TEORIA DE CONTROLE

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Resolução da primeira prova de
Teoria de Controle Moderno I
Prof. Décio Luiz Gazzoni Filho
1. [2.0 pontos] Seja a função f(t) = ct, onde c > 0 é uma constante.
(a) [1.0 ponto] Obtenha F (s), a transformada de Laplace de f(t). Dica:
reescreva c = exp(log(c)).
Solução: Primeiramente reescreve-se f(t) da seguinte forma:
f(t) = exp(log(ct)) = exp(t log c).
Consultando a tabela de pares de transformadas, temos que L[e−αt] =
1/(s+ α). Substituindo α = − log c, temos
F (s) =
1
s− log c
.
(b) [1.0 ponto] Determine condições sobre c para que F (s) possua pólo(s)
no semiplano esquerdo e no semiplano direito.
Solução: F (s) possui um único pólo em s = log c. Este pólo estará
no semiplano esquerdo se Re(s) < 0 e no semiplano direito se Re(s) >
0. Portanto, caso log c < 0, ou seja, c < 1, então F (s) possuirá um
pólo no semiplano esquerdo; e se log c > 0, ou seja, c > 1, então F (s)
possuirá um pólo no semiplano direito.
2. [4.0 pontos] Um termômetro, numa temperatura ambiente de 25◦C, é
colocado num recipiente contendo água a 50◦C. Após 30 segundos, o
termômetro marca 49.5◦C.
(a) [2.0 pontos] Admitindo que o termômetro seja um sistema de primeira
ordem, qual a constante de tempo do sistema?
Solução: O sistema sofreu uma excitação em degrau com amplitude
de 25◦C (= 50◦C−25◦C). Após 30 segundos, a resposta foi de 24.5◦C
(= 49.5◦C − 25◦C), ou seja, 98% da excitação (= 24.5◦C/25◦C).
Sabe-se que um sistema de primeira ordem, após 4 constantes de
tempo, atinge 98.2% do valor final, um valor bastante próximo dos
98% apurados. Para levantar o valor exato, pode-se resolver a se-
guinte equação:
1− e−x = 0.98,
1
através da qual obtém-se o valor mais preciso de 3.91 constantes de
tempo. Qualquer uma das duas respostas seria aceitável.
Admitindo 4 constantes de tempo, e sabendo que estas transcorrem
no espaço de 30 segundos, obtém-se a resposta:
T = 30/4 = 7.5 s.
(b) [2.0 pontos] Suponha que o termômetro seja colocado numa panela
com água a temperatura ambiente (25◦C), e após alguns minutos
esta panela seja colocada no fogo, o que faz a temperatura da água
subir à taxa de 1◦C por segundo. Qual a temperatura marcada pelo
termômetro um minuto após a panela ser colocada no fogo?
Solução: A excitação descrita corresponde a uma excitação em
rampa. Do formulário, a resposta de um sistema de primeira or-
dem à excitação em rampa é c(t) = t − T + Te−t/T . Aqui deve-se
considerar a resposta como o aumento de temperatura em relação à
temperatura inicial, neste caso de 25◦C. Em t = 60 s, temos
c(t) = 60− 7.5 + 7.5e−60/7.5 ≈ 60− 7.5 = 52.5◦C
Visto que já se passaram 8 constantes de tempo, o termo exponencial
pode ser desconsiderado, e a conta poderia ter sido feita de cabeça.
Por fim, lembre-se que o resultado obtido é relativo à temperatura
inicial, e portanto a resposta do exerćıcio é 25 + 52.5 = 77.5◦C.
3. [4.0 pontos] Considere um sistema com função de transferência
Y (s)
X(s)
=
K
Ts2 + s+K
,
onde T e K são parâmetros que deseja-se determinar experimentalmente.
Para isso, o sistema foi sujeito a uma excitação em degrau unitário e
mediu-se a grandeza de sáıda do sistema, obtendo o gráfico mostrado na
Figura 1. Com base nas informações deste gráfico, determine T e K.
Solução: A função de transferência fornecida indica que trata-se de um
sistema de segunda ordem. Esta função pode ser parametrizada da se-
guinte forma, conforme o formulário:
Y (s)
X(s)
=
ω2n
s2 + 2ζωns+ ω2n
.
A partir dos parâmetros do gráfico, é posśıvel determinar ζ e ωn. Primei-
ramente consideraremos o overshoot (Mp = 9.48%). Pelo formulário,
Mp = e
−(ζ/
√
1−ζ2)π × 100%
Resolvendo a equação, obtém-se ζ ≈ 0.6.
