16422253-FenomenosdeTransporteILivro

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Metalurgia. Fenômenos de Transporte I
 Prof. Roberto Parreiras Tavares(DEMET-UFMG)
rtavares@demet.ufmg.br
 
 
i
SUMÁRIO
Página
1- INTRODUÇÃO 01
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 06
2- CONCEITOS FUNDAMENTAIS 07
2.1-Conceitos 07
2.1.1- Fluídos 07
2.1.2- Força e Tensão 08
2.1.3- Energia 11
2.1.4- Mecanismos de Transporte 12
2.2-Unidades 14
EXERCÍCIOS 27
3- VISCOSIDADE 31
3.1-Definição de viscosidade e lei de Newton da Viscosidade 31
3.1.1- Interpretação física de τyx 35
3.1.2- Dimensão da viscosidade 40
3.2-Viscosidade de gases 43
3.3-Viscosidade de líquidos 52
3.3.1- Viscosidade de metais líquidos 54
3.3.2- Viscosidade de escórias 60
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 73
EXERCÍCIOS 74
4- ESCOAMENTO LAMINAR E BALANÇO DE MOMENTO 77
4.1-Escoamento laminar e turbulento 77
4.2-Balanços de Massa e de Quantidade de Movimento 80
 4.2.1- Balanço de massa 81
4.2.2- Balanço de quantidade de movimento 81
ii
4.3- Aplicação dos Balanços de Massa e Quantidade de Movimento 85
4.3.1- Escoamento entre duas placas horizontais 85
4.3.2- Escoamento de uma película de fluido 97
4.3.3- Escoamento axial em um duto cilíndrico 116
4.3.4- Escoamento em dutos concêntricos 134
4.3.5- Escoamento laminar bifásico 139
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 145
EXERCÍCIOS 146
5- EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE ESCOAMENTO DE FLUIDOS 151
5.1-Equação da Continuidade 153
5.2-Equação do Movimento 156
5.3-Equação da Continuidade e do Movimento em Coordenadas 165
Cilíndricas e Esféricas
5.3.1- Coordenadas cilíndricas 166
5.3.2- Coordenadas esféricas 166
5.4-Soluções de Equações Diferenciais 167
5.4.1- Escoamento em uma película de fluido 168
5.4.2- Escoamento em um tubo circular 170
5.4.3- Escoamento anelar tangencial 171
5.4.4- Formato da superfície de um líquido com movimento de rotação 176
5.4.5- Escoamento laminar em torno de uma esfera 179
5.4.6- Camada limite 185
5.4.7- Escoamento não estacionário em um tubo circular 188
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 191
APÊNDICE 192
EXERCÍCIOS 201
6- ESCOAMENTO TURBULENTO E RESULTADOS EXPERIMENTAIS 204
6.1- Introdução 205
6.2- Modelos de Turbulência 209
6.2.1- Equações da continuidade e do movimento suavizadas 211
iii
6.2.1.1- Equação da continuidade suavizada 212
6.2.1.2- Equação do movimento suavizada 212
6.3- Fatores de fricção 219
6.3.1- Escoamento em dutos (interno) 221
6.3.1.1- Análise dimensional 224
6.3.1.2- Escoamento em dutos não-cilíndricos 240
6.3.2- Escoamento em torno de objetos (externo) 241
6.3.2.1- Escoamento em torno de esferas 243
6.4- Fatores de Fricção para Leitos de Partículas 248
6.4.1- Equação de Ergun 249
6.4.1.1- Regime laminar 257
6.4.1.2- Regime turbulento 258
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 261
EXERCÍCIOS 263
7- BALANÇOS GLOBAIS NO ESCOAMENTO DE FLUIDOS ISOTÉRMICOS 266
7.1-Balanço Global de Massa 267
7.2-Balanço Global de Energia 272
7.2.1- Avaliação do termo de energia cinética 274
7.2.2- Avaliação do termo de energia potencial 278
7.2.3- Teorema de Bernoulli 279
7.2.4- Avaliação das perdas por fricção 282
7.2.4.1- Perdas por fricção em dutos retos 282
7.2.4.2- Perdas por fricção em expansão e contração 288
7.2.4.3- Perdas por fricção em válvulas e conexões 292
7.3-Escoamento em panelas e Distribuidores 298
7.3.1- Vazamento de uma panela 298
7.3.2- Transferência de metal do distribuidor para o molde 309
7.4-Técnicas de medida de vazão de fluidos 316
7.4.1- Medidores de diferença de pressão 316
7.4.1.1- Medidores de orifício 317
7.4.1.2- Tubo de Pitot 324
iv
7.4.1.3- Rotâmetros 328
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 331
EXERCÍCIOS 332
1
1 - INTRODUÇÃO
No estudo da termodinâmica metalúrgica, fica bastante clara uma das limitações
dessa ciência: a impossibilidade de prever a velocidade com que os fenômenos
ocorrem. Através de alguns exemplos simples, pode-se observar esta limitação.
Inicialmente será considerado o caso visto na figura 1.1, onde estão representadas
duas barras de um metal, em contato perfeito. Uma das barras está a 1000º C e a outra
a 200º C. A termodinâmica prevê que calor vai ser transportado da barra que está em
temperatura mais alta para a barra que está em temperatura mais baixa e que, no
equilíbrio, as duas barras estarão a uma mesma temperatura. Entretanto, a
termodinâmica não prevê quanto tempo levará para se atingir o equilíbrio nem permite
determinar os perfis de temperatura nas duas barras em um dado tempo.
Figura 1.1 - Transporte de calor entre duas barras metálicas.
Um caso análogo a esse pode ser imaginado considerando duas barras de aço
a uma mesma temperatura; entretanto, com diferentes teores de carbono, conforme
mostrado na figura 1.2. Neste caso, a termodinâmica informa que vai haver um
CALOR
200 C1000 Co o
INÍCIO
TEMPO = ?
 PERFIS DE
TEMPERATURA = ?
