APOSTILA ROBÓTICA A3 UAM

Prévia do material em texto

23/10/2022 18:41 E-book
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=YyY5AGN2jrB%2foPqF%2bC7MCA%3d%3d&l=53dvfNRpEsi%2bYRobnkg%2f7g%3d%3d&… 1/55
ROBÓTICAROBÓTICA
CINEMÁTICA DE ROBÔSCINEMÁTICA DE ROBÔS
Au to r ( a ) : E s p . R u b e m N e ro G o m e s X av i e r
R ev i s o r : B r u n o H e n r i q u e O l i ve i ra M u l i n a
Tempo de leitura do conteúdo estimado em 1 hora e 40 minutos.
23/10/2022 18:41 E-book
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=YyY5AGN2jrB%2foPqF%2bC7MCA%3d%3d&l=53dvfNRpEsi%2bYRobnkg%2f7g%3d%3d&… 2/55
Introdução
Olá, estudante! Na Física, a Cinemática é de�nida como um ramo da
Mecânica que estuda o movimento de corpos, sem analisar as forças
envolvidas. Outra de�nição encontrada na literatura retrata a Cinemática
como um ramo físico que estuda os movimentos desprezando a relação
destes com a própria origem. Dessa forma, a Cinemática em robôs pode ser
de�nida como o estudo das posições e das velocidades do efetuador (�ange)
de um manipulador robótico.
Ao analisarmos a posição de um efetuador (garra ou ferramenta), é possível
notar que esta depende de um conjunto de relações e de valores de�nidos a
partir das juntas. Dessa forma, havendo uma relação matemática
estabelecida, é possível determinar a posição de um efetuador por meio dos
valores das posições estabelecidas nas juntas e, de forma inversa, encontrar
os valores das posições existentes nas juntas a partir da posição da
ferramenta.
Nesta unidade, estudaremos os principais modelos cinemáticos utilizados
para determinação de posições em manipuladores robóticos.
23/10/2022 18:41 E-book
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=YyY5AGN2jrB%2foPqF%2bC7MCA%3d%3d&l=53dvfNRpEsi%2bYRobnkg%2f7g%3d%3d&… 3/55
Basicamente, a Cinemática Direta consiste na obtenção de uma posição e de
uma velocidade para um efetuador (garra ou ferramenta), de acordo com a
posição das juntas (articulações). De forma oposta, temos a Cinemática
Inversa, sendo que, a partir das informações de posição e de velocidade de
determinado efetuador, são obtidos os valores de posições e de velocidades
existentes nas articulações, conforme Alciatore e Histand (2014).
Segundo Craig (2012), algumas ferramentas matemáticas permitem a
veri�cação de posições e da orientação de corpos rígidos — tais ferramentas
são baseadas na transformação de coordenadas. Assim, a Cinemática Direta
possibilita o cálculo da posição, da orientação e das velocidades linear e
angular de uma garra ou de uma ferramenta em um manipulador robótico.
Cinemática Direta 
Fonte: Elaborada pelo autor.
Cinemática Direta: possibilita,
a partir das posições das
articulações, encontrar a
posição e a orientação da
ferramenta no espaço
cartesiano da base.
< >
23/10/2022 18:41 E-book
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=YyY5AGN2jrB%2foPqF%2bC7MCA%3d%3d&l=53dvfNRpEsi%2bYRobnkg%2f7g%3d%3d&… 4/55
O manipulador robótico é uma cadeia cinética composta de elos (corpos) e
de juntas (articulações), no qual os elos são conectados pelas juntas, e estas
possibilitam a movimentação de um elo em relação ao elo anterior, de acordo
com Dumba (2017).
Analisando a situação de um pêndulo simples, temos um sistema análogo a
um manipulador robótico com apenas um grau de liberdade (Figura 3.1).
Analisando matematicamente, com o intuito de realizar o deslocamento da
extremidade (M) do segmento do manipulador robótico, de comprimento L,
para uma posição desejada, temos os pontos x e y dados por:
x = L. senθ
y = L. (1– cosθ)
Desta forma, é possível veri�car que a coordenada �nal do efetuador
depende, diretamente, da coordenada do ângulo θ. Dessa forma, temos que θ
= arc sen (x/L), sendo y≤L.
23/10/2022 18:41 E-book
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=YyY5AGN2jrB%2foPqF%2bC7MCA%3d%3d&l=53dvfNRpEsi%2bYRobnkg%2f7g%3d%3d&… 5/55
Figura 3.1 — Manipulador robótico com um grau de liberdade 
Fonte: Elaborada pelo autor.
#PraCegoVer: a imagem apresenta uma ilustração colorida, na qual é possível
visualizar a representação de um manipulador com apenas um grau de liberdade,
a partir da representação de um pêndulo simples. A �gura tem a base em um
plano com dois eixos: na vertical, o eixo Y; na horizontal, o eixo X. A posição �nal
do manipulador é representada por um círculo de cor azul com a letra “M”
maiúscula inscrita. Essa posição está afastada do eixo vertical por uma distância
angular, representada por um ângulo Θ (Theta). A posição �nal do manipulador
(M) tem uma orientação representada como x e y (ambas letras minúsculas).
Um manipulador robótico com dois graus de liberdade (Figura 3.2) consiste,
basicamente, no sistema de um pêndulo duplo. Matematicamente, para
realizar o deslocamento da extremidade do segundo elo do manipulador
robótico (M), sendo os comprimentos L1 e L2 correspondentes aos dois elos,
para uma posição desejada, temos os pontos x e y dados por:
x = L1.senθ1 + L2.senθ2
y = L1.(1– cosθ1) + L2.(1– cosθ2)
23/10/2022 18:41 E-book
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=YyY5AGN2jrB%2foPqF%2bC7MCA%3d%3d&l=53dvfNRpEsi%2bYRobnkg%2f7g%3d%3d&… 6/55
Figura 3.2 — Manipulador robótico com dois graus de liberdade 
Fonte: Elaborada pelo autor.
#PraCegoVer: a imagem apresenta uma ilustração colorida, na qual é possível
visualizar a representação de um manipulador com dois graus de liberdade, a
partir da representação de um pêndulo duplo. A �gura tem a base em um plano
com dois eixos: na vertical, o eixo Y; na horizontal, o eixo X. A posição �nal do
manipulador é representada por um círculo de cor azul com a letra “M” maiúscula
inscrita. Ao �nal do primeiro elo, temos uma junta, representada por um círculo de
cor azul. O posicionamento da junta está afastado do eixo vertical por uma
distância angular representada por um ângulo Θ1 (Theta um), �nalizando, assim,
o primeiro elo. A posição �nal do manipulador (M) está afastada do eixo vertical
por uma distância angular representada por um ângulo Θ2 (Theta dois) e tem
uma orientação representada como x e y (ambas letras minúsculas).
A partir da análise dos sistemas apresentados, é possível concluir que, com o
aumento do número de articulações, temos uma equação mais complexa
para representar a posição �nal do manipulador robótico.
A cadeia de um manipulador robótico tem modelagem semelhante a um
sistema de corpos rígidos, no qual a localização de cada corpo é descrita
23/10/2022 18:41 E-book
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=YyY5AGN2jrB%2foPqF%2bC7MCA%3d%3d&l=53dvfNRpEsi%2bYRobnkg%2f7g%3d%3d&… 7/55
pela posição e pela orientação. Sendo a origem de um sistema de
coordenadas um ponto qualquer no espaço, temos a possibilidade de atribuir
posições as quais demonstram as coordenadas de um novo referencial de
coordenadas em relação ao anterior. Dessa forma, é possível desenvolver a
translação de coordenadas entre sistemas referenciais.
Transformações homogêneas
Segundo Craig (2012), os recursos matemáticos convencionais, aplicados ao
desenvolvimento da composição de translação e rotação entre sistemas
referenciais, tornam-se muito complicados quando são necessárias
mudanças consecutivas combinadas, como nos manipuladores robóticos,
com muitos graus de liberdade. As transformações homogêneas, que
consistem, basicamente, em matrizes 4x4, possibilitam a combinação das
posições de rotação e de translação, de forma que as matrizes de
transformações homogêneas possibilitam a composição de transformações
em qualquer dimensão do espaço. Dessa forma, a transformação
homogênea é muito útil para transformações consecutivas, justi�cando,
assim, a aplicação dela aos cálculos da Cinemática de robôs.
Na aplicação da Cinemática dos movimentos de um manipulador robótico, é
necessário realizar a especi�cação dos sistemas de referência entre as
juntas e os elos que sofrem movimentação. Seja ela rotacional ou
translacional, a matriz de transformação homogênea que possibilita o
referenciamento do sistema de coordenadas é de�nida conforme a Figura
3.3.
23/10/202218:41 E-book
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=YyY5AGN2jrB%2foPqF%2bC7MCA%3d%3d&l=53dvfNRpEsi%2bYRobnkg%2f7g%3d%3d&… 8/55
Figura 3.3 — Matriz de transformação homogênea 
Fonte: Elaborada pelo autor.
