Geometria - Caderno 12

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12
ENSINO MÉDIO
PROFESSOR MateMática GeoMetria e triGonoMetria
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 GEOMETRIA ANALÍTICA: A CIRCUNFERÊNCIA E 
SECÇÕES CÔNICAS
1 A circunferência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Definição. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4
Equação da circunferência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4
Posições relativas de um ponto e 
uma circunferência. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9
Posições relativas de uma reta e 
uma circunferência. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11
Posições relativas de duas circunferências . . . . . . . . . .17
Aplicações. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21
2 Secções cônicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Parábola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27
Elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34
Hipérbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42
Reconhecimento de cônicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .51
Outras aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .54
 Revisão. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
MATEMÁTICA 
GEOMETRIA E TRIGONOMETRIA
Luiz Roberto Dante
2135937 (PR)
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MÓDULO
Geometria analítica: 
a circunferência e 
secções cônicas
Arcos polilobados, no palácio de La Aljafería, Saragoça, Espanha. 
O arco polilobado é formado pela união de vários segmentos circula-
res, obtidos por meio de circunferências. 
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REFLETINDO SOBRE A IMAGEM
Circunferências estão presentes em nossa 
vida em quase tudo e a todo momento. No 
cotidiano, as propriedades da circunferência 
são aplicadas sem que necessariamente se 
tenha consciência delas, como na construção 
de poços e arcos arquitetônicos. De forma 
semelhante, também podemos encontrar 
conexões entre diversos elementos do nos-
so cotidiano e secções cônicas. A antena pa-
rabólica, concentra os sinais de transmissão 
capturados e os amplia, tem o formato de 
uma parábola.
Você sabe quais são as secções cônicas? E 
como representar geometricamente uma cir-
cunferência?
D
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B
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4 Geometria analítica: a circunferência e secções cônicas
CAPÍTULO
1 A circunferência
Objetivos:
c Identificar os tipos 
de equação da 
circunferência.
c Reconhecer as 
posições relativas entre 
ponto e circunferência.
c Reconhecer as 
posições relativas entre 
reta e circunferência.
c Reconhecer as 
posições relativas entre 
duas circunferências.
Em Geometria analítica, a Álgebra e a Geometria se integram. Assim, problemas de Geometria 
são resolvidos por processos algébricos, e relações algébricas são interpretadas geometricamente.
Lembre-se, por exemplo, de que:
 a equação 3x 1 2y 2 5 5 0 representa uma reta;
 um ponto do plano pode ser representado pelo par ordenado (4, 23);
 o ponto (4, 27) pertence à reta representada por y 5 22x 1 1;
 a reta que corta os eixos em (5, 0) e (0, 3) tem equação 1 5x
5
y
3
1.
Neste capítulo, o lugar geométrico estudado será a circunferência. Vamos associar cada circun-
ferência a uma equação e, a partir daí, estudar suas propriedades geométricas.
 DEFINIÇÃO
Sabemos, pela Geometria plana, que circunferência é o conjunto de todos os pontos de um 
plano equidistantes de um ponto fixo.
B
A
C
O
Raio
 (r)
R
aio (r)
R
a
io
 (
r)
O ponto fixo chama-se centro da circunferência (na figura, o ponto O), e a distância do centro 
ao ponto fixo é denominada raio da circunferência (na figura, OA 5 OB 5 OC 5 r).
 EQUAÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA
Considerando determinada situação em que a distância entre os pontos P(x, y) e A(5, 3) é igual 
a 2, qual será a relação que se pode estabelecer entre x e y?
0
3
5
A
2
2
P(x, y)
2
y
x
Calculando a distância entre P e A, temos:
d(P, A) 5 ( )( )2 1 2x 5 y 3
2 2
Como d(P, A) 5 2, então:
( )( )2 1 2x 5 y 3
2 2
 5 2 ⇒ (x 2 5)2 1 (y 2 3)2 5 4 ⇒ x2 1 y2 2 10x 2 6y 1 30 5 0
Veja, no Guia do Professor, o quadro de competências e habilidades desenvolvidas neste m—dulo.
PARA
REFLETIR
Podemos nos referir ao raio como 
o segmento de reta que o repre-
senta ou por meio da sua medida.
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5Geometria analítica: a circunferência e secções cônicas
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Logo, a relação estabelecida é:
 (x 2 5)2 1 (y 2 3)2 5 4 ou x2 1 y2 2 10x 2 6y 1 30 5 0
O conjunto dos pontos P(x, y) que estão situados a uma distância 2 do ponto A(5, 3) é a cir-
cunferência de centro A(5, 3) e raio 2. Assim, a relação (x 2 5)2 1 (y 2 3)2 5 4 é satisfeita por todos os 
pontos P(x, y) da circunferência de centro A(5, 3) e raio 2. Dizemos então que (x 2 5)2 1 (y 2 3)2 5 4 
é a equação dessa circunferência.
Agora, genericamente, considerando O(a, b) o centro, r o raio e P(x, y) um ponto da circunfe-
rência, temos:
d(P, O) 5 ( )( )2 1 2x a y b
2 2
 5 r ⇒ (x 2 a)2 1 (y 2 b)2 5 r2
0
b
a
y
x
r
O(a, b)
Daí podemos escrever que uma circunferência de centro O(a, b) e raio r tem equação:
(x 2 a)2 1 (y 2 b)2 5 r2
Equação normal da circunferência
Ao desenvolver a equação da circunferência (x 2 a)2 1 (y 2 b)2 5 r2, obtemos o que se chama 
de equação normal ou geral da circunferência:
x2 2 2ax 1 a2 1 y2 2 2by 1 b2 2 r2 5 0 ⇒ 
⇒ x2 1 y2 2 2ax 2 2by 1 (a2 1 b2 2 r2) 5 0
É muito comum na prática que as circunferências sejam representadas por sua equação geral, 
como a circunferência x2 1 y2 2 2x 1 4y 2 4 5 0. À primeira vista, essa equação não nos permite 
identificar nem o centro nem o raio da circunferência em questão. Precisamos, portanto, aprender a 
obter o raio e o centro de uma circunferência a partir de sua equação normal. Temos dois métodos 
que podem ser utilizados:
1o) Método de completar quadrados
Nesse método, o objetivo é obter os quadrados perfeitos (x 2 a)2 e (y 2 b)2 a partir das in-
formações apresentadas na equação normal. Vejamos como ele funciona com a equação normal 
x2 1 y2 2 2x 1 4y 2 4 5 0:
 agrupam-se na equação normal os termos em x e os termos em y, isolando no outro membro o 
termo independente. É interessante deixar um espaço depois dos termos em x e dos termos em 
y, e dois espaços no outro termo:
x2 2 2x 1 1 y2 1 4y 1 5 4 1 1 
 somam-se a ambos os termos da equação valores convenientes, de modo que os termos em x 
e os termos em y se transformem, cada qual, em um quadrado perfeito. Na prática, usamos os 
espaços vagos para escrever esses números. O número que completa o quadrado perfeito em x é 
o quadrado da metade do coeficiente de x, se o coeficiente de x2 for 1. Assim, como o coeficiente 
de x é 22, metade de 22 é 21 e o quadrado de 21 é 1, somamos 1 em ambos os membros:
x2 2 2x 1 1 1 y2 1 4y 1 ____ 5 4 1 1 1 ____
PARA
REFLETIR
No caso particular de o centro 
da circunferência estar na origem, 
ou seja, a 5 b 5 0, a equação da 
circunferência é x2 1 y2 5 r2.
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6 Geometria analítica: a circunferência e secções cônicas
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Do mesmo modo, o número que completa o quadrado perfeito em y é o quadrado da metade 
do coeficiente de y, se o coeficiente de y2 for 1. Assim, como o coeficiente de y é 4, metade de 4 é 2 
e o quadrado de 2 é 4, somamos 4 em ambos os membros:
x2 2 2x 1 1 1 y2 1 4y 1 4 5 4 1 1 1 4
Assim, temos os seguintes quadrados perfeitos:
2 1 1 1 1 5 1 1x 2x 1 y 4y 4 4 1 42
x–1
2
y+2 32 2
1 24444 34444 1 24444 34444 1 2444 3444
)) (( 1 5
Portanto, a equação x2 1 y2 2 2x 1 4y 2 4 5 0 representa uma circunferência de centro(1, 22) 
e raio 3.
Observação:
Se os coeficientes de x2 e y2 não forem 1, basta dividir toda a equação normal por um número 
conveniente de forma a torná-los 1.
2o) Método da comparação
Nesse método, devemos comparar os coeficientes dos termos das duas equações, a equação 
dada e a teórica:
x2 1 y2 2 2ax 2 2by 1 (a2 1 b2 2 r2) 5 x2 1 y2 2 2x 1 4y 2 4
Assim:
22a 5 22 ⇒ a 5 1
22b 5 4 ⇒ b 5 22
a2 1 b2 2 r2 5 24 ⇒ 12 1 (22)2 2 r2 5 24 ⇒ 1 1 4 2 r2 5 24 ⇒ r2 5 9 ⇒ r 5 3 (não 
existe raio negativo)
Então, o centro da circunferência é (1, 22) e o raio é 3.
O método de completar quadrados não exige a memorização da forma teórica da equação 
normal e oferece a possibilidade de trabalhar da mesma maneira com outras equações (não só a da 
circunferência). Mas fica a seu critério a escolha do método para resolver os exercícios.
Condições de existência
Consideremos a equação genérica Ax2 1 By2 1 Cxy 1 Dx 1 Ey 1 F 5 0. Para que ela represente 
uma circunferência, é necessário que sejam atendidas três condições:
 1a condição:
A 5 B Þ 0, ou seja, o coeficiente de x2 tem de ser igual ao coeficiente de y2.
 2a condição:
C 5 0, ou seja, não pode existir o produto xy.
 3a condição:
D2 1 E2 2 4AF . 0, assim garantimos que o raio é raiz de um número positivo e, portanto, 
um número real.
1 Determine a equação de uma circunferência com centro no ponto O(23, 1) e raio 3.
RESOLUÇÃO:
Pelo problema, temos a 5 23, b 5 1 e r 5 3.
Usando a equação:
(x 2 a)2 1 (y 2 b)2 5 r2 ⇒ (x 1 3)2 1 (y 2 1)2 5 32 ⇒ x2 1 y2 1 6x 2 2y 1 1 5 0
Logo, a equação é (x 1 3)2 1 (y 2 1)2 5 9 ou x2 1 y2 1 6x 2 2y 1 1 5 0.
PARA
REFLETIR
(x 1 3)2 1 (y 2 1)2 5 9 é a equa-
ção da circunferência na forma 
reduzida e x2 1 y2 1 6x 2 2y 1 1 5 
5 0 é a equação na forma geral.
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7Geometria analítica: a circunferência e secções cônicas
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2 Determine a equação da circunferência com centro no ponto 
A(1, 22) e que passa pelo ponto P(2, 3).
RESOLUÇÃO:
0 2
–2
r
P
1
A
3
y
x
Pela figura, r 5 d(P, A). Então:
d(P, A) 5 ( ) ( )2 1 3 2 1 25
2 2
2 1 1 5 1 5 
5 26 r 265⇒
Pela equação (x 2 a)2 1 (y 2 b)2 5 r2, temos:
(x 2 1)2 1 (y 1 2)2 5 ( )26
2
 ⇒ (x 2 1)2 1 (y 1 2)2 5 26 ⇒ 
⇒ x2 1 y2 2 2x 1 4y 2 21 5 0
Portanto, a equação é (x 2 1)2 1 (y 1 2)2 5 26 ou x2 1 y2 2 2x 1 
1 4y 2 21 5 0.
Generalizando: em uma circunferência de centro C(a, b) 
e raio r, seus pontos satisfazem a equação
(x 2 a)2 1 (y 2 b)2 5 r2. Reciprocamente, uma equação 
de variáveis x e y escrita nessa forma representa uma 
circunferência de centro C(a, b) e raio r . 0.
3 Verifique se a equação x2 1 y2 2 4x 2 8y 1 19 5 0 representa 
uma circunferência.
RESOLUÇÃO:
Usando o processo de completar quadrados e lembrando 
que x2 2 2ax 1 a2 5 (x 2 a)2, temos:
x2 1 y2 2 4x 2 8y 1 19 5 0 ⇒ x2 2 4x 1 1 y2 2 8y 1 
1 5 219 1 1 ⇒
2 1 1 2 1 52 1 1
2 2
⇒ x 4x 4 y 8y 16 19 4 16
(x 2) (y 4) 1
2
2
2
2
1 24444 34444 1 244444 344444 1 244444 344444
⇒ 1 5
⇒
⇒
⇒ (x 2 2)2 1 (y 2 4)2 5 12
Logo, a equação representa uma circunferência de centro 
C(2, 4) e raio 1.
Outra resolução:
Em x2 1 y2 2 4x 2 8y 1 19 5 0, temos A 5 B 5 1, C 5 0, 
D 5 24, E 5 28 e F 5 19.
Assim, atendemos às três condições de existência:
1a) A 5 B . 0, pois A 5 B 5 1.
2a) C 5 0.
3a) D2 1 E2 2 4AF . 0, pois (24)2 1 (28)2 2 4 ? 1 ? 19 5 4.
Logo, a equação dada representa uma circunferência.
4 A equação x2 1 y2 1 2x 2 2y 1 6 5 0 representa uma circunfe-
rência? Em caso afirmativo, dê as coordenadas do centro e o raio.
RESOLUÇÃO:
x2 1 y2 1 2x 2 2y 1 6 5 0 ⇒ x2 1 2x 1 y2 2 2y 5 
5 26 ⇒ x2 1 2x 1 1 1 y2 2 2y 1 1 5 26 1 1 1 1 ⇒
⇒ (x 1 1)2 1 (y 2 1)2 5 24
Como (x 1 1)2 é sempre positivo ou nulo, bem como (y 2 1)2, 
a soma (x 1 1)2 1 (y 2 1)2 nunca é negativa; então, não há 
ponto que satisfaça a relação (x 1 1)2 1 (y 2 1)2 5 24.
Logo, a equação x2 1 y2 1 2x 2 2y 1 6 5 0 não representa 
uma circunferência.
Devemos sempre lembrar que:
Uma equação nas variáveis x e y representa uma circun-
ferência se, e somente se, puder ser escrita na forma:
(x 2 a)2 1 (y 2 b)2 5 r2
com a [ R, b [ R, r [ R e r . 0.
Outra resolução:
Em x2 1 y2 1 2x 2 2y 1 6 5 0, temos A 5 B 5 1, C 5 0, 
D 5 2, E 5 22 e F 5 6.
A 3a condição não é atendida, pois
(2)2 1 (22)2 2 4 ? 1 ? 6 5 216.
Logo, a equação não representa uma circunferência.
5 Obtenha o raio e o centro da circunferência
x2 1 y2 1 6x 2 4y 2 12 5 0.
RESOLUÇÃO:
Pelo método de completar quadrados:
x2 1 6x 1 1 y2 2 4y 1 5 12 1 1 
1 1 1 2 1 5 1 1
1 2
x 6x 9 y 4y 4 12 9 4
(x 3) (y 2) 5
2
2
2
2 2
1 24 34 1 24 34 1 24 34
1 5
Portanto, a equação x2 1 y2 1 6x 2 4y 2 12 5 0 representa 
uma circunferência de centro C (23, 2) e raio 5.
Pelo método da comparação:
x2 1 y2 2 2ax 2 2by 1 (a2 1 b2 2 r2) 5 x2 1 y2 1 6x 2 4y 2 
2 12 5 0 (circunferência de centro (a, b) e raio r)
22a 5 6 ⇒ a 5 23
22b 5 24 ⇒ b 5 2
a2 1 b2 2 r2 5 212 ⇒ (23)2 1 22 2 r2 5 2 12 ⇒
⇒ 9 1 4 2 r2 5 212 ⇒ r2 5 25 ⇒ r 5 5 (não existe raio 
negativo)
Então, o centro da circunferência é (23, 2) e o raio é 5.
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8 Geometria analítica: a circunferência e secções cônicas
 TAREFA PARA CASA: Para praticar: 1 e 2 Para aprimorar: 1 e 2
PARA CONSTRUIR
As competências e habilidades do Enem estão indicadas em questões diversas ao longo do módulo. Se necessário, explique aos alunos que a utilidade deste 
“selo” é indicar o número da(s) competência(s) e habilidade(s) abordada(s) na questão, cuja área de conhecimento está diferenciada por cores (Linguagens: la-
ranja; Ciências da Natureza: verde; Ciências Humanas: rosa; Matemática: azul). A tabela para consulta da Matriz de Referência do Enem está disponível no portal.
Então, o centro da circunferência é (23, 2) e o raio é 5.
1 Dê as coordenadas do centro e o raio das circunferências re-
presentadas pelas equações:
a) (x 1 2)2 1 (y 1 6)2 5 5
C(22, 26) e r 5 5
b) x2 1 (y 2 4)2 5 1
C(0, 4) e r 5 1
c) x2 1 y2 2 6x 1 8y 1 5 5 0
x2 1 y2 2 6x 1 8y 1 5 5 0 ⇒ x2 2 6x 1 y2 1 8y 5 25 ⇒
⇒ x2 2 6x 1 9 1 y2 1 8y 1 16 5 25 1 9 1 16 ⇒
⇒ (x 2 3)2 1 (y 1 4)2 5 20
Logo, o centro é C(3, 24) e o raio é r 5 20.
d) x2 1 y2 2 4y 5 0
x2 1 y2 2 4y 5 0 ⇒ x2 1 y2 2 4y 1 4 5 4 ⇒
⇒ (x 2 0)2 1 (y 2 2)2 5 4
Logo, o centro é C(0, 2) e o raio é r 5 2.
e) x2 1 y2 2 2x 2 2y 5 0
x2 1 y2 2 2x 2 2y 5 0 ⇒ x2 2 2x 1 y2 2 2y 5 0 ⇒
⇒ x2 2 2x 1 1 1 y2 2 2y 1 1 5 1 1 1 ⇒
⇒ (x 2 1)2 1 (y 2 1)2 5 2
Logo, o centro é C(1, 1) e o raio é r 5 2.
f ) x2 1 y2 2 4x 2 8y 1 16 5 0
x2 1 y2 2 4x 2 8y 1 16 5 0 ⇒ x2 2 4x 1 y2 2 8y 5 216 ⇒
⇒ x2 2 4x 1 4 1 y2 2 8y 1 16 5 216 1 4 1 16 ⇒
⇒ (x 2 2)2 1 (y 2 4)2 5 4
Logo, o centro é C(2, 4) e o raio é r 5 2.
g) x2 1 y2 1 12x 2 4y 2 9 5 0
x2 1 y2 1 12x 2 4y 2 9 5 0 ⇒ x2 1 12x 1 y2 2 4y 5 9 ⇒
⇒ x2 1 12x 1 36 1 y2 2 4y 1 4 5 9 1 36 1 4 ⇒
⇒ (x 1 6)2 1 (y 2 2)2 5 49
Logo, o centro é C(26, 2) e o raio é r 5 7.
h) x2 1 y2 1 8x 1 11 5 0
x2 1 y2 1 8x 1 11 5 0 ⇒ x2 1 8x 1 y2 5 211 ⇒
⇒ x2 1 8x 1 16 1 y2 5 211 1 16 ⇒ (x 1 4)2 1 (y 2 0)2 5 5
Logo, o centro é C(24, 0) e o raio é r 5 5.
2 (UFSM-RS) Uma antena de telefone celular rural cobre uma 
região circular de área igual a 900p km2. Essa antena está lo-
calizada no centro da região circular e sua posição no sistema 
cartesiano, com medidas em quilômetros, é o ponto (0, 10).
Assim, a equação da circunferência que delimita a região cir-
cular é: a 
a) x y 20y 800 0.2 21 2 2 5 
b) x y 20y 70 0.
2 2
1 2 1 5 
c) x y 20x 800 0.
2 2
1 2 2 5 
d) x y 20y 70 0.
2 2
1 2 2 5 
e) x y 900.
2 2
1 5 
Admitindo que r seja o raio da circunferência, temos:
⇒p ? 5 ? p 5r 900 r 30,2 portanto, a equação da circunferência 
será dada por:
⇒2 1 2 5 1 2 2 5(x 0) (y 10) 30 x y 20y 800 02 2 2 2 2
 
