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Amplificadores, PARTE 1 Capı́tulo 1 Filtros Passivos por André Luiz Regis Monteiro1* 1Departamento Acadêmico de Eletrônica, DAELN, Campo Mourão, PR *e-mail: almonteiro@utfpr.edu.br Sumário 1 Introdução 1 2 Fundamentos 1 3 Filtros 2 3.1 Filtros e Sinais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3.2 Tipos Básicos de filtros Seletores de Sinais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Filtro Passa-Baixa (FPB ou LFP) • Filtro Passa-Alta (FPA ou HPF ) • Filtro Passa-Banda (FPB ou PBF ) • Filtro Rejeita-Faixa ou Rejeita-Banda (FRF ou BRF ) 3.3 A Frequência de Corte de um Filtro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 3.4 Filtros Passivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Filtro Passa-Baixa • Filtro Passa-Alta • Filtro Passa-Faixa (ou Passa-Banda) • Filtro Rejeita-Faixa (ou Rejeita-Banda) 4 Exercı́cios 15 5 Resposta dos Exercı́cios 16 Referências 16 1. Introdução Este capı́tulo fornece uma introdução ao assunto de filtros e sinais, e a terminologia utilizada. Não se pretende com este capı́tulo, esgotar o assunto de filtros, mas fornecer um inı́cio, cujo aprofundamento poderá ser feito pelo estudante. 2. Fundamentos O desempenho de um filtro eletrônico pode determinar se um sistema terá ou não sucesso. A detecção de sinais desejados pode se tornar impossı́vel se sinais não desejados ou ruı́dos não forem suficientemente re- movidos pela filtragem. Os filtros eletrônicos possuem esta função, ou seja, permitem que alguns sinais passem e outros não. Essa permissão de passagem se refere à frequência do sinal. Os filtros permitem, desta forma, que sinais de determi- nadas frequências aplicados a entrada do sistema passem através dos terminais de saı́da do sistema, enquanto outros sinais são substancialmente minimizados. Isso deve ocorrer sem que o sinal desejado sofra redução, ou que esta seja a mı́nima possı́vel. Filtros eletrônicos analógicos estão presentes em quase todos os equipamentos/circuitos eletrônicos. Pode-se citar: rádios, televisores, sistemas de som, analisadores de espectro, geradores de sinais. Até mesmo nossos computadores utilizam-se de filtros para que a interferência eletromagnética seja reduzida. Antes de descrevermos os filtros abordaremos as caracterı́sticas dos sinais. Os sinais podem ser descritos no domı́nio do tempo ou no domı́nio da frequência. 2 O domı́nio do tempo é referido quando um evento, por exemplo uma mudança de amplitude, é medida no tempo. Sinais de corrente alternada (AC) variam suas amplitudes em perı́odos de tempo. Alguns destes sinais são periódicos, significando que possuem um padrão de variação que se repete em iguais perı́odos (de tempo). Estes sinais podem ser medidos e mostrados no domı́nio do tempo em osciloscópios, onde o eixo horizontal será o tempo e o vertical a variação de amplitude do sinal. O domı́nio da frequência é quando a amplitude de um determinado sinal é medido em relação a sua frequência. Um analisador de espectro é um equipamento que permite mostrar um sinal medido, relativo às suas faixas de frequência (espectros). O tipo de sinal mais simples é o senoidal puro, que é periódico no domı́nio do tempo e possui sua energia em somente uma frequência no espectro de frequências. A frequência é determinada pelo número de ciclos por segundo e sua unidade é nominada Hertz (Hz). A frequência pode ser obtida medindo-se o perı́odo de um ciclo completo (em segundos) e tomando seu inverso: frequência = 1/perı́odo. Outros sinais, a exemplo de uma onda quadrada, possuem energia em várias frequências. 