TEORIA DOS JOGOS

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TEORIA DOS 
JOGOS
Professor Me. Sidinei Silvério da Silva
GRADUAÇÃO
Unicesumar
C397 CENTRO UNIVERSITÁRIO DE MARINGÁ. Núcleo de Educação a 
Distância; SILVA, Sidinei Silvério da.
 
 Teoria dos Jogos. Sidinei Silvério da Silva. 
 Reimpressão
 Maringá - Pr.: UniCesumar, 2018. 
 120 p.
“Graduação - EaD”.
 
 1. Competição. 2. Estratégicas. 3. Jogos 4. EaD. I. Título.
ISBN 978-85-8084-964-6
CDD - 22 ed. 658
CIP - NBR 12899 - AACR/2
Ficha catalográfica elaborada pelo bibliotecário 
João Vivaldo de Souza - CRB-8 - 6828
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Arte Capa
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Editoração
Humberto Garcia da Silva
Qualidade Textual
Hellyery Agda, Viviane Favaro Notari, Keren 
Pardini
Ilustração
Bruna Marconato
Viver e trabalhar em uma sociedade global é um 
grande desafio para todos os cidadãos. A busca 
por tecnologia, informação, conhecimento de 
qualidade, novas habilidades para liderança e so-
lução de problemas com eficiência tornou-se uma 
questão de sobrevivência no mundo do trabalho.
Cada um de nós tem uma grande responsabilida-
de: as escolhas que fizermos por nós e pelos nos-
sos farão grande diferença no futuro.
Com essa visão, o Centro Universitário Cesumar 
assume o compromisso de democratizar o conhe-
cimento por meio de alta tecnologia e contribuir 
para o futuro dos brasileiros.
No cumprimento de sua missão – “promover a 
educação de qualidade nas diferentes áreas do 
conhecimento, formando profissionais cidadãos 
que contribuam para o desenvolvimento de uma 
sociedade justa e solidária” –, o Centro Universi-
tário Cesumar busca a integração do ensino-pes-
quisa-extensão com as demandas institucionais 
e sociais; a realização de uma prática acadêmica 
que contribua para o desenvolvimento da consci-
ência social e política e, por fim, a democratização 
do conhecimento acadêmico com a articulação e 
a integração com a sociedade.
Diante disso, o Centro Universitário Cesumar al-
meja ser reconhecido como uma instituição uni-
versitária de referência regional e nacional pela 
qualidade e compromisso do corpo docente; 
aquisição de competências institucionais para 
o desenvolvimento de linhas de pesquisa; con-
solidação da extensão universitária; qualidade 
da oferta dos ensinos presencial e a distância; 
bem-estar e satisfação da comunidade interna; 
qualidade da gestão acadêmica e administrati-
va; compromisso social de inclusão; processos de 
cooperação e parceria com o mundo do trabalho, 
como também pelo compromisso e relaciona-
mento permanente com os egressos, incentivan-
do a educação continuada.
Seja bem-vindo(a), caro(a) acadêmico(a)! Você está 
iniciando um processo de transformação, pois quan-
do investimos em nossa formação, seja ela pessoal 
ou profissional, nos transformamos e, consequente-
mente, transformamos também a sociedade na qual 
estamos inseridos. De que forma o fazemos? Criando 
oportunidades e/ou estabelecendo mudanças capa-
zes de alcançar um nível de desenvolvimento compa-
tível com os desafios que surgem no mundo contem-
porâneo. 
O Centro Universitário Cesumar mediante o Núcleo de 
Educação a Distância, o(a) acompanhará durante todo 
este processo, pois conforme Freire (1996): “Os homens 
se educam juntos, na transformação do mundo”.
Os materiais produzidos oferecem linguagem dialó-
gica e encontram-se integrados à proposta pedagó-
gica, contribuindo no processo educacional, comple-
mentando sua formação profissional, desenvolvendo 
competências e habilidades, e aplicando conceitos 
teóricos em situação de realidade, de maneira a inse-
ri-lo no mercado de trabalho. Ou seja, estes materiais 
têm como principal objetivo “provocar uma aproxi-
mação entre você e o conteúdo”, desta forma possi-
bilita o desenvolvimento da autonomia em busca dos 
conhecimentos necessários para a sua formação pes-
soal e profissional.
Portanto, nossa distância nesse processo de cres-
cimento e construção do conhecimento deve ser 
apenas geográfica. Utilize os diversos recursos peda-
gógicos que o Centro Universitário Cesumar lhe possi-
bilita. Ou seja, acesse regularmente o AVA – Ambiente 
Virtual de Aprendizagem, interaja nos fóruns e en-
quetes, assista às aulas ao vivo e participe das discus-
sões. Além disso, lembre-se que existe uma equipe de 
professores e tutores que se encontra disponível para 
sanar suas dúvidas e auxiliá-lo(a) em seu processo de 
aprendizagem, possibilitando-lhe trilhar com tranqui-
lidade e segurança sua trajetória acadêmica.
Professor Me. Sidinei Silvério da Silva
Possui Graduação em Ciências Econômicas pela Universidade Estadual de 
Maringá (UEM-2002), Especialização em Consultoria Econômico-Financeira de 
Empresas (UEM-2004) e Mestrado em Economia Regional pela Universidade 
Estadual de Londrina (UEL-2012). Atualmente atua como professor e 
coordenador do Curso de Ciências Econômicas na Faculdade Cidade Verde 
(FCV), professor na Universidade Estadual de Maringá (UEM) e UniCesumar. 
Tem experiência na área de Economia, com ênfase em Economia Monetária, 
Fiscal, do Meio Ambiente e Análise de Conjuntura Econômica. 
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SEJA BEM-VINDO(A)!
Olá, caro(a) aluno(a), é com muito prazer que apresento a você o Livro de Teoria dos 
Jogos. Sou o professor Sidinei Silvério da Silva e o preparei com muita dedicação e en-
tusiasmo para que você possa compreender o uso da lógica matemática no processo 
de tomada de decisões por meio da teoria dos jogos, da pesquisa operacional e suas 
aplicações no mundo dos negócios.
Nosso objetivo ao escrever este livro foi criar condições para que você compreenda da 
melhor maneira possível conceitos e aplicações da Economia, Ciência da Computação e 
Matemática no suporte à tomada de decisões, buscando sempre a otimização dos recur-
sos produtivos escassos, frente às necessidades múltiplas, ao maximizar os resultados e 
gerar valor.
Nesse sentido, ressaltamos que os assuntos que estudaremos nesta disciplina são de 
grande relevância para sua formação, tanto no âmbito pessoal quanto no âmbito pro-
fissional. Por isso, dedique-se a ler e a interagir com os textos, a fazer anotações, a escla-
recer suas dúvidas, verificando as indicações de leitura e respondendo às atividades de 
autoestudo.
Em relação à estrutura geral, o livro foi organizado da seguinte maneira: na unidade I, 
é abordada a concorrência imperfeita com o estudo da competição monopolística, do 
oligopólio e do dilema dos prisioneiros; na unidade II, apresentam-se a teoria dos jogos 
e a estratégia competitiva; na unidade III, discute-se a pesquisa operacional como ferra-
menta imprescindível na gestão eficiente dos recursos produtivos escassos; na unidade 
IV, é apresentada a solução por meio da programação linear de um problema gerencial 
exemplificado na modelagem computacional e, finalmente, na unidade V, desenvol-
vem-se soluções, por meio do Solver do Excel, de problemas gerenciais em estratégias, 
produção, logística, finanças e marketing.
Bons estudos e um forte abraço!
Professor Me. Sidinei Silvério da Silva
APRESENTAÇÃO
TEORIA DOS JOGOS
SUMÁRIO
09UNIDADE I
COMPETIÇÃO MONOPOLÍSTICA E OLIGOPÓLIO
13 Introdução 
14 Competição Monopolística 
16 Oligopólio 
19 Concorrência de Preços 
20 Concorrência Versus Acordo: O Dilema dos Prisioneiros 
24 Considerações Finais 
UNIDADE II
TEORIA DOS JOGOS E ESTRATÉGIA COMPETITIVA
31 Introdução
32 Jogos e Decisões Estratégicas 
39 Considerações Finais 
UNIDADE III
PESQUISA OPERACIONAL
47 Introdução
48 Evolução Histórica 
49 Conceitos-Chave, Suposições e Termos Utilizados 
53 Modelagem de Problemas de Programação Linear 
54 Considerações Finais 
SUMÁRIO
UNIDADE IV
SOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE PROGRAMAÇÃO LINEAR
61 Introdução
62 Introdução do Modelo na Planilha Eletrônica 
65 Estrutura da Planilha 
68 Modelagem no Solver 
74 Solução do Modelo e Saídas 
78 Considerações Finais 
UNIDADE V
SOLUÇÃO DE PROBLEMAS GERENCIAIS NO COMPUTADOR
87 Introdução
88 Aplicação em Estratégias 
91 Aplicação em Produção 
93 Aplicação em Logística 
99 Aplicação em Finanças 
104 Aplicação em Marketing 
106 Considerações Finais 
 
113 CONCLUSÃO
115 REFERÊNCIAS
117 GABARITO
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Professor Me. Sidinei Silvério da Silva
COMPETIÇÃO 
MONOPOLÍSTICA E 
OLIGOPÓLIO
Objetivos de Aprendizagem
 ■ Compreender a importância das estratégias na maximização de lucro 
e geração de valor para a concorrência imperfeita.
 ■ Reconhecer as principais diferenças e entender as principais 
características das estruturas de mercado, competição monopolística 
e oligopólio.
 ■ Discutir problemas econômicos enfrentados por entidades 
empresariais que atuam nessas estruturas de mercado.
 ■ Explicar o dilema dos prisioneiros.
Plano de Estudo
A seguir, apresentam-se os tópicos que você estudará nesta unidade:
 ■ Competição Monopolística
 ■ Oligopólio
 ■ Concorrência de preços
 ■ Concorrência versus acordo: o dilema dos prisioneiros
INTRODUÇÃO
Olá, seja bem-vindo(a) ao estudo da concorrência imperfeita!