3 (Uema) Um fabricante de brinquedos utiliza material recicla-
do: garrafas, latinhas e outros. Um dos brinquedos despertou 
a atenção deum estudante de Geometria, por ser confec-
cionado da seguinte forma: amarra-se um barbante em um 
bico de garrafa PET cortada e, na extremidade, cola-se uma 
bola de plástico que, ao girar em torno do bico, forma uma 
circunferência. O estudante representou-a no sistema por 
coordenadas cartesianas, conforme a figura a seguir:
C(3, 4)
y
x
Considerando o tamanho do barbante igual a 6 unidades de 
comprimento (u.c.) e o bico centrado no ponto (3, 4), a equa-
ção que representa a circunferência é igual a: a
a) x y 6x 8y 11 0
2 2
1 2 2 2 5 
b) x y 6x 8y 11 02 21 1 1 2 5 
c) x y 6x 8y 11 02 21 1 1 1 5 
d) x y 6x 8y 11 0
2 2
1 2 2 1 5 
e) x y 8x 6y 11 0
2 2
1 2 2 2 5 
Equação da circunferência de centro ( )C 3, 4 e raio 6:
x 3 y 4 6
x y 6x 8y 25 36 0
x y 6x 8y 11 0
2 2 2
2 2
2 2
2 1 2 5
1 2 2 1 2 5
1 2 2 2 5
( ) ( )
 
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-2
H-7
En
em
C-2
H-7
En
em
C-2
H-8
En
em
C-2
H-9
En
em
C-5
H-2
2
En
em
C-2
H-7
En
em
C-2
H-8
En
em
C-2
H-9
En
em
C-5
H-2
2
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9Geometria analítica: a circunferência e secções cônicas
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
 
 
G
E
O
M
E
T
R
IA
 E
 T
R
IG
O
N
O
M
E
T
R
IA
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
 POSIÇÕES RELATIVAS DE UM PONTO E UMA 
CIRCUNFERÊNCIA
Quando temos um ponto P(x
1
, y
1
) e uma circunferência λ, de centro C(a, b) e raio r, as possíveis 
posições relativas de P e λ são:
1a) O ponto pertence à circunferência:
C
d
P
λ
Nesse caso, as coordenadas do ponto devem satisfazer a equação da circunferência, e a distância 
d entre P e C é igual a r.
2a) O ponto é interno à circunferência:
C
P
d
λ
Nesse caso, a distância d do ponto ao centro é menor que o raio.
3a) O ponto é externo à circunferência:
 
C
P
d
λ
Nesse caso, a distância d do ponto ao centro é maior que o raio.
Considerando que a equação da circunferência (reduzida ou geral) é obtida a partir da condição 
d(P, C) 5 r, podemos escrever:
 d(P, C) 5 r ⇔ (x1 2 a)
2 1 (y1 2 b)
2 5 r2 ⇔ (x1 2 a)
2 1 (y1 2 b)
2 2 r2 5 0 ⇔ P [ λ.
 d(P, C) , r ⇔ (x1 2 a)
2 1 (y1 2 b)
2 , r2 ⇔ (x1 2 a)
2 1 (y1 2 b)
2 2 r2 , 0 ⇔ P é interno a λ.
 d(P, C) . r ⇔ (x1 2 a)
2 1 (y1 2 b)
2 . r2 ⇔ (x1 2 a)
2 1 (y1 2 b)
2 2 r2 . 0 ⇔ P é externo a λ.
6 Dê a posição do ponto P relativa à circunferência λ nos se-
guintes casos:
a) P(3, 2) e λ: x2 1 y2 2 6x 1 5 5 0
b) P(5, 21) e λ: x2 1 y2 2 6x 2 2y 1 8 5 0
c) P(4, 3) e λ: x2 1 y2 5 36
d) P(22, 23) e λ: (x 1 1)2 1 (y 1 4)2 5 ( )5
2
RESOLUÇÃO:
a) P(3, 2) e λ: x2 1 y2 2 6x 1 5 5 0
 Substituindo:
 32 1 22 2 6 ? 3 1 5 5 9 1 4 2 18 1 5 5 18 2 18 5 0
 Então, P [ λ.
b) P(5, 21) e λ: x2 1 y2 2 6x 2 2y 1 8 5 0
 Substituindo:
 52 1 (21)2 2 6 ? 5 2 2(21) 1 8 5 25 1 1 2 30 1 2 1 8 5 
5 36 2 30 5 6 . 0
 Então, P é externo a λ.
c) P(4, 3) e λ: x2 1 y2 5 36
 Substituindo:
 42 1 32 2 36 5 16 1 9 2 36 5 211 , 0
 Então, P é interno a λ.
d) P(22, 23) e λ: (x 1 1)2 1 (y 1 4)2 5 ( )5
2
 Substituindo:
 (22 1 1)2 1 (23 1 4)2 2 ( )5
2
 5 1 1 1 2 5 5 23 , 0
 Então, P é interno a λ.
7 Determine a equação da circunferência circunscrita ao triân-
gulo de vértices A(1, 2), B(0, 3) e C(27, 24).
RESOLUÇÃO:
A equação da circunferência λ é:
(x 2 a)2 1 (y 2 b)2 5 r2.
 A(1, 2) [ λ: (1 2 a)2 1 (2 2 b)2 5 r2 (I)
 B(0, 3) [ λ: (0 2 a)2 1 (3 2 b)2 5 r2 (II)
 C(27, 24) [ λ: (27 2 a)2 1 (24 2 b)2 5 r2 (III)
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10 Geometria analítica: a circunferência e secções cônicas
PARA CONSTRUIR
Igualando (I) e (II), temos:
1 2 2a 1 a2 1 4 2 4b 1 b2 5 a2 1 9 2 6b 1 b2 ⇒ 22a 1 2b 5 
5 4 ⇒ 2a 1 b 5 2
Igualando (II) e (III), temos:
a2 1 9 2 6b 1 b2 5 49 1 14a 1 a2 1 16 1 8b 1 b2 ⇒ 214a 2 
2 14b 5 56 ⇒ a 1 b 5 24
Resolvendo o sistema { a b 2a b 42 1 51 5 2 , encontramos 
a 5 23 e b 5 21.
Assim, λ: (x 1 3)2 1 (y 1 1)2 5 r2.
Para encontrar o valor de r podemos usar a equação (I):
(1 2 a)2 1 (2 2 b)2 5 r2 ⇒ (1 1 3)2 1 (2 1 1)2 5 r2 ⇒ r2 5 25
Portanto, a equação procurada é (x 1 3)2 1 (y 1 1)2 5 25.
Outra resolu•‹o:
Da Geometria plana, lembramos que o centro da circunfe-
rência circunscrita a um triângulo é o circuncentro, ou seja, é 
o encontro das mediatrizes do triângulo. Então, vamos obter 
a equação de duas mediatrizes e o ponto de intersecção de-
las. O centro da circunferência será esse ponto e o raio será a 
distância do centro a um dos três vértices.
 Mediatriz do lado AB:
Coeficiente angular da reta AB: m
1
 5 
3 2
0 1
1
2
2
5 2 
Coeficiente angular da mediatriz de AB: m
2
 5 
1
m
1
1
1
1
2 5 2
2
5
Ponto médio de AB: 


