10-MecanicaFluidosII-IntroducaoCompressivel

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Angela Nieckele – PUC-Rio
1
ESCOAMENTO COMPRESSÍVEL
Nos escoamentos incompressíveis, p e V são as duas variáveis 
principais de interesse, e por isto são necessárias duas equações de 
conservação: continuidade e quantidade de movimento linear.
Escoamento compressível implica em grandes variações da massa 
específica num campo de escoamento. Os efeitos de compressibilidade 
surgem devido a grandes variações de velocidade, que por sua vez 
originam grandes variações de pressão, levando a grandes variações da 
massa específica e da temperatura.
grandes  V  grandes  p  grandes  r e grandes  T
Uma vez que duas variáveis adicionais aparecem (r e T), duas 
equações adicionais são necessárias: equação de conservação de 
energia (1a. lei da termodinâmica) e uma equação de estado.
Angela Nieckele – PUC-Rio
2
ESCOAMENTO COMPRESSÍVEL
Incógnitas: 
Equações: 
continuidade
quantidade de movimento linear
energia
equação de estado
No presente curso vamos utilizar as seguintes aproximações:
•regime permanente 
• gás ideal
e utilizaremos a análise integral
TpV ;;; r

Angela Nieckele – PUC-Rio
3
REVISÃO DE TERMODINÂMICA
Pressão, densidade e temperatura de uma substância pura, podem ser 
relacionados através de uma equação de estado.
A maioria dos gases de interesse, a pressões e temperaturas 
moderadas, se comportam como gases ideais.
gás ideal : 
R = constante do gás
 = constante universal = 8314 Nm/(kgmol K) = 1544 lbf ft / (lbmol R)
Mm = massa molecular
ar  Rar = = 287 Nm/(kg K) = 153,3 lbf ft / (lbm R) 
m
u
M
R
m
TRpTRmp



 ;;; rr
4
Outras propriedades: 
 
 energia interna i  a energia interna pode ser expressa por i=i(v, T) 
r

1
 
logo 
dv
v
i
dT
T
i
id
T
c
v
v












  cv = calor específico a volume constante 
 
 entalpia h  h=h(p, T) h = i + p / r 
 
pd
p
h
Td
T
h
hd
T
c
p
p












  cp = calor específico a pressão constante 
 entropia 
T
Q
S

 desigualdade de Clausius 
md
Sd
sd   entropia específica 
processo reversível  
md
Q
sdT

 
processo adiabático reversível (isoentrópico)  0sd 
5
Para gás ideal  i = i(T) ; TRp r 
como 
r
p
ih   TRih  ; então h=h(T) 
 
 di = cv d T dh = cp dT 
 
TRih   dh = di + R dT  cp – cv = R 
 
razão de calor específico 
v
p
c
c
k  
1

k
Rk
c p ; 
1

k
R
cv 
 
variação de energia interna e entalpia devem ser avaliados por 
 
 
1
12 )()()(
22
1
T
Tref v
T
T v
T
T v
TdTcTdTcTdTcii
ref
 
 
1
12 )()()(
22
1
T
Tref p
T
T p
T
T p
TdTcTdTcTdTchh
ref
 
 
Para faixas razoáveis de temperatura, podemos considerar o calor específico como 
constante, 
 
)( 1212 TTcii v  ; )( 1212 TTchh p  
6
RELAÇÕES TERMODINÂMICAS 
 
vdpidsdT   vd
T
p
T
id
sd  
 
ou usando a definição vpi
p
ih 
r
 
 
pdvhdsdT   Pd
T
v
T
hd
sd  
 
gás ideal ( TRp r )  
 
v
vd
R
T
Tdc
sd v   
1
2
1
2
12 lnln
v
v
R
T
T
css v  
p
pd
R
T
Tdc
sd
p
  
1
2
1
2
12 lnln
p
p
R
T
T
css p  
7
Em processos isoentrópicos: d s = 0 
 
vdpidsdT   vdpTdcv 0 
 
pdvhdsdT   pdvTdc p 0 
 
igualando dT nas duas equações acima 
 
00 
v
vd
k
p
pd
v
vd
c
c
p
pd
c
vd
p
c
pd
vTd
v
p
vp
 
 
para k = constante e integrando 
CvpCvpCvkp kk  lnlnlnlnlnln 
C
p
k

r
 gás ideal processo isoentrópico 
8
Velocidade do som  c 
 
 velocidade de propagação de uma onda de pressão de intensidade infinitesimal 
 
 Determinação da velocidade do som: 
 
 
 
continuidade: 
 



