Aula 10 - Análise do Comportamento Dinamico do Processo

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GR02779 - CONTROLE DE PROCESSOS
2º Semestre de 2021
Profa. Msc. Eng. Débora Mazzali
AULA 10
INTRODUÇÃO
O QUE JÁ VIMOS....
AULA 1 e 2 -> Introdução a Controle e Processos Conceitual
AULA 3 e 4 -> Modelagem Matemática de Processos Industriais
AULA 5 e 6 -> Transformada de Laplace e Funções de transferências
AULA 7 e 8 -> Álgebra de Blocos da Malha de Controle
AULA 9 e 10 -> Comportamento dinâmico de processos
Matemática
Análise do comporta-
mento do processo
COMPORTAMENTO DO PROCESSO
INTRODUÇÃO
❖ Uma vez determinado o modelo matemático, via função de transferência e
rearranjados via Diagrama de blocos, podemos então analisar e medir o
desempenho dos sistemas a partir de sua resposta a um sinal de entrada. Este
passo é importante para ser possível projetar e analisar sistemas de controle.
❖ Após conhecido o desempenho do processo, os parâmetros de controle podem
ser ajustados para se atingir um objetivo.
❖ Para isso, é necessário estabelecer uma base de referencia que permita ao
engenheiro comparar os desempenhos de diferentes opções de sistemas de
controle.
COMPORTAMENTO DO PROCESSO
INTRODUÇÃO
❖ Sinais de entrada são aplicados ao processo no intuito de alterar o
comportamento do processo, a partir do estado estacionário (ponto de partida),
observa-se as respostas correspondentes a esse sinal proposto.
❖ Isto pode ser feito escolhendo-se sinais de entrada personalizados para, então,
compara seus desempenhos obtidos em escolha.
❖ Porém, a escolha do tipo de sinal mais apropriado para cada aplicação depende
das características de cada processo.
COMPORTAMENTO DO PROCESSO
TIPOS DE ENTRADAS
Os sinais podem ser representados utilizando variáveis contínuas ou discretas e as funções de
transferência, através das transformadas de Laplace. Os sinais de referência ou sinais de entrada
mais utilizados são:
❖ Degrau: ocorre uma variação abrupta da entrada. Pode ser executada na prática. Por exemplo,
uma variação degrau em uma vazão volumétrica pode ser obtida pela abertura brusca de uma
válvula.
❖ Impulso: é uma variação abrupta da entrada, entretanto de curtíssima duração (instantânea).
Perturbação ideal.
❖ Pulso: é uma variação na entrada, de duração finita (instantânea). Pode ser executada na
prática. Utilizada em identificação de sistemas.
❖ Rampa: a entrada varia linearmente com o tempo
COMPORTAMENTO DO PROCESSO
TIPOS DE ENTRADAS
Os sinais podem ser representados utilizando variáveis contínuas ou discretas e as funções de
transferência, através das transformadas de Laplace. Os sinais de referência ou sinais de entrada
mais utilizados são:
COMPORTAMENTO DO PROCESSO
RESPOSTA AO SINAL DE ENTRADA:
❖ Resposta temporal: é a resposta de um sistema de controle e é constituída por
duas partes: resposta transitória e resposta estacionária.
• Resposta Transitória: é a resposta que vai do estado inicial ao estado final.
• Resposta Estacionária: é o comportamento do sinal de saída do sistema à medida
que t tende ao infinito.
❖ Assim, a resposta c(t) do sistema
pode ser descrita como:
y(t) = rtr(t) + res(t)
sendo: rtr(t) a resposta transitória e
res(t) a resposta estacionária.
COMPORTAMENTO DO PROCESSO
RESPOSTA AO SINAL DE ENTRADA:
❖ Estabilidade Absoluta: em projetos de sistemas de controle, a estabilidade é o
objetivo principal. Caso, o projeto não consiga obter a estabilidade absoluta, o
sistema será instável.
❖ O erro de regime estacionário pode ser observado quando a resposta em regime
apresenta uma diferença em relação ao sinal de entrada.
COMPORTAMENTO DO PROCESSO
RESPOSTA AO SINAL DE ENTRADA:
❖ Em análise de comportamento de processos são analisados as respostas de
sistemas de primeira, segunda ordem e ordem superior de acordo com as entradas
escolhidas.