 

M 1
2
,
5
2
Então, a reta que passa por M com coeficiente angular m
2 
5 1 é:
y 2 




5
2
1 x
1
2
5 2 ⇒ 2y 2 5 5 2x 21 ⇒ 2x 2 2y 1 4 5 0 ⇒
⇒ x 2 y 1 2 5 0
 Mediatriz do lado BC:
Coeficiente angular da reta BC: m
3
 5 
4 3
7 0
2 2
2 2
 5 1
Coeficiente angular da mediatriz de BC: m
4
 5 
1
m
1
13
2 5 2 5 21
Ponto médio de BC: N
7
2
,
1
2( )2 2
Então, a reta que passa por N com coeficiente angular m
4
 5 
5 21 é:



y
1
2
1 x
7
2
1 5 2 1 ⇒ 2y 1 1 5 22x 2 7 ⇒ 2x 1 2y 1 8 5
5 0 ⇒ x 1 y 1 4 5 0
Centro O da circunferência:
A intersecção das duas mediatrizes (que são retas concor-
rentes) é obtida pela resolução do sistema {x y 2 0x y 4 02 1 51 1 5 . 
Resolvendo esse sistema, encontramos x 5 23 e y 5 21. 
Logo, O(23, 21).
Raio da circunferência:
Distância do centro ao vértice B (poderia ser qualquer um 
dos três vértices):
d(O, B) 5 3 0 1 3 9 16 5
2 2
2 2 1 2 2 5 1 5( )( )
Portanto, raio 5 5.
Então, a equação procurada é (x 1 3)2 1 (y 1 1)2 5 25.
4 Verifique entre os pontos A(0, 3), B(7, 2) e C(21, 3) quais per-
tencem à circunferência de equação (x 2 3)2 1 (y 1 1)2 5 25.
(x 2 3)2 1 (y 1 1)2 5 25 é a equação da circunferência.
A(0, 3): (0 2 3)2 1 (3 1 1)2 5 9 1 16 5 25 ⇒
⇒ A [ circunferência
B(7, 2): (7 2 3)2 1 (2 1 1)2 5 16 1 9 5 25 ⇒
⇒ B [ circunferência
C(21, 3): (21 2 3)2 1 (3 1 1)2 5 16 1 16 5 32 Þ 25 ⇒
⇒ C î circunferência
5 O centro de uma circunferência é o ponto médio de AB, sen-
do A(2, 25) e B(22, 23). Se o raio dessa circunferência é 2, 
determine a sua equação.
Cálculo do centro C da circunferência:
C
x x
2
,
y y
2
A B A B1 1




 ⇒ 


2 2 2
C
2 2
2
,
5 3
2
 ⇒ C(0, 24)
Então, a 5 0 e b 5 24.
Equação da circunferência de raio r 5 2 e centro C(0, 24):
(x 2 a)2 1 (y 2 b)2 5 r2 ⇒ (x 2 0)2 1 (y 1 4)2 5 ( )2 2 ⇒ x2 1 
1 (y 1 4)2 5 2
En
em
C-2
H-7
En
em
C-2
H-8
En
em
C-5
H-2
2
En
em
C-2
H-7
En
em
C-2
H-8
En
em
C-5
H-2
2
tencem à circunferência de equação (x 
A(0, 3): (0 
En
em
En
em
C-2
H-7
En
em
C-2
H-7
En
em
En
em
C-2
H-8
En
em
C-2
H-8
En
em
En
em
C-5
H-2
2
En
em
C-5
H-2
2
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11Geometria analítica: a circunferência e secções cônicas
M
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T
E
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A
 
 
G
E
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M
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IA
 E
 T
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IG
O
N
O
M
E
T
R
IA
 POSIÇÕES RELATIVAS DE UMA RETA E UMA 
CIRCUNFERÊNCIA
Consideremos as três possíveis posições de uma reta em relação a uma circunferência:
1a) A reta t é secante à circunferência:
O
M
B
A
t
d < r
 Nesse caso, a distância do centro da circunferência à reta é menor que o raio. A reta e a 
circunferência têm dois pontos comuns.
2a) A reta t é tangente à circunferência:
O
A
t
d = r
Nesse caso, a distância do centro da circunferência à reta é igual ao raio. A reta e a circunferência 
têm um único ponto comum.
 TAREFA PARA CASA: Para praticar: 3 a 6 Para aprimorar: 3 a 5
6 (UFSC − Adaptada) Até a Primeira Guerra Mundial, os pilotos dos aviões só se comunicavam com o pessoal de terra por meio 
de bandeiras e luzes coloridas a curta distância. Na Grande Guerra, os especialistas americanos desenvolveram um sistema 
de radiotelégrafos capaz de orientar todo o tráfego aéreo em um raio de 200 quilômetros, dando origem às primeiras torres 
de controle. Considere que uma torre de controle está situada no ponto T(100,1003) de um plano cartesiano, em que cada 
unidade corresponde a 1 km, e que seu alcance é de 200 km. 
Disponível em: ,http://infograficos.estadao.com.br/public/especiais/100-anos-primeira-guerra-mundial..
Acesso em: 14 out. 2014. Adaptado.
a) Determine, indicando a unidade de medida, a área de cobertura da torre de controle. (Use p . 3,14.)
A área pedida é igual a p ? 2002 . 3,14 ? 40 000 5 125 600 km2.
b) Determine a equação geral da circunferência que representa a linha limite de cobertura da torre de controle.
Tem-se que a equação geral da circunferência que representa a linha limite de cobertura da torre de controle é:
⇔2 1 2 5 1 2 2 5(x 100) (y 100 3) 200 x y 200x 200 3y 0.2 2 2 2 2
 
c) Determine, apresentando os cálculos, se o ponto P(1, 3), localizado no mesmo plano cartesiano da torre de controle, pertence 
ou não pertence à área de cobertura dessa torre de controle.
Seja R R→f : ,
2
 dada por 5 1 2 2f(x, y) x y 200x 200 3y.2 2 Logo, como 5 1 2 ? 2 ? ,f(1, 3) 1 ( 3) 200 1 200 3 3 0,2 2 segue-se que 
P(1, 3) pertence à área de cobertura dessa torre de controle. 
En
em
C-2
H-7
En
em
C-2
H-8
En
em
C-2
H-9
En
em
C-5
H-2
2
PARA
REFLETIR
Propriedades de reta e circunfe-
rência secantes: 
OM AB'
 M é ponto médio de AB : 
(AB 5 2AM)
 Teorema de Pitágoras: 
(OM)2 1 (BM)2 5 (BO)2
PARA
REFLETIR
Note que t ⊥ OA. 
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12 Geometria analítica: a circunferência e secções cônicas
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
3a) A reta t é exterior à circunferência:
O
t
d > r
Nesse caso, a distância do centro da circunferência à reta é maior que o raio. A reta e a circun-
ferência não têm ponto comum.
Vejamos, a partir das equações, como identificar cada um desses casos.
8 São dadas a reta r, de equação 2x 1 y 2 1 5 0, e a circunfe-
rência de equação x2 1 y2 1 6x 2 8y 5 0. Qual é a posição da 
reta r em relação à circunferência?
RESOLUÇÃO:
Vamos calcular as coordenadas do centro e o raio da circun-
ferência:
x2 1 y2 1 6x 2 8y 5 0 ⇒ x2 1 6x 1 y2 2 8y 5 0 ⇒ x2 1 6x 1
1 9 1 y2 2 8y 1 16 5 9 1 16 ⇒ (x 1 3)2 1 (y 2 4)2 5 25
Então, C(23, 4) e r 5 5.
Agora vamos determinar a distância do centro à reta:
 
d
| 2( 3) 1 (4) 1|
2 1
| 3|
5
3
5
1,3
2 2
.5
2 1 2
1
5
2
5
Comparando d e r, temos d , r (1,3 , 5).
Logo, a reta r é secante à circunferência.
Outra resolução:
Os pontos comuns à reta e à circunferência, se houver, são as 
soluções do sistema formado por suas equações:
 2x 1 y 2 1 5 0 ⇒ y 5 1 2 2x{
 x2 1 y2 1 6x 2 8y 5 0
Substituindo y na segunda equação, temos:
x2 1 y2 1 6x 2 8y 5 0 ⇒ x2 1 (1 2 2x)2 1 6x 2 8(1 2 2x) 5 0 ⇒ 
⇒ x2 1 1 2 4x 1 4x2 1 6x 2 8 1 16x 5 0 ⇒ 5x2 1 18x 2 7 5 0
O cálculo de Δ será suficiente para determinar quantos pon-
tos comuns têm a reta e a circunferência e daí a posição re-
lativa. Então:
Δ 5 182 1 140 5 324 1 140 5 464 . 0
O valor de Δ . 0 indica a existência de dois valores reais e 
distintos de x e, consequentemente, dois pontos comuns à 
reta e à circunferência.
Logo, a reta é secante à circunferência.
Observação:
A resolução completa do sistema permite descobrir quais 
são os dois pontos comuns à reta e à circunferência.
PARA
REFLETIR
Para Δ 5 0, há somente um pon-
to comum (reta tangente à cir-
cunferência).
Para Δ , 0, não há ponto comum 
(reta exterior à circunferência). 
9 Qual é o comprimento da corda determinada pela reta s: 
3y 2 4x 1 1 5 0 na circunferência x2 1 y2 5 25?
RESOLUÇÃO:
Os pontos comuns à reta e à circunferência são as extremi-
dades A e B da corda AB procurada. Assim, vamos resolver o 
sistema e obter os pontos A e B da corda AB.
x y 25
3y 4x 1 0 y 4x
3
1
3
2 2
1 5
2 1 5 5 2→





Substituindo y na primeira equação:


 

 ⇒ ⇒
⇒ ⇒
x 4x
3
1
3
25 x 16x
9
8x
9
1
9
25
25x
9
8x
9
224
9
0 25x 8x 224 0
2
2
2
2
2
2
1 2 5 1 2 1 5
2 2 5 2 2 5
Resolvendo a equação:
Δ 5 (28)2 2 4 ? 25 ? (2224) 5 22 464
)( ± ± ⇒
⇒
x
8 22464
2 25
8 24 39
50
x
4 12 39
25
e x
4 12 39
25
1 2
5
2 2
?
5
5
1
5
2
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13Geometria analítica: a circunferência e secções cônicas
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
 
 
G
E
O
M
E
T
R
IA
 E
 T
R
IG
O
N
O
M
E
T
R
IA
Para x
4 12 39
25
1 5
1
 , temos: y
4
3
4 + 12 39
25
1
3
3 16 39
25
1 5 2 5
2 1





 
Então, A
4 12 39
25
,
3 16 39
25




1 2 1
.
Para 



x
4 12 39
25
2 5
2
 temos: y
4 12 39
25
1
3
3 16 39
25
2 5
2
2 5
2 2




 .
Então, 



B
4 12 39
25
,
3 16 39
25
2 2 2
.
Finalmente, obtemos a distância d(A, B) entre os pontos A e B:







d(A, B)
4 12 39
25
4 12 39
25
3 16 39
25
3 16 39
25
2 2
5
1
2
2
1
2 1
2
2 2
5








24 39
25
32 39
25
1600 39
625
40 39
25
8 39
5
2 2
5 1 5
?
5 5
Outra resolução:
O
M B sA
O ponto O tem coordenadas (0, 0). O segmento OB mede 5 (raio). OM é a distância de O a s. Então:
OM 5 
0 0 1
3 4
1
52 2
2 1
1 2
5
( )
(MB)2 1 (MO)2 5 (OB)2 ⇒ (MB)2 1 ⇒
1
25
25 MB
4 39
5
5 5
AB 5 2MB 5 
8 39
5
10 O ponto P(5, 2) pertence à circunferência de equação x2 1 y2 1 2x 2 6y 2 27 5 0. Determine a equação da reta t tangente a essa 
circunferência em P.
RESOLUÇÃO:
Lembre-se de que, se uma reta t tangencia uma circunferência de centro C e raio r em P, então t é perpendicular à reta suporte 
de CP.
Calculando as coordenadas do centro C e o raio r, temos:
x2 1 y2 1 2x 2 6y 2 27 5 0 ⇒ x2 1 2x 1 y2 2 6y 5 27 ⇒
⇒ x2 1 2x 1 1 1 y2 2 6y 1 9 5 27 1 1 1 9 ⇒ (x 1 1)2 1 (y 2 3)2 5 37
Então, C(21, 3) e r 5 37 .
Vamos determinar o coeficiente angular m
1
 da reta que passa pelos pontos C(21, 3) e P(5, 2):
m
1
 5 
2 3
5 1
1
6
2
1
5 2
r
P
t
C
SER_GEOM_CAD12_001a025_cap1.indd 13 5/31/16 5:29 PM
14 Geometria analítica: a circunferência e secções cônicas
Vamos determinar o coeficiente angular m
2
 da reta t perpen-
dicular à reta que passa pelos pontos C e P :
m
1
m
1
1
6
62
1
5 2 5 2
2
5
Calculamos agora a equação da reta t que passa pelo ponto 
P(5, 2) e coeficiente angular 6:
y 2 2 5 6(x 2 5) ⇒ y 2 2 5 6x 2 30 ⇒ 6x 2 y 2 28 5 0
Logo, a equação pedida é 6x 2 y 2 28 5 0.
Outra resolução:
Obtemos o centro C(21, 3).
Determinamos a equação reduzida da reta CP e dela tiramos 
o coeficiente angular (m
1
):
⇒
x y 1
1 3 1
5 2 1
02 5 3x 1 5y 2 2 2 15 1 y 2 2x 5 0 ⇒ 6y 5 
5 2x 1 17 ⇒ y
1
6
x
17
6
m
1
6
15 2 1 5 2⇒
A reta t procurada passa por P(5, 2) e é perpendicular à reta 
CP. Logo, seu coeficiente angular é 6, pois 