3. Filtros Os filtros que passaremos a estudar, são também chamados de ”Filtros Seletores de Sinais”, definidos no domı́nio da frequência. Para que se possa ter um filtro desejado, é necessário que se encontre uma rede que produza essa resposta. Isso significa sintetizar um filtro. Nestes filtros seletores de sinais, os pólos se encontram no semiplano esquerdo e os zeros sobre o eixo jw encontrando-se entre −∞ e +∞. Inicialmente preocupamo-nos com a magnitude da resposta em frequência, mas se necessário for, a fase é também considerada. Normalmente isso é feito em duas etapas distintas dentro da mesma análise, mas o resultado gráfico (que é o que geralmente analisamos) engloba os dois resultados. A faixa de frequência, a qual o filtro permite a passagem dos sinais é conhecida como banda de passagem. Nesta banda de passagem, qualquer alteração do sinal é entendida como distorção [2]. A faixa ou banda onde não há interesse no sinal, chama-se banda de atenuação. A ideia é atenuar o máximo possı́vel o sinal nesta banda. Idealmente, o sinal deveria ter máxima atenuação ou ganho zero. Entretanto, da banda de passagem para a banda de atenuação, não é possı́vel haver uma transição instantânea. Obviamente há um pequeno (ou grande) intervalo que depende da ordem do filtro. Esse intervalo é conhecido como banda de transição. É importante salientar, que há referências que tratam graficamente do ganho do filtro, enquanto outras utilizam-se de gráficos que representam a atenuação. Há uma relação entre elas, como se apresenta abaixo [2]: |H(w)|dB = 20log|H(w)|= 20log|1/At(w)|=−20log|At(w)|=−A(w) onde: H(s) é a função de ganho e At(s) é seu inverso, que representa a atenuação. E a equação anterior representa a relação entre ganho e atenuação. A figura 1 apresenta um exemplo de resposta para um filtro passa-faixa com as bandas de passagem, atenuação e transição. Na faixa de passagem a máxima atenuação permitida é Amax e a faixa de rejeição apresenta uma rejeição mı́nima de Amin. Entre estas faixas é que se encontram as bandas de transição. Figura 1. Resposta de um filtro seletor passa-faixa. À esquerda do ponto de vista da atenuação. À direita do ponto de vista do ganho. AndréLuizRegis Caixa de texto Amáx AndréLuizRegis Caixa de texto Amin AndréLuizRegis Máquina de escrever Atenuação AndréLuizRegis Máquina de escrever Ganho 3 3.1 Filtros e Sinais Como já abordado anteriormente, filtro é um circuito que permite passagem de sinal em frequências de interesse e idealmente bloqueia o sinal nas frequências fora dessa faixa. A rede de filtros pode ser ativa ou passiva. As redes de filtros passivos contém somente elementos passivos, ou seja, resistores, indutores e capacitores. Já, os filtros ativos utilizam-se de elementos ativos, como amplificadores operacionais, transistores, etc. A saı́da da maioria dos sistemas de medição de sinais biológicos permite separação em sinal e ruı́do. O sinal é a parte dos dados de interesse do observador; o restante pode ser considerado como ruı́do. Esses ruı́dos incluem dados biológicos não desejados ou dados não biológicos captados ou gerados no equipamento de medição. Idealmente, pode-se removê-lo enquanto se retém o sinal de interesse, e isso é possı́vel por uma filtragem adequada [4]. Se o espectro do sinal e do ruı́do ocupam faixas de frequências completamente distintas, então, pode-se pela aplicação de um filtro adequado, minimizar o efeito do ruı́do, conforme apresentado na figura 2. Figura 2. Usando um filtro para reduzir o efeito de um sinal indesejado [4]. Como os filtros são definidos pelos seus efeitos sobre os sinais no domı́nio