Integrais Multiplas

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Integrais de Funções de Várias 
Variáveis
 
Integrais Duplas Sobre Retângulos
 
Aproximação por retângulos da área sob a curva.
Função de uma Variável. 
 
Gráfico de f(x,y) 
f x , y  D :{(x , y)∈ℝ2/a≤x≤b , c≤ y≤d}
O volume abaixo de 
 pode ser 
aproximado por 
paralelepípedos.
f x , y 
Integrais Duplas Sobre Retângulos
D
 
Δ xkΔ yk
Integrais Duplas Sobre Retângulos
O volume de cada paralelepípedo é dado por 
f (x ij
* , y ij
*
)Δ x ijΔ y ij = f (x ij
* , y ij
*
)Δ A
 
Integrais Duplas Sobre Retângulos
O volume de cada paralelepípedo é dado por 
f (x ij
* , y ij
*
)Δ x ijΔ y ij = f (x ij
* , y ij
*
)Δ A
 
Integrais Duplas Sobre Retângulos
O volume é aproximado por
 
Integrais Duplas Sobre Retângulos
O valor exato do volume será então dado por
 
Integrais Duplas Sobre Retângulos
O valor exato do volume será então dado por
Integral dupla
Criou-se uma nova notação para representar isto.
 
Exemplo 1
Estime o volume do sólido que está acima do 
quadrado e abaixo do paraboloide 
elíptico . Divida R em quatro 
quadrados iguais e escolha o ponto de 
amostragem como o canto superior direito de 
cada quadrado . 
Integrais Duplas Sobre Retângulos
R=[0,2 ]x [0,2]
z=16−x2−2 y2
Rij
 
Exemplo 1
Estime o volume do sólido que está acima do quadrado 
 e abaixo do paraboloide elíptico . 
Divida R em quatro quadrados iguais e escolha o ponto de 
amostragem como o canto superior direito de cada quadrado 
 . 
Integrais Duplas Sobre Retângulos
R=[0,2 ]x [0,2] z=16−x2−2 y2
Rij
 
Exemplo 1 
Estime o volume do sólido que está acima do quadrado 
 e abaixo do paraboloide elíptico . 
Divida R em quatro quadrados iguais e escolha o ponto de 
amostragem como o canto superior direito de cada quadrado 
 . 
Integrais Duplas Sobre Retângulos
R=[0,2 ]x [0,2] z=16−x2−2 y2
Rij
 
Exemplo 1
Estime o volume do sólido que está acima do quadrado 
 e abaixo do paraboloide elíptico . 
Divida R em quatro quadrados iguais e escolha o ponto de 
amostragem como o canto superior direito de cada quadrado 
 . 
Integrais Duplas Sobre Retângulos
R=[0,2 ]x [0,2] z=16−x2−2 y2
Rij
 
Ainda sobre o exemplo:
Outros particionamentos de R.
Integrais Duplas Sobre Retângulos
Veremos 
que o valor 
exato é 48.
 
Integrais Iteradas
 
Lembrando
Produto Cartesiano.
https://pt.wikipedia.org/wiki/Produto_cartesiano
 
Exemplo 01: Calcule as seguintes integrais sobre 
as seguintes regiões indicadas.
∫∫R 6 xy ²dA , R=[2,4 ]×[1,2 ]a)
∫∫R (2 x−4 y ³)dA , R=[−5,4 ]×[0,3 ]b)
Integrais Iteradas
 
Até agora vimos como calcular integrais duplas 
sobre regiões retangulares. Considere a seguir as 
seguintes regiões de integração.
1° Caso 2° Caso
Integrais Duplas sobre Regiões Gerais
ou Tipo I ou Tipo II
 
É conseqüência do Teorema de Fubini que no 1° 
caso, a integral dupla de uma função é dada por:
enquanto que no segundo caso:
 
∫∫R f (x , y)dA=∫a
b
[∫g1(x)
g2(x)
f (x , y)dy ]dx ,
∫∫R f (x , y)dA=∫c
d
[∫h1( y )
h2( y )
f (x , y)dx ]dy .
Integrais Duplas sobre Regiões Gerais
 
 
Integrais Duplas sobre Regiões Gerais
Exercícios
1. Desenhe um exemplo de região que seja do tipo I, 
mas não seja do tipo II.
2. Desenhe um exemplo de região que seja do tipo II, 
mas não seja do tipo I.
3. Desenhe um exemplo de região que seja tanto tipo I 
quanto tipo II.
4. Desenhe um exemplo de região que não seja do tipo I 
nem do tipo II.
 
 
Integrais Duplas sobre Regiões Gerais
Exercícios
5. Esboce a região de integração. Classifique a 
região e calcule a integral iterada.
a) ∫0
1
∫x2
x
(1+2 y)dy dx
 
Os eixos x e y possuem escalas distintas.
R
2 4
2
16
y=x²
y=x
Exercícios
6. Classifique a região R em tipo I ou tipo II. Em 
seguida escreva a integral iterada de f(x,y) na 
região R.
a)
f (x , y)=x2 cos3(x y+2)
 
De acordo com o teorema de Fubini:
Exercícios
6. Classifique a região R em tipo I ou tipo II. Em 
seguida escreva a integral iterada de f(x,y) na 
região R.
Solução: Região do tipo I
∬R x
2cos3(x y+2)dA
∫2
4
∫x
x2
x2 cos3(x y+2)dy dx
 
Os eixos x e y possuem escalas distintas.
P
2 8
4
8
y=2x
y=x
Exercícios
7. Classifique a região P em tipo I ou tipo II. Em 
seguida escreva a integral iterada de f(x,y) na 
região P.
a)
f (x , y)=xy
x
y
y=2x
y=x
 
Solução: Região do tipo II
 
A região também poderia ser fragmentada em duas 
regiões do tipo I
 
Exercícios
8. Calcule a seguinte integral sobre a região dada.
 