1
6
6 12 5 2 .
Então, a equação de t é y 2 2 5 6(x 2 5) ou 6x 2 y 2 28 5 0.
11 A reta de equação x 2 y 1 k 5 0 é tangente à circunferência 
de equação x2 1 y2 5 9. Calcule o valor de k.
RESOLUÇÃO:
Se a reta é tangente à circunferência, a distância do centro 
até a reta é igual ao raio.
Centro e raio da circunferência:
x2 1 y2 5 9 ⇒ (x 2 0)2 1 (y 2 0)2 5 32
Então, C(0, 0) e r 5 3.
Distância do centro (0, 0) à reta 1x 2 1y 1 k 5 0:
d
1 0 1 0 k
1 1
k
22 2
5
? 2 ? 1
1
5
Cálculo de k, sabendo que d 5 r:
⇒ ⇒ ±
k
2
3 k 3 2 k 3 25 5 5
PARA
REFLETIR
Se há dois valores para k, existem 
duas retas, x 2 y 1 3 2 5 0 e 
x 2 y 2 3 2 5 0, que satisfazem 
a condição.
Outra resolução:
Se a reta é tangente à circunferência, então o sistema forma-
do pelas duas equações tem uma única solução:
2 1 5 5 2
1 5
⇒



x y k 0 x y k
x y 92 2
Substituindo x na segunda equação, temos:
x2 1 y2 5 9 ⇒ (y 2 k)2 1 y2 5 9 ⇒ y2 2 2ky 1 k2 1 y2 2 9 5 
5 0 ⇒ 2y2 2 2ky 1 k2 2 9 5 0
Para que a solução seja única, devemos ter Δ 5 0:
Δ 5 4k2 2 8(k2 2 9) 5 0 ⇒ 4k2 2 8k2 1 72 5 0 ⇒ 24k2 1 72 5
5 0 ⇒ k2 5 5
72
4
18 ⇒ ± ±k 18 3 25 5
12 O ponto P(1, 22) é externo à circunferência de equação 
(x 2 1)2 1 (y 2 2)2 5 8. Determine as equações das retas 
tangentes à circunferência e que passam por P.
RESOLUÇÃO:
Pela equação dada, temos C(1, 2) e r 5 8 .
0
y
x
C(1, 2)
P(1, –2)
t
1
t
2
√8
Considerandoo coeficiente angular m das retas t
1
 e t
2
, pode-
mos escrever a equação geral dessas retas, lembrando que 
passam por P(1, 22).
y 1 2 5 m(x 2 1) ⇒ y 1 2 5 mx 2 m ⇒ mx 2 y 2 2 2 m 5 0
PARA
REFLETIR
 Se P pertence à circunferência, existe uma só reta que 
passa por P e é tangente à circunferência.
O
t
P
t OP
 Se P é externo, há duas tangentes.
O
P
T1
PT1 = PT2T2
 Se P é interno, não existe tangente.
SER_GEOM_CAD12_001a025_cap1.indd 14 5/31/16 5:29 PM
15Geometria analítica: a circunferência e secções cônicas
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
 
 
G
E
O
M
E
T
R
IA
 E
 T
R
IG
O
N
O
M
E
T
R
IA
PARA CONSTRUIR
Como a distância entre o centro C(1, 2) e a reta de equação 
mx 2 y 2 2 2 m 5 0 deve ser igual ao raio r, temos:
m 1 1 2 2 m
m 1
8
2
2 2 2
1
5
( ) ( )
⇒
m 2 2 m
m 1
8
2
2 2 2
1
5⇒ ⇒
4
m 1
8
4
m 1
8
2 2
2
1
5
1
5⇒ ⇒ ⇒
⇒ ⇒16
m 1
8
2
1
5
 
⇒ 8m2 1 8 5 16 ⇒
⇒ 8m2 2 8 5 0 ⇒ m2 2 1 5 0 ⇒ m2 5 1 ⇒ m' 5 1 e m" 5 21
Vamos calcular as equações das retas t
1
 e t
2
, substituindo o 
valor de m na equação geral mx 2 y 2 2 2 m 5 0.
Para m' 5 1, temos:
(1)x 2 y 2 2 2 1 5 0 ⇒ x 2 y 2 3 5 0
Para m" 5 21, vem:
(21)x 2 y 2 2 2 (21) 5 0 ⇒ 2x2 y 2 1 5 0 ⇒
⇒ x 1 y 1 1 5 0
Logo, as equações das retas tangentes t
1
 e t
2
 são x 2 y 2 3 5 
5 0 e x 1 y 1 1 5 0.
PARA
REFLETIR
Se houver duas retas tangentes e se chegar a um único 
valor para m, significa que uma das retas é vertical.
7 (UFJF-MG) Considere a reta r determinada pelos pontos P e Q e a circunferência λ, de centro C, que passa pelo ponto A, conforme 
representados no plano cartesiano abaixo.
λ
y
x
1
2
3
4
5
431 2
C
A
P
r
Q
0
0
5 6 7 8– 1–2
–1
–2
Determine a equação da reta s, perpendicular à reta r, tangente à circunferência λ e que contém pontos do 2o quadrante.
Inicialmente, calcula-se o coeficiente angular da reta r:
5
2
2
5
2
5 2m
1 4
6 3
3
3
1r
Como s é perpendicular a r, tem-se que o coeficiente angular da reta 
s é:
5 2 5 2
2
5m
1
m
1
1
1s
r
Seja t a reta que passa por C e pelo ponto de tangência M entre a 
reta s e a circunferência λ. Então, t é paralela à reta r, m
t
 5 21 e, 
consequentemente, a equação de t é dada por:
t: y 2 1 5 21(x 2 1)
t: y 5 2 2 x
A equação da circunferência λ é dada por:
(x 2 1)2 1 (y 2 1)2 5 R2, em que ( ) ( )5 2 1 2R 3 1 2 12 2 5 5 é o 
raio de λ.
Portanto, a equação de λ é dada por: (x 2 1)2 1 (y 2 1)2 5 5.
Como M 5 λ > t, a abscissa do ponto M pode ser encontrada substi-
tuindo-se y 5 2 2 x na equação de λ. Obtém-se então:
 (x 2 1)2 1 (2 2 x 2 1)2 5 5 ⇒ 2(x 2 1)2 5 5 ⇒ (x 2 1)2 5 ⇒5
2
x 1
5
2
2
2
x 1
10
2
2 56 ? 5 6⇒ ⇒
 
Como M é um ponto do 2o quadrante, sua abscissa é negativa; assim:
x 1
10
2
5 2
Daí, 



 ⇒5 2 2 5 1y 2 1
10
2
y 1
10
2
 é a ordenada de M.
Portanto, a equação de s será dada por:
s: y 5 2 












1 5 2 21
10
2
1 x 1
10
2
s: y 5 x 1 10
En
em
C-2
H-7
En
em
C-2
H-8
En
em
C-5
H-2
2
En
em
C-6
H-2
6
SER_GEOM_CAD12_001a025_cap1.indd 15 5/31/16 5:29 PM
16 Geometria analítica: a circunferência e secções cônicas
8 (Ufam) A equação da reta r que passa pelo centro da circun-
ferência λ de equação x2 1 y2 1 4x 2 2y 1 1 5 0 e é perpen-
dicular à reta s de equação {x 2 3ty 1 2t5 25 1 , com t [ R, é: d
a) y 2
3
x 45 1
b) y
3
2
x 45 2
c) y
3
2
x 45 2 1
d) y 3
2
x 45 1
e) y
2
3
x 45 2 1
Temos a equação reduzida da circunferência:
(x 1 2)2 1 (y 2 1)2 5 4
λ: 
( )


2
5 2
2, 1
r 2
Devemos conhecer a equação da reta s:
{
( )
( )


⇒
5 2 ?
5 1 ?
5 2
5 1
1
1 5
x 2 3t 2
y 1 2t 3
2x 4 6t
3y 3 6t
2x 3y 7
Logo, s: y 2
3
x 7
3
5 2 1 e m
2
3
s 5 2
Como as retas r e s são perpendiculares entre si, temos:
⇒5 2 5m 1
m
m
3
2
r
s
r
Como C [ r, então:
(y 2 1) 5 ( ) ⇒1 5 1
3
2
x 2 y 3
2
x 4
9 (Udesc) Considerando que as retas y x 4,5 2 1 y x,5 2 
y x 25 2 e y x 25 1 tangenciam a circunferência C. É corre-
to afirmar que a equação de C é: d
a) (x 1) (y 1) 22 21 1 1 5 
b) (x 1) (y 1) 22 21 1 1 5 
c) (x 1) (y 1) 12 22 1 2 5 
d) (x 1) (y 1) 22 22 1 2 5 
e) (x 1) (y 1) 22 22 1 2 5 
Como os coeficientes angulares das retas 5 2 1y x 4 e 5 2y x 
são iguais a 21, segue-se que elas são paralelas entre si. Já os 
coeficientes angulares das retas 5 2y x 2 e 5 1y x 2 são iguais 
a 1 e, assim, elas são paralelas entre si.
As retas 5 2 1y x 4 e 5 2y x são perpendiculares às retas 
5 2y x 2 e 5 1y x 2.
Desse modo, podemos afirmar que a circunferência C está ins-
crita num quadrado cujo lado mede 
2 2
1
5
| 4 0 |
1 1
2 2.
2 2
 Daí, tem-se 
que o raio de C mede 2. Além disso, observando que a reta 5y x 
contém o centro de C, podemos concluir que tal ponto é (1, 1).
Portanto, a equação de C é (x 2 1)2 1 (y 2 1)2 5 2.
10 A reta r, de equação x 1 y 2 3 5 0, e a circunferência de 
equação (x 1 2)2 1 (y 2 1)2 5 10 são secantes nos pontos A 
e B. Determine a área do triângulo cujos vértices são o centro 
da circunferência e os pontos A e B. 
O
A B
r
Vamos obter as coordenadas de A e B:
1 1 2 5
1 2 5
1 1 2 5
5 2 1
( ) ( )( ) ( )


⇒



x 2 y 1 10
x y 3 0
x 2 y 1 10
y x 3
2 2 2 2
Substituindo y na primeira equação, temos:
(x 1 2)2 1 (2x 1 3 2 1)2 5 10 ⇒ (x 1 2)2 1 (2x 1 2)2 5 10 ⇒
⇒ x2 1 4x 1 4 1 x2 2 4x 1 4 5 10 ⇒ 2x2 5 2 ⇒ x2 5 1 ⇒
⇒ x’ 5 1 e x” 5 21
Substituindo os valores encontrados na segunda equação, temos:
x’ 5 1 ⇒ y’ 5 21 1 3 5 2 ⇒ A(1, 2)
x” 5 21 ⇒ y” 5 2(21) 1 3 5 4 ⇒ B(21, 4)
Coordenadas do centro O da circunferência:
(x 1 2)2 1 (y 2 1)2 5 10 ⇒ O(22, 1)
Cálculo da área do triângulo ABO, em que A(1, 2), B(21, 4) e O(22, 1):
5 2
2
5D
1 2 1
1 4 1
2 1 1
 4 2 1 2 4 1 8 21 1 2 5 8
S
1
2
D
1
2
8 45 5 5
11 (FGV-SP) No plano cartesiano, uma circunferência tem centro 
C(5, 3) e tangencia a reta de equação 1 2 53x 4y 12 0. 
A equação dessa circunferência é: a
a) 1 2 2 1 5x y 10x 6y 25 0
2 2
 
b) 1 2 2 1 5x y 10x 6y 36 02 2 
c) 1 2 2 1 5x y 10x 6y 49 02 2 
d) 1 1 1 1 5x y 10x 6y 16 02 2 
e) 1 1 1 1 5x y 10x 6y 9 02 2 
O raio da circunferência corresponde à distância de C(5, 3) à reta 
1 2 53x 4y 12 0, isto é,
| 3 5 4 3 12 |
3 4
3
2 2
? 1 ? 2
1
5
Portanto, a equação da circunferência é:
(x 2 5)2 1 (y 2 3)2 5 32 ⇔ x2 1 y2 2 10x 2 6y 1 25 5 0 
En
em
C-2
H-8
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-2
H-8
En
em
C-5
H-2
1
equação (x 
e B. Determine a área do triângulo cujos vértices são o centro 
da circunferência e os pontos A e B. 
En
em
C-2
H-7
da circunferência e os pontos A e B. da circunferência e os pontos A e B. 
En
em
C-5
H-2
2
En
em
C-2
H-8
En
em
C-5
H-2
1
SER_GEOM_CAD12_001a025_cap1.indd 16 5/31/16 5:29 PM
17Geometria analítica: a circunferência e secções cônicas
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
 
 
G
E
O
M
E
T
R
IA
 E
 T
R
IG
O
N
O
M
E
T
R
IA
 TAREFA PARA CASA: Para praticar: 7 a 10 Para aprimorar: 6 a 8
12 (Uece) No plano, com o sistema de coordenadas cartesianas ortogonal usual, a reta tangente à circunferência 1 5x y 1
2 2
 no ponto 




1
2
,
3
2
 intercepta o eixo y no ponto: a
a) 




0,
2
3
. 
b) (0, 3). 
c) (0, 2 3). 
d) 




0,
1
3
. 
A equação da reta que passa pela origem e pelo ponto 




1
2
,
3
2
 tem coeficiente angular igual a 
3
2
1
2
3.5 Logo, a equação da reta tangente 
à circunferência 1 5x y 12 2 no ponto 