Resposta de um sistema de Primeira
ordem para um a entrada do tipo 
degrau unitário.
Resposta de um sistema de Segunda
ordem para um a entrada do tipo 
degrau unitário.
COMPORTAMENTO DO PROCESSO
SISTEMA DE PRIMEIRA ORDEM
❖ Um sistema de primeira ordem é aquele cuja saída y(t) é descrita pela solução de
uma equação diferencial de primeira ordem:
𝑎1
𝑑𝑦
𝑑𝑡
+ 𝑎0𝑦 = 𝑏𝑓(𝑡)
❖ Dividindo a expressão acima por a0, tem-se:
𝑎1
𝑎0
𝑑𝑦
𝑑𝑡
+ 𝑦 =
𝑏
𝑎0
𝑓(𝑡)
❖ Aplicando Transformada de Laplace à expressão, tem-se:
𝑎1
𝑎0
𝑠 𝑌 𝑠 + 𝑌 𝑠 =
𝑏
𝑎0
𝐹(𝑠)
COMPORTAMENTO DO PROCESSO
SISTEMA DE PRIMEIRA ORDEM
❖ Rearranjando a expressão em função de Y(s):
𝑌 𝑠
𝑎1
𝑎0
𝑠 + 1 =
𝑏
𝑎0
𝐹(𝑠) ----->
𝑌(𝑠)
𝐹(𝑠)
= 𝐺𝑝 𝑠 =
𝑏
𝑎0
𝑎1
𝑎0
𝑠+1
Onde, chamaremos de:
Ganho do Processo o termo: 𝐾𝑝 =
𝑏
𝑎0
Constante de Tempo o termo: 𝜏𝑝 =
𝑎1
𝑎0
𝐺 𝑠 =
𝐾𝑝
𝜏𝑝𝑠 + 1
Equação característica para uma 
Função de transferência de 
Primeira Ordem 
COMPORTAMENTO DO PROCESSO
ANÁLISE DA RESPOSTA DO SISTEMA DE PRIMEIRA ORDEM
Para um sinal de entrada do tipo Degrau Unitário [ F(s) = 1/s ] tem-se que:
Expandindo em Frações parciais, temos:
Aplicando-se a transformada inversa de Laplace obtém-se:
𝐾𝑝
𝜏𝑝𝑠 + 1
F(s) Y(s) 𝑌(𝑠)
𝐹(𝑠)
=
𝐾𝑝
𝜏𝑝𝑠 + 1
𝑌(𝑠) =
𝐾𝑝
𝜏𝑝𝑠 + 1
⋅
1
𝑠
𝑌 𝑠 =
𝐾𝑝
𝑇𝑠 + 1
−
1
𝑠
𝑌 𝑠 =
𝐾𝑝
𝑠 +
1
𝑇
−
1
𝑠
𝑦 𝑡 = 𝐾𝑝(1 − 𝑒
−
𝑡
𝑇)
Equação característica para uma Função 
de transferência de Primeira Ordem para 
uma entrada tipo Degrau unitário
COMPORTAMENTO DO PROCESSO
CARACTERISTICAS DO SISTEMA DE PRIMEIRA ORDEM
Analisando a expressão característica resultante de uma função de transferência com
entrada do tipo Degrau unitário, podemos observar que em t = 0, y(0) = 0. Por outro
lado para t → ∞, podemos escrever:
Substituindo para t = T = 1, temos que:
y 𝑡 = 𝐾𝑝(1 − 𝑒
−
𝑡
𝑇)
y 𝑡 = 0,632 𝐾𝑝
Representação
gráfica da resposta
de um sistema de
Primeira ordem com
entrada do tipo
Degrau unitário
Equação característica para uma Função de transferência de 
Primeira Ordem para uma entrada tipo Degrau unitário
y 𝑡 = 𝐾𝑝 (1 − 0,368)
y 𝑡 = 𝐾𝑝(1 − 𝑒
−1)
Sistema está a 63,2% do 
valor final desejado
COMPORTAMENTO DO PROCESSO
RESPOSTA DO SISTEMA DE PRIMEIRA ORDEM
Tangente inicial
63% do valor final em 
t = Ʈ (cte de tempo)
Valor final em estado 
de equilíbrio é Y(s) = Kp
Significado da constante de tempo :
Tempo que o sistema leva para 
alcançar 63,2% do trajetória entre o 
estado estacionário inicial e o estado 
estacionário final.
y 𝑡 = 0,632 𝐾𝑝
COMPORTAMENTO DO PROCESSO
TERMOS QUE DESCREVEM A DINÂMICA DOS PROCESSOS DE 1ª ORDEM
• Valor final (VF) – Valor para o qual tende, assimptoticamente, a resposta para
alcançar o valor desejado. Este valor é conhecido como valor em regime
permanente ou estacionário.
