Matemática Financeira

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MATEMÁTICA FINANCEIRA
Dulce Helena Teixeira e Silva
2MATEMÁTICA FINANCEIRA
SUMÁRIO
CENTRO UNIVERSITÁRIO UNIFTEC
Rua Gustavo Ramos Sehbe n.º 107. 
Caxias do Sul/ RS 
REITOR
Claudino José Meneguzzi Júnior
PRÓ-REITORA ACADÊMICA
Débora Frizzo
PRÓ-REITOR ADMINISTRATIVO
Altair Ruzzarin
DIRETORA DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA (EAD)
Lígia Futterleib
Desenvolvido pela equipe de Criações para o 
ensino a distância (CREAD)
Coordenadora e Designer Instrucional 
Sabrina Maciel
Diagramação, Ilustração e Alteração de Imagem
Igor Zattera, Leonardo Ribeiro 
Revisora
Luana Reis
INTRODUÇÃO À MATEMÁTICA FINANCEIRA 5
Juro 6
Taxa de Juros 7
Critérios de Capitalização dos Juros 9
Juro Simples 9
Montante e Capital 12
O VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO 16
Fatores que influenciam na 
desvalorização da Moeda 17
Juros Compostos 19
Equivalência Financeira 21
Taxa Proporcional e Taxa Equivalente 22
Valor Futuro 26
Valor Presente 31
TÍTULOS DE CRÉDITO E 
OPERAÇÕES DE DESCONTO 35
Operações de Desconto 38
Desconto Comercial 39
Desconto Bancário 42
Desconto de Títulos e Taxa de Juros 45
Desconto de uma série de títulos – prazo médio 46
Taxa de Juros Efetiva (Regime Juros Compostos) 48
FLUXOS DE CAIXA 54
Modelo Padrão 55
Fluxos de Caixa Não Convencionais 57
Fluxo de Caixa e o Valor do Dinheiro no Tempo 58
SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO 
DE EMPRÉSTIMOS E FINANCIAMENTOS 64
Definições Básicas 65
Sistema de Amortização Constante - SAC 66
Sistema de Amortização Francês – Price ou SAF 67
3MATEMÁTICA FINANCEIRA
Apresentação
Queridos alunos, sejam muito bem-vindos 
à disciplina de Matemática Financeira!
E por que é importante estudarmos Matemática Financeira? 
Porque ela faz parte de nosso dia a dia! 
Você é estudante e muito provavelmente já esteja no mercado 
de trabalho. Utiliza seu salário para honrar seus compromissos, 
faz suas economias, planeja seu futuro... Tudo isso envolve os 
conceitos da matemática financeira. 
Como decidir qual o melhor investimento para minhas 
economias? Como saber se a melhor opção é contrair uma 
dívida ou guardar o recurso para adquirir um bem à vista? 
Como posso garantir meu futuro financeiro? Qual a melhor 
maneira de planejar meus gastos?
4MATEMÁTICA FINANCEIRA
Nessa disciplina, aprenderemos conceitos ligados a taxas 
de juros, ao valor do dinheiro no tempo, tipos de operações 
comumente realizadas no mercado financeiro e tantos outros 
conceitos que até usamos no nosso dia a dia, mas que, muitas 
vezes nem percebemos que estamos utilizando a matemática 
financeira. 
Espera-se, que ao final dessa disciplina, o aluno seja capaz de: 
• Interpretar e analisar conhecimentos matemáticos aplicados 
à área de finanças;
• Resolver situações problemas que envolvam raciocínio lógico 
matemático financeiro;
• Conhecer e compreender o valor do dinheiro no tempo;
• Sistematizar informações e interpretar resultados financeiros;
Nessa apostila você tem a sua disposição conteúdos, exem-
plos de exercícios resolvidos, com desenvolvimento dos cálculos, 
exercícios e algumas dicas que tem como objetivo facilitar seu 
processo ensino-aprendizagem. 
Além disso, temos nossas videoaulas, que você pode assistir 
tantas vezes quantas forem necessárias, participar de nossas 
tutorias e consultar os materiais complementares disponíveis, 
que foram preparados no intuito de auxiliá-lo no processo 
ensino-aprendizagem. 
Não esqueça também que você tem um canal aberto comigo 
através do e-mail e pelo fórum de dúvidas da disciplina. Utilize 
esses canais como nossa sala de aula virtual, questione, envie suas 
dúvidas, mande quantas mensagens forem necessárias. Meu papel 
é acompanhar vocês nessa caminhada e coloco-me à disposição. 
 Vamos escrever juntos uma história de sucesso nessa dis-
ciplina? Conte inteiramente comigo, assim como eu conto com 
o comprometimento de cada um de vocês! Não esqueça, cada 
um é responsável por sua aprendizagem!
5MATEMÁTICA FINANCEIRA
INTRODUÇÃO À 
MATEMÁTICA 
FINANCEIRA
E então, vamos dar início a nossa história?
Nesse primeiro capítulo vamos trabalhar conceitos básicos 
da matemática financeira, começando por juro, taxa de juros e 
os critérios de capitalização, simples e composto.
6MATEMÁTICA FINANCEIRA
Veremos também como calcular montante e capital, o que 
é muito importante para quem deseja economizar para compra 
de um bem no futuro, ou uma viagem, enfim, o conceito de 
“poupar”, não no sentido de caderneta de poupança, mas no 
sentido de fazer uma reserva financeira, o que está intimamente 
ligado à realização de sonhos.
E quem não tem sonhos? Isso é que o nos move. Então, 
vamos entrar nesse mundo cheio de cifrões, percentuais, prazos 
e tabelas e descobrir que ele não tem nada de complicado e é 
sim, encantador?
Juro
A matemática financeira trata em essência, do estudo do 
valor do dinheiro ao longo do tempo. O seu objetivo básico 
é o de efetuar análises e comparações dos vários f luxos de 
entrada e saída de dinheiro do caixa verificados em diferentes 
momentos.
Receber uma quantia hoje ou no futuro não são, evidente-
mente, a mesma coisa. Em princípio, uma unidade monetária 
hoje é preferível à mesma unidade monetária disponível amanhã. 
Postergar uma entrada de caixa (recebimento) por certo tempo 
envolve um sacrifício, o qual deve ser pago mediante uma re-
compensa, definida pelos juros. Dessa forma, são os juros que 
efetivamente induzem o adiamento do consumo, permitindo a 
formação de poupanças e de novos investimentos na economia. 
As taxas de juros devem ser eficientes de maneira a remunerar:
1. O risco envolvido na operação (empréstimo ou aplicação), re-
presentado genericamente pela incerteza com relação ao futuro;
2. A perda do poder de compra do capital motivada pela inflação.
Inflação é um fenômeno que corrói o capital, 
determinando um volume cada vez menor de 
compra com o mesmo montante. 
Veremos este assunto mais detalhadamente no decorrer da disciplina.
7MATEMÁTICA FINANCEIRA
3. O capital emprestado/aplicado - Os juros devem gerar um lucro 
(ou ganho) ao proprietário do capital como forma de compensar 
sua privação por determinado período de tempo. Este ganho é 
estabelecido basicamente em função das diversas outras oportu-
nidades de investimentos e definido por custo de oportunidade.
“Assim, Robinson Crusoé não paga dinheiro a ninguém, mas 
percebe que o custo de colher morangos pode ser considerado 
como sendo a quantidade de framboesas que ele poderia ter 
colhido ao mesmo tempo e com o mesmo esforço, ou como sendo 
do lazer sacrificado em troca dos morangos. Esse sacrifício de 
fazer outra coisa qualquer é chamado de “custo de oportunidade”.
Samuelson (1979,500). 
A citação acima explica o significado de custo de oportunida-
de de uma forma bem lúdica. É um conceito que vem da ciência 
econômica e não vamos nos ater nele, pois não será objeto de 
estudo em nossa disciplina. A explicação do conceito visa apenas 
ilustrar a explicação a ideia do quê a taxa de juros deve remunerar.
Taxa de Juros
A taxa de juros é o coeficiente que determina o valor do 
juro, isto é, a remuneração do fator capital utilizado durante 
certo período de tempo. As taxas de juros se referem sem-
pre a uma unidade de tempo (mês, semestre, ano, etc.) e po-
dem ser representadas equivalentemente de duas maneiras: 
taxa percentual e taxa unitária.
8MATEMÁTICA FINANCEIRA
A taxa percentual refere-se aos “centos” do capital, ou seja, 
o valor dos juros para cada centésima parte do capital.
Exemplo: um capital de $1.000,00 aplicado a 20% ao ano 
rende de juro, ao final deste período:
Juro = $ 1.000,00100 x 20 = $ 200,00
O capital de $ 1.000,00 tem dez centos. Como cada um 
deles rende 20, a remuneração total da aplicação no período 
é, portanto, de $ 200,00.
A taxa unitária centra-se na unidade de capital. Reflete 
o rendimento de cada unidade de capital em certo período de 
tempo.
Exemplo (acima), a taxa percentual de 20% ao ano indica 
um rendimento de 0,20 (20%/100) por unidade de capital 
aplicada, ou seja:Juro = $ 1.000,00 x 20
100
Juro = $ 1.000,00 x 0,20 = 200,00
A transformação da taxa percentual em unitária se processa 
simplesmente pela divisão da notação em percentual por 100. Para 
a transformação inversa, basta multiplicar a taxa unitária por 100.
Exemplos:
Taxa Percentual Taxa Unitária
1.5% 0,015
8% 0,08
17% 0,17
86% 0,86
120% 1,20
1.500% 15,00
Nas fórmulas de matemática financeira todos os cálculos são 
efetuados utilizando-se a taxa unitária de juros. 
Os enunciados e as respostas dos exercícios a serem resolvidos 
nesta disciplina serão indicados pela taxa percentual.
9MATEMÁTICA FINANCEIRA
Nas fórmulas de matemática financeira, tanto o prazo da 
operação, como a taxa de juros devem necessariamente estar 
expressos na mesma unidade de tempo. Por exemplo, admita 
que um fundo de investimentos esteja oferecendo juros de 2% 
ao mês e os rendimentos creditados mensalmente. Neste caso, 
o prazo a que se refere à taxa (mês) e o período de capitalização 
do fundo (mensal) são coincidentes, atendendo à regra básica. 
Se uma aplicação foi efetuada pelo prazo de um mês, mas os 
juros definidos em taxa anual, não há coincidência nos prazos 
e deve ocorrer necessariamente um “rateio”. 
É indispensável para o uso das fórmulas financeiras transfor-
marem a taxa de juros anual para o intervalo de tempo definido 
pelo prazo da operação, ou vice-versa, o que for considerado mais 
apropriado para os cálculos.
Somente após a definição do prazo e da taxa de juros 
na mesma unidade de tempo é que as formulações 
da matemática financeira podem ser operadas.
Os critérios de transformação do prazo e da taxa para a 
mesma unidade de tempo podem ser efetuados através das re-
gras de juros simples (média aritmética) e de juros compostos 
(média geométrica), dependendo do regime de capitalização 
definido para a operação.
Critérios de Capitalização dos Juros
 Os critérios (regimes) de capitalização demonstram como 
os juros são fornecidos e sucessivamente incorporados ao ca-
pital no decorrer do tempo. Nesta conceituação podem ser 
identificados dois regimes de capitalização dos juros: simples 
(ou linear) e composto (ou exponencial). 