#PraCegoVer: a imagem apresenta uma ilustração colorida, que representa uma
matriz de transformação homogênea 4x4, ou seja, quatro colunas e quatro linhas.
A matriz está dividida em quatro partes por linhas tracejadas de cor vermelha. A
primeira parte da matriz é retratada pelas primeiras três colunas, da esquerda
para a direita, e pelas primeiras três linhas, sendo, assim, uma matriz 3x3,
composta de nove elementos, de r1 a r9, representando as rotações nos eixos x, y
e z. A última linha nas primeiras três colunas está preenchida, nos três campos,
com o número zero e representa a perspectiva ou o valor de escalonamento da
matriz. A quarta coluna, nas três primeiras linhas, tem três posições preenchidas,
respectivamente, com Δx, Δy e Δz, representando uma matriz de translação dos
movimentos em x, y e z. A última posição, na quarta coluna de cima para baixo,
está preenchida com o número 1, de forma �xa, representando o fator de escala
global.
A matriz de rotação 3x3 pode ser representada de acordo com o eixo que
sofre rotação, tendo três estruturas, uma para cada eixo de rotação, sendo 𝛳
o ângulo de giro, conforme representado a seguir.
23/10/2022 18:41 E-book
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=YyY5AGN2jrB%2foPqF%2bC7MCA%3d%3d&l=53dvfNRpEsi%2bYRobnkg%2f7g%3d%3d&… 9/55
Rx =
1 0 0
0 cosθ −sinθ
0 sinθ cosθ
Ry =
cosθ 0 sinθ
0 1 0
−sinθ 0 cosθ
Rz =
cosθ −sinθ 0
sinθ cosθ 0
0 0 1
Como exemplo de aplicação, temos um caso no qual um sistema de
referência tridimensional {B} que se encontra rotacionado com relação a um
sistema de referência tridimensional {A} por 30 graus (sobre o eixo z) e
transladado 8 unidades no eixo x e 4 unidades no eixo y. Estando um ponto
na posição (3,7,0) no sistema de referência {B}, podemos utilizar a matriz de
transformação homogênea 4x4 para encontrar a posição no sistema de
referência {A}.
r1 r2 r3 Δx
r4 r5 r6 Δy
r7 r8 r9 Δz
0 0 0 1
Aplicando a matriz de transformação homogênea, devemos substituir a
matriz 3x3 de rotação (r1 a r9) por uma estrutura de rotação no eixo z. As
colunas de translação representadas por (Δ1, Δ2 e Δ3) devem ser
substituídas pelos movimentos de translação; assim, temos a matriz de
transformação homogênea, conforme mostrado a seguir.
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
23/10/2022 18:41 E-book
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=YyY5AGN2jrB%2foPqF%2bC7MCA%3d%3d&l=53dvfNRpEsi%2bYRobnkg%2f7g%3d%3d… 10/55
cosθ − sinθ 0 8
sinθ cosθ 0 4
0 0 1 0
0 0 0 1
Por �m, multiplicamos a matriz de transformação homogênea por uma matriz
que representa o vetor da posição no sistema de referência {B}, assim:
cos30
sin30
0
0
 −sin30
 cos30
 0
0
 0
 0
 1
0
 8
 4
 0
 1
3
7
0
1
 =
7, 1
11, 5
0
1
Dessa forma, podemos concluir que a posição (3,7,0) no sistema de
referência {B} corresponde à posição (7.1, 11.5, 0) no sistema de referência
{A}. E podemos concluir que a matriz de transformação homogênea
possibilita a veri�cação de uma mesma posição em sistemas de orientação
diferentes.
No caso de um robô com dois graus de liberdade, a matriz de transformação
homogênea 4x4 é e�ciente apenas para se determinar as coordenadas de um
efetuador no caso de existir alteração apenas na junta da base. Quando
necessitamos combinar a movimentação de mais de uma junta em
movimentos rotacionais e translacionais, precisamos utilizar outras
ferramentas, como o algoritmo de Denavit-Hartenberg. Este consiste,
basicamente, em um método sistemático de descrever a posição e a
orientação relativa entre dois ligamentos consecutivos, com base na
transformação homogênea, de acordo com Abreu (2002).
[ ]
[ ] [ ] [ ]
23/10/2022 18:41 E-book
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=YyY5AGN2jrB%2foPqF%2bC7MCA%3d%3d&l=53dvfNRpEsi%2bYRobnkg%2f7g%3d%3d… 11/55
praticar
Vamos Praticar
No desenvolvimento de placas eletrônicas, existem dois tipos de robôs
principais, que são altamente aplicados: SCARA e Planares. O que justi�ca a
ampla utilização deles nessas aplicações é a necessidade de altíssima
precisão e velocidade, em conjunto com uma grande quantidade de
movimentos limitados à ação em uma base plana, onde as placas são
depositadas. A utilização desses robôs proporciona melhor relação custo-
benefício na produção.
O manipulador robótico planar mostrado a seguir possui dois elos, sendo
que o comprimento do elo 1 é de 250 mm, e o comprimento do elo 2 é de
200 mm.
23/10/2022 18:41 E-book
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=YyY5AGN2jrB%2foPqF%2bC7MCA%3d%3d&l=53dvfNRpEsi%2bYRobnkg%2f7g%3d%3d… 12/55
Figura — Matriz de transformação homogênea 
Fonte: Elaborada pelo autor.
#PraCegoVer: a imagem apresenta uma ilustração colorida, que
representa um robô planar com dois graus de liberdade. A base do robô
é formada por dois cilindros: um cilindro de raio maior, no plano de apoio,
de cor bege; e um cilindro de raio menor, no entanto mais comprido, no
sentido vertical, de cor rosa. Um elo de cor azul é alocado sobre a base,
de forma a possibilitar que o elo tenha movimento rotativo em torno da
base. Ao �nal do primeiro elo, existe um segundo elo alocado à junta, o
que possibilita o movimento rotativo. Ao �nal do segundo elo, existe um
suporte de cor amarela, no qual está alocada uma ferramenta de cor
bege, semelhante a uma ventosa. No lado esquerdo inferior da imagem,
está representado o sistema tridimensional de referência da base do
robô, em cor amarela, sendo Z o sentido da base em forma axial, e X, o
sentido dos elos completamente esticados.
Considerando que o manipulador robótico planar tem os elos totalmente
esticados, ocorre um movimento rotativo de 40º do eixo da base (em torno
do eixo z) no sentido anti-horário. Considerando que apenas o eixo da junta
da base rotaciona, e que a junta 1 não é rotacionada em torno do próprio
eixo, calcule a posição �nal do efetuador em relação ao sistema de
coordenadas da origem.
23/10/2022 18:41 E-book
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=YyY5AGN2jrB%2foPqF%2bC7MCA%3d%3d&l=53dvfNRpEsi%2bYRobnkg%2f7g%3d%3d… 13/55
Conhecimento
Teste seus Conhecimentos 
(Atividade não pontuada) 
Leia o trecho a seguir.
“A capacidade de força‐momento de um robô depende dos torques em seus
atuadores, de sua con�guração, da posição e orientação de seu efetuador e
das ações presentes no contato com o meio”.
WEIHMANN, L. Modelagem e otimização de forças e torques aplicados
por robôs com redundância cinemática e de atuação em contato com o
meio. 2011. Tese (Doutorado em Engenharia Mecânica) — Universidade
Federal de Santa Catarina, Florianópolis, 2011. p. 11. Disponível em:
https://bit.ly/3QyUNOi. Acesso em: 2 jun. 2022.
Assinale a alternativa que apresenta, de forma correta, o objeto de estudo
da Cinemática dos manipuladores robóticos.
a) Movimento dos corpos ligados por mecanismos mobiles, sendo
consideradas as forças que geram a movimentação.
b) Movimentação dos robôs, considerando as forças e os torques que
impulsionaram o movimento das juntas.
c) Movimentação dos manipuladores robóticos, desconsiderando as
causas que lhes dão origem.
d) De�nição dos pesos e do torque envolvidos na movimentação dos
robôs industriais.
https://bit.ly/3QyUNOi
23/10/2022 18:41 E-book
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=YyY5AGN2jrB%2foPqF%2bC7MCA%3d%3d&l=53dvfNRpEsi%2bYRobnkg%2f7g%3d%3d… 14/55
e) De�nição e aferição da quantidade de graus de liberdade
existentes em um sistema robotizado.
De acordo com Santos (2015), o algoritmo de Denavit-Hartenberg é baseado
no conceito de que, com apenas dois parâmetros, é possível veri�car a
posição relativa de duas retas no espaço. O primeiro dos parâmetros
utilizados é a distância medida ao longo do eixo comum entre as duas retas;o segundo parâmetro é o ângulo de rotação em torno do eixo comum no qual
uma das retas deve girar, sendo que uma se encontra paralela à outra. Dessa
forma, temos o eixo comum entre as duas retas no espaço de�nido a partir
da terceira reta, a qual intercepta as duas primeiras retas, de forma
perpendicular, segundo Antunes (2015). Com isso, temos a menor distância
possível entre as duas retas, conforme a Figura 3.4.