• Tempo de subida (tr) – Tempo que a resposta leva para ir de 0,1y(t) a 0,9y(t) e
pode ser definida matematicamente como:
tr = 2,2τ
• Tempo de acomodação (ts) – Tempo que a resposta alcança uma faixa limite da 
resposta final. Este valor pode mudar dependendo da faixa estipulada. 
Normalmente fica entre 2% e 5%. Valor de ts para algumas faixa de resposta:
ts = 5τs (para 1%) 
ts = 4τs (para 2%) 
ts = 3τs (para 5%) 
COMPORTAMENTO DO PROCESSO
ANÁLISE DA RESPOSTA DO SISTEMA DE PRIMEIRA ORDEM
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
2
4
6
8
10
12
Tempo
V
a
ri
á
v
e
l
K = 10
K = 5
K = 2
K = 1
10=y
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
V
ar
iá
ve
l
Tempo
τ = 10
τ = 5
τ = 2
τ = 1
Variando Kp altera-se a sensibilidade do 
sistema para o mesmo sinal de entrada.
Variando τ altera-se a velocidade do sistema
( quão rápido ele chega no valor final ).
COMPORTAMENTO DO PROCESSO
ANÁLISE DA RESPOSTA DO SISTEMA DE PRIMEIRA ORDEM
Para um sinal de entrada do tipo Rampa Unitária [ F(s) = 1/s² ] tem-se que:
Expandindo em Frações parciais, temos:
𝑌(𝑠) =
𝐾𝑝
𝜏𝑝𝑠 + 1
⋅
1
𝑠²
𝑌 𝑠 =
𝐾𝑝
𝑠²
−
𝐾𝑝𝑇
𝑠
+
𝐾𝑝𝑇
𝑠 +
1
𝑇
𝑌 𝑠 = 𝐾𝑝𝑡 − 𝐾𝑝T + 𝐾𝑝T𝑒
−
𝑡
𝑇
Equação característica para uma Função 
de transferência de Primeira Ordem para 
uma entrada tipo Rampa unitária.
Representação 
gráfica da resposta 
de um sistema de 
Primeira ordem com 
entrada do tipoRampa unitária
COMPORTAMENTO DO PROCESSO
ANÁLISE DA RESPOSTA DO SISTEMA DE PRIMEIRA ORDEM
0 2 4 6 8 10 12
0
2
4
6
8
10
12
Tempo
y
 
 
rampa
 = 1
 = 1
 = 2
1
2
3
Variando τ altera-se a 
velocidade do sistema
ou seja, o quão rápido o 
sistema chega no valor final.
COMPORTAMENTO DO PROCESSO
ANÁLISE DA RESPOSTA DO SISTEMA DE PRIMEIRA ORDEM
Para um sinal de entrada do tipo Impulso Unitário [ δ(s) = g( t – t0 ) = 1 ] tem-se que:
Resolvendo a expressão ( t – τp ), temos:
𝑌 𝑠 =
𝐾𝑝
𝜏𝑝𝑠 + 1
⋅ g(𝑡 − 𝜏𝑝)
𝑦 𝑡 =
𝐾𝑝
𝑇
𝑒−
𝑡
𝑇
Equação característica para uma Função 
de transferência de Primeira Ordem para 
uma entrada tipo Impulso unitário.
