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1 ............................................................................................................................... Engenharia Mecatrônica Cálculo: Equações Diferenciais – Híbrido Leonardo Aguiar Godoy – 257752022 Portfólio – Cálculo: Equações Diferenciais ........................................................................................................................................ Curitiba 11/2022 2 Leonardo Aguiar Godoy - 257752022 Portfólio – Cálculo: Equações Diferenciais Trabalho apresentado ao Curso de Engenharia Mecatrônica do Centro Universitário ENIAC para a disciplina de Cálculo: Equações Diferenciais. Prof. SERGIO FERNANDES DE FREITAS ........................................................................................................................................ Curitiba 11/2022 https://portalacademico.eniac.edu.br/user/profile.php?id=4682 3 .................................................................................................................... 1. Proposta do Portfólio: Definir as equações para um sistema massa-mola levando em consideração as seguintes informações: - Indústria em estudo trabalha com um fluido contendo de 30 a 50% de soda cáustica (NaOH) em sua composição; - A pressão de trabalho é de aproximadamente 1450 psi (100 bar) - Levando em consideração o fenômeno do golpe de ariete que provoca um acréscimo de pressão de mais 100 bar. - Esse sistema utiliza uma bomba Pneumática de Duplo Diafragma movimentada por ar comprimido. 4 Problema do sistema: Uma consequência indesejável da utilização desta bomba é a variação de pressão, causada pelo movimento harmônico do eixo de interligação dos diafragmas que ela trabalha. Com essas informações, determinar as seguintes questões: 1) Supondo que a bomba Pneumática de Duplo Diafragma trabalha em MHS, determine a equação e representação gráfica, da posição, da velocidade e da aceleração, como resposta da equação diferencial de um sistema equivalente massa - mola. Dados; massa do sistema vale 2,7 Kg, K = 100 N/m e Xmáx = 4 cm; 2) O amortecedor de Pulsações para Bombas de Diafragma Pneumático trabalha num MHS amortecido, trabalhando pela equação F = -bV, onde B é chamado de constante de amortecimento. Determine a equação de amortecimento e sua representação gráfica através da resposta da equação diferencial de um sistema equivalente massa - mola. Dados; massa do sistema vale 5Kg, y (0) = -0,02 m, y´ (0) = 2 m/s, K = 4000 N/m e b = 300 Ns/m 3) Conclusão sobre o exercício proposto. 5 2. Introdução O Movimento Harmônico Simples (MHS) é caracterizado pelo movimento oscilatório de um corpo de massa m, quando a força restauradora desse movimento é proporcional ao deslocamento. No MHS a aceleração e a força resultante são proporcionais e opostas ao movimento. Como no desafio proposto, um exemplo de MHS é o sistema massa-mola. O sistema massa-mola é um modelo composto por uma mola acoplada a um corpo de massa conhecida. Para que esse modelo seja considerado ideal existem algumas considerações a serem feitas. Quanto à mola, sua massa deve ser desprezível e não pode perder suas propriedades elásticas quando deformada, já em relação à massa, não deve se deformar sob ação da força aplicada. Na prática essas condições são fisicamente impossíveis de serem alcançadas, pois por mais leve que seja um corpo a sua massa não pode ser considerada nula (KELLER, 2011). Para isso, deve-se desenvolver uma equação diferencial que considere todas as situações possíveis, tais como a posição de uma partícula em função do tempo e a validade da equação deduzida, esclarecendo se realmente é possível prever o comportamento do sistema massa-mola de maneira teórica. 