Método dos mínimos quadrados

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AJUSTE DE CURVAS 
MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS
PROFA. DRA. ROSANA M. L. KRIPKA
CÁLCULO NUMÉRICO
UNIVERSIDADE DE PASSO FUNDO/ RS/BR
1
AJUSTE DE CURVAS
 Uma forma de se trabalhar com uma função definida por tabela de valores é a interpolação 
polinomial (RUGGIERO E LOPES, 1988).
 No entanto, a interpolação não é aconselhável quando:
o Se quer extrapolar, calculando um valor aproximado da função para algum valor fora do 
intervalo do tabelamento.
o Quando os valores podem ter sido obtidos por experimentos físicos ou por pesquisas, os 
quais podem conter erros inerentes, não previsíveis no processo.
 Nesses casos: usa-se o ajuste de curvas de modo a obter funções que permitam boas 
aproximações para os valores tabelados, bem como permitam realizar extrapolações com 
certa margem de segurança.
2
TIPOS DE PROBLEMAS – CASO DISCRETO
 O problema de ajuste de curvas consiste em, conhecida uma tabela de pontos 
𝑥1, 𝑓 𝑥1 , 𝑥2, 𝑓 𝑥2 , … , 𝑥𝑚, 𝑓 𝑥𝑚 , com 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑚 pertencentes a um intervalo 𝑎, 𝑏 ,
e escolhidas 𝑛 funções 𝑔1 𝑥 , 𝑔2 𝑥 ,… , 𝑔𝑛 𝑥 , contínuas em 𝑎, 𝑏 , calcular 𝑛 constantes 
𝛼1, 𝛼2, … , 𝛼𝑛 tais que a função:
𝜑 𝑥 = 𝛼1𝑔1 𝑥 + 𝛼2𝑔2 𝑥 + …+ 𝛼𝑛 𝑔𝑛 𝑥 se aproxime ao máximo de 𝑓 𝑥 .
 Nesse caso, considera-se este modelo matemático linear, pois os coeficientes a serem 
determinados aparecem como variáveis de equações lineares, embora as funções 
𝑔1 𝑥 ,… , 𝑔𝑛 𝑥 possam ser funções não lineares, tais como: 𝑔1 𝑥 = 𝑒
𝑥 ou 𝑔2= 1 + 𝑥
2 .
 Para escolher as funções que melhor se aproximam dos pontos conhecidos o primeiro passo é 
representar esses pontos no plano cartesiano, para se observar a dispersão dos pontos, 
para poder visualizar qual curva melhor se ajusta aos dados.
3
EXEMPLO
 Sejam os valores tabelados de uma função:
𝑥 -1,0 -0,75 -0,6 -0,5 -0,3 0,0 0,2 0,4 0,5 0,7 1,0
𝑓 𝑥 2,05 1,153 0,45 0,4 0,5 0,0 0,2 0,6 0,512 1,2 2,05
Ao representar os pontos no 
plano cartesiano percebe-se, 
pela dispersão de dados, que a 
função pode ser aproximada por 
uma parábola passando pela 
origem, ou seja: 
𝑔1 𝑥 = 𝑥
2 e, busca-se 
determinar: 𝜑 𝑥 = 𝛼𝑥2, que é 
uma equação geral de uma 
parábola que passa pela origem.
4
TIPOS DE PROBLEMAS – CASO CONTÍNUO
 Nesse caso, o problema de ajuste de curvas consiste em, conhecida uma função 
𝑓 𝑥 , contínua no intervalo 𝑎, 𝑏 , e escolhidas 𝑛 funções 𝑔1 𝑥 , 𝑔2 𝑥 ,… , 𝑔𝑛 𝑥 , contínuas 
em 𝑎, 𝑏 , calcular 𝑛 constantes 𝛼1, 𝛼2, … , 𝛼𝑛 tais que a função:
𝜑 𝑥 = 𝛼1𝑔1 𝑥 + 𝛼2𝑔2 𝑥 + …+ 𝛼𝑛 𝑔𝑛 𝑥
se aproxime ao máximo de 𝑓 𝑥 no intervalo 𝑎, 𝑏 .
 Uma ideia é escolher 𝜑 𝑥 de modo que o módulo da área sob a curva (𝜑 𝑥 − 𝑓 𝑥 ) seja 
mínima.
 Para garantir a proximidade desejada, tanto no caso discreto, como no caso contínuo, usa-se 
o Método dos Quadrados Mínimos (ou Método dos Mínimos Quadrados). 
 Nessa disciplina abordaremos apenas o caso discreto.
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MÉTODO DOS QUADRADOS MÍNIMOS – CASO DISCRETO
 Sejam os pontos conhecidos 𝑥1, 𝑓 𝑥1 , 𝑥2, 𝑓 𝑥2 , … , 𝑥𝑚 , 𝑓 𝑥𝑚 e as funções 𝑛
𝑔1 𝑥 , 𝑔2 𝑥 ,… , 𝑔𝑛 𝑥 , escolhidas pela observação da dispersão dos pontos.
 Considerando que o número 𝑚 de pontos tabelados seja maior ou igual ao número de funções escolhidas 
ou ao número de coeficientes 𝛼1, 𝛼2, … , 𝛼𝑛 que se deseja determinar, o objetivo do método consiste em 
encontrar os coeficientes 𝛼1, 𝛼2, … , 𝛼𝑛 tais que a função:
𝜑 𝑥 = 𝛼1𝑔1 𝑥 + 𝛼2𝑔2 𝑥 + …+ 𝛼𝑛 𝑔𝑛 𝑥 se aproxime ao máximo de 𝑓 𝑥 .
 Seja o desvio em 𝑥𝑘 dado por: 𝑑𝑘 = 𝑓 𝑥𝑘 − 𝜑 𝑥𝑘 .
 Um conceito de proximidade consiste em considerar que 𝑑𝑘 seja mínimo para 𝑘 = 1,… ,𝑚.
 O método dos quadrados mínimos consiste em calcular os coeficientes 𝛼1, 𝛼2, … , 𝛼𝑛 de tal modo que a 
soma dos quadrados dos desvios seja mínima. Desse modo, objetiva-se que a soma a seguir seja mínima:
෍
𝑘=1
𝑚
𝑑𝑘
2 = ෍
𝑘=1
𝑚
𝑓 𝑥𝑘 − 𝜑 𝑥𝑘
2
6
7
E se fosse necessário prever quantos 
gramas do composto Beta estariam 
presentes em um litro do produto 
XXX, caso fossem usados 30 gramas 
de alfa por litro? 