....
0
CSCV
dAnVd
t

rr 
 
para regime permanente 
 
mAdAVdcdAc  )()()( rrr 
 
AVddAdVAcdAcAc rrrrr   r
r
d
c
Vd  (I) 
 
quantidade de movimento linear :  



.... CSCV
ext dAnVVdV
t
F

rr 
 



.... CS
x
CV
xcs dAnVVdV
t
FF
xx

rr 
9
hipóteses: (1)regime permanente, (2) força de corpo na direção x nula (3) atrito 
desprezível ( 00  sss ApoisA ) (4) troca de calor desprezível 
 
 
  
Ac
AdAVdcdVdcAccApdpAp
r
rrr )()()()()(  
 
VdAcpdA r  
c
pd
Vd
r
 (II) 
 
igualando (I) e (II) 
c
pd
d
c
r
r
r
  
rd
pd
c 2 
 
 Se p =p ( r, s) então sd
s
p
d
p
pd
s r
r
r 










 
 
Se não há atrito e troca de calor,, o processo é isoentrópico (ds = 0) 
s
p
d
pd






rr
 
s
p
c 





r
 
10
Definição: M = número de Mach 
c
V
M  
 
M 0  escoamento incompressível 
M 0  escoamento compressível 
M < 1  escoamento subsônico 
M = 1  escoamento sônico 
M > 1  escoamento supersônico 
M  5  escoamento hipersônico (mísseis, etc) 
0,9  M  1,1  escoamento transônico 
 
gás ideal  TRp r 
 processo isoentrópico  C
p
k

r
 
 TRk
p
kk
p
kC
p k
k
k
s




 
r
r
r
r
r
11 
 
TRkc  gás ideal 
11
 
 Para líquidos: definindo-se Ks = coeficiente de compressibilidade adiabática 
 
s
s
p
v
v
K 








1
  
sK
c
r
1
 
 
utiliza-se também o “bulk modulus” K 
 
s
v
p
v 







  
r

c 
 
 Para sólidos: definindo-se E = módulo de elasticidade de Young 
 
r
E
c  
 
 a velocidade do som depende do meio e das propriedades termodinâmicas 
12
•Para resolver um problema de escoamento compressível,
precisaremos resolver um sistema formado pelas
equações de conservação. Vamos agora introduzir a
definição de propriedades de referência que auxiliam na
solução dos problemas.
PROPRIEDADES DE REFERÊNCIA
•Propriedade de Estagnação Isoentrópica (ro, To, po,
etc): são as propriedades obtidas quando um fluido é
desacelerado até o repouso por um processo
isoentrópico, isto é, sem atrito e sem troca de calor.
•Propriedades Críticas (r*, T*, p*, etc): são as
propriedades reinantes quando M=1
13
 para obter estas propriedades, vamos integrar as equações de conservação de um 
escoamento isoentrópico de uma condição dada até o repouso. 
 
 continuidade: mdAAdVVdAV  )()()( rrr 
 
 quantidade de movimento linear: 
 
dVAVVdVVmApdAAdpppA sm r  ])[(cos)()(  
 
dAAs cos 
 
2
dp
ppm  
 
dVAVdA
dp
pdAAdpppA r






2
)()(  
dVAVAdp r 
 
dividindo por Ar  0
2
2

Vddp
r
 equação de Euler 
pmAS 



As 
dA 
pmAs 
14
 para obter estas propriedades, vamos integrar as equações de conservação de um 
escoamento isoentrópico de uma condição dada até o repouso. 
 
 continuidade: mdAAdVVdAV  )()()( rrr 
 
 quantidade de movimento linear: 
 
dVAVVdVVmApdAAdpppA sm r  ])[(cos)()(  
 
dAAs cos 
 
2
dp
ppm  
 
dVAVdA
dp
pdAAdpppA r






2
)()(  
dVAVAdp r 
 
dividindo por Ar  0
2
2

Vddp
r
 equação de Euler 
pmAS 



As 
dA 
pmAs 
Para processo isoentrópico C
p
k

r
  kCp /1/ r 
 
substituindo na equação de Euler 0
2
2
/1
/1 
Vd
p
dp
C
k
k 
15
Integrando de uma posição onde a pressão é p e a velocidade é V até o repouso onde apressão é po e a velocidade é nula 
 
0
2
0 2
/1
/1  
V
p
p
k
k Vd
p
dp
C
o
  0
211
2
1111
1 

 
V
k
pp
C
kk
k o
/
//
/ 
 
arruamando a equação obtida, temos, sabendo que 
 
M=V/c ; kRTc  ; p/r = R T e r//1/1 kk pC  
 
 
0
211
1 22
1111
1





 
cM
k
ppp
p
k
o
k
k
/
/
//
/
r
 
 
 
