EXERCÍCIOS - 4

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Teoria de 
controle 
moderno
APÊNDICE
UNIDADE 4
U4 - Projeto de controladores para processos industriais17
Apêndice
Gabaritos comentados com resposta-padrão
UNIDADE 4: Projeto de controladores para processos industriais
Gabarito 1. Faça valer a pena - Seção 4.1
1. Alternativa A.
Resposta comentada: 
I. Correta: a ação de controle proporcional é justamente o fator de 
ganho do diagrama de Bode.
II. Errada: a ação de controle em sistemas pneumáticos não tem 
relação com a ausência de ar, mas sim com o nível de pressão. 
Se uma parte da linha de ar comprimido encontra-se à pressão 
atmosférica, esta não tem potencial para exercer esforços. Por outro 
lado, se estiver com a pressão de alimentação da linha, pode mover 
os atuadores.
III. Errada: as ações básicas de controle podem (e devem) ser 
utilizadas em conjunto sempre que necessário. Uma pode mitigar 
o erro do sistema em circunstâncias para as quais outra não tem 
esse poder.
IV. Errada: o fato de a ação de controle proporcional não diminuir o 
erro de regime não faz com que ela deixe de ser utilizada, mas sim 
que seja aplicada em conjunto com outras ações de controle.
2. Alternativa A.
Resposta comentada: 
I.
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Sua função de transferência é dada por 
V s
V s
R
R
out
in
( )
( )
1
2
 e, fazendo a 
transformada inversa de Laplace, temos v t
R
R
v tout in( ) ( )1
2
. Logo, 
o circuito pode trabalhar como uma ação de controle proporcional, 
ou seja, letra a.
II.
Sua função de transferência é dada por 
V s
V s RC s
out
in
( )
( )
1
1 2
 e, fazendo 
a transformada inversa de Laplace, temos v
R
t
C
v t dtout
t
in( ) ( )
1 ⌠
⌡1 2 0
. 
Logo, o circuito pode trabalhar como uma ação de controle integral, 
ou seja, letra c.
III.
Sua função de transferência é dada por 
V s
V s
R C sout
in
( )
( ) 2 1
 
e, fazendo a transformada inversa de Laplace, temos 
v d
dt
t R C v t R C v tout in in( )
( ) ( )=2 1 2 1 � . Logo, o circuito pode trabalhar 
como uma ação de controle derivativa, ou seja, letra b.
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3. Alternativa A.
Resposta comentada: O circuito I tem como saída o nível lógico alto 
(valor binário 1) ou baixo (valor binário 0), ou seja, trata-se de um 
controlador liga-desliga.
O circuito II trabalha amplificando o sinal que ele recebe, portanto, 
trata-se de um controlador de ganho proporcional.
Gabarito 2. Faça valer a pena - Seção 4.2
1. Alternativa D.
Resposta comentada: 
I. Correta: para obter o lugar das raízes, geralmente, variamos um 
ganho de malha fechada (que é um controlador proporcional), que 
faz com que as raízes do sistema se movam, obtendo o lugar das 
raízes.
II. Errada: o controlador proporcional-integral pode ser utilizado 
sempre que necessário. O fato de ele eliminar o erro de regime 
não limita sua aplicação a apenas esse caso. Ele pode ser utilizado, 
por exemplo, quando é necessário que o tempo de subida seja 
aumentado.
III. Correta: os métodos de sintonia de controlador PID permitem que 
esse tipo de controlador seja sintonizado de maneira experimental, 
ou seja, sem o conhecimento do modelo da planta (ou processo).
IV. Errada: para serem utilizados os métodos de Ziegler-Nichols, 
é necessário que o sistema apresente certo tipo de resposta, caso 
contrário, o método não é aplicável. Por exemplo, para o método 
da entrada degrau, o sistema deve responder com uma curva em 
forma de S.
