝑜 
 
C) A aplicação da chamada “correção ortométrica” elimina o efeito da variação da distância entre geopes, 
devido à variação da latitude. Esta correção independe de observações gravimétricas e é aplicada 
diretamente ao desnível bruto medido. Calcular o valor desta correção para o trecho AB, sendo conhecidos 
A= –03° 43’ 34,4”, B = –03° 42’ 57,8”, HA=48,42m e HB= 37,56m. 
 
𝐻𝑚 =
𝐻𝐴 + 𝐻𝐵
2
= 42.99 
 
A = – 03° 43’ 34,4” = −3.726222222222 
B = – 03° 42’ 57,8” = −3.716055555556 
 
Δ𝜙 = 0.610000000000 (𝑜𝑏𝑡𝑖𝑑𝑜 𝑓𝑎𝑧𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑎 𝑟𝑒𝑔𝑟𝑎 𝑑𝑒 𝑡𝑟ê𝑠:
36.6
60
= 0.61) 
 
𝜙𝑚 = −
3.716055555556
−3.726222222222
= −3.721138888889 
 
𝛿𝐻 = 1542𝑥10−9 ∗ 42.99 ∗ 0.61 ∗ 𝑠𝑒𝑛(2 ∗ −3.721138888889) = −0.000005237728𝑚 
 
𝑜𝑢 − 5.2377𝑥10−6𝑚 
 
Q9. Conhecendo-se as coordenadas de dois pontos, obter a distância entre eles, o azimute e o contra-
azimute. Ponto 1: tua estação, utilizada no TP01 com 1=_________________; 1= _________________. 
O ponto 2 tem coordenadas 2=09°58’29”S e 2= 67°48’36”W. 
Q10. Sendo o triângulo esférico definido pelos vértices Dourado, Uruaçu e Laje, são conhecidos os 
seguintes elementos: azimute Uruaçu-Dourado = 245°48’28,89”, base Uruaçu-Lage= 22.192,9483m, 
coordenadas de Uruaçu ϕ= -14°34´34,2135” λ= -49°04´57,0776”, com os ângulos D (Dourado), 
U(Uruaçu) e L (Lage) observados iguais a ^D= 46°28’24,91” ^U= 90°27’26,18” ^C=43°04’10,58” , 
calcular: 
 
 
 
OBS: a) Atentar para as unidades. 
b) Todos os cálculos devem ser apresentados. 
c) As respostas para informações angulares devem ser expressas em GMS (graus, minutos, segundos). 
 
Valores das questões: Q1)1,0 Q2)A)0,3 B)0,1 C)0,4 D)0,7 Q3)A) 0,8 B)0,2 C)0,2 D)0,1 Q4)0,8 
Q5)0,6 Q6) 0,6 Q7)0,8 Q8) A)0,3 B)0,3 C)0,3 Q 9)0,8 Q10) A)0,2 B)0,4 C)0,1 D)1,0 
 
Entrega para dia 16/11/2021 (3ª feira).