3. Desenvolvimento Uma oscilação denomina-se um MHS, quando a força restauradora é diretamente proporcional ao deslocamento da posição de equilíbrio (YOUNG; FREEDMAN, 2008). De acordo com a Segunda Lei de Newton, a força resultante que age em um corpo é igual ao produto de sua massa pela aceleração (𝑭 = 𝒎. 𝒂). Esta força sempre age no sentido da aceleração. Quando o sistema, em equilíbrio, é perturbado por uma força externa, a força restauradora surge com o objetivo de restabelecer o equilíbrio do sistema. Logo, essa relação das forças gera uma série de repetições de movimento descritos como ciclos. O Período (T) é o tempo necessário para que um ciclo ocorra. Frequência (f) é o número de ciclos que ocorre no intervalo de um segundo. Essas grandezas são de extrema importância no sistema massa-mola, vale salientar que elas dependem apenas da massa da partícula (m) e da constante da mola (k), acerca disto Young e Freedman (2008, p.41) afirma que: O período e a frequência do movimento harmônico simples são completamente determinados pela massa m e pela constante da mola k. No movimento harmônico simples, o período e a frequência não dependem da amplitude. 6 A frequência angular (𝛚) no sistema massa-mola é uma grandeza de extrema importância que depende da massa da partícula e da constante da mola, dada por: 𝛚 = √ 𝐤 𝐦 (1) 1) Considerando as informações, Massa = 2,7Kg k = 100N/m Deslocamento max = 4cm ou 0,04m; Pode ser aplicada a segunda lei de Newton pois o valor da massa é constante. Assim: m.a = F; (2) Onde: m = Massa a = aceleração F = Força Resultante Considerando que, para o sistema massa-mola, para cada força aplicada, existe uma reação contrária, utiliza-se a lei de Hooke para determinar a força elástica da mola. Sendo: Fel = -k.x (3) Onde: Fel = Força elástica da mola (N), k = Constante elástica (N/m), x = Deformação da mola (m) OBS: O sinal negativo na fórmula se dá pelo sentido da força exercida que é sempre oposto à variação de comprimento sofrida pela mola. 7 Fonte: https://brasilescola.uol.com.br/fisica/lei-de-hooke.htm Igualando as duas equações para determinar a posição de equilíbrio, temos: |𝑷| = |𝑭𝒆 | 𝒎𝒈 = 𝒌𝒔 (4) 𝒎𝒈 − 𝒌𝒔 = 0 Com o sistema em equilíbrio, tem que 𝒎𝒈 − 𝒌𝒔 = 0, portanto podemos falar que: 𝒂 = − 𝒌𝒙 𝒎 (5) A velocidade de uma partícula é dada como sendo a variação da posição em relação ao tempo: 𝑣 = ⅆ𝑥 ⅆ𝑡 (6) Para determinar a aceleração na fórmula, deve-se saber que a aceleração é a variação da velocidade em relação ao tempo, que significa que a aceleração é a segunda derivada da posição em relação ao tempo. Como o problema nos dá a posição, então utiliza-se: ⅆ2𝑥 ⅆ𝑡2 = 𝑎; (7) Juntando a equação (7) com a equação (6), tem-se a equação (8) que deve descrever o comportamento experimental do sistema massa-mola: ⅆ2𝑥 ⅆ𝑡2 = − 𝑘𝑥 𝑚 (8) https://brasilescola.uol.com.br/fisica/lei-de-hooke.htm 