Caro(a) aluno(a), iniciamos a primeira unidade do livro apresentando a você 
as principais estruturas de mercado existentes no mundo dos negócios, pois elas 
definem o comportamento dos players em relação à teoria dos jogos.
É importante destacar que entre as duas situações extremas da concorrên-
cia perfeita e do monopólio existe uma diversidade de estruturas de mercado 
intermediárias, comumente chamadas concorrência imperfeita, que podem ser 
agrupadas em dois grandes grupos, tendo em vista as respectivas características: 
a concorrência monopolística e o oligopólio. Esta unidade destina-se, portanto, 
ao estudo dessas duas estruturas de mercado, apresentando conceitos, caracte-
rísticas e diferenças de cada uma delas. 
Agora que já conhecemos as principais estruturas de mercado, no próximo 
tópico, passamos ao estudo da concorrência de preços e do clássico dilema dos 
prisioneiros, que mostra as nuances dos jogos econômicos no sentido de coo-
perar ou não cooperar. No contexto da concorrência versus acordo, a partir de 
implicações do Dilema dos Prisioneiros, serão apresentados os conceitos de rigi-
dez, sinalização e liderança de preços.
Perceba que as ideias apresentadas nos levarão a pensar sobre o dilema dos 
prisioneiros e sua relação com a tomada de decisão no dia a dia empresarial. 
Compensa cooperar ou não? Vou para uma guerra de preços ou de quantidades?
Para tornar o estudo mais interessante, com o exemplo do posto de combus-
tível, apresentamos as principais questões envolvidas em um processo de decisão 
com base no dilema dos prisioneiros. Encerra-se a unidade com o Simulador 
de Mercados de Oligopólio (SMO), que visa examinar o comportamento estra-
tégico de empresas detentoras de poder de mercado e as consequências de tal 
comportamento em termos de bem-estar.
Então vamos lá! Bom estudo a todos!
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Introdução
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COMPETIÇÃO MONOPOLÍSTICA E OLIGOPÓLIO
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
I
COMPETIÇÃO MONOPOLÍSTICA
Segundo Pindyck e Rubinfeld (2010), Varian (2006), Byrns e Stone (1997), 
Salvatore (1981), Miller (1981) e Ferguson (1978), as diferentes estruturas de 
mercado estão condicionadas a três variáveis principais: número de firmas pro-
dutoras no mercado, diferenciação do produto e existência de barreiras à entrada 
de novas empresas.
O que é um mercado?
Um mercado, de acordo com a teoria microeconômica, é um grupo de com-
pradores e vendedores que, por meio de suas interações efetivas ou potenciais, 
determinam o preço de um produto ou de um conjunto de produtos.
Pindyck e Rubinfeld (2010) definem competição monopolística como o 
mercado no qual as empresas podem entrar livremente, cada uma produzindo 
a própria marca ou uma versão de um produto diferenciado, como cremes den-
tais, antigripais, refrigerantes e sabonetes. Um mercado monopolisticamente 
competitivo tem duas características-chave:
 ■ As empresas competem vendendo produtos diferenciados, altamente 
substituíveis uns pelos outros, mas que não são, entretanto, substitutos 
perfeitos. Em outras palavras, as elasticidades cruzadas são grandes, mas 
não infinitas.
 ■ Há livre entrada e livre saída. É relativamente fácil a entrada de novas 
empresas com marcas próprias e a saída de empresas que já atuam no 
mercado, caso os produtos deixem de ser lucrativos. 
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Competição Monopolística
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Em concorrência monopolística, as empresas podem aumentar os preços, não 
se arriscando a perder todos os clientes, porque o seu produto tem algumas 
características próprias que o diferenciam dos produtos similares das empresas 
concorrentes. No entanto, esse poder de mercado tem fortes limitações, quer no 
curto, quer no longo prazo: 
 ■ No curto prazo, o fato de os produtos das empresas concorrentes serem 
similares (substitutos próximos) faz com que a curva de demanda da 
empresa seja bastante elástica, isto é, se a empresa aumentar significativa-
mente o preço, então, a maioria dos clientes passa a comprar os produtos 
similares das empresas concorrentes. 
 ■ No longo prazo, a existência de algumas empresas com lucros positivos 
atrai novas empresas para o mercado, o que aumenta o número de produ-
tos diferenciados, fazendo diminuir as vendas das empresas já instaladas.
No mercado de refrigerantes e no mercado de café dos Estados Unidos, as mar-
cas analisadas por Pindyck e Rubinfeld (2010) apresentaram elasticidades da 
ordem de 4 a 8, demonstrando o limitado poder de mercado das empresas que 
atuam nesse segmento econômico. Exemplificando, no caso da elasticidade igual 
a 8, se a empresa aumentar o preço do produto em 1%, provocará uma redução 
na demanda em 8%.
O que é o Cade?
O Conselho Administrativo de Defesa Econômica - Cade é uma autarquia 
federal, vinculada ao Ministério da Justiça, com sede e foro no Distrito Fede-
ral, que exerce, em todo o Território nacional, as atribuições dadas pela Lei 
nº 12.529/2011. O Cade tem como missão zelar pela livre concorrência no 
mercado, sendo a entidade responsável, no âmbito do Poder Executivo, não 
só por investigar e decidir, em última instância, sobre a matéria concorren-
cial, como também fomentar e disseminar a cultura da livre concorrência. 
Esta entidade exerce três funções: Preventiva; Repressiva e Educacional ou 
Pedagógica.
Disponível em: <www.cade.gov.br>. Acesso em: 29 dez. 2014.
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COMPETIÇÃO MONOPOLÍSTICA E OLIGOPÓLIO
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
I
OLIGOPÓLIO
Enquanto no monopólio existe uma só empresa e na concorrência monopolís-
tica existem vários concorrentes, no oligopólio existem poucos concorrentes, de 
tal forma que cada empresa está bem conscientedos efeitos que as decisões dos 
rivais podem ter em si própria, assim como dos efeitos das suas ações sobre os 
rivais e das respostas/reações que esses últimos vão implementar. 
Nesse sentido, pode-se definir oligopólio como uma estrutura na qual ape-
nas algumas empresas competem entre si e há barreiras para a entrada de novas 
empresas. Pode ou não haver diferenciação de produto, como nos setores pro-
dutivos de automóveis, aço, alumínio, petroquímica, equipamentos elétricos, 
aviação e computadores (PINDYCK; RUBINFELD, 2010). 
De acordo com Varian 
(2006), as empresas oli-
gopolísticas exibem um 
comportamento estratégico, 
por oposição às empresas em 
concorrência perfeita e em 
concorrência monopolística, 
as quais não levam em conta as 
reações dos adversários (com-
portamento não estratégico). 
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Oligopólio
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No oligopólio, de uma forma geral, os preços são administrados e os produtos 
podem ou não ser diferenciados. O importante é que apenas algumas empresas 
sejam responsáveis pela maior parte ou por toda a produção.
Em alguns desses mercados, algumas ou todas as empresas obtêm lucros 
substanciais no longo prazo, já que barreiras à entrada tornam difícil ou impos-
sível que novas empresas entrem no mercado.
No oligopólio, considerando o poder de mercado que as empresas possuem, 
é possível capturar o excedente do consumidor (diferença entre o preço que 
alguém se dispõe a pagar por certo bem e o preço realmente pago) por meio da 
discriminação de preços e transferi-lo para o produtor. Segundo Varian (2006) 
e Pindyck e Rubenfeld (2010), em geral, os economistas distinguem três tipos 
de discriminação de preços:
 ■ Discriminação de preços de primeiro grau: significa vender diferentes 
unidades de produto por diferentes preços e que os preços podem diferir 
de pessoa para pessoa. Exemplos: vendedores de automóveis, médicos, 
advogados, arquitetos, faculdades e universidades.
 ■ Discriminação de preços de segundo grau: significa vender diferentes 
unidades de produto por diferentes preços, mas cada pessoa que compra 
a mesma quantidade de bens paga o mesmo preço. O exemplo principal 
disso são os descontos por quantidade. Outro exemplo é a cobrança por 
faixas de consumo praticada por empresas fornecedoras de energia elé-
trica, gás natural e água.
 ■ Discriminação de preços de terceiro grau: é a prática de dividir os con-
sumidores em dois ou mais grupos com curvas de demanda separadas e 
cobrar preços diferentes de cada grupo. É a forma predominante de dis-
criminação de preços. Exemplos: tarifas aéreas de classe econômica versus 
primeira classe, produtos (bebidas, alimentos) especiais versus comuns, 
descontos para estudantes e cidadãos mais idosos e assim por diante.
COMPETIÇÃO MONOPOLÍSTICA E OLIGOPÓLIO
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
I
Preço
Equilíbrio (p,q)
Quantidade
Curva
de
Oferta
Excedente
do
Consumidor
Excedente
do
Produtor
Curva
de
Demanda
Figura 1: Excedentes do Consumidor e do Produtor
Fonte: o autor
Pelas ideias apresentadas acima, pode-se concluir que cada empresa considera as 
reações dos concorrentes diante de alterações nos níveis de produção e preço, nas 
decisões de investimento e campanhas promocionais. Esse processo é dinâmico. 
Assim, a partir de implicações do Dilema dos Prisioneiros, que será estudado na 
última seção dessa unidade, tem-se a:
 ■ Rigidez de preços: característica dos mercados oligopolistas pela qual 
as empresas se mostram relutantes em modificar os preços, mesmo que 
os custos ou a demanda sofram alterações. Evidencia-se o medo de uma 
guerra de preços.
 ■ Sinalização de preço: forma de acordo implícito na qual uma empresa 
anuncia um aumento de preço e espera que as outras sigam o exemplo. É 
um modo de acordo implícito, que pode resultar em ação judicial antitruste.
 ■ Liderança de preço: padrão de formação de preço no qual uma empresa 
anuncia regularmente mudanças de preços que outras empresas seguirão. 
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Concorrência de Preços
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CONCORRÊNCIA DE PREÇOS
Além da concorrência por meio da determi-
nação de quantidades, as empresas, como a 
indústria de automóveis, consideram o preço 
como uma variável estratégica, de tal modo 
que cada fabricante escolhe seu preço tendo 
em vista as ações e reações dos concorrentes.