Representação 
gráfica da resposta 
de um sistema de 
Primeira ordem com 
entrada do tipo 
Impulso unitário
COMPORTAMENTO DO PROCESSO
RESUMINDO.... AS RESPOSTAS PARA UM SISTEMA DE PRIMEIRA ORDEM
Com base às entradas apresentadas, tem-se que:
❖ Para entrada rampa unitária, a saída é dada por:
❖ Para entrada degrau unitário, a saída é dada por:
❖ Para a entrada impulso unitário, a saída é dada por:
Equação 
característica
Equação 
característica
Equação 
característica
COMPORTAMENTO DO PROCESSO
ANÁLISE DA RESPOSTA DO SISTEMA DE PRIMEIRA ORDEM
CONCLUSÃO 1
No processo de primeira ordem, a Constante de Tempo (τ) representa o intervalo de tempo necessário para que o
sinal de saída alcance aproximadamente 63% do valor da variável no regime estacionário. Constante de tempo
tem a ver com a velocidade do sistema, o quão rápido ele chega no valor final.
CONCLUSÃO 2
No processo de primeira ordem, o Ganho do Processo (Kp) representa quanto á saída é alterada para cada
unidade de variação da entrada. Ganho Estacionário tem a ver com a sensibilidade do sistema para o mesmo sinal
de entrada. K = (saída – entrada) / variação da entrada.
CONCLUSÃO 3
O modelo padrão da função de transferência de um processo de primeira ordem é:
Considerando: e parâmetros:
𝑌(𝑠)
𝐹(𝑠)
=
𝐾𝑝
𝜏𝑝𝑠 + 1
COMPORTAMENTO DO PROCESSO
APLICAÇÃO PRÁTICA – SISTEMAS DE PRIMEIRA ORDEM
EXEMPLO 1
A figura abaixo representa a resposta da variável de saída y(t) de uma perturbação degrau de
magnitude 2 na variável de entrada de um processo, a partir de um instante em que o processo
estava em regime permanente. Com base nestas informações defina a função de transferência do
processo.
Y(t) = 2 + 0,63 * 5 = 5,15
Essa valor é atingido quanto t=5 min, 
logo: τ = 5 min.
COMPORTAMENTO DO PROCESSO
APLICAÇÃO PRÁTICA – SISTEMAS DE PRIMEIRA ORDEM
EXEMPLO 2
Determine o ganho e a constante de tempo da seguinte função de transferência de 1ª
ordem.
18
( )
3 10
G s
s
=
+
(Resp.: K = 1,8 e τ = 0,3)=
18/10
3
10
𝑠 +
10
10
=
1,8
0,3𝑠 + 1
COMPORTAMENTO DO PROCESSO
APLICAÇÃO PRÁTICA – SISTEMAS DE PRIMEIRA ORDEM
EXEMPLO 3
Sejam as funções de transferências abaixo, determine o ganho e a Constante de Tempo de cada
uma delas.
:10
:20
Dica:
Reescrever a Função de 
Transferência na forma da 
a Função de Transferência 
PADRÃO: 𝑌(𝑠)
𝑈(𝑠)
=
1
𝑠 + 1
COMPORTAMENTO DO PROCESSO
ANÁLISE DE SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM
❖ Um sistema de segunda ordem é aquele cuja saída y(t) é descrita pela solução de
uma equação diferencial de segunda ordem:
𝑎2
𝑑²𝑦
𝑑𝑡²
+ 𝑎1
𝑑𝑦
𝑑𝑡
+ 𝑎0𝑦 = 𝑏𝑓(𝑡)
❖ Dividindo a expressão acima por a0, tem-se:
𝑎2
𝑎0
𝑑²𝑦
𝑑𝑡²
+
𝑎1
𝑎0
𝑑𝑦
𝑑𝑡
+ 𝑦 =
𝑏
𝑎0
𝑓(𝑡)
❖ Aplicando Transformada de Laplace à expressão, tem-se:
𝑎2
𝑎0
𝑠² 𝑌 𝑠 +
𝑎1
𝑎0
𝑠 𝑌 𝑠 + 𝑌 𝑠 =
𝑏
𝑎0
𝐹(𝑠)
Ganho do Processo o termo: 𝐾𝑝 =
𝑏
𝑎0
Constante de Tempo aparente o termo: 𝜏²𝑝 =
𝑎2
𝑎0
Fator de Amortecimento ζ o termo: 2ζ𝜏𝑝 =
𝑎1
2 𝑎2∗𝑎0
COMPORTAMENTO DO PROCESSO
ANÁLISE DE SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM
❖ Rearranjando a expressão em função de Y(s):
𝑌 𝑠
𝑎2
𝑎0
𝑠² +