∫∫R e
x
y dA ,R={(x , y) ∈ ℝ ² /1≤ y≤2, y≤x≤ y ³ } .
 
Solução
 
∫∫R e
x
y dA=∫1
2
∫y
y ³
e
x
y dxdy=∫1
2 [ ye
x
y ]
y
y ³
dy=
=∫1
2
ye y ²− ye dy=
1
2
[e y ²− y ² e ]1
2
=
1
2
e ⁴−2e .
Exercícios
 
9. Calcule a seguinte integral sobre a região dada.
 
 onde é a região limitada
 pelas curvas e .
 
∫∫R 4 xy− y ³dA , R
y=√ x y=x ³
Exercícios
 
9. Calcule a seguinte integral sobre a região dada.
 
 onde é a região limitada
 pelas curvas e .
 
∫∫R 4 xy− y ³dA , R
y=x y=x³
Exercícios
 
Exercícios
10. Expresse D e R como a união de regiões do 
tipo I ou do tipo II.
a) ∫∫D x
2dA b) ∫∫R y dA
R
 
Encontrando Limites de Integração
Enxergando como região TIPO I
1. Faça um esboço!
2. Encontre os pontos que delimitam a “sombra” da 
região no eixo x.
3. Ande paralelo ao eixo y (na direção crescente de y) 
e encontre as curvas que delimitam a região.
 
Resumindo
y=1−x2
y=1−x
y
x10
1
“Sombra” no eixo x.
10
1
x
y
10
1
x
Caminhando paralelo ao eixo y.
 
Limites da sombra 
no no eixo x.
A=∫x=0
x=1
∫y=1−x
y=√1−x2
f (x , y )dx dy
Curva de Entrada na Região
Primeira curva encontrada na 
caminhada paralela ao eixo y.
Curva de Saída da Região
Segunda curva encontrada na 
caminhada paralela ao eixo y. 
 
Área de regiões no plano
Integrais Duplas sobre Regiões Gerais
A=∫∫R dA
 
1. Calcule a área da figura abaixo. 
 
Exercícios
 
1. Calcule a área da figura abaixo.
Solução 
 
x= 3 y
x= y2
A=∫0
1
∫y2
3
 y
dx dy =
5
12
Exercícios
 
A=∫∫R dA
A=∫0
1
∫y=x3
y= x
dy dx =
5
12
Exercícios
1. Calcule a área da figura abaixo.
Solução
 
2. Escreva as integrais duplas que fornecem a 
área da região esboçada.
Exercícios
1 4 x
3 
y 
a) b)
1 
1 
 
c)
y 
 x
 x
 y
2
2
-2
-2
 
2. Escreva as integrais duplas que fornecem a 
área da região esboçada.
Solução
As três regiões podem ser enxergadas como sendo dos dois tipos.
Exercícios
1 4 x
3 
y 
a) b)
1 
1 
 
c)
y 
 x
 x
 y
2
2
-2
-2
Tipo I
Tipo II
A=∫1
4
∫0
3
dy dx=9
A=∫0
3
∫1
4
dx dy=9
A=∫0
1
∫0
1−x
dy dx=
1
2
A=∫0
1
∫0
1− y
dx dy=
1
2
A=∫
−2
2
∫−√4−x2
√4−x
2
dy dx=4 π
A=∫
−2
2
∫−√4− y2
√4−y
2
dx dy=4π
 
3. Calcule a área da região delimitada pelas 
parábolas (utilize integrais duplas e compare com o modo 
como você fazia utilizando integral simples):
Exercícios
y=1+x2
y=2 x2
 
3. Calcule a área da região delimitada pelas 
parábolas (utilize integrais duplas e compare com o modo 
como você fazia utilizando integral simples):
Solução
Exercícios
=
4
3
=
y=1+x2
y=2 x2
Durante o cálculo da integral iterada 
aparece a maneira de calcular a área 
aprendida no cálculo II. Integral da 
função superior menos função inferior.
 
 
Exercícios
4. Calcule a integral da função sobre
a região no primeiro quadrante limitada pelas 
retas 
f (x , y )=
x
y
y=x , y=2 x , x=1 e x=2.Exercícios
5. Calcule a integral da função sobre o
 quadrado 
f (x , y )=
1
xy
1≤x≤2, 1≤ y≤2.
 
Exercício: Resolva as integrais
 
Integrais Duplas sobre Regiões Gerais
6. Calcule a integral da função sobre a
região triangular com vértices (0,0), (1,0) e (0,1).
f (x , y )=x2+ y2
 
 
Exercícios
7. Calcule a integral da função sobre o
retângulo , 
f (x , y )=y cos (xy )
0≤x≤π 0≤ y≤1.
 