Juro Simples
Juro simples é aquele calculado unicamente sobre o capital 
inicial da operação (aplicação ou empréstimo), não se registrando 
juros sobre o saldo dos juros acumulados. 
10MATEMÁTICA FINANCEIRA
A remuneração pelo capital inicial aplicado é diretamente 
proporcional ao seu valor e ao tempo de aplicação. O fator de 
proporcionalidade é a taxa de juros.
Fórmula básica para cálculo de juros simples:
J = C x i x n
Onde:
J = Montante de juros (em valores monetários). 
C = Capital Inicial
i = Taxa de juros 
n = Número de períodos ou tempo 
Exemplo: Suponha que se tome emprestada a quantia de 
$1.000,00 pelo prazo de 2 anos e à taxa de 10% aa. (ao ano). 
Qual será o valor a ser pago como juro, considerando-se o 
regime de capitalização de juros simples. 
Capital Inicial (C) = $1.000,00
Taxa de juros (i) = 10% a.a.
Número de períodos ou tempo (n) = 2 anos
Juros = C . i . n
J = 1.000,00 X0,10 X 2 = $200,00
$200,00 é o valor no período de 2 anos. 
Então o valor ao ano é de $ 100,00. 
A fórmula de juros simples é básica, tanto para o cálculo 
dos juros como dos outros valores financeiros mediante simples 
dedução algébrica:
J = C x i x n
C = Ji x n i = 
J
C x n n = 
J
C x i
11MATEMÁTICA FINANCEIRA
Exemplo: Um negociante tomou um empréstimo pagando 
uma taxa de juros simples de 6% ao mês durante 9 meses. Ao 
final deste período, calculou em $ 270.000,00 o total dos juros 
incorridos na operação. Determinar o valor do empréstimo:
Solução: 
C = ?
i = 6% ao mês (0,06)
n = 9 meses 
J = $ 270.000,00 
C = Ji x n = 
270.000,00
0,06 x 9 = 
270.000,00
0,54 = $ 500.000,00
Vamos imaginar agora um empréstimo de $ 1.000,00 pelo 
prazo de 5 anos, pagando-se juros simples à razão de 10% ao 
ano. O quadro a seguir ilustra a evolução dessa operação ao 
período, indicando os vários resultados:
Os juros simples, principalmente diante de suas restrições 
técnicas, têm aplicações práticas bastante limitadas. São raras as 
operações financeiras e comerciais que formam temporalmente 
seus montantes de juros segundo o regime de capitalização 
linear. O uso dos juros simples restringe-se principalmente às 
operações praticadas no âmbito do curto prazo.
No entanto, as operações que adotam juros simples, além 
Ano
Saldo 
no início 
de cada 
ano($)
Juros apurados para cada 
ano($)
Saldo 
devedor ao 
final de cada 
ano ($)
Crescimento 
anual 
do saldo 
devedor($)
Início do 
1º ano - - 1.000,00 -
Final 
1º ano 1.000,00 0,10x1.000,00=100,00 1.100,00 100,00
Final 
2º ano 1.100,00 0,10x1.000,00=100,00 1.200,00 100,00
Final 
3º ano 1.200,00 0,10x1.000,00=100,00 1.300,00 100,00
Final 
4º ano 1.300,00 0,10x1.000,00=100,00 1.400,00 100,00
Final 
5º ano 1.400,00 0,10x1.000,00=100,00 1.500.00 100,00
Fonte: Assaf Neto, 2006, pág.4.
12MATEMÁTICA FINANCEIRA
de apresentarem geralmente prazos reduzidos, não costumam 
apurar o seu percentual de custo (ou rentabilidade) por este 
regime. Os juros simples são utilizados para o cálculo dos 
valores monetários da operação (encargos a pagarem para 
empréstimos, e rendimentos financeiros, para aplicações), e 
não para a apuração do efetivo resultado.
Montante e Capital
Um determinado capital (C), quando aplicado a uma taxa 
periódica de juro (J) por determinado tempo, produz um valor 
acumulado denominado de montante, e identificado em juros 
simples por M. Em outras palavras, o montante é constituído 
do capital mais o valor acumulado dos juros, isto é:
M = C + J
No entanto, sabe-se que: J = C . i . n 
Substituindo esta expressão básica na fórmula do montante 
supra, e colocando-se C em evidência:
M = C + C . i . n
O que resulta em:
M = C ( 1 + i x n)
Evidentemente, o valor de C desta fórmula pode ser obtido 
através de simples transformação algébrica:
C = M(1 + i x n)
A expressão (1 + i x n) é definida como fator de capitali-
zação (ou de valor futuro) dos juros simples. Ao multiplicar 
um capital por este fator, corrige-se o seu valor para uma data 
futura, determinando o montante. 
13MATEMÁTICA FINANCEIRA
O inverso, ou seja, 1/(1 + i x n) é denominado de fator de 
atualização (ou de valor presente). Ao se aplicar o fator sobre 
um valor expresso em uma data futura, apura-se o seu equi-
valente numa data atual.
Exemplo 1 - Uma pessoa aplica $ 18.000,00 à taxa de 
1,5% ao mês durante 8 meses. Determinar o valor acumulado 
ao final deste período.
Solução:
C = $ 18.000,00
i= 1,5% ao mês (ou seja, 0,015)
n = 8 meses 
M = C ( 1 + i x n) 
M = 18.000,00 (1 + 0,015 x 8)
M = 18.000 x 1,12 = $ 20.160,00
Exemplo 2 - Uma dívida de $ 900.000,00 vencerá em 4 me-
ses. O credor está oferecendo um desconto de 7% ao mês caso o 
devedor deseje antecipar o pagamento para hoje. Calcular o valor 
que o devedor pagaria caso antecipasse a liquidação da dívida.
M = $ 900.000,00 
n = 4 meses 
i = 7% ao mês (0,07)
C=?
C = M(1 + i x n) = 
900.000,00
(1 + 0,07 x 4) =
 900.000,001,28 = 
$ 703.125,00
14MATEMÁTICA FINANCEIRA
Síntese
Nesse primeiro capítulo entramos no mundo da matemática 
financeira, de mansinho. Vimos o conceito de juros, taxa de juros 
e que existem dois regimes distintos de capitalização dos juros, o 
simples e o composto. Vimos também como calcular montante, 
capital e todas as incógnitas pertinentes à fórmula de juros simples. 
Vimos também a diferença entre taxa de juro unitária e per-
centual. E que não podemos esquecer da regra, sempre que for para 
colocar em fórmula, utilizamos o modo unitário e não o percentual. 
Essa unidade é introdutória, no intuito de abordarmos os con-
ceitos base da matemática financeira. Aprofundaremos alguns desses 
conceitos no decorrer de nossa disciplina. Tudo bem até aqui?
Não deixe de assistir nossas videoaulas, acompanhar os materiais 
complementares, participar de nossa tutoria e me contatar sempre 
que precisar. Estou à disposição!15MATEMÁTICA FINANCEIRA
Exercícios
1. Um capital de $ 80.000,00 foi aplicado à taxa de 2,5% ao mês durante um trimes-
tre. Pede-se determinar o valor dos juros acumulados neste período em regime de 
capitalização de juros simples. 
2. Um capital de $ 40.000,00 foi aplicado num fundo de investimentos por 1 mês, 
produzindo um rendimento financeiro de $ 9.680,0. Pede-se apurar a taxa de juros 
oferecida por esta operação (juros simples). 
3. Calcular o montante de um capital de $ 600.000,00 aplicado à taxa de 2,3% ao 
mês pelo prazo de um ano e 5 meses.
4. Uma pessoa aplicou em uma instituição financeira $ 18.000,00 resgatando $ 
21.456,0 quatro meses depois. Calcular a taxa mensal de juros simples auferida 
nesta aplicação. 
5. Se uma pessoa necessitar de $ 100.000,00 daqui a 10 meses, quanto deverá ela de-
positar hoje num fundo de investimentos que remunere à taxa linear de 12% ao ano?
16MATEMÁTICA FINANCEIRA
O VALOR DO 
DINHEIRO 
NO TEMPO
O velho ditado que diz “mais vale um pássaro na 
mão do que dois voando”, adquire uma grande 
importância quando aplicado às finanças. Em 
termos monetários, ele significa que o dinheiro 
em caixa hoje, vale mais do que no futuro. 
(Groppelli e Nikbakht ,2002, p.51)
Isso significa dizer que o valor do dinheiro muda ao longo 
do tempo. Basta pensarmos numa situação prática, você prefere 
ter um real na mão hoje ou recebê-lo daqui a um determinado 
tempo? O que você pode comprar com R$ 100,00 hoje? E daqui 
a 30, 60, 90 dias? Daqui a um ano, será que esses R$ 100,00 
comprarão a mesma mercadoria?
17MATEMÁTICA FINANCEIRA
E se você puder aplicar esse recurso hoje? Quanto você 
terá daqui a um determinado período? 
Essas e outras reflexões devem ser feitas tanto pelas pessoas 
físicas como pelas empresas no momento de efetuar algum 
investimento e/ou financiamento. O que pode inf luenciar nas 
decisões? O tempo? A taxa de juros? O risco ou não de contrair 
uma dívida? O risco ou não de um investimento? 
Veremos nesse capítulo alguns conceitos que poderão au-
xiliar na tomada de decisões no âmbito financeiro. 
Fatores que influenciam na desvalorização da Moeda
Existem três fatores importantes que fazem acontecer a 
desvalorização do dinheiro ao longo do tempo: 
1. Inflação: refere-se ao aumento persistente e generalizado 
de preços na economia. Quando isso acontece, o poder de 
compra da moeda diminui, causando sua desvalorização. Se, 
por exemplo, uma cesta de produtos custa R$ 100 reais em 
agosto e passa a ser vendida por R$ 150 reais em setembro, 
verifica-se uma inflação de 50% no mês.
2. Risco: risco está realmente associado à incerteza, variação, 
insegurança de não saber o que vai acontecer com o retorno 
de um investimento. Como o futuro é incerto, o risco au-
menta com o passar do tempo. A maioria das pessoas deseja 
evitar o risco, assim, valorizam mais o dinheiro agora do que 
a promessa de dinheiro futuro.
3. Liquidez: refere-se ao grau de facilidade com que os ativos 
podem ser convertidos em caixa. Ou seja, eu posso ter pa-
trimônio e não ter dinheiro para honrar um compromisso. 
Isso significa não ter liquidez, não ter dinheiro em caixa 
– ou “no bolso”, na carteira, numa conta bancária, enfim, 
o conceito de liquidez está ligado às disponibilidades em 
moeda corrente.
18MATEMÁTICA FINANCEIRA
O tempo é, sem sombra de dúvidas, um fator diretamente 
proporcional ao valor do dinheiro. Assim, podemos afirmar 
plenamente que quanto maior o período, maiores serão as 
inf luências dos agentes externos, ou ainda, as inf luências 
do macro ambiente em relação ao poder de compra da moeda 
específica.
As decisões financeiras envolvem custos e benefícios que estão 
espalhados sobre o tempo. Tomadores de decisão financeira, na 
família e nas empresas, têm todos que avaliarem se investir o 
dinheiro hoje é justificado pelos benefícios esperados no futuro. 
Podemos dizer que, diante do cenário econômico brasileiro, 
já estamos acostumados com a ideia de que o valor do dinheiro 
muda no tempo. Afinal é muito claro em nosso dia a dia que 
sempre convivemos com alguma inf lação. Sendo assim, acha-
mos natural que ao pedir algum dinheiro emprestado teremos 
que, em algum momento, devolver a quantia integral acrescida 
de um determinado valor.