T
EQUILÍBRIO
Teq eq
2
transporte de carbono da barra que possui maior concentração para a barra de menor
concentração. Contudo, não fornecerá o tempo necessário para se alcançar o equilíbrio,
nem os perfis de concentração em um certo instante de tempo.
Figura 1.2 – Transporte de massa entre duas barras de aço
Finalmente, considere-se a situação mostrada na figura 1.3, onde se tem uma
panela com aço líquido no seu interior. Sabe-se que ao se abrir a válvula, o aço deve
ser vazado da panela. Mas não se sabe, por exemplo, determinar o tempo de
esvaziamento dessa panela, em função da quantidade de aço nela contido.
Esses três exemplos mostram as três áreas distintas que constituem o que se
chama de Fenômenos de Transporte:
- Transporte de energia (ou calor): exemplo da figura 1.1;
- Transporte de massa: exemplo da figura 1.2;
- Transporte de quantidade de movimento: exemplo da figura 1.3.
MASSA
%C = 0,7
INÍCIO
TEMPO = ?
 PERFIS DE
CONCENTRAÇÃO = ?
% C
EQUILÍBRIO
% Ceqeq% C = 0,1
3
Figura 1. 3 - Esvaziamento de uma panela de aço
O estudo de fenômenos de transporte permitirá, então, responder as perguntas
formuladas nos três exemplos. Além de responder essas questões, a ciência
“Fenômenos de Transporte” ainda encontra inúmeras aplicações dentro da metalurgia.
Algumas delas podem ser identificadas com o auxílio da figura 1.4, onde se tem um
fluxograma geral para a produção de aço laminado em usinas integradas e semi-
integradas.
A seguir, citam-se algumas dessas aplicações:
A) Transporte de calor:
- Trocas térmicas entre gases e sólidos na sinterização e no alto-forno. Esse estudo
permite determinar a taxa de aquecimento dos sólidos, que afeta diretamente a
eficiência do processo;
- Solidificação nas etapas de lingotamento contínuo, indireto e direto. Especialmente
no lingotamento contínuo, o estudo do transporte de calor durante a solidificação é
 TEMPO DE
ESVAZIAMENTO = ?
Aço líquido
PANELA
VÁLVULA
PANELA
VÁLVULA
Aço líquido
4
de fundamental importância, pois através dele pode-se determinar o tamanho do
molde e a produtividade do equipamento;
- Trocas térmicas entre gases e o aço nos fornos de reaquecimento e fornos-poço.
B) Transporte de massa:
Todas as etapas que envolvem reações químicas estão ligadas ao transporte de
massa e à cinética química. Pode-se citar:
- Reações de redução dos óxidos de ferro no alto-forno;
- Reações de dessulfuração na estação de dessulfuração;
- Reações de fabricação do aço, especialmente descarburação;
- Reações de refino do aço, dentre as quais destaca-se a desgaseificação.
C)Transporte de quantidade de movimento:
Toda etapa que envolve movimentação de fluidos está ligada ao transporte de
quantidade de movimento. Logo, tem-se:
- Movimento dos gases ao longo dos leitos de sinterização e alto-forno. Nesse caso,
o estudo do transporte de quantidade de movimento permite dimensionar o exaustor
e o soprador a serem usados nessas instalações;
- Injeção de gases nos processos de fabricação e refino do aço, permitindo determinar
os perfis de velocidade do aço e com isso indicar os pontos mais adequados para
injeção dos agentes de refino;- Escoamento do aço nos processos de refino sob vácuo, particularmente no reator
RH. Nesse caso, o conhecimento do campo de velocidades do aço, e de como ele
é afetado pela configuração do sistema, pode ser útil na otimização da operação do
5
equipamento e até no seu projeto.
Além dessas, inúmeras outras aplicações podem ser citadas. Estas aplicações se
tornam cada vez mais comuns e importantes à medida que se desenvolvem as técnicas
numéricas para solução das equações que são obtidas.
Finalmente, é importante mencionar que a ciência Fenômenos de Transporte não
tem aplicações restritas à área de metalurgia. Seus conceitos são largamente aplicados
na indústria aeroespacial, química e mecânica. Merece destaque ainda a sua aplicação
na meteorologia.
Figura 1. 4 – Fluxograma geral de fabricação dos aços (Cho, 2005)
6
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
J.E. Cho. Some Aspects of TRIZ Applications in Steel Making Process. Third European
TRIZ Congress, 2005.
.
7
2- CONCEITOS FUNDAMENTAIS
Para se desenvolver o estudo de transporte de momento, uma conceituação
básica deve ser feita. Uma análise das unidades normalmente usadas na quantificação
das grandezas envolvidas nesse estudo também se torna importante.
2.1 Conceitos
2.1.1 - Fluidos
Como no estudo de transporte de quantidade de movimento está-se envolvido
na maioria dos casos com o movimento dos fluidos, torna-se importante, inicialmente,
definir o que é um fluido. A definição de um fluido pode ser feita através de uma
propriedade comum a todos eles: um fluido não consegue preservar a sua forma a não
ser que esteja contido dentro de um recipiente. Nesse caso, o fluido assume a forma
do recipiente.
Uma definição mais rigorosa estabelece que um fluido é uma substância que se
deforma continuamente sob a ação de uma tensão de cisalhamento, independente de
seu valor. É importante observar que existem substâncias que não são fluidos e que se
deformam sob uma tensão de cisalhamento; entretanto, essa deformação não se dá de
modo contínuo. Esse é o caso dos sólidos.
Pelas definições, observa-se que fluidos são os gases e líquidos. Ainda dentre
os fluidos pode-se fazer uma distinção: fluidos compressíveis e incompressíveis.
Fluidos incompressíveis são aqueles cuja densidade se mantém constante com
8
a variação de pressão. Nas condições normais que acontecem nos problemas de
engenharia, os líquidos são considerados fluidos incompressíveis e gases são
considerados fluidos compressíveis, desde que suas densidades tenham uma variação
significativa. Entretanto, em algumas situações particulares os gases apresentam
comportamento de fluidos incompressíveis.