A concorrência de preços pode ocorrer 
com produtos homogêneos ou com produtos 
diferenciados. No primeiro caso (produtos 
homogêneos), de acordo com o modelo de Bertrand, desenvolvido em 1883 por 
Joseph Bertrand, as empresas produzem uma mercadoria homogênea, cada uma 
delas considera fixo o preço de suas concorrentes e todas decidem, simultanea-
mente, qual preço será cobrado. No segundo caso (produtos diferenciados), as 
fatias de mercado são determinadas não apenas por meio de preços, mas tam-
bém mediante diferenças de design, desempenho e durabilidade do produto de 
cada empresa (PINDYCK; RUBINFELD, 2010).
O que é Conduta Anticompetitiva?
Condutas anticompetitivas são quaisquer atos adotados por pessoas físicas 
e jurídicas que tenham por objeto ou possam produzir os seguintes efeitos, 
ainda que não sejam alcançados: (i) limitar, falsear ou de qualquer forma 
prejudicar a livre concorrência ou a livre iniciativa; (ii) dominar mercado re-
levante de bens ou serviços; (iii) aumentar arbitrariamente os lucros; e (iv) 
exercer de forma abusiva posição dominante.
Disponível em: <www.cade.gov.br>. Acesso em: 29 dez. 2014.
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COMPETIÇÃO MONOPOLÍSTICA E OLIGOPÓLIO
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
I
CONCORRÊNCIA VERSUS ACORDO: O DILEMA DOS 
PRISIONEIROS
O Dilema dos Prisioneiros 
está relacionado com a teo-
ria dos jogos e a teoria da 
decisão e se refere ao caso 
em que criminosos são sub-
metidos a um interrogatório 
em separado. Cada crimi-
noso sabe que, se ninguém 
confessar sobre a participa-
ção própria e dos demais no 
crime, ele será libertado ou, 
no máximo, terá uma pena 
muito pequena. Mas, se um deles confessar e os demais não o fizerem, esse um 
poderá ser libertado, enquanto os outros sofrerão pesadas penas. Se todos con-
fessarem, todos receberão penas, embora menos severas do que se apenas um 
confessar. O incentivo, nesse caso, para o indivíduo racional, é confessar e dei-
xar os demais sofrerem as consequências. Porém, se todos forem racionais e 
agirem dessa forma, o resultado para todos será pior do que seria se todos pudes-
sem entrar em um acordo prévio para ninguém confessar (SANDRONI, 1999).
Esse exemplo na teoria dos jogos, conforme Figura 2, demonstra que, se o 
Prisioneiro A confessar, terá menor sentença, independente da ação do prisio-
neiro B. O mesmo vale para o prisioneiro B em relação ao prisioneiro A. 
Prisioneiro A
Prisioneiro B
Confessa
Confessa
- 5, -5 - 1, -10
- 2, -2- 10, -1Não confessa
Não confessa
Figura 2. Matriz de Payoff do dilema dos prisioneiros
Fonte: Pindyck e Rubinfeld (2010)
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Concorrência Versus Acordo: O Dilema dos Prisioneiros
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Barrichelo (2010) apresenta, com base no dilema dos prisioneiros, o exem-
plo do posto de gasolina e a guerra de preços: imagine uma cidade com apenas 
dois postos de gasolina. Você é dono de um deles, chamado GASOIL, que fica 
lado a lado com o seu concorrente, o posto CARGAS. Devido à proximidade, 
quando uma pessoa precisa abastecer o carro, ela vai até eles, visualiza o preço 
de ambos e escolhe pelo menor. Embora existam outros motivos que diferenciam 
os postos, como a cordialidade e velocidade dos frentistas,o preço é o fator mais 
relevante. Assim, se o assunto é preço, alguns centavos a menos podem indu-
zir parte dos clientes a preferir o posto com menor valor. Por exemplo, se seu 
concorrente abaixar o preço em 5%, ele ganha cerca de 30% dos seus clientes. 
Esse aumento de volume de clientes compensa o preço reduzido, melhorando 
a rentabilidade, enquanto você perde faturamento. Por isso, você pensa: que tal 
abaixar o preço do litro de $3 para $2,90? Isso fará com que habituais clientes do 
CARGAS (concorrente) passem a abastecer no GASOIL (o seu posto). A vida 
empresarial seria mais fácil se as decisões fossem isoladas. Entretanto, como o seu 
concorrente vai reagir? Ao notar que você abaixou o preço e ele perdeu clien-
tes, ele também vai abaixar o preço para $2,90. Como resultado, os dois postos 
terão preço igual ($2,90 no lugar de $3,00) e o mesmo volume de cliente como 
antes, mas ambas as empresas perdem faturamento e lucro. Essa é a essência de 
uma guerra de preços que prejudica o negócio dos dois postos. Suponhamos que 
vocês tomem a decisão simultaneamente. Se hoje é domingo, vocês vão deci-
dir qual o preço inicial na segunda-feira. Durante o dia não é possível alterar o 
preço, apenas de um dia para outro. Vocês não se conversam e não sabem qual 
preço o concorrente vai adotar. Você fica sabendo apenas no dia seguinte e qual-
quer arrependimento será tarde demais (ao menos durante um dia inteiro, até 
você tomar alguma atitude para o dia seguinte). Considerando essa dinâmica 
de mercado com clientes sensíveis ao preço, ambos têm incentivos para abai-
xar o preço e ganhar mais momentaneamente. No entanto, se os dois fizerem, 
ambos saem perdendo. Assim, preventivamente, você conversa com o dono do 
CARGAS e os dois combinam para não abaixar os preços. Ele concorda, mas 
você vai dormir com a dúvida: será que posso confiar nele? Se ele abaixar o preço 
a noite, você perderá toda a clientela do dia seguinte. Você está em um dilema 
semelhante ao Dilema dos Prisioneiros.
COMPETIÇÃO MONOPOLÍSTICA E OLIGOPÓLIO
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
I
SIMULADOR DE MERCADOS DE OLIGOPÓLIO (SMO)
O Simulador de Mercados de Oligopólio (SMO) é uma aplicação elaborada no 
Programa Matlab, por Gonzaga (2008), no âmbito da disciplina de Economia e 
Organização Industrial, lecionada na Faculdade de Economia da Universidade 
do Porto (situada em Portugal). O SMO simula mercados de oligopólio e de 
concorrência imperfeita, baseado na Teoria dos Jogos, visando examinar o 
comportamento estratégico de empresas detentoras de poder de mercado e as 
consequências de tal comportamento em termos de bem-estar.
Por meio do simulador (SMO), é possível implementar as seguintes estraté-
gias de concorrência imperfeita:
 ■ Modelo de Cournot: jogo simultâneo de concorrência pelas quantida-
des entre duas ou mais empresas.
 ■ Modelo de Hotelling: jogo simultâneo de concorrência pelo preço, entre 
duas empresas, em uma situação de produto diferenciado.
 ■ Modelo de Stackelberg: jogo sucessivo de concorrência pelas quantida-
des (existência de uma empresa líder – first mover).
 ■ Modelos de Preço Limite, Dixit e Milgrom and Roberts: jogos entre 
duas empresas com estratégias de comportamento predatório.
 ■ Modelo de Conluio: situações em que é viável a formação de cartéis entre 
duas ou mais empresas que concorrem pelas quantidades.
 ■ Fusões Horizontais: simula a fusão de uma fração das empresas do 
Mercado (assumindo-se que a empresa resultante da fusão ou é igual às 
restantes, ou assume a liderança do Mercado).
“Teoria dos Jogos ilumina a estrutura das interações sociais. Uma vez que 
você vê o mundo através das lentes da Teoria dos Jogos - ou ´teoria das de-
cisões interdependentes´, como deveria ser chamada - nada mais parece o 
mesmo” (ELSTER, 2007, p. 20).
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Concorrência Versus Acordo: O Dilema dos Prisioneiros
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 ■ Fusões Verticais: engloba fusões de empresas que produzem bens com-
plementares ou que assumem diferentes papéis na cadeia produtiva.
 ■ Restrições Verticais: simulação dos efeitos resultantes de três restrições 
verticais entre um produtor e um retalhista: fixação do preço de revenda, 
royalties e tarifas de duas partes.
Figura 3: Menu Inicial do Simulador de Mercados de Oligopólio
Fonte: Gonzaga (2008)
Como demonstrado na Figura 3, para executar o ficheiro Economia e Organização 
Industrial (EOI) do tipo Matlab M-file, no programa Matlab, basta digitar a 
expressão EOI na janela de comandos sempre que se pretender iniciar o simu-
lador. Assim que a expressão EOI for executada na janela de comandos, surgirá 
o Menu Principal com a generalidade dos modelos. Basta clicar sobre o botão 
correspondente e digitar as informações solicitadas e o simulador gerará a matriz 
de resultados e o Equilíbrio de Nash.
COMPETIÇÃO MONOPOLÍSTICA E OLIGOPÓLIO
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
I
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Nesta unidade você aprendeu que em um mercado monopolisticamente com-
petitivo as empresas concorrem por meio da venda de produtos diferenciados, 
que são altamente substituíveis uns pelos outros. Em um mercado oligopolista, 
por sua vez, apenas algumas empresas são responsáveis pela maior parte ou pela 
totalidade da produção, em que as barreiras à entrada nesse mercado permitem 
que algumas empresas obtenham lucros substanciais, mesmo no longo prazo.
Conseguimos compreender que o dilema dos prisioneiros, aplicado ao mundo 
dos negócios, pode proporcionar estabilidade de preços nos mercados oligopo-
listas, uma vez que as empresas relutam em alterar os preços, pois temem que, 
com isso, possam dar início a uma guerra, em que todos os participantes aca-
bam perdendo.
Com o exemplo do posto de combustível, ficou demonstrada a importância 
das estratégias na maximização de lucro e geração de valor para a concorrência 
imperfeita, em face do dilema dos prisioneiros.