1
2
,
3
2
 é:
y 3
2
1
3
x 1
2
y 1
3
x 1
2 3
3
2
y 1
3
x 2
3
( ) ⇒ ⇒
⇒
2 5 2 2 5 2 1 1
5 2 1
 
Por conseguinte, o resultado é 




0,
2
3
. 
En
em
C-2
H-8
En
em
C-5
H-2
1
 POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS CIRCUNFERÊNCIAS
Duas circunferências distintas podem ter dois, um ou nenhum ponto comum.
Com base nas equações das duas circunferências podemos descobrir quantos e quais são os 
pontos comuns resolvendo o sistema formado por elas. Além disso, podemos identificar a posição 
relativa usando os dois raios e a distância entre os centros.
Considere uma circunferência de centroC
1
 e raio r
1
 e outra de centro C
2
 e raio r
2
. A distância 
entre os centros será d(C
1
, C
2
).
Veja as possíveis posições relativas das duas circunferências:
1a) Dois pontos comuns:
C1 C2
Secantes:
|r1 2 r2| , d(C1, C2) , r1 1 r2
2a) Um ponto comum:
C1
C2 ou
C1
C2
Tangentes exteriormente:
d(C1, C2) 5 r1 1 r2
Tangentes interiormente:
d(C1, C2) 5 |r1 2 r2|
PARA
REFLETIR
Nesses dois casos, os dois cen-
tros e o ponto de tangência são 
colineares.
SER_GEOM_CAD12_001a025_cap1.indd 17 5/31/16 5:29 PM
18 Geometria analítica: a circunferência e secções cônicas
EXERCÍCIO RESOLVIDO
3a) Nenhum ponto comum:
C1
C2
C
1
C
2
ou
Uma circunferência interna à outra:
d(C1, C2) , |r1 2 r2|
Circunferências externas:
d(C1, C2) . r1 1 r2
PARA
REFLETIR
No caso particular de as duas cir-
cunferências serem concêntricas, 
então C1 ; C2, d(C1, C2) 5 0.
13 Verifique a posição relativa das duas circunferências dadas. Se 
forem secantes ou tangentes, determine os pontos comuns:
a) x2 1 y2 5 30 e (x 2 3)2 1 y2 5 9
b) x2 1 y2 2 20x 2 2y 1 100 5 0 e 
 x2 1 y2 2 2x 2 2y 2 98 5 0
c) (x 1 2)2 1 (y 2 2)2 5 1 e x2 1 y2 5 1
d) (x 2 3)2 1 (y 2 2)2 5 9 e x2 1 y2 2 6x 2 4y 1 12 5 0
RESOLUÇÃO:
a) Resolvendo o sistema formado pelas duas equações:
 
( )




⇒



x y 30
x 3 y 9
x y 30 0
x y 6x 0
2 2
2 2
2 2
2 2
1 5
2 1 5
1 2 5
1 2 5
 
⇒
 ⇒ 230 1 6x 5 0 ⇒ 6x 5 30 ⇒ x 5 5
 Substituindo x na primeira equação:
 x2 1 y2 5 30 ⇒ 25 1 y2 5 30 ⇒ y2 5 5 ⇒
 ⇒ y 5 ± 5 
 Logo, as duas circunferências são secantes e seus pontos 
comuns são ( )5, 5 e 2( )5, 5 .
b) Resolvendo o sistema:
 
1 2 2 1 5
1 2 2 2 5 ? 2( )




x y 20x 2y 100 0
x y 2x 2y 98 0 1
2 2
2 2
 ⇒
 
x y 20x 2y 100 0
x y 2x 2y 98 0
18x 198 0 18x 198
2 2
2 2
⇒ ⇒






1 2 2 1 5
2 2 1 1 1 5
2 1 5 5
 
5 5⇒ ⇒x 198
18
x 11
 Substituindo x na primeira equação:
 x2 1 y2 2 20x 2 2y 1 100 5 0 ⇒
 ⇒ 112 1 y2 2 20 ? 11 2 2y 1 100 5 0 ⇒
 ⇒ y2 2 2y 1 121 2 220 1 100 5 0 ⇒
 ⇒ y2 2 2y 1 1 5 0
 Δ 5 0
 y
2 0
2
1
±
5 5 
 (11, 1) é o único ponto comum às duas circunferências, 
portanto elas são tangentes.
 As circunferências tangentes podem ser externas ou inter-
nas. Podemos determinar a sua posição relativa por meio 
da distância entre os centros das circunferências e por meio 
de seus raios (lembrando que os centros das circunferên-
cias e o ponto de tangência estão sempre alinhados).
C
1
C
2
r
1
r
2
r
1C
1C
2
r
2
Circunferências tangentes externamente:
d(C1, C2) 5 r1 1 r2
ou
Circunferências tangentes internamente:
d(C1, C2) 5 |r1 2 r2|
 Considerando a primeira equação:
 x2 1 y2 2 20x 22y 1 100 5 0 ⇒
 ⇒ x2 2 20x 1 100 1 y
2 2 2y 1 1 5
 5 2100 1 100 1 1 ⇒ (x 2 10)2 1 (y 2 1)2 5 12
 Então, C1(10, 1) e r1 5 1.
 Agora, pela segunda equação:
 x2 1 y2 2 2x 2 2y 2 98 5 0 ⇒
 ⇒ x2 2 2x 1 1 1 y
2 2 2y 1 1 5 98 1 1 1 1 ⇒
 ⇒ (x 2 1)2 1 (y 21)2 5 100 5 102
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19Geometria analítica: a circunferência e secções cônicas
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 Então, C2(1, 1) e r2 5 10.
 Distância entre os centros C1 e C2:
 d(C1, C2) 5 2 1 2 5 5( ) ( )10 1 1 1 81 9
2 2
 
 Como os raios medem r1 5 1 e r2 5 10 e 9 5 |1 2 10|, temos d(C1, C2) 5 |r1 2 r2|.
 Logo, as circunferências são tangentes internamente e o ponto comum é (11, 1).
c) Na circunferência (x 1 2)2 1 (y 2 2)2 5 1, temos C(22, 2) e r 5 1.
 Na circunferência x2 1 y2 5 1, temos C(0, 0) e r 5 1.
 Esboçando o gráfico, podemos ver que as circunferências não têm ponto comum e são externas:
y
x
2
Ð2
Outra resolução: 
Pelo sistema, temos:
( )( ) ⇒ ⇒ ⇒ ⇒



x 2 y 2 1 x y 4x 4y 4 4 1 0 4x 4y 8 x y 2 x y 2
x y 1
2 2 2 2
1
2 2
1 1 2 5 1 1 2 1 1 2 5 2 5 2 2 5 2 5 2
1 5
124 34
Substituindo x na segunda equação:
x2 1 y2 5 1 ⇒ (y 2 2)2 1 y2 5 1 ⇒
⇒ y2 2 4y 1 4 1 y2 2 1 5 0 ⇒
⇒ 2y2 2 4y 1 3 5 0
Δ 5 16 2 24 5 28
Se ∆ < 0, não existe solução para o sistema, então as circunferências não têm ponto comum. Vejamos qual das duas situações se verifica:
ou
d , r
1
 1 r
2
d . r
1
 1 r
2
 Calculando a distância entre os centros C1(22, 2) e C2(0, 0), vem:
 d(C1, C2) 5 2 2 1 2 5( ) ( )2 0 2 0 8
2 2
 Como os raios medem r1 5 1 e r2 5 1 e 8 . 1 1 1, temos d . r1 1 r2.
 Logo, as circunferências são externas.
d) A circunferência (x 2 3)2 1 (y 2 2)2 5 9 tem C(3, 2) e r 5 3.
 x2 1 y2 2 6x 2 4y 1 12 5 0 ⇒
 ⇒ x2 2 6x 1 9 1 y2 2 4y 1 4 5 212 1 9 1 4 ⇒
 ⇒ (x 2 3)2 1 (y 2 2)2 5 1
 Então, a circunferência
 (x 2 3)2 1 (y 2 2)2 5 1 tem C(3, 2) e r 5 1.
1
(3, 2)
3
 Como as duas circunferências têm o mesmo centro (concêntricas) e raios diferentes, pode-
mos afirmar que elas não têm ponto comum e uma é interna à outra.
PARA
REFLETIR
Resolva este item usando sistema 
de equações.
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20 Geometria analítica: a circunferência e secções cônicas
 TAREFA PARA CASA: Para praticar: 11 a 14 Para aprimorar: 9 a 12
PARA CONSTRUIR
13 (UEPG-PR) A circunferência C
1
 tem equação 1 2 2 1 5x y 4x 6y m 02 2 e a circunferência C
2
 tem centro em (22, 6) e raio igual a 
4. Sabendo que C
1
 e C
2
 são tangentes exteriormente, assinale o que for correto. 
(01) O ponto de tangência pertence ao 2o quadrante. 
(02) m . 10.
(04) A reta de equação 2 1 54x 3y 4 0 é perpendicular à reta que passa pelos centros de C
1
 e C
2
.
(08) A circunferência C
1
 não intercepta os eixos coordenados. 
(16) A distância entre os centros de C
1
 e C
2
 é 5. 
Completando os quadrados, encontramos: x2 1 y2 2 4x 2 6y 1 m 5 0 ⇔ (x 2 2)2 1 (y 2 3)2 5 13 2 m.
Logo, se A
1
 e r
1
 são, respectivamente, o centro e o raio de C
1
, então 5A (2, 3)1 e 5 2r 13 m.1
Seja 5 2A ( 2, 6)2 o centro de C2. Assim, a distância entre os centros de C1 e C2 é igual a:
d(A , A ) ( 2 2) (6 3) 16 9 51 2
2 2
5 2 2 1 2 5 1 5
Sendo 5r 42 o raio de C2, e dado que as circunferências C1 e C2 são tangentes exteriormente, temos:
d(A , A ) r r 5 13 m 4 m 12.1 2 1 2 ⇔ ⇔5 1 5 2 1 5
A reta A A1 2 tem equação:
y 3 6 3
2 2
(x 2) y 3
4
x 9
2
⇔2 5 2
2 2
? 2 5 2 1
 
Seja 5T (x , y )t t o ponto de tangência de C1 e C2. É fácil ver que 2 , ,2 x 2.t . Desse modo, como T pertence à reta A A1 2 , temos:
( ) ⇔ ⇔ ⇔(x 2) 34 x 92 3 1 (x 2) 916 (x 2) 1 (x 2) 1625 x 65t 2 t
2
t
2
t
2
t
2
t2 1 2 1 2 5 2 1 2 5 2 5 5
Portanto, segue que 5 