8 ⅆ2𝑥 ⅆ𝑡2 + 𝑘𝑥 𝑚 = 0 A equação (8) é uma Equação Diferencial (ED) que é definida como uma equação cuja função contém derivadas (Zill, 2011). Uma ED pode ser classificada pelo tipo, ordem e linearidade. Uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) é aquela que envolve derivadas de uma função de uma única variável independente. Caso isso não ocorra trata-se de uma Equação Diferencial Parcial (EDP). Sobre isso, Bronson (2008, p.15) diz que: Uma equação diferencial ordinária é aquela em que a função incógnita depende de apenas uma variável independente. Se a função incógnita depender de duas ou mais variáveis independentes, temos uma equação diferencial parcial.Segundo Boyce (2010, p.15), “A ordem de uma equação diferencial é a ordem da derivada de maior ordem que aparece na equação”. Portanto a equação (8) é classificada como ED de Segunda Ordem, já que apresenta grau máximo igual a dois. Para a classificação da derivada quanto à linearidade faz-se necessário a observação de dois itens: o primeiro deles indica que a variável dependente e suas derivadas devem ser do primeiro grau, e o segundo é que cada coeficiente apenas pode depender da variável independente (ZILL, 2011). Se esses dois quesitos forem atendidos, a equação é dita Equação Diferencial Linear. Isso posto, percebe-se que a equação (9) se trata de uma Equação Diferencial Ordinária Linear de Segunda Para resolução de uma EDO com essas características, temos que: 𝑥(𝑡) = 𝐶1ⅇ 𝑟1𝑡 + 𝐶2ⅇ 𝑟1𝑡 (9) Utilizando os conhecimentos em aula e pesquisas feitas, os valores de r1 e r2 são obtidos pela equação algébrica de segundo grau utilizando a fórmula de Bhaskara. Já as constantes C1 e C2 dependem de outros fatores. −𝐛±√𝐛𝟐−𝟒𝐚𝐜 𝟐𝐚 (10) 9 Sendo r1 e r2 as raízes da fórmula. Substituindo as informações na fórmula temos que, a = m; b = 0; c = k; então, teremos 𝛥 = 02 − 4𝑚𝑘 (11) resolvendo, temos que 𝛥 terá valor negativo √𝛥 = 2ⅈ√𝑚𝑘 (12) Portanto, r1 e r2 serão raízes imaginárias. Fazendo essa conta teremos: 𝑟1 = −0+2ⅈ√𝑚𝑘 2𝑚 = ⅈ√ 𝑘 𝑚 (13) 𝑟2 = −0−2ⅈ√𝑚𝑘 2𝑚 = −ⅈ√ 𝑘 𝑚 (14) Analisando a equação (8) e os valores encontrados para r, pode-se observar que r² + 𝛚² = 0 é uma equação auxiliar. Utilizando a equação de frequência angular (1) temos que: r² = - 𝛚² r = √𝒊𝛚² r1 = 𝒊𝛚 e r2 = −𝒊𝛚 (15) Como as raízes de delta são negativas, chegamos em uma equação complexa. Nessa situação, surge a necessidade do uso da identidade de Euler, dada por: 𝒆 𝒊𝜽 = 𝐜𝐨𝐬 𝜽 + 𝒊 𝐬𝐢𝐧 𝜽. Fazendo r𝟏 = 𝒆^𝒊𝝎𝒕 e r𝟐 = 𝒆^-𝒊𝝎𝒕 obtém-se 10 𝒆^𝒊𝝎𝒕 = 𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕 + 𝒊 𝐬𝐢𝐧 𝝎𝒕 (16) Portando chamando r𝟏 = 𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕 e r𝟐 = 𝐬𝐢𝐧 𝝎𝒕 a solução final para a equação (8) é dada por: 𝒙(𝒕) = 𝑪𝟏 𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕 + 𝑪𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝝎𝒕 (17) O Problema de Valor Inicial (PVI) restringe a equação geral (16) a situações próprias de cada sistema do MHS, atribuindo valores as constantes 𝑪𝟏 e 𝑪𝟐. Isso significa que, para cada situação dada, o valor inicial do problema deve ser levado em consideração. Nesse caso, o sistema massa-mola parte do repouso a uma posição de equilíbrio em t = 0 e com velocidade inicial nula. Com isso a posição de partida da massa é sua amplitude