Após discussão dos problemas econômicos enfrentados por entidades empre-
sariais que atuam na concorrência imperfeita, foi apresentado o Simulador de 
Mercados de Oligopólio (SMO), com a possibilidade de implementar estratégias 
de concorrência imperfeita para os modelos de Cournot, Hotelling, Stackelberg, 
Preço Limite, Dixit e Milgrom and Roberts, Conluio, Fusões horizontais e verti-
cais e Restrições verticais.
Vimos, finalmente, que o Simulador, desenvolvido no programa Matlab, per-
mite um entendimento do funcionamento do mundo empresarial nas estratégias 
de tomada de decisão, pois, a partir de informações do mercado a ser analisado, 
o simulador gera a matriz de resultados e o correspondente Equilíbrio de Nash, 
que é o conjunto de estratégias ou ações em que cada empresa faz o melhor que 
pode em função do que as concorrentes estão fazendo.
Sucesso!
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Nas últimas décadas o ambiente global 
das empresas apresenta grandes mudan-
ças. Ameaças e oportunidades advindas 
de fatores estruturais, econômicos e polí-
ticos acirram a competição, atraindo novos 
agentes econômicos. Mesmo as economias 
desenvolvidas têm de ajustar-se aos novos 
tempos e às ameaças inesperadas que tra-
zem consigo o fantasma da recessão.
Os oligopólios vivem crises transformado-
ras. A indústria global de computadores é 
bom exemplo. Líderes como a IBM, que lide-
ravam o mercado de máquinas de grande 
porte, são frontalmente ameaçados por 
desconhecidos fabricantes de microcom-
putadores, substitutos com desempenho 
superior, portabilidade e preços incompa-
ravelmente baixos. Outros concorrentes 
simplesmente sucumbiram diante da com-
petição.
Em economias emergentes como o Brasil, 
foram marcantes as mudanças. O ambiente 
dos anos 70, que se organizava com poucos 
fornecedores, torna-se altamente concor-
rencial nos anos 90. A estrutura estável 
de mercado, antes garantida por reservasde mercado e alianças de cooperação, dá 
lugar à iniciativa individual e acirradas dis-
putas. Enquanto os agentes econômicos 
aprendem no novo ambiente, os lucros se 
redistribuem entre os diferentes grupos 
de interesses, modificando a atratividade 
dos setores e desafiando as escolhas dos 
investidores.
Parte do texto extraído de: <http://goo.gl/4ddjl4>. Acesso em: 29 dez. 2014.
1. Conceitue e caracterize as estruturas de concorrência monopolística e oligopó-
lio.
2. O oligopólio é uma estrutura de mercado na qual apenas algumas empresas 
competem entre si e há impedimento para a entrada de novos players, podendo 
ou não haver diferenciação de produto. Por meio de uma análise estática com-
parativa, é possível examinar o comportamento estratégico de empresas deten-
toras de poder de mercado, na determinação de preços, com vistas a capturar o 
excedente do consumidor. Nesse sentido, discorra sobre a rigidez de preços na 
determinação de preços oligopolistas. 
3. O Dilema dos Prisioneiros é um exemplo na teoria dos jogos no qual dois pri-
sioneiros suspeitos devem decidir, separadamente, se confessam o crime; não 
podem se comunicar, nem confiam um no outro. De acordo com a matriz de 
payoff apresentada, discorra sobre os resultados, considerando as estratégias do 
prisioneiro A, em face de todas as possibilidades relacionadas a ele.
Prisioneiro A
Prisioneiro B
Confessa
Confessa
- 5, -5 - 1, -10
- 2, -2- 10, -1Não confessa
Não confessa
Material Complementar
MATERIAL COMPLEMENTAR
Microeconomia 
Robert S. Pindyck e Daniel L. Rubinfeld
Editora: Pearson Education
Ano: 2005 - 6ª Edição
Sinopse: O livro apresenta os principais conceitos, teorias e 
aplicações da microeconomia, em que destacamos os tópicos 
estruturas de mercado e teoria dos jogos, que ajudam no processo 
de tomada de decisão tanto no setor privado como no setor público. 
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Professor Me. Sidinei Silvério da Silva
TEORIA DOS JOGOS E 
ESTRATÉGIA COMPETITIVA
Objetivos de Aprendizagem
 ■ Entender o funcionamento da teoria dos jogos enquanto ciência das 
estratégias.
 ■ Definir as estratégias dominantes, maximin e tit-for-tat.
 ■ Compreender o equilíbrio de Nash e as matrizes de payoff.
 ■ Analisar os jogos não cooperativos versus jogos cooperativos.
 ■ Diferenciar os jogos repetitivos dos jogos sequenciais.
Plano de Estudo
A seguir, apresentam-se os tópicos que você estudará nesta unidade:
 ■ Jogos e Decisões Estratégicas
 ■ Estratégias Dominantes
 ■ Equilíbrio de Nash
 ■ Matriz de Payoff
 ■ Jogos Não cooperativos versus Jogos Cooperativos
 ■ Jogos Repetitivos
 ■ Jogos Sequenciais
 ■ Estratégias Maximin
 ■ Estratégia “Tit-for-tat”
INTRODUÇÃO
Caro(a) aluno(a), nesta unidade de estudo você aprenderá que os agentes eco-
nômicos (consumidores, empresas, governos e investidores) podem interagir 
estrategicamente em uma variedade de formas, por meio do instrumental da 
teoria dos jogos. Observe que, em geral, a teoria dos jogos pode ser utilizada 
para estudar desde jogos de salão até negociações políticas e comportamentos 
econômicos.
É importante destacar que os jogadores (participantes) tomam decisões 
estratégicas que levam em consideração as atitudes e respostas dos outros par-
ticipantes. Assim, inicialmente, você entenderá o funcionamento da teoria dos 
jogos enquanto ciência das estratégias. Em seguida, passamos aos conceitos bási-
cos da teoria dos jogos que são o alicerce para o desenvolvimento e compreensão 
de todas as demais unidades que virão.
No campo das estratégias, iremos definir e caracterizar as estratégias domi-
nantes, maximin e tit-for-tat. Continuando nossa jornada de estudo, apresentamos 
o equilíbrio de Nash e as matrizes de payoff, que representam os resultados ou 
ganhos de um jogo.
Perceba que as ideias apresentadas nos levarão a pensar sobre os jogos não 
cooperativos versus jogos cooperativos e a diferenciar os jogos repetitivos dos 
jogos sequenciais, com exemplos ilustrativos que facilitam o aprendizado e a 
fixação de conceitos.
A ciência das estratégias certamente o(a) levará a refletir e a considerar vários 
cenários no seu dia a dia antes de tomar decisões, sejam elas de cunho pessoal, 
profissional ou empresarial. Encontrar respostas para o que, quanto, como e para 
quem terá outro prisma a partir de então.
Assim sendo, esperamos que você explore ao máximo esse assunto fascinante, 
ao aprender como funciona a interação das estratégias nos mercados de concor-
rência monopolística e oligopólio, aplicando o aprendizado no seu cotidiano.
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Introdução
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JOGOS E DECISÕES ESTRATÉGICAS
Sandroni (1999) defi ne jogo 
como uma aplicação da 
lógica matemática no pro-
cesso de tomada de decisões 
nos jogos e, por extensão, na 
economia, na política e na 
guerra. A analogia entre as 
competições nos jogos e na 
economia foi desenvolvida 
por Johannesvon Neumann1 
e Oskar Morgenstern, no 
livro Teoria dos Jogos e do 
Comportamento Econômico 
(1944). 
2 Número de Jogadores Mais do que 2
Constante 
(ou zero) Pagamento Total 
Não constante 
(ou não zero)
Simultâneas Decisões Sequenciais
Uma jogada Jogadas Repetidas
Perfeito Acesso à Informação Imperfeito
Cooperativa Abordagens Não cooperativa
Figura 4: Exemplos de taxonomia de jogos
Fonte: Colin (2007)
1 NEUMANN, Johannesvon (1903-1957). Matemático húngaro radicado nos Estados Unidos, foi quem fez 
a primeira axiomatização dos espaços de Hilbert, dando-lhes uma forma altamente abstrata. Notabilizou-
se por introduzir os espaços de Hilbert na mecânica quântica e por criar a teoria dos jogos. Destacou-
se, também, no campo da teoria e projetos de computadores. Escreveu Fundamentos Matemáticos da 
Mecânica Quântica (1932) e Teoria dos Jogos e do Comportamento Econômico (1944), em colaboração com 
Oskar Morgenstern.
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De modo geral, a teoria dos jogos demonstra que, em jogos de apenas uma 
pessoa, a estratégia é determinada exclusivamente pelas regras do próprio jogo. 
Em jogos com duas pessoas, cada jogador leva em consideração as possíveis 
estratégias do outro. Diz-se que esses jogos são zero-soma: uma das partes perde 
exatamente o que a outra ganha.
Finalmente, nos jogos com mais de duas pessoas, o que uma perde não é 
necessariamente ganho por outra, exigindo considerações mais complexas. No 
entanto, o resultado pode ser influenciado pela formação de coalizões, até o ponto 
de reduzir o jogo com n participantes a um jogo com apenas dois participantes. 
No mundo dos negócios, podem acontecer situações desse tipo, quando algu-
mas empresas de grande porte fazem “acordos” com a finalidade de retirar do 
mercado pequenos concorrentes e exercer, de fato, um poder de cartel. 
Pindyck e Rubinfeld (2010), por sua vez, definem jogo como uma situação em 
que os jogadores (participantes) tomam decisões estratégicas, ou seja, decisões 
que levam em consideração as atitudes e respostas dos outros. Os jogos econô-
micos praticados pelas empresas podem ser cooperativos ou não cooperativos. 
Um jogo pode ser carac-
terizado de diversas formas, 
mas podemos pensar em ter-
mos de jogadores, estratégias 
usadas e ganhos (ou perdas). 
Cada jogador (empresa, 
exército, país, indivíduo, 
time de futebol, associação, 
equipe de natação, candidato 
a governador) procura iden-
tificar as possíveis estratégias 
de atuação e usar a que lhe 
gerará o maior benefício, ao 
mesmo tempo em que consi-
dera as estratégiasdos outros 
jogadores.