2.1.2 - Força e Tensão
Uma outra definição importante é a da força. O conceito de força é derivado da
segunda lei do movimento de Newton, que pode ser colocada na seguinte forma:
onde:
Σ Fx = resultante das forças atuando no corpo na direção x;
m = massa do corpo;
ax = aceleração do corpo na direção x.
Uma outra maneira de expressar essa lei é:
onde:
vx = velocidade do corpo na direção x;
t = tempo.
Deve-se observar que as equações (2.1) e (2.2) se confundem quando a massa
é constante, pois:
(2.1) a m = F xx∑
)(2.2 
t 
)v (m
 = F xx ∂
∂
∑
(2.3) 
t d
v
 = a xx
∂
9
Lembrando da definição de quantidade de movimento:
constata-se que força nada mais é do que a taxa de variação de momento com o
tempo.
As forças que atuam em um dado sistema podem ser classificadas em duas
categorias: forças de volume e forças de superfície. Forças de volume são aquelas
causadas pela gravidade ou campos eletromagnéticos e atuam no fluido como um todo.
Estas forças são normalmente expressas em termos de força por unidade de volume.
Em contraste, forças de superfície representam a ação da vizinhança no
elemento fluido sendo considerado. Estas forças são normalmente dadas em termos
de força por unidade de área.
Um conceito importante é o de tensão. Para definir essa grandeza será
considerado o elemento de volume de fluido visto na figura 2.1.
Figura 2.1 - Forças atuando na superfície de um elemento de volume
Considerando a área hachurada, ΔA e a força exercida pela vizinhança nessa
pequena área, ΔF, pode-se decompor essa em dois componentes: ΔFn é a componente
)(2.4 m.v = movimento de Quantidade x
ΔF
ΔF
ΔFn
t
10
normal à área ΔA e ΔFt é a componente tangencial à área ΔA.
As quantidades ΔFn e ΔFt são chamadas de força normal e força de
cisalhamento, respectivamente. Lembrando que tensão é definida como força por
unidade de área, pode-se considerar dois tipos de tensão de atuando no elemento
fluido:
- Tensão normal:
- Tensão de cisalhamento:
Mais especificamente, uma tensão é identificada pela direção da força e pela
orientação da área sob a qual ela atua. A figura 2.2 mostra um elemento de volume na
forma de um cubo. Nessa mesma figura são mostradas as nove possibilidades de
tensões atuando nesse elemento.
Figura 2. 2 - Tensões atuando em um elemento de volume
Os dois subscritos obedecem à seguinte convenção:
- Primeiro subscrito: direção da normal à superfície sobre a qual a força está atuando;
)(2.5 
A)(
)F(Δ = n
0ΔA
n Δ →
τ
)(2.6 
A)(
)F(Δ = t
0ΔA
t Δ →
τ
τ
τ
τ
τ
τ
τ
τ
τ
τ
xz
xy
xx
yy
yz
yx
zz
zy
zx
x
y
z
11
- Segundo subscrito: direção da força que produz a tensão.
Observa-se facilmente que τxx , τyy e τzz são tensões normais, ao passo que τxy ,
τxz , τyx, τyz , τzx e τzy são tensões de cisalhamento.
2.1.3 - Energia
No estudo do escoamento de fluidos, duas formas de energia são particularmente
importantes: a energia potencial e a energia cinética.
Energia potencial é a energia possuída pelo fluido em virtude de sua massa, sua
posição e o efeito da gravidade. Numericamente, a energia potencial por unidade de
volume do fluido é dada pela seguinte relação:
sendo:
Ep = energia potencial por unidade de volume do fluido;
ρ = densidade do fluido (razão entre a massa e o volume);
g = aceleração da gravidade;
z = altura do fluido, em relação a um nível arbitrário no qual a energia potencial é
tomada como zero.
Já a energia cinética é a energia que o fluido possui em virtude de seu movimento.
O seu valor, por unidade de volume do fluido, pode ser determinado através da seguinte
relação:
(2.7) z g ρ = E p
)(2.8 u ρ 2
1 = E 2c
12
onde:
Ec = energia cinética por unidade de volume do fluido;
u = velocidade do fluido.
2.1.4 - Mecanismos de Transporte
Antes de se passar ao estudo das unidades envolvidas na avaliação das
grandezas que aparecem em fenômenos de transporte, uma última conceituação deve
ser feita. Ela está relacionada aos mecanismos de transporte de momento, calor e
massa.
Basicamente, existem dois mecanismos de transporte de momento, calor e massa.
Esses dois mecanismos são denominados:
- difusão;
- convecção.
Para transporte de calor existe ainda um mecanismo adicional denominado radiação.
O mecanismo de difusão depende da existência de um meio físico e ocorre devido
à presença de um gradiente de uma dada grandeza:
- velocidade no caso do transporte de quantidade de movimento;
- temperatura no caso do transporte de calor;
- concentração ou potencial químico no caso de transporte de massa, sem que ocorra
necessariamente uma movimentação macroscópica do meio.
A convecção também depende da existência de um meio e se dá como uma
conseqüência de um movimento macroscópico do fluido.
13
Para caracterizarmelhor a distinção entre esses dois mecanismos, considere-se
os exemplos mostrados nas figuras 2.3 e 2.4.
Na figura 2.3, dentro da barra de metal ocorre o transporte de calor por difusão
(também denominada condução) devido ao gradiente de temperatura entre as duas
faces. Observa-se que não existe nenhum movimento macroscópico dos átomos dentro
da barra. Na superfície direita da barra, existe um ventilador soprando ar frio sobre a
barra. Nesse caso, o calor é retirado da barra através do mecanismo de convecção:
existe um movimento macroscópico do fluido (no caso ar).
Figura 2. 3 - Transporte de calor por difusão e convecção
Na figura 2.4.a tem-se um caso de transporte de massa por difusão. Carbono é
transportado de uma superfície para a outra devido ao gradiente de concentração.
Novamente, constata-se que não existe nenhum movimento macroscópico do sistema.
Na figura 2.4.b, o transporte de massa se dá por convecção. O açúcar se dissolve na
água e é transportado às diversas partes do sistema, devido à movimentação da água
decorrente da presença do agitador.
