1 Aula - TENSÕES-NO-SOLO-DEVIDO-SOBRECARGA

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Tensões induzidas por carregamento externo
Universidade Federal Rural do Semi-Árido – UFERSA
Departamento de Agrotecnologia e Ciências Sociais – DACS
Curso de Engenharia Civil
Caraúbas
2017
Cronograma
 Introdução;
 Distribuição de tensões e método do espraiamento;
Aplicação da teoria da elasticidade;
 Solução de Boussinesq;
 Solução de Newmark;
 Solução de Love;
 Gráfico circular de Newmark ou dos “quadradinhos”;
 Exemplos.
Introdução
Tensões nos solos devido a cargas 
aplicadas
As cargas aplicadas na superfície de um
terreno induzem tensões, com conseqüentes
deformações, no interior de uma massa de
solo. Embora as relações entre tensões
induzidas e as deformações resultantes sejam
essencialmente não lineares, soluções
baseadas na teoria da elasticidade são
comumente adotadas em aplicações práticas,
respeitando-se as equações de equilíbrio e
compatibilidade.
Introdução
Os carregamentos aplicados à superfície de um terreno induzem tensões
que se propagam no interior da massa de solo;
A distribuição desses esforços é calculada, empregando as soluções
obtidas a partir da Teoria da Elasticidade;
 Teoria da Elasticidade - Admite-se o solo como sendo um material
homogêneo, isotrópico e linear-elástico*;
 Deve-se compreender as limitações desta teoria: os depósitos de solo,
em geral, não são homogêneos, nem isotrópicos, nem perfeitamente
elásticos.
Introdução
Experiências dos primórdios:
• Os acréscimos de tensões a uma certa profundidade excedem a projeção
da área carregada;
• A cada área carregada, há um aumento de tensão que se somam com as
tensões anteriores;
• A área de atuação aumenta e os valores de tensões verticais diminuem
com a profundidade.
Distribuição de tensões
 As cargas transmitidas pelas estruturas se propagam para o interior dos
maciços e se distribuem nas diferentes profundidades, como ilustrado na
Figura abaixo, podendo se verificar experimentalmente.
Distribuição de tensões
Ao se aplicar uma carga na superfície de um terreno, numa área bem
definida, os acréscimos de tensão (em uma certa profundidade) ocorrem
também nas laterais da área carregada, que se somam às anteriores
devidas ao peso próprio.
Distribuição de tensões
A carga resultante da distribuição
de tensões em uma profundidade é
constante e igual a resultante da
carga aplicada na superfície.
Entretanto, as tensões
imediatamente abaixo da área
carregada diminuem com a
profundidade, visto que a área
atingida aumenta.
Distribuição de tensões
Além dos planos horizontais e verticais expostos na figura 8.1, pode-se também desenhar
linhas tensão no interior do solo, chamadas que representam pontos de igual de isóbaras. O
conjunto de isóbaras é chamado de bulbo de tensões (figura 8.2).
Aplicações
Aplicações
Aplicações
Aplicações
Aplicações
Aplicações
Edifícios na orla de Santos-SP.
Fonte: Engenharia Civil Diária.
Método do espraiamento
 Diagrama final de tensões verticais totais
Método do espraiamento
 Trata-se de um método utilizado para se estimar o valor da tensão a
uma certa profundidade, considerando que as mesmas se “espraiam”
segundo áreas crescentes. Para uma área retangular ou circular, considera-
se que a área se espraia para todas as direções do plano.
• Simplificadamente o ângulo do espraiamento = 30º.
• O ângulo de espraiamento varia de acordo com o solos:
• Solos muito mole - θ < 40º;
•Areias puras – θ ≈ 40º a 45º;
•Areias rijas e duras - θ ≈ 70º;
• Rochas - θ > 70º;
Método do espraiamento
 Este método não satisfaz o princípio da superposição dos efeitos. A
aplicação dessa regra, para pequenas profundidades, poderia indicar
tensões na parte central, maiores que a tensão aplicada na superfície.
Aplicabilidade da Teoria da Elasticidade
Para cálculo de tensões
Massa homogênea – Quando as condições de contorno do problema
analítico se aproxima das condições de contorno “in situ”, a distribuição
de tensões no campo são comparáveis àquelas obtidas pela análise linear
elástica.
Para cálculo de deslocamentos
O cálculo de deslocamentos depende mais diretamente da natureza da lei
constitutiva e das magnitudes dos parâmetros utilizados, desta forma, a
habilidade da teoria da elasticidade em prever deslocamentos depende, de
forma mais marcante, da não linearidade e da heterogeneidade do material
“in situ”.