(KOLMAN, HILL, 1988, P. 368-370)
Objetivo: Calcular 𝑎0 𝑒 𝑎1 tais 
que minimizem os quadrados 
dos desvios:
෍
𝑖=1
𝑚
𝑑𝑖
2
8
Essa aproximação pode ser realizada por meio do MÉTODO DOS QUADRADOS MÍNIMOS, 
obtendo a equação da reta: 
ො𝑦 = 𝑎0 ∙ 1 + 𝑎1 ∙ 𝑥
que minimiza a soma dos desvios quadrados entre os valores 𝑦𝑖 conhecidos e os valores 
previstos ෞ𝑦𝑖 pela reta dos mínimos quadrados, ou seja: 𝑑𝑖
2 = 𝑦𝑖 − ෞ𝑦𝑖
2
9
𝑝1 𝑥 = 𝑎0 ∙ 1 + 𝑎1 ∙ 𝑥
ො𝑦 = 2,967 + 0,583𝑥
Após o ajuste dos pontos, é possível responder a pergunta: quantos gramas do composto Beta 
estariam presentes em um litro do produto XXX, caso fossem usados 30 gramas de alfa por litro? 
Para 𝑥 = 30 gramas de Alfa, a quantidade estimada do composto Beta seria de:
ො𝑦 = 𝑝1 30 = 2,967 + 0,583(30)= 20,457 gramas
MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS
MÉTODO DOS QUADRADOS MÍNIMOS – CASO DISCRETO
 Chamando:
𝐹 𝛼1, 𝛼2, … , 𝛼𝑛 = ෍
𝑘=1
𝑚
𝑓 𝑥𝑘 − 𝜑 𝑥𝑘
2
ou
𝐹 𝛼1, 𝛼2, … , 𝛼𝑛 = ෍
𝑘=1
𝑚
𝑓 𝑥𝑘 − 𝛼1𝑔1 𝑥𝑘 − 𝛼2𝑔2 𝑥𝑘 − …− 𝛼𝑛 𝑔𝑛 𝑥𝑘
2
Assim, conforme o critério dos quadrados mínimos, os coeficientes 𝛼𝑘 que aproximam ao 
máximo 𝜑 𝑥 de 𝑓 𝑥 são aqueles que minimizam a função 𝐹 𝛼1, 𝛼2, … , 𝛼𝑛 .
Observação: Se ocorrer o ajuste exato dos pontos pelo modelo, o mínimo da função acima será 
zero e nesse caso, verifica-se que a interpolação polinomial é um caso particular do método dos 
mínimos quadrados.
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 Do cálculo diferencial, se sabe que para se obter o valor mínimo da função 𝐹 𝛼1, 𝛼2, … , 𝛼𝑛 é 
necessário encontrar seu ponto crítico.
 O ponto crítico da função 𝐹 𝛼1, 𝛼2, … , 𝛼𝑛 é calculado fazendo o gradiente da função igual a zero, ou 
seja:
∇𝐹 𝛼1, 𝛼2, … , 𝛼𝑛 = 0 ⟹
𝜕𝐹
𝜕𝛼1
,
𝜕𝐹
𝜕𝛼2
, … ,
𝜕𝐹
𝜕𝛼𝑛
= 0,0, … , 0 ⟹
𝜕𝐹
𝜕𝛼𝑖
= 0, 𝑖 = 1,… , 𝑛
Como:
𝐹 𝛼1, 𝛼2, … , 𝛼𝑛 = ෍
𝑘=1
𝑚
𝑓 𝑥𝑘 − 𝛼1𝑔1 𝑥𝑘 − 𝛼2𝑔2 𝑥𝑘 − …− 𝛼𝑛 𝑔𝑛 𝑥𝑘
2
 Calculando a derivada parcial de 𝐹 com relação à variável 𝛼𝑖 , tem-se:
2෍
𝑘=1
𝑚
𝑓 𝑥𝑘 − 𝛼1𝑔1 𝑥𝑘 − 𝛼2𝑔2 𝑥𝑘 − …− 𝛼𝑛 𝑔𝑛 𝑥𝑘 −𝑔𝑖 𝑥𝑘 = 0
que pode ser reescrita como:
෍
𝑘=1
𝑚
𝑓 𝑥𝑘 − 𝛼1𝑔1 𝑥𝑘 − 𝛼2𝑔2 𝑥𝑘 − …− 𝛼𝑛 𝑔𝑛 𝑥𝑘 𝑔𝑖 𝑥𝑘 = 0 11
 Desenvolvendo essa equação para 𝑖 = 1, … , 𝑛 e ordenando de tal forma que as variáveis 𝛼𝑖 fiquem em evidência, 
temos:
෍
𝑘=1
𝑚
𝑔1 𝑥𝑘 𝑔1 𝑥𝑘 𝛼1 + ෍
𝑘=1
𝑚
𝑔2 𝑥𝑘 𝑔1 𝑥𝑘 𝛼2 +⋯+ ෍
𝑘=1
𝑚
𝑔𝑛 𝑥𝑘 𝑔1 𝑥𝑘 𝛼𝑛 = ෍
𝑘=1
𝑚
𝑓 𝑥𝑘 𝑔1 𝑥𝑘
෍
𝑘=1
𝑚
𝑔1 𝑥𝑘 𝑔2 𝑥𝑘 𝛼1 + ෍
𝑘=1
𝑚
𝑔2 𝑥𝑘 𝑔2 𝑥𝑘 𝛼2 +⋯+ ෍
𝑘=1
𝑚
𝑔𝑛 𝑥𝑘 𝑔2 𝑥𝑘 𝛼𝑛 = ෍
𝑘=1
𝑚
𝑓 𝑥𝑘 𝑔2 𝑥𝑘
…
෍
𝑘=1
𝑚
𝑔1 𝑥𝑘 𝑔𝑛 𝑥𝑘 𝛼1 + ෍
𝑘=1
𝑚
𝑔2 𝑥𝑘 𝑔𝑛 𝑥𝑘 𝛼2 +⋯+ ෍
𝑘=1
𝑚
𝑔𝑛 𝑥𝑘 𝑔𝑛 𝑥𝑘 𝛼𝑛 = ෍
𝑘=1
𝑚
𝑓 𝑥𝑘 𝑔𝑛 𝑥𝑘
12
 Que corresponde a um sistema linear de equações com 𝑛 equações e 𝑛 incógnitas, no qual as equações 