 
Exercícios
8. Calcule a integral da função sobre a
região triangular cortada do primeiro quadrante do plano 
uv pela reta u + v =1 .
f (u , v )=v−√u
 
Cálculo do volume de um sólido
R é a base do sólido.
f(x,y) fornece a superfície superior do sólido.
Integrais Duplas sobre Regiões Gerais
V=∫∫R f (x , y)dA
 
Cálculo de Integrais Duplas
Vamos calcular o volume sob o plano na região 
especificada.
 
 
f x , y =4−x− y
R : 0≤x≤2 , 0≤ y≤1
Integrais Duplas sobre Regiões Gerais
 
Cálculo de Integrais Duplas
 
 
V=∫0
2
∫0
1
(4−x− y)dy dx=5 u . v .
f (x , y)=4−x− y
R : 0≤x≤2 , 0≤ y≤1
Integrais Duplas sobre Regiões Gerais
 
Para discussão.
Qual a expressão para o volume do sólido 
abaixo?
Integrais Duplas sobre Regiões Gerais
f(x,z)
 
Para discussão.
Qual a expressão para o volume do sólido 
abaixo?
Solução: como f(x,z) é negativo precisamos fazer modificações na expressão para o 
volume.
Integrais Duplas sobre Regiões Gerais
V=∫∫R (g(x , z)−f (x , z))dA=∫∫R (0−f (x , z))dA
Neste exercícios não foi 
apresentada a expressão 
analítica de f(x,z).
g(x,z)=0 pois trata-se do plano y=0.
V=−∫∫R f (x , z )dA
Superfície que delimita o 
sólido superiormente
Superfície que delimita o 
sólido inferiormente
 
Exercício 1:
Encontre o volume da região limitada pelo parabolóide 
 e inferiormente pelo triângulo delimitado pelas 
retas e no plano xy.
 
z=x2+ y2
y=x , x=0 x+ y=2
Integrais Duplas sobre Regiões Gerais
Tentem imaginar a situação.
Seria preciso visualizar todo o 
sólido para calcular o volume?
 
Exercício 1:
Encontre o volume da região limitada pelo parabolóide 
 e inferiormente pelo triângulo delimitado pelas 
retas e no plano xy.
 
z=x2+ y2
y=x , x=0 x+ y=2
Fig 1: O parabolóide.
Integrais Duplas sobre Regiões Gerais
 
Exercício 1:
Encontre o volume da região limitada pelo parabolóide 
 e inferiormente pelo triângulo delimitado pelas 
retas e no plano xy.
 
z=x2+ y2
y=x , x=0 x+ y=2
 Fig 2: A região procurada observada de diferentes posições e a base do 
sólido (figura mais à direta).
Integrais Duplas sobre Regiões Gerais
Somente com a base 
do sólido esboçada já 
é possível calcular.
 
Exercício 1:
Encontre o volume da região limitada pelo paraboloide 
 e inferiormente pelo triângulo delimitado pelas 
retas e no plano xy.
 
z=x2+ y2
y=x , x=0 x+ y=2
 Fig 3: Região de onde se calcula o volume
Integrais Duplas sobre Regiões Gerais
 
Exercício 2:
Encontre o volume do sólido que é limitado 
superiormente pelo cilindro e inferiormente pela 
região delimitada pela parábola e pela reta 
 no plano xy.
 
z=x2
y=x
y=2−x2
Integrais Duplas sobre Regiões Gerais
 
Exercício 2:
Encontre o volume do sólido que é limitado 
superiormente pelo cilindro e inferiormente pela 
região delimitada pela parábola e pela reta 
 no plano xy.
 
z=x2
y=x
y=2−x2
 Fig 1: Domínio de integração. 
Base do sólido.
 Fig 2: O cilindro. Sim, isto é um cilindro 
(verique definição em livros).
Integrais Duplas sobre Regiões Gerais
 
Exercício 2:
Encontre o volume do sólido que é limitado 
superiormente pelo cilindro e inferiormente pela 
região delimitada pela parábola e pela reta 
 no plano xy.
 
z=x2
y=x
y=2−x2
 Fig 3: Região de onde se calcula o volume observada de diferentes pontos.
Integrais Duplas sobre Regiões Gerais
 
Exercícios
 1. Encontre o volume do sólido cuja base é a região no 
plano xy limitada pela parábola e pela reta 
 enquanto o topo do sólido é limitado pelo plano
 
2. Encontre o volume do sólido no primeiro octante 
limitado pelos planos coordenados, pelo cilindro 
e pelo plano
y=4− x2
y=3 x
z=x+4.
x2+ y2=4
z+ y=3
Integrais Duplas sobre Regiões Gerais
TENTEM!
 
Definição
Primeiro definimos uma origem O (pólo). Em seguida 
definimos uma semi-reta orientada (eixo polar).
Coordenadas PolaresIntegrais Duplas em Coordenadas Polares
Relem
brand
o!
Integrais Duplas em Coordenadas Polares
 
Representação de Pontos
Coordenadas Polares
P r ,
Distância orientada de O a P.
Ângulo orientado do
 eixo polar até OP
Integrais Duplas em Coordenadas Polares
Relem
brand
o!
 
Relacionando Coordenadas
Polares e Cartesianas
x=r cos 
y=r sen 
r2=x2 y2
tg =
y
x
Coordenadas PolaresIntegrais Duplas em Coordenadas Polares
Relem
brand
o!
 
Como calculamos a área do retângulo abaixo 
utilizando integral dupla?
x= -2 x=3
y=-3
y=4
A=∫∫R dA
Integrais Duplas em Coordenadas Polares
 
Como calculamos a área do retângulo abaixo 
utilizando integral dupla?
x= -2 x=3
y=-3
y=4
A=∫
−3
4
∫
−2
3
dx dy
A=∫
−2
3
∫
−3
4
dy dx
ou
Integrais Duplas em Coordenadas Polares
 
Como calculamos a área do círculo abaixo 
utilizando integral dupla?
x = -R x=R
y=-R
y=R
A=∫∫R dA
Integrais Duplas em Coordenadas Polares
 
Como calculamos a área do círculo abaixo 
utilizando integral dupla?
x = -R x=R
y=-R
y=R
y=R2−x2
y=−R2−x2
A=∫
−R
R
∫y=−R2−x2
y=R2−x2
dy dx
Integrais Duplas em Coordenadas Polares
 
Há outro jeito?
Sim: O elemento infinitesimal de área em 
coordenadas cartesianas é:
E em coordenadas polares?
dA=dxdy
Integrais Duplas em Coordenadas Polares
 
Elemento Infinitesimal de Área
dr
rd θ
dA=rdrd 
Integrais Duplas em Coordenadas Polares
 
Integrais Duplas em Coordenadas Polares
Retângulo Polar Divisão de R em subretângulos polares.
De onde surgiu aquela expressão?
 