𝑎1
𝑎0
𝑠 + 1 =
𝑏
𝑎0
𝐹(𝑠) -----> 
𝑌(𝑠)
𝐹(𝑠)
= 𝐺𝑝 𝑠 =
𝑏
𝑎0
𝑎2
𝑎0
𝑠²+
𝑎1
2 𝑎2∗𝑎0
𝑠+1
Onde chamaremos de:
𝐺 𝑠 =
𝐾𝑝
𝜏²𝑝𝑠² + 2ζ𝜏𝑠 + 1
Equação característica para uma 
Função de transferência de 
Segunda Ordem
COMPORTAMENTO DO PROCESSO
ANÁLISE DE SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM
Uma função de transferência de segunda ordem pode também surgir fisicamente de
dois processos de primeira ordem conectados em séries:
𝐺 𝑠 =
𝑌(𝑠)
𝑈(𝑠)
=
𝐾1𝐾2
𝜏1𝑠 + 1 𝜏2𝑠 + 1
=
𝐾
𝜏1𝑠 + 1 𝜏2𝑠 + 1
𝐺 𝑠 =
𝐾𝑝
𝜏²𝑝𝑠² + 2ζ𝜏𝑠 + 1
COMPORTAMENTO DO PROCESSO
TIPOS DE RESPOSTA DO SISTEMA DE SEGUNDA ORDEM
Os sistemas de segunda ordem, diferentemente dos sistemas de primeira ordem,
podem apresentar diferentes tipos de respostas de acordo com as raízes do
denominador da função de transferência. Neste caso, as raízes determinação o fator de
amortecimento do sistema.
• Se as raízes forem dois números reais iguais, a resposta será chamada de
criticamente amortecida.
• Se as raízes forem dois números imaginários, a resposta será subamortecida.
• Se as raízes forem dois números imaginários puros (parte real nula), a resposta será
não amortecida.
COMPORTAMENTO DO PROCESSO
TIPOS DE RESPOSTA DO SISTEMA DE SEGUNDA ORDEM
Para estes casos deve ser considerado as raízes reais sendo negativas, ou imaginárias com partes
reais negativas. Caso contrário, essa classificação não se aplica.
O fator de amortecimento ζ está diretamente relacionado com o tipo de resposta do sistema de
segunda ordem e é classificado de acordo com o valor de amortecimento obtido, sendo:
• Sistema não amortecido, se ζ = 0.
• Sistema sub-amortecido, se 0 < ζ <1.
• Sistema criticamente amortecido, se ζ = 1.
• Sistema superamortecido, se ζ > 1.
Este comportamento desempenhar um papel semelhante ao da constante de tempo dos sistemas
de primeira ordem. Definimos ainda a relação ωa e ωn, valores que representam a frequência das
oscilações amortecidas do sistema.
COMPORTAMENTO DO PROCESSO
ANÁLISE DA RESPOSTA DO SISTEMA DE SEGUNDA ORDEM
Para um sistema superamortecido, ou seja, sistemas onde as raízes do polinômio do
denominador de uma função de transferência são dois números reais negativos
diferentes. Por exemplo:
Neste caso as raízes do denominador são -1 e -2, que representa um sistema
superamortecido com ζ > 1. A comprovação do ζ > 1 pode ser feita expandindo a
multiplicação do denominador da expressão.
Comparando com a expressão padrão anterior, obtêm-se:
Kp = 0,5 τ = 0,5 = 0,71 e ζ = 1,06
𝐺(𝑠)
𝑈(𝑠)
=
1
(𝑠 + 1)(𝑠 + 2)
𝐺(𝑠)
𝑈(𝑠)
=
1
𝑠² + 3𝑠 + 2
𝐺 𝑠 =
𝐾𝑝
𝜏²𝑝𝑠² + 2ζ𝜏𝑠 + 1
COMPORTAMENTO DO PROCESSO
ANÁLISE DA RESPOSTA DO SISTEMA DE SEGUNDA ORDEM
Para um sinal de entrada do tipo Degrau Unitário [ F(s) = 1/s ] e função
superamortecida:
Aplicando expansão de frações parciais e calculando a transformada inversa de Laplace
à expressão, tem-se:
𝐺(𝑠) =
1
(𝜏1𝑠 + 1)(𝜏2𝑠 + 1)
∙
1
𝑠
𝐺 𝑠 = (1 −
𝜏1
𝜏1 +𝜏2
∙ 𝑒
−
𝑡
𝜏1 −
𝜏2
𝜏1 +𝜏2
∙ 𝑒
−
𝑡
𝜏2
Representação gráfica da resposta de um sistema de 
Segunda ordem com entrada do tipo Degrau unitário 
de uma função superamortecida.