são chamadas de equações normais, o qual pode ser escrito na forma matricial: 
𝑎11𝛼1 + 𝑎12𝛼2 +⋯+ 𝑎1𝑛𝛼𝑛 = 𝑏1
𝑎21𝛼1 + 𝑎22𝛼2 +⋯+ 𝑎2𝑛𝛼𝑛 = 𝑏2
⋮
𝑎𝑛1𝛼1 + 𝑎𝑛2𝛼2 +⋯+ 𝑎𝑛𝑛𝛼𝑛 = 𝑏𝑛
ou seja: 
𝑎11 𝑎12 ⋯ 𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22 ⋯ 𝑎2𝑛
⋮ ⋮ ⋱ ⋮
𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 ⋯ 𝑎𝑛𝑛
𝛼1
𝛼2
⋮
𝛼𝑛
=
𝑏1
𝑏2
⋮
𝑏𝑛
onde: 
𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 , com 𝑎𝑖𝑗 = ෍
𝑘=1
𝑚
𝑔𝑗 𝑥𝑘 𝑔𝑖 𝑥𝑘 = 𝑎𝑗𝑖 , 𝑖 = 1, … , 𝑛; 𝑗 = 1,… , 𝑛
𝐵 = 𝑏1 𝑏2 … 𝑏𝑛
𝑇, com 𝑏𝑖 = ෍
𝑘=1
𝑚
𝑓 𝑥𝑘 𝑔𝑖 𝑥𝑘 , 𝑖 = 1, … , 𝑛
Observações:
1) A matriz 𝐴 é simétrica.
2) Demonstra-se que se as funções escolhidas 𝑔1 𝑥 , 𝑔2 𝑥 , … , 𝑔𝑛 𝑥 forem linearmente independentes, o
determinante da matriz será diferente de zero e sistema linear gerado terá solução única: 𝛼1, 𝛼2, … , 𝛼𝑛.
3) Também se demostra que a solução 𝛼1, 𝛼2, … , 𝛼𝑛 é aquela no qual a função 𝐹 𝛼1, 𝛼2, … , 𝛼𝑛 atinge seu valor
mínimo.
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EXEMPLO 1 (AULA)
 Sejam os valores tabelados de uma função:𝑥 -1,0 -0,75 -0,6 -0,5 -0,3 0,0 0,2 0,4 0,5 0,7 1,0
𝑓 𝑥 2,05 1,153 0,45 0,4 0,5 0,0 0,2 0,6 0,512 1,2 2,05
Ao representar os pontos no plano cartesiano percebe-se, pela 
dispersão de dados, que a função pode ser aproximada por 
uma parábola passando pela origem, ou seja: 𝑔1 𝑥 = 𝑥
2 e, 
busca-se determinar: 𝜑 𝑥 = 𝛼𝑥2, que é uma equação geral de 
uma parábola que passa pela origem.
Como 𝑛 = 1, a matriz será de ordem 1, ou seja, 𝐴1𝛼1 = 𝐵1.
Assim, basta resolver a equação: 
𝑎11𝛼1 = 𝑏1
14
 Como existem, 11 pontos tabelados, 𝑚 = 11, e como: 𝑔1 𝑥 = 𝑥
2 calculando: 
𝑎11 = ෍
𝑘=1
𝑚=11
𝑔1 𝑥𝑘 𝑔1 𝑥𝑘 = ෍
𝑘=1
𝑚=11
𝑔1 𝑥𝑘
2 = ෍
𝑘=1
𝑚=11
𝑥𝑘
2 2 = ෍
𝑘=1
𝑚=11
𝑥𝑘
4 = 2,8464
𝑏1 = ෍
𝑘=1
𝑚=11
𝑓 𝑥𝑘 𝑔1 𝑥𝑘 = ෍
𝑘=1
𝑚=11
𝑓 𝑥𝑘 𝑥𝑘
2 = 5,8756
Substituindo em:
𝑎11𝛼1 = 𝑏1
2,8464 𝛼1 = 5,8756
𝛼1 = 2,0642
▪ Desse modo, a parábola 𝜑 𝑥 = 2,0642𝑥2 é a que 
mais se aproxima da função tabelada, segundo o 
critério dos mínimos quadrados. 
15
(Usar arredondamento no valor 
final em 4 casas após a virgula)
EXEMPLO 2 (AULA)
Observações de um fenômeno físico geraram os seis pontos tabelados:
Determine a expressão do polinômio de grau 3 que ajuste os pontos tabelados, pelo método dos 
mínimos quadrados. Usar arredondamento em 4 casas após a vírgula.
Nesse caso, a expressão do polinômio é: 𝑝3 𝑥 = 𝑎0 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥
2 + 𝑎3𝑥
3 ≈ 𝑓 𝑥
Como:
𝜑 𝑥 = 𝛼1𝑔1 𝑥 + 𝛼2𝑔2 𝑥 + 𝛼3 𝑔3 𝑥 + 𝛼4 𝑔4 𝑥
𝑝3 𝑥 = 𝑎0 ∙ 1 + 𝑎1 ∙ 𝑥 + 𝑎2∙ 𝑥
2 + 𝑎3 ∙ 𝑥
3≈ 𝑓 𝑥
então: 𝑔1 𝑥 = 1; 𝑔2 𝑥 = 𝑥; 𝑔3 𝑥 = 𝑥
2 e 𝑔4 𝑥 = 𝑥
3
e 𝛼1 = 𝑎0; 𝛼2 = 𝑎1; 𝛼3 = 𝑎2 e 𝛼4 = 𝑎3
𝑥 1 2 3 4 5 6
𝑓 𝑥 3,14 1,76 4,08 7,32 6,84 8,41
16
Quatro funções 
para o ajuste.