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TEORIA DOS JOGOS E ESTRATÉGIA COMPETITIVA
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II
COMO ESCOLHER UMA ESTRATÉGIA?
Segundo Varian (2006), quando uma empresa decide a respeito das suas escolhas 
sobre preços e quantidades, ela pode já conhecer as escolhas feitas pela outra. 
Se uma empresa estabelece seu preço antes da outra, nós a chamamos líder de 
preço e a outra seguidora de preço. Do mesmo modo, uma empresa pode esco-
lher sua quantidade antes da outra, nesse caso, ela será a líder de quantidade e a 
outra, seguidora de quantidade. As interações estratégicas, nesse caso, formam 
um jogo sequencial.
Por outro lado, pode ser que, quando uma empresa tome decisões, ela não 
conheça as escolhas da outra. Nesse caso, é preciso adivinhar a escolha da outra 
empresa para tomar uma decisão. Isso é um jogo simultâneo. Mais uma vez, há 
“Assim como os atletas têm o prazer de treinar seus corpos, também há 
imensa satisfação em treinar a mente para pensar de uma forma que é si-
multaneamente racional e criativa. Com todos os seus enigmas e paradoxos, 
a Teoria dos Jogos oferece um magnífico ginásio mental para essa finalida-
de. Espero que exercitar-se neste equipamento lhe traga o mesmo prazer 
que eu tive”. 
(BINMORE, 2007, p. 35).
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duas possibilidades: as empresas poderiam escolher, simultaneamente, tanto os 
preços quanto as quantidades.
Cada um desses tipos de interação faz surgir um conjunto diferente de ques-
tões estratégicas. Além disso, em vez de competirem umas com as outras, as 
empresas podem formar um conluio. Nesse caso, elas podem chegar a um acordo 
para estabelecer preços e quantidades que maximizem a soma de seus lucros. 
Esse tipo de conluio é chamado de jogo cooperativo.
ESTRATÉGIAS DOMINANTES
No âmbito da estratégia, que é um plano de ação ou regra para participar de um 
jogo, derivam-se:
Em um cartel, os produtores concordam explicitamente em agir em 
conjunto na determinação de preços e níveis de produção. Nem todos 
os produtores de um setor necessitam fazer parte do cartel, e a maioria 
dos cartéis envolve apenas um subconjunto de produtores. Mas, se uma 
quantidade suficientemente grande de produtores optar por aderir aos 
termos do acordo do cartel e se a demanda do mercado for suficiente-
mente inelástica, o cartel poderá conseguir elevar os preços bem acima 
dos níveis competitivos.
Fonte: Pindyck; Rubenfeld (2010).
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TEORIA DOS JOGOS E ESTRATÉGIA COMPETITIVA
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 ■ A estratégia ótima: é a que maximiza o payoff esperado do jogador.
 ■ A estratégia dominante: estratégia que é ótima, não importando o que 
o oponente faça.
 ■ O equilíbrio de estratégias dominantes: resultado de um jogo em que 
cada empresa faz o melhor que pode, independente das escolhas feitas 
pelas concorrentes.
EQUILÍBRIO DE NASH
Equilíbrio de Nash2 é o con-
junto de estratégias ou ações 
em que cada empresa faz o 
melhor que pode em fun-
ção do que as concorrentes 
estão fazendo e se trata de 
uma generalização do equi-
líbrio de Cournot (modelo 
de concorrência imperfeita).
MATRIZ DE PAYOFF
Payoffs são valores associados a um resultado pos-
sível. Logo, a matriz de payoff é uma matriz de 
resultados (ganhos). Exemplo: duas empresas 
hipotéticas operam no mercado de chocolate, 
podendo optar entre produzir um chocolate 
de alta qualidade ou um chocolate de baixa 
2 NASH, John. Prêmio Nobel em Economia de 1994, em conjunto com John Harsanyi e Reinhard Selten, 
por seus trabalhos sobre a Teoria dos Jogos (SANDRONI, 1999). Vide filme “Uma mente brilhante”.
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qualidade. Os lucros resultantes de cada estratégia encontram-se apresentados 
na matriz de payoff, conforme Figura 5.
Empresa 1
Empresa 2
Baixa
Baixa
$ -20, $ -30 $ 900, $ 600
$ 50, $ 50$ 100, $ 800Alta
Alta
Figura 5: Matriz de Payoff para o problema de determinação da qualidade do chocolate produzido
Fonte: Pindyck e Rubinfeld (2010)
JOGOS NÃO COOPERATIVOS VERSUS JOGOS COOPERATIVOS
Conceitualmente, jogo cooperativo é aquele no qual os participantes podem 
negociar contratos vinculativos de cumprimento obrigatório que lhes per-
mitam planejar estratégias em conjunto. Por sua vez, jogo não cooperativo é 
o jogo no qual a negociação e o cumprimento de contratos vinculativos não 
são possíveis.
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TEORIA DOS JOGOS E ESTRATÉGIA COMPETITIVA
Reprodução proibida. A
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II
JOGOS REPETITIVOS
Jogos repetitivos são jogos 
nos quais as ações são toma-
das e os decorrentes payoffs são recebidos várias vezes, de modo 
consecutivo.
Em um jogo repetido, cada jogador tem a oportunidade de esta-
belecer uma reputação de cooperação e, assim, encorajar o outro jogador a 
fazer o mesmo. Ademais, a viabilidade ou não desse tipo de estratégia irá depen-
der se o jogo será jogado por um número fixo ou indefinido de vezes.
JOGOS SEQUENCIAIS
Jogos sequenciais são 
aqueles em que os jogado-
res se movem (um após o 
outro) em resposta a ações 
e reações do oponente. O 
Modelo de Stackelberg, no 
qual um jogador é o líder 
e o outro o seguidor, é um 
exemplo em que um joga-
dor movimenta-se primeiro 
e o outro reage.
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Considerações Finais
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ESTRATÉGIAS MAXIMIN
As estratégias Maximin são 
estratégias que maximizam 
a obtenção de um determi-
nado nível mínimo de ganho.
ESTRATÉGIA TIT-FOR-TAT
Tit-for-tat é uma estratégia de 
repetição na qual o jogador 
responde de forma igual às 
jogadas do oponente, coope-
rando com os oponentes que 
cooperam e retaliando os que 
não o fazem.
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Chegamos ao final de mais uma unidade. Nesta, você estudou os conceitos, 
as características e diferenças dos jogos e estratégias que norteiam as decisões 
empresariais e que podem ser cooperativos ou não cooperativos, sequenciais 
ou repetitivos.
No decorrer dos tópicos, procuramos demonstrar a importância da teoria 
dos jogos para o sucesso das entidades empresariais com ou sem fins lucrativos, 
que podem obter ganhos econômicos com a redução dos custos de produção, 
aumento de eficiência produtiva e aumento na lucratividade do negócio; bem 
como ganhos sociais e ambientais, a partir das estratégias adotadas.
TEORIA DOS JOGOS E ESTRATÉGIA COMPETITIVA
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II
A globalização, o aquecimento global, o uso dos recursos naturais e a dis-
posição final dos resíduos sólidos, líquidos e gasosos impactam diretamente o 
resultado operacional, razão pela qual o entendimento da ciência das estratégias 
pode auxiliar o gestor na tomada de decisão e geração de valor.
Evidentemente, nesse prisma, vimos que o equilíbrio de Nash é uma com-
binação de estratégias em que cada um dos jogadores faz o melhor que pode 
em função das estratégias dos demais jogadores; que o equilíbrio em estratégias 
dominantes é um caso especial de equilíbrio de Nash; que uma estratégia domi-
nante é ótima, independente do que possam fazer os demais jogadores; e que a 
estratégia maximin é conservadora, pois maximiza o resultado mínimo possível.
Conseguimos chegar, portanto, ao entendimento de que a teoria dos jogos, 
ao identificar as possíveis estratégias de atuação de uma empresa, exército, país, 
indivíduo, time de futebol, associação,equipe esportiva ou candidato a cargo 
eletivo, por meio da matriz de payoff, revelará o resultado gerador do maior 
benefício possível, sempre considerando as ações, estratégias e decisões dos 
outros oponentes.
Nossa preocupação foi oferecer elementos teórico/práticos que contribuís-
sem com sua formação e qualificação e esperamos lograr êxito.
41 
ALIANÇAS ESTRATÉGICAS
Nas últimas décadas, o cenário mundial 
tem sofrido mudanças de ordem econô-
mica e social, que afetam o mercado e as 
indústrias de forma significativa. Na atual 
conjuntura, onde se observa o avanço 
da globalização, a alta interdependência 
no setor econômico e o dinamismo dos 
mercados, esta postura de alta competi-
tividade já não proporciona os mesmos 
resultados de alguns anos atrás. As organi-
zações já não mais possuem acesso direto 
aos recursos necessários para o sucesso 
de seus negócios. Assim, a formação de 
alianças estratégicas vem ganhando força, 
como uma postura estratégica no cenário 
econômico.
O conceito de Alianças Estratégicas é bas-
tante difícil de ser elaborado, por existir 
uma grande variedade de possíveis relações 
entre as organizações. Segundo Yoshino e 
Rangan (1996, p. 5), uma aliança estratégica 
“é uma parceria comercial que aumenta a 
eficácia das estratégias competitivas das 
organizações participantes, propiciando 
o intercâmbio mútuo e benéfico de tecno-
logias, qualificações ou produtos baseados 
nesta”. Este conceito apresenta uma ideia 
de benefício mútuo, onde os participantes 
aumentam suas competências atuando de 
forma cooperativa. Entretanto, este con-
ceito ainda é limitado, por afirmar que uma 
aliança estratégica é uma parceria comer-
cial. As justificativas para a sua formação de 
uma aliança e os interesses dos parceiros 
envolvidos, vão além, na maioria das vezes, 
de interesses comerciais, mesmo que esses 
interesses diversos não sejam apresentados 
de forma explícita.