Integrais Duplas em Coordenadas Polares
 
Integrais Duplas em Coordenadas Polares
 
Exemplo:
1- Calcule a área do círculo abaixo:
x = -R x=R
y=-R
y=R
A=∫∫R dA
Integrais Duplas em Coordenadas Polares
 
Exemplo:
2. Calcule a seguinte área:
Integrais Duplas em Coordenadas Polares
 2 4 x 
 
 -4 -2
 
 y
 4 
 2
Observação: Trata-se da área 
entre dois semicírculos. A 
resolução é trivial utilizando 
conhecimentos do ensino 
fundamental. Resolvemos ela 
aqui para criar familiaridade 
com as novas ferramentas que 
estamos estudando!
 
Exemplo:
2. Calcule a seguinte área:
Integrais Duplas em Coordenadas Polares
A=∫∫R dA=∫0
π
∫2
4
r dr d θ
 2 4 x 
 
 -4 -2
 
 y
 4 
 2 =∫0
π r2
2 ]2
4
d θ=∫0
π
( 4
2
2 −
22
2 )d θ
=6π u.a.
 
Exemplo:
3. Calcule a área da região R:
Integrais Duplas em Coordenadas Polares
R
A curva vermelha é expressa pela função: r (θ)=√θ , 0≤θ≤π
2
RR
 
Exemplo:
4. Encontre a área dentro da lemniscata:
r=4 cos 2

4
Integrais Duplas em Coordenadas Polares
 
Exemplo (solução)

r
A=4∫0
π
4∫0
√4cos(2θ)
r dr dθ
Para entender o porquê de 
haver regiões sem pétalas! 
Para alguns θ não existem 
r associados!
Para entender o porquê de 
haver regiões sem pétalas! 
Para alguns θ não existem 
r associados!
Integrais Duplas em Coordenadas Polares
 
Exemplo (solução)
A=4∫0
π
4∫0
√4 cos(2θ)
r dr dθ = 4
A=2∫−π
4
π
4 ∫0
√4 cos (2θ)
r dr d θ = 4
A=∫−π
4
π
4 ∫−√4 cos(2θ)
√4 cos (2θ)
r dr d θ = 0
Por que esta descrição não 
funciona?Por que esta descrição não 
funciona?
Integrais Duplas em Coordenadas Polares
 
Exemplo:
5. Calcule a seguinte integral: 
∫∫R e
x2 y2dy dx
ATENÇÃO! Não estamos 
calculando a área da região R. 
Estamos calculando a integral de 
f(x,y) na região R.
R
Integrais Duplas em Coordenadas Polares
 
Exercícios:
1.Calcule a área dentro de uma pétala da 
rosácea 

6
r=12cos 3
Integrais Duplas em Coordenadas Polares
 
Exercícios:
1.Calcule a área dentro de uma pétala da 
rosácea 

6
r=12cos 3
Integrais Duplas em Coordenadas Polares
 
Exercícios (Entendendo)
 
r=12cos 3

r
Para todo θ existe um r.
Integrais Duplas em Coordenadas Polares
 
Exercícios:
2. Mude o sistema de coordenadas para 
polares e calcule: 
a)
b)
∫
−1
1
∫−1−x2
1−x2
dy dx
∫0
6
∫0
y
x dx dy
Qual o procedimento para 
mudança?
Integrais Duplas em Coordenadas Polares
 
Utilizando o Maple para comparar!
Resultados 
Iguais!
Integrais Duplas em Coordenadas Polares
A mudança no sistema de coordenada, 
neste caso, foi feita para ilustrar o processo. 
Resolver a primeira integral é bem mais fácil.
 
Utilizando o WolframAlpha para comparar!
Integrais Duplas em Coordenadas Polares
Na sintaxe, o integrando de 
uma integral é a outra 
integral.
 
Aplicações de integrais duplas
Qual a Massa da Placa?
A2 = 10 cm
2A1 = 5 cm
2
1=10 g /cm
2 2=7 g /cm
2
Densidade Superficial de Massa.Densidade Superficial de Massa.
M=1 A12 A2
=
M
A
Densidade Superficial de massa
(Massa)
(Área)
 
Qual a Massa da Placa?
A12 = 5 cm
2A11 = 2.5 cm
2
11=10 g /cm
2
12=7 g/cm
2
A21 = 2.5 cm
2
21=6 g /cm
2
A22 = 5 cm
2
22=2 g /cm
2
Densidade Superficial de Massa.Densidade Superficial de Massa.
M=11 A1112 A1221 A2122 A22
Aplicações de integrais duplas
 
Qual a Massa da Placa?
M=∑i=1
4
∑ j=1
8
ij A
Cada cor representa uma densidade diferente.
Aplicações de integrais duplas
 
Aplicações de integrais duplas
Massa
A massa de uma placa com certa densidade 
superficial de massa é
Cada ponto tem uma densidade superficial própria!Cada ponto tem uma densidade superficial própria!
M=∫∫R x , y dA M=∫∫R r ,dA
 
Aplicações de integrais duplas
Massa
A massa de um objeto bidimensional, cuja 
densidade superficial é conhecida, é dada por:
M=∫∫R  x , y dA
 
Aplicações de integrais duplas
Exemplo 
1. Uma placa fina cobre a região triangular 
limitada pelo eixo x e pelas retas x = 1 e y = 2x 
no primeiro quadrante. A densidade da placa 
no ponto (x,y) é δ(x,y) = (6x + 6y + 6 ) g/cm2. 
Encontre a massa da placa.
 
