Exercícios de Cálculo II B

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LISTA DE EXERĆICIOS 1 – CÁLCULO II B
(Exerćıcios retirados das listas dos exerćıcios programados do curso Cálculo III do CEDERJ)
Exerćıcio 1 Considere a função vetorial α(t) = (2 + t, 1 + t2), onde t ∈ [1, 4].
(a) Determine uma equação cartesiana para a curva representada por α;
(b) Identifique a referida curva;
(c) Calcule os pontos inicial e final desta curva.
Exerćıcio 2 Caso existam, calcule os seguintes limites:
(a) lim
t→+∞
((
1 +
1
t
)t
,
1 + t+ t2
t3 − 1
)
;
(b) lim
t→0+
(
tg t
t
, tsen
1√
t
)
.
Exerćıcio 3 Determine a função vetorial que representa:
(a) a reta que passa por (1, 2) e (4, 3);
(b) o segmento de reta que une os pontos (1, 2) e (4, 3).
(c) parte da hipérbole −x
2
4
+ y2 = 1 que está localizada no primeiro quadrante do plano–xy.
Exerćıcio 4 Determine uma parametrização das seguintes curvas:
(a) a parte da parábola y = 3x2 de (−1, 3) a (2, 12);
(b) o gráfico de y3 = x de (0, 0) a (8, 2);
(c) circunferência de centro (1,−2) e raio 3;
(d) elipses de semi-eixos a = 3 paralelo ao eixo x, b = 4 paralela do eixo y e centro (2, 3).
Exerćıcio 5 Determine duas curvas distintas, fornecendo suas parametrizações, que tem ı́nicio no
ponto P (1, 1) e término no ponto Q(3, 2).
Exerćıcio 6 Para cada curva paramétrica, em que t ∈ R, determine a equação cartesiana e esboce
seu gráfico, indicando sua orientação. Note que as quatro parametrização satisfazem a equação
cartesiana y = x2.
(a)
{
x = t,
y = t2;
(b)
{
x = t2,
y = t4;
(c)
{
x = sen(t),
y = 1− cos2(t); (d)
{
x = et
y = e2t.
CÁLCULO II B LISTA 1 2
Exerćıcio 7 Determine uma parametrização para:
(a) a reta que é a interseção dos planos 2x+ y + 4z = 6 e 2x− y + z = 4;
(b) a curva de interseção entre a esfera x2 + y2 + z2 = 9 e o plano z = 2.
(c) a curva de interseção entre os paraboloides z = 18− x2 − y2 e z = x2 + 5y2.
Exerćıcio 8 Seja ~α(t) =
(
2t
sen(πt)
,
1 + t3
t2 − 4
,
t
t2 + 1
)
, t ∈ R. Determine os pontos de continuidade
de ~α(t).
Exerćıcio 9 Determine se a função
~α(t) =

(
sen(t)
t
, 1
)
, t 6= 0,
(0, 1), t = 0.
é cont́ınua em t = 0. Justifique sua resposta.