T
6
5
, 18
5
, ou seja, T pertence ao primeiro quadrante.
(01) Incorreto. O ponto de tangência pertence ao primeiro quadrante.
(02) Correto. m 12 105 . 
(04) Correto. O coeficiente angular da reta r: 4x 1 3y 1 4 5 0 é 
4
3
. Assim, como o coeficiente angular da reta A A1 2 é 2
3
4
, segue-se que 
? 2 5 2( )43 34 1 e, portanto, r A A .1 2'
(08) Correto. Como 5A (2, 3)1 e 5r 1,1 concluímos que a circunferência C1 não intersecta os eixos coordenados.
(16) Correto. Tem-se que 5d(A , A ) 5.1 2 
14 (ESPCEX-SP) Sejam dados a circunferência : x y 4x 10y 25 02 21 1 1 1 5λ e o ponto P, que é simétrico de (21, 1) em relação ao 
eixo das abscissas. Determine a equação da circunferência concêntrica à λ e que passa pelo ponto P. b
a) : x y 4x 10y 16 0
2 2
1 1 1 1 5λ
b) : x y 4x 10y 12 0
2 2
1 1 1 1 5λ
c) : x y 4x 5y 16 0
2 2
2 1 2 1 5λ
d) : x y 4x 5y 12 02 21 2 2 1 5λ
e) : x y 4x 10y 17 0
2 2
2 2 2 2 5λ
Determinando o centro C da circunferência dada:
x2 1 4x 1 4 1 y2 1 10y 1 25 5 25 1 4 1 25
(x 1 2)2 1 (y 1 5)2 5 4
Logo, o centro é C(22,25).
O ponto P simétrico do ponto (21,1) em relação ao eixo x é P(21, 21).
Portanto, o raio r da circunferência pedida será a distância entre os pontos P e C. Segue que:
r2 5 (21 2 (22))2 1 (21 2 (25))2 5 17
Logo, a equação da circunferência pedida será dada por:
(x 1 2)2 1 (y 1 5)2 5 17 ⇒ x2 1 y2 1 4x 1 10y 1 29 2 17 5 0 ⇒ x2 1 y2 1 4x 1 10y 1 12 5 0 
En
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21Geometria analítica: a circunferênciae secções cônicas
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EXERCÍCIO RESOLVIDO
 APLICAÇÕES
14 Um engenheiro precisa construir uma ponte em forma de arco de circunferência, semelhante à que aparece na foto a seguir. O vão 
livre sobre o rio a ser vencido pela ponte é de 24 m, e a pilastra central, segundo o arquiteto, deverá ter 4 m de altura. O engenheiro, 
usando seus conhecimentos de Geometria plana, já calculou que o raio do arco de circunferência projetado pelo arquiteto é de 20 m. 
Agora ele precisa calcular o tamanho das outras quatro pilastras menores (duas à esquerda e duas à direita da pilastra central). 
Segundo o projeto, todas as pilastras estão a 4 m uma da outra.
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M
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S
Ponte em Hamburgo, Alemanha.
Realidade
Modelo matemático
Com base nas informações do problema, escolha um sistema de eixos coordenados conveniente e obtenha a altura dessas quatro 
pilastras menores.
RESOLUÇÃO:
Escolhendo um sistema de eixos cartesianos que coloque a pilastra central no eixo y e o vão da ponte no eixo x, temos que o 
centro da circunferência será C(0, 216), pois o raio tem 20 m e a pilastra maior tem 4 m. Para obter o tamanho das pilastras pedi-
das, precisamos apenas das ordenadas dos pontos A e B, cujas abscissas são respectivamente 4 e 8. Neste exercício, a escolha do 
sistema de eixos cartesianos adequado é muito importante para facilitar a resolução.
y
x
P(0, 4) A(4, yA)
C (0, –16)
B(8, yB)
A equação da circunferência é, então, x2 1 (y 1 16)2 5 400. Para obtermos a ordenada y
A
 do ponto A, basta substituir a abscissa 
x
A
 5 4 na equação da circunferência:
42 1 (y
A
 1 16)2 5 400 ⇒ (y
A
 1 16)2 5 384 ⇒
⇒ y
A
 1 16 5 384 . 19,60 ⇒ yA . 3,60 m
Para obtermos a ordenada y
B
 do ponto B, basta substituir a abscissa x
B
 5 8 na equação da circunferência:
82 1 (y
B
 1 16)2 5 400 ⇒ (y
B
 1 16)2 5 336 ⇒
⇒ y
B
 1 16 5 336 . 18,33 ⇒ y
B
 . 2,33 m
Por causa da simetria da ponte, as duas pilastras do lado esquerdo terão o mesmo tamanho de suas correspondentes no lado direi-
to. Assim, as pilastras são tais que duas têm, aproximadamente, 2,33 m e duas têm 3,60 m, e a central, como já sabíamos, tem 4 m.
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22 Geometria analítica: a circunferência e secções cônicas
PARA CONSTRUIR
15 (Mack-SP) Vitória-régia é uma planta aquática típica da região amazônica. Suas folhas são grandes e têm formato circular, com uma 
capacidade notável de flutuação, graças aos compartimentos de ar em sua face inferior.
Em um belo dia, um sapo estava sobre uma folha de vitória-régia, cuja borda obedece à equação x2 1 y2 1 2x 1 y 1 1 5 0, apre-
ciando a paisagem ao seu redor. Percebendo que a folha que flutuava à sua frente era maior e mais bonita, resolveu pular para essa 
folha, cuja borda é descrita pela equação x2 1 y2 2 2x 2 3y 1 1 5 0.
A distância linear mínima que o sapo deve percorrer em um salto para não cair na água é: a
a
a) 2( )2 2 1 
b) 2 
c) 2 2 
d) 22 2 
e) 5 
Completando os quadrados, temos:
1 1 1 1 5 1 1 1 5( ) ( )( )⇔x y 2x y 1 0 x 1 y 12 122 2 2
2 2
e
x y 2x 3y 1 0 x 1 y
3
2
3
2
2 2 2
2 2
( ) ( )( )⇔1 2 2 1 5 2 1 2 5
Logo, C 1,
1
2
, r
1
2
, C 1,
3
2
e r
3
2
.1 1 2 2( ) ( )2 2 5 5
O resultado pedido corresponde à distância entre os centros das circunferências subtraída da soma dos raios, ou seja,
1 1
3
2
1
2
1
2
3
2
2 2 2 2 2 1
2
2
2 2 1 2 2 2 1 5 2 5 2( ) ( ) ( )( )( )  
 
16 (UFSC – Adaptada) Dê a soma da(s) proposição(ões) correta(s).
Para a transmissão da copa do mundo de 2014 no Brasil, foram utilizadas câmeras que ficam suspensas por cabos de aço acima do 
campo de futebol, podendo, dessa forma, oferecer maior qualidade na transmissão. Suponha que uma dessas câmeras se deslo-
que por um plano paralelo ao solo orientada através de coordenadas cartesianas. A figura abaixo representa o campo em escala 
reduzida, sendo que cada unidade de medida da figura representa 10 m no tamanho real.
4 6 7 8 10 12
8
6
4
3
2
x
y
A
B
C
 
En
em
C-2
H-7
En
em
C-2
H-8
aaEn
em
C-2
H-9
En
em
C-5
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2
En
em
C-2
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C-2
H-8
En
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C-2
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C-5
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2
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23Geometria analítica: a circunferência e secções cônicas
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 TAREFA PARA CASA: Para praticar: 15
(01) A equação da circunferência que delimita o círculo central do campo na figura é 1 2 2 1 5x y 12x 8y 51 0.
2 2
(02) Se a câmera se desloca em linha reta de um ponto, representado na figura por A(4, 2), até outro ponto, representado na figura 
por C(10, 6), então a equação da reta que corresponde a essa trajetória na figura é 2 2 52x 3y 2 0.
(04) Na figura, o ponto B(8, 3) está a uma distância de 8 unidades da reta que passa pelos pontos A(4, 2) e C(10, 6).
(08) Os pontos (7, 4), (4, 2) e (10, 6) não são colineares.
(16) No tamanho real, a área do círculo central do campo de futebol é igual a 100p m2.
01 1 02 1 16 5 19
(01) Correto. A circunferência de raio 1 e centro em (6, 4) tem por equação
2 1 2 5 1 2 2 1⇔(x 6) (y 4) 1 x y 6x 4y 51.2 2 2 2 2
(02) Correto. A equação da reta que passa por A e C é dada por
2 5
2
2
? 2 2 2 5⇔y 2 6 2
10 4
(x 4) 2x 3y 2 0.
(04) Incorreto. A distância d do ponto B à reta AC é igual a
5
? 2 ? 2
1 2
5d
| 2 8 3 3 2 |
2 ( 3)
5
13
.
2 2
(08) Incorreto. Os pontos (7, 4), (4, 2) e (10, 6) são colineares, pois
5 1 1 2 1 1 5
7 4 10 7
4 2 6 4
14 24 40 (16 20 42) 0.
(16) Correto. A área do círculo central é igual a 10 100 m .2 2p ? 5 p 
17 (Uema) O proprietário de um lote, visando a sua ornamentação, dividiu-o em área circular, tendo subdividido-o em dois triângulos 
idênticos opostos, inscritos no círculo, cujos vértices são 2A( 14, 9), 2B( 4, 9) e 2C( 9,14); sendo AB o diâmetro da circunferência. 
Considerando as condições descritas e as medidas em metros:
a) faça a ilustração gráfica desse lote no sistema cartesiano ortogonal do plano. 
x
y
16
14
12
10
8
6
4
2
0
22
29
22242628210212214216
C
D
MA B
9
b) calcule a equação da circunferência. 
Dado que AB é diâmetro, o centro da circunferência, que chamaremos de M, é o ponto médio de AB, ou seja:
5
2 2 1
5 2



M
14 4
2
,
9 9
2
( 9, 9).
Além disso, o raio r da circunferência é dado por:
5 5 5r
d(A, B)
2
10
2
5 m
Por conseguinte, a equação pedida é:
(x 9) (y 9) 252 21 1 2 5
c) determine a área correspondente aos triângulos idênticos.
Como as abscissas dos pontos C e M são iguais e AB é paralelo ao eixo x, é imediato que o triângulo ABC é isósceles e retângulo em C. Daí, 
sendo D o simétrico de C em relação a AB, tem-se que o quadrilátero ABCD é um quadrado de diagonal 10 m. Portanto, a área pedida é igual 
a 5
10
2
50 m .
2
2 
En
em
C-2
H-7
En
em
C-2
H-8
En
em
C-2
H-9
En
em
C-5
H-2
2
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24 Geometria analítica: a circunferência e secções cônicas
TAREFA PARA CASA
Veja, no Guia do Professor, as respostas da “Tarefa para casa”. As resoluções encontram-se no portal, em Resoluções e Gabaritos.
PARA PRATICARPARA PRATICAR
1 Dê as coordenadas do centro e o raio das circunferências re-
presentadas pelas equações:
a) (x 2 5)2 1 (y 2 4)2 5 1
b) (x 2 2)2 1 y2 5 4
c) (x 1 3)2 1 (y 2 1)2 5 16
d) x2 1 y2 5 10
2 Verifique quais das equações abaixo representam circunfe-
rência:
a) (x 2 5)2 1 (y 2 3)2 5 25
b) x2 1 x 1 y2 2 y 5 6
c) x2 2 10x 1 25 1 y2 5 0
3 Dada a circunferência de equação x2 1 y2 2 2x 1 4y 2 3 5 0, 
qual é a posição do ponto P(3, 24) em relação a essa circun-
ferência?
4 Encontre a equação da circunferência que passa pelos pon-
tos P(0, 0), Q(3, 3) e R(0, 8).
5 (FEI-SP) Determine uma equação da circunferência com cen-
tro no ponto C(2, 1) e que passa pelo ponto A(1, 1).
6 (ITA-SP) Uma circunferênciapassa pelos pontos A(0, 2), 
B(0, 8) e C(8, 8). Então, o centro da circunferência e o valor de 
seu raio, respectivamente, são:
a) (0, 5) e 6. 
b) (5, 4) e 5. 
c) (4, 8) e 5,5.
d) (4, 5) e 5.
e) (4, 6) e 5.
7 Determine a posição relativa da reta r em relação à circunfe-
rência λ nos casos abaixo. Determine também, se houver, os 
pontos comuns entre r e λ.
a) r: 2x 2 y 1 1 5 0 e λ: x2 1 y2 2 2x 5 0
b) r: y 5 x e λ: x2 1 y2 1 2x 2 4y 2 4 5 0
c) r: x 5 t 2 4 e y 5 2 2t e
 λ: x2 1 y2 2 2x 2 6y 2 8 5 0
8 Determine as coordenadas dos pontos em que a reta r, de 
equação y 5 2x 1 5, intersecta a circunferência de equação 
x2 1 y2 2 10x 2 2y 1 21 5 0.
9 Consideremos a reta r, de equação x 1 y 2 3 5 0, e a cir-
cunferência de equação x2 1 y2 2 2x 2 2y 2 3 5 0. Qual é a 
posição da reta r em relação à circunferência?
10 Qual é a equação da circunferência de centro no ponto 
C(4, 24) e que é tangente aos dois eixos de coordenadas do 
plano cartesiano?
11 Dadas as circunferências λ
1
 e λ
2
, descubra suas posições rela-
tivas e seus pontos comuns (se houver):
a) λ
1
: x2 1 y2 2 4x 2 8y 2 5 5 0
 λ
2
: x2 1 y2 2 2x 2 6y 1 1 5 0
b) λ
1
: (x 2 2)2 1 (y 2 1)2 5 4
 λ
2
: (x 2 2)2 1 (y 1 2)2 5 1
12 Dadas as circunferências λ
1
 e λ
2
, descubra suas posições rela-
tivas e seus pontos comuns (se houver):
a) λ
1
: x2 1 y2 2 8x 2 4y 110 5 0
 λ
2
: x2 1 y2 2 2x 2 10y 1 22 5 0
b) λ
1
: x2 1 y2 5 16
 λ
2
: x2 1 y2 1 4y 5 0
13 (FGV-SP) No plano cartesiano, a circunferência que passa 
pelo ponto P(1, 3) e é concêntrica à circunferência x2 1 y2 2 
2 6x 2 8y 2 1 5 0 tem a seguinte equação:
a) x2 1 y2 1 6x 1 8y 2 40 5 0
b) x2 1 y2 2 3x 2 4y 1 5 5 0
c) x2 1 y2 2 6x 2 8y 1 20 5 0
d) x2 1 y2 1 3x 1 4y 2 25 5 0
e) x2 1 y2 2 3x 1 4y 2 19 5 0
14 (Unicamp-SP) As equações (x 1 1)2 1 y2 5 1 e (x 2 2)2 1 y2 5 4 
representam duas circunferências cujos centros estão sobre 
o eixo das abscissas.
a) Encontre, se existirem, os pontos de intersecção daquelas 
circunferências.
b) Encontre o valor de a [ R, a Þ 0, de modo que duas retas 
que passam pelo ponto (a, 0) sejam tangentes às duas cir-
cunferências.
15 Obtenha o raio da circunferência inscrita num triângulo re-
tângulo cujos catetos medem 3 cm e 4 cm.
(Dica: coloque o vértice do ângulo reto do triângulo retângu-
lo na origem.)
PARA PRATICARPARA APRIMORAR
1 Determine uma equação da circunferência que tem:
a) centro em C(2, 5) e raio 3
b) centro em M(21, 24) e raio 2
c) centro em Q(0, 22) e raio 4
d) centro em D(4, 0) e raio 5
2 Obtenha o raio e o centro das circunferências a seguir.
(Para resolver este exercício, use o método de completar qua-
drados ou o da comparação.)
a) 2x2 1 2y2 2 8x 1 12y 2 6 5 0
b) x2 1 y2 2 6x 2 2y 2 6 5 0
En
em
C-2
H-7
En
em
C-2
H-8
En
em
C-2
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C-2
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1
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25Geometria analítica: a circunferência e secções cônicas
M
A
TE
M
Á
TI
C
A
 