Para o autor, existem ainda três caracte-
rísticas que devem ser observadas: (1) as 
duas ou mais empresas que se unem para 
cumprir um conjunto de metas combina-
das, permanecem independentes, depois 
da formação da aliança; (2) as empresas 
parceiras compartilham dos benefícios da 
aliança e controlam o desempenho das 
tarefas especificadas – talvez o traço mais 
distintivo das alianças e que muito dificulta 
sua gestão; e (3) as empresas parceiras con-
tribuem continuamente em uma ou mais 
áreas estratégicas cruciais; por exemplo, 
tecnologia, produtos e assim por diante.
Assim, alianças estratégicas são acordos 
voluntários de cooperação interorganiza-
cional, muitas vezes, caracterizados pela 
inerente instabilidade gerada pela incer-
teza relacionada ao comportamento futuro 
do parceiro e pela aplicação de um nível 
elevado de autoridade para assegurar o 
comprometimento (PARKHE, 1993). Este 
nível elevado de autoridade está rela-
cionado com a estrutura de governança 
(GULATI, 1998), adotada para monitorar e 
fiscalizar o relacionamento e os custos de 
transação existentes (WILLIAMSON, 1985).
Parte do texto extraído de: <http://revista.feb.unesp.br/index.php/gepros/article/downlo-
ad/378/319>. Acesso em: 29 dez. 2014.
1. Jogo é uma situação em que os jogadores (participantes) tomam decisões es-
tratégicas, ou seja, decisões que levam em consideração as atitudes e respostas 
dos outros. Os jogos econômicos praticados pelas empresas podem ser coope-
rativos ou não cooperativos. Explique cada um desses conceitos.
2. Quando um mercado se encontra em equilíbrio, as empresas estão fazendo o 
melhor que podem e não têm nenhuma razão para modificar os preços ou níveis 
de produção. Porém, considerando estratégias competitivas, cada empresa con-
sidera as reações dos concorrentes diante de alterações nos níveis de produção 
e preço, nas decisões de investimento e campanhas promocionais. Nesse senti-
do, defina Equilíbrio de Nash.
3. A estratégia é um plano de ação ou regra para participar de um jogo. De acor-
do com os conceitos de teoria dos jogos e estratégia competitiva apresentados, 
conceitue estratégia ótima, estratégia dominante, equilíbrio de estratégias do-
minantes, estratégia maximin e estratégia tit-for-tat.
Material Complementar
MATERIAL COMPLEMENTAR
Teoria dos Jogos: conceitos, exemplos e limitações
Fernando Barrichelo
Sinopse: O livro oferece uma abordagem simples e objetiva da Teoria 
dos Jogos, ensinando de forma didática os conceitos, exemplos e 
limitações para gerentes e estudantes.
Uma Mente Brilhante
O fi lme Uma mente brilhante apresenta a história de vida do 
brilhante matemático John Nash, cujas ideias infl uenciaram as teorias 
econômicas, a biologia da evolução e a teoria dos jogos, em que 
pese sofrer de esquizofrenia. Após resolver na década de 1950 um 
problema relacionado à teoria dos jogos, ele foi agraciado, em 1994, 
com o Prêmio de Ciências Econômicas em Memória de Alfred Nobel.
Link para o fi lme:<http://www.imdb.com/title/tt0268978/>
Jogos de guerra (1983)
Jogos de guerra é um fi lme de fi cção científi ca de 1983, escrito 
por Lawrence Lasker e Walter F. Parkes. Retrata a história de um 
adolescente, apaixonado por computadores, que consegue acesso 
ao sistema bélico dos EUA e, sem saber, dá uma ordem de ataque que 
pode causar a terceira guerra mundial.
Link para o fi lme:<http://www.imdb.com/title/tt0086567/>
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Professor Me. Sidinei Silvério da Silva
PESQUISA OPERACIONAL
Objetivos de Aprendizagem
 ■ Conhecer a evolução histórica da pesquisa operacional.
 ■ Compreender os conceitos-chave, suposições e termos utilizados na 
programação linear.
 ■ Aprender a modelar problemas gerenciais por meio da programação 
linear e a identificar as limitações dos modelos.
Plano de Estudo
A seguir, apresentam-se os tópicos que você estudará nesta unidade:
 ■ Evolução Histórica
 ■ Conceitos-Chave, Suposições e Termos Utilizados
 ■ Modelagem de Problemas de Programação Linear
INTRODUÇÃO
Olá, caro(a) aluno(a), seja bem-vindo(a) ao estudo da nossa terceira unidade, 
com base em Colin (2007) e Bueno (2007).
Nesta unidade, você conhecerá um breve histórico da pesquisa operacional e 
sua evolução enquanto ferramenta gerencial, aprendendo a identificar os princi-
pais conceitos da programação linear e a construir modelos com base na realidade 
empresarial, com vistas ao gerenciamento eficiente dos recursos produtivos.
A pesquisa operacional é muito forte e difundida no Brasil e, apesar de alguns 
considerarem o conteúdo com elevado grau de dificuldade, é um excelente fator 
agregador de valor à formação do estudante de Administração. Isso ocorre por-
que as técnicas aprendidas ao longo do livro fornecem uma nova abordagem na 
tomada de decisão e solução de problemas.
Visando atingir os objetivos de aprendizagem já elencados, a unidade em ques-
tão foi dividida em três tópicos, sendo eles: evolução histórica; conceitos-chave, 
suposições e termos utilizados; e modelagem de problemas de programação linear.
No primeiro tópico, estudaremos a história da evolução da pesquisa ope-
racional até os dias atuais. No segundo tópico, por sua vez, apresentaremos os 
conceitos-chave, suposições e termos utilizados na programação linear. Por fim, 
no terceiro tópico, veremos os cuidados que devem ser tomados na modelagem 
de um problema de programação linear.
Vale ressaltar que a programação linear trata do problema de alocação ótima 
de recursos escassos para a realização das atividades de prestação de serviços, 
indústria e comércio.
Assim sendo, ao término desta unidade, você será capaz de compreender 
conceitos fundamentais da pesquisa operacional e que podem influenciar o dia 
a dia das unidades produtivas, das famílias, dos governos e do resto do mundo.
Bem-vindo(a) ao mundo das aplicações das técnicas de pesquisa operacio-
nal no seio das organizações!
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Introdução
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EVOLUÇÃO HISTÓRICA
A Pesquisa Operacional, ou simplesmente PO, nasceu na Inglaterra em um 
esforço de guerra para alocar eficientemente recursos escassos. Grupos de cien-
tistas de diversos ramos do conhecimento, como matemática, estratégia de 
guerra e engenharia elétrica, trabalhavam juntos fazendo pesquisa de operações 
militares. Eles fizeram um trabalho especialmente útil para o uso de radares no 
combate aéreo. Problemas enfrentados na guerra eram em boa medida similares 
aos encontrados em empresas, e não tardou muito para que houvesse uma rápida 
aceitação de métodos de PO. O impacto financeiro (essencialmente) provocado 
fez com que a disciplina florescesse enormemente (COLIN, 2007).
A Programação Linear (PL) é uma das técnicas da Pesquisa Operacional 
mais utilizadas em se tratando de problemas de otimização. Os problemas de 
Programação Linear (PL) buscam a distribuição eficiente de recursos limitados 
para atender um determinado objetivo, em geral, maximizar lucros ou minimi-
zar custos, por exemplo. 
Usuários tradicionais da Programação Linear (PL), como as indústrias 
petrolífera e de aviação, enxergam a técnica como uma condição fundamental 
para lucratividade e sobrevivência no longo prazo.
Vários Prêmios Nobel de Economia1 tiveram boa parte de seu conteúdo rela-
cionada com a programação linear, e muitos outros laureados tiveram fases de 
1 Em 1975, a “teoria da alocação ótima dos recursos” (englobando programação linear) rendeu o Prêmio 
Nobel de Economia a Leonid Vitaliyevich Kantorovich (1912-1986), da Ex-URSS e a Tjalling C. 
Koopmans, dos EUA.
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sucesso nas suas carreiras bastante associadas ao pioneirismo na aplicação da 
PL. Todo esse “poder de fogo” é oriundo de sua ampla aplicabilidade em pro-
blemas reais de empresas, defesa e governo.
Uma pesquisa contemplando as empresas da Fortune 5002 indicou que 85% delas 
usavam ou haviam usado Programação Linear. No Brasil, empresas como Petrobrás, 
Eletrobrás, BRFoods, Correios e Copersucar estão entre aquelas que aplicam a técnica.
CONCEITOS-CHAVE, SUPOSIÇÕES E TERMOS 
UTILIZADOS
Em linhas gerais, a programação linear trata do problema de alo-
cação ótima de recursos escassos para a realização de atividades. 
Por ótimo entendemos que não haja uma outra solução 
que seja melhor do que a oferecida (podem haver 
outras tão boas quanto). Os recursos escas-
sos representam nossa realidade de existência 
fi nita de recursos, por mais abundantes que 
sejam. Com base em Colin (2007), seguem os 
principais conceitos e suposições da progra-
mação linear.
2 Global Fortune 500 é uma classifi cação das 500 maiores corporações em todo o mundo, conforme 
medido por sua receita. A lista é compilada e publicada anualmente pela revista Fortune. A Fortune é uma 
revista sobre negócios americana, fundada por Henry Luce, em 1930.
A tese de doutorado sobre Planejamento Integrado da Cadeia de Suprimen-
tos da Indústria do Petróleo Baseado em Agentes Holônicos, de Fernando 
José de Moura Marcellino, apresentada à Escola Politécnica da Universidade 
de São Paulo (USP), em 2013, é uma excelente dica para entendimento da 
importância da otimização para a Indústria do Petróleo. 
Disponível em: <http://goo.gl/gPK9hu>. Acesso em: 29 dez. 2014.
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1. Modelo
Modelo é uma representação simplificada do comportamento da reali-
dade expressa na forma de equações matemáticas que serve para simular 
a realidade. 
Exemplo: Modelo que representa a distribuição física de refrigerantes aos clien-
tes de uma empresa engarrafadora de bebidas.
A experiência indica que um modelo simples (mais facilmente implementá-
vel) com 95% de precisão é preferível a um outro mais sofisticado com precisão 
maior. 
2. Variáveis de Decisão
Variáveis de decisão são as variáveis utilizadas no modelo que podem ser contro-
ladas pelo tomador de decisão. A solução do problema é encontrada testando-se 
diversos valores das variáveis de decisão. 