T = 200 C
T = 1000 C
o
o
Ar ventilador
T = 20 Co
Metal
14
Figura 2. 4 – Transporte de massa por difusão e convecção
2.2. Unidades
A representação quantitativa dos fenômenos de escoamento de fluidos requer o
uso de diferentes tipos de equações. Essas equações, descrevendo os fenômenos
físicos, têm que ser dimensionalmente homogêneas. Em outras palavras, todos os
termos têm que ter a mesma dimensão expressa nas mesmas unidades.
Ao longo dos anos, vários sistemas de unidades têm sido adotados pelas
comunidades científica e de engenharia, como por exemplo: sistema inglês, sistema
cgs, sistema mks.
Em 1960, um novo e racional sistema de unidades foi recomendado para uso
internacional, sendo denominado: sistema internacional de unidades. Nesse sistema,
que será adotado ao longo do texto, a unidade de massa é o quilograma, a unidade de
comprimento é o metro e a unidade de tempo é o segundo.
%C = 0,1
%C = 1
Aço
(a) Difusão
Água
Açúcar
(b) Convecção
15
A tabela 2.1 contém uma lista de unidades e dimensões das principais
quantidades envolvidas em fenômenos de transporte, bem como a natureza dessas
quantidades (escalar, vetorial ou tensorial).
Como normalmente ainda se encontra na literatura outros sistemas de unidades
que não o SI (Sistema Internacional), é importante que se saiba fazer as devidas
conversões.
A tabela 2.2 mostra alguns fatores de conversão úteis no estudo de fenômenos
de transporte.
Em relação à temperatura deve-se fazer um comentário mais detalhado. Nas
escalas relativas, tem-se:
- Temperatura em centígrados: oC
- Temperatura em graus Fahrenheit: oF
Nas escalas absolutas, o zero é fixado como sendo a temperatura mais baixa que
o homem acredita que possa existir. Tem-se:
- Centígrado: Kelvin: 0 K = - 273 oC;
- Fahrenheit: Rankine: 0 oR = - 460 oF.
É importante observar que um centígrado equivale exatamente a 1 Kelvin e que um
grau Fahrenheit é igual a 1 Rankine.
A figura 2.5 apresenta um diagrama relacionando as diferentes escalas de
temperatura.
16
Tabela 2.1 - Unidades e dimensões das principais quantidades envolvidas em
Fenômenos de Transporte.
Quantidade Dimensão Unidade (SI) Natureza
Massa M kg escalar
Comprimento L m escalar
Tempo t s escalar
Temperatura T K (oC) escalar
Aceleração L t-2 m.s-2 vetorial
Velocidade angular t-1 s-1 vetorial
Área L2 m2 escalar
Densidade M L-3 kg.m-3 escalar
Viscosidade dinâmica M L-1 t-1 kg.m-1.s-1 escalar
Viscosidade cinemática L2 t-1 m2.s-1 escalar
Energia, trabalho M L2 t-2 J (N.m) escalar
Força M L t-2 N (kg.m.s-2) vetorial
Quantidade de Movimento M L t-1 kg.m/s vetorial
Pressão M L-1 t-2 Pa (N.m-2) escalar
Tensão M L-1 t-2 Pa (N.m-2) tensorial
Potência M L2 t-3 W (N.m.s-1) escalar
Calor específico L2 t-2 T-1 J.kg-1.K-1 escalar
Velocidade L t-1 m.s-1 vetorial
Volume L3 m3 escalar
17
Tabela 2.2 - Fatores de conversão úteis no estudo de fenômenos de transporte.
Unidade Unidade do Sistema
Internacional
1 ft (pé) 0,3048 m
1 in (polegada) 0,0254 m
1 lbm (libra massa) 0,45359 kg
1 BTU (unidade térmica britânica) 1055 J
1 cal (caloria) 4,184 J
1 lbf 4,4482 N
1 kgf 9,8 N
1 hp 745,7 W
Figura 2.5- Relações entre as diferentes escalas de temperatura.
São válidas ainda as seguintes relações:
)(2.10 F 5/9 = ΔK
 (2.9) F 5/9 = C
o
oo
Δ
ΔΔ
KCo RoFo
0 273 32 492
100 373 212 672
180
492R
180
32F
100
273K
100
C ooo −
=
−
=
−
=
18
As relações acima indicam que o grau Celsius é 1,8 vezes maior que o grau
Fahrenheit. A mesma relação existe entre o Kelvin e o grau Rankine. As relações acima
são úteis quando se pensa em conversão de variações nas temperaturas.
Para conversão de temperatura, tem-se as seguintes relações:
Algumas unidades ainda recebem nomes especiais e é importante que estes
nomes sejam conhecidos, bem como os seus significados. Tem-se:
dina = g cm / s2 (força);
poundal = lbm ft / s2 (força);
Pascal = N/m2 (pressão);
erg = g cm2 / s2 (energia);
Poise = g / cm s (viscosidade).
Para se praticar a conversão de unidades, alguns exemplos serão resolvidos a
seguir.
Exemplo- Um avião viaja a uma velocidade igual a velocidade do som. Qual é a sua
velocidade, expressa em unidades do sistema internacional ? Velocidade do som = 3,96
x 106 ft/h.
Solução - Tem-se os seguintes fatores de conversão:
1 ft = 0,3048 m;
1 h = 3600 s.
(2.13) 32] - F)[T( 
9
5 =C)T(
 
(2.12) 273 + C)T( = T(K)
 
(2.11) 460 + F)T(= R)T(
oo
o
oo
19
Usando os fatores de conversão acima, a velocidade em unidades do sistema
internacional será dada por:
Exemplo- 100 lbm de água escoam num tubo a uma velocidade de 10 ft/s. Qual a
energia cinética da água, em unidades do sistema internacional ?
Solução- A energia cinética é dada por:
Os fatores de conversão pertinentes são:
1 lbm = 0,45359 kg;
1 ft = 0,3048 m.