Aplicações de integrais duplas
Exemplo (solução)
M=∫0
1
∫0
2x
6x6y6dydx
M=14
A unidade da massa depende da 
unidade da densidade.
 
Aplicações de integrais duplas
Este sistema está em equilíbrio?
A massa de cada bloco vermelho é 0.1 kg
-1 m 1 m x
0
 
Aplicações de integrais duplas
Este sistema está em equilíbrio?
A massa de cada bloco vermelho é 0.1 kg
-0.5 m x1 m
0
 
Aplicações de integrais duplas
O sistema está em equilíbrio se a equação 
abaixo é verdadeira:
Lei da Alavanca (Arquimedes)
m1d1=m2d2
 
Aplicações de integrais duplas
Uma outra forma de analisar a situação
O sistema estará em equilíbrio se seu primeiro 
momento em relação ao eixo y for nulo.
-0.5 m x1 m
0
y
M y=∑i=1
N
mi x i
Esta forma de analisar a situação 
decorre da Lei da Alavanca
Esta forma de analisar a situação 
decorre da Lei da Alavanca
 
Aplicações de integrais duplas
● Equilíbrio de um objeto bidimensional:
x
y
Se o momento em relação ao eixo x e o momento em relação ao eixo y forem nulos, 
o objeto estará em equilíbrio. 
(Os eixos x e y tem como origem o ponto de apoio!)
 
Aplicações de integrais duplas
Primeiros Momentos para corpos rígidos 
(placas finas)
M y=∫∫R xx , y dA
M x=∫∫R y x , y dA
x , y dA
Atente para o fato de que a expressão abaixo é um elemento infinitesimal de massa.
 
Aplicações de integrais duplas
Centro de Massa 
xcm=
∫∫R x x , y dA
M
ycm=
∫∫R y x , y dA
M
No denominador temos 
o primeiro momento do 
corpo em relação ao 
eixo y.
No denominador temos 
o primeiro momento do 
corpo em relação ao 
eixo y.
No denominador temos 
o primeiro momento do 
corpo em relação ao 
eixo x.
No denominador temos 
o primeiro momento do 
corpo em relação ao 
eixo x.
M é a massa.M é a massa.
Calcular o centro de massa é 
calcular o “ponto de equilíbrio” 
do sistema.
Calcular o centro de massa é 
calcular o “ponto de equilíbrio” 
do sistema.
 
Aplicações de integrais duplas
Exemplo 
1. Uma placa fina cobre a região triangular 
limitada pelo eixo x e pelas retas x = 1 e y = 2x 
no primeiro quadrante. A densidade da placa 
no ponto (x,y) é δ(x,y) = 6x + 6y + 6. Encontre 
o centro de massa da placa (lembre-se: a 
massa desse objeto é igual a 14)
 
Aplicações de integrais duplas
Exemplo (solução)
xcm=
1
14
∫0
1
∫0
2x
x 6x6y6dydx=
5
7
M=14
Centro de Massa
ycm=
1
14
∫0
1
∫0
2x
y 6x6y6dydx=
11
14
(0.71, 0.79)
 
Área de Superfície
Calcula-se a área de uma superfície dada por 
f=f(x,y) a partir da soma da área do infinitos 
paralelogramos que formam a superfície.
A (S)= lim
m ,n→∞
∑
i=1
m
∑
j=1
n
ΔT ij
 
Área de Superfície
A área do paralelogramo pode ser calculada 
da seguinte forma:
A (S)= lim
m ,n→∞
∑
i=1
m
∑
j=1
n
ΔT ij
ΔT ij
ΔT ij=|⃗a x b⃗|
Estamos calculando a área 
a superfície S.
 
Área de Superfície
ΔT ij=|⃗a x b⃗|
a⃗=⟨Δ x , 0 , f x(xi , y j)Δ x ⟩
b⃗=⟨ 0 , Δ y , f y(xi , y j)Δ y ⟩
ΔT ij=|⃗a x b⃗|=√ f x(xi , y j)
2
+f y(xi , y j)
2
+1 Δ A
A área do paralelogramo pode ser calculada 
da seguinte forma:
ΔT ij
z−z0=α(x−x0)
Δ z=αΔ x
 
Área de Superfície
ΔT ij=|⃗a x b⃗|=√ f x(xi , y j)
2
+f y(xi , y j)
2
+1 Δ A
A (S)= lim
m ,n→∞
∑
i=1
m
∑
j=1
n
ΔT ij
A (S)= lim
m,n→∞
∑
i=1
m
∑
j=1
n
√ f x(xi , y j)
2
+ f y (xi , y j)
2
+1 Δ A
A (S)=∬
D
√ f x(x , y )
2
+ f y(x , y)
2
+1dA
 
Área de Superfície
A (S)=∬
D √(
∂ z
∂ x )
2
+( ∂ z∂ y )
2
+1 dA
 
Área de Superfície
Exemplo 1:
Determine a área da superfície 
que fica acima da região triangular T no 
plano xy com vértices (0,0) , (1,0) e (1,1)
z=x2+2 y
 
Área de Superfície
Exemplo 1:
Determine a área da superfície 
que fica acima da região triangular T no 
plano xy com vértices (0,0) , (1,0) e (1,1)
z=x2+2 y
 
Área de Superfície
Exemplo 2:
Determine a área da parte do paraboloide 
 que está abaixo do plano z=9.z=x2+ y2
 
Área de Superfície
Exemplo 3
Calcule área da parte do cone que 
está dentro do cilindro .
z=√x2+ y2
x2+ y2=2 x
 
Área de Superfície
Exemplo 3 .
x
y
Visão Superior
Parte do cone + Parte do Cilindro
 
Área de Superfície
Exemplo 3 .
 