Exemplo: O número de caminhões que a engarrafadora deve despachar em um 
determinado dia.
3. Parâmetros
Parâmetros são as variáveis utilizadas no modelo que não podem ser controla-
das pelo tomador de decisão. A solução do problema é encontrada admitindo 
como fixos os valores dos parâmetros. 
Exemplo: A capacidade de cada caminhão que vai transportar o refrigerante. Os 
caminhões têm uma capacidade especificada pelo fabricante e uma carga total 
transportada que é limitada pela legislação rodoviária.
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Conceitos-Chave, Suposições e Termos Utilizados
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4. Função-Objetivo
É uma função matemática que representa o principal objetivo do tomador de 
decisão. Ela é de dois tipos: de minimização (de custos, erros, chances de perda, 
desvio do objetivo etc.) ou de maximização (de lucro, receita, utilidade, bem-
-estar, riqueza etc.). 
Exemplo: Minimizar os custos de transporte relativos à distribuição do refrige-
rante.
5. Restrições
Restrições são regras que dizem o que podemos (ou não) fazer e/ou quais são 
as limitações dos recursos ou das atividades que estão associadas ao modelo. 
Exemplo: O número total de caminhões despachados pela manhã é menor 
ou igual ao número de motoristas que a empresa tem à disposição no primei-
ro turno.
6. Função Linear
Uma função f (x1, x2, ..., xn) das variáveis x1, x2, ..., xn é uma função linear se 
for do tipo f (x1, x2, ..., xn) = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn. Sendo c1, c2, ..., cn valores 
constantes.
Exemplo: f (x1, x2) = 2x1 + 5x2
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7. Inequação Linear3
Para um número qualquer b e uma função linear f (x1, x2, ..., xn), define-se uma 
inequação linear como as inequações do tipo f (x1, x2, ..., xn) < = b f (x1, x2, ..., 
xn) > = b.
Exemplo: 2x1 + 5x2< = 8 e 12a + 3b > = 3 são inequações lineares.
8. Algoritmo
Algoritmo é uma sequência de instruções que, para determinada entrada, gera 
um determinado resultado.
Exemplo: Uma receita de culinária é um exemplo clássico de algoritmo: a descri-
ção detalhada dos ingredientes e do modo de preparo permite que pratos sejam 
preparados sempre da mesma forma, gerando sempre os mesmos resultados.
3 As equações têm como objetivo estudar e determinar soluções dos problemas do dia a dia nas diversas 
áreas do conhecimento. As inequações, por sua vez, são desigualdades matemáticas que utilizam os 
seguintes sinais na sua estrutura: ≠ (diferente), > (maior), <(menor), ≥ (maior ou igual), ≤ (menor ou 
igual). Os métodos resolutivos assemelham-se aos das equações, porém, é muito importante ressaltar 
que as inequações respeitam restrições de acordo com o sinal utilizado e que as soluções podem ser 
representadas na reta numérica (que representa o conjunto dos números naturais).
“Para cada tipo de desenho ou pintura existe uma ferramenta adequada, 
seja lápis, giz, pincel, entre outros. O grande artista, no seu kit de instrumen-
tos, sabe escolher qual deles usar em cada ocasião. O grande estrategista faz 
a mesma coisa. Para cada situação existe um modelo de pensamento mais 
adequado” (BARRICHELO, 2010, p. 17).
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Modelagem de Problemas de Programação Linear
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MODELAGEM DE PROBLEMAS DE PROGRAMAÇÃO 
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Segundo Bueno (2007), a modelagem pode ser considerada a etapa mais impor-tante na construção de um sistema de apoio à decisão. Isso porque os métodos 
de otimização podem ser implementados com precisão e maturidade em diver-
sas aplicações (o SOLVER, por exemplo), mas a modelagem de um problema 
real ainda exige a capacidade de abstração humana e, por isso mesmo, é passí-
vel de erros. Um problema modelado indevidamente jamais gerará resultados 
aplicados na realidade.
Para representar corretamente um problema real, um modelo matemático 
deve atender a alguns requisitos:
a. As variáveis de decisão devem corresponder exatamente aos parâmetros 
que se quer determinar.
b. Deve ser definido um objetivo para o modelo (por exemplo: maximizar 
lucro e produção, minimizar gastos e rota).
c. O modelo deve ser passível de resolução, uma vez que é possível elaborar 
modelagens sem solução.
d. As relações, ou seja, as expressões matemáticas, devem ser consistentes 
com o mundo real.
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PESQUISA OPERACIONAL
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Os modelos de Programação Linear oferecem maior auxílio na tomada de deci-
são, na medida em que a complexidade do sistema em análise cresce. Além das 
planilhas (Excel, por exemplo), existe toda uma família de softwares de alta fle-
xibilidade que usa sua própria linguagem de programação, como:
 ■ AIMSS (www.aimms.com)
 ■ AMPL (www.modeling.com)
 ■ GAMS (www.gams.com)
 ■ MATLAB (www.mathworks.com)
 ■ SCIENCE LAB (www.sciencelab.com)
 ■ OCTAVE (www.octave.org)
Leon et. al.(1996), em pesquisa realizada com 96 empresas, verificaram que as 
planilhas eletrônicas são intensivamente utilizadas em áreas como finanças, con-
tabilidade e controle de qualidade, enquanto os softwares são preferidos em áreas 
como transporte, manufatura e P&D.
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Nesta unidade, você estudou a evolução histórica da pesquisa operacional e o 
seu uso enquanto ferramenta gerencial, aprendendo a identificar os principais 
conceitos da programação linear e a construir modelos, com vistas ao gerencia-
mento eficiente dos recursos produtivos. 
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Considerações Finais
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Na evolução histórica, você aprendeu que a Pesquisa Operacional nasceu na 
Inglaterra, em um esforço de guerra para alocar eficientemente recursos escassos 
e que, posteriormente, foi agregada pelas entidades empresariais, com destaque 
para as indústrias petrolíferas e de aviação. Todavia, no período atual, todos os 
ramos de atividade econômica (indústria, comércio e prestação de serviços) 
utilizam a técnica de programação linear, com vistas a melhorar os resultados 
operacionais.
No estudo dos conceitos-chave, suposições e termos utilizados, com o exem-
plo da indústria de refrigerantes, você pode conhecer cada item constituinte de 
um modelo matemático, ou seja, o modelo, as variáveis de decisão, os parâmetros, 
a função-objetivo, as restrições, a função linear, a inequação linear e o algoritmo. 
Na sequência, caro(a) aluno(a), você visualizou a modelagem de problemas 
de programação linear. No que se refere aos modelos matemáticos, vimos que 
as variáveis de decisão devem corresponder exatamente aos parâmetros que se 
quer determinar. Além disso, deve ser definido um objetivo para o modelo e 
esse deve ser passível de resolução, bem como consistente com o mundo real.
Pare e pense: como esse conteúdo pode ser aplicado no dia a dia? Perceba 
que as ideias apresentadas e discutidas nesta unidade são relevantes para que 
os gestores aprendam a gerir eficientemente os recursos escassos, com o uso da 
técnica de programação linear.
Esperamos que você tenha êxito nessa empreitada e que possa fazer um bom 
uso deste material.
Sucesso e vamos à luta!
IMPORTÂNCIA DA APLICAÇÃO PRÁTICA DA PESQUISA OPERACIONAL
O processo decisório envolve as funções 
básicas do administrador e, também, 
muitas outras funções que são exigidas 
no mundo empresarial. Neste processo, é 
necessário o uso de algumas ferramentas 
e técnicas que otimizam a tomada de deci-
são, levando a soluções mais efetivas para 
a resolução de problemas.
Referente às técnicas ou ferramentas de 
solução de problemas, Chiavenato (2004) 
afirma que estas, no fundo, são processos 
de tomada de decisão, pois seguem as mes-
mas etapas, elencando como técnicas mais 
importantes: método cartesiano, Brains-
torming, técnica de análise do campo de 
força e Princípio de Pareto e Gráfico de 
Ishikawa. Percebe-se, ainda, que algumas 
ferramentas fazem uso de valores finan-
ceiros e cálculos matemáticos, essenciais 
para a tomada de decisão, como: méto-
dos de custeio, análise financeira, balanced 
scorecard, entre outras. A Pesquisa Opera-
cional se inclui nesse rol de ferramentas de 
apoio à tomada de decisão. Estas fornecem 
recursos ao administrador para que possa 
buscar soluções adequadas às necessida-
des das organizações.
Parte do texto extraído de: <http://www.editora.unoesc.edu.br/index.php/race/article/
download/2201/pdf>. Acesso em: 29 dez. 2014.
57 
1. A Programação Linear (PL) é uma das técnicas da Pesquisa Operacional mais uti-
lizada em se tratando de problemas de otimização. Os problemas de Programa-
ção Linear (PL) buscam a distribuição eficiente de recursos limitados para aten-
der um determinado objetivo, em geral, maximizar lucros ou minimizar custos, 
por exemplo. Nesse contexto, leia atentamente as afirmações abaixo e assinale 
(V) para verdadeiro e (F) para falso.
( ) A Pesquisa Operacional nasceu na França, em um esforço de guerra para 
alocar eficientemente recursos escassos.
( ) Grupos de cientistas de diversos ramos do conhecimento trabalharam jun-
tos fazendo pesquisa de operações militares e desenvolveram radares para o 
combate aéreo.
( ) Problemas enfrentados na guerra eram em boa medida similares aos en-
contrados em empresas e não tardou muito para que houvesse uma rápida 
aceitação de métodos de Pesquisa Operacional.
( ) A programação linear trata do problema de alocação ótima de recursos 
escassos para a realização de atividades.
2. A modelagem pode ser considerada a etapa mais importante na construção de 
um sistema de apoio à decisão. Para representar corretamente um problema 
real, quais requisitos devem ser atendidos pelo modelo matemático?
3. Dentre os principais conceitos e suposições da programação linear, conceitue 
modelo, variáveis de decisão, parâmetros, função-objetivo e restrições.