Em outras palavras: quando não existe homogeneidade do material a
teoria da elasticidade não pode ser aplicada.
Aplicabilidade da Teoria da Elasticidade
 Segundo descreve o Prof. Carlos de Souza Pinto (PINTO, 2000), a
teoria da elasticidade tem sido empregada para a estimativa das tensões
atuantes no interior da massa de solo em virtude de carregamentos na
superfície, e mesmo no interior do terreno.
 “O emprego de Teoria da elasticidade aos solos é questionável, pois o
comportamento dos solos não satisfaz aos requisitos de material elástico,
principalmente no que se refere a reversibilidade das deformações quando
as tensões mudam de sentido.
Aplicabilidade da Teoria da Elasticidade
 Entretanto, quando ocorrem somente acréscimos de tensão, justifica-se
a aplicação da teoria. Por outro lado, até determinado nível de tensões,
existe uma certa proporcionalidade entre as tensões e as deformações, de
forma que se considera um Módulo de Elasticidade constante como
representativo do material.
 Mas a maior justificativa para a aplicação da Teoria de Elasticidade é o
fato de não de dispor ainda de melhor alternativa e, também, porque ela
tem apresentado uma avaliação satisfatória das tensões atuantes no solo,
pelo que se depreende da análise de comportamento de obras.
Aplicabilidade da Teoria da Elasticidade
Teoria da elasticidade
A teoria matemática da elasticidade fundamenta-se nos estudos, entre
outros, de Cauchy, Navier, Lamé e Poisson, tendo suas equações
fundamentais sido estabelecidas na década de 1820.
 O estudo sobre a possível distribuição das tensões no solo, resultado da
aplicação da teoria de Boussinesq, baseia-se na teoria da elasticidade. A
teoria de elasticidade linear é baseada no comportamento elástico dos
materiais, ou seja, na proporcionalidade entre as tensões (σ) e
deformações (ε), segundo a lei de Hooke. A razão σ / ε = E denomina-se
módulo de elasticidade ou módulo de Young.
Aplicabilidade da Teoria da Elasticidade
Teoria da elasticidade
A correspondente expansão lateral do material terá valor ε = - μ . σ / E,
onde “μ” é o coeficiente de Poisson (para solos e rochas varia entre 0,2 e
0,4).
 Em resumo a teoria da elasticidade admite:
a) material seja homogêneo (propriedades constantes na massa do solo);
b) material seja isotrópico (em qualquer ponto as propriedades são as
mesmas independente da direção considerada);
c) material seja linear-elástico (tensão e deformação são proporcionais)
Solução de Boussinesq
 Trata-se de um método desenvolvido por Boussinesq para determinar as
tensões no interior de uma massa, segundo a teoria da elasticidade,
devidas a uma carga pontual aplicada na superfície dessa massa. A
equação de Boussinesq para o acréscimo de tensão é (z e r estão indicados
na figura):
Solução de Boussinesq
Z Para um ponto 
abaixo da carga 
pontual Q
Solução de Boussinesq
As tensões variam inversamente
com o quadrado da profundidade
sendo infinita no ponto de aplicação
(figura 8.6).
 É interessante notar a semelhança
que há entre os gráficos da figura 8.6
e o da figura 8.1.
Solução de Newmark
Áreas retangulares
Integrando a 
fórmula de 
Boussinesq
Semi-espaço
infinito superfície 
horizontal
Carregamento 
uniformemente 
distribuído
Tensõesem um ponto abaixo da vertical passando pelo vértice da área retangular.
Solução de Newmark
A partir da integração da equação de Boussinesq, Newmark
desenvolveu um método de calcular as tensões provocadas por um
carregamento retangular e uniforme no interior de uma massa
(obedecendo a teoria da elasticidade). Dessa forma, definiu as seguintes
relações com os parâmetros m e n:
Solução de Newmark
 Em função desses parâmetros, a solução de Newmark se expressa pela
equação:
 Toda a parte constante (e adimensional) dessa expressão pode ser
tabelada, sendo esta chamada de coeficiente de influência (I), que depende
só de m e n. Os valores para I se encontram no ábaco da página seguinte e
nas tabelas.
