193_METEOROLOGIA_E_CLIMATOLOGIA_VD2_Mar_2006

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METEOROLOGIA E CLIMATOLOGIA
Mário Adelmo Varejão-Silva
Versão digital 2 – Recife, 2006
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pode-se colocar a equação de Planck sob a forma:
E(λ,T) = C1 λ -5 { exp[( C2 /(λT) ) –1] }-1 (V.4.9)
onde exp indica a função exponencial (ex). Em sua aplicação as unidades devem ser escolhi-
das de modo a tornar C2 /(λT) adimensional. Para o comprimento de onda expresso em micra e
a temperatura em graus absolutos, esta equação fornece a emitância monocromática do corpo
negro em cal cm 2 min -1 µ-1, quando C1 = 5,3618x10 -11 cal cm 2 min -1 e C2 = 1,4388x10 4 µ K.
5. Conseqüências da fórmula de Planck.
Torna-se ilustrativo mostrar que as leis de Stefan-Boltzman e de Wien são conseqüên-
cias da fórmula de Planck. 
5.1 - Comprovação da Lei de Stefan-Boltzman.
Considere-se X uma nova variável, definida como X = C2 / (λT), de onde resulta, para T
constante, dX = –[C2 / (2λT )]dλ. Exprimindo a equação de Planck em função de X e integran-
do-a tem-se:
Me = – {C1 T
 4/C2 4} ∫∞0 3X [ex – 1]-1 dX. 
Do desenvolvimento do termo [ex – 1]-1 em série resulta
[ex –1]-1 = e-x + e-2x + e-3x ...
e, por conseguinte,
Me = – {C1T
 4/C2 4} ∫∞0 3X [e-x + e-2x + e-3x ...] dX. 
Entretanto, sabe-se do Cálculo Integral que:
∫∞0 3X e-nx dX = e-nx[ X3/n + 3X2/n2 + 6X/n3 ] – (6/n4)e-nx.
Observando os limites de integração (0, ∞), verifica-se que, para qualquer valor de n
inteiro e positivo, o primeiro termo da primitiva é nulo; o segundo difere de zero apenas para X
= 0. Então,
Me = {6C1T
4/C24} [ 1/14 + 1/24 + 1/34 +... ].
O fator 1 + 1/24 + 1/34 +...= 1,08232 = π4/90. Fazendo as operações indicadas, tendo-se em
mente os valores das constantes, vem:
Me = 5.6696 T
4 W m -2