 G
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TR
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TR
IA
3 Dados o ponto P e a circunferência λ, determine a posição de 
P em relação a λ.
a) P(21, 2) e λ: (x 2 3)2 1 (y 1 1)2 5 52
b) P(2, 2) e λ: x2 1 y2 2 10x 1 8y 2 1 5 0
c) P(3, 1) e λ: x2 1 y2 2 8x 2 5 5 0
4 (UFRGS-RS) Um círculo tangencia dois eixos perpendiculares 
entre si, como indicado na figura a seguir.
y
x
Um ponto P do círculo dista 9 de um dos eixos e 2 do outro. 
Nessas condições, a soma dos possíveis valores para o raio 
do círculo é:
a) 19
b) 20
c) 21
d) 22
e) 23
5 (UFPB) Considerando as seguintes proposições relativas à cir-
cunferência x2 1 y2 5 4 no plano cartesiano, identifique a(s) 
verdadeira(s):
(01) O ponto P(21, 1) é interior à circunferência.
(02) O ponto P(22, 2) é exterior à circunferência.
(04) O ponto P 2( )2, 2 está sobre a circunferência.
(08) A reta de equação y 5 x intercepta a circunferência em 
dois pontos.
(16) A reta de equação y 5 2x 1 2 intercepta a circunferên-
cia em um único ponto.
Escreva a soma dos valores atribuídos à(s) proposição(ões) 
verdadeira(s).
6 Sabendo que a reta y 5 mx é tangente à circunferência de equa-
ção x2 1 y2 2 10x 1 16 5 0, calcule os possíveis valores de m.
7 O ponto A(2, 3) pertence à circunferência de equação x2 1 y2 2 
2 2x 2 2y 2 3 5 0. Determine a equação da reta tangente à 
circunferência no ponto A.
8 A reta x 1 y 2 1 5 0 secciona a circunferência x2 1 y2 1 2x 2 3 5
5 0 nos pontos A e B. Calcule a distância do centro C à corda AB.
9 A equação da circunferência de raio 4 e concêntrica com a 
circunferência de equação x2 1 y2 1 2x 2 6y 1 9 5 0 tem 
equação igual a: 
a) x2 1 y2 1 2x 2 6y 2 6 5 0
b) x2 1 y2 1 2x 2 6y 1 6 5 0
c) x2 1 y2 1 2x 2 6y 1 2 5 0
d) x2 1 y2 1 2x 2 6y 2 4 5 0
10 Determinando-se o centro e o raio das circunferências x2 1 y2 2 
2 2y 2 8 5 0 e x2 1 y2 2 4x 2 2y 1 4 5 0, pode-se garantir que: 
a) elas não têm ponto em comum.
b) elas são secantes.
c) elas são tangentes exteriormente.
d) elas são tangentes interiormente.
11 (Unifor-CE) Considere os pontos médios de todas as cordas 
de comprimento 12 da circunferência de equação x2 1 y2 1 
1 10x 2 16y 2 11 5 0. A reunião desses pontos determina a 
circunferência de equação:
a) x2 1 y2 1 10x 1 16y 1 25 5 0 
b) x2 1 y2 2 10x 1 16y 1 25 5 0 
c) x2 1 y2 1 10x 2 16y 1 25 5 0
d) x2 1 y2 2 10x 1 8y 1 25 5 0
e) x2 1 y2 1 10x 2 8y 1 25 5 0
12 (UFMG) Sejam C
1
 e C
2
 circunferências de, respectivamente, cen-
tros O
1
 e O
2
 e raios r
1
 e r
2
. A equação de C
1
 é x2 1 y2 2 10y 1 
1 15 5 0 e a equação de C
2
 é x2 1 y2 1 20x 1 15 5 0. Sejam 
A e B os pontos de intersecção de C
1
 e C
2
. Considerando essas 
informações:
a) determine as coordenadas de O
1
 e O
2
 e os raios r
1
 e r
2
;
b) determine as coordenadas de A e B;
c) calcule a área do quadrilátero AO
1
BO
2
.
En
em
C-2
H-7
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-2
H-7
En
em
C-5
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1
En
em
C-6
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5
En
em
C-2
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En
em
C-5
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1
En
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C-2
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En
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C-2
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2
En
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ANOTAÇÕES
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26
CAPÍTULO
2 Secções cônicas
Objetivo:
c Conhecer os três tipos 
de cônicas: parábola, 
elipse e hipérbole.
Geometria analítica: a circunferência e secções cônicas
Considere as seguintes situações:
 A trajetória de um projétil, em queda livre, é um arco de parábola.
 Os planetas giram em torno do Sol numa trajetória cuja forma é uma elipse.
Sol
 O gráfico que relaciona pressão e volume de um gás, a temperatura constante, é uma hipérbole.
P
V
Veja mais algumas situações em que aparecem a parábola, a elipse e a hipérbole:
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27Geometria analítica: a circunferência e secções cônicas
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 PARÁBOLA
Origem
Vamos considerar um cone circular reto seccionado por um plano paralelo a uma de suas 
geratizes, como exemplificado a seguir:
Geratriz
Geratriz
Nesse caso, dizemos que foi obtida uma secção cônica chamada parábola. Observe:
Defini•‹o e elementos
Consideremos, no plano do papel, uma reta d e um ponto F que não pertence a ela.
F
d
Vamos marcar uma série de pontos a uma mesma distância do ponto fixado F e da reta d. Na 
prática, isso pode ser feito com o auxílio de régua, esquadro e lápis.
F
d
Par‡bola
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28 Geometria analítica: a circunferência e secçõescônicas
Construindo o gráfico ponto a ponto, teremos:
D
V
c
F
M
A
B
Cd
N
P
D
V
F
M
A
B
C
E
G
d
H
N
P
Q
R
S
A parábola é o conjunto de todos os pontos do plano que estão à mesma distância de F e d.
Nos gráficos devemos destacar:
 o ponto F, foco da parábola;
 a reta d, diretriz da parábola;
 o ponto D, projeção ortogonal de F sobre d;
 a reta FD, perpendicular à diretriz d, se chama eixo de simetria da parábola;
 o ponto V, vértice da parábola (ponto médio de FD);
 a medida de FD (distância de F até D), parâmetro p da parábola.
Assim, definimos que:
Parábola é o lugar geométrico dos pontos do plano que distam igualmente de uma reta fixa d, 
chamada diretriz, e de um ponto fixo F, não pertencente à diretriz, chamado foco.
Equação da parábola
A partir do foco F e da diretriz d, podemos chegar à equação da parábola formada por todos 
os pontos P(x, y) do plano tal que d(P, F) 5 d(P, d).
Vamos determinar a equação da parábola que tem como diretriz a reta de equação x 5 24 e 
como foco o ponto F(6, 2):
D(24, 2)
Q(24, y)
F(6, 2)
P(x, y)
V
x
y
d: x 5 24
Nesse caso, o vértice é o ponto médio do segmento FD, no qual F(6, 2) e D(24, 2):
2 1 ( )

 ⇒V
6 4
2
,
2 2
2
V 1, 2
Pela distância de V até F, encontramos o valor de c:
5 2 1 2 5( ) ( )c 6 1 2 2 52 2
PARA
REFLETIR
 VF
FD
2
p
2
c5 5 5
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29Geometria analítica: a circunferência e secções cônicas
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Os pontos P(x, y) da parábola são tais que d(P, F) 5 d(P, Q), em que
Q(24, y): d(P, F) 5 d(P, Q) ⇒
2 1 2 5 1 1 2( ) ( )( ) ( )⇒ ⇒x 6 y 2 x 4 y y
2 2 2 2
⇒ (x 2 6)2 1 (y 2 2)2 5 (x 1 4)2 ⇒
⇒ (y 2 2)2 5 (x 1 4)2 2 (x 2 6)2 5 /x2 1 8x 1 16 2 /x
2
 1 12x 2 36 5 20x 2 20 ⇒
⇒ (y 2 2)2 5 20(x 2 1)
Observemos que na equação obtida aparecem as coordenadas do vértice x
V
 5 1 e y
V
 5 2 e 
também o valor c 5 5:
xv
(y 2 2)2 5 20(x 2 1)
yv
4 ? 5
c
Reciprocamente, a partir da equação da parábola, (y 2 2)2 5 20(x 2 1), podemos chegar ao 
vértice e ao valor de c (distância de V a F ou de V à diretriz d) e, daí, ao foco e à diretriz:
(y 2 2)2 5 20(x 2 1) 5 4 ? 5(x 2 1)
em que V(1, 2) e c 5 5.
Esboçando o gráfico, temos:
V(1, 2) F(1 1 5, 2)
d: x 5 1 2 5
Logo, F(6, 2) e diretriz x 5 24.
Generalizando, podemos dizer que a partir do foco e da diretriz é possível determinar o vértice 
V(x
V
, y
V
) e o valor de c e, daí, a equação da parábola e a posição correspondente. Veja os casos possíveis: 
d
F
d
F
d
F
d
F
(x 2 x
V
)2 5 4c(y 2 y
V
) (x 2 x
V
)2 5 24c(y 2 y
V
)
(y 2 y
V
)2 5 4c(x 2 x
V
) (y 2 y
V
)2 5 24c(x 2 x
V
)
Devemos lembrar que a partir da equação da parábola podemos chegar ao vértice e ao valor 
de c e, daí, ao foco e à diretriz.
PARA
REFLETIR
Quando estudamos a parábo-
la como gráfico de uma função 
quadrática, não havia possibi-
lidade de o eixo de simetria ser 
horizontal. Por quê?
PARA
REFLETIR
Atenção: o c de y 5 ax2 1 bx 1 c 
não é o mesmo c de y 2 yV 5
5 ± 4c(x 2 xV)
2.
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30 Geometria analítica: a circunferência e secções cônicas
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1 Determine a equação da parábola de foco F(0, 25) e diretriz y 5 5.
RESOLUÇÃO:
1a maneira:
P(x, y)
F (0, 25)
 y 5 5
(x, 5)
V(0, 0)
y
x
Usando a propriedade de todo ponto P(x, y) da parábola, temos:
d(P, F) 5 2 1 1 5 1 1( ) ( )( )x 0 y 5 x y 52 2 2 2
A distância de P à reta y 5 5 é igual à distância de P até (x, 5), que é igual a 2 1 2( )( )x x y 52 2 .
Como as distâncias de P até F e de P até a reta y 5 5 (diretriz da parábola) devem ser iguais, temos:
x2 1 (y 1 5)2 5 02 1 (y 2 5)2 ⇒
⇒ x2 1 y 10y 25 y 10y 252 21 1 5 2 1 ⇒ x2 5 220y
2a maneira:
F(0, 25) está no eixo y; y 5 5 é paralela ao eixo x e V(0, 0). A distância de F a V é:
c 5 1 2 5( )0 5 52 2
Usando diretamente a fórmula, temos: 
(x 2 x
V
)2 5 24c(y 2 y
V
) ⇒ 
⇒ (x 2 0)2 5 24 ? 5(y 2 0) ⇒ x2 5 220y
Logo, a equação é x2 5 220y.
2 Determine o foco e a diretriz da parábola de equação y2 5 5x.
RESOLUÇÃO:
Podemos escrever y2 5 5x como 
(y 2 0)2 5 4 ? 
5
4
 (x 2 0).
A distância do vértice (0, 0) ao foco é c 5 
5
4
.
Logo, 


F
5
4
, 0 e a diretriz é x 5 2
5
4
.
x
y
V(0, 0)
 
5
4
x 5 
[ , 0] 5
4
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31Geometria analítica: a circunferência e secções cônicas
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3 Esboce os gráficos das parábolas de equação:
a) y2 5 x;
b) y2 5 4x;
c) y2 5 8x.
RESOLUÇÃO:
a) y2 5 x 5 4 ? 
1
4
x
y
xF
[ , 0]F 1
4
1
1
21
22
2
2 3 4
x y
0 0
1 1
1 21
4 2
4 22
b) y2 5 4x 5 4 ? 1x
x y
0 0
1 2
1 22
4 4
4 24
F(1, 0)
y
xF 2
1
21
3 4
2
22
3
23
4
24
c) y2 5 8x 5 4 ? 2x
F(2, 0)
y
xF
1
1
2
3
4
 