Logo, pelo mesmo procedimento do exemplo anterior, tem-se:
Exemplo- Qual é a energia potencial, em unidades SI, de um corpo de 30 lbm situado
a 10 ft acima do nível de referência ?
Solução - A energia potencial é dada por:
Usando os fatores de conversão já utilizados acima, tem-se:
m/s 335,3 = 
 s)(3600
m) (0,3048 10 x 3,96 = h
ft 10 x 3,96 = (SI) velocidade 66
u m 2
1 = E 2c
 J 210,7= 
s
m kg 210,7 = ]/s m) (0,3048 x [10 kg) (0,45359 100 
2
1 = ) s/ ft (10 lb 100 2
1 = E 22mc
zgm=E p
)m (0.3048 10 )
s
m (9,8 kg) (0.45359 30 = ft 10 g lb 30 = E 2mp
J 406,47 = 
s
m kg 406,47 = E 2
2
p
20
Exemplo- Um parâmetro muito usado em transferência de calor é denominado
coeficiente de transferência de calor. Esse parâmetro é normalmente fornecido através
de correlações empíricas. Uma delas é:
onde:
h = coeficiente de transferência de calor (BTU/h ft2 oF);
G = fluxo de massa (lbm / h ft2);
D = diâmetro do tubo (ft).
Deseja-se escrever a mesma equação adotando unidades SI. Qual deve ser a nova
constante no lugar de 0,026 ?
Solução - Em unidades do sistema internacional, tem-se:
GSI ( kg / m2 s) ; DSI (m) ; hSI (J / s m2 oC)
Usando os fatores de conversão da tabela 2.2, tem-se:
Substituindo estes valores na relação, resulta que:
D
G 0,026 = h
0,2
0,6
G 737,34 = 
ft
m )(0,3048 
h
 s3600 
kg 0,45359
lb 1 G =G SI2
22
m
SI
D 3,28 = m 0,3048
ft 1 D = D SISI
h 0,176 = F81,
C1 
ft
m )(0,3048 
h
 s3600 
J 1055
BTU 1 h = h SIo
o
2
22
SI
)D (3,28
)G (737,34 0,026 = h 0,176
SI
0,4
0,6
SI
SI
21
Finalmente:
Logo, a nova constante é 4,8274.
Finalmente, é importante comentar a respeito da pressão e das várias maneiras
de expressar esta variável. Pressão é normalmente definida como sendo força por
unidade de área, agindo na direçãonormal à superfície em consideração.
Considere-se, então, a figura 2.6. Dentro do tubo de vidro há um líquido. A força
que o líquido exerce sobre a placa da base esta associada ao seu peso. Logo:
onde:
F = força exercida pelo líquido sobre a placa de base;
m = massa de líquido contido no tubo;
g = aceleração da gravidade.
Figura 2.6 - Dispositivo para definição de pressão
D
G 4,8274 = h
SI
0,4
0,6
SI
SI
(2.14) g m = F
hLíquido
Área
Vácuo
22
A massa de líquido contido no tubo é dada por:
onde:
ρ = densidade do líquido;
V = volume de líquido no tubo.
O volume de líquido contido na coluna cilíndrica pode ser determinado por:
onde:
A = área da base da coluna de líquido;
h = altura da coluna de líquido.
A pressão exercida pelo líquido na área da base é dada por:
Combinando as relações acima, pode-se obter uma expressão genérica para
avaliação da pressão exercida pela coluna de líquido:
Considerando-se uma coluna de 0,5 m de mercúrio (ρ = 13600 kg/m3), tem-se a
seguinte pressão:
Algumas vezes, a pressão é expressa em termos da altura da coluna de líquido
(normalmente, mercúrio ou água). É comum se dizer pressão de 20 mm de mercúrio,
referindo-se à pressão exercida por uma coluna de 20 mm de mercúrio.
)(2.15 V ρ = m
)(2.16 h A = V
(2.17) 
A
.A.h.g 
A
.V.g
A
m.g
A
F = P ρρ ===
)(2.18 h g ρ = P
aP 66640 = m) (0,5 )
s
m (9,8 )
m
kg (13600 = P
23
23
Usando-se os resultados acima, pode-se determinar um fator de conversão de mm
de mercúrio para Pascal. Tem-se que:
Um outro ponto importante ligado à pressão está relacionado à maneira de
expressar os valores de pressão. Duas maneiras são normalmente empregadas:
pressão relativa e pressão absoluta. A diferença entre elas é vista esquematicamente
na figura 2.7.
Tem-se que a pressão absoluta é dada por:
ou, pela figura 2.7:
.
Figura 2.7 - Quadro esquemático identificando a diferença entre a pressão absoluta e
relativa
Pa 133,33 = Hg mm 1
 
logo
 
Pa 66640 = Hg mm 500
(2.19) aatmosféric pressão + relativa pressão = absoluta pressão
Gás Gás
Manômetro Manômetro
Δh1
Δh2
Vácuo
Atmosfera
Pressão relativa Pressão absoluta
Δh
Vácuo
Barômetro
Pressão atmosférica
 hh h 12 Δ+Δ=Δ
24
A pressão atmosférica é determinada por um aparelho denominado barômetro.
No sistema britânico de unidades, é comum encontrar-se pressões fornecidas em
termos das seguintes unidades:
- psia (pounds per square inch absolute)= libra-força por polegada quadrada absoluta;
- psig (pounds per square inch gage) = libra-força por polegada quadrada relativa.
Essas unidades são as comumente utilizadas na especificação de calibração de pneus
Exemplo- Usando o mesmo procedimento adotado para correlacionar mm de Hg e Pa,
determine um fator de conversão de metro de coluna de água para Pascal.
Solução - Pela relação (2.18), tem-se que:
Considerando a densidade da água igual a 1000 kg/m3, tem-se:
Dessa forma, constata-se que 1 m de coluna de água equivale a 9800 Pa.
Exemplo- A pressão atmosférica ao nível do mar equivale a 760 mm Hg. Determine
esse valor em psia e em Pascal.