Algoritmo de
Denavit-
Hartenberg
23/10/2022 18:41 E-book
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=YyY5AGN2jrB%2foPqF%2bC7MCA%3d%3d&l=53dvfNRpEsi%2bYRobnkg%2f7g%3d%3d… 15/55
Figura 3.4 — Representação da distância entre retas 
Fonte: Elaborada pelo autor.
#PraCegoVer: a imagem apresenta uma ilustração colorida, na qual há duas retas
verticais de cor laranja. Ligando-as aos respectivos centros, temos uma reta
horizontal de cor preta. A reta de cor preta é perpendicular à segunda reta vertical
de cor laranja. Existe uma reta tracejada vertical em azul, representando a
orientação da segunda reta angular, de forma que esteja paralela à primeira reta
vertical. A diferença entre a segunda reta vertical, em laranja, e a reta tracejada
vertical em azul é de�nida por um ângulo 𝝰 (alpha). Uma seta circular em cor
azul, associada a outro ângulo 𝝰 (alpha), demonstra a rotação do eixo
representado pela reta horizontal preta.
Segundo Antunes (2015), a relação entre dois eixos de coordenadas de forma
direta tem seis parâmetros, sendo estes: três de translação, representados
pelo movimento axial de cada eixo; e três de rotação, visto que, em cada eixo,
existe a rotação radial. Uma vez que são necessários apenas dois parâmetros
para de�nir a posição relativa de duas retas no espaço, na de�nição da
posição relativa de dois sistemas de coordenadas, são necessários apenas
quatro parâmetros, pois um sistema de coordenadas é de�nido, basicamente,
23/10/2022 18:41 E-book
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=YyY5AGN2jrB%2foPqF%2bC7MCA%3d%3d&l=53dvfNRpEsi%2bYRobnkg%2f7g%3d%3d… 16/55
por três retas, que são os três eixos de orientação. Dessa forma, a partir do
reconhecimento de dois eixos do sistema, o terceiro é de�nido.
Consideramos que a intercessão dos eixos de um sistema de coordenadas
de�ne a origem deste; assim, mediante a de�nição da posição relativa entre
dois eixos, é possível descrever a posição relativa entre os dois sistemas de
coordenadas, de modo que teremos as três orientações, conforme propõe a
regra da mão direita (HARTENBERG; DENAVIT, 1964).
Fonte: Adaptado de
normaals; udaix /
123RF.
Regra da mão direita
23/10/2022 18:41 E-book
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=YyY5AGN2jrB%2foPqF%2bC7MCA%3d%3d&l=53dvfNRpEsi%2bYRobnkg%2f7g%3d%3d… 17/55
De acordo com Hartenberg e Denavit (1964), o algoritmo de Denavit-
Hartenberg especi�ca que a posição e a orientação relativa entre os dois
ligamentos são descritas pelas transformações de translação e de rotação
entre os dois sistemas de coordenadas �xos a esses ligamentos. A
sistemática de trabalho que possibilita utilizar o algoritmo de Denavit-
Hartenberg para de�nir os sistemas de coordenadas de um robô consiste,
inicialmente, em localizar os eixos z do manipulador robótico em todas as
juntas. As demais orientações em cada junta são avaliadas de forma que o
sistema resultante O - x y z seja um sistema de coordenadas de acordo com a
regra da mão direita.
De acordo com Santos (2015), o algoritmo de Denavit-Hartenberg parte da
premissa de que a posição relativa entre dois sistemas de coordenadas
consecutivos, sendo estes sistemas O -x y z e O -x y z , pode ser
determinada pelas posições relativas entre os eixos x e x , e entre os eixos z
e z . Dessa forma, é possível descrever a orientação de um sistema de
coordenadas de um elo em relação ao elo anterior, considerando apenas
quatro parâmetros, sendo eles:
θ — ângulo de rotação (com orientação de positivo ou negativo) do
eixo x em torno do eixo z até este �car paralelo a x .
d — deslocamento medido sobre o eixo z até a interseção entre os
eixos z e x .
a — deslocamento medido sobre o eixo x até a interseção entre os
eixos z e x .
i i i i
i-1 i-1 i-1 i-1 i i i i
i-1 i i
i-1
i i i+1
i
i i+1
i
i i+1
23/10/2022 18:41 E-book
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=YyY5AGN2jrB%2foPqF%2bC7MCA%3d%3d&l=53dvfNRpEsi%2bYRobnkg%2f7g%3d%3d… 18/55
𝝰 — ângulo de torção (com orientação de positivo ou negativo) do eixo
z em torno do eixo x até este �car paralelo a z .
A partir desses quatro parâmetros, é possível determinar a posição e a
orientação do sistema de coordenadas i em relação ao sistema i-1 com a
aplicação de quatro transformações, consecutivamente, conforme Alciatore e
Histand (2014).
A primeira transformação consiste, basicamente, na rotação desenvolvida,
em torno de z , de um ângulo θ , de forma que permita alinhar xi-1 com x . A
segunda transformação consiste na translação sobre o eixo z , referente à
distância d , até chegar à interseção entre z e z . A terceira transformação é
o desenvolvimento de uma nova translação sobre o eixo xi, sendo esta
referente a distância a , partindo-se do ponto inicial até encontrar o eixo z
(ponto O ). A quarta transformação consiste em uma rotação, em torno do
eixo x , de um ângulo 𝝰 , de forma a alinhar o eixo z com o eixo z .
Representando matematicamente, temos:
Aii− 1=Rotação(z,θ ) Translação(z,d ) Translação(x,a ) Rotação(x,α )
cosθ i − sinθ i 0 0
sinθ i cosθ i 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 di
0 0 0 1
 
1 0 0 ai
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
1 0 0 0
0 cos ai − sin ai 0
0 sin ai cos ai 0
0 0 0 1
=
cosθi
sinθi
0
0
 −sinθicosαi
 cosθicosαi
 sinαi
0
 sinθisinαi
 −cosθisinαi
 cosαi
 0
 aicosθi
 aisinθi
 di
 1
Por �m, temos as transformações aplicadas a matrizes de transformação
homogênea 4x4, que, após serem multiplicadas, geram a matriz de
i i+1 i+1
i-1 i i
i-1
i i-1 i
i i
i
i i i-1 i
i i i i
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ]
23/10/2022 18:41 E-book
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=YyY5AGN2jrB%2foPqF%2bC7MCA%3d%3d&l=53dvfNRpEsi%2bYRobnkg%2f7g%3d%3d… 19/55
transformação homogênea genérica — esta, por sua vez, nos permite veri�car
a orientação de uma junta em relação à junta anterior. Cabe destacar que a
matriz de transformação homogênea encontrada é referente a uma junta com
a anterior; no caso de um robô com quatro graus de liberdade, são
necessárias quatro matrizes, sendo que o modelo, sempre, é feito desde a
base do robô até o efetuador, conforme Dumba (2017).
De acordo com Craig (2012), algumas condições de exceção devem ser
veri�cadas na aplicação do algoritmo de Denavit-Hartenberg. Primeiramente,
ao estabelecer o sistema de coordenadas da base, a origem do sistema pode
ser de�nida em qualquer ponto do eixo z . Os eixos x e y podem ser
escolhidos de forma arbitrária, contanto que estejam de acordo com a regra
da mão direita. No estabelecimento do sistema de coordenadas de referência
do efetuador, a orientação dos eixos necessita, obrigatoriamente, satisfazer a
condição de x perpendicular a z . Se os eixos das duas articulações de um
ligamento são paralelos, pode haver mais de um eixo comum; nessa
condição, a deve ser perpendicular a ambos os eixos, e a origem O se torna
arbitrária. Caso os eixos principais das duas articulações de um elo se
interceptem, de forma que z intercepta z , teremos a origem O localizada na
interseção dos dois eixos, de forma que x seja perpendicular a ambos os
eixos.
De acordo com Abreu (2002), basicamente, implementamos o algoritmo de
Denavit-Hartenberg para um manipulador robótico a partir três etapas,
conforme a seguir.
0 0 0
n i-1
i-1 i
i-1 i i
i 
Fixar um sistema de coordenadas local em cada elemento do
manipulador robótico. 