▪ Como serão consideradas para o ajuste 4 funções, a matriz 𝐴4 será de ordem 4: 
𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑎14
𝑎21 𝑎22 𝑎23 𝑎24
𝑎31 𝑎32 𝑎33 𝑎34
𝑎41 𝑎42 𝑎43 𝑎44
𝛼1
𝛼2
𝛼3
𝛼4
=
𝑏1
𝑏2
𝑏3
𝑏4
com:
𝑎𝑖𝑗 = ෍
𝑘=1
𝑚
𝑔𝑗 𝑥𝑘 𝑔𝑖 𝑥𝑘 = 𝑎𝑗𝑖 , 𝑖 = 1, … , 𝑛; 𝑗 = 1, … , 𝑛
e
𝑏𝑖 = ෍
𝑘=1
𝑚
𝑓 𝑥𝑘 𝑔𝑖 𝑥𝑘 = 𝑎𝑗𝑖 , 𝑖 = 1,… , 𝑛
17
𝑎11 = ෍
𝑘=1
6
𝑔1 𝑥𝑘 𝑔1 𝑥𝑘 = ෍
𝑘=1
6
12 = ෍
𝑘=1
6
12 = 6
𝑎12 = ෍
𝑘=1
6
𝑔2 𝑥𝑘 𝑔1 𝑥𝑘 = ෍
𝑘=1
6
𝑥𝑘 ∙ 1 = ෍
𝑘=1
6
𝑥𝑘 =? ? ?= 𝑎21
𝑎13 = ෍
𝑘=1
6
𝑔3 𝑥𝑘 𝑔1 𝑥𝑘 = ෍
𝑘=1
6
𝑥𝑘
2 ∙ 1 = ෍
𝑘=1
6
𝑥𝑘
2 =? ? ?= 𝑎31
𝑎14 = ෍
𝑘=1
6
𝑔4 𝑥𝑘 𝑔1 𝑥𝑘 = ෍
𝑘=1
6
𝑥𝑘
3 ∙ 1 = ෍
𝑘=1
6
𝑥𝑘
3 =? ? ?= 𝑎41
𝑎22 = ෍
𝑘=1
6
𝑔2 𝑥𝑘 𝑔2 𝑥𝑘 = ෍
𝑘=1
6
𝑥𝑘 ∙ 𝑥𝑘 = ෍
𝑘=1
6
𝑥𝑘
2 =? ? ?
𝑎23 = ෍
𝑘=1
6
𝑔3 𝑥𝑘 𝑔2 𝑥𝑘 = ෍
𝑘=1
6
𝑥𝑘
2 ∙ 𝑥𝑘 = ෍
𝑘=1
6
𝑥𝑘
3 =? ? ?= 𝑎32
𝑎24 = ෍
𝑘=1
6
𝑔4 𝑥𝑘 𝑔2 𝑥𝑘 = ෍
𝑘=1
6
𝑥𝑘
3 ∙ 𝑥𝑘 = ෍
𝑘=1
6
𝑥𝑘
4 =? ? ?= 𝑎24
𝑎33 = ෍
𝑘=1
6
𝑔3 𝑥𝑘 𝑔3 𝑥𝑘 = ෍
𝑘=1
6
𝑥𝑘
2 ∙ 𝑥𝑘
2 = ෍
𝑘=1
6
𝑥𝑘
4 =? ? ?
𝑎34 = ෍
𝑘=1
6
𝑔4 𝑥𝑘 𝑔3 𝑥𝑘 = ෍
𝑘=1
6
𝑥𝑘
3 ∙ 𝑥𝑘
2 = ෍
𝑘=1
6
𝑥𝑘
5 =? ? ?= 𝑎43
𝑎44 = ෍
𝑘=1
6
𝑔4 𝑥𝑘 𝑔4 𝑥𝑘 = ෍
𝑘=1
6
𝑥𝑘
3 ∙ 𝑥𝑘
3 = ෍
𝑘=1
6
𝑥𝑘
6 =? ? ?
𝑏1 = ෍
𝑘=1
6
𝑓 𝑥𝑘 𝑔1 𝑥𝑘 = ෍
𝑘=1
6
𝑓 𝑥𝑘 ∙ 1 =? ? ?
𝑏2 = ෍
𝑘=1
6
𝑓 𝑥𝑘 𝑔2 𝑥𝑘 = ෍
𝑘=1
6
𝑓 𝑥𝑘 ∙ 𝑥𝑘 =? ? ?
𝑏3 = ෍
𝑘=1
6
𝑓 𝑥𝑘 𝑔3 𝑥𝑘 = ෍
𝑘=1
6
𝑓 𝑥𝑘 ∙ 𝑥𝑘
2 =? ? ?
𝑏4 = ෍
𝑘=1
6
𝑓 𝑥𝑘 𝑔4 𝑥𝑘 = ෍
𝑘=1
6
𝑓 𝑥𝑘 ∙ 𝑥𝑘
3 =? ? ?