Solução- Pelo fator de conversão determinado anteriormente, sabe-se que:
 1 mm Hg = 133,33 Pa
Logo:
760 mm Hg = 760 x 133,33 Pa = 101330 Pa = 101330 N/m2.
Usando os fatores de conversão da tabela 2.2, encontra-se que:
1 lbf = 4,4482 N
h g ρ = P
aP 9800 = m) (1 )
s
m (9,8 )
m
kg (1000 = P 23
25
1 in = 0,0254 m
Logo:
Exemplo- Um manômetro indica que a pressão dentro de um tanque é 51 psi. A pressão
barométrica é de 28 in de Hg. Calcular a pressão absoluta de CO2 no tanque em Pa.
Solução - Para determinar a pressão absoluta basta converter os dados de pressão
relativa e barométrica para Pa e somar os resultados. A pressão relativa é de 51,0 psi.
Pelo resultado do exemplo anterior, tem-se que:
 101330 Pa = 14,7 psi
Logo:
 51 psi = 351553 Pa
Já a pressão barométrica (atmosférica) é de 28 in Hg. Mas:
 1 in = 0,0254 m = 25,4 mm
Logo:
 28 in = 711,2 mm Hg
Do exemplo anterior, sabe-se que:
 1 mm Hg = 133,33 Pa
Assim, 28 in Hg = 94824,3 Pa.
Finalmente, a pressão absoluta é dada por:
pressão absoluta = (351553 + 94824,3) Pa = 446377,3 Pa
A seguir serão resolvidos mais dois exemplos relativos à conversão de unidades
e dimensões das variáveis encontradas no estudo de transporte de momento.
psia 14,7 = 
in
m )0,0254( 
N 4,4482
lb 1 101330 = Pa 101330
2
22
f
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
26
Exemplo- A densidade da água a 25oC é de 62,4 lbm/ft3. Fornecer o valor dessa
densidade em kg/m3.
Solução- Usando os fatores de conversão da tabela 2.2:
1 lbm = 0,45359 kg
1 ft = 0,3048 m.
Assim, determina-se a densidade da água nas unidades do sistema internacional:
Exemplo- Mostrar que o parâmetro P/ρ tem a dimensão de energia por unidade de
massa.
Solução- Consultando a tabela 2.1, tem-se:
pressão: M L-1 t-2 ;
densidade: M L-3 ;
energia: M L2 t-2 .
Assim,
Constata-se, portanto, que pressão/densidade tem a mesma dimensão de energia por
unidade de volume.
m
kg 999,55 = 
m )(0,3048
ft1 
lb
kg 0,45359 62,4 = ρ 333
3
m
OH 2 ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
t
L = 
M
tLM = 
Massa
Energia 
 
 
t
L = 
LM
tLM = 
ρ
P = 
Densidade
Pressão
2
22-2
2
2
3-
-2-1
27
EXERCÍCIOS
1- Calcular o volume em m3, de um cilindro com as seguintes dimensões:
- altura ou comprimento: 15 in;
- Diâmetro: 3 in.
2- Se um foguete usa 255 ft3/h de oxigênio líquido, quantos m3/s de oxigênio são
usados?
3- Calcular todas as temperaturas a partir de um dos valores dados:
Unidade a b c d e f g
oF 140 1000
oR 500 1000
K 298 1000
oC -40
4- Um manômetro indica que a pressão relativa dentro de um condensador é de 3,53
metros de coluna d’água. O barômetro indica 30,4 in de Hg. Qual a pressão absoluta
no condensador em psi e em Pa?
5- Pequenos animais (insetos e roedores) podem viver em pressões reduzidas (3,0
psia). Num teste, um manômetro de Hg foi ligado a um recipiente, conforme a figura
a seguir. A leitura do manômetro indica 25,4 in Hg e a pressão barométrica é igual
a 14, 79 psi. Poderão os insetos sobreviver sob tais condições?
28
6- Calcular a energia cinética de 1 tonelada de água movendo a 60 milhas/hora.
Fornecer a resposta em:
a- ft . lbf ;
b- ergs;
c- Joules;
d- hp . seg;
e- Watt. seg
Dado: 1 milha = 1,6 Km
7- Densidades podem ser expressas como funções lineares da temperatura. A
expressão geral tem a seguinte forma:
Sendo que:
ρ : kg/m3 ; T : oC.
Se a equação é dimensionalmente consistente, qual deve ser a unidade de A?
8- Num alto-forno, a queda de pressão do gás pode ser expressa por:
Manômetro
Δh
Atmosfera
= 25,4 in Hg
Insetos
T A + ρ = ρ o
29
onde:
ΔP = queda de pressão;
H = altura do leito;
μ = viscosidade do gás;
ρ = densidade do gás;
V = velocidade do gás.
Determinar as unidades das constantes “a” e “b”, usando o sistema internacional.
9- Uma correlação empírica para determinar o coeficiente de transferência de calor de
uma placa vertical para o ar pode ser expressa por:
Onde
h = coeficiente de transferência de calor [=] Btu/h.ft2 oF
ΔT = diferença de temperatura entre a superfície da placa e o ar, [=] oF
L = comprimento da placa [=] ft.
Deseja-se escrever a mesma relação adotando unidades SI. Qual deve ser a nova
constante no lugar de 0,29?
10- Provar que os seguintes números são adimensionais:
onde:
V ρ b + V μ a = H
ΔP 2
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
L
ΔT 0,29 = h
2
1
ν
L ΔT β g = Gr 
μ
ρ V D = Re
2
3
30
D = diâmetro;
V = velocidade;
ρ =densidade;
μ = viscosidade dinâmica;
g = aceleração da gravidade;
ΔT= diferença de temperatura;
L = comprimento;
ν = viscosidade cinemática;
β = coeficiente de compressibilidade, avaliado pela seguinte relação:
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
T
ρ 
ρ
1 - = β
P
31
3-VISCOSIDADE
Uma das principais propriedades dos fluidos, que tem grande importância no seu
escoamento, é a viscosidade. Essa propriedade será definida neste capítulo. Serão
apresentadas também maneiras de se estimar o seu valor para diferentes tipos de
fluidos de interesse na metalurgia.