Onde:
σ : Tensão atuante na área
q : Tensão no vértice
I0 : Coeficiente obtido pela integração da equação de Boussinesq
Solução de Newmark
Caso a: Ponto D localizado no vértice
Ponto D localizado fora do vértice
Caso b: O acréscimo de tensão é obtido pelo somatório da influência dos Quatro retângulos que tem como 
vértice o ponto D;
Caso c: Como o ponto D se encontra fora da área de carregamento, deve-se ajustar as áreas de forma que 
seus vértices toquem no ponto D, calcular a influência delas e obter a influência da área carregada 
subtraindo os retângulos adicionais do retângulo maior de forma que resulte exatamente na área real 
carregada, ou seja, deve-se subtrair a influência das áreas adicionais apenas uma vez.
Solução de Newmark
 Exemplo de resolução: No caso de um ponto no interior da área, como
o ponto P no caso (a) da Figura 8.8, a ação da área ABCD é a soma das
ações de cada uma das áreas PMAJ, PJBK, PKDL e PLCM. Já no caso de
ponto externo, como o ponto P na situação (b) da Figura 8.8, considera-se
a ação da área PKDM, subtraem-se os efeitos dos retângulos PKBL e
PJCM e soma-se o efeito do retângulo PJAL, porque essa área foi
subtraída duas vezes nos retângulos anteriores.
Solução pelo Método do Espraiamento
Exercício 8.2
 Uma construção industrial apresenta uma planta retangular, com 12m de largura e 48m de
comprimento, e vai aplicar ao terreno uma pressão uniformemente distribuída de 50 kPa.
 Determinar o acréscimo de tensão, segundo a vertical pelos pontos A,B,C,D e E, nas
profundidades de 6 m e 18 m, aplicando o método do espraiamento:
Solução pelo Método do Espraiamento
 Antes de resolver o exercício, sabemos simplificadamente que o método considera as tensões
verticais uniformemente distribuídas com a profundidade, com um ângulo de espraiamento de 30º.
Solução – Exercício 8.2
• Cálculo da área carregada;
• Cálculo da área afetada a 6 m de profundidade;
Logo, o acréscimo de tensão média, já que o método calcula uma tensão média para todos os pontos e
não para cada ponto, em uma área de 18,93 x 54,93 m, na profundidade de 6 m: 27,7 kPa.
• Cálculo da área afetada a 18 m de profundidade;
Logo, o acréscimo de tensão média, já que o método calcula uma tensão média para todos os pontos e
não para cada ponto, em uma área de 32,8 x 68,8 m, na profundidade de 18 m: 12,8 kPa.
Solução de Newmark
Continuação da Solução – Exercício 8.2
O ponto E não entra na profundidade de 6 m, pois está fora da área de 18,93 x
54,93 m atingida pelo espraiamento.
• Graficamente
Solução de Newmark
Exercício 8.2
 Uma construção industrial apresenta uma planta retangular, com 12m de largura e 48m de
comprimento, e vai aplicar ao terreno uma pressão uniformemente distribuída de 50 kPa.
 Determinar o acréscimo de tensão, segundo a vertical pelos pontos A,B,C,D e E, nas
profundidades de 6 m e 18 m, aplicando o método de Newmark:
Solução de Newmark
Solução de Newmark
Solução de Newmark
Solução de Newmark
Solução de Newmark
Solução de Newmark
Continuação da Solução – Exercício 8.2
• Comparando o método do Espraiamento das Tensões com o método de Newmark
Quando comparamos esse valor médio de acréscimo de tensão para todos os pontos 
(A, B, C, D), vemos que o valor 27,7 kPa é 32% inferior ao determinado pelo 
Teorema de Elasticidade (Método de Newmark), da questão anterior, para o centro 
da área, no caso o ponto A. 
Método de 
Newmark
Método do 
Espraiamento 
das tensões
Comparando 
os métodos
Ponto Tensão, kPa Tensão, kPa Diferença em 
%
A 41 27,7 32% menor
Solução de Newmark
Continuação da Solução – Exercício 8.2
Para o contorno da área que se dá através dos pontos B, C e D:
Método de 
Newmark
Método do 
Espraiamento 
das tensões
Comparando 
os métodos
Ponto Tensão, kpa Tensão, kPa Diferença em %
B 24 27,7 15% maior
C 20,5 27,7 35% maior
D 12 27,7 130% maior
Solução de Newmark
Continuação da Solução – Exercício 8.2
Ou seja, o método de Espraiamento de Tensões não é tão eficiente quanto o
método de Newmark, pois no espraiamento de tensões, o acréscimo de
tensão se dá através de uma média, portando todos os pontos (A, B, C, D)
tem o mesmo valor médio de 27,7 kPa.