da frequência, faz sentido que a maioria das descrições analı́ticas e gráficas úteis sejam feitas no domı́nio da frequência. Assim, as curvas utilizadas para descrever o comportamento e caracterı́sticas dos filtros apresentam seu ganho e fase em relação à frequência. Da mesma forma, as ferramentas matemáticas largamente utilizadas para esse fim sãobaseadas em frequência [4]. O comportamento no domı́nio da frequência de um filtro é descrito matematicamente em termos de sua função de transferência ou função de rede. Essa razão é dada pela transformada de Laplace do sinal de entrada em relação ao sinal de saı́da, conforme apresentada pela equação (1). H(s) = V0(s) Vi(s) (1) onde s é uma variável complexa. O fato de se preferir trabalhar com abordagem pela transformada de Laplace, vem do fato de a análise matemática no domı́nio da frequência apresentar uma manipulação muito mais fácil, pois resulta em equações algébricas, o que não acontece com equações matemáticas no domı́nio do tempo; o que resultaria em equações diferenciais, dificultando a análise e interpretação. A função de transferência de um filtro define sua resposta para qualquer entrada de sinal arbitrário. No entanto, geralmente nos preocupamos com seu efeito em relação a sinais senoidais contı́nuos, especialmente a magnitude (ganho) da função de transferência para sinais em várias frequências. Conhecendo a magnitude (ganho) da função de transferência a cada frequência, nos permite determinar quão bom é o filtro em eliminar (ou minimizar) frequências indesejadas. A magnitude (ganho) da função de transferência em relação à frequência é chamada de resposta em amplitude ou algumas vezes, especialmente em aplicações de audio, resposta em frequência. Da mesma forma, a resposta em fase de um filtro fornece a quantidade de deslocamento de fase introduzida no sinal senoidal como uma função da frequência. Em virtude da mudança de fase de um sinal também representar uma mudança no tempo deste sinal, a caracterı́stica de fase de um filtro torna-se especialmente importante quando lidamos com sinais complexos, nos quais as relações de tempo entre diferentes frequências são crı́ticas [4]. Substituindo a variável s na equação (1) por jw onde ( j = √ −1 e w = 2π f ), pode-se calcular a magnitude e fase de um filtro em relação ao sinal de entrada. A magnitude pode ser calculada pelas equações (2) e (3). 4 |H( jw)|= |V0( jw) Vi( jw) | (2) ou A = 20log|H( jw)| (3) esta última em dB. A fase é calculada conforme a equação (4). argH( jw) = arg V0( jw) Vi( jw) (4) 3.2 Tipos Básicos de filtros Seletores de Sinais Há quatro tipos básicos de filtros seletores: 3.2.1 Filtro Passa-Baixa (FPB ou LFP) É o tipo mais comum e serve como base para o estudo dos demais. O FPB permite a passagem de sinais de baixa frequência e rejeita sinais acima da frequência de corte do filtro. Uma representação gráfica da resposta deste filtro é apresentada na figura 3. Perceba que idealmente, a esposa seria uma queda abrupta na frequência de corte, como o formato retangular no gráfico, mas a queda mais suave é que representa a resposta real do mesmo. Figura 3. Resposta em Frequência de um Filtro Passa-Baixa [4]. Como não é possı́vel obter uma resposta ideal, devemos estudar uma aproximação que melhor represente e atenda critérios de um projeto para uma aplicação especı́fica. Decidir pela melhor aproximação envolve um compromisso entre várias propriedades da função de transferência do filtro [4]. As propriedades mais importantes são as seguintes: • Ordem do Filtro: Apresenta muitas consequências - Está diretamente relacionada ao número