Como existem seis pontos, 𝑚 = 6 e considerando: 
18
𝑔1 𝑥 = 1; 𝑔2 𝑥 = 𝑥; 𝑔3 𝑥 = 𝑥
2 e 𝑔4 𝑥 = 𝑥
3
TABELA (PODE SER CONSTRUÍDA COM AUXILIO DO EXCEL)
somas
x 1 2 3 4 5 6 21
f(x) 3,14 1,76 4,08 7,32 6,84 8,41 31,55
x^2 1 4 9 16 25 36 91
x^3 1 8 27 64 125 216 441
x^4 1 16 81 256 625 1296 2275
x^5 1 32 243 1024 3125 7776 12201
x^6 1 64 729 4096 15625 46656 67171
x.f(x) 3,14 3,52 12,24 29,28 34,2 50,46 132,84
x^2.f(x) 3,14 7,04 36,72 117,12 171 302,76 637,78
x^3.f(x) 3,14 14,08 110,16 468,48 855 1816,56 3267,42
19
𝑎11 = ෍
𝑘=1
6
𝑔1 𝑥𝑘 𝑔1 𝑥𝑘 = ෍
𝑘=1
6
12 = ෍
𝑘=1
6
12 = 6
𝑎12 = ෍
𝑘=1
6
𝑔2 𝑥𝑘 𝑔1 𝑥𝑘 = ෍
𝑘=1
6
𝑥𝑘 ∙ 1 = ෍
𝑘=1
6
𝑥𝑘 = 21 = 𝑎21
𝑎13 = ෍
𝑘=1
6
𝑔3 𝑥𝑘 𝑔1 𝑥𝑘 = ෍
𝑘=1
6
𝑥𝑘
2 ∙ 1 = ෍
𝑘=1
6
𝑥𝑘
2 = 91 = 𝑎31
𝑎14 = ෍
𝑘=1
6
𝑔4 𝑥𝑘 𝑔1 𝑥𝑘 = ෍
𝑘=1
6
𝑥𝑘
3 ∙ 1 = ෍
𝑘=1
6
𝑥𝑘
3 = 441 = 𝑎41
𝑎22 = ෍
𝑘=1
6
𝑔2 𝑥𝑘 𝑔2 𝑥𝑘 = ෍
𝑘=1
6
𝑥𝑘 ∙ 𝑥𝑘 = ෍
𝑘=1
6
𝑥𝑘
2 = 91
𝑎23 = ෍
𝑘=1
6
𝑔3 𝑥𝑘 𝑔2 𝑥𝑘 = ෍
𝑘=1
6
𝑥𝑘
2 ∙ 𝑥𝑘 = ෍
𝑘=1
6
𝑥𝑘
3 = 441 = 𝑎32
𝑎24 = ෍
𝑘=1
6
𝑔4 𝑥𝑘 𝑔2 𝑥𝑘 = ෍
𝑘=1
6
𝑥𝑘
3 ∙ 𝑥𝑘 = ෍
𝑘=1
6
𝑥𝑘
4 = 2275 = 𝑎24
𝑎33 = ෍
𝑘=1
6
𝑔3 𝑥𝑘 𝑔3 𝑥𝑘 = ෍
𝑘=1
6
𝑥𝑘
2 ∙ 𝑥𝑘
2 = ෍
𝑘=1
6
𝑥𝑘
4 = 2275
𝑎34 = ෍
𝑘=1
6
𝑔4 𝑥𝑘 𝑔3 𝑥𝑘 = ෍
𝑘=1
6
𝑥𝑘
3 ∙ 𝑥𝑘
2 = ෍
𝑘=1
6
𝑥𝑘
5 = 12201 = 𝑎43
𝑎44 = ෍
𝑘=1
6
𝑔4 𝑥𝑘 𝑔4 𝑥𝑘 = ෍
𝑘=1
6
𝑥𝑘
3 ∙ 𝑥𝑘
3 = ෍
𝑘=1
6
𝑥𝑘
6 = 67171
𝑏1 = ෍
𝑘=1
6
𝑓 𝑥𝑘 𝑔1 𝑥𝑘 = ෍
𝑘=1
6
𝑓 𝑥𝑘 ∙ 1 = 31,55
𝑏2 = ෍
𝑘=1
6
𝑓 𝑥𝑘 𝑔2 𝑥𝑘 = ෍
𝑘=1
6
𝑓 𝑥𝑘 ∙ 𝑥𝑘 = 132,84
𝑏3 = ෍
𝑘=1
6
𝑓 𝑥𝑘 𝑔3 𝑥𝑘 = ෍
𝑘=1
6
𝑓 𝑥𝑘 ∙ 𝑥𝑘
2 = 637,78
𝑏4 = ෍
𝑘=1
6
𝑓 𝑥𝑘 𝑔4 𝑥𝑘 = ෍
𝑘=1
6
𝑓 𝑥𝑘 ∙ 𝑥𝑘
3 = 3267,42
Como existem seis pontos, 𝑚 = 6 e considerando: 
20
𝑔1 𝑥 = 1; 𝑔2 𝑥 = 𝑥; 𝑔3 𝑥 = 𝑥
2 e 𝑔4 𝑥 = 𝑥
3
Assim:
6 21 91 441
21 91 441 2275
91 441 2275 12201
441 2275 12201 67171
𝛼1
𝛼2
𝛼3
𝛼4
=
31,55
132,84
637,78
3267,42
e resolvendo por Gauss-Jordan no SciLab:
6 21 91 441
21 91 441 2275
91 441 2275 12201
441 2275 12201 67171
31,55
132,84
637,78
3267,42
≈
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
6,54
−5,6701984
2,2188095
−0,2052778
Obtém-se que:
𝑝3 𝑥 = 𝑎0 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥
2 + 𝑎3𝑥
3 ≈ 𝑓 𝑥
𝑝3 𝑥 = 6,54 − 5,6702𝑥 + 2,2188𝑥
2 − 0,2053𝑥3 ≈ 𝑓 𝑥
21
Usando o 
arredondamento 
em 4 casas após a 
vírgula.
NO EXCEL
Para fazer a representação gráfica dos pontos no Excel e da curva 
obtida pelo ajuste faça:
 Selecione os pontos 𝑥, 𝑓 𝑥
 Clique em inserir e na opção “Gráficos Recomendados” escolha 
a opção “Inserir Gráfico de dispersão (X,Y) ou de bolha” e 
escolha a primeira opção da dispersão.
 Clicando com o botão da direita sobre algum ponto do gráfico, 
selecione “Adicionar Linha de tendência.”
 Escolher polinomial e grau 3.
 Descer com o botão da direita e selecionar “Exibir equação no 
gráfico”.
y = -0,2053x3 + 2,2188x2 - 5,6702x + 6,54
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0 1 2 3 4 5 6 7
(EXCEL 2019)
22
ERRO QUADRÁTICO
 Para saber qual ajuste é mais adequado ao conjunto de pontos conhecidos, uma maneira é calcular o 
erro quadrático da aproximação.
 É uma medida da qualidade da aproximação, dado pela fórmula:
𝐸𝑄 𝑓 𝑥 , 𝜑 𝑥 = ෍
𝑘=1
𝑚
𝑑𝑘
2 = ෍
𝑘=1
𝑚
𝑓 𝑥𝑘 − 𝜑 𝑥𝑘
2
▪ Nesse caso, deseja-se obter o menor o erro quadrático da aproximação.