Integrais Triplas
Integrais Triplas em Coordenadas Cartesianas
V=∫∫∫D dV
O volume de um região D fechada e limitada no espaço é:
O elemento de volume em coordenadas cartesianas é
dV=dx dy dz
 
Integrais Triplas
Exercícios
a)
b)
∫0
1
∫0
1−x2
∫3
4−x2− y
x dz dy dx
∫0
1
∫0
2−x
∫0
2−x− y
dz dy dx
 
Integrais Triplas
Exemplo:
Calcule as integrais abaixo:
a)
b)
∫0
1
∫0
1
∫0
1
x2 y2z2dz dy dx
∫0
1
∫0
2−x
∫0
2−x− y
dz dy dx
 
Integrais Triplas
Calculando o volume
Elemento Infinitesimal de Volume em Coordenadas 
Cartesianas
Exemplo:
Calcule o volume do 
objeto ao lado.
dV=dx dy dz
 
Integrais Triplas
Exemplo:
V=∫∫∫R dV
V=∫∫∫R dx dy dz
V=∫0
2
∫0
1
∫0
1− y
dz dy dx
Seria possível calcular através 
de outra expressão?
 
Integrais Triplas
Exemplo:
V=∫0
2
∫0
1
∫0
1− y
dz dy dx
Seria possível calcular através 
de outra expressão?
V=∫∫R f (x , y)dA=∫0
2
∫0
1
(1− y)dy dx
V=∫0
1
∫0
2
∫0
1− y
dz dx dy
V=∫0
2
∫0
1
∫0
1−z
dy dz dx V=∫0
1
∫0
2
∫0
1−z
dy dx dz
V=∫0
1
∫0
1−z
∫0
2
dx dy dz V=∫0
1
∫0
1− y
∫0
2
dx dz dyIntegrais Triplas
Exemplos
1. A figura mostra a região de integração da 
integral 
∫0
1
∫√x
1
∫0
1− y
f (x , y , z)dz dy dx
Rescreva as outras cinco integrais iteradas 
equivalentes a esta integral.
 
Integrais Triplas
∫0
1
∫√x
1
∫0
1− y
f (x , y , z)dz dy dx
∫0
1
∫0
y2
∫0
1− y
f (x , y , z)dz dx dy
y=√ x
y=1
Base no plano xy
x
y
 
Integrais Triplas
∫0
1
∫0
1− y
∫0
y2
f (x , y , z)dx dz dy
z+ y=1
y
z∫0
1
∫0
1−z
∫0
y2
f (x , y , z)dx dy dz
Base no plano yz
 
Integrais Triplas
∫0
1
∫0
1−√ x
∫
√ x
1−z
f (x , y , z)dy dz dx
Base no plano xz
z=1−√ x
x
z∫0
1
∫0
(1−z)2
∫
√ x
1−z
f (x , y , z)dy dx dz
 
Integrais Triplas
Exemplos
2. Calcule o volume:
A região entre o cilindro z = y2 e o plano xy que é limitada pelos 
planos x = 0, x = 1, y = -1, y = 1.
 
Integrais Triplas
Exemplos
2. Calcule o volume:
A região entre o cilindro z = y2 e o plano xy que é limitada pelos 
planos x = 0, x = 1, y = -1, y = 1.
 
Integrais Triplas
Exemplos (solução)
V=∫0
1
∫
−1
1
∫0
z= y2
dz dy dx =
2
3
V=∫
−1
1
∫0
1
∫0
z= y2
dz dx dy =
2
3
V=∫
−1
1
∫0
z= y2
∫0
1
dx dz dy =
2
3
ou
ou
Existem outras?
 
Integrais Triplas
Exemplos
3. Calcule o volume:
A região no primeiro octante limitada pelos planos coordenados 
e pelos planos x + z = 1, y + 2z = 2
 
Integrais Triplas
Relembrando o conceito de octante
O ponto (x,y,z) destacado está 
no primeiro octante!
 
Integrais Triplas
Exemplos
3. Calcule o volume:
A região no primeiro octante limitada pelos planos coordenados 
e pelos planos x + z = 1, y + 2z = 2
 
Integrais Triplas
Exemplos (solução)
V=∫0
1
∫0
z=1−x
∫0
y=2−2z
dy dz dx =
2
3
Há outras maneiras?
Escreva-as e compare o resultado.
 
Integrais Triplas
Exercícios
1. Calcule o volume:
A região no primeiro octante limitada pelos planos 
coordenados, pelo plano y + z = 2 e pelo cilindro x = 4 - y2
 
Integrais Triplas
Um Cilindro
Fig 1: Esqueda: Um cilindro Reto. Direita: Um cilindro oblíquo.
 
Integrais Triplas
Cilindro Parabólico
No cilindro parabólico a 
diretriz é uma parábola.
 