23/10/2022 18:41 E-book
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=YyY5AGN2jrB%2foPqF%2bC7MCA%3d%3d&l=53dvfNRpEsi%2bYRobnkg%2f7g%3d%3d…20/55
De acordo com Hibbeler (2012) e Souza (2021), para �xar um sistema de
referências local nos elos de um manipulador, é necessário seguir uma
convenção dada pelo algoritmo de Denavit-Hartenberg. Os frames (sistemas
de referência) devem estar numerados de acordo com o elo a que estão
ligados, iniciando a partir da base, sendo a base o frame 0 e assim
sucessivamente, até o último elo.
i. Fixar o sistema de eixos de coordenadas (frame) 0 da base ao longo do eixo
z .
ii. Veri�car se existe um ponto de interseção entre a junta que está sendo
analisada e a junta anterior, z e z ; se houver, considerar o ponto de
interseção como a origem do frame.
iii. No caso de z e z serem paralelos, então é necessário convencionar a
origem do frame anterior (i-1) na junta i.
iv. A partir das veri�cações anteriores, é possível enumerar todos os eixos
das articulações (juntas), sendo o eixo das juntas z0 até zn-1, sendo que o
eixo da articulação i é o eixo zi-1. O sentido do eixo z deve ser de�nido a partir
da regra da mão direita, de acordo com o sentido de rotação da junta.
v. Após a de�nição dos eixos Z de cada articulação, será de�nido o sistema
de coordenadas da base. A origem pode ser escolhida em qualquer posição
do eixo z0, e os eixos, x0 e y0, podem ser escolhidos, desde que de acordo
com a regra da mão direita e sendo x0 perpendicular a z0. Por convenção,
adotamos como primeiro frame o local em que a junta está localizada no
eixo.
vi. Após a de�nição do frame de origem da base, são de�nidos os frames das
próximas articulações, sendo que o eixo x deve ser perpendicular ao z da
articulação e ao z anterior. Quando os eixos z da junta analisada e o próximo
eixo z não estão paralelos, temos, na interseção, o ponto de origem do frame.
Caso estejam paralelos, podemos utilizar qualquer ponto do eixo z analisado
como origem.
0
i i-1
i i-1
23/10/2022 18:41 E-book
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=YyY5AGN2jrB%2foPqF%2bC7MCA%3d%3d&l=53dvfNRpEsi%2bYRobnkg%2f7g%3d%3d… 21/55
vii. O mesmo procedimento deve ser realizado em todas as articulações, com
o intuito de determinar cada frame.
viii. Por �m, deve ser estabelecido o sistema de coordenadas (frame) do
efetuador (garra ou ferramenta). A origem pode ser escolhida de forma
arbitrária, porém, em geral, utiliza-se, como origem, o centro da garra ou um
outro ponto de interesse. Os eixos podem ser de�nidos arbitrariamente,
desde que seja respeitada a condição de a orientação x ser perpendicular ao
eixo z anterior.
ix. Com o intuito de facilitar os cálculos matemáticos, utilizamos a mesma
orientação do frame anterior no último frame do efetuador.
x. Após estabelecer todo o sistema de coordenadas, em todo o manipulador
robótico, vamos ao próximo passo, sendo este a de�nição dos parâmetros de
Denavit-Hartenberg para cada elemento. A �m de facilitar a obtenção dos
parâmetros, criamos uma tabela sintetizada dos quatro parâmetros de
Denavit-Hartenberg. Os parâmetros de Denavit-Hartenberg podem ser obtidos
por meio de quatro análises para cada junta.
xi. Para obtermos θi, é necessário rotacionar o eixo x em torno de z até
este �car paralelo a x .
xii. Para obtermos di, é necessário transladar o sistema de coordenadas
(frame) da junta anterior em z até a interseção entre z e x .
xiii. Para obtermos ai, é necessário transladar o sistema de coordenadas
(frame) da junta analisada ao longo de x até a interseção entre z e x .
xiv. Para obtermos 𝝰i, é necessário rotacionar o eixo z em torno de x até
este �car paralelo a z .
xv. Após o preenchimento da tabela com os parâmetros de Denavit-
Hartenberg em cada frame, é possível inserir os valores na matriz de
transformação homogênea de Denavit-Hartenberg para cada frame em
relação ao anterior.
i-1 i-1 
i
i-1 i-1 i
i i-1 i
i-1 i
i
23/10/2022 18:41 E-book
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=YyY5AGN2jrB%2foPqF%2bC7MCA%3d%3d&l=53dvfNRpEsi%2bYRobnkg%2f7g%3d%3d… 22/55
xvi. Por �m, podemos calcular a matriz de transformação homogênea
considerando todo o manipulador, iniciando a partir da base até o efetuador.
Multiplicando as matrizes de transformação homogênea de Denavit-
Hartenberg de cada frame, temos a matriz 4x4 resultante do manipulador.
Na aplicação dos procedimentos para aplicação do algoritmo de Denavit-
Hartenberg, os passos devem ser seguidos com todo o cuidado e de forma
sistemática, visto que apenas um parâmetro referente a um frame obtido
incorretamente inutiliza toda a modelagem desenvolvida, de acordo com
Souza (2021).
Aplicação do algoritmo D-H no robô
SCARA
Analisando a estrutura do robô SCARA na Figura 3.5, podemos veri�car que o
robô tem quatro graus de liberdade, sendo três para o posicionamento
(referente a duas juntas rotativas e uma prismática) e um para orientação da
garra (junta rotativa). Na Figura 3.5, temos alguns parâmetros do
manipulador, como:
A. LM — altura mínima do efetuador.
B. L1 — comprimento do Elo 1.
C. L2 — comprimento do Elo 2.
D. C — curso para movimentação linear do Elo 3.
E. θ1 — ângulo de rotação do Elo 1 a partir do eixo X.
F. θ2 — ângulo de rotação do Elo 2 a partir do Elo 1.
 
23/10/2022 18:41 E-book
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=YyY5AGN2jrB%2foPqF%2bC7MCA%3d%3d&l=53dvfNRpEsi%2bYRobnkg%2f7g%3d%3d… 23/55
Figura 3.5 — Estrutura do robô SCARA 4GDL 
Fonte: Elaborada pelo autor.
#PraCegoVer: a imagem apresenta uma ilustração colorida, na qual temos um
robô do tipo SCARA apresentado em três perspectivas distintas. A perspectiva da
parte superior apresenta a visão isométrica do robô, sendo possível visualizar a
base dele, informada como Elo 0, de cor azul. Alocada à base, temos uma junta
que possibilita o movimento rotativo em torno da base, tendo o mesmo corpo de
um segundo elo, identi�cado como Elo 1. Ao �nal do segundo elo, temos alocado
um terceiro elo, identi�cado como Elo 2, através de uma junta rotativa sobre o
�nal do primeiro elo. O terceiro elo possui um �nal com base cilíndrica, e, no
centro dele, está identi�cada uma junta prismática de movimentação, chamada
de Elo 3. Ao �nal deste elo, no sentido vertical para baixo, temos uma ferramenta
representada por uma área quadrada de cor amarela. Na base do robô, está
representado o sistema tridimensional de referência da base do robô, em cor
amarela, sendo Z o sentido da base em forma axial, e X, o sentido do Elo 1. Na
23/10/2022 18:41 E-book
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=YyY5AGN2jrB%2foPqF%2bC7MCA%3d%3d&l=53dvfNRpEsi%2bYRobnkg%2f7g%3d%3d… 24/55
parte inferior da imagem, temos a representação da vista frontal à esquerda, em
que são demonstrados os comprimentos existentes no robô. Na parte inferior da
imagem, temos a representação da vista superior à direita, em que são
demonstrados os ângulos de movimentação dos elementos (Elo1 e Elo 2) do
robô.
Inicialmente, é necessário identi�car os elos do manipulador robótico e os
sentidos de rotação, como visto na Figura 3.5. Com isso, é possível �xar os
sistemas de coordenadas 0 ao longo do eixo Z e nos frames do manipulador,
de acordo com a regra da mão direita; assim, teremos a representação
conforme a Figura 3.6. Como o deslocamento do Elo 3 em Z para chegar a
uma peça é para baixo, inserimos a orientação de Z2 para baixo, no sentido
da peça.
23/10/2022 18:41 E-book
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=YyY5AGN2jrB%2foPqF%2bC7MCA%3d%3d&l=53dvfNRpEsi%2bYRobnkg%2f7g%3d%3d… 25/55
Figura 3.6 — Representação do eixo Z em cada junta 
Fonte: Elaborada pelo autor.
#PraCegoVer: a imagem apresenta uma ilustração colorida, na qual temos um
robô do tipo SCARA apresentado em três perspectivas distintas. A perspectiva da
parte superior apresenta a visão isométrica do robô, sendo possível visualizar a
base dele, informada como Elo 0, de cor azul. Alocada à base, temos uma junta
que possibilita o movimento rotativo em torno da base, tendo o mesmo corpo de
um segundo elo, identi�cado como Elo 1. Ao �nal do segundo elo, temos alocado
um terceiro elo, identi�cado comoElo 2, através de uma junta rotativa sobre o
�nal do primeiro elo. O terceiro elo possui um �nal com base cilíndrica, e, no
centro dele, está identi�cada uma junta prismática de movimentação, chamada
de Elo 3. Ao �nal deste elo, no sentido vertical para baixo, temos uma ferramenta
representada por uma área quadrada de cor amarela. Na base do robô, está
representado o sistema tridimensional de referência da base do robô, em cor
amarela, sendo Z o sentido da base em forma axial, e X, o sentido do Elo 1. Sobre
cada junta de movimentação do manipulador, está representada a orientação Z
para a junta, com uma seta de cor laranja, sendo que, na primeira, na segunda e
na quarta juntas, as orientações estão no eixo vertical para cima, e, na terceira
junta, a orientação está para baixo. À direita da imagem, temos a representação
de uma mão, demonstrando a regra da mão direita; a mão está com os dedos
fechados, e apenas o polegar está esticado; o polegar representa o eixo Z, e os
dedos indicam o sentido de rotação.