Observação: Também existe uma medida chamada 𝑅2 que é usada em planilhas eletrônicas, que se trata 
de uma medida normalizada que varia entre 0 e 1, sendo que quanto mais próximo de um for o resultado 
de 𝑅2, melhor é o ajuste dos pontos. Na disciplina usaremos para comparações apenas os valores do 
erro quadrático da aproximação.
23
ERRO QUADRÁTICO
24
𝑥 1 2 3 4 5 6
𝑓 𝑥 3,14 1,76 4,08 7,32 6,84 8,41
𝜑 𝑥𝑘 2,8833 2,4324 3,9555 6,2208 7,9965 8,0508
𝑓 𝑥𝑘 − 𝜑 𝑥𝑘
2 0,0659 0,4521 0,0155 1,2082 1,3375 0,1290
𝐸𝑄 𝑓 𝑥 , 𝜑 𝑥 = ෍
𝑘=1
𝑚
𝑑𝑘
2 = ෍
𝑘=1
𝑚
𝑓 𝑥𝑘 − 𝜑 𝑥𝑘
2 𝜑 𝑥 = 𝑝3 𝑥 = 6,54 − 5,6702𝑥 + 2,2188𝑥
2 − 0,2053𝑥3
𝐸𝑄 𝑓 𝑥 , 𝜑 𝑥 = ෍
𝑘=1
𝑚
𝑓 𝑥𝑘 − 𝜑 𝑥𝑘
2 = 3,2082 = 1,7911
EXEMPLO
▪ No Exemplo 2, no qual foi realizado o ajuste dos pontos tabelados foi realizado pelo polinômio de 
grau 3:
𝑝3 𝑥 = 6,54 − 5,6702𝑥 + 2,2188𝑥
2 − 0,2053𝑥3 ≈ 𝑓 𝑥
o erro quadrático foi: 𝐸𝑄 𝑓 𝑥 , 𝜑 𝑥 = 1,7911.
 Caso fosse realizado o ajuste por um polinômio de grau 2, a expressão do polinômio seria 
𝑝2 𝑥 = 1,367 + 0,8371𝑥 + 0,0634𝑥
2 ≈ 𝑓 𝑥
o erro quadrático seria: 𝐸𝑄 𝑓 𝑥 , 𝜑 𝑥 = 2,437
Conclusão:A análise dos erros quadráticos permite perceber que nesse exemplo, o ajuste pelo polinômio 
de grau 3 foi mais adequado que o polinômio de grau 2. 25
EXERCÍCIOS (AULA)
 Ajustar os dados tabelados por uma reta, pelo uso método dos mínimos quadrados:
Faça a representação gráfica da dispersão dos pontos e da reta, obtida pelo ajuste dos mínimos 
quadrados no GeoGebra ou Excel. Calcule também o erro quadrático. 
Considere arredondamento em 4 casas após a virgula.
Resposta: 𝑝1 𝑥 = 2,0097 + 0,5224𝑥 ≈ 𝑓 𝑥 e 𝐸𝑄 𝑓 𝑥 , 𝜑 𝑥 = 1,9179
𝑥 1,3 3,4 5,1 6,8 8,0
𝑓 𝑥 2 5,2 3,8 6,1 5,8
26
EXERCÍCIOS (AULA)
 Ajustar os dados tabelados por meio de um polinômio de 2º grau, pelo uso método dos 
mínimos quadrados:
Faça também a representação gráfica da dispersão dos pontos e da reta, obtida pelo ajuste dos 
mínimos quadrados no GeoGebra. Calcule também o erro quadrático. 
Considere arredondamento em 4 casas após a virgula.
Respostas: 𝑝2 𝑥 = −2,0177 + 11,3315𝑥 − 1,2222𝑥
2 ≈ 𝑓 𝑥 e 𝐸𝑄 𝑓 𝑥 , 𝑝2 𝑥 = 2,3775
𝑥 -2 -1,5 0 1 2,2 3,1
𝑓 𝑥 -30,5 -20,2 -3,3 8,9 16,8 21,4
27
MÉTODO DOS QUADRADOS MÍNIMOS – CASO NÃO LINEAR
 Em alguns casos, conforme o diagrama de dispersão, podem aparecer funções não lineares 
no conjunto de funções escolhidas para se realizar o ajuste.
 Nesse caso, para se aplicar o método dos mínimos quadrados é necessário que seja realizado 
uma linearização do problema, por meio de transformações matemáticas convenientes.
Exemplo: Ajuste por funções exponenciais
 Considere que o ajuste deva ser realizado por meio da fórmula: 𝜑 𝑥 = 𝛼1𝑒
𝛼2𝑥
ou seja, o ajuste dos pontos tabelados indica que: 𝑓 𝑥 ≈ 𝛼1𝑒
𝛼2𝑥
28
MMQ - AJUSTE POR FUNÇÕES EXPONENCIAIS
Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados da equação 𝑓 𝑥 ≈ 𝛼1𝑒
𝛼2𝑥 obtém-se:
ln 𝑓 𝑥 ≈ ln 𝛼1𝑒
𝛼2𝑥
ln 𝑓 𝑥 ≈ ln 𝛼1 + ln 𝑒
𝛼2𝑥
ln 𝑓 𝑥 ≈ ln 𝛼1 + 𝛼2𝑥
Chamando: 𝑧 = ln 𝑓 𝑥 ≈ ln 𝛼1 + 𝛼2𝑥 = 𝜙 𝑥
e definindo: 𝛽1 = ln 𝛼1 e 𝛽2 = 𝛼2
A nova curva do ajuste fica: 𝜙 𝑥 = 𝛽1 ∙ 1 + 𝛽2 ∙ 𝑥
na qual: 𝜙 𝑥 = 𝛽1 ∙ 𝑔1 𝑥 + 𝛽2 ∙ 𝑔2 𝑥
com: 𝑔1 𝑥 = 1 e 𝑔2 𝑥 = 𝑥 (duas funções para o ajuste) 29
MMQ - AJUSTE POR FUNÇÕES EXPONENCIAIS
Destaca-se que nesse caso, 𝜙 𝑥 estabelece relações lineares entre as incógnitas 𝛽𝑖 e as 
funções 𝑔𝑖 𝑥 , e desse modo, o método dos mínimos quadrados pode ser aplicado.