4. Para um número qualquer b e uma função linear f (x1, x2, ..., xn), define-se uma 
inequação linear como as inequações do tipo f (x1, x2, ..., xn) ≤ b f (x1, x2, ..., xn) ≥ b. 
Nesse sentido, cite exemplos de inequação linear.
MATERIAL COMPLEMENTAR
Pesquisa Operacional – 170 Aplicações em Estratégia, 
Finanças, Logística, Produção
Emerson Carlos Colin
Editora: LTC Ano: 2007
Sinopse: O livro apresenta o estudo e a solução de problemas com a 
utilização de técnicas de pesquisa operacional, tratando de aplicações 
em áreas funcionais, como compras, estratégia, fi nanças, logística, 
marketing, produção, recursos humanos e vendas.
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Professor Me. Sidinei Silvério da Silva
SOLUÇÃO DE PROBLEMAS 
DE PROGRAMAÇÃO LINEAR
Objetivos de Aprendizagem
 ■ Identificar o suplemento Solver e habilitá-lo para uso no Microsoft 
Excel.
 ■ Construir modelos de programação linear no Excel.
 ■ Configurar os parâmetros do Solver conforme o modelo introduzido 
no Excel.
 ■ Resolver o problema de programação linear no Solver.
 ■ Interpretar os resultados gerados pelo Solver.
 ■ Gerar relatórios de reposta, sensibilidade e de limites no Solver.
Plano de Estudo
A seguir, apresentam-se os tópicos que você estudará nesta unidade:
 ■ Introdução do Modelo na Planilha Eletrônica
 ■ Estrutura da Planilha
 ■ Modelagens no Solver
 ■ Solução do Modelo e Saídas
INTRODUÇÃO
Caro(a) aluno(a), nesta quarta unidade, você aprenderá a construir e a resolver 
modelos deprogramação linear no Solver do Excel, bem como a interpretar os 
resultados gerados.
Nas aplicações reais, o número de equações e variáveis dos modelos de pro-
gramação linear cresce rapidamente, de modo que fica muito difícil a solução 
manual. Dessa forma, os modelos oferecem maior auxílio na tomada de deci-
sões, na medida em que a complexidade do sistema em análise cresce. 
Quanto mais complexo o sistema que o tomador de decisões está interessado 
em analisar, maior será o benefício gerado pelo uso de modelos de programa-
ção matemática.
Visando atingir os objetivos de aprendizagem já elencados, a unidade em 
questão foi dividida em cinco tópicos, sendo eles: introdução do modelo na pla-
nilha eletrônica; estrutura da planilha; modelagem de problemas de programação 
linear; modelagens no solver; solução do modelo e saídas.
Nessa direção, discutiremos como tal conhecimento/domínio tende a for-
talecer no âmbito pessoal e profissional a sua formação técnica e acadêmica.
Para facilitar o aprendizado, vamos desenvolver um modelo baseado em 
política pública, em que o interesse do Governo é que as pessoas tenham uma 
dieta equilibrada, mas, ao mesmo tempo, que tenha o menor custo possível. A 
elaboração desse modelo e a interpretação dos resultados gerados ajudarão no 
entendimento da importância da técnica de programação linear na tomada de 
decisão.
Assim sendo, ao término desta unidade, você será capaz de compreender con-
ceitos fundamentais da pesquisa operacional/programação linear na construção 
de modelos matemáticos gerenciais e os relacionar com o mundo dos negócios.
Apesar de complexo, o estudo da pesquisa operacional é fascinante. Portanto, 
não se detenha diante das dificuldades, mas se esforce na árdua tarefa de agre-
gar valor à sua formação. 
Bons estudos!
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INTRODUÇÃO DO MODELO NA PLANILHA 
ELETRÔNICA
Para introduzirmos um primeiro modelo no Excel, utilizare-
mos o problema da dieta. Nesse problema, o objetivo é 
determinar qual é a quantidade ideal de alimentos 
a ser ingerida com custo mínimo e que satisfaça às 
necessidades nutricionais de uma pessoa.
Suponha que o Governo Federal tenha 
feito uma pesquisa em uma comunidade 
desfavorecida do interior do Brasil e tenha 
identificado uma série de doenças desenca-
deadas especialmente devido à deficiência 
de vitaminas A e C, cálcio e ferro.
A falta de vitamina A provoca proble-
mas de visão e falta de defesa contra as infecções, enquanto a falta de vitamina 
C provoca inflamações gengivais e perda dos dentes. A falta de cálcio provoca 
espasmos musculares e tendência à osteoporose. Finalmente, a falta de ferro 
provoca anemia, com comprometimento da capacidade de aprendizado e dimi-
nuição do rendimento do trabalho.
O Governo subsidia a venda de uma série de alimentos, como arroz, fei-
jão, carne bovina e açúcar. Sabemos que os alimentos subsidiados possuem os 
nutrientes que estão faltando no cardápio das pessoas, conforme Tabela 1.
ITEM UN
NEC. 
DIÁRIA
CARNE ARROZ FEIJÃO AÇÚCAR ALFACE LARANJA
Valor Energético Kcal 3.200 225 364 337 385 15 42
Vitamina A mcg 750 7 - 2 - 87 13
Vitamina C mg 70 - - 3 - 12 59
Ferro mg 10 2,9 1,3 7,6 0,1 1,3 0,7
Cálcio mg 650 11 9 86 - 43 34
PREÇO $ 0,50 $ 0,18 $ 0,20 $ 0,16 $ 0,30 $ 0,10
Tabela 1: Informações por Alimento (composição por 100 g)
Fonte: Colin (2007)
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Introdução do Modelo na Planilha Eletrônica
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O interesse do Governo é que as pessoas tenham uma dieta equilibrada (que 
atenda aos valores mínimos dos nutrientes), mas, ao mesmo tempo, que tenha 
o menor custo possível. Como um modelo poderia ser construído de forma a 
capturar todos os interesses e restrições envolvidos no problema?
FUNÇÃO-OBJETIVO:
Minimizar (Min) 
Z = 0,5Xcarne + 0,18Xarroz + 0,2Xfeijão + 0,16Xaçúcar+ 0,3Xalface + 
0,1Xlaranja
SUJEITO ÀS SEGUINTES RESTRIÇÕES (S.A.):
 ■ Valor energético.
 ■ Vitamina A.
 ■ Vitamina C.
 ■ Ferro.
 ■ Cálcio.
 ■ Exigências de não negatividade.
RESTRIÇÃO DO VALOR ENERGÉTICO:
225 Xcarne + 364 Xarroz + 337 Xfeijão + 385 Xaçúcar+ 15 Xalface + 42 Xlaranja ≥ 3200
RESTRIÇÃO DA VITAMINA A:
7 Xcarne + 2 Xfeijão + 87 Xalface + 13 Xlaranja ≥ 750
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SOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE PROGRAMAÇÃO LINEAR
Reprodução proibida. A
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IV
RESTRIÇÃO DA VITAMINA C:
3 Xfeijão + 12 Xalface + 59 Xlaranja ≥ 70
RESTRIÇÃO DO FERRO:
2,9 Xcarne + 1,3 Xarroz + 7,6 Xfeijão + 0,1 Xaçúcar+ 1,3 Xalface + 0,7 Xlaranja ≥ 10
RESTRIÇÃO DO CÁLCIO:
11 Xcarne + 9 Xarroz + 86 Xfeijão + 43 
Xalface + 34 Xlaranja ≥ 650
RESTRIÇÃO DE NÃO NEGATIVIDADE:
Xcarne ≥ 0; Xarroz ≥ 0; Xfeijão ≥ 0; Xaçúcar 
≥ 0; Xalface ≥ 0; Xlaranja ≥ 0.
O Economista e matemático francês da escola econômica neoliberal, Mau-
rice Allais (1911-2010), fez estudos sobre a teoria do equilíbrio econômico 
geral e da eficiência máxima, as funções do capital e seu desempenho no 
processo de crescimento capitalista, a pesquisa operacional aplicada à eco-
nomia. Também desenvolveu análises de economia aplicada em pesquisas 
de minérios e infraestrutura de transportes (SANDRONI, 1999).
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Estrutura da Planilha
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ESTRUTURA DA PLANILHA
Um dos pontos importantes na criação dos modelos é a estrutura da planilha. 
Há uma infinidade de maneiras de se estruturar as informações e cada uma prio-
riza mais ou menos alguma característica: ela pode ser mais didática, mais fácil 
de construir, ter menos chance de conter erros e assim por diante. As Figuras 6 
e 7 mostram uma possível estruturação do problema da dieta.
SOLUÇÃO DO MODELO E SAÍDAS
Figura 6: Tela do Excel destacando a função objetivo, as restrições e as condições de não negatividade
Figura 7: Estrutura da Planilha
SOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE PROGRAMAÇÃO LINEAR
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
IV
ENTRADA DOS DADOS 
CÉLULA B17
Figura 8:Entrada de Dados no Excel – Função Objetivo
CÉLULA I27
Figura 9: Entrada de Dados no Excel – Restrição do Valor Energético
Figura 10: Entrada de Dados no Excel – Restrição da Vitamina A
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Estrutura da Planilha
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Figura 11: Entrada de Dados no Excel – Restrição da Vitamina C
Figura 12: Entrada de Dados no Excel – Restrição do Ferro
Figura 13: Entrada de Dados no Excel – Restrição do Cálcio
SOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE PROGRAMAÇÃO LINEAR
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
IV
Figura 14: Entrada de Dados no Excel – Restrições de Não Negatividade
MODELAGEM NO SOLVER
Para o modelo ser finalizado, resta-nos apenas introduzir as características do 
problema de otimização. Isso é feito no Solver, como segue.
ATIVANDO O SOLVER NO EXCEL
O Solver é um suplemento do Microsoft Office Excel que fica disponível a par-
tir do momento em que é instalado o Microsoft Office ou o Excel. No entanto, 
para utilizar no Excel, primeiro, tem de ser carregado.
1. Clique no Botão do Microsoft Office e, em seguida, clique em Opções 
do Excel.
2. Clique em Suplementos e, na sequência, na caixa Gerir, selecione Suple-
mentos do Excel.
3. Clique em Ir.
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Modelagem no Solver
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Figura