de componentes do filtro e, além disso, ao custo e complexidade do projeto. Ou seja, filtros de ordem superior são mais caros e complexos, exigem mais espaço para implementação fı́sica e possuem projeto mais complexo. A principal vantagem destes filtros, em relação aos de ordem inferior, é que o decaimento na faixa de transição ocorre mais rápido, resultando numa faixa de transição mais estreita, permitindo assim que a frequência de corte ( f1 na figura 3)fique mais próxima da frequência da banda de rejeição ( fs). • Taxa de Deslocamento (Rolloff rate): Geralmente é expressa pr uma quantidade de atenuação em dB para uma dada razão de frequências. As unidades mais comuns são ”dB/década” ou ”dB/oitava”. Da figura 3, quatro são os parâmetros importantes que devem ser considerados em análise. São eles: 5 • Amax - é a máxima alteração permissı́vel dentro da faixa de passagem. É também conhecida como a máxima ondulação (ripple). • Amin - é a mı́nima atenuação permitida (referida ao máximo ganho de passagem) dentro da banda de rejeição. • f1 - é a frequência de corte ou o limite de frequência para a banda de passagem. • fs - é a frequência na qual a banda de rejeição inicia. Esses quatro parâmetros definirão a ordem do filtro. 3.2.2 Filtro Passa-Alta (FPA ou HPF ) Corresponde ao inverso do filtro passa-baixa, chamada agora de filtro passa-alta, pois rejeita as baixas frequências permitindo a passagem das altas frequências a partir da frequência de corte. A figura 4, representa a resposta desse filtro. Figura 4. Resposta em Frequência do Filtro Passa-Alta [4]. As mesmas declarações anteriores, feitas no FPB para os itens do gráfico valem aqui, exceto que agora substitui-se f1 por f2. 3.2.3 Filtro Passa-Banda (FPB ou PBF ) O filtro passa-banda permite a passagem de frequências dentro de uma banda determinada e rejeita as frequências fora desta banda. A figura 5 apresenta a resposta deste filtro. Os filtros passa-banda são geometricamente simétricos, ou seja, são simétricos quando plotados em papel linear-log com a frequência no eixo logarı́tmico. Desta forma a frequência central pode ser calculada pela equação (5). f0 = √ f1. f2 (5) onde f1 é a frequência de corte inferior e f2 a frequência de corte superior. Para filtros com banda estreita, onde a relação f2/ f1 6 1,1 a resposta se aproxima da média aritmética. Desta forma f0 pode ser calculada pela equação (6). f0 = f1 + f2 2 (6) O estudante deve perceber que a equação (5) é absolutamente geral sem a necessidade de analisar a relação entre as frequências de corte no filtro passa-banda. Assim, basta ter esta equação em mente. Como agora, temos a presença das duas frequências de corte e da frequência central, podemos introduzir o conceito de fator de seletividade do filtro, representado pela letra Q e calculado pela equação (7). Q = f0 BW = f0 f2− f1 (7) 6 Figura 5. Resposta em Frequência do Filtro Passa-Banda [4]. 3.2.4 Filtro Rejeita-Faixa ou Rejeita-Banda (FRF ou BRF ) Neste filtro, frequências são rejeitadas dentro de uma banda especificada e fora da mesma a passagem é permitida. A resposta em frequência deste tipo de filtro pode ser visto na figura 6. Figura 6. Resposta em Frequência do Filtro rejeita-Banda [4]. 