2. Alternativa A.
Resposta comentada: Para um sistema que tem o tipo de resposta 
apresentada (em forma de S), podemos aplicar um dos métodos 
de sintonia de PID de Ziegler-Nichols. Nesse método, encontra-se 
o ponto de inflexão da curva de resposta (ponto onde a segunda 
derivada é nula). Seja esse ponto um ponto denominado A. A partir 
dele, traça-se uma reta tangente à curva. Essa reta tangente cruza o 
eixo do tempo (digamos que seja o ponto denominado B) e cruza 
U4 - Projeto de controladores para processos industriais20
a reta horizontal que representa o valor de regime permanente da 
resposta do sistema à entrada degrau (digamos que seja o ponto C). 
Os valores necessários para calcular os parâmetros do controlador 
PID de acordo com o método de sintonia são T, que é a distância 
horizontal de A até B; e L, que é a distância horizontal de B até a 
origem, ou seja, o próprio valor de B.
3. Alternativa C.
Resposta comentada: Para aplicar o método apresentado, é 
necessário encontrar o valor do ganho de malha fechada que faça 
com que o sistema torne-se marginalmente estável. No gráfico do 
lugar das raízes do sistema, uma resposta marginalmente estável é 
obtida quando a raiz do sistema encontra-se sobre o eixo vertical 
(eixo imaginário). Ou seja, dos pontos indicados no gráfico, o único 
que satisfaz a condição de estar sobre o eixo imaginário é o ponto 3, 
que representa o ganho que torna o sistema marginalmente estável.
Gabarito 3. Faça valer a pena - Seção 4.3
1. Alternativa E.
Resposta comentada: Com o comando sisotool não é possível 
simplificar sistemas dinâmicos, e é necessária a função de 
transferência do sistema para que possamos analisá-lo com a 
ferramenta. Também não é possível extrair o lugar das raízes a partir 
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da resposta temporal ao degrau. O objetivo da ferramenta sisotool 
é simplificar o processo de análise e projeto de sistemas dinâmicos 
e controladores, pois ela apresenta vários gráficos, que atualizam-se 
automaticamente com o ajuste de parâmetros do sistema.
2. Alternativa A.
Resposta comentada: Supondo que o sistema é dado pela variável G 
no MATLAB, e que ele apresenta resposta à entrada degrau em forma 
de S, primeiramente, devemos obter o vetor de resposta temporal do 
sistema juntamente com o vetor de tempo em si.
>> [y, t] = step(G);
Então, devemos encontrar o ponto de inflexão. Isso pode ser feito 
traçando-se o gráfico da segunda derivada de y.
>> plot(t(1:end-2),diff(y,2));
Supondo que o ponto de inflexão encontra-se no elemento n dos 
vetores, após obtermos o vetor da primeira derivada de y, temos 
acesso à inclinação da reta.
>> derivada1 = diff(y,1)/(t(2)-t(1));
>> derivada(n)
De acordo com a equação da reta y a t b= × + , já conhecemos o 
coeficiente angular a da reta 
>> a = derivada(n);
O coeficiente linear é encontrado substituindo-se par ordenado do 
próprio ponto de inflexão na equação da reta.
>> b=y(n)-a*t(n);
Agora, encontramos os tempos de cruzamento da reta com o valor 
de regime permanente da resposta ao degrau (t1) e com o eixo 
horizontal (t0).
>> t1 = (1-b)/derivada(n);
>> t0 = -b/derivada1(n);
Então, temos T e L.
>> T = t1 – t0;
>> L = t0 – 0;
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Agora, basta substituir os valores de T e L na tabela do método para 
encontrarmos o(s) parâmetro(s) do controlador desejado. 
3. Alternativa A.
Resposta comentada: Sabemos que o controlador PID tem o 
seguinte modelo:
C s K T
K T T T
T
s
T s
s s
sp d i
p d i i
i
( )= + =
+( )
+
+
1
⎛
⎜
⎝
⎛
⎜
⎝
1 1
2
.
Logo, sabemos que o controlador tem como característica um zero 
na origem e dois polos em − −±T T T
T
T
T
i i i d
i d
2 4
2
. Então, para obtermos 
um controlado PID qualquer utilizando as ferramentas gráficas, 
precisamos adicionar um polo real na origem com e dois zeros 
em qualquer lugar com ou