Mas se não houvesse inf lação ou variação cambial?
Ainda assim ocorreria a mesma coisa, pois, quem 
empresta dinheiro abre mão do retorno de algo. Da 
mesma forma poderia consumir no presente ou obter 
uma renda aplicando o recurso em algum investimento. 
Por isso, faz jus a uma compensação, que se chama 
retorno e está diretamente ligada ao risco.
Retorno é o ganho ou prejuízo total (incluindo pagamen-
tos periódicos recebidos e variação no valor do ativo) ao longo 
de um período de tempo. Retorno costuma ser expresso em 
termos percentuais ou em termos absolutos.
O retorno está diretamente ligado ao risco, ou seja, quanto 
maior o risco a se correr num determinado investimento, maior 
será o retorno exigido pelos investidores ou credores. 
Um exemplo simples e bem comum no nosso dia a dia. Os 
19MATEMÁTICA FINANCEIRA
depósitos em poupanças, por alguns ainda chamada de “ca-
derneta de poupança” hoje rendem cerca de 0,5% a.m. (até um 
pouco menos, mas para fins de simplificação didática, vamos 
trabalhar com esse percentual). 
Uma pessoa que tenha suas economias nesse tipo de in-
vestimento tem um perfil conservador ao extremo, prefere a 
garantia de um rendimento baixo a correr riscos e assim ter a 
possibilidade de maior ganho. 
Perfil ultraconservador é o investidor que prioriza a preservação 
dos seus recursos acima de tudo. Não assume riscos que possam 
comprometer seu patrimônio, ainda que a rentabilidade seja 
abaixo da média. É o que menos tolera perdas e falta de liquidez.
Já um investidor que corre grandes riscos, além da possi-
bilidade de maiores ganhos, ele também pode correr o risco 
de vir a perder, inclusive, o capital investido, que é o caso de 
investimentos em ações, por exemplo. 
Assim, podemos chamar de capital um valor que foi em-
prestado ou aplicado, e de juros a remuneração devida pela 
utilização do capital. Então a taxa de juros é a proporção entre 
os juros pagos e o capital. 
Qualquer investimento ou comprometimento de caixa ra-
zoável devem proporcionar um aumento de valor ao longo do 
tempo. Dada uma quantia de dinheiro que se deseje aplicar, 
pode-se descobrir quanto tal montante aumentará no futuro, 
uma vez que a taxa de retorno seja conhecida.
Juros Compostos
O regime de juros compostos considera que os juros formados 
em cada período são acrescidos ao capital formando o montante 
(capital mais juros) do período. Este montante, por sua vez, passará 
a render juros no período seguinte formando um novo montante 
(constituído do capital inicial, dos juros acumulados e dos juros 
sobre os juros formados em períodos anteriores), e assim por diante.
20MATEMÁTICA FINANCEIRA
Admitindo-se no exemplo anterior que a dívida de $ 
1.000,00 deve ser paga em juros compostos a taxa de 10% ao 
ano, têm-se os resultados ilustrados no quadro a seguir:
Observe que no critério de juros compostos, os juros não 
incidem unicamente sobre o capital inicial de $ 1.000,00, mas 
sobre o saldo total existente no início de cada ano. Este saldo 
incorpora o capital inicial emprestado mais os juros incorridos 
em períodos anteriores.
Ano
Saldo 
no início de 
cada ano($)
Juros apurados para cada 
ano($)
Saldo devedor 
ao final de 
cada ano ($)
Início do 1º ano - - 1.000,00
Final 1º ano 1.000,00 0,10x1.000,00=100,00 1.100,00
Final 2º ano 1.100,00 0,10x1.100,00=110,00 1.210,00
Final 3º ano 1.210,00 0,10x1.210,00=121,00 1.331,00
Final 4º ano 1.331,00 0,10x1.331,00=133,10 1.464,10
Final 5º ano 1.464,10 0,10x1.464,10=146,40 1.610,51
Fonte: Assaf Neto, 2006, pág.5.
21MATEMÁTICA FINANCEIRA
Observe que no critério de juros compostos, os juros não 
incidem unicamente sobre o capital inicial de $ 1.000,00, mas 
sobre o saldo total existente no início de cadaano. Este saldo 
incorpora o capital inicial emprestado mais os juros incorridos 
em períodos anteriores.
O Juro do primeiro ano é produto da incidência da taxa 
de 10% ao ano sobre o capital emprestado de $ 1.000,00, 
totalizando $ 100,00, que é o mesmo valor observado 
no regime de capitalização simples.
Assim, para operações que envolvam um só período de incidência 
de juros (também denominado de período de capitalização), é 
indiferente o uso de regime de capitalização simples ou 
composto, pois ambos produzem o mesmo resultado.
Voltaremos a tratar de juros compostos no decorrer de nossa 
disciplina, quando aprofundaremos o assunto. Aqui foi apenas uma 
introdução ao tema para diferenciar os regimes de capitalização.
Equivalência Financeira
O problema da equivalência financeira constitui-se no 
raciocínio básico da matemática financeira. Conceitualmente, 
dois ou mais capitais representativos de certa data dizem-se 
equivalentes quando, a uma taxa de juros, produzem resultados 
iguais numa data comum.
Por exemplo, $ 120,00 vencíveis daqui a um ano e $ 
100,00, hoje, são equivalentes a uma taxa de juros simples de 
20%, uma vez que os $ 100,00 capitalizados, produziriam $ 
120,00 dentro de um ano. Ou os $ 120,00, do final do pri-
meiro ano, resultariam em $ 100,00, se atualizados para hoje. 
Ou seja, ambos os capitais produzem, numa data de compa-
ração, (data focal) e a uma taxa de 20% ao ano, resultados 
idênticos. 
Como chegamos a esses resultados? Utilizando as fórmulas 
vistas no capítulo anterior. Ou seja: 
22MATEMÁTICA FINANCEIRA
M = 100,00 x ( 1 + 0,20 x 1) = $ 120,00 
C = 120,00/ (1 + 0,20 x1 ) = $ 100,00 
Exemplo: Determinar se $ 438.080,00 vencíveis daqui a 8 
meses é equivalente a se receber hoje $ 296.000,00, admitindo 
uma taxa de juros simples de 6% ao mês. 
Solução:
C = 438.080,00 / (1+0,06 x 8) = 296.000,00
Os capitais são equivalentes à taxa de 6% ao mês. 
Portanto, a esta taxa de juros é indiferente receber 
$ 296.000,00 hoje ou 438.080,00 daqui a 8 meses.
Na questão de equivalência financeira, em juros simples, 
é importante ressaltar que os prazos não podem ser desmem-
brados (fracionados) sob pena de alterar os resultados. Em 
outras palavras, dois capitais equivalentes, ao fracionar seus 
prazos, deixam de produzir o mesmo resultado na data focal 
pelo critério de juros simples. 
Vimos como os capitais se equivalem. Vejamos agora, como 
as taxas se equivalem, ou seja, num regime de juros simples, 1% ao 
mês e 12% ao ano eu posso dizer que são taxas equivalentes, certo? 
E num regime de juros compostos, onde não é uma progressão 
linear, como eu faço para calcular as taxas equivalentes? Vamos ver?
Taxa Proporcional e Taxa Equivalente 
Para se compreender mais claramente o significado destas 
taxas deve-se reconhecer que toda operação envolve dois pra-
zos: (1) o prazo a que se refere à taxa de juros; e (2) o prazo de 
capitalização (ocorrência) dos juros. 
Ilustrativamente, admita um empréstimo bancário a uma 
taxa (custo) nominal de 24% ao ano. O prazo a que se refere 
especificamente a taxa de juros é anual. A seguir, deve-se 
23MATEMÁTICA FINANCEIRA
identificar a periodicidade de ocorrência dos juros. Ao se esta-
belecer que os encargos incidirão sobre o principal somente ao 
final de cada ano, os dois prazos considerados são coincidentes. 
O crédito direto ao consumidor promovido pelas financeiras 
é outro exemplo de operação com prazos iguais. Caracteristica-
mente, a taxa cobrada é definida ao mês e os juros capitalizados 
também mensalmente. 
Mas em inúmeras outras operações esses prazos não são 
coincidentes. O juro pode ser capitalizado em prazo inferior ao 
da taxa, devendo-se nessa situação, ter definido como o prazo 
da taxa será rateado ao período de capitalização. 
Por exemplo, uma aplicação em títulos de renda fixa que 
pague aos aplicadores uma taxa de juros de 6% ao ano, a qual é 
agregada (capitalizada) ao principal todo o mês através de um 
percentual proporcional de 0,5%. Tem-se aqui dois prazos, o 
prazo da taxa: ano e o prazo de capitalização: mês. 
 É necessário, para o uso das fórmulas de matemáti-
ca financeira, expressar estes prazos diferentes na mesma 
base de tempo. Ou transforma-se o prazo específico da taxa 
para o de capitalização ou, de maneira inversa, o período 
de capitalização passa a ser expresso na unidade de tempo 
da taxa de juros.
No regime de juros simples, diante de sua própria natureza 
linear, essa transformação é processada pela taxa proporcional 
de juros também denominada taxa linear ou nominal. 
Essa taxa proporcional é obtida da divisão entre a taxa de 
juros considerada na operação e o número de vezes em que 
ocorrerão os juros (quantidade de períodos de capitalização).
Por exemplo, para uma taxa de juros de 18% ao ano, se a 
capitalização for definida mensalmente (ocorrerão 12 vezes 
juros no período de um ano), o percentual de juros que incidirá 
sobre o capital a cada mês será:
24MATEMÁTICA FINANCEIRA
Taxa Proporcional = 18%12 = 1,5% ao mês (a.m.)
A aplicação de taxas proporcionais é muito difundida, 
principalmente em operações de curto e curtíssimo prazo, tais 
como: cálculo de juros de mora, descontos bancários, créditos 
de curtíssimo prazo, apuração de saldo devedor de conta cor-
rente bancária, etc. 
As taxas de juros simples se dizem equivalentes quando, 
aplicadas a um mesmo capital e pelo mesmo intervalo de tempo, 
produzem o mesmo volume linear de juros. 
Por exemplo, em regime de juro simples, um capital de 
$ 500.000,00, se aplicado a 2,5% ao mês ou 15% ao semestre pelo 
prazo de um ano, produz o mesmo montante linear de juros, isto é:
Juro = 2,5% a.m. = $ 500.000,00 x 0,025 x 12 = $ 150.000,00
Juro = 15% a.s. = $ 500.000,00 x 0,15 x 2 = $ 150.000,00
Os juros produzidos pelas duas taxas lineares são iguais, 
logo são definidas como equivalentes. 
No regime de juros simples, taxas proporcionais (nominais 
ou lineares) e taxas equivalentes são consideradas a mesma 
coisa, sendo indiferente a classificação de duas taxas. A taxa 
de 2,5% está relacionada ao período de um mês, e a de 15% a 
seis meses. Logo:
1
6 = 
2,5 
15
Observando-se essa igualdade, tem-se que as grandezas 
são proporcionais, pois o produto dos meios é igual ao produto 
dos extremos, isto é:
6 x 2,5 = 1 x 15
15 = 15
E se estivermos trabalhando no regime de capitalização de 
juros compostos, como saber se as taxas são equivalentes?