E ainda, como:
𝑧 𝑥 = ln 𝑓 𝑥 ≈ 𝜙 𝑥 = 𝛽1 + 𝛽2𝑥
para serem calculados os parâmetros 𝛽𝑖 é preciso trabalhar com o problema transformado:
Problema original: 𝑥𝑖 , 𝑓 𝑥𝑖 e Problema Transformado: 𝑥𝑖 , 𝑧𝑖 = ln 𝑓 𝑥𝑖
30
EXEMPLO (AULA)
 Considere a tabela a seguir, obtida de algum experimento em laboratório (GOMES, 1999, p. 101-102):
Deseja-se obter o ajuste pelo método dos mínimos quadrados, no qual: 𝜑 𝑥 = 𝛼1𝑒
𝛼2𝑥
Como:
𝑓 𝑥 ≈ 𝛼1𝑒
𝛼2𝑥
𝑧 = ln 𝑓 𝑥 ≈ ln 𝛼1 + 𝛼2𝑥 = 𝜙 𝑥
ou seja: 
𝑧 = ln 𝑓 𝑥 ≈ 𝛽1 + 𝛽2𝑥
e, nesse caso: 𝛽1 = ln 𝛼1 , 𝛽2 = 𝛼2, 𝑔1 𝑥 = 1 e 𝑔2 𝑥 = 𝑥.
𝑥 -1 -0,7 -0,4 -0.1 0.2 0.5 0.8 1.0
𝑓 𝑥 36.547 17.264 8.155 3,852 1.82 0.86 0.406 0.246
31
Como existem 8 pontos (𝑚 = 8) e duas funções para o ajuste, a matriz 𝐴 será de ordem 2: 
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
𝛽1
𝛽2
=
𝑏1
𝑏2
𝑥 -1 -0,7 -0,4 -0.1 0.2 0.5 0.8 1.0
𝑓 𝑥 36.547 17.264 8.155 3,852 1.82 0.86 0.406 0.246
𝑧 𝑥 = ln(𝑓 𝑥 ) 3.5985991 2.8486234 2.0986312 1.3485925 0.5988365 -0.1508229 -0.9014021 -1.4024237
𝑎11 = ෍
𝑘=1
8
𝑔1 𝑥𝑘 𝑔1 𝑥𝑘 = ෍
𝑘=1
8
1 = 8
𝑎12 = ෍
𝑘=1
8
𝑔2 𝑥𝑘 𝑔1 𝑥𝑘 = ෍
𝑘=1
8
𝑥𝑘 ∙ 1 = ෍
𝑘=1
8
𝑥𝑘 = 0,3 = 𝑎21
𝑎22 = ෍
𝑘=1
8
𝑔2 𝑥𝑘 𝑔2 𝑥𝑘 = ෍
𝑘=1
8
𝑥𝑘 ∙ 𝑥𝑘 = ෍
𝑘=1
8
𝑥𝑘
2 = 3,59
Assim:
8 0,3
0,3 3,59
𝛽1
𝛽2
=
8,0386340
-8,6461368
32
O problema transformado fica:
𝑏1 = ෍
𝑘=1
8
𝑧 𝑥𝑘 𝑔1 𝑥𝑘 = ෍
𝑘=1
8
𝑧 𝑥𝑘 ∙ 1 = 8,0386340
𝑏2 = ෍
𝑘=1
8
𝑧 𝑥𝑘 𝑔2 𝑥𝑘 = ෍
𝑘=1
8
𝑧 𝑥𝑘 ∙ 𝑥𝑘 = -8,6461368
somas
𝑥 -1 -0,7 -0,4 -0.1 0.2 0.5 0.8 1.0 0,3
𝑧 𝑥 3.5985991 2.8486234 2.0986312 1.3485925 0.5988365 -0.1508229 -0.9014021 -1.4024237 8,0386340
𝑥2 1,0000000 0,4900000 0,1600000 0,0100000 0,0400000 0,2500000 0,6400000 1,0000000 3,5900000
𝑧 𝑥 ∙ 𝑥 -3,5985991 -1,9940364 -0,8394525 -0,1348592 0,1197673 -0,0754114 -0,7211217 -1,4024237 -8,6461368
Assim: 𝑧 = ln 𝑓 𝑥 ≈ 𝛽1 + 𝛽2𝑥
𝑧 = ln 𝑓 𝑥 ≈ 1,0985867 − 2,5001986𝑥
Mas, inicialmente definiu-se que: 
𝛽1 = ln 𝛼1 e 𝛽2 = 𝛼2 e, desse modo:
𝛼1 = 𝑒
(1,0985867) = 2,99992323
𝛼2 = −2,5001986
Como: 𝑓 𝑥 ≈ 𝛼1𝑒
𝛼2𝑥
𝑓 𝑥 ≈ 2,99992323𝑒(−2,5001986𝑥)
Figura: Representação gráfica dos pontos tabelados e da função obtida 
pelo ajuste de curva exponencial pelo método dos mínimos quadrados 
Fonte: Autora (EXCEL, 2020) 33
8 0,3
0,3 3,59
8,0386340
−8,6461368
≈
1 0
0 1
1,0985867
−2,5001986
Como:
8 0,3
0,3 3,59
𝛽1
𝛽2
=
8,0386340
−8,6461368
resolvendo por Gauss-Jordan no SciLab:
𝛽1 = 1,0985867
𝛽2 = −2,5001986
0,0000000
5,0000000
10,0000000
15,0000000
20,0000000
25,0000000
30,0000000
35,0000000
40,0000000
0
5
10
15
20
25
30
35
40
-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5
f ajuste f(x)
MMQ - AJUSTE DOS PRINCIPAIS CASOS NÃO LINEARES
 Ajuste por uma hipérbole:
 Ajuste por uma curva exponencial:
Problema Original
𝑓 𝑥 ≈
1
𝛼1 + 𝛼2𝑥
= 𝜑 𝑥
ProblemaTransformado
𝑧 ≈
1
𝑓 𝑥
= 𝛼1 + 𝛼2𝑥
Problema Original 𝑓 𝑥 ≈ 𝛼1𝛼2
𝑥 = 𝜑 𝑥
ProblemaTransformado
(se 𝑓 𝑥 > 0)
𝑧 = ln 𝑓 𝑥 ≈ ln 𝛼1
𝑎0
+ ln 𝛼2
𝑎1
𝑥 = 𝑎1 + 𝑎1𝑥
34
MMQ - AJUSTE DOS PRINCIPAIS CASOS NÃO LINEARES
 Ajuste por uma curva geométrica:
 Ajuste por uma curva trigonométrica:
Problema Original 𝑓 𝑥 ≈ 𝛼1𝑥
𝛼2 = 𝜑 𝑥
ProblemaTransformado
(se 𝑥 > 0 e 𝑓 𝑥 > 0)
𝑧 = ln 𝑓 𝑥 ≈ ln 𝛼1
𝑎0
+ด𝛼2
𝑎1
ln 𝑥 = 𝑎1 + 𝑎2 ln 𝑥
𝑡
𝑧 = ln 𝑓 𝑥 ≈ 𝑎1 + 𝑎2𝑡 = 𝜙(𝑡)
Problema Original 𝑓 𝑥 ≈ 𝛼1 + 𝛼2 cos(𝑤𝑥) = 𝜑 𝑥
ProblemaTransformado 𝑡 = cos(𝑤𝑥) ⟹ 𝑓 𝑥 ≈ 𝜑 𝑡 = 𝑎1 + 𝑎2𝑡
35
Observação: aqui minimiza-se as somas dos quadrados dos desvios nos logaritmos de 𝑦 para os logaritmos de 𝑥.
