AP2-GAI-2018-2-gabarito

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Gabarito da AP2 – Geometria Anaĺıtica I – 2018.2
Considere a reta r : ρ cos(θ − π/3) = 2 dada em coordenadas polares para responder às questões 1
e 2.
Questão 1 (1,0 ponto): Encontre a equação de r em coordenadas cartesianas OXY .
Observação: Não se esqueça da identidade trigonométrica cos(a− b) = cos a cos b + sen a sen b.
Questão 2 (1,0 ponto): Faça um esboço da reta r no sistema de coordenadas polares.
Observação: O esboço é para ser feito em um sistema de coordenadas polares. Não confunda com sistema
de coordenadas cartesianas.
Solução:
(1) Utilizando a identidade cos(a− b) = cos a cos b+ sen a sen b em ρ cos(θ − π/3) = 2 temos:
ρ cos θ cos
(
π
3
)
+ ρ sen θ sen
(
π
3
)
= 2. (1)
Sabemos que
x = ρ cos θ, y = ρ sen θ, cos
(
π
3
)
= 12 , sen
(
π
3
)
=
√
3
2 ,
e substituindo tais identidades em (1) temos:
x
(1
2
)
+ y
(√
3
2
)
= 2,
ou seja,
x+
√
3y = 4.
(2) A reta r está esboçada abaixo em vermelho.
Figura 1: Reta r da questão 1.
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Questão 3 (2,0 pontos): Esboce a região R do plano representada pelo seguinte sistema de
inequações:
R :

x− y + 1 ≥ 0
x2
3 +
y2
4 > 1
x ≤ 0.
,
e identifique as curvas que delimitam a região R.
Observação: Não se esqueça de fazer o esboço em um sistema de eixos coordenados OXY e de marcar os
pontos de interseção entre as curvas que delimitam a região .
Solução:
Queremos encontrar a região R dada pela interseção das regiões R1, R2 e R3, onde
R1 : x− y + 1 ≥ 0,
R2 :
x2
3 +
y2
4 > 1,
R3 : x ≤ 0.
A região R1 é limitada pela curva C1 : x− y + 1 = 0, que é uma reta crescente que corta os eixos
coordenados nos pontos (0,1) e (-1,0). Esta reta divide o plano em semiplanos, sendo um contendo a
origem e o outro contendo o ponto (0, 2). Para descobrir qual semiplano buscamos, vamos substituir
as coordenadas de um ponto pertencente a um dos semiplanos para verificar se ele pertence a região.
Vejamos se o ponto (0, 0) pertence a região R1:
0− 0 + 1 ≥ 0⇐⇒ 1 ≥ 0.
Como 1 ≥ 0, a região que procuramos é o semiplano que contém (0, 0). E também podemos notar
que a reta pertence à região R1.
A região R2 é limitada pela curva C2 : x
2
3 +
y2
4 = 1, que é uma elipse centrada na origem cuja
reta focal coincide com o eixo OY , vértices focais são (0, 2) e (0,−2), e vértices não focais são
(
√
3, 0) e (−
√
3, 0). C2 divide o plano em duas partes, sendo uma contendo o centro da elipse e a
outra exterior à elipse. Vejamos então se a região R2 contém o centro da elipse. Substituindo as
coordenadas (0, 0) do centro de C2 na inequação x
2
3 +
y2
4 > 1 obtemos:
02
3 +
02
4 > 1⇐⇒ 0 > 1.
Como 0 > 1 é uma afirmação falsa, conclúımos que o centro da elipse não pertence à região
procurada. Também podemos notar que a elipse C2 não pertence à região R2.
A região R3 é limitada pela curva C3 : x = 0, que é uma reta vertical que coincide com o eixo
OY . A reta C3 divide o plano em dois semiplanos, sendo que um deles contém pontos que possuem
coordenada x sempre positiva (à direita da reta) e o outro o que possui pontos com coordenadas x
sempre negativa (à esquerda da reta). É fácil perceber que a região que buscamos é o semiplano
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que fica à esquerda da reta x = 0 e isso fica muito claro se substituirmos o ponto (2, 0), pertence
ao semiplano que fica à direta da reta C3, na inequação R3:
2 ≤ 0.
Como 2 ≤ 0 é uma afirmativa falsa, a região que procuramos não é a que contém (2, 0). Também
podemos notar que a reta pertence à região R3.
Para finalizar, precisamos encontrar os pontos de interseção P1 e P2 entre as curvas C1 e C3. Para
isso é necessário resolver os seguintes sistemas:
(a)
{
x− y + 1 = 0
x2
3 +
y2
4 = 1
, (b)
{
x− y + 1 = 0
x = 0 , (c)
{
x2
3 +
y2
4 = 1
x = 0.
Resolvendo o sistema (a) encontramos os pontos P1 =
(
−3+
√
2
7 ,
4+6
√
2
7
)
e P2 =
(
−3−6
√
2
7 ,
4−6
√
2
7
)
,
resolvendo o sistema (b) encontramos o ponto P3 = (0, 1) e para o sistema (c) encontramos P4 =
(0, 2) e P5 = (0,−2), que estão marcados na figura.