25MATEMÁTICA FINANCEIRA
Ao se tratar de juros simples, foi comentado que a taxa equi-
valente é a própria taxa proporcional da operação. 
O conceito enunciado de taxa equivalente permanece válido 
para o regime de juros compostos diferenciando-se, no entanto, a 
fórmula de cálculo da taxa de juros. Por se tratar de capitalização 
exponencial, a expressão da taxa equivalente composta é a média 
geométrica da taxa de juros do período inteiro, isto é:
iq = q√1 + i -1
Onde: 
i = taxa 
q = número de períodos de capitalização
Exemplo: Qual é a taxa equivalente composta mensal de 
10,3826% ao semestre?
i6 = 6√1 + 0,103826 -1 = 0,0166 x100 = 1,66%
26MATEMÁTICA FINANCEIRA
Para calcular a raiz 6ª de 1,103826 na hp12c
1. Pressione 1,103826 e, em seguida, ENTER.
2. Pressione 6, [1/x] e, em seguida, [yx].
3. Resposta = 1,016599
Para dar continuidade ao estudo de taxas equivalentes, é 
importante entendermos também o conceito de valor futuro. 
O que é isso? Digamos que é o “pássaro voando” que falamos 
lá no início de nosso capítulo. Vamos ver?
Valor Futuro 
 O valor futuro, como o próprio nome diz, é o valor que 
se terá no futuro. Por exemplo, se aplicarmos hoje uma quantia 
de capital a uma determinada taxa de juros por um período 
predeterminado, como poderemos saber o montante em capital 
que teremos ao final do período contratado? 
Uma das formas é pela fórmula matemática:
VF = VP (1+i)n
Onde:
VF = Valor Futuro para o período;
VP = Investimento ou aplicação inicial;
i = taxa de juro (no período);
n = número de períodos.Obs: Encontraremos a abreviação de valor futuro como 
VF e também como FV, que é a abreviatura da sigla em 
Inglês (Future Value). Nas teclas da calculadora 
financeira hp12C, todas as siglas estão em inglês.
Para que vocês de acostumem com ambas as nomenclaturas, 
encontradas na literatura, aqui em nossa disciplina, por 
vezes utilizarei em português e por vezes em inglês. 
27MATEMÁTICA FINANCEIRA
Exemplo: Qual será o valor futuro de um investimento 
feito hoje no valor de R$ 1.000,00 capitalizado a uma taxa de 
8,0% a.a. daqui a um ano?
VF = VP ( 1 + i)n = 1.000 (1+0,08)1 = R$ 1.080,00
E se o prazo fosse de 2 anos?
Qual será o valor futuro de um investimento feito hoje 
no valor de R$ 1.000,00 capitalizado a uma taxa de 8,0% a.a. 
daqui a 2 anos?
VF = VP ( 1 + i)n = 1.000 (1+0,08)2 = R$ 1.166,40.
E se o prazo fosse de 3 anos? 
Qual será o valor futuro de um investimento feito hoje no valor 
de R$ 1.000,00 capitalizado a uma taxa de 8,0% a.a. daqui a 3 anos?
VF = VP ( 1 + i)n = 1.000 (1+0,08)3 = R$ 1.259,71 
E voltando ao conceito de taxas equivalentes, utilizando-se a 
fórmula de valor futuro, pode-se observar que, para um mesmo 
capital e prazo de aplicação, é indiferente (equivalente) o rendimento 
de 1,66% ao mês ou 10,3826% ao semestre. Ilustrativamente, um 
capital de $ 100.000,00 aplicado por dois anos produz: 
Para i = 1,66% e n = 24 meses: 
VF = PV ( 1 + i)n 
VF=100.000,00(1+0,0166)24 = $ 148.457,63 
Para i = 10,3826% e n = 4 semestres 
VF= PV ( 1 + i)n 
VF = 100.000,00 (1 + 0,103826)4 = $ 148.457,61*
*É normal diferenças mínimas nos resultados, nesse caso 
de 0,02 centavos. Isso ocorre em razão de arredondamentos e 
de número de casas decimais.
Importante! A taxa está em percentual, e deve ser 
dividida por 100 (unitária) para colocar na fórmula!
Se tiver dúvidas, reveja a primeira unidade. 
28MATEMÁTICA FINANCEIRA
Outra forma de calcular Valor Futuro, de forma bem 
mais simples, é pela calculadora hp12C. Essa ferramenta é 
a “melhor amiga” de quem trabalha com finanças. Aliada ao 
conhecimento, claro, esse é o carro chefe de qualquer gestor 
financeiro de sucesso.
E como realizar esse cálculo pela hp 12C? Primeiramente 
temos que ter em mente, que essa calculadora difere das demais 
calculadoras pela forma de introduzir os dados nela, ao se fazer 
uma operação matemática de qualquer natureza.
Então se eu quero somar 2+2, na hp 12C eu primeiramente 
insiro o número 2, digito ENTER, novamente o 2, e então a 
tecla +. Aparecerá no visor o número 4. 
Vamos “brincar um pouquinho com a nossa 
nova amiga” e assim pegar “intimidade” com ela?
Digamos que eu queira multiplicar 10 X 312?
1. Eu digito 10 ENTER
2. Depois 312
3. E então a tecla X
4. Aparecerá no visor 3.120 
Seguindo nosso exemplo anterior, agora fazendo os mesmos 
cálculos pela hp12C:
29MATEMÁTICA FINANCEIRA
Qual será o valor futuro de um investimento feito hoje 
no valor de R$ 1.000,00 capitalizado a uma taxa de 8,0% a.a. 
daqui a um ano?
Eu digito 1.000 e a tecla CHS e depois a tecla PV (infor-
mo à hp que esse é o valor que estou investindo, ou seja, meu 
Valor Presente (Present Value, em inglês). A tecla CHS muda 
o sinal, pois indica que estou desembolsando esse valor;
Digito 1 e a tecla n (informo à hp que é pelo prazo de 1 período);
Digito 8 e a tecla i (informo à hp que a taxa nesse período é de 8%);
E aperto a tecla FV que é Valor Futuro a informação que 
eu quero. Aparecerá no visor o valor de 1.080,00, que é meu 
valor futuro.
E se o prazo fosse de 2 anos?
Qual será o valor futuro de um investimento feito hoje no 
valor de R$ 1.000,00 capitalizado a uma taxa de 8,0% a.a. daqui 
a 2 anos?
Eu digito 1.000 e a tecla CHS e depois a tecla PV (infor-
mo à hp que esse é o valor que estou investindo, ou seja, meu 
Valor Presente (Present Value, em inglês). A tecla CHS muda 
o sinal, pois indica que estou desembolsando esse valor;
Digito 2 e a tecla n (informo à hp que é pelo prazo de 2 períodos);
Digito 8 e a tecla i (informo à hp que a taxa nesse período é de 8%);
E aperto a tecla FV que é Valor Futuro a informação que 
eu quero. Aparecerá no visor o valor de 1.166,40 que é meu 
valor futuro. 
E se o prazo fosse de 3 anos? 
Lembrando que aqui estamos trabalhando com juros compostos. A hp12C é programada para cálculo de juros compostos! 
30MATEMÁTICA FINANCEIRA
Qual será o valor futuro de um investimento feito hoje 
no valor de R$ 1.000,00 capitalizado a uma taxa de 8,0% a.a. 
daqui a 3 anos?
Eu digito 1.000 e a tecla CHS e depois a tecla PV (infor-
mo à hp que esse é o valor que estou investindo, ou seja, meu 
Valor Presente (Present Value, em inglês). A tecla CHS muda 
o sinal, pois indica que estou desembolsando esse valor.
Digito 3 e a tecla n (informo à hp que é pelo prazo de 3 períodos).
Digito 8 e a tecla i (informo à hp que a taxa nesse período é de 8%).
E aperto a tecla FV que é Valor Futuro a informação que 
eu quero. Aparecerá no visor o valor de 1.259,71 que é meu 
valor futuro.
Atenção, tem um vídeo na sessão de materiais complementares 
exclusivo sobre hp12C. Lá eu apresentarei outros exemplos e 
também dicas de como limpar dados que podem ficar acumulados 
na memória da calculadora e com isso influenciar no resultado. 
Vem comigo?
31MATEMÁTICA FINANCEIRA
E se eu soubesse o Valor Futuro, o prazo, 
a taxa, e quisesse saber o Valor Presente?
Valor Presente 
Valor presente é o valor atual de um pagamento futuro, 
descontado a uma taxa de juros apropriada. Conforme fala-
mos no início desse capítulo, o que eu posso comprar hoje 
com $ 1.000,00 não é o mesmo que poderei comprar daqui 
a 12 meses, por exemplo. Então, quando eu atualizo esses 
$ 1.000,00 a valores de hoje, utilizando uma taxa de juros, eu 
estou “trazendo a valor presente”. E como podemos fazer isso?
Pode ser pela fórmula matemática:
VP = VF(1+i)n
Onde: 
VP = Valor Presente;
VF = Valor Futuro;
i = taxa de juros 
n = prazo ou períodos.
Exemplo: Qual o valor que devo aplicar hoje para ter um 
montante total, em 3 anos, de R$ 1.259,71, sabendo que a taxa 
de remuneração do capital é de 8% ao ano?
VP = VF(1+i)n = 
1.259,71
(1+0,8)3 = 1.000,00*
*Pode dar diferença de centavos, isso acontece em razão de 
arredondamentos e números de casas decimais utilizadas nos cálculos. 
Explicarei melhor isso em nossa videoaula!
32MATEMÁTICA FINANCEIRA
E pela hp 12C, como podemos calcular o Valor Presente? 
Eu digito 1.259,71 e tecla FV (informo à hp que esse é o valor que eu quero ter no futuro), 
Digito 3 e a tecla n (informo à hp que é pelo prazo de 3 períodos);
Digito 8 e a tecla i (informo à hp que a taxa nesse período é de 8%);
E aperto a tecla PV que é Valor Presente, a informação que eu quero. Aparecerá 
no visor o valor de 1.000,00 que é o valor que tenho que investir hoje. Ele aparece 
com sinal negativo porque é desembolso, mesmo que seja para depositar num banco, 
por exemplo, estou investindo esse recurso. 
Os conceitos de Valor Presente e Valor Futuro, são conceitos muito importantes para 
na matemática financeira e utilizaremos também quando tratarmos de f luxo de caixa, 
descontos de títulos e outros conteúdos no decorrer de nossa disciplina. São conceitos 
a serem trabalhados também em outras disciplinas ligadas a finanças, como adminis-
tração financeira e outras. Em razão disso, serão bastante trabalhados nessa disciplina.
33MATEMÁTICA FINANCEIRA
Síntese
O Valor do Dinheiro no Tempo – vimos que não pode-
mos comparar valores em dinheiro em diferentes períodos de 
tempo, apenas pelos seus valores de face. Para uma correta 
comparação, a matemática financeira nos traz os conceitos de 
valor futuro e valor presente, onde levamos em consideração 
taxas de juros para realizar esses comparativos. 
Essa taxa de juros pode ser o índice de inf lação, o cresci-
mento do PIB, taxas de investimentos tantos outros indicadores, 
pertinentes aos valores a serem comparados. Paralelo a isso, 
vimos como dois capitais podem ser equivalentes em dados 
períodos de tempoe como as taxas se equivalem entre si, se 
capitalizadas em prazos diferentes. Aqui é importante frisar 
as diferenças entre os tipos de capitalização, se regime de juros 
simples ou compostos. 