23/10/2022 18:41 E-book
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=YyY5AGN2jrB%2foPqF%2bC7MCA%3d%3d&l=53dvfNRpEsi%2bYRobnkg%2f7g%3d%3d… 26/55
A partir do referenciamento dos eixos Z de cada frame, é possível de�nir o
sistema de orientação (frame) da base. Denavit-Hartenberg recomenda que
este pode estar em qualquer posição no eixo Z0, sendo que a orientação X0
da origem deve ser perpendicular a Z0, de acordo com a regra da mão direita.
No entanto, seguindo essa especi�cação, existem várias possibilidades para
a orientação em X0; por conta disso, consideramos que a junta é variável.
Alguns autores, na aplicação do algoritmo de Danavit-Hartenberg, de�nem o
sistema de orientação da base ligado ao plano onde o robô está alocado.
Contudo, quando temos uma base �xa, como no exemplo do robô SCARA, é
mais interessante considerar o sistema de orientação da base na primeira
junta. O eixo X0 deve ser escolhido de forma que di seja igual a zero; dessa
forma, convencionamos o eixo X0 paralelo ao Elo 1. Após a de�nição de X0, o
eixo Y0 pode ser de�nido utilizando a regra da mão direita, conforme a Figura
3.7.
23/10/2022 18:41 E-book
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=YyY5AGN2jrB%2foPqF%2bC7MCA%3d%3d&l=53dvfNRpEsi%2bYRobnkg%2f7g%3d%3d… 27/55
Figura 3.7 — Representação do sistema de orientação da base 
Fonte: Elaborada pelo autor.
#PraCegoVer: a imagem apresenta uma ilustração colorida, na qual temos um
robô do tipo SCARA sendo apresentado em três perspectivas distintas. A
perspectiva da parte superior apresenta a visão isométrica do robô, sendo
possível visualizar a base dele, informada como Elo 0, de cor azul. Alocada à
base, temos uma junta que possibilita o movimento rotativo em torno da base, e
esta possui o mesmo corpo de um segundo elo, identi�cado como Elo 1. Ao �nal
do segundo elo, temos alocado um terceiro elo, identi�cado como Elo 2, através
de uma junta rotativa sobre o �nal do primeiro elo. O terceiro elo possui um �nal
com base cilíndrica. No centro do terceiro elo, é identi�cada uma junta prismática
de movimentação, chamada de Elo 3; ao �nal deste elo, no sentido vertical para
baixo, temos uma ferramenta representada por uma área quadrada de cor
amarela. Na base do robô, está representado o sistema tridimensional de
referência da base do robô, em cor amarela, sendo Z o sentido da base em forma
axial, e X, o sentido do Elo 1. Sobre cada junta de movimentação do manipulador,
está representada a orientação Z para a junta, com uma seta de cor laranja,
sendo que, na primeira, na segunda e na quarta juntas, as orientações estão no
eixo vertical para cima, e, na terceira junta, a orientação está para baixo. Temos
representado o sistema de coordenadas da base, na altura da primeira junta de
movimentação rotativa, com o eixo Z0 em laranja, o eixo Y0 em verde, e o eixo X0
em azul-claro. À direita da imagem, temos a representação de uma mão,
23/10/2022 18:41 E-book
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=YyY5AGN2jrB%2foPqF%2bC7MCA%3d%3d&l=53dvfNRpEsi%2bYRobnkg%2f7g%3d%3d… 28/55
demonstrando a regra da mão direita, com ela virada para cima, os dedos
esticados ao máximo e perpendiculares entre si; o polegar representa o eixo X, o
dedo indicador representa o eixo Y, e o dedo médio representa o eixo Z.
Convencionamos as três orientações do frame 0, visto que o sistema é
tridimensional, no entanto somente as orientações X e Z serão utilizadas no
algoritmo de Denavit-Hartenberg.
Após ser de�nido o primeiro (frame 0), podem ser de�nidos os demais frames
para cada articulação. Considerando as restrições do algoritmo de Denavit-
Hartenberg, podemos convencionar os frames 1, 2 e 3, conforme a Figura 3.8.
23/10/2022 18:41 E-book
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=YyY5AGN2jrB%2foPqF%2bC7MCA%3d%3d&l=53dvfNRpEsi%2bYRobnkg%2f7g%3d%3d… 29/55
Figura 3.8 — Representação dos frames em todo o manipulador 
Fonte: Elaborada pelo autor.
#PraCegoVer: a imagem apresenta uma ilustração colorida, na qual temos um
robô do tipo SCARA sendo apresentado em três perspectivas distintas. A
perspectiva da parte superior apresenta a visão isométrica do robô, sendo
possível visualizar a base dele, informada como Elo 0, de cor azul. Alocada à
base, temos uma junta que possibilita o movimento rotativo em torno da base, e
esta possui o mesmo corpo de um segundo elo, identi�cado como Elo 1. Ao �nal
do segundo elo, temos alocado um terceiro elo, identi�cado como Elo 2, através
de uma junta rotativa sobre o �nal do primeiro elo. O terceiro elo possui um �nal
com base cilíndrica. No centro do terceiro elo, é identi�cada uma junta prismática
de movimentação, chamada de Elo 3; ao �nal deste elo, no sentido vertical para
baixo, temos uma ferramenta representada por uma área quadrada de cor
amarela. Na base do robô, está representado o sistema tridimensional de
referência da base do robô, em cor amarela, sendo Z o sentido da base em forma
axial, e X, o sentido do Elo 1. Sobre cada junta de movimentação do manipulador,
está representada a orientação Z para a junta, com uma seta de cor laranja,
sendo que, na primeira, na segunda e na quarta juntas, as orientações estão no
eixo vertical para cima, e, na terceira junta, a orientação está para baixo. Temos
representado o sistema de coordenadas da base, na altura da primeira junta de
movimentação rotativa, com o eixo Z0 em laranja, o eixo Y0 em verde, e o eixo X0
em azul-claro. De acordo com a regra da mão direita, em cada junta, temos a
23/10/2022 18:41 E-book
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=YyY5AGN2jrB%2foPqF%2bC7MCA%3d%3d&l=53dvfNRpEsi%2bYRobnkg%2f7g%3d%3d… 30/55
representação de um sistema de orientação (frame) tridimensional, no qual estão
representados cada eixo Z em laranja, cada eixo Y em verde e cada eixo X em
azul-claro.
Após serem de�nidos todos os sistemas de coordenadas presentes no corpo
do manipulador robótico, pode ser de�nido o sistema de coordenadas do
efetuador. Como o efetuador de um manipulador pode ser caracterizado por
elementos diferentes, como uma garra ou uma ferramenta, segundo o
algoritmo de Denavit-Hartenberg, o sistema de orientação do efetuador deve
ser, obrigatoriamente, o último, sendo este O -x y z . Dessa forma, a posição
da origem do frame do efetuador pode ser escolhida de forma arbitrária; no
entanto, com o intuito de facilitar a modelagem cinemática do manipulador
robótico, é usual utilizar o centro da garra ou da ferramenta, ou um ponto de
ação da ferramenta, como origem do sistema de coordenadas, conforme a
Figura 3.9.
n n n n
23/10/2022 18:41 E-book
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=YyY5AGN2jrB%2foPqF%2bC7MCA%3d%3d&l=53dvfNRpEsi%2bYRobnkg%2f7g%3d%3d… 31/55
Figura 3.9 — Representação do frame do efetuador 
Fonte: Elaborada pelo autor.