Enquanto que pelo método de Newmark, cada ponto do terreno tem seu
valor mais aproximado do real, pois leva em conta o efeito das distâncias
dos pontos ao carregamento, tornando-se um método mais eficiente.
• Cálculo semelhante para profundidade de 18 m;
Neste caso, o ponto E é incluído, pois a área de 33 x 69 m atingida pelo
espraiamento inclui ele.
Solução de Love 
 Uma integração feita por Love da equação de Boussinesq, semelhante a
de Newmark para áreas retangulares, mas sendo utilizada para uma área
circular (figura abaixo), é dada pela seguinte expressão:
 Onde a parte adimensional também é chamado de coeficiente de
influência I e pode ser encontrado no ábaco do slide seguinte, em função
de x/R e z/R.
ÁBACO DE LOVE
Tensões verticais 
induzidas por cargas 
uniformemente 
distribuídas em área 
circular.
Solução de Love 
CARGA DISTRIBUÍDA SOBRE UMA PLACA CIRCULAR
Solução de Love 
CARGA DISTRIBUÍDA SOBRE UMA PLACA CIRCULAR
TABELA PARA OBTENÇÃO DA INFLUÊNCIA ( I )
 Exemplo de resolução: Calcular o acréscimo de tensão vertical nos
pontos A e B transmitido ao terreno por um tanque circular de 6,0 m de
diâmetro, cuja pressão transmitido ao nível do terreno é igual a 240 kPa.
Solução de Love 
CARGA DISTRIBUÍDA SOBRE UMA PLACA CIRCULAR
Gráfico circular de Newmark ou dos “quadradinhos”
 O gráfico circular de Newmark, baseado na equação de Love, é
bastante utilizado para o cálculo da tensão em uma certa profundidade
devido a um carregamento irregular.
 Para a construção do ábaco são traçados 10 círculos concêntricos cujo
acréscimo de carga a um ponto do centro dos círculos situado a uma
profundidade z corresponde a 10%, 20%, 30%,... da carga total aplicada.
 Logo, cada um dos anéis apresenta influência de I𝜎 = 0,1.
 O ábaco é ainda divido em 20 setores de igual área, originando
trapézios circulares (“quadradinhos”) cuja unidade de influência l𝜎 =
0,005.
Gráfico circular de Newmark ou dos “quadradinhos”
 A figura abaixo apresenta a construção gráfica de Newmark que atribui
valores para I e calcula-se o raio da placa necessário para produzir o
acréscimo de pressões à profundidade z.
Gráfico circular de Newmark ou dos “quadradinhos”
 Como a influência de cada quadradinho é de 0,005, o carregamento em
cada uma dessas áreas provocará um acréscimo de tensão no ponto
considerado igual a 0,005 da tensão aplicada, visto que 200x0,005 da
pressão aplicada é a própria pressão aplicada e que ocorre no ponto em
virtude do carregamento em toda superfície.
 Uso do ábaco: Para utilizarmos o ábaco, desenhamos a planta da área
carregada na mesma escala de construção do ábaco (AB = z);
A área deve estar centrada no ponto onde se deseja determinar o
acréscimo de tensão;
 O acréscimode tensão vertical será dado por:
Exemplos
 Exemplo de resolução: Com os dados da figura abaixo calcule, pelo
gráfico de Newmark, a pressão vertical a 3 m de profundidade, abaixo do
ponto M, para a placa (a).
Exemplos
 Exemplo de resolução: Com os dados da figura abaixo calcule, pelo gráfico de Newmark,
a pressão vertical a 2 m de profundidade, abaixo do ponto M, para a placa (b).
Exemplo Proposto
1. Calcular o acréscimo de tensão vertical no ponto A, induzido por um carregamento de
20 tf/m² aplicado na superfície da área retangular, mostrada na figura abaixo. O ponto A
situa-se a 2,4 m de profundidade. Utilize-se do método do Espraiamento (θ = 30º),
Newmark e Boussinesq.
RESP: Espraiamento (acréscimo de tensão vertical no ponto A) = 0 – Ponto A fora da área
de influência; Newmark (acréscimo de tensão vertical no ponto A) = 1,14 tf/m² e
Boussinesq (acréscimo de tensão vertical no ponto A) = 0,7701 tf/m²
2. Considere uma carga pontual P = 1.000 Ib. Represente a variação do aumento da
tensão vertical Δσz com a profundidade em função da carga pontual abaixo da
superfície do solo com x = 3 ft e y = 4 ft.