Vimos também que em todo investimento há um certo 
nível de Risco e que o Retorno poderá ser maior ou menor 
de acordo com o risco que estivermos dispostos a correr. Es-
tou disposto a correr esse risco? Ou prefiro dar prioridade à 
segurança e assim auferir menores retornos?
Nesse capítulo começamos também a trabalhar com a cal-
culadora financeira hp12C. Lembrem que ela é diferente das 
demais calculadoras pela forma de inserção dos dados, mas não 
é difícil, é apenas uma questão de hábito. E em contrapartida é 
um facilitador para execução de cálculos que exigem fórmulas 
(algumas delas mirabolantes) e que em apenas alguns cliques 
a hp12C nos fornece o resultado. 
Os conteúdos vistos nesse capítulo servirão de base para 
muitos outros conteúdos que veremos ao longo de nossa dis-
ciplina, por isso é importante que sejam fixados. Assista 
nossas videoaulas, faça os exercícios propostos, utilize os 
canais de comunicação disponíveis para tirar dúvidas. Eu 
estou à disposição!
34MATEMÁTICA FINANCEIRA
Exercícios
1. Qual o Valor Futuro de uma aplicação realizada hoje, no valor de R$ 10.000,00, 
pelo prazo de 6 meses, com uma taxa de 0,9% a.m.?
2. Marta aplicou R$ 60.000,00 pelo prazo de 1 ano a uma taxa de 9,9% ao 
semestre. Já Sara optou por aplicar a mesma quantia a uma taxa de 20,78% 
a.a., também por um ano. Em ambos o regime de capitalização foi de juros 
compostos. Qual o valor final que cada uma delas obteve ao final de um ano?
3. Calcular o montante de uma aplicação financeira de R$ 80.000,00 a uma taxa 
de 0,8% a.m. pelo prazo de 2 anos (24 meses). Capitalização de juros compostos. 
4. Marta aplicou R$ 60.000,00 pelo prazo de 1 ano a uma taxa de 9,9% ao 
semestre. Já Sara optou por aplicar a mesma quantia a uma taxa de 20,78% 
a.a., também por um ano. Em ambos o regime de capitalização foi de juros 
compostos. Qual o valor final que cada uma delas obteve ao final de um ano?
5. Qual o valor presente de uma aplicação que promete o montante de R$ 
18.032,10 num prazo de 6 meses e uma taxa de juros de 1,5% a.m?
35MATEMÁTICA FINANCEIRA
TÍTULOS DE 
CRÉDITO E 
OPERAÇÕES 
DE DESCONTO
É comum, nas transações financeiras e 
comerciais do dia a dia, ouvirmos 
falar em operações de crédito. Mas 
o que é um “título de crédito”?
Se uma pessoa deve uma quantia em dinheiro numa data 
futura, é normal que entregue ao credor um título de crédito, 
que é o comprovante dessa dívida. 
36MATEMÁTICA FINANCEIRA
Então, títulos de crédito são papéis representativos de 
uma obrigação e emitidos em conformidade com a legislação 
especifica de cada tipo ou espécie. Ou, em outras palavras, são 
documentos comprobatórios de uma obrigação ou dívida futura.
Os títulos de crédito mais comuns no mercado brasileiro são: 
a. Nota promissória;
b. Duplicata;
c. Letra de Câmbio
a. A nota promissória é um comprovante de aplicação de um ca-
pital com vencimento predeterminado. É um título muito usado 
entre pessoas ou entre pessoas físicas e instituição financeira. 
b. A duplicata é um título emitido por uma pessoa jurídica 
contra seu cliente (pessoa física ou jurídica), para a qual ela 
vendeu mercadorias a prazo ou prestou serviços a serem 
pagos no futuro, segundo um contrato. 
c. A letra de câmbio, assim como a nota promissória, é um 
comprovante de uma aplicação de capital com vencimento 
predeterminado; porém é um título ao portador, emitido 
exclusivamente por uma instituição financeira. 
E o famoso e velho conhecido cheque pré-datado, moeda 
de troca amplamente utilizada no Brasil, é um título de crédito?
De acordo com o Banco Central (2017), um dos ór-
gãos supervisores da Sistema Financeiro Nacional, o che-
que é uma ordem de pagamento à vista, ou seja, é um do-
cumento por meio do qual o cliente ordena que o banco 
retire dinheiro de sua conta imediatamente e pague a pessoa 
nele indicada. 
O pagamento de um cheque se dá no dia de sua apresentação 
ao banco (ordem à vista), mesmo que nele esteja indicada uma 
data futura (pré-datado). Se houver fundos, o cheque, mesmo 
pré-datado, é pago.
37MATEMÁTICA FINANCEIRA
O cheque, assim como os títulos de crédito, é um 
papel representativo de uma obrigação. Então ele pode ser 
considerado um título de crédito?
Os autores que abordam o assunto divergem, alguns 
dizem que sim, outros dizem que não. 
Podemos dizer, que “culturalmente” o cheque é um título 
de crédito, dada sua ampla utilização nas transações comer-
ciais no Brasil. As instituições financeiras, que são regidas sob 
as normas do Sistema Financeiro Nacional, supervisionadas 
pelo Banco Central do Brasil, fazem operações com cheques 
pré-datados, ou seja, ele pode não ser um título de crédito 
pela legislação, mas de fato, ele acaba sendo. E com certeza 
está entre os mais utilizados para operações de desconto, a 
qual veremos a seguir.
Aqui em nossa disciplina, trabalharemos o conceito 
de desconto de títulos de crédito de forma ampla, 
independentemente do tipo de “papel” que venha ser 
utilizado. Ou seja, em nossos exercícios, aparecerão 
exemplos de operações de descontos com títulos 
que são levados às instituições financeiras a fim de 
que sejam antecipados aos seus portadores. Esses 
títulos de crédito poderão ser tanto duplicatas como 
cheques, mas o a modalidade do título (“papel”) 
utilizado não influencia no cálculo. Entendido? 
Falarei mais sobre o assunto em nossa videoaula.
38MATEMÁTICA FINANCEIRA
Operações de Desconto 
É uma operação que consiste em efetuar o resgate de um 
título antes do seu vencimento, na qual o detentor do título tem 
um abatimento sobre o valor nominal de face pela antecipação. 
No meio comercial é uma operação que visa obtenção de recur-
sos de curto prazo (capital de giro) destinados à manutenção 
das atividades da empresa.
Desconto é a quantia a ser abatida do valor nominal de um título, 
ou seja, é a diferença entre o valor nominal e o valor atual.
O mercado financeiro e comercial apresenta uma nomen-
clatura específica para designar as operações de desconto, 
apresentada a seguir:
• Valor de face, ou valor nominal, valor de resgate ou Valor 
Futuro (VF): é o valor que será pago na data do vencimento. 
Por exemplo, você faz uma compra no valor de R$ 500,00 
e a empresa emite um boleto bancário para pagamento em 
30 dias. O valor de face desse boleto, sobre o qual a empresa 
emite uma duplicata (título de crédito) será de R$ 500,00. 
• Valor Atual (VA) ou valor liquido: valor atualizado do título 
subtraído do desconto, tarifas e impostos. Ou seja, no exemplo 
acima, o emissor do título (o vendedor da mercadoria) leva 
à instituição financeira esse título para desconto. Ou seja, 
ele precisa do recurso agora, não poderá esperar os 30 dias 
para recebe-lo. A instituição financeira, mediante suas regras 
de crédito, antecipará o valor ao seu cliente, porém o valor a 
ser creditado a ele não será R$ 500,00. Desse valor de face, 
serão abatidos os juros, tarifas cobradas pela instituição e 
impostos. O valor líquido a ser creditado será menor do que 
o valor de face, tendo em vista esses encargos legais. 
• Desconto (D): valor do abatimento sobre o valor nominal 
(ou de face). É o somatório dos encargos abatidos na ope-
ração de desconto. 
39MATEMÁTICA FINANCEIRA
• Taxa de desconto (i): taxa de desconto da operação. É taxa 
utilizada pela instituição financeira para realizar a operação. 
Essa taxa geralmente é expressa ao mês e a mais utilizada 
no mercado financeiro é a taxa de juros simples1.
• Período de antecipação (n): tempo de antecipação do título. 
É o período a decorrer até o vencimento. Por exemplo, se 
a venda foi feita para 30 dias e de imediato o emissor do 
título solicita antecipação via operação de desconto, o prazo 
será de 30 dias. No entanto, se ele não fizer isso de imediato, 
mas decorridos15 dias ele precisa de capital de giro para sua 
empresa e solicita antecipação do referido título, o prazo da 
operação de desconto será de 15 dias, pois é o número de 
dias que falta para o vencimento do referido título. 
• Tarifas bancárias: são as tarifas cobradas pelas instituições 
financeiras para a prestação do serviço ao cliente. Cada ins-
tituição tem suas regras, mas no geral há tarifas de abertura 
1 Veremos no decorrer desse capítulo mais detalhes sobre taxas em operações de desconto.
de crédito (TAC), tarifas por título descontado, etc. 
• Imposto sobre as operações financeiras (IOF): incide sobre 
o valor atual do título (A) nas operações de crédito, con-
forme a alíquota de 0,0041% ao dia para pessoas jurídicas 
e 0,0082% ao dia para pessoas físicas.2 
Desconto Comercial 
Chamamos de desconto comercial as operações realiza-
das com base nos juros simples, produzido pelo valor nominal 
do título no período de tempo correspondente à taxa fixada. 
É uma das operações mais utilizadas no mercado financeiro 
brasileiro, principalmente em operações de crédito bancário e 
comercial a curto prazo.
d = N.i.n
2 Conforme o Decreto n. 6.306, de 14.12.2007, a base de cálculo do IOF nas operações de desconto 
é o valor líquido obtido, cuja alíquota é de 0,0041% ao dia para pessoa jurídica e, conforme o Decreto n. 8.392 
de 2015, de 0,0082% ao dia para pessoa física.
40MATEMÁTICA FINANCEIRA
Onde:
d = valor do desconto comercial 
n = tempo 
N = valor nominal do título ou valor futuro 
i = taxa de desconto
A = valor atual comercial ou valor descontado
Vejamos um exemplo prático: 
Exemplo: Um título de R$ 6.000,00 vai ser descontado a 
taxa de 2,1% ao mês (a.m.). Faltando 45 dias para o vencimento 
do título, pede-se: 
a. O valor do desconto comercial;
b. O valor atual comercial.
Resolução:
N = 6.000,00
n = 45 dias 
i = 2,1% a.m*.
2,1
100 = 0,021
*Importante atentar para o fato que a taxa está em percentual, 
deve ser dividida por 100 para ser colocada na fórmula.
Neste caso, temos o prazo em dias e a taxa em mês, temos 
também que colocar ambas no mesmo prazo, ou tudo em dias 
ou tudo em meses.
Se for colocar a taxa para dias, teremos: 0,2130 = 0,0007
Se for colocar o prazo para meses, teremos n = 1,5, pois 
45 dias é igual a um mês e meio (utilizamos o mês comercial 
que é 30 dias).
A = N - d
d = N – A
N = A + d
A = N ( 1- i . n)
41MATEMÁTICA FINANCEIRA
a. Sabemos que: d = N . i . n 
Logo:
d = 6.000 x 0,0007 x 45 = 189,00, isto é, o desconto co-
mercial é de R$ 189,00. 
b. E também sabemos que: A = N – d 
A = 6.000,00 – 189,00 = 5.811,00. 