ζ = 1,06
ζ = 2,125
COMPORTAMENTO DO PROCESSO
ANÁLISE DA RESPOSTA DO SISTEMA DE SEGUNDA ORDEM
Para um sistema subamortecido, ou seja, sistemas onde as raízes do polinômio do
denominador de uma função de transferência são dois números imaginários com parte
real negativa. Por exemplo:
Neste caso as raízes do denominador são -1,5 + 5i e -1,5 - 5i, que representa um
sistema subamortecido com ζ entre 0 e 1. A comprovação do 0 < ζ > 1 pode ser feita
expandindo a multiplicação do denominador da expressão. Portanto, comparando com
a expressão padrão, obtêm-se:
Kp = 0,11 τ = 0,33 e ζ = 0,5
𝐺(𝑠)
𝑈(𝑠)
=
1
𝑠² + 3𝑠 + 9
COMPORTAMENTO DO PROCESSO
ANÁLISE DA RESPOSTA DO SISTEMA DE SEGUNDA ORDEM
Para um sinal de entrada do tipo Degrau Unitário [ F(s) = 1/s ] e função subamortecida:
Aplicando expansão de frações parciais e calculando a transformada inversa de Laplace
à expressão para t  0 , tem-se:
𝐺(𝑠) =
𝑤²𝑛
(𝑠 + 𝜁𝑤𝑛 + 𝑗𝑤𝑑)(𝑠 + 𝜁𝑤𝑛 − 𝑗𝑤𝑑)
∙
1
𝑠
Representaçãográfica da resposta de um sistema de 
Segunda ordem com entrada do tipo Degrau unitário 
de uma função subamortecida.
ζ = 0,3
ζ = 0,5
𝐺 𝑠 = 1 −
𝑒−𝜁𝑤𝑛𝑡
1 − 𝜁²
𝑠𝑖𝑛 𝑤𝑑𝑡 + 𝑡𝑎𝑛
−1
1 − 𝜁²
𝜁
COMPORTAMENTO DO PROCESSO
ANÁLISE DA RESPOSTA DO SISTEMA DE SEGUNDA ORDEM
CONCLUSÃO 1
Sistemas superamortecidos apresentam duas raízes reais negativas diferentes na polinômio do
denominador e que seu fator de amortecimento ζ sempre será maior que 1. Essa característica faz
com que a resposta de um sistema de segunda ordem superamortecido seja não oscilatória.
CONCLUSÃO 2
Sistemas subamortecidos apresentam duas raízes imaginários com parte real negativa e seu fator
de amortecimento varia entre 0 < ζ > 1. Essa característica faz com que a resposta de um sistema
de segunda ordem subamortecido seja oscilatória. Quanto menor for o fator de amortecimento do
processo, mais oscilatória será a resposta.
COMPORTAMENTO DO PROCESSO
ANÁLISE DA RESPOSTA DO SISTEMA DE SEGUNDA ORDEM
Casos intermediários
Existem alguns sistemas em que não é possível classifica-los como superamortecidos ou
subamortecidos. Esses casos são aqueles em que o fator de amortecimento são ζ = 1 ou ζ = 0.
Quando o sistema tem ζ = 1 dizemos que trata-se de um processo criticamente amortecido. Ou seja,
o processo esta no limite entre o sistema subamortecido e o sistema superamortecido. Nestes
casos, qualquer alteração no sistema o torna um ou outro sistema.
Os sistemas criticamente amortecidos são sistemas em que as raízes do denominador são dois
números reais negativos iguais.
𝐺(𝑠)
𝑈(𝑠)
=
1
(𝑠 + 1)²
Representação gráfica da 
resposta de um sistema de 
Segunda ordem com entrada do 
tipo Degrau unitário de uma 
função criticamente amortecida.
COMPORTAMENTO DO PROCESSO
ANÁLISE DA RESPOSTA DO SISTEMA DE SEGUNDA ORDEM
Casos intermediários
Quando o sistema tem ζ = 0 dizemos que trata-se de um processo não amortecido. Neste caso, as
raízes imaginárias do polinômio denominador é nula. Neste caso as oscilações na resposta do
sistema não diminui.