MÉTODO DOS QUADRADOS MÍNIMOS – CASO NÃO LINEAR
Nesse caso, após a linearização da função 𝑓 𝑥 , por meio de uma transformação conveniente, o método 
dos mínimos quadrados pode ser aplicado.
Assim, destaca-se que:
 O ajuste pelo método dos mínimos quadrados está sendo realizado para a função linearizada 
𝑧 𝑥 ≈ 𝜙 𝑥 e não para 𝑓 𝑥 ≈ 𝜑 𝑥 .
 Os parâmetros do problema original assim obtidos não são ótimos dentro dos critérios dos 
mínimos quadrados, pois o ajuste está sendo realizado para o problema transformado (linearizado).
 Desse modo, os erros quadráticos devem ser calculados por: 
36
𝐸𝑄 𝑧 𝑥 , 𝜙 𝑥 = ෍
𝑘=1
𝑚
𝑑𝑘
2 = ෍
𝑘=1
𝑚
𝑧 𝑥 − 𝜙 𝑥 2
TESTE DE ALINHAMENTO
Uma forma de se verificar se a escolha da função não linear em 𝛼1, 𝛼2, . . . . . , 𝛼𝑛 foi razoável é 
aplicar o teste de alinhamento, o qual consiste em:
 Fazer a linearização da função não-linear escolhida.
 Fazer o diagrama de dispersão dos novos dados.
 Se os pontos do diagrama de dispersão estiverem alinhados, isto significará que a função não 
linear utilizada foi uma boa escolha.
Observação: Normalmente tem-se erros de observação. Considera-se satisfatório que, no 
diagrama de dispersão, os pontos se distribuem aleatoriamente em torno de uma reta média.
37
EXEMPLO (AULA)
 No exemplo anterior, no qual o problema inicial envolvia os pontos tabelados:
 Após a linearização, obteve-se o ajuste para o problema transformado:
38
𝑥 -1 -0,7 -0,4 -0.1 0.2 0.5 0.8 1.0
𝑓 𝑥 36.547 17.264 8.155 3,852 1.82 0.86 0.406 0.246
𝑥 -1 -0,7 -0,4 -0.1 0.2 0.5 0.8 1.0
𝑧 𝑥 = ln(𝑓 𝑥 ) 3.5986 2.8486 2.0986 1.3486 0.5988 -0.1508 -0.9014 -1.4024
EXEMPLO (AULA)
 Representando, no diagrama de dispersão os novos dados, conforme apresentado na Figura, 
pode-se observar que a função foi uma boa escolha, pois os pontos estão alinhados.
39
-2,0-1,0
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
-1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5
Figura: Representação gráfica dos pontos após a linearização da função 
Fonte: Autora (EXCEL, 2020)
EXERCÍCIOS (AULA)
1) Dada a tabela abaixo, faça o gráfico de dispersão e faça o ajuste pelo método dos mínimos 
quadrados à curva 𝜑 𝑥 = 𝑎1 + 𝑎2 ln 𝑥 :
Usar arredondamento em quatro casas após a vírgula.
Resposta: 𝜑 𝑥 = 0,9893 + 5,4742 ln 𝑥
𝑥 0,5 0,75 1 1,5 2 2,5 3,0
𝑓 𝑥 -2,8 -0,6 1 3,2 4,8 6,0 7,0
40
RECOMENDAÇÃO: FAZER EXERCÍCIOS DA LISTA 9
EXERCÍCIOS (AULA) 
1I) Ajuste os pontos: 
a) Usando a aproximação 𝑦 ≈
1
𝑎0+ 𝑎1𝑥
. Faça o gráfico da 
1
𝑦
e verifique se essa aproximação é viável.
b) Usando a aproximação 𝑦 ≈ 𝑎𝑏𝑥. Faça o gráfico da função linearizada e verifique se a aproximação é viável.
c) Compare os resultados obtidos em 𝑎 e 𝑏, por meio do erro quadrático.
Observação: Usar arredondamento em quatro casas após a vírgula em todas as alternativas.
Respostas: a) 𝜑 𝑥 =
1
𝑎0+ 𝑎1𝑥
, onde: 𝑎0 = 0,1958 e 𝑎1 = 0,0186. Como o gráfico do problema linearizado 
se aproxima de uma reta, pelo teste do alinhamento a escolha realizada foi razoável.
b) 𝜑 𝑥 = 𝑎𝑏𝑥, onde: 𝑎 = 5,5201 e 𝑏 = 0,8597. Como o gráfico do problema linearizado se aproxima 
de uma reta, pelo teste do alinhamento a escolha realizada foi razoável.
c) Como o erro quadrático de (a) foi 0,0361 e o erro quadrático de (b) foi 0,6951, o ajuste de (a) seria a 
melhor opção.
41
𝑥 -8 -6 -4 -2 0 2 4
𝑦 30 10 9 6 5 4 4