1
221
22
23
24
x y
0 0
1
2
2
1
2
22
2 4
2 24
Observação: 
O valor do coeficiente c indica a distância do foco ao vértice 
e, consequentemente, a concavidade da parábola. Veja como 
exemplos as parábolas do exercício resolvido 3: em y2 5 8x 
(c 5 2), a concavidade é maior que em y2 5 4x (c 5 1), pois 
2 . 1.
4 Determine a equação e as coordenadas do vértice da pará-
bola que tem foco no ponto F(1, 5) e a reta diretriz de equa-
ção y 5 23.
RESOLUÇÃO:
Os dados do problema permitem fazer um esboço do gráfico 
e, assim, identificar o tipo da equação:
D(1, 23)
d: y 5 23
F(1, 5)
V
(x 2 x
V
)2 5 4c(y 2 y
V
)
O vértice é o ponto médio de FD. Então:
1 2( ) ⇒V 1 12 ,
5 3
2
 V(1, 1)
Calculando a distância de V a F, encontramos o valor de c:
5 2 1 2 5 1 5( ) ( )c 1 1 5 1 0 16 4
2 2
Podemos escrever agora a equação procurada:
(x 2 x
V
)2 5 4c(y 2 y
V
) ⇒ (x 2 1)2 5 4 ? 4(y 2 1) ⇒
⇒ (x 2 1)2 5 16(y 2 1)
Logo, a equação é (x 2 1)2 5 16(y 2 1) e V(1, 1).
5 Se uma parábola tem como equação x2 2 4x 2 12y 2 8 5 
5 0, determine as coordenadas do vértice, as coordenadas 
do foco, a equação da reta diretriz da parábola e a equação 
do eixo de simetria.
RESOLUÇÃO:
Completando o quadrado perfeito, temos:
x2 2 4x 2 12y 2 8 5 0 ⇒ x2 2 4x 5 12y 1 8 ⇒
⇒ x2 2 4x 1 4 5 12y 1 8 1 4 ⇒
⇒ x 4x 4 12y 122 ⇒2 1 5 1
1 24 34
124 34
⇒ (x 2 2)2 5 12(y 1 1) ⇒ (x 2 2)2 5 4 ? 3(y 1 1), em que x
V
 5 
5 2, y
V
 5 21 e c 5 3
Fazendo um esboço do gráfico, vem:
(2, 21 2 3)
(2, 21)
(2, 21 1 3)
3
3
y 5 24
Logo, V(2, 21), F(2, 2), a diretriz é y 5 24 e o eixo de simetria 
é x 5 2.
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32 Geometria analítica: a circunferência e secções cônicas
PARA CONSTRUIR
6 Determine a equação, o foco F e a diretriz d da parábola com vértice V(22, 23), sabendo que o foco está no quarto quadrante, d 
é paralela ao eixo y e o parâmetro, p, é 8.
RESOLUÇÃO:
p 5 8 indica que c 5 4, pois c 5 
p
2
As informações do problema levam a um esboço do gráfico:
d
x
F(22 1 4, 23)D(22 2 4, 23) V(22, 23)
y
A posição da parábola indica que a equação é da forma (y 2 y
V
)2 5 4c(x 2 x
V
).
Daí, tem-se que:
V(22, 23)
c 5 4
F(22 1 4, 23) ⇒ F(2, 23)
D(22 2 4, 23) ⇒ D(26, 23)
diretriz x 5 26
Substituindo as informações na fórmula, temos:
(y 2 y
V
)2 5 4c(x 2 x
V
) ⇒ (y 1 2)2 5 4 ? 4(x 1 3) ⇒
⇒ (y 1 2)2 5 16(x 1 3)
Logo, a parábola tem equação (y 1 2)2 5 16(x 1 3), F(2, 23) e diretriz x 5 26.
1 (Cefet-AL) A parábola da figura abaixo é representada pela função 5 2 1y
1
3
x 12 . Sabendo-se que seu vértice coincide com o 
centro da circunferência, então a razão entre o comprimento da circunferência e a área do círculo por ela limitada será dada por: a
xO
C
y
En
em
C-2
H-7
En
em
C-2
H-8
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33Geometria analítica: a circunferência e secções cônicas
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A
B
x
y
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
C(x
v
, y
v
)
5
2x b
2aV
5
2∆y
4aV
{ ( )⇒y 13 x 1 x 0y 1 C 0, 12 vv5 2 1
5
5
Podemos observar na figuraque a parábola intercepta a circun-
ferência no eixo Ox. 
Temos:
⇒ ⇒ ±y 1
3
x 1 0 1
3
x 1 x 32 25 2 1 5 2 1 5
Temos que os pontos 3, 02( ) e ( )3, 0 pertencem à circunfe-
rência e à parábola; portanto, a distância do ponto C(0, 1) ao ponto 
( )3, 0 é o raio da circunferência. Então: 
r 0 3 1 0 r 2
2 2
5 2 1 2 5( ) ( ) ⇒
Portanto:
Comprimento 5 2pr 5 4p;
Área 5 pr2 5 4p.
5
comprimento
área
1
2 Encontre as coordenadas do vértice, as coordenadas do foco, 
a equação da reta diretriz e a equação do eixo de simetria das 
parábolas de equações:
a) x2 1 4x 1 8y 1 12 5 0
x2 1 4x 1 8y 1 12 5 0 ⇒ x2 1 4x 1 4 1 8y 1 12 2 4 5 0 ⇒
⇒ (x 1 2)2 1 8y 1 8 5 0 ⇒ 8(y 1 1) 5 2(x 1 2)2 ⇒ 
⇒ y 1 1 5 21
8
(x 1 2)2 ⇒ y 1 1 5 24 



1
16
(x 1 2)2
Logo, c 5 



1
16
 e V(22, 21).
Vamos fazer um esboço do gráfico:
r y
xdc
cF
V
22 21
21
Então:
 F(x
v
, y
v
 1 c) 5 F 2, 1
1
16
F 2, 15
16
2 2 1 5 2 2








 V(22,21)
 reta diretriz: d: y 5 2
1
16
 eixo de simetria: r: x 5 22
b) y2 1 2y 2 5x 1 11 5 0
y2 1 2y 2 5x 1 11 5 0 ⇒ y2 1 2y 1 1 2 5x 1 11 2 1 5 0 ⇒
⇒ (y 1 1)2 2 5x 1 10 5 0 ⇒ (y 1 1)2 5 5x 2 10 ⇒ 
⇒ 5(x 2 2) 5 (y 1 1)2 ⇒ (y 1 1)2 5 4 ? 
5
4
 ? (x 2 2)
Logo, c 5 
5
4
 e V(22, 21).
r
F
22
21
x
y
V c
c
10 3 4
2
Então:
 F(x
v
 1 c, y
v
) 5 





1 2 5 22
5
4
, 1 F 13
4
, 1
 V(2,21)
 reta diretriz: (d) x 5 
3
4
 eixo de simetria: (r) y 5 21
3 (UFPE) A seguir, estão ilustradas partes dos gráficos das pará-
bolas A e B, com equações respectivas 5 2 1 2y x 8x 13
2
 e 
5 2 2y x 4x 3.2
Analise as proposições abaixo, 
acerca dessa configuração. 
( ) Um dos pontos de interse-
ção das parábolas A e B tem 
coordenadas (1, 26).
( ) O vértice da parábola A é o 
ponto (4, 2).
( ) A reta que passa pelos pon-
tos de interseção das pará-
bolas A e B tem equação 5 2y 2x 6.
( ) A distância entre os vértices das parábolas A e B é 102. 
( ) A parábola B intercepta o eixo das ordenadas no ponto 
com coordenadas (0, 23).
V 2 F 2 F 2 F 2 V
 Resolvendo o sistema formado pelas equações das parábolas, 
encontramos:
y x 8x 13
y x 4x 3
x 1 e y 6
x 5 e y 2
2
2
5 2 1 2
5 2 2
5 5 2
5 5{ ⇔
Logo, os pontos de intersecção das parábolas são 2(1, 6) e (5, 2). 
 A reta que passa pelos pontos de intersecção das parábolas tem 
por equação:
y 2 6 2
1 5
(x 5) y 2x 8 2x 62 5 2 2
2
? 2 5 2 2⇔ ±
 Completando o quadrado perfeito na equação de A, obtemos:
5 2 1 2 5 2 2 1y x 8x 13 (x 4) 3,A
2 2
de onde concluímos que o vértice da parábola A é o ponto 
±(4, 3) (4, 2). 
 Completando o quadrado perfeito na equação de B, vem:
5 2 2 5 2 2y x 4x 3 (x 2) 7.B
2 2
Daí, segue que o vértice da parábola B é o ponto 2(2, 7). 
 A distância entre os vértices das parábolas A e B é dada por 
2 1 2 2 5 ±(4 2) [3 ( 7)] 104 102.2 2 
 A parábola B intersecta o eixo das ordenadas no ponto em que 
5x 0, ou seja, 2(0, 3). 
En
em
C-2
H-8
En
em
C-5
H-2
1
d 5 
3
4
En
em
C-2
H-8
En
em
C-5
H-2
1
SER_GEOM_CAD12_026a064_cap2.indd 33 5/31/16 5:35 PM
34 Geometria analítica: a circunferência e secções cônicas
 TAREFA PARA CASA: Para praticar: 1 a 3 Para aprimorar: 1 a 5
4 (Uema) Uma família da cidade de Cajapió, MA, comprou 
uma antena parabólica e o técnico a instalou acima do te-
lhado. A antena projetou uma sombra na parede do vizi-
nho, que está reproduzida abaixo, coberta com uma folha 
quadriculada.
2
2
1
1
0
x
y
Diretriz
Ponto “F”
0
Note que a figura projetada na parede é uma cônica. Consi-
derando as medidas mostradas e o sistema cartesiano conti-
do na folha quadriculada, a equação que representa a cônica 
será: a 
a) 2 5 1( ) ( )y 2 7 2x 1 .2 
b) 1 5 1( ) ( )y 2 7 2x 1 .2 
c) 2 5 1( ) ( )y 3 12 x 1 .2 
d) 2 5 2 2( ) 

y 2 7 2x
1
7
.
2
 
e) 1 5 2( ) ( )y 3 12
7
x 1 .
2
 
Como 5F (3, 2) e a diretriz da parábola é a reta 5 2x 4, temos 
5 2 2 5p 3 ( 4) 7. Por conseguinte, sendo 



5 2V
1
2
, 2 , a equa-
ção da parábola é
(y 2) 2 7 x
1
2
(y 2) 7(2x 1)2 22 5 ? ? 2 2 2 5 1( )  ⇔
 
En
em
C-2
H-8
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-6
H-2
4
 ELIPSE
Origem
Vamos considerar um cone circular reto.
Utilizando um plano inclinado em relação ao eixo e que intersecte todas as geratrizes do cone, 
faremos um corte como mostram as figuras a seguir :
Nesse caso, a secção cônica obtida é chamada elipse.
Definição e elementos
Consideremos, inicialmente, no plano do papel, dois pontos fixos, F
1
 e F
2
, tal que a distância 
entre eles seja 2c.
2c
F
1F
2
Elipse
PARA
REFLETIR
Se o plano for paralelo ao plano 
da base, obtemos uma circunfe-
rência, que também é uma sec-
ção cônica e um caso particular 
de elipse.
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35Geometria analítica: a circunferência e secções cônicas
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
 
 
G
E
O
M
E
T
R
IA
 E
 T
R
IG
O
N
O
M
E
T
R
IA
Imagine que vamos marcar um conjunto de pontos tal que a soma de suas distâncias aos pontos 
fixos F
1
 e F
2
 seja sempre constante e maior do que 2c. Na prática, isso pode ser feito com o auxílio 
de um lápis, dois alfinetes e barbante.
Construindo o gráfico ponto a ponto, teremos:
AF
1
 1 AF
2
 5 BF
1
 1 BF
2
 5 CF
1
 1 CF
2
 5 ... 
... 5 JF
1
 1 JF
2
 5 ... 5 LF
1
 1 LF
2
 5 ... 5 2a (constante), sendo 2a . 2c
P
A
B
C D E
G
H
I
J
KL
M
N
F
1
F
2
A elipse é o conjunto de todos os pontos do plano que satisfazem essa propriedade.
F
2
F
1
F
2
B
1
A
1
A
2
B
2
F
1
a
c
b
O
Assim, definimos que: 
Elipse é o lugar geométrico dos pontos de um plano tal que a soma de suas distâncias a 
dois pontos fixos, denominados focos, F
1
 e F
2
, seja constante, igual a 2a e maior que a distância 
entre os focos (2a . 2c).
Na figura, temos que:
 F1 e F2 são focos da elipse e a distância entre eles é a distância focal (2c); 
 A A1 2 é o eixo maior da elipse e, da definição de elipse, segue que sua medida é equivalente a 2a;
 B B1 2 é o eixo menor da elipse cuja medida é 2b;
 O é o centro da elipse: intersecção dos eixos da elipse e ponto médio de FF , A A e B B1 2 1 2 1 2( ); 
 O número e 5 
c
a
 chama-se excentricidade da elipse (0 , e , 1).
Observações:
.B F OA
1 2 2
, pois ambos têm medida a.
No B OF1 2∆ podemos notar que b
2 1 c2 5 a2. Essa relação é fundamental na determinação dos 
elementos da elipse.
PARA
REFLETIR
A excentricidade indica quanto a 
elipse se aproxima de um segmen-
to de reta ou de uma circunferên-
cia, conforme seu valor se aproxi-
ma de 1 ou de 0, respectivamente.
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36 Geometria analítica: a circunferência e secções cônicas
Equa•‹o da elipse
Vamos inicialmente considerar a elipse com as extremidades do eixo maior nos pontos A
1
(2a, 0) 
e A
2
(a, 0), do eixo menor em B
1
(0, b) e B
2
(0, 2b) e, consequentemente, o centro em O(0, 0).
Consideremos um ponto P(x, y) qualquer da curva.
F
2
(c, 0) x
y
P(x, y)
B
1
(0, b)
B
2
(0, 2b)
A
1
(2a, 0) A
2
(a, 0)F
1
(2c, 0) O
Pela definição, observamos que:
PF
1
 1 PF
2
 5 A
1
F
1
 1 A
1
F
2
 5 A
1
A
2
 5 2a
Daí, temos:
PF
2
 1 PF
1
 5 2a 
2 1 2 1 1 1 2 5( ) ( )( ) ( ) ⇒x c y 0 x c y 0 2a2 2 2 2
1 1 5 2 2 1) )( (⇒ ⇒x c y 2a x c y2 2 2 2
1 1 5 2 2 1 1 2 1( ) ( ) ( )⇒ ⇒x c y 4a 4a x c y x c y2 2 2 2 2 2 2
( ) ( ) ( )⇒ ⇒4a x c y 4a x c y x c y
2 2 2 2 2 2 2
2 1 5 1 2 1 2 1 2
2 1 5 2( )⇒ ⇒4a x c y 4a 4cx2 2 2
2 1 5 2( )⇒ ⇒a x c y a cx2 2 2
2 1 5 2( )( )⇒   ⇒a x c y a cx2
2 2 2
2
2 1 1 5 2 1⇒ ⇒a x 2a cx a c a y a 2a cx c x2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2
⇒ (a2 2 c2)x2 1 a2y2 5 a2(a2 2 c2)
Na elipse temos:
a2 5 b2 1 c2 ⇒ a2 2 c2 5 b2
Substituindo na equação, obtemos:
b2x2 1 a2y2 5 a2b2
Uma vez que ab ± 0, vem:
1 5 ⇒b x
a b
a y
a b
a b
a b
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
1
x
a
y
b
2
2
2
2
 5 1
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37Geometria analítica: a circunferência e secções cônicas
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
 
 
G
E
O
M
E