𝐺(𝑠)
𝑈(𝑠)
=
1
𝑠² + 9
Representação gráfica da resposta de um sistema de Segunda ordem com 
entrada do tipo Degrau unitário de uma função não amortecida.
COMPORTAMENTO DO PROCESSO
DINÂMICA DO PROCESSO DE 2ª ORDEM SUBAMORTECIDO
Para sistemas subamortecidos, 
alguns termos podem ser 
descritos em relação aos 
parâmetros de ζ e ω. São eles:
• Ta: Frequência da oscilação 
amortecida 
• tr: Tempo de subida.
• tP: Tempo de pico.
• Ts: Tempo de estabilização
• VF: Valor Final
• S : Sobre-elevação/Overshoot
a
b
c
TERMOS QUE DESCREVEM A DINÂMICA DOS PROCESSOS DE 2ª ORDEM
• Valor final (VF) – Valor para o qual tende, assimptoticamente, a resposta. Este valor é, na
generalidade das situações de interesse prático, igual ao ganho estático do sistema, H(0) .
• Sobre-elevação/Overshoot (S) – Diferença entre o valor máximo e o valor final da resposta,
geralmente medida como percentagem ou fracção do valor final.
• Tempo de estabilização (ts) – Tempo em que a resposta se encontra definitivamente dentro
de determinada margem em torno do valor final. É habitual definir-se a largura dessa margem
em percentagem do valor final, e é frequente a utilização duma margem entre 2% a 5%.
ts = 4,6τs (para 1%)
ts = 4τs (para 2%)
ts = 3τs (para 5%) 
• Tempo de pico (tp) – Tempo que a resposta leva a atingir o seu valor máximo [dy/dt=0]:
COMPORTAMENTO DO PROCESSO

4
%2, =st

3
%5, =st
21 

−
=ptou
COMPORTAMENTO DO PROCESSO
TERMOS QUE DESCREVEM A DINÂMICA DOS PROCESSOS DE 2ª ORDEM
• Overshoot: OS = a/b
• Tempo de subida (tr) – Tempo que a resposta leva para ir de 10% até 90% da resposta final pela
primeira vez. Estes limites são geralmente definidos em percentagem do valor final (valor no
estado estacionário).
𝑡𝑟 = 0,25𝑇
• Taxa de decaimento: (Razão) => R

 6,016,2 +
=rt
90%
10%
tr
COMPORTAMENTO DO PROCESSO
TERMOS QUE DESCREVEM A DINÂMICA DOS PROCESSOS DE 2ª ORDEM
• Frequência (ωa ou fa) – Frequências (angular ou linear) de uma senoide.
𝜔 =
1−𝜁²
𝜏
• Período das oscilações amortecidas (P ou Ta) - período das oscilações amortecidas que a
resposta apresenta em torno do valor final. Estes parâmetros só se definem no caso de essas
oscilações existirem e serem periódicas aparte o amortecimento da amplitude.
Como, a frequência em ciclos por unidade de tempo é dada por: 𝑓 =
𝜔
2𝜋
e sendo, a oscilação o
inverso da frequência, substituindo a equação anterior na equação de oscilação tem-se o
período de oscilação:
COMPORTAMENTO DO PROCESSO
APLICAÇÃO PRÁTICA – SISTEMAS DE PRIMEIRA ORDEM
EXEMPLO 4
Determine se a função de transferência a seguir é subamortecida, criticamente
amortecida ou superamortecida.
2
5
( )
2 3 8
G s
s s
=
+ +
=> ζ = 0,375 
(subamortecido)
𝐺 𝑠 =
𝑏
𝑎2𝑠² + 𝑎1𝑠 + 𝑎0
ATIVIDADE 
PÓS-AULA
Você deverá se preparar para o
conteúdo a ser apresentado na
próxima aula participando das
atividades de Pós Aula e Pré Aula
disponibilizado na sala virtual da
disciplina.
Lembre-se que estas atividades
valem nota e auxiliam o
entendimento do conteúdo
apresentado durante a aula.
ESTEJA PREPARADO! 
E PARTICIPE DA AULA
debora.mazzali@usf.edu.br