  0
2
1
1
2
1 



 

 TRkMpp
k
k
RT kko
/)(
/ 
16
Propriedades de Estagnação Isoentrópica
)/( 1
2
2
1
1






 

kk
o M
k
p
p
)/(/ 11
2
1
2
1
1






 







k
o
k
oo M
k
p
p
r
r
r
r





 








2
1
2
1
1 M
k
T
T
p
p
p
p
T
T o
kk
o
o
oo
/)(
r
r
agora podemos facilmente encontrar as outras propriedades
17
Note que as propriedades de estagnação não oferecem uma referência para a 
velocidade, usamos então as propriedades críticas (M=1). O mesmo é verdade para a 
área. 
 
)1/(
*
*
2
1
1






 

kk
o k
p
p
 = 1,893 para (k=1,4) 
 
)1/(1
*
*
2
1
1






 

k
o k
r
r
= 1,577 para (k=1,4) 
 





 

2
1
1
*
* k
T
To = 1,200 para (k=1,4) 
 
 
continuidade: mAVAV  ***rr ; *** kRTcV  
18
Escoamento Compressível ____________________________________________________________ 113 

o
oo
o TT
TT
MT
T
McM
c
V
V
A
A
/
/11 ********
* r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
 
 
 
Porém em um processo isoentrópico, ao desaceleramos um escoamento até o repouso, 
chegamos sempre aos mesmos valores das propriedade de estagnação isoentrópicas, então 
 
oo TT 
* e oo rr 
* , substituindo as relações obtidas temos 
 
)1(2
1
2
* 2/)1(
2
)1(
1
1


















k
k
k
M
k
MA
A
 
Angela Nieckele – PUC-Rio
Exemplo: Ar escoa em regime permanente através de um bocal convergente-
divergente. Na entrada a pressão absoluta é P1 =350 kPa, temperatura T 1 =60 
o C 
e a velocidade igual a V 1 =183 m/s. Na saída, o número de Mach é M 2 =1,3 e as 
condições locais de estagnação são conhecidas, P o2 = 384 kPa (abs), T o2 = 350 K.
Determine as propriedades de estagnação isentrópica na entrada e pressão 
estática e temperatura na saída. 
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ESCOAMENTO UNI-DIMENSIONAL DE GÁS 
IDEAL EM TUBULAÇÕES
escoamento isoentrópico de área 
variável
escoamento com atrito em área 
constante
escoamento com transferência de 
calor em área constante
choques normais
Vamos derivar as equações de 
conservação válidas para todos estes 
casos.
Hipóteses:
regime permanente
uma entrada e uma saída
propriedades uniformes nas seções
força gravitacional desprezível 
(tubulação na horizontal)
gás ideal
21
(1) Continuidade:  



....
0
CSCV
dAnVd
t

rr  
mAVAV  222111 rr 
 
(2) Quantidade de movimento linear:
 



.... CSCV
cs dAnVVdV
t
FF

rr 
 
 
..CS
xs dAnVVF x

r  )( 122211 VVmApApRx   
 
(3) Energia (1a. lei da Termodinâmica): gz
V
ie 
2
2
 ; 
gz
V
h
p
e 
2
2
r
 
dAnV
p
ede
t
WWWQ
SCVC
outrose
 








  r
r
r 
 
hipóteses adicionais: (i) trabalho de eixo nulo (ii) trabalho outros nulo 
(iii) volume de controle perpendicular a fluxo de massa e coincidente com paredes 
 
 


























22
2
1
1
2
2
2
V
h
V
hmQ  
22
(4) 2
a.
 lei da Termodinâmica: 
T
Q
S

 desigualdade de Clausius para 
sistemas 
para volumes de controle: dA
T
AQ
dAnVsds
t SCSCVC
 

 / 
rr 
 
a igualdade é válida se o processo for reversível 
a desigualdade é válida se o processo for irreversível 
 
para indicar a direção do processo: dA
T
AQ
ssm
SC

/
)( 12



 
para quantificar: 
1
2
1
2
12 lnln
p
p
R
T
T
css p  
 
(5) equação de estado: TRp r  
22
2
11
1
T
p
T
p
rr
 
 
(6) )( 1212 TTchh p  
 
Se o processo for isoentrópico acrescentar mais uma equação, a do processo: 
kk
pp
2
2
1
1
rr