#PraCegoVer: a imagem apresenta uma ilustração colorida, na qual temos um
robô do tipo SCARA sendo apresentado em três perspectivas distintas. A
perspectiva da parte superior apresenta a visão isométrica do robô,sendo
possível visualizar a base dele, informada como Elo 0, de cor azul. Alocada à
base, temos uma junta que possibilita o movimento rotativo em torno da base, e
esta possui o mesmo corpo de um segundo elo, identi�cado como Elo 1. Ao �nal
do segundo elo, temos alocado um terceiro elo, identi�cado como Elo 2, através
de uma junta rotativa sobre o �nal do primeiro elo. O terceiro elo possui um �nal
com base cilíndrica. No centro do terceiro elo, é identi�cada uma junta prismática
de movimentação, chamada de Elo 3; ao �nal deste elo, no sentido vertical para
baixo, temos uma ferramenta representada por uma área quadrada de cor
amarela. Na base do robô, está representado o sistema tridimensional de
referência da base do robô, em cor amarela, sendo Z o sentido da base em forma
axial, e X, o sentido do Elo 1. Sobre cada junta de movimentação do manipulador,
está representada a orientação Z para a junta, com uma seta de cor laranja,
sendo que, na primeira, na segunda e na quarta juntas, as orientações estão no
eixo vertical para cima, e, na terceira junta, a orientação está para baixo. Temos
representado o sistema de coordenadas da base, na altura da primeira junta de
movimentação rotativa, com o eixo Z0 em laranja, o eixo Y0 em verde, e o eixo X0
em azul-claro. De acordo com a regra da mão direita, em cada junta, temos a
23/10/2022 18:41 E-book
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=YyY5AGN2jrB%2foPqF%2bC7MCA%3d%3d&l=53dvfNRpEsi%2bYRobnkg%2f7g%3d%3d… 32/55
representação de um sistema de orientação (frame) tridimensional, no qual estão
representados cada eixo Z em laranja, cada eixo Y em verde e cada eixo X em
azul-claro. Abaixo da ferramenta, no sentido vertical, existe o frame do efetuador,
último sistema de orientação, de acordo com a regra da mão direita, com o eixo
Z4 em laranja, o eixo Y4 em verde, e cada eixo X4 em azul-claro.
Após todos os frames serem referenciados, é possível preencher a tabela
com os parâmetros de Denavit-Hartenberg, considerando os passos a seguir.
Para obtermos θi, é necessário rotacionar o eixo x em torno de z
até este �car paralelo a x .
Para obtermos di, é necessário transladar o sistema de coordenadas
(frame) da junta anterior em z até a interseção entre z e x .
Para obtermos ai, é necessário transladar o sistema de coordenadas
(frame) da junta analisada ao longo de x até a interseção entre z e x
.
Para obtermos 𝝰i, é necessário rotacionar o eixo z em torno de x até
este �car paralelo a z .
Se a junta for de rotação, temos di igual a zero, e o 𝝷i variável de
acordo com o ângulo de movimentação. Se a junta for prismática,
temos di variável de acordo com o translado, e 𝝷i igual a zero.
Dessa forma, para o manipulador SCARA analisado, teremos a tabela a
seguir.
i-1 i-1
i
i-1 i-1 i
i i-1 i
i-1 i
i
23/10/2022 18:41 E-book
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=YyY5AGN2jrB%2foPqF%2bC7MCA%3d%3d&l=53dvfNRpEsi%2bYRobnkg%2f7g%3d%3d… 33/55
Por �m, podemos montar as matrizes de transformação homogênea de
Denavit-Hartenberg para cada junta, ou seja, para cada linha da Tabela 3.1,
após a análise do manipulador. Dessa forma, teremos:
23/10/2022 18:41 E-book
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=YyY5AGN2jrB%2foPqF%2bC7MCA%3d%3d&l=53dvfNRpEsi%2bYRobnkg%2f7g%3d%3d… 34/55
Aii− 1 = 
cosθi
sinθi
0
0
 −sinθicosαi
 cosθicosαi
 sinαi
0
 sinθisinαi
 −cosθisinαi
 cosαi
 0
 aicosθi
 aisinθi
 di
 1
A01 =
cosθ1
sinθ1
0
0
 −sinθ1
 cosθ1
0
0
 0
 0
 1
 0
 L1cosθ1
 L1sinθ1
 0
 1
A12 =
cosθ2
sinθ2
0
0
 sinθ2
 −cosθ2
0
0
 0
 0
 −1
 0
 L2cosθ2
 L2sinθ2
 0
 1
A23 =
1
0
0
0
 0
 −1
 0
 0
 0
 0
 1
 0
 0
 0
 C
 1
A34 = 
cosθ3
sinθ3
0
0
 −sinθ3
 cosθ3
0
0
 0
 0
 1
 0
 0
 0
 LF
 1
Após obtermos, individualmente, as transformações homogêneas em relação
à orientação anterior, é possível obter a matriz de transformação homogênea 
A0n , que relaciona a posição e a orientação do efetuador em relação ao
sistema da base, sendo esta para o robô SCARA analisado:
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
23/10/2022 18:41 E-book
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=YyY5AGN2jrB%2foPqF%2bC7MCA%3d%3d&l=53dvfNRpEsi%2bYRobnkg%2f7g%3d%3d… 35/55
A0n = A
0
1A
1
2A
2
3A
3
4
É importante destacar que, na aplicação do caso, foram convencionadas
várias direções x e y, mesmo havendo outras possibilidades, visto que o
algoritmo de Denavit-Hartenberg permite variadas possibilidades para
de�nição dos sistemas de orientação, desde que sejam respeitadas as regras
do algoritmo.
Parâmetros do algoritmo D-H aplicados
ao robô esférico polar
Analisando a estrutura do robô esférico, temos que o robô possui três graus
de liberdade, sendo composto de duas juntas rotativas e uma prismática.
Consideramos que, neste caso, a primeira junta rotativa do robô (i = 1) está
localizada na base do manipulador. Após o referenciamento de cada
23/10/2022 18:41 E-book
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=YyY5AGN2jrB%2foPqF%2bC7MCA%3d%3d&l=53dvfNRpEsi%2bYRobnkg%2f7g%3d%3d… 36/55
articulação existente no manipulador, considerando o algoritmo de Denavit-
Hartenberg, teremos a estrutura cinemática do robô, conforme a Figura 3.10.
23/10/2022 18:41 E-book
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=YyY5AGN2jrB%2foPqF%2bC7MCA%3d%3d&l=53dvfNRpEsi%2bYRobnkg%2f7g%3d%3d… 37/55
Figura 3.10 — Representação do robô esférico polar 
Fonte: Adaptada de nicolasprimola / 123RF.
#PraCegoVer: a imagem apresenta uma ilustração colorida de um robô do tipo
esférico polar, com cor predominantemente bege. A imagem apresenta a visão
isométrica do robô, sendo possível visualizar a base dele. Alocada à base, temos
uma junta que possibilita o movimento rotativo em torno da base, tendo o mesmo
corpo de um segundo elo, de forma perpendicular ao eixo da base. Ao �nal do
segundo elo, temos um terceiro elo, com uma junta prismática de movimentação;
ao �nal deste, temos a posição da �ange, na qual deve estar a ferramenta do
robô. Na base do robô, está representado o sistema tridimensional de referência
da base do robô, em cor amarela, sendo Z o sentido da base em forma axial, e X,
o sentido do eixo. Sobre cada junta de movimentação do manipulador, está
representada a orientação Z para a junta, com uma seta de cor laranja, sendo que,
na primeira, na segunda e na quarta juntas, as orientações estão no eixo vertical
para cima, e, na terceira junta, a orientação está para baixo. Temos representado
o sistema de coordenadas da base, na altura da primeira junta de movimentação
rotativa, com o eixo Z0 em laranja, o eixo Y0 em verde, e o eixo X0 em azul-claro.
De acordo com a regra da mão direita, em cada junta, temos a representação de
23/10/2022 18:41 E-book
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=YyY5AGN2jrB%2foPqF%2bC7MCA%3d%3d&l=53dvfNRpEsi%2bYRobnkg%2f7g%3d%3d… 38/55
um sistema de orientação (frame) tridimensional, no qual estão representados
cada eixo Z em laranja, cada eixo Y em verde e cada eixo X em azul-claro.
Considerando a distância entre o sistema de referência da base e a segunda
junta do robô como L; considerando o curso da junta prismática como D, após
a análise do manipulador esférico polar; e considerando os procedimentos
sistemáticos do algoritmo de Denavit-Hartenberg, temos, por �m, esta tabela.
23/10/2022 18:42 E-book
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=YyY5AGN2jrB%2foPqF%2bC7MCA%3d%3d&l=53dvfNRpEsi%2bYRobnkg%2f7g%3d%3d… 39/55
Por �m, ao analisarmos as diferenças entre o robô SCARA e o robô esférico
polar, quanto à aplicação do algoritmo para obtenção dos parâmetros de
Denavit-Hartenberg, podemos concluir que a existência da junta no sistema
de referência da base do manipulador robótico in�uencia, diretamente, o
ângulo 𝝷. Concluímos também que a diferença entre a orientação dos eixos
rotativos altera, diretamente, o ângulo 𝝰.
Conhecimento
Teste seus Conhecimentos 
(Atividade não pontuada) 
Leiao trecho a seguir.
“Jacques Denavit e Richard Hartenberg introduziram em 1955 uma
convenção para a de�nição das matrizes das juntas de um robô e
segmentos por forma a normalizar os eixos de coordenadas para ligações
espaciais. Esta convenção proporciona uma forma sistemática simpli�cada
para executar a análise da Cinemática Direta”.
MONTEIRO, R. E. V. Desenvolvimento de um controlador dinâmico para
robôs humanoides. 2012. Dissertação (Mestrado em Engenharia
Eletrotécnica e Computadores) — Faculdade de Engenharia, Universidade
do Porto, Porto, 2012. p. 28. Disponível em: https://bit.ly/3u4kXid. Acesso
em: 3 jun. 2022.