3.3 A Frequência de Corte de um Filtro Define-se a frequência de corte como a potência média de saı́da do circuito, sendo a metade da potência de entrada, ou seja, quando a relação de ganho dessas potências for 0,5 [3]. A equação (8) representa esta definição. Gp = P0 Pi = 1 2 (8) De outra maneira, lembrando-nos de outras formas matemáticas para a representação da potência, como as abaixo: 7 P0 = V 20 RL e Pi = V 2i Ri E substituindo as equações anteriores em (8), supondo ainda RL ≈ Ri chegamos a: V 20 V 2i = 1 2 ∴ V0 Vi = 1√ 2 ∼= 0,707 E portanto, na frequência de corte, o ganho de tensão é dado pela equação (9). Gv = 1√ 2 (9) O que nos leva a concluir que neste momento: V0 ≈ 0,707Vi. Portanto, em dB temos o seguinte resultado: Gv|dB = 20log V0 Vi = 20log 0,707Vi Vi =−3dB Assim, o ganho de tensão será de -3 dB na frequência de corte. Isso corresponde a afirmar que na frequência de corte, a tensão de saı́da do circuito é de aproximadamente 70,7% da tensão de entrada, ou ainda, que é a frequência que provoca um ganho de -3 dB[3]. 3.4 Filtros Passivos A função de transferência de um filtro é dada pela relação entre a saı́da do sinal e sua entrada, considerando um circuito linear. Portanto, nosso foco será a análiseda tesão de saı́da, considerando sua entrada no circuito. Podemos reescrever a equação geral (1), ou a função de transferência do filtro, conforme equação (10). H(s) = V0(s) Vi(s) (10) Para cada tipo de filtro será considerada também sua magnitude e fase e cada uma delas será calculada ou deduzida a partir da equação (10). 3.4.1 Filtro Passa-Baixa Foi visto anteriormente em Tipos Básicos de Filtros Seletores de Sinais a resposta esperada (ou seu comportamento) para um filtro passa-baixa qualquer. Analisaremos agora um circuito passivo que responda similiarmente ao que se espera para essa configuração de circuito. 1. Filtro Passa-Baixa RL O Filtro Passa-Baixa RL é um filtro composto somente de indutor e resistor, conforme a figura 7. Figura 7. Filtro Passa-Baixa RL. Do circuito da figura 7, pode-se observa um divisor de tensão sobre o resistor R e desta forma pode-se calcular o valor de V0 a partir de Vi aplicada ao circuito. V0 = R R+XL Vi⇒ V0 Vi = R R+XL (11) 8 Lembrando que XL = wL, podemos reescrever a equação (11) conforme abaixo. Esta equação (12) corresponde a função de transferência deste filtro. H(w) = V0 Vi = R R+ jwL = 1 1+ j wL R = 1 1+ j w R L = 1 1+ j w wc (12) e portanto, desta mesma equação (12), pode-se observar que a frequência de corte para este filtro está relacionada diretamente com os valores de R e L, conforme equação . wc = R L (13) Antes de prosseguirmos, vamos recordar algumas manipulações matemáticas de números complexos e de fasores, que servirão para todas as próximas deduções. Seja a seguinte equação (relação)complexa: T = a+ jb c+ jd O módulo (magnitude ou ganho) desta equação pode ser calculada como: |T |= √ a2 +b2 c2 +d2 A fase é calculada conforme abaixo: ∠θ = ∠θ1 ∠θ2 = ∠(θ1−θ2) = ∠(tg−1( b a )− tg−1(d c )) Agora já relembramos como se calcula o módulo e a fase a partir de uma função de transferência. Aplicando este conhecimento na equação (12), pode-se calcular o módulo e a fase que resultam nas equações (14) e (15), respectivamente, para o filtro passa-baixa RL. |H(w)|= √√√√ 1 1+( w wc )2 = 1√ 1+( wL R )2 (14) e θ =−tg−1( w wc ) =−tg−1(wL R ) (15) O ganho pode também ser dado em decibéis, representado pela equação (16). |H(w)||dB = 20.log|H(w)| (16) A frequência de corte do filtro, pode ser encontrada utilizando-se da definição da mesma apresentada na seção 3.3. Experimente!! E a fase na frequência de corte deste filtro, onde w = wc corresponde a θ =−45◦. Graficamente, o módulo e a fase deste circuito são representados abaixo, pelas figuras 8 e 9, respectivamente. Uma outra forma de representar a resposta do filtro é sua representação gráfica do ganho em decibéis, que pode ser calculada ponto a ponto ou ter uma aproximação pelo diagrama de Bode. A resposta calculada ponto a ponto se apresenta pela figura 10. e a representação por diagrama de Bode pela figura 11. 