máxima (Amax.). Considerando a fórmula da velocidade (6) (que é a 1° derivada da posição em relação ao tempo), temos a seguinte PVI: p/ 𝒕 = 𝟎, 𝒙(𝒕) = 𝑨max. e 𝒙’(𝒕) = 𝟎 Assim, 𝒙’ (𝒕) = −𝝎𝑪𝟏 𝐬𝐢𝐧 𝝎𝒕 + 𝝎 𝑪𝟐𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕 (18) Substituindo o PVI em (18) 𝟎 = −𝝎𝑪𝟏 𝐬𝐢𝐧 𝝎𝟎 + 𝝎 𝑪𝟐𝐜𝐨𝐬 𝝎𝟎 (19) 𝑪𝟐 = 𝟎 Substituindo o PVI em (17), 𝑨max = 𝑪𝟏 𝐜𝐨𝐬 𝝎𝟎 + 𝑪𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝝎𝟎 (20) 𝑪𝟏 = 𝑨max. Após descobrir os valores de 𝑪𝟏 e 𝑪𝟐 na equação geral (16) tem-se a equação da posição de acordo com o tempo para o caso a ser estudado. 𝒙(𝒕) = 𝑨max𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕 (21) Com as informações iniciais dadas e as equações encontradas, temos: Massa = 2,7Kg k = 100N/m Amax = 4cm ou 0,04m; 11 Da fórmula da frequência angular (1), temos: ω = √ k m = √ 100 2,7 = 6,085 ~ 6,1 rad/s Fonte: Autoria Própria Utilizando a equação (21) como equação da posição, temos: 𝒙(𝒕) = 𝑨max𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕 → 0,04cos(6,1t) (22) Derivando a equação (22), temos a equação da velocidade: v(𝒕) = -𝑨max sin 𝝎𝒕 → -0,24sin(6,1t) (23) Para se obter a equação da aceleração, temos que derivar a equação (22) a(𝒕) = -𝑨max𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕 → -1,49cos(6,1t) (24) OBS: Não foi feito os gráficos pois não tenho conhecimento suficiente para utilizar a ferramenta em questão. 12 2) Determine a equação de amortecimento e sua representação gráfica através da resposta da equação diferencial de um sistema equivalente massa - mola. Dados; massa do sistema vale 5Kg, y (0) = -0,02 m, y´ (0) = 2 m/s, K = 4000 N/m e b = 300 Ns/m Sendo: m = 5kg - Massa y(0) = -0,02m - Deslocamento a partir da posição do equilíbrio y’(0) = 2m/s – 1° derivada do deslocamento k = 4000N/m – Constante Elástica b = 300Ns/m - Constante de amortecimento Assim como na situação 1, deve se usar a segunda lei de newton pois temos uma massa constante. m.a = F; (2) Considerando as informações do exercício, utiliza-se a equação da força do amortecimento que é uma força que surge na transferência de um fluido entre duas câmaras: Famort = b.v (25) Juntando as equações de newton (2), da força elástica (3) e do amortecimento (25), temos: m.a = f(t) – kx – bv (26) Lembrando que o sinal negativo na frente dos termos pelo fato das forças terem sentidos opostos da deformação da mola. Jogando essa função nas equações da aceleração e da velocidade e igualando a zero (por conta do equilíbrio) temos uma EDO homogênea: mx” + bx’+ kx = 0 (27) Caímos novamente na equação de 2°grau (bhaskara) com todos os termos (a,b,c) definidos. No caso do delta, considerando a equação √𝐛𝟐 − 𝟒𝐦𝐤, deve-se levar em conta os 3 tipos de movimentos que a análise pode gerar: 13 Fonte: Nota de Aula – Joinville ifsc 2015 Calculando 𝛥 pela equação dada, teremos: m = 5; b = 300; k = 4000 → (300)² - 4 . (5) . (4000) = 10.000 Fonte: Autoria Própria Neste caso o sistema é superamortecido e, portanto, não tem oscilação periódica, em função do forte amortecimento. Para o cálculo dessa EDO, utiliza-se a fórmula (9) já vista anteriormente: 𝑥(𝑡) = 𝐶1ⅇ 𝑟1𝑡 + 𝐶2ⅇ 𝑟1𝑡 (9) E para calcular as raízes, usamos a fórmula básica de bhaskara: 𝑟1 = −300+ 100 10 = -20 (28) 𝑟1 = −300− 100 10 = -40 (29) Assim a equação geral fica: 