Integrais Triplas
Exercícios
1. Escreva uma integral que forneça o 
volume do sólido descrito abaixo:
A região no primeiro octante limitada pelos planos 
coordenados, pelo plano y + z = 2 e pelo cilindro x = 4 - y2
 
Integrais Triplas
Exercícios
2. Escreva uma integral que forneça o volume 
do sólido descrito abaixo:
A região no primeiro octante limitada pelos planos coordenados 
e pela superfície z = 4 -x2 - y
 
Integrais Triplas
Exercícios
2. Escreva uma integral que forneça o volume 
do sólido descrito abaixo
A região no primeiro octante limitada pelos planos coordenados 
e pela superfície z = 4 -x2 - y
 
Integrais Triplas
Exercícios
3. Escreva uma integral que forneça o volume 
do sólido descrito abaixo
 
Integrais Triplas em Coordenadas 
Cilíndricas
Definição
 
Descrição de um Ponto no Espaço
Integrais Triplas em Coordenadas 
Cilíndricas
 
Relação entre Coordenadas Cartesianas e 
Cilíndricas
Integrais Triplas em Coordenadas 
Cilíndricas
 
Coordenadas CilíndricasIntegrais Triplas em Coordenadas 
Cilíndricas
 
Coordenadas CilíndricasIntegrais Triplas em Coordenadas 
Cilíndricas
r=4
r=4
Em coordenadas polares.
Em coordenadas cilíndricas.
x2+ y2=4 Em coordenadas cartesianas 3D.
x2+ y2=4 Em coordenadas cartesianas 2D.
 
Coordenadas CilíndricasIntegrais Triplas em Coordenadas 
Cilíndricas
r=4
r=4
Em coordenadas polares.
Em coordenadas cilíndricas.
x2+ y2=4 Em coordenadas cartesianas 3D.
x2+ y2=4 Em coordenadas cartesianas 2D.
Círculo de raio 2 
centrado na origem.
Cilindro circular reto de raio 
2 cujo eixo central coincide 
com o eixo z.
Cilindro circular reto de raio 
4 cujo eixo central coincide 
com o eixo z.
Círculo de raio 4 
centrado na origem.
 
Relação entre coordenadas cilíndricas e cartesianas
x=r cos 
y=r sen 
z=z
r2=x2 y2
tg =
y
x
z=z
Coordenadas CilíndricasIntegrais Triplas em Coordenadas 
Cilíndricas
 
Elemento Infinitesimal de Volume
dV=dz r dr d 
Integrais Triplas em Coordenadas 
Cilíndricas
 
Exemplo:
1. Calcule o volume de um cilindro com raio da 
base R e altura h.
Onde você posicionaria o cilindro 
para efetuar este cálculo?
Integrais Triplas em Coordenadas 
Cilíndricas
 
Exemplo: (solução)
Vamos posicionar o cilindro de tal forma que 
ele seja facilmente descrito no sistema de 
coordenadas cilíndricas.
V=∫∫∫R dV
V=∫∫∫R r dr ddz
V=∫0
h
∫0
2
∫0
R
r dr d dz
Em coordenadas cartesianas
V=∫
−R
R
∫−R2− y2
R2− y2
∫0
h
dz dx dy
Integrais Triplas em Coordenadas 
Cilíndricas
 
Exemplo:
1. Monte a integral iterada para cálculo do 
volume do sólido abaixo:
D é o cilindro circular cuja base é a 
circunferência e cujo topo está 
no plano .
r=2sin(θ)
z=4− y
Tente imaginar a região!
Integrais Triplas em Coordenadas 
Cilíndricas
 
Exemplo:
1. Monte a integral iterada para cálculo do 
volume do sólido abaixo:
D é o cilindro circular cuja base é a 
circunferência e cujo topo está 
no plano .
r=2sin(θ)
z=4− y
Integrais Triplas em Coordenadas 
Cilíndricas
 
Exemplo: Solução
V=∫0

∫0
2 sen
∫0
4−r sen
dz r dr d
Integrais Triplas em Coordenadas 
Cilíndricas
 
Exemplo:
2. Monte a integral iterada:
D é o cilindro reto sólido cuja base é a região no 
plano que está dentro da cardioide 
 e fora da circunferência e 
cujo topo está no plano . 
r=1+cos(θ)
z=4
z=0
r=1
Tente imaginar a região!
Integrais Triplas em Coordenadas 
Cilíndricas
 
Exemplo:
2. Monte a integral iterada:
D é o cilindro reto sólido cuja base é a região no 
plano que está dentro da cardioide 
 e fora da circunferência e 
cujo topo está no plano . 
r=1+cos(θ)
z=4
z=0
r=1
Integrais Triplas em Coordenadas 
Cilíndricas
 
Exemplo: Solução
V=∫−
2

2 ∫1
1cos 
∫0
4
dz r dr d 
Integrais Triplas em Coordenadas 
Cilíndricas
 
Exemplo:
3. Converta a integral abaixo em uma 
equivalente em coordenadas cilíndricas:
∫
−1
1
∫0
1− y2
∫0
x
x2 y2dz dx dy
Integrais Triplas em Coordenadas 
Cilíndricas
 
Exemplo: Solução
∫−
2

2 ∫0
1
∫0
r cos 
r3dz dr d 
Integrais Triplas em Coordenadas 
Cilíndricas
 
Exercícios
1. Calcule o volume de uma esfera de raio R 
utilizando o sistema de coordenadas cilíndricas.
 