A respeito da notação de Denavit-Hartenberg, assinale a alternativa correta.
https://bit.ly/3u4kXid
23/10/2022 18:42 E-book
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=YyY5AGN2jrB%2foPqF%2bC7MCA%3d%3d&l=53dvfNRpEsi%2bYRobnkg%2f7g%3d%3d… 40/55
a) Na de�nição das orientações, o eixo de junta é associado ao eixo x,
e cada matriz é representada pelo produto de duas transformações
básicas envolvendo rotações e translações.
b) Este método conduz a uma representação baseada em
transformações heterogêneas, que exprimem cada referencial em
relação ao referencial anterior.
c) A notação de Denavit-Hartenberg constitui, basicamente, um
procedimento sistemático para alocação de sistemas de coordenadas
ao longo da cadeia de segmentos rígidos, em que os sistemas têm
uma orientação de acordo com a regra da mão direita.
d) Denavit e Hartenberg desenvolveram uma proposta de notação
sistemática para atribuir um sistema de orientação a partir da regra
da mão esquerda, um para cada junta, em uma cadeia cinemática
fechada de juntas.
e) Na aplicação da notação de Denavit-Hartenberg para a obtenção
do ângulo de uma junta θi, é necessário rotacionar o eixo z em
torno de x até este �car paralelo a x .
i-1
i-1 i
Cinemática Inversa
23/10/2022 18:42 E-book
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=YyY5AGN2jrB%2foPqF%2bC7MCA%3d%3d&l=53dvfNRpEsi%2bYRobnkg%2f7g%3d%3d… 41/55
De acordo com Toscano (2011), com a Cinemática Direta, é possível obter o
desenvolvimento direto das expressões do manipulador robótico,
diferentemente do que ocorre na Cinemática Inversa, em que é procurado o
conjunto de valores possíveis das juntas, os quais se adequam a uma dada
con�guração do espaço de operação do manipulador robótico. A Cinemática
Inversa é conceituada como o conjunto de procedimentos para realizar a
determinação das funções inversas das expressões matemáticas obtidas na
Cinemática Direta.
A Cinemática Inversa, em geral, não é um problema com solução analítica, de
forma que não existe uma metodologia única de aplicação direta, como o
algoritmo de Denavit-Hartenberg no caso da Cinemática Direta. Como as
soluções de interesse prático — por exemplo, os principais manipuladores
robóticos utilizados — já foram estudados, a aplicação de equações de�nidas
de Cinemática Inversa é simples, no entanto, em casos especiais, como o
desenvolvimento de novos manipuladores, com cinemática diferenciada, é
necessário o desenvolvimento de novas soluções, conforme Hibbeler (2012).
Segundo Dumba (2017), como a Cinemática Inversa consiste em calcular os
valores das variáveis de junta que produzirão a posição e a orientação
desejadas do órgão terminal, teremos diversas condições possíveis para as
posições das juntas que possibilitem, ao efetuador, estar em uma mesma
posição �nal. Dessa forma, as soluções da Cinemática Inversa são obtidas
por meio da solução de sistemas não lineares. A solução de sistemas não
lineares tem três condições complexas na resolução: as soluções podem não
existir; podem existir múltiplas soluções; e são possíveis métodos de solução
diferenciados a serem aplicados em cada caso.
Assim, um ponto primordial no estudo da Cinemática Inversa para um
manipulador robótico é a de�nição do volume de trabalho do manipulador,
juntamente com a divisão entre os pontos alcançáveis com, pelo menos, uma
orientação do manipulador (reachable) e os pontos alcançáveis em todas as
orientações possíveis (dexterous).
23/10/2022 18:42 E-book
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=YyY5AGN2jrB%2foPqF%2bC7MCA%3d%3d&l=53dvfNRpEsi%2bYRobnkg%2f7g%3d%3d… 42/55
A quantidade de soluções possíveis para cada manipulador no estudo da
Cinemática Inversa tem relação direta com alguns parâmetros do
manipulador. De acordo com o número de juntas, dos parâmetros de
movimentação dos elos e dos limites de movimento das juntas, teremos
diferentes tipos de soluções para o estudo do manipulador.
Como não existem algoritmos gerais que resolvam sistemas de equações
não lineares, temos um manipulador solucionável quando as variáveis de
23/10/2022 18:42 E-book
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=YyY5AGN2jrB%2foPqF%2bC7MCA%3d%3d&l=53dvfNRpEsi%2bYRobnkg%2f7g%3d%3d… 43/55
junta são determinadas por um algoritmo que calcula todos os conjuntos de
variáveis associadas a uma posição e a uma orientação, podendo ser
resolvidos por soluções numéricas ou analíticas. As soluções numéricas, em
geral, são métodos mais genéricos, computacionalmente custosos e
interativos, com resultados aproximados. Já as soluções analíticas são
aplicáveis a problemas mais simples, aos quais é possível aplicar a inversão
das equações de Cinemática Direta e obter um resultado matemático exato.
É importante destacar que métodos mais utilizados, matematicamente, para
solucionar casos de Cinemática Inversa estão relacionados a métodos
numéricos, aos quais são aplicados métodos de minimização da Cinemática
Direta. Assim, mesmo não existindo métodos diretos de resolução da
Cinemática Inversa, podemos realizar a adequação a partir da Cinemática
Direta, o que representa a importância do modelo direto em todo o processo
de controle do manipulador robótico.
Cinemática Diferencial
Conforme Toscano (2011), na Cinemática Inversa e na Direta, são abordadas
as relações entre coordenadas no espaço operacional e no espaço das juntas
de um manipulador robótico. No entanto as relações não trazem dados sobre
as características do movimento entre duas con�gurações diferentes, ou seja,
quais são as relações entre as movimentações temporais das coordenadas
nos dois espaços. Analisando esse ponto, por exemplo, a extremidade do
manipulador deve descrever uma certa trajetória (incremento) no espaço a
quatro coordenadas, durante um dado intervalo de tempo, como são
de�nidos os valores dos deslocamentos e dos incrementos no tempo. O
estudo dos incrementos ou das diferenças na posição é designado como
Cinemática Diferencial. Essa relação entre os deslocamentos in�nitesimais
no espaço operacional e as juntas é dada pelo jacobiano do manipulador.
23/10/2022 18:42 E-book
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=YyY5AGN2jrB%2foPqF%2bC7MCA%3d%3d&l=53dvfNRpEsi%2bYRobnkg%2f7g%3d%3d… 44/55
A partir da Cinemática Diferencial, ocorre o estabelecimento de duas
de�nições importantes: caminho e trajetória. Caminho é o conjunto de pontos
no espaço, seja este operacional ou das juntas, o qual deve ser percorrido em
uma sequência predeterminada. A trajetória de�ne como o caminho será
desenvolvido, considerando as restrições temporais; dessa forma, são
de�nidos intervalos de tempo para o deslocamento entre dois elos
sucessivos, conforme Craig (2012).
praticar
Resumo da cinemática dos manipuladores
robóticos
Cinemática
direta
A partir das posições das articulações,
encontra a posição e a orientação da
ferramenta no espaço cartesiano da base.
Ferramenta: algoritmo de Denavit-
Hartenberg.
Fonte: ryzhov / 123RF.
23/10/2022 18:42 E-book
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=YyY5AGN2jrB%2foPqF%2bC7MCA%3d%3d&l=53dvfNRpEsi%2bYRobnkg%2f7g%3d%3d… 45/55
praticar
Vamos Praticar
No desenvolvimento de atividades Pick and Place para peças pequenas, os
robôs planares são muito aplicados, geralmente, em conjunto com esteiras
seletoras e sensoriamento por sistemas de visão, visto que são robôs de
controle mais simplese de menor custo em relação aos robôs delta,
também muito utilizados nas mesmas aplicações.
O manipulador robótico planar mostrado a seguir possui dois elos, sendo
que o comprimento do elo 1 é de 250 mm, e o comprimento do elo 2 é de
200 mm.
Figura — Matriz de transformação homogênea 
Fonte: Elaborada pelo autor.
#PraCegoVer: a imagem mostra uma ilustração colorida, que representa
uma matriz de transformação homogênea 4x4, ou seja, com quatro
colunas e quatro linhas. A matriz está dividida em quatro partes, por
linhas tracejadas de cor vermelha.
23/10/2022 18:42 E-book
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=YyY5AGN2jrB%2foPqF%2bC7MCA%3d%3d&l=53dvfNRpEsi%2bYRobnkg%2f7g%3d%3d… 46/55
Considerando que o manipulador robótico planar possui elos totalmente
esticados na condição inicial, o movimento rotativo de 60º do primeiro elo
no sentido anti-horário, e o movimento rotativo de 80º do segundo elo no
sentido anti-horário, calcule a posição �nal (x, y) do efetuador, utilizando o
algoritmo de Denavit-Hartenberg.