Ou seja, o valor atual comercial é de R$ 5.811,00* 
*Para fins de simplificação didática, utilizamos aqui somente a taxa 
de juros, sem incidência de impostos e tarifas. Faremos exercícios mais 
completos no decorrer desse assunto, mas é importante que, nesse primeiro 
momento, você apenas entenda como se dá a operação de desconto.
O cálculo poderia ser feito, também, mantendo a taxa ao 
mês (a.m.) e passando o prazo para mês também, que seria 1,5, 
ou seja, um mês e meio (45 dias). 
Então: 
d = N.i.n = 6.000,00 x 0,021 x 1,5 = 189,00 isto é, o des-
conto comercial é de R$ 189,00.
Obs: O desconto comercial só deve ser empregado 
para períodos curtos, pois para prazos longos, o valor do 
desconto pode ultrapassar o valor nominal do título
42MATEMÁTICA FINANCEIRA
Desconto Bancário 
O desconto bancário é o mesmo desconto comercial ou 
por fora e é uma das operações de desconto mais utilizadas 
no mercado brasileiro, principalmente em operações de crédito 
bancário e comercial a curto prazo (desconto de duplicatas, 
cheque pré-datado e notas promissórias).
A forma de cálculo é exatamente a mesma do desconto 
comercial, pois é um desconto comercial. O que diferencia 
é a “linguagem bancária”, onde veremos termos como TAC, 
Desconto de Duplicatas, Valor líquido, tarifas por título des-
contado, etc. 
Essas operações devem ser de curto prazo, pois a combina-
ção das elevadas taxas de juros ainda praticadas na economia 
brasileira e prazos mais longos podem inviabilizar a operação 
e fazer que o valor do desconto seja muito elevado, a ponto de 
superar o valor do próprio título. 
No regime de juros simples, para que as operações de 
desconto comerciais sejam viáveis, é necessário que n.i < 1. 
Por se tratar de uma operação de crédito, com a garantia de 
um título, é comum, além do desconto, haver a incidência de 
outras duas despesas:
a. As tarifas bancárias, que podem ser um valor fixo ou per-
centual do valor nominal do(s) titulo(s). As condições, 
valores e percentuais dessas tarifas irão variar de ban-
co para banco e dependem também do cliente. As tari-
fas mais comuns são: taxa de abertura de crédito (TAC), 
taxa de confecção de crédito (TCC) tarifa de serviços 
bancários (TSB);
b. IOF à alíquota de 0,0041%a.d. sobre os créditos (alíquota 
para pessoa jurídica) colocados à disposição do tomador de 
empréstimos, ou, seja, sobre o valor atual do título.
43MATEMÁTICA FINANCEIRA
Exemplos 01: uma empresa descontou hoje uma dupli-
cata de R$ 1.520, com vencimento para 36 dias, por meio de 
desconto comercial simples à taxa de 3,6% a.m. Na operação 
foi cobrado IOF de 0,0041%a.d. e tarifa de serviços bancários 
(TSB) de 0,5% do valor nominal. Determine:
a. O valor do desconto, do imposto e da tarifa bancária.
b. O valor líquido recebido pela empresa.
c. O custo financeiro mensal.
Resolução: 
• Se a taxa é de 3,6% a.m. então, 3,6/30 = 0,12 ao dia. Para 
colocar na fórmula, dividimos por 100= 0,12/100 = 0,0012 a.d.
• Para o IOF, da mesma forma, está em percentual, dividimos 
por 100 para colocar na fórmula: 
0,0041/100 = 0,000041 a.d. 
• E o mesmo racional para tarifa bancária, 0,5% = 0,5/100 = 0,005.
a. O valor do desconto: d=N.i.n = 1.520,00 x 0,0012 x 36 = 65,66
O valor do imposto: 1.520,00 x 0,000041 x 36 = 2,24 
O valor da tarifa bancária; 1.520,00 x 0,005 = 7,60 
b. Valor líquido recebido pela empresa: 1.520,00 – (65,66 + 
2,24 + 7,60) = 1.444,50
c. O custo financeiro mensal: 75,50 / 36 = 2,097 é o custo 
financeiro total ao dia, em moeda corrente. Pode-se arre-
dondar para R$ 2,10 ao dia. 
2,10 x 30 = 63,00 é o custo financeiro em moeda cor-
rente em 30 dias, que representa um custo de 4,14% a.m. 
(63,00/1.520,00=0,04144 x 100 = 4,14% a.m.).
44MATEMÁTICA FINANCEIRA
Exemplo 02: uma empresa realizou uma operação de des-
conto comercial simples de duplicata à taxa de desconto de 
3,75%a.m., pelo prazo de 38 dias. O valor nominal da duplicata 
é de R$ 18.500,00. Considerando que a alíquota de IOF é de 
0,0041%a.d. e que a TAC cobrada foi de R$ 150,00, determine:
a. O valor do desconto;
b. O valor do imposto sobre operações financeiras (IOF);
c. O valor líquido recebido pela empresa. 
• Se a taxa é de 3,75% a.m. então, 3,75/30 = 0,1250 ao dia. 
Para colocar na fórmula, dividimos por 100= 0,1250/100 = 
0,001250 a.d. 
• Para o IOF, da mesma forma, está em percentual, dividimos 
por 100 para colocar na fórmula: 
0,0041/100 = 0,000041 a.d. 
a. O valor do desconto: d=N.i.n = 18.500,00 x 0,001250 x 
38 = 878,75
O valor do imposto: 18.500,00 x 0,000041 x 38 = 28,82
O valor da tarifa bancária: R$ 150,00
b. Valor líquido recebido pela empresa: 18.500,00 – (878,75 
+ 28,82 + 150,00) = 17.442,43
c. O custo financeiro mensal: (878,75 + 28,82 + 150,00) = 
1.057,57 é o custo financeiro total em moeda corrente em 
38 dias. 
Então 1.057/38 = 27,83 ao dia x 30 = 834,92 é o custo finan-
ceiro em moeda corrente em 30 dias, que representa um custo 
de 4,52% a.m. (834,92/18.500,00=0,0452 x 100 = 4,52% a.m.).
45MATEMÁTICA FINANCEIRA
Continuação do exemplo 2: E seu eu tivesse esse mesmo 
exercício, porém eu quisesse saber o custo financeiro em per-
centual cobrado pela operação de desconto. Digamos que fui 
ao banco com uma duplicata no valor de R$ 18.500,00 com 
vencimento para 38 dias e o gerente me disse que o valor líquido 
a ser creditado em minha contaseria de R$ 17.442,43. Quero 
saber o meu custo financeiro total nessa operação. 
Ora, se eu sei que d = N . i. n 
Eu tenho que d é o valor do desconto, ou seja:
R$ 18.500,00 – 17.442,43 = 1.057,57
Logo: d = N . i. n 
1.057,57 = 18.500,00 x i x 38 
1.057,57 = 703.000,00 i 
1.057,57 / 703.000,00 = i 
 i = 0,001503 a.d (atentem que o prazo está em dias, então 
a taxa também está em dias) 
i a.m = 0,001503 x 30 = 0,0451 = 4,51% a.m. 
Esse mesmo racional pode ser utilizado para calcular 
prazo, valor nominal, enfim qualquer uma das incógnitas 
da fórmula.
Desconto de Títulos e Taxa de Juros
Até agora vínhamos trabalhando com apenas um título nas 
operações de desconto. No entanto, no mercado financeiro, o 
mais usual é que os clientes descontem uma série de títulos. 
A empresa efetua diversas vendas a clientes diferentes e emite 
boletos para que os mesmos efetuem os pagamentos em prazos 
diversos. 
Na eventual necessidade de antecipar esses recursos, a em-
presa solicita à instituição financeira uma antecipação desses 
créditos, numa operação chama de desconto de duplicatas. 
Dentre os títulos as serem descontados, teremos valores e 
prazos diferentes. Chamamos o conjunto desses títulos para 
operação de desconto de borderô.
46MATEMÁTICA FINANCEIRA
Desconto de uma série de títulos – 
prazo médio
Exemplo: Uma empresa apresentou a um banco o seguinte 
borderô de duplicatas para desconto:
Supondo que o banco cobre uma taxa de desconto co-
mercial simples de 4,3% a.m., que a alíquota de IOF seja de 
0,0041%a.d. e que a instituição financeira cobrou uma TAC 
de 0,5% do valor nominal de cada título, determine:
a. O prazo médio entre as quatro duplicatas;
b. O valor do desconto;
c. O valor do IOF pago na operação;
d. O valor liberado à empresa (valor líquido).
a. Prazo Médio (ñ) = Pelo fato de estarem envolvidos diversos 
títulos com diferentes prazos de desconto, o prazo médio 
tem que ser calculado de forma ponderada. Ou seja, cada 
título tem seu valor ponderado pelo número de dias de 
antecipação.
Prazo médio (ñ) = (5.500,00x26)+(12.720,00x32)+(18.450,00 x49)+(29.380,00x55)5.500,00+12.720,00x32+18.450,00+29.380,00 =
3.069.990,00
66.050,00 = 46,48
Ou seja, o prazo médio desse borderô de desconto é de 
46,48 dias ou 46,48/30 = 1,55 meses.
b. Valor do Desconto = Para cálculo do desconto, utilizaremos 
a mesma fórmula que vínhamos utilizando para cálculo do 
desconto de apenas um título, porém o cálculo deve ser 
feito individualmente em cada um dos títulos, visto que são 
valores e prazos diferentes.
Atenção! Os prazos estão em dias e a taxa em mês. 
Temos que passar a taxa para dias ou o prazo para mês.
Borderô de Duplicatas
Duplicata Valor nominal Prazo (n)
A R$ 5.500,00 26 dias
B R$ 12.720,00 32 dias
C R$ 18.450,00 49 dias
D R$ 29.380,00 55 dias
47MATEMÁTICA FINANCEIRA
Para calcular a taxa ao dia, como estamos trabalhando com 
juros simples, basta dividir a taxa ao mês por 30 (trabalhamos 
com o mês comercial, que é de 30 dias, para simplificar). 
Taxa ao mês = 4,3% = 4,3 / 30 = 0,1433% ao dia (a.d.).
Taxa ao dia = 0,1433% = 0,1433 / 100 = 0,001433 (sempre 
dividir por 100 para colocar na fórmula).
c. Cálculo do IOF: temos apenas que dividir o percentual ao 
dia por 100 para efetuar a multiplicação direta pelo valor e 
pelo prazo em dias. 
d. Valor líquido a ser creditado para o cliente será o valor 
nominal do título menos o valor do desconto, IOF e TAC 
(está no enunciado que há uma TAC – Tarifa de Abertura 
de Crédito de 0,5% sobre o valor nominal dos títulos).
Acompanhe os cálculos na planilha a seguir:
*O prazo médio é ponderado e foi calculado acima. 
Veja que de um valor inicial (valor nominal N) de 
R$ 66.050,00, que a empresa teria a receber num prazo médio 
de 40 dias, ela recebe um valor líquido (valor presente ou valor 
atual A) de R$ 61.194,60.
Borderô de Duplicatas
Duplicata
Valor 
nominal
(R$)
Prazo 
(dias)
b) Valor do 
desconto 
(N.i.n)
c) Valor 
IOF
0,0041% 
a.d.