Exercícios
2. Calcule a integral do Exemplo 1.
V=∫0

∫0
2 sen
∫0
4−r sen
dz r dr d
 
Exercícios
3. Descreva com palavras a superfície cuja 
equação é dada em coordenadas cilíndricas 
por
a) θ=π4
b) r=5
 
Integrais Triplas em Coordenadas 
Esféricas
Coordenadas Esféricas
 
Localizando um Ponto no Espaço
Integrais Triplas em Coordenadas 
Esféricas
 
Coordenadas Esféricas
Integrais Triplas em Coordenadas 
Esféricas
 
● Formas geométricas
=c
=c
Integrais Triplas em Coordenadas 
Esféricas
 
Exemplo:
1. Encontre uma equação em coordenadas 
esféricas para a esfera
x2 y2 z−12=1
Integrais Triplas em Coordenadas 
Esféricas
 
Exemplo: solução
x2 y2 z−12=1
Integrais Triplas em Coordenadas 
Esféricas
 
Exemplo:
2. Encontre uma equação em coordenadas 
esféricas para o cone 
z=x2 y2
Integrais Triplas em Coordenadas 
Esféricas
 
Exemplo: solução
Integrais Triplas em Coordenadas 
Esféricas
 
Exercícios
1. Calcule a integral em coordenadas esféricas
V=∫0
2
∫0
/4
∫0
2
cos2 send dd 
Integrais Triplas em Coordenadas 
Esféricas
 
Elemento Infinitesimal de Volume
Quais são as medidas em Azul, 
Laranja e Amarelo?
Integrais Triplas em Coordenadas 
Esféricas
 
Elemento Infinitesimal de Volume
dV=2 sen d dd 
Integrais Triplas em Coordenadas 
Esféricas
 
Exemplo:
1. Calcule o volume do “sorvete” abaixo: 
Integrais Triplas emCoordenadas 
Esféricas
 
Exemplo: Solução
V=∫∫∫R 
2 send dd 
V=∫0
2
∫0

3 ∫0
1

2 send dd 
V=

3
Integrais Triplas em Coordenadas 
Esféricas
 
Exemplo:
2. Calcule o volume da porção da esfera sólida 
 que está entre os cones e 
≤a =/3
=2/3
Integrais Triplas em Coordenadas 
Esféricas
 
Exemplo:
2. Calcule o volume da porção da esfera sólida 
 que está entre os cones e 
≤a =/3
=2/3
Integrais Triplas em Coordenadas 
Esféricas
 
Exemplo: (solução)
H=∫0
2π
∫
π/3
2π/3
∫0
a
ρ
2 sen(ϕ)dρd ϕ%dθ=
2π a3
3
Integrais Triplas em Coordenadas 
Esféricas
 
Exemplo:
3. Calcule a integral, transformando para 
coordenadas esféricas.
B=∫
−a
a
∫−a2− y2
a2− y2
∫−a2−x2− y2
a2−x2− y2
x2 z y2 zz3dz dx dy
Integrais Triplas em Coordenadas 
Esféricas
 
Exemplo: (solução)
B=∫0
2
∫0

∫0
a

5 cos sin d dd =0
Integrais Triplas em Coordenadas 
Esféricas
 
Mudança de Variáveis
∬R x
2
+ y2dA
x
y
1 2 
 2 
 1 R 
Como podemos resolver a integral abaixo?
 
Mudança de Variáveis
∬R+F x
2
+ y2 d A−∬F x
2
+ y2 d A=
Como podemos resolver a integral abaixo?
Adição e subtração de uma região!
x
y
1 2 
 2 
 1 R 
 F 
∫0
2
∫0
√4−x2
x2+ y2d y d x−∫0
1
∫0
√1−x2
x2+ y2 d y d x=
15π
8
O cálculo dessas integrais é uma tarefa trabalhosa!
 
Mudança de Variáveis
Como podemos resolver a integral abaixo?
Fragmentação da região de integração em 
duas do tipo I.
x
y
1 2 
 2 
 1
 R1 
 R2 
∬R1 x
2
+ y2 d A−∬R2 x
2
+ y2 d A=
∫0
1
∫√1−x2
√4−x2
x2+ y2d y d x−∫1
2
∫0
√4−x2
x2+ y2 d y d x=
15π
8
O cálculo dessas integrais é uma tarefa trabalhosa!
 
Mudança de Variáveis
∬R x
2
+ y2dA
x
y
1 2 
 2 
 1 R 
r1 2 
π
2
θ
 D 
x=r cos(θ)
y=r sin (θ)
Realizamos o mapeamento de uma região 
na outra.
 
Mudança de Variáveis
∬R x
2
+ y2dA
x
y
1 2 
 2 
 1 R 
r1 2 
π
2
θ
 D 
x=r cos(θ)
y=r sin (θ)
∬R x
2
+ y2 d A = ∫0
π /2
∫1
2
f ( x (r ,θ) , y (r ,θ))|∂(x , y)∂(r ,θ)|d r dθ
O Jacobiano corrige a distorção na área provocada pelo mapeamento.
 
∬R x
2
+ y2dA=∫0
π/2
∫1
2
f ( x (r ,θ) , y (r ,θ) )|∂(x , y)∂(r ,θ)|dr dθ
∂(x , y)
∂(r ,θ)
=|
∂ x
∂ r
∂ x
∂θ
∂ y
∂ r
∂ y
∂θ
|
Módulo do Jacobiano
Jacobiano
Para o nosso problema:
∂(x , y)
∂(r ,θ)
= |cos(θ) −r sin (θ)sin (θ) r cos(θ) |=r
∬R x
2
+ y2dA=∫0
π/2
∫1
2
r2r dr dθ=∫0
π/2
∫1
2
r3dr dθ
 
Mudança de Variáveis
Exercício
1. Determine a imagem do conjunto S sob a 
transformação dada:
S={(u , v ) | 0≤u≤3 , 0≤v≤2 }
x=2u+3 v , y=u−v
 
x+3 y=15
x+3 y=0
x−2 y=10
x−2 y=0
Solução
 
Mudança de Variáveis
Exercício
2. Utilize a transformação dada para calcular a 
integral
onde R é a região triangular com vértices (0,0), 
(2,1) e (1,2).
∬R (x−3 y)d A
x=2u+v , y=u+2 v
 
Mudança de Variáveis
Exercício
3. Calcule a integral:
R é a região no primeiro quadrante limitada 
pela elipse 
∬R (9 x
2
+4 y2)d A
9 x2+4 y2=1
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