23/10/2022 18:42 E-book
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=YyY5AGN2jrB%2foPqF%2bC7MCA%3d%3d&l=53dvfNRpEsi%2bYRobnkg%2f7g%3d%3d… 47/55
Material
Complementar
L I V R O
Robótica industrial: fundamentos,
tecnologias, programação e simulação
Autor: Winderson Eugênio dos Santos
Editora: Érica
Capítulo: 4 — Cinemática dos robôs
Ano: 2015
ISBN: 978-8536512044
Comentário: o livro apresenta a robótica de forma clara e
objetiva e comenta, em especial, a nomenclatura técnica
referente a robôs industriais. Ele apresenta os sistemas de
servoacionamento mais utilizados para manipuladores
robóticos e faz a análise a partir de modelos matemáticos
e da programação de robôs, demonstrando o
equacionamento cinemático de um manipulador robótico.
23/10/2022 18:42 E-book
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=YyY5AGN2jrB%2foPqF%2bC7MCA%3d%3d&l=53dvfNRpEsi%2bYRobnkg%2f7g%3d%3d… 48/55
W E B
Como funciona um robô de verdade
Ano: 2019
Comentário: neste vídeo do canal Manual do Mundo, é
desenvolvida uma perspectiva analítica sobre os robôs
industriais, funcionalidades e formas de utilização deles.
No vídeo, podemos veri�car os principais elementos que
compõem um robô industrial e as células robóticas e
relacionar as diversas aplicações de sistemas produtivos
que, atualmente, utilizam robôs industriais, na busca por
realizar qualquer atividade.
Para conhecer mais sobre o assunto, acesse ao vídeo
disponível em:
ACESSAR
https://www.youtube.com/watch?v=UsaLpDb3HHA&t=19s
23/10/2022 18:42 E-book
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=YyY5AGN2jrB%2foPqF%2bC7MCA%3d%3d&l=53dvfNRpEsi%2bYRobnkg%2f7g%3d%3d… 49/55
Conclusão
Caro(a) estudante, neste estudo, você pôde ver a importância da Cinemática de
robôs, principalmente, para aplicações em robôs industriais. A partir do estudo da
Cinemática, é possível determinar as capacidades de movimentação de um
manipulador robótico e o volume de trabalho dele.
Veri�camos a importância do estudo da Cinemática Direta, para a obtenção do
valor �nal de posição de um manipulador robótico, a partir das posições
individuais das juntas, e como o algoritmo de Denavit-Hartenberg pode nos auxiliar
e facilitar o processo de modelagem da Cinemática Direta de um manipulador.
Atualmente, a maior parte dos manipuladores robóticos já tem equações de
transferência para sistemas de orientação de�nidas. No entanto é importante
compreender o processo de dedução da Cinemática de um robô, pois o
desenvolvimento de pesquisas e de manipuladores no meio industrial e comercial
está em constante expansão.
Veri�camos a importância da Cinemática Inversa no estudo dos movimentos das
juntas robóticas e as possibilidades que o estudo da Cinemática Diferencial
proporciona na de�nição dos modelos de trajetórias dos manipuladores robóticos.
Por �m, cabe destacar que os estudos relacionados à Cinemática dos robôs, ainda
que muito avançados atualmente, podem ser elaborados no desenvolvimento de
novos manipuladores. Usualmente, na programação de robôs industriais, a
Cinemática é pouco utilizada, diretamente, no entanto ela possibilita, ao
programador e ao operador de um robô, compreender melhor as características de
funcionamento do sistema, de modo a evitar erros que gerem travamentos nas
juntas do manipulador robótico.
Até a próxima!
23/10/2022 18:42 E-book
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=YyY5AGN2jrB%2foPqF%2bC7MCA%3d%3d&l=53dvfNRpEsi%2bYRobnkg%2f7g%3d%3d… 50/55
Referên
cias
ABREU, P. Robótica
industrial: aplicações
industriais de robôs. 2002.
Dissertação (Mestrado em
Automação, Instrumentação
e Controlo) — Faculdade de
Engenharia, Universidade do
Porto, Porto, 2002.
Disponível em:
http://paginas.fe.up.pt/~aml
/maic_�les/aplicacoes.pdf.
Acesso em: 2 jun. 2022.
ALCIATORE, D. G.; HISTAND, M. B. Introdução à Mecatrônica e aos sistemas de
medições. 4. ed. Porto Alegre: AMGH, 2014. (Disponível na Minha Biblioteca).
ANTUNES, J. P. M. D. Programação de robôs industriais em operações de
maquinagem. 2015. Dissertação (Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica) —
Faculdade de Engenharia, Universidade do Porto, Porto, 2015. Disponível em:
https://repositorio-aberto.up.pt/bitstream/10216/80838/2/36839.pdf. Acesso em:
2 jun. 2022.
http://paginas.fe.up.pt/~aml/maic_files/aplicacoes.pdf
https://repositorio-aberto.up.pt/bitstream/10216/80838/2/36839.pdf
23/10/2022 18:42 E-book
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=YyY5AGN2jrB%2foPqF%2bC7MCA%3d%3d&l=53dvfNRpEsi%2bYRobnkg%2f7g%3d%3d… 51/55
COMO funciona um robô de verdade. [S. l.: s. n.], 2019. 1 vídeo (16 min.). Publicado
pelo canal Manual do Mundo. Disponível em: https://www.youtube.com/watch?
v=UsaLpDb3HHA&t=19s. Acesso em: 3 jun. 2022.
CRAIG, J. J. Robótica. São Paulo: Pearson, 2012. (Disponível na Biblioteca Virtual).
DUMBA, R. Braço robótico. In: DUMBA, R. Robótica industrial. São Paulo: Uniban
Automação, 2017. p. 1-24.
HARTENBERG, R. S., DENAVIT, J. Kinematic synthesis of linkages. Nova Iorque:
McGraw-Hill; 1964.
HIBBELER. R. C. Engineering Mechanics: dynamics. 13. ed. Nova Iorque: Prentice
Hall, 2012.
MONTEIRO, R. E. V. Desenvolvimento de um controlador dinâmico para robôs
humanoides. 2012. Dissertação (Mestrado em Engenharia Eletrotécnica e
Computadores) — Faculdade de Engenharia, Universidade do Porto, Porto, 2012.
Disponível em: https://repositorio-
aberto.up.pt/bitstream/10216/65539/1/000154194.pdf. Acesso em: 3 jun. 2022.
SANTOS, W. E. dos. Robótica industrial: fundamentos, tecnologias, programação e
simulação. São Paulo: Érica, 2015. (Disponível na Biblioteca Virtual).
SOUZA, A. C. de. Geração automática de trajetórias em robôs colaborativos. 2021.
Trabalho de Conclusão de Curso (Graduação em Engenharia de Controle e
Automação e Computação) — Departamento de Engenharia de Controle e
Automação e Computação, Universidade Federal de Santa Catarina, Blumenau,
2021. Disponível em: https://repositorio.ufsc.br/handle/123456789/228559.
Acesso em 3 jun. 2022.
TOSCANO, G. Análise cinemática e geração de trajetórias estáveis para um robô
bípede antropomór�co. 2011. Dissertação (Mestrado em Engenharia de
Automação e Sistemas) — Universidade Federal de Santa Catarina, Florianópolis,
2011. Disponível em: https://repositorio.ufsc.br/handle/123456789/95693. Acesso
em: 3 jun. 2022.
https://www.youtube.com/watch?v=UsaLpDb3HHA&t=19s
https://repositorio-aberto.up.pt/bitstream/10216/65539/1/000154194.pdf
https://repositorio.ufsc.br/handle/123456789/228559
https://repositorio.ufsc.br/handle/123456789/95693
23/10/2022 18:42 E-book
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=YyY5AGN2jrB%2foPqF%2bC7MCA%3d%3d&l=53dvfNRpEsi%2bYRobnkg%2f7g%3d%3d… 52/55
WEIHMANN, L. Modelagem e otimização de forças e torques aplicados por robôs
com redundância cinemática e de atuação em contato com o meio. 2011. Tese
(Doutorado em Engenharia Mecânica) — Universidade Federal de Santa Catarina,
Florianópolis, 2011. Disponível em:
https://repositorio.ufsc.br/xmlui/bitstream/handle/123456789/94754/295944.pdf?sequence=1&isAllowed=y. Acesso em: 2 jun. 2022.
https://repositorio.ufsc.br/xmlui/bitstream/handle/123456789/94754/295944.pdf?sequence=1&isAllowed=y
23/10/2022 18:42 E-book
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=YyY5AGN2jrB%2foPqF%2bC7MCA%3d%3d&l=53dvfNRpEsi%2bYRobnkg%2f7g%3d%3d… 53/55
23/10/2022 18:42 E-book
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=YyY5AGN2jrB%2foPqF%2bC7MCA%3d%3d&l=53dvfNRpEsi%2bYRobnkg%2f7g%3d%3d… 54/55
23/10/2022 18:42 E-book
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=YyY5AGN2jrB%2foPqF%2bC7MCA%3d%3d&l=53dvfNRpEsi%2bYRobnkg%2f7g%3d%3d… 55/55