Valor TAC
0,5%
d)Valor 
líquido
A 5.500,00 26
5.500 x 
0,001433 x 
26 = 204,92
5.500 x 
0,000041 x 
26 = 5,86
5.500 x 
0,005 
=27,50
5.500,00 – 
(204,92 + 
5,86 +27,50) 
= 5.261,72
B 12.720,00 32
12.720 x 
0,001433 x 
32 = 583,29
12.720 x 
0,000041 x 
32= 16,69
12.720 x 
0,005=63,60
12.720,00 
– (583,29 
+ 16,69 + 
63,60) = 
12.056,42
C 18.450,00 49
18.450 x 
0,001433 
x 49 = 
1.295,50
18.450 x 
0,000041 x 
49 = 37,06
18.450 x 
0,005 = 
92,25
18.450,00 
-(1.295,50 
+ 37,06 + 
92,25) = 
17.025,19
D 29.380,00 55
29.380 x 
0,001433 
x 55 = 
2.315,58
29.380 x 
0,000041 x 
55 = 66,25
29.380 x 
0,005 = 
146,90
29.380,00–
(2.315,58+ 
66,25+ 
146,90) = 
26.851,27
Total 66.050,00
Prazo 
médio*= 
46,48 dias
R$ 
4.399,29
R$ 
125,86
R$ 
330,25
R$ 
61.194,60
48MATEMÁTICA FINANCEIRA
A diferença é o valor do desconto, o custo que a empresa arca, 
para poder ter o valor disponível antes do vencimento e fazer 
uso imediato esse recurso para cumprir outros compromissos.
Temos que d = N – A 
d = 66.050,00 – 61.194,60 = 4.855,40 é o custo financeiro 
da operação, em valores monetários. E percentualmente, quanto 
isso representa para a empresa?
A taxa aplicada pelo banco para operação de desconto foi 
de 4,3% a.m., correto? Mas será que, se considerarmos todos 
os custos da operação e o fato desses juros serem pagos ante-
cipadamente (o cliente já recebe o valor líquido de todos os 
custos), não chegaríamos a uma taxa deferente de 4,3%? 
Essa taxa é chamada de taxa efetiva e representa a taxa 
final da operação, aquela que o cliente acará, somando-se todos 
os custos da operação. 
Chamamos de taxa nominal aquela que é aplicada à ope-
ração, num regime de juros simples ou composto. 
Como estamos aqui trabalhando somente com juros sim-
ples, o cálculo da taxa efetiva pode ser feito através da fórmula: 
i = dA x ñ
Logo:
i = 4.855,4061.194,60 x 46,48 = 0,0017 = 0,17% a.d x 30 dias = 5,10% a.m.
Em nosso exemplo, a taxa nominal foi de 4,3% a.m., mas 
a taxa efetiva foi de 5,10% a.m.
Taxa de Juros Efetiva (Regime Juros Compostos)
É a taxa de juros obtida dos valores monetários, inicial e 
final da operação. Uma taxa é efetiva quando o valor inicial 
49MATEMÁTICA FINANCEIRA
tomado como base de cálculo não representa o valor efetiva-
mente recebido ou desembolsado.
Isso acontece em razão de existirem obrigações, taxas, 
impostos ou comissões que comprometem os rendimentos e 
oneram os pagamentos de juros. Ela está presente também em 
casos onde o período de capitalização é inferior ao período 
fornecido pela taxa nominal. 
A taxa efetiva de juros é a taxa dos juros apurada durante 
todo o prazo n, sendo formada exponencialmente através dos 
períodos de capitalização. Ou seja, taxa efetiva é o processo de 
formação dos juros pelo regime de juros compostos ao longo 
dos períodos de capitalização. É obtida pela seguinte expressão:
Taxa Efetiva (if) = (1 + i)q – 1
Onde: 
q = número de períodos de capitalização do juros.
Por exemplo, uma taxa de 3,8% ao mês determina um 
montante efetivo de juros de 56,45% ao ano, ou seja:
Taxa Efetiva (if) = ( 1 + 0,038)12 – 1= 56,44%
Quando se diz, por outro lado, que a taxa de juros é no-
minal, geralmente é admitido que o prazo de capitalização dos 
juros (ou seja, período de formação e incorporação dos juros ao 
principal) não é o mesmo daquele definido para a taxa de juros. 
Por exemplo, seja a taxa nominal de juros de 36% ao ano 
capitalizada mensalmente. Os prazos não são coincidentes. O 
prazo de capitalização é de um mês e o prazo a que se refere a 
taxa de juros é igual a um ano (12 meses). 
Assim, 36% ao ano representa uma taxa nominal de juros, 
expressa para um período inteiro, a qual deve ser atribuída ao 
período de capitalização. Quando se trata de taxa nominal, é co-
mum admitir-se que a capitalização ocorre por juros proporcionais 
50MATEMÁTICA FINANCEIRA
simples. Assim, no exemplo, a taxa por período de capitalização 
é de 36%/12 = 3% ao mês (taxa proporcional ou linear). 
Ao secapitalizar esta taxa nominal mensal (3%) apura-se uma 
taxa efetiva de juros superior àquela declarada para a operação. 
Baseando-se nos dados do exemplo ilustrativo acima, tem-se:
• Taxa nominal da operação para o período = 36% ao ano.
• Taxa proporcional simples (taxa definida para o período de 
capitalização) = 3% ao mês.
• Taxa efetiva de juros: (if) = (1 + i)q – 1 = (1 + 0,03)12-1 = 42,57% 
Observe que é bem superior aos 36% ao ano, devido à 
capitalização mensal, ou seja, o que comumente chamamos 
de “ juros sobre juros”, que nada mais é do que o regime de 
capitalização composto. 
Logo, ao se dizer que os juros anuais são se 36%, mas ca-
pitalizados mensalmente, apura-se que a taxa efetiva de juros 
é de 42,57% ao ano. 
Para que 36% ao ano fosse considerada a taxa efetiva, a 
formação mensal dos juros deveria ser feita a partir da taxa 
equivalente composta, ou seja:
Taxa equivalente mensal de 36% ao ano:
iq = √1+i -1 = √1+0,36 -1 = 2,6% ao mês.
Ao se capitalizar exponencialmente esta taxa de juros equi-
valente mensal, chega-se, evidentemente, aos 36% ao ano:
(if) = ( 1 + i)q – 1 = (1 + 0,026)12 - 1 = 36% ao ano.
51MATEMÁTICA FINANCEIRA
Exemplo: um empréstimo no valor de $ 12.000,00 é efe-
tuado pelo prazo de um ano à taxa nominal (linear) de juros de 
32% ao ano, capitalizados trimestralmente. Pede-se determinar 
o montante (valor futuro) e o custo efetivo do empréstimo.
Solução: 
• Taxa nominal (linear) i = 32% a.a.
• Descapitalização proporcional i =32%/4 =8% a.t.
• Montante*?
*Como temos capitalização trimestral e a taxa foi dada ao 
ano, sabemos que trata-se de juros compostos. Então para calcular 
o montante vamos utilizar a fórmula de valor futuro:
FV = PV ( 1 + i)n = 11.000,00 (1 + 0,08)4 = $ 14.965,38
Taxa efetiva?
(if) = ( 1 + i)q – 1 = (1 + 0,08)4 -1 = 36,0% ao ano.
52MATEMÁTICA FINANCEIRA
Síntese
Chegamos ao final do terceiro capítulo, tudo bem até aqui? 
Esse capítulo foi dedicado a operações de desconto de títulos, um 
tipo de captação de recursos a curto prazo amplamente utilizado no 
mercado financeiro brasileiro, e como essas operação são realizadas 
em instituições financeiras de todo o país. 
Vimos também como os encargos financeiros e o fato dessas 
operações se caracterizarem pelo pagamento antecipado de juros, 
inf luenciam na taxa de juros final, que é a taxa efetiva da operação. 
Assim, estamos aprofundando nosso estudo na disciplina e já 
podendo relacionar os conteúdos vistos ao nosso cotidiano. Eis a 
importância da matemática financeira para nossa vida. 
Assista as nossas videoaulas, explore os materiais complementa-
res, participe das tutorias e envie mensagens sempre que tiver dúvidas. 
Não esqueça, você é responsável por sua aprendizagem! 
E agora, vamos praticar?
53MATEMÁTICA FINANCEIRA
Exercícios
1. Comprei um produto para pagar em 90 dias, mas 60 dias 
antes do vencimento optei por antecipar a dívida. O ven-
dedor concedeu-me um desconto comercial de 3,0% a.m. 
pelo pagamento antecipado. Sabendo-se que o valor nominal 
(valor futuro) do título é de R$ 1.800,00, qual o valor que 
eu pagarei por ele hoje (valor atual)? 
2. Sabendo que um banco cobra uma taxa de desconto comercial 
de 5,5% ao mês, calcule o valor do desconto e o valor líquido 
de um título com as seguintes características: 
Prazo de antecipação = 45 dias, 
Valor nominal do crédito = R$ 3 400,00.
Valor do IOF = 0,0041% a.d.
Valor da tarifa bancária = 0,48% sobre o valor nominal.
3. (BB 2010 – Cesgranrio). Um título com valor de face de R$ 
1.000,00, faltando 3 meses para seu vencimento, é descontado 
em um banco que utiliza taxa de desconto bancário, ou seja, 
taxa de desconto simples “por fora”, de 5% ao mês. O valor 
4. Calcule a taxa efetiva anual de juros compostos às seguintes taxas:
a. 18% ao ano com capitalização semestral
b. 18% ao ano com capitalização trimestral
c. 18% ao ano com capitalização bimestral
d. 18% ao ano com capitalização mensal
e. 18% ao ano com capitalização diária
5. Sabendo que um banco cobra uma taxa de desconto comercial 
de 3,4% ao mês, calcule o valor do desconto e o valor líquido 
de um título com as seguintes características:
Prazo de antecipação = 82 dias 
Valor nominal do crédito = R$ 6.200,00.
Valor do IOF = 0,0041% a.d. 
Valor da tarifa bancária = 0,7% sobre o valor nominal.
presente (valor atual) do título, em reais, é: 
a. 860,00
b. 850,00
c. 840,00
d. 830,00
e. 820,00
54MATEMÁTICA FINANCEIRA
FLUXOS DE CAIXA
A matemática financeira se preocupa com o 
estudo das várias relações dos movimentos 
monetários que se estabelecem em distintos 
momentos no tempo. Estes movimentos 
monetários são identificados temporalmente 
através de um conjunto de entradas e saídas 
de caixa definido como fluxo de caixa.
Um fluxo de caixa representa uma série de pagamentos 
ou de recebimentos que se estima ocorrer em determinado 
intervalo de tempo.
55MATEMÁTICA FINANCEIRA
É bastante comum, na prática, defrontar-se com operações 
financeiras que se representam por um fluxo de caixa. Por exem-
plo, empréstimos e financiamentos de diferentes tipos costumam 
envolver uma sequência de desembolsos periódicos de caixa.
De maneira idêntica, têm-se os f luxos de pagamentos/
recebimentos de aluguéis, de prestações oriundas de com-
pra a prazo, de investimentos empresariais, de dividendos 
etc. O termo f luxo de caixa está bastante ligado ao mundo 
empresarial. Mas nós temos também os nossos “f luxos de 
caixas pessoais”. 