9 Figura 8. Ganho em Tensão - Resposta em Frequência (FPB-RL) [3]. Figura 9. Fase - Curva de Resposta em Frequência (FPB RL)[3]. Figura 10. Ganho de Tensão em dB - Resposta em Frequência do FPB RL [3]. Figura 11. Diagrama de Bode para o Ganho de Tensão em dB. Resposta em Frequência (FPB RL) [3]. 3.4.2 Filtro Passa-Alta Já estudamos na seção 3.2.2 o comportamento gráfico esperado deste filtro. Na presente seção, estudaremos um circuito passivo e seu equacionamento que representam esta resposta gráfica. 1. Filtro Passa-Alta RC. O Filtro Passa-Alta RC (passivo) é um filtro composto somente de resistor e capacitor, conforme circuito que se apresenta na figura 12. Da mesma forma que na análise do FPB, pode-se observar um divisor de tensão entre o capacitor e o resistor no circuito. Desta forma pode-se calcular a relação entre V0 e Vi, que resulta na função de transferência do filtro. Portanto, da análise do circuito resulta: V0 = R R+XC Vi⇒ V0 Vi = R R+XC (17) E como XC = 1/wC resulta: 10 Figura 12. Filtro Passa-Alta Passivo RC. H(w) = V0 Vi = R R+ 1 jwC = 1 1− j 1 wRC = 1 1− j wc w (18) E a frequência de corte se apresenta como: wc = 1 RC (19) Ela também pode ser calculada a partir da definição de frequência de corte apresentada em 3.3. O módulo (ou magnitude) deste filtro, partindo-se da equação (18), é dada pela equação (20). |H(w)|= 1√ 1+( 1 wRC )2 (20) e sua fase pela equação (21). θ = arctg 1 wRC (21) Como vimos anteriormente que a frequência de corte corresponde a wc = 1/RC, se substituirmos esse valor na equação (21), encontramos o valor da fase na frequência de corte, que resulta em θ =+45◦. Graficamente, as equações do ganho (20) e fase (21) são representadas pelas figuras 13 e 14 , respectivamente. Figura 13. Curva de Resposta em Frequência do Ganho de Tensão do FPA-RC [3]. Figura 14. Curva de Resposta em Frequência para a Fase do FPA-RC [3]. 11 O ganho em dB pode ser calculado exatamente como expresso pela equação (16) e o gráfico para o FPA-RC é representado pela figura 15. Figura 15. Curva de Resposta em Frequência do FPA-RC. Ganho em dB [3]. O diagrama de Bode para a figura 15 se apresenta na figura 16. Figura 16. curva de Resposta em Frequência do FPA-RC para o ganho em dB pelo diagrama de Bode [3]. 3.4.3 Filtro Passa-Faixa (ou Passa-Banda) O comportamento do filtro passa-faixa foi apresentado na seção 3.2.3. Aqui analisaremos um circuito que possa representá-lo, seu equacionamento e comportamento. 1. Filtro Passa-Faixa (ou Passa-Banda) RLC Um exemplo de circuito que possa representar o comportamento de um filtro passa-banda é dado pela figura 17.Este circuito não é único. Outra configuração poderá ser obtida com alterações entre RLC. Da mesma forma que nas análise anteriores, podemos encontrar a equação de transferência do filtro, dada pela equação (22), calculando o divisor de tensão do circuito. V0 = R.Vi R+XL +Xc ⇒ V0 Vi = R R+ jwL+ 1 jwC ∴ H(w) = 1 1− j (1−w 2LC) wRC (22) E o ganho é então dado pela equação (23). Figura 17. Circuito Filtro Passa-Banda RLC. 12 |H(w)|= 1√ 1+( 1−w2LC wRC )2 (23) e a fase resulta na equação (24). θ = arctg 1−w2LC wRC (24) A frequência de corte deste filtro, não é trivialmente observada na equação da função de transferência do filtro, como o foi nas análises anteriores. Portanto, vamos encontrá-la lançando mão da definição da frequência de corte. Essa definição nos diz que na frequência de corte a expressão para o ganho é dada pela equação (9). Assim, vem: |H(w)|wc = 1√ 2 = 1√ 1+( 1−w2LC wRC )2 ⇒ 1−w2LC =±wRC (25) Manipulando a