3.1- Definição de Viscosidade e Lei de Newton da Viscosidade
A viscosidade é uma propriedade física que caracteriza a resistência ao
escoamento de um fluido simples. Para quantificá-la, considere-se a situação vista na
figura 3.1, onde se tem uma certa quantidade de fluido entre duas placas paralelas.
Figura 3.1 - Situação esquemática para definição de viscosidade
No tempo t = 0, a placa inferior começa a se mover a uma velocidade constante
V. A partir desse instante, o fluido que está sobre essa placa também começa a se
mover. Com o tempo, o fluido move-se até atingir o estado estacionário: a distribuição
de velocidade ao longo do fluido se torna constante com o tempo. Essa situação é
mostrada na figura 3.2, onde se tem os perfis de velocidade em função do tempo a
Placa em movimento
 Velocidade V Fluido
Placa estacionária
32
partir do qual a placa inferior começou a se movimentar.
Figura 3.2 - Evolução do perfil de velocidades em um sistema de placas paralelas
Quando o estado estacionário é atingido, uma força constante F é necessária para
manter o movimento da placa inferior. Essa força pode ser expressa da seguinte
maneira:
onde:
F = força para manter a placa inferior em movimento;
(3.1) 
L
V μ = 
A
F
FLUIDO EM RESPOUSO
L t = 0
V
PLACA INFERIOR É 
COLOCADA EM 
MOVIMENTO
L t < 0
ESCOAMENTO NÃO ESTACIONÁRIO:
VELOCIDADE VARIA COM O TEMPOL t > 0 (pequeno)
V
DISTRIBUIÇÃO FINAL DE VELOCIDADE:
ESTADO ESTACIONÁRIO
y
x
y
x
y
x
y
x
L t > 0 
V
y = 0
y = L
y = 0
y = L
y = 0
y = L
y = 0
y = L
33
A = área da placa;
V = velocidade da placa inferior;
L = distância entre as placas;
μ = constante de proporcionalidade. Esta constante depende do fluido que está entre
as placas e é denominada viscosidade dinâmica ou molecular.
Observa-se que a força por unidade de área é proporcional à velocidade e
inversamente proporcional à distância entre as placas. Como a força aplicada nesse
caso é tangencial á superfície da placa, tem-se ainda que:
Na interface entre o fluido e as placas prevalece a condição de não-
escorregamento. Isso significa que o fluido que está em contato com a placa assume
a velocidade da placa. Como as placas em questão possuem velocidades diferentes,
há o aparecimento de um gradiente1 de velocidade no interior do fluido.
No estado estacionário, quando o perfil de velocidade é linear, V/L pode ser
associado ao gradiente de velocidade. No caso mostrado na figura 3.2, como o perfil
de velocidades é linear, o gradiente de velocidade pode ser determinado considerando-
se que:
- em y = 0, vx = V;
- em y = L, vx = 0.
Logo:
 
1 Gradiente é a variação no valor de alguma grandeza com a posição dentro do sistema .
(3.2) tocisalhamen de Tensão = 
área
Força
=τ
)(3.3 
0 - L
V - 0 = 
dy
vd = 
Δy
vΔ = velocidade de gradiente xx
34
Deve-se observar que, na avaliação do gradiente de velocidade pela equação
acima, há uma correspondência direta entre as velocidades que aparecem no
numerador da fração e as posições indicadas no denominador.
Substituindo as equações (3.2) e (3.3) em (3.1), pode-se escrever que:
A relação (3.4) é a expressão matemática da lei de Newton da viscosidade
aplicada a casos de escoamentos unidimensionais, onde se tem apenas uma
componente de velocidade (vx), variando somente em uma direção (y). Esta lei
estabelece que a tensão de cisalhamento, τyx (y é a direção da normal à superfície
sobre a qual a força atua e x é a direção da força aplicada - veja figura 3.2 ) é
proporcional ao negativo do gradiente de velocidade.
No capítulo 5 será apresentada a forma mais completa da lei de Newton da
viscosidade aplicada a escoamentos tridimensionais.
Um fluido que obedece à lei de Newton da viscosidade é denominado Newtoniano.
Os fluidos comuns na metalurgia (gases, metais e escórias líquidos) são fluidos
Newtonianos. Exemplos de fluidos não-Newtonianos são os polímeros, as partículas de
argila em suspensão na água (usadas no processo de colagem por barbotina), as
pastas e tintas. Estes fluidos não obedecem à equação (3.4). Existe um ramo da ciência
que se dedica ao estudo dos fluidos, buscando determinar equações constitutivas
(similares à equação (3.4)), que regem o seu comportamento. Esse ramo é denominado
reologia.
(3.4) 
dy
dv μ - = τ = tocisalhamen deTensão xyx
35
Ainda em relação à equação (3.4), deve-se observar que quanto maior é a
viscosidade do fluido, μ, maior será a tensão de cisalhamento, ou a força, necessária
para manter a placa inferior em movimento.
3.1.1- Interpretação física de τyx
Na análise da equação (3.4) feita acima, interpretou-se τyx como sendo a tensão
de cisalhamento (atrito) existente devido ao gradiente de velocidade.
A expressão (3.4) pode ser interpretada de um outro modo. Na vizinhança da
superfície que está se movendo em y = 0, o fluido adquire uma certa quantidade de
movimento na direção x. Este fluido, por sua vez, passa uma certa fração desta
quantidade de movimento para a camada adjacente de fluido, fazendo com que ela
adquira também movimento na direção x. Desse modo, pode-se dizer que quantidade
de movimento da direção x é transmitido por difusão na direção y ao longo do fluido.
Como visto no Capítulo 2, para que quantidade de movimento seja transportado por
difusão é necessária a existência de um gradiente de velocidade.
τyx pode, então, ser interpretado como fluxo1 de quantidade de movimento na
direção “x” sendo transportado por difusão na direção “y”. Essa interpretação é bastante
conveniente, pois é análoga ao tratamento que será utilizado para o transporte de calor
e massa. E mais, através dessa interpretação, se torna mais fácil entender o sinal de
τyx.