Todos nós, que fazemos parte da população economi-
camente ativa, temos as entradas de recursos, represen-
tadas pelo recebimento de salário, pró labore, participação 
nos lucros e outros. E temos também as saídas de dinheiro, 
que são nossos compromissos a pagar, como aluguel, pres-
tação do carro, da casa, faculdade, academia, compras no 
supermercado, etc. 
Saber controlar as entradas e saídas de recursos é fundamen-
tal para a saúde financeira da empresa e de nossa vida pessoal. 
Gastar menos do que se ganha é a chave para se evitar dívidas 
que comprometam totalmente a renda pessoal ou o faturamento 
de uma empresa. Em alguns casos esse comprometimento pode 
ultrapassar o valor das receitas, gerando mais encargos, mais 
dívidas, contas em atraso e etc. E a matemática financeira é 
uma ferramenta que vem para nos mostrar como gerir essas 
entradas e saídas, denominadas f luxos de caixa. 
Os f luxos de caixas podem ser verificados das mais va-
riadas formas e tipos em termos de períodos de ocorrência, 
de periodicidade, de duração e de valores. Vejamos agora as 
similaridades e diferenças entre eles.
Modelo Padrão
O modelo padrão de um fluxo de caixa é verificado quando 
os termos de uma sucessão de pagamentos ou recebimentos 
56MATEMÁTICA FINANCEIRA
apresentam, ao mesmo tempo, as seguintes classificações: 
a. Postecipados – indicam que os fluxos de pagamentos ou 
recebimentos começam a ocorrer ao final do primeiro in-
tervalo de tempo.
b. Limitados – o prazo total do fluxo de caixa é conhecido 
a priori, sendo finito o número de termos (pagamentos e 
recebimentos). 
c. Constantes – indica que os valores dos termos que compõem 
o fluxo de caixa são iguais entre si.
d. Periódicos – é quando os intervalos entre os termos do 
fluxo são idênticos entre si (o tempo entre um fluxo e outro 
é constante).
Graficamente, o f luxo de caixa padrão (uniforme) é repre-
sentado da seguinte forma:
Observe que a estrutura desse f luxo obedece à classifica-
ção-padrão: 
• A PMT (parcela) ocorre em n = 1, postecipado. 
• A diferença entre a data de um termo e outro é constante: 
periódico;
• O prazo do fluxo é preestabelecido (fixo), apresentando n 
períodos, limitado ou finito. 
• Os valores da PMT (parcelas) são uniformes (iguais), cons-
tantes. 
1
PMT
t = 0 n = 5 (número de parcelas)
PMT PMT PMT PMT
2 3 4 5
57MATEMÁTICA FINANCEIRA
Fluxos de Caixa Não Convencionais 
Os f luxos de caixa não convencionais são os f luxos de 
caixa que não obedecem ao modelo padrão, ou seja, podem ter 
diversasentradas e saídas ao longo do tempo, não obedecendo 
à uniformidade no que se refere a períodos de tempo, valores 
e/ou prazos. 
Vejamos algumas das características desses f luxos de caixa: 
Período de Ocorrência 
Quanto ao período de ocorrência, o f luxo de caixa pode ser 
identificado como postecipado (modelo padrão), antecipado 
e diferido. 
O f luxo de caixa antecipado indica que uma série de va-
lores começa a ocorrer antes do final do primeiro período. Por 
exemplo, um aluguel pago no início do período de competência 
(geralmente no início do mês) enquadra-se como um f luxo 
de caixa antecipado por um período (mês). Se dois aluguéis 
forem adiantados ao locador, a antecipação é de dois períodos, 
e assim por diante. 
O f luxo de caixa diferido indica que os termos da série 
começam a ocorrer após o final de um intervalo de tempo, in-
dicando consequentemente uma carência até a data do primeiro 
pagamento. Se os pagamentos começarem a ocorrer ao final 
do primeiro intervalo de tempo, teremos uma carência de um 
período. Se ocorrer ao final do segundo intervalo, significa 
uma carência de dois períodos, e assim sucessivamente. 
Periodicidade 
A periodicidade ref lete os intervalos de tempo em que 
os f luxos de caixa ocorrem, se esses intervalos forem sempre 
iguais, diz-se que os f luxos são periódicos, enquadrando-se 
no modelo padrão anteriormente apresentado. 
58MATEMÁTICA FINANCEIRA
Se, por outro lado, os termos se verificarem em intervalos 
irregulares (diferentes entre si), tem-se o que se denomina de 
fluxos de caixa não periódicos. Ou seja, os intervalos de tempo 
não são constantes, podendo o primeiro pagamento ocorrer 
em 30 dias, o segundo em 90 dias, ou seja, 3 períodos após 
o primeiro e o terceiro em 60 dias, ou seja, 2 períodos após o 
segundo, e assim sucessivamente. Não há uniformidade entre 
um período de pagamento e outro. 
Duração 
A duração de um f luxo de caixa pode ser finita, carac-
terística do modelo padrão, ou indeterminada (indefinida), 
quando o prazo não é conhecido previamente. 
As séries indeterminadas encontram aplicações práticas 
principalmente em avaliações de imóveis efetuadas com base 
nos rendimentos de aluguéis, na apuração do preço de mercado 
de uma ação a partir do f luxo previsto de dividendos, etc. 
Valores 
No que se refere aos valores, os termos de caixa podem 
ser constantes, se os f luxos de caixa apresentarem-se sempre 
iguais (modelo padrão), ou variáveis, se os f luxos não forem 
sempre iguais entre si. 
Quando os pagamentos são variáveis, como o próprio 
nome diz, não há constância entre os pagamentos, ou seja, os 
valores dos f luxos de caixa não são iguais. 
Fluxo de Caixa e o Valor do 
Dinheiro no Tempo 
Vimos que o f luxo de caixa é de grande utilidade para 
as operações da matemática financeira, permitindo que se 
visualize no tempo o que ocorre com o capital. A represen-
tação gráfica de um f luxo de caixa pode ser representado 
da seguinte forma:
59MATEMÁTICA FINANCEIRA
A linha horizontal registra a escala de tempo, ou seja, o 
horizonte financeiro da operação. O ponto zero indica o mo-
mento inicial, e os demais pontos representam os períodos de 
tempo (datas).
As setas para cima da linha do tempo ref letem as entradas 
(ou recebimentos) de dinheiro, e as setas para baixo da linha 
indicam saídas (ou aplicações) de dinheiro.
Esse é o esquema básico de um f luxo de caixa. Vimos que 
ele pode ser padrão ou não convencional. No modelo padrão, 
termos prazos predeterminados, períodos de pagamentos e 
valores uniformes ao longo do tempo.
Já nos não convencionais, haverá variabilidades nos valores 
dos pagamentos, ou nos períodos ou até mesmo em ambos. O 
que pode acontecer também é de que não tenhamos conheci-
mento do tempo de recebimentos ou pagamentos do f luxo de 
caixa, caracterizando-o por indeterminado. 
Fluxo de caixa de uma empresa é a movimentação de di-
nheiro dentro de uma empresa. Caixa é dinheiro. Fluxo é movi-
mento, circulação. O fluxo de caixa é como o sangue que corre 
nas veias da empresa, é a circulação de recursos financeiros que 
faz a empresa operar e funcionar. É o que mostra que a empresa 
está viva e operando. Os fluxos de caixa devem ser o principal 
foco do gestor financeiro, tanto na gestão do dia a dia quanto 
no planejamento e nas decisões de prazos mais longos.
1
2 3 4
5 7 n
6 (Período / Tempo)
Entradas / Receitas
Saídas / Despesas
60MATEMÁTICA FINANCEIRA
Podemos separar os f luxos de caixa de uma empresa pelos 
seus diversos objetivos, destinos ou procedências: 
• Fluxos de caixa das operações - venda e produção de bens 
ou serviços;
• Fluxos de caixa de investimento - compra e venda de ativos 
imobilizados;
• Fluxos de caixa de financiamento - transações financeiras, 
inclui cap. próprio e terceiros;
• Fluxos de caixa para os credores - pagamento de juros e 
principal de dívidas;
• Fluxos de caixa para os sócios - pagamento de dividendos 
para os sócios;
• Fluxos de caixa das operações internacionais;
• Fluxo de caixa livre - é o resultado líquido, após pagamento de 
taxas, impostos, demais custos, disponível para os investidores.
Quando temos uma projeção de uma série de recebimentos, 
ou seja, um f luxo de caixa projetado, podemos dizer também 
que esses são valores futuros a receber. Podemos então descontar 
esses f luxos de caixa a receber a uma taxa de juros X e assim 
trazer esses f luxos a valores presentes. 
Isso também é aplicável a amortizações de empréstimos, 
pois se temos uma parcela a pagar dentro de 90 dias, por exem-
plo, e queremos quitá-la antecipadamente, temos que trazer 
o valor futuro a valor presente e teremos o desconto concedi-
do pela antecipação. Em nosso próximo capítulo trataremos 
de amortizações de empréstimos e então veremos como isso 
funciona. Vejamos um exemplo prático de f luxos de caixa a 
receber, trazidos a valores presentes: 
Exemplo: Uma academia apresenta um resultado projetado 
para seus investidores (fluxo de caixa líquido), depois de descon-
tados taxas e impostos, de $100 mil no final do primeiro ano, 
$110 mil no final do segundo, $121 mil no final do terceiro e 
61MATEMÁTICA FINANCEIRA
finalmente $133,1 mil no final do quarto ano. Considere que 
ao final do quarto ano, a academia poderá ser revendida por 
$250 mil e hoje pode ser adquirida hoje por $350 mil. Consi-
derando uma taxa de desconto de 8% ao ano, calcule o valor 
presente desses f luxos de caixa a receber:
Solução: 
No último f luxo de caixa, somamos o valor terminal, ou 
seja, o valor pelo qual a academia poderá ser vendida. 
Trazendo cada valor futuro a valor presente:
VP = VF(1+i)n
VP = 100.000(1+0,08)1 = R$ 92.592,60
VP = 110.000(1+0,08)2 = 94.307,27
VP = 121.000(1+0,08)3 = 96.053,70
VP = 383.100(1+0,08)4 = 281.589,94
O somatório desses f luxos de caixa trazidos a valores pre-
sentes, será o valor presente do investimento. 
VP do Investimento = 92.592,60 + 94.307,27 + 96.053,70 + 281.589,94 = 564.543,51
Chamamos de VPL – Valor Presente Líquido o valor 
presente menos o investimento inicial: 
VPL = 564.543,51 – 350.000,00 = 214.543,51
Nessa disciplina vamos no ater apenas no valor presente 
dos f luxos de caixa. A informação do Valor Presente Líquido 
é apenas ilustrativa. 
Em nossa videoaula explicarei o passo a passo para fazer 
esse exercício pela hp12C.
100.000
-350.000
110.000 121.000 383.100
t = 0 t = 1 t = 2 t = 3 t = 4
n = 5 (número de parcelas)
62MATEMÁTICA FINANCEIRA
Síntese
Nosso capítulo 4 tratou de f luxos de caixa, que 
servem tanto para a empresa quanto para pessoas 
físicas. Vimos também que existem os f luxos de 
caixa padrão e os não convencionais, os quais não 
apresentam uniformidade exibida no modelo padrão. 
E mais uma vez pudemos voltar ao conceito de 
valor do dinheiro no tempo, quando tratamos de 
valores a receber através dos f luxos de caixa, que 
nada mais são do que os valores futuros. 
E o seu f luxo de caixa, a sua vida financeira 
particular, você consegue esquematizar um fluxo