Na figura a seguir, destacamos em azul mais escuro a região R dada pela interseção das regiões R1,
R2 e R3.
Figura 2: Região R.
Atenção: Os pontos P1, P2, P3, P4 e P5 não pertencem à região R.
Considere uma elipse E que contem centro em (2,−3), eixo menor de comprimento 6, eixo maior de
comprimento 10, sendo o eixo maior vertical para responder às questões 4, 5 e 6.
Questão 4 (1,0 pontos): Encontre a equação da elipse E .
Questão 5 (1,0 pontos): Encontre os elementos da elipse E .
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Questão 6 (1,0 pontos): Faça um esboço da elipse E .
OBS.: O esboço da elipse deve ser feito em um sistema de eixos ortogonais OXY.
Solução:
(4) Como a elipse dada possui eixo maior vertical, então sabemos que sua reta focal é paralela ao
eixo OY . Sendo assim, já sabemos que a equação de E é da forma:
(x− 2)2
b2
+ (y + 3)
2
a2
= 1.
Também sabemos que o comprimento do eixo menor é 6, o que implica que 2b = 6 ⇐⇒ b = 3. E,
que o comprimento do eixo maior é 10, logo 2a = 10 ⇐⇒ a = 5. Substituindo esses valores na
equação acima temos:
(x− 2)2
9 +
(y + 3)2
25 = 1,
que é a equação procurada.
(5) Como C = (2,−3) e a elipse E possui reta focal vertical, então x = 2 é a equação da reta focal
e y = −3 é a equação da reta não focal. No item anterior já encontramos que a = 5, b = 3 e isso
implica que a2 = b2 + c2 ⇐⇒ c2 = 25− 9 = 16⇐⇒ c = 4. Assim, os elementos da elipse são:
• reta focal: x = 2;
• reta não focal: y = −3;
• vértices focais: (2,−3± 5)⇒ A1 = (2,−8) e A2 = (2, 2);
• focos: (2,−3± 4)⇒ F1 = (2,−7) e F2 = (2, 1);
• vértices não focais: (2± 3,−3)⇒ B1 = (−1,−3) e B2 = (5,−3).
(6) O esboço da elipse E pode ser visto na figura abaixo:
Figura 3: Elipse E .
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Considere uma hipérbole H que contém centro em (−1, 1), uma asśıntota paralela a y = 34x e foco
em (−1, 72) para responder às questões 7, 8 e 9.
Questão 7 (1,0 pontos): Encontre a equação da hipérbole H.
Questão 8 (1,0 pontos): Encontre os elementos da hipérbole H.
Questão 9 (1,0 pontos): Faça um esboço da hipérboleH contendo todos os elementos encontrados
no item anterior.
OBS.: O esboço da hipérbole deve ser feito em um sistema de eixos ortogonais OXY.
Solução:
(7) Como C = (−1, 1) é o centro da hipérbole H e F1 = (−1, 72) um de seus focos, então
c = d(C,F1) =
5
2 .
Note ainda que C e F1 estão sobre a a reta vertical x = −1, logo a hipérbole H possui reta focal
paralela ao eixo OY . Sendo assim, sua equação é da forma
(y − 1)2
a2
− (x + 1)
2
b2
= 1,
e suas asśıntotas são da forma:
a(x+ 1) = ±b(y − 1)⇐⇒ x = ± b
a
y ∓ b
a
− 1. (2)
Por hipótese, uma das asśıntotas de H é paralela à reta y = 34x⇐⇒ x =
4
3y. Assim,
b
a
= 43 ⇐⇒ b =
4
3a.
Isto não significa que a = 3 e b = 4, mas sim que b = 43a. Como c
2 = a2 + b2, temos(5
2
)2
= a2 +
(4
3
)2
⇐⇒ a = 32 ,
e
b = 43a =
4
3 ·
3
2 = 2.
Logo, a equação da hipérbole H é
(y − 1)2
9/4 −
(x + 1)2
4 = 1.
(8) Como C = (−1, 1) e a hipérbole H possui reta focal vertical, então x = −1 é a equação da reta
focal e y = 1 é a equação da reta não focal. No item anterior já encontrarmos que a = 32 , b = 2 e
5
2 . Assim, os elementos da hipérbole são:
• reta focal: x = −1;
• reta não focal: y = 1;
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• vértices focais: (−1, 1± 32)⇒ A1 = (−1,−
1
2) e A2 = (−1,
5
2);
• focos: (−1, 1± 52)⇒ F1 = (−1,−
3
2) e F2 = (−1,
7
2);
• vértices imaginários: (−1± 2, 1)⇒ B1 = (−3, 1) e B2 = (1, 1);
• asśıntotas: ` : 3x− 4y = −7 e `′ : 3x+ 4y =1.
(9) O esboço da hipérbole H pode ser visto na figura abaixo:
Figura 4: Hipérbole H.
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