equação (25), obtemos duas equações caracterı́sticas, equação (26) e (27). w2LC+wRC−1 = 0 (26) w2LC−wRC−1 = 0 (27) Analisando ambas as equações, obtemos os seguintes resultados para as frequências de corte: wc1 = −RC+ √ RC2 +4LC 2LC (28) wc2 = RC+ √ RC2 +4LC 2LC (29) Deve-se notar que, embora as equações caracterı́sticas sejam de segundo grau, o sinal negativo para o termo em raiz geraria um valor negativo de frequência, e isso não faria o menor sentido. Portanto, esses termos são descartados. Como agora um filtro passa-banda é analisado, deve-se lembrar que o mesmo possui uma frequência central. Da teoria básica de circuitos, recorda-se que a frequência de ressonância ocorre quando as reatâncias do circuito se anulam, ou seja, se L e C estiverem em série, é necessário que as reatâncias capacitiva e indutiva tendam a zero comportando-se como um curto-circuito (Xeq = 0 ou |Xc| = |XL|). E no caso das reatâncias capacitiva e indutiva estarem em paralelo, a impedância equivalente do circuito ressonante deve tender ao infinito, ou seja, comportar-se como um circuito aberto (Xeq = ∞ ou |XC|= |XL|). Na situação de ressonância, o ganho é unitário [3]. Para o circuito da figura 17, nota-se que LC estão em sério e portanto a condição de ressonância é Xeq = 0 ou ainda |XL|= |Xc|.E nessa condição o ganho é 1, portanto tem-se: |H(w)|wR = 1⇒ 1√ 1+( 1−w2RLC wRRC )2 = 1 (30) Resolvendo para wR, tem-se: 1−w2RLC = 0⇒ wR = √ 1 LC (31) Ou ainda, utilizando-se da definição de ressonância para um circuito com admitâncias em série, tem-se: 13 wRL = 1 wRC ⇒ w2R = 1 LC ∴ wR = √ 1 LC (32) O que confirma a dedução anterior. Graficamente, as equações de ganho (23) e fase (24) , são representadas pelos gráficos 18 e 19 , respectivamente. Figura 18. Resposta em Frequência do FPF-RLC, com LC em série. Ganho de Tensão [3]. Figura 19. Resposta em Frequência do FPF-RLC, com LC em série. Fase [3]. O gráfico de ganho da figura 18, pode ser apresentado com o ganho em dB e este ainda, esboçado pelo diagrama de Bode. Ambos são apresentados nas figuras 20 e 21, respectivamente. Figura 20. Resposta em Frequência do FPF-RLC, com LC em série. Ganho em dB [3]. Figura 21. Diagrama de Bode da Resposta em Frequência do FPF - RLC, com LC em série. Ganho de Tensão [3]. 3.4.4 Filtro Rejeita-Faixa (ou Rejeita-Banda) O comportamento do filtro Rejeita-Faixa foi apresentado na seção 3.2.4. Da mesma forma que no filtro passa-faixa, vamos agora analisar um circuito que possa representar a resposta esperada para um filtro rejeita-faixa. 14 1. Filtro Rejeita-Faixa (ou Rejeita-Banda) RLC Um circuito que pode representar um filtro rejeita-faixa é também composto pelos elementos RLC e tem sua configuração muito parecida com a figura 17, apenas que agora, a tensão de saı́da é medida sobre a série LC e não mais sobre R. Desta forma, a figura 22 representa o circuito para o filtro rejeita-faixa. Figura 22. Circuito representativo para um Filtro Rejeita-Faixa RLC [3] Calculando o divisor de tensão para o circuito apresentado, considerando Ve =Vi, pode-se obter a função de transferência do circuito, dada pela equação (33): V0 = XL +Xc R+XL +Xc Vi⇒ V0 Vi = jwL+ 1 jwC R+ jwL+ 1 JwC ∴ H(w) = 1 1+ jwRC 1−w2LC (33) E o ganho é dado pela equação (34): |H(w)|= 1√ 1+( wRC 1−w2LC )2 (34) E a fase resulta na equação (35) : θ = arctg( wRC 1−w2LC ) (35) Como temos agora, uma equação de segunda ordem no denominador, não é obvio observar a frequência de corte (neste caso, duas, uma inferior e outra superior) e portanto, é necessário utilizar-se da definição de frequência de corte para que se possa encontrá-las. Desta forma, as