𝑦(𝑡) = 𝐶1ⅇ −20𝑡 + 𝐶2ⅇ −40𝑡 (30) 14 Para achar C1 e C2, deve-se levar em conta as condições iniciais do problema (assim como na situação 1). Nesse caso, o problema nos da os valores de deslocamento inicial que são y(0) e y’(0). É necessário aplicar o valor de y(0) e aplicar a derivada para achar os valores em si, ficando assim: – 0,02 = 𝐶1ⅇ −20.0 + 𝐶2ⅇ −40.0 (30) – 0,02 = 𝐶1 + 𝐶2 Derivando a equação geral para obter segunda condição, temos: y′(t) = −20C1ⅇ −20t – 40 C2ⅇ −40t (31) Aplicando y’(0) = 2m/s; temos: 2 = −20C1ⅇ −20.0 – 40 C2ⅇ −40.0 2 = −20C1 – 40 C2 (32) Aplicando a fórmula e substituição, achamos valores aproximados de C1 e C2: C1 = 0,064 C2 = -0,12 Escrevendo a fórmula geral (30), temos: 𝑦(𝑡) = 0,064ⅇ−20𝑡 - 0,12ⅇ−40𝑡 (33) OBS: Não foi feito os gráficos pois não tenho conhecimento suficiente para utilizar a ferramenta em questão. 15 4. Conclusão O contexto proposto nos mostra as diversas maneiras de se chegar em um resultado válido, principalmente para o sistema massa-mola. Para evitar estragos futuros nas tubulações e indústrias, é muito importante saber e considerar todas as variáveis para se chegar no resultado esperado. Com o conhecimento pesquisado e as aulas, podemos perceber a importância das equações diferenciais e das equações em geral (newton e Hooke por exemplo) para o cenário atual no mundo da engenharia e todas as variáveis que ela nos dá para o final mais desejado. Bibliografia: Brasil Escola – Lei de Hooke. https://brasilescola.uol.com.br/fisica/lei-de- hooke.htm Acesso em 17/11/2022; Física - aceleração https://mundoeducacao.uol.com.br/fisica/aceleracao.htmAcesso em 17/11/2022 Stoodi – fórmula da aceleração; https://www.stoodi.com.br/guias/dicas/formula- da-aceleracao/ Acesso em 17/11/2022 YOUNG, Hugh D.; FREEDMAN, Roger A. Física II: Termodinâmica e Ondas. 12. ed. São Paulo: Pearson Addison Wesley, 2008. 325 p. BRONSON, Richard; COSTA, Gabriel B. Equações diferenciais. 3. ed. Porto Alegre: Bookman, 2008. 400 p. ZILL, Dennis G.; CULLEN, Michael R. Equações Diferenciais, Volume I. São Paulo: Pearson Makron Books, 2007. 473 p. SILVA, Claudio K.; COSTA, Jusciane. APLICAÇÃO DE EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE SEGUNDA ORDEM NO MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES, 2018. Brasil Escola – Fórmula de bhaskara https://brasilescola.uol.com.br/matematica/formula- bhaskara.htm. Acesso em 19/11/2022 Nota de Aula – Joinville ifsc - https://docplayer.com.br/78997141-Nota-de-aula- equacoes-diferenciais-ordinarias-de-2-ordem-aplicacoes.html Acesso em 20/11/2022 https://brasilescola.uol.com.br/fisica/lei-de-hooke.htm%20Acesso%20em%2017/11/2022 https://brasilescola.uol.com.br/fisica/lei-de-hooke.htm%20Acesso%20em%2017/11/2022 https://mundoeducacao.uol.com.br/fisica/aceleracao.htm https://www.stoodi.com.br/guias/dicas/formula-da-aceleracao/ https://www.stoodi.com.br/guias/dicas/formula-da-aceleracao/ https://brasilescola.uol.com.br/matematica/formula-bhaskara.htm https://brasilescola.uol.com.br/matematica/formula-bhaskara.htm https://docplayer.com.br/78997141-Nota-de-aula-equacoes-diferenciais-ordinarias-de-2-ordem-aplicacoes.html https://docplayer.com.br/78997141-Nota-de-aula-equacoes-diferenciais-ordinarias-de-2-ordem-aplicacoes.html
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