Exemplo Proposto
RESP: 
3. Calcular o acréscimo de carga, na vertical do ponto A, a profundidade de 5,0 m. A placa
superficial tem 4,0 m x 10,0 m, e está submetida a uma pressão uniforme de 340 kPa.
Exemplo Proposto
RESP: 
4. Calcular a tensão efetiva induzida por uma carga pontual de 20 t a um ponto A situado a 2,5 m 
de profundidade e a um ponto B afastado 3,0 m da aplicação da carga. Considerar γ = 2,0 tf/m².
5. Traçar o diagrama de acréscimos de pressões no plano situado a 2,0m de profundidade, até a
distância horizontal igual a 5,0m (fazer cada metro), quando se aplica na superfície do terreno
uma carga concentrada de 1300 kN.
Exemplo Proposto
0,1643
RESP: 
RESP: 
0,1643
155,18
88,83
27,43
8,15
2,77
1,1
88,83
Exemplo Proposto
6. Avaliar os acréscimos de tensões verticais sobre planos horizontais a 4, 7 e 12 m de
profundidade, com afastamentos laterais de 0,1 e 3 m, causados por uma sobrecarga de
1600 tf aplicada na superfície do terreno e considerada como carga concentrada. Utilizar a
solução de Boussinesq. Desenhar o diagrama de distribuição dos acréscimos de tensões
verticais com os afastamentos laterais para cada profundidade. Desenhar o diagrama de
distribuição dos acréscimos de tensões verticais com a profundidade para cada
afastamento lateral.
Plano Horizontal: 4 m
47,75
41,03 15,59 
Plano Horizontal: 7 m
14,82
10,23
5,3
5,2
4,56
15,64 
Plano Horizontal: 12 mRESP: 
Exemplo Proposto
7. Uma carga de 405 tf é aplicada sobre uma fundação superficial quadrada de 4,50m de
lado. Utilizando a solução de Newmark, determinar:
a) O acréscimo de pressão vertical a 10 m de profundidade, sob o centro da fundação
(ponto C na figura);
b) O acréscimo de pressão vertical a 3 m de profundidade, e a 4 m do seu centro sobre o
eixo de simetria (ponto M na figura).
RESP: 
RESP: 
Exemplo Proposto
8. Uma placa circular de 4,00 m de raio, apoiada sobre a superfície do terreno, está
uniformemente carregada com 2,5 kgf/cm². Determinar a máxima diferença de acréscimo
de pressão vertical sob o carregamento e a 5,00 m de profundidade, comparando os
resultados obtidos pelo método gráfico de Newmark adotando-se ângulo de espraiamento
φo = 45º. Calcular também o acréscimo de pressão a mesma profundidade, de acordo com
a solução de Love.
RESP.:
a) Solução de Newmark: Δσz = 0,57 kgf/cm²
b) Solução de Love: sob o centro σz = 1,31 kgf/cm²
Exemplo Proposto
9. Uma placa circular com 3,0 m de raio está apoiada na superfície do terreno e carregada
com taxa ‘p’. O acréscimo de pressão correspondente sob o ponto M indicado no esquema
abaixo, a 3,3 m de profundidade, é de 0,4 kgf/cm². Utilizando o método gráfico de
Newmark, determinar:
a) o valor de “p”
b) o acréscimo de pressão vertical sob o centro da placa, a 3,3 m de profundidade, levando
em consideração a resposta do item anterior de acordo com a solução de Love.
RESP.:
a) p = 3,5 kgf/cm²
b) σZ = 2,1 kgf/cm²
Exemplo Proposto
10. Utilizando o método de Newmark, calcular o acréscimo de pressão no ponto A
indicado, devido às sobrecargas transmitidas pelas sapatas.
DADOS: Valores das sobrecargas, já descontadas as escavações:
sapatas 1 p1 = 1,5 kgf/cm²
sapatas 2 p2 = 1,1 kgf/cm² com a solução de Love.
RESP.: σzA = 0,24 kgf/cm²
Referências Bibliográficas
DAS, Braja M. Fundamentos de Engenharia Geotécnica. São Paulo: 
Thomson Learning, 2007.
PINTO, Carlos de Sousa. Curso Básico de Mecânica dos Solos. 3. 
ed. São Paulo: Oficina de Textos, 2006.
Agradecimentos