2
Step Response
Time (sec)
Am
pl
itu
de
0 1 2 3 4 5 6
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
System: H
Peak amplitude: 1.09
Overshoot (%): 9.48
At time (sec): 2.78
Figura 1: Resposta ao degrau do sistema do exerćıcio 3.
A seguir, será considerado o tempo de pico tp = 2.78 s. Pelo formulário,
tp =
π
ωd
, (1)
onde
ωd = ωn
√
1− ζ2. (2)
Substituindo 2 em 1 e isolando ωn, temos
ωn =
π
tp
√
1− ζ2
.
Substituindo os valores conhecidos para tp e ζ, obtém-se ωn = 1.41, ou
seja, ω2n = 2. Pode-se reescrever
Y (s)
X(s)
=
K
Ts2 + s+K
=
K/T
s2 + (1/T )s+K/T
,
Obtém-se que 1/T = 2ζωn = 1.7, e portanto T = 0.59, e K/T = ω
2
n = 2,
portanto K = 1.18.
3
f(t) F(s)
δ(t) 1
u(t) 1/s
t 1/s2
tn−1/(n− 1)! 1/sn
e−αt 1/(s+ α)
te−αt 1/(s+ α)2
(tn−1e−αt)/(n− 1)! 1/(s+ α)n
sinωt ω/(s2 + ω2)
cosωt s/(s2 + ω2)
e−αt sinωt ω/((s+ α)2 + ω2)
e−αt cosωt (s+ α)/((s+ α)2 + ω2)
Tabela 1: Pares de funções e suas transformadas de Laplace.
Nome Propriedade
Linearidade L[af(t) + bg(t)] = aF (s) + bG(s)
Derivada L[f ′(t)] = sF (s)− f(0)
Derivada segunda L[f ′′(t)] = s2F (s)− sf(0)− f ′(0)
Derivada L[f (n)(t)] = snF (s)−
múltipla −
∑n
k=1 s
n−kf (k−1)(t)
Integral L
[∫
f(t)dt
]
= F (s)/s+ 1/s
[∫
f(t)dt
]
t=0
Integral L
[∫
· · ·
∫
f(t)(dt)n
]
= F (s)/sn+
múltipla +
∑n
k=1 1/(s
n−k+1)
[∫
· · ·
∫
f(t)(dt)k
]
t=0
Translação L[e−αtf(t)] = F (s+ α)
complexa
Translação L[f(t− α)u(t− α)] = e−αsF (s)
no tempo
Multiplicação por t L[tf(t)] = −F ′(s)
Multiplicação por tn L[tnf(t)] = (−1)nF (n)(s)
Divisão por t L[f(t)/t] =
∫∞
s
F (s)ds
(se limt→0 f(t)/t existir)
Mudança de escala L[f(t/a)] = aF (as)
de tempo
Tabela 2: Propriedades da transformada de Laplace.
4
Função de transferência C(s)/R(s) = 1/(Ts+ 1)
Resposta ao impulso c(t) = e−t/T /T
Resposta ao degrau c(t) = 1− e−t/T
Resposta à rampa c(t) = t− T + Te−t/T
Tabela 3: Resposta transitória de sistemas de primeira ordem.
Função de transferência C(s)/R(s) = ω2n/(s
2 + 2ζωns+ ω
2
n)
Coeficiente de amortecimento ζ
Freq. natural não-amortecida ωn
Freq. natural amortecida ωd = ωn
√
1− ζ2
Atenuação ζ = ζωn
Resp. ao degrau, (0 < ζ < 1) c(t) = 1− e
−ζωnt√
1−ζ2
sin
(
ωdt+ arctan
(√
1−ζ2
ζ
))
Resp. ao degrau, (ζ = 1) c(t) = 1− e−ωnt(1 + ωnt)
Resp. ao degrau, (ζ > 1) c(t) = 1 + ωn
2
√
ζ2−1
(
e−s1t
s1
− e
−s2t
s2
)
Tempo de subida tr = (1/ωd) arctan(ωd/− σ)
Tempo de pico tp = π/ωd
Overshoot (%) Mp = e
−(ζ/
√
1−ζ2)π × 100%
Tempo de acomodação ts = 4/σ
(critério 2%)
Tabela 4: Resposta transitória de sistemas de segunda ordem.
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