frequências de corte são encontradas pela expressão (36): 1√ 1+( wRC 1−w2LC )2 = 1√ 2 (36) Manipulando a equação (36) tem-se duas equações caracterı́sticas, ambas apresentadas abaixo pelas equações (37) e (38) : w2LC+wRC−1 = 0 (37) w2LC−wRC−1 = 0 (38) Lembrando que um valor negativo para as frequências de corte não fazem sentido, temos as equações (39) e (40) resultantes, respectivamente: wci = −RC+ √ (RC)2 +4LC 2LC (39) wcs = RC+ √ (RC)2 +4LC 2LC (40) 15 4. Exercı́cios 1. Deduza as equações de módulo e fase para o filtro passa-baixa passivo RC da figura 23, e encontre a frequência de corte e a fase nesta frequência de corte. Figura 23. Circuito Filtro Passa-Baixa RC Passivo. 2. Deduza as equações de módulo e fase para o filtro passa-alta RL da figura 24, e encontre a frequência de corte e a fase nesta frequência de corte. Esboce os gráficos de ganho em tensão, ganho em dB e fase do circuito. Figura 24. Circuito Filtro Passa-Alta RL passivo. 3. Encontre as expressões da: Função de transferência, ganho, fase, frequências de corte e frequência de ressonância para o circuito da figura 25. Esboce os gráficos de ganho em tensão, ganho dB e fase. Figura 25. Circuito do FPF-RLC com LC em paralelo. 4. Esboce a tensão de saı́da Vo versus frequência para o filtro passa-baixas RC da figura 26 . Qual o valor da frequência de corte e quanto vale a tensão de saı́da para esta frequência? Figura 26. Filtro passa-baixas RC [1]. 5. Determine a tensão Vo na frequência f = 100kHz e f = 1MHz, e compare os resultados aos resultados obtidos no exercı́cio 4 (anterior). 6. Esboce o ganho normalizado Av = Vo Vi do exercı́cio 4. 7. Dado R = 20 kΩ e C = 20 pF, pede-se: (a) Esboce para os valores dados, os gráficos que representam um filtro passa-baixas e um filtro passa-altas; (b) Esboce o gráfico de fase para cada situação do item anterior; (c) Determine o valor da magnitude e fase de Av = Vo Vi quando f = 1 2 fc para o filtro passa-altas. 16 5. Resposta dos Exercı́cios 1. |H(w)|= 1√ 1+(wRC)2 ; θ =−arctg(wRC) A frequência de corte é dada por: wc = 1 RC . E a fase, nesta frequência de corte (onde w = wc) é: θ =−45o. 2. |H(w)|= 1√ 1+( R wL )2 ; θ = arctg( R wL ) A frequência de corte é dada por wc = R/L. A fase, na frequência de corte (w = wc), corresponde a θ =+45◦. 3. H(w) = V0 Vi = 1 1− j R−w 2RLC wL ; |H(w)|= 1√ 1+( R−w2RLC wL )2 ; θ = arctg R−w2RLC wL ; wc1 = −L R + √ ( L R )2 +4LC 2LC ; wc2 = + L R + √ ( L R )2 +4LC 2LC ; wR = 1√ LC 4. fc = 318,31 Hz Vo = 14,14 V 5. Vo = 19,08 V em 100 kHz Vo = 6,1 V em 1 MHz 6. Basta dividir todos os valores do gráfico pelo maior dos valores de tensão, que corresponde, neste caso, ao valor de tensão de entrada (Vi = 20V ). 7. (a) fc = 6631,46 Hz (b) (c) Av = 0,4472 ∠63,43◦ Referências [1] BOYLESTAD, R. L. Introductory circuit analysis. Prentice Hall PTR, 1990. [2] FILHO, S. N. Filtros Seletores de Sinais. 2010. [3] MUSSOI, F. L., AND ESPERANÇA, C. Resposta em frequência: filtros passivos. Florianópolis, Centro Federal de Educação Tecnológica de Santa Catarina (2004). [4] PACTITIS, S. Active filters: theory and design. CRC Press, 2007. Introdução Fundamentos Filtros Filtros e Sinais Tipos Básicos de filtros Seletores de Sinais Filtro Passa-Baixa (FPB ou LFP) Filtro Passa-Alta (FPA ou HPF) Filtro Passa-Banda (FPB ou PBF) Filtro Rejeita-Faixa ou Rejeita-Banda (FRF ou BRF) A Frequência de Corte de um Filtro Filtros Passivos Filtro Passa-Baixa Filtro Passa-Alta Filtro Passa-Faixa (ou Passa-Banda) Filtro Rejeita-Faixa (ou Rejeita-Banda) Exercícios Resposta dos Exercícios Referências
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