 
1 Fluxo de alguma grandeza (quantidade de movimento, calor e massa) representa a quantidade desta
grandeza que é transportada por unidade de tempo e área. Taxa representa a quantidade transportada
por unidade de tempo.
36
Quantidade de movimento por difusão é transportado das regiões de alta para as
de baixa velocidade (similar ao que Robin Hood fazia, tirando dos ricos e passando para
os pobres). Assim, na figura 3.2, quantidade de movimento vai de y = 0 (alta velocidade)
para y = L (baixa velocidade).
É importante lembrar que velocidade é uma grandeza vetorial. Assim, uma
velocidade de - 100 m/s é menor que uma velocidade de 0,01 m/s.
Com esta nova interpretação para τyx, pode-se dizer que a lei de Newton da
viscosidade estabelece que o fluxo de quantidade de movimento por difusão é
proporcional ao negativo do gradiente de velocidade. O sinal de τyx pode ser
determinado considerando-se que o fluxo de quantidade de movimento na direção x
será positivo se ele se der no mesmo sentido do crescimento do eixo y (y é a direção
do gradiente de velocidade). Se o fluxo de quantidade de movimento for no sentido
oposto ao crescimento do eixo y, ele será negativo.
Finalmente, o sinal do gradiente de velocidade pode ser determinado de uma
maneira bastante simples. Se a velocidade vx aumenta quando a posição ao longo do
eixo y aumenta, pode-se dizer que o gradiente de velocidade é positivo. Se a velocidade
vx diminui quando a posição ao longodo eixo y aumenta, o gradiente de velocidade é
negativo.
A seguir serão resolvidos alguns exemplos de aplicação, enfatizando a
interpretação da lei de Newton da viscosidade.
37
Exemplo- Para a figura mostrada abaixo, determine:
- direção e sentido do transporte de quantidade de movimento por difusão;
- direção e sentido do fluxo de quantidade de movimento por convecção.
Aplique a lei de Newton da viscosidade à situação mostrada.
Solução - Conforme visto acima, quantidade de movimento por difusão é transportada
na direção do gradiente de velocidade. Assim, a direção do transporte de quantidade
de movimento por difusão é a direção z.
Como quantidade de movimento é transportada por difusão das regiões de alta (z = H)
para as de baixa velocidade (z = 0), tem-se que o sentido do transporte de quantidade
de movimento por difusão é o negativo de z.
Transporte de quantidade de movimento por convecção ocorre na direção do
movimento macroscópico do fluido (veja Capítulo 2), que nesse caso é a direção y.
Como as velocidades estão no mesmo sentido de crescimento do eixo y, elas são todas
positivas e, portanto, o sentido do fluxo de quantidade de movimento por convecção é
o positivo de y.
Para o sistema visto acima, a lei de Newton pode ser colocada na seguinte forma:
Para o caso em estudo, a velocidade vy aumenta quando z aumenta. Dessa forma o
y
z
z = 0
z = H
dz
dv μ - = τ yzy
38
gradiente de velocidade é positivo e o fluxo de quantidade de movimento por difusão,
τzy, é negativo, pois ocorre no sentido oposto ao crescimento do eixo z.
Exemplo - Repita o exemplo acima para a situação vista abaixo:
Solução - Nesse caso, as velocidades são negativas, pois estão no sentido oposto ao
crescimento do eixo z.
Quantidade de movimento por difusão é transportada na direção x (direção do gradiente
de velocidade), da região de altas (x = H) para as de baixa velocidade (x = 0). (Lembre-
se que velocidade é uma grandeza vetorial !). Desta forma, o sentido do transporte de
quantidade de movimento por difusão é o negativo de x.
Quantidade de movimento por convecção é transportada na direção do movimento
macroscópico do fluido, que na situação vista acima é a direção z, no sentido negativo
deste eixo.
Para este caso, a lei de Newton da viscosidade pode ser colocada na seguinte forma:
O fluxo de quantidade de movimento por difusão é negativo e o gradiente de velocidade
é positivo (vz aumenta quando x aumenta).
x
z
x = H
x = 0
dx
dv μ - = τ zxz
39
Exemplo - Repita os exemplos acima para o caso apresentado na figura a seguir.
Solução - A situação acima é um pouco mais complexa que as anteriores. Nesse caso,
há uma alteração no sentido da velocidade na região mostrada.
Considerando-se a orientação dos eixos, tem-se que a velocidade vy é positiva na
região definida por: 0 < z < b. Na região dada por b < z < H, as velocidades são
negativas. A velocidade máxima no domínio considerado ocorre em z = a. Logo, o
transporte de quantidade de movimento por difusão vai ocorrer na direção z (direção
do gradiente de velocidade), no sentido de z = a para z = 0 e de z = a para z = H. Deste
modo, tem-se que:
- Região: 0 < z < a : fluxo de quantidade de movimento por difusão é negativo -
sentido contrário ao do crescimento do eixo z;
- Região: a < z < H : fluxo de quantidade de movimento por difusão é positivo -
mesmo sentido do crescimento do eixo z.
O transporte de quantidade de movimento por convecção ocorre na direção do
deslocamento macroscópico do fluido, que nesse caso é a direção y. Tem-se que:
- Região: 0 < z < b : fluxo de quantidade de movimento por convecção é positivo -
velocidades positivas;
- Região: b < z < H : fluxo de quantidade de movimento por convecção é negativo
y
z
z = 0
z = a
z = b
z = H
40
- velocidades negativas.
Para o sistema em estudo, a lei de Newton pode ser colocada na seguinte forma:
Analisando-se o sinal do gradiente de velocidade, obtém-se que:
- Região: 0 < z < a :velocidades aumentam com o aumento em z - gradiente é positivo;
- Região: a < z < H : velocidades diminuem com o aumento em z - gradiente é
negativo.
Os exemplos anteriores demonstram que os mecanismos de transporte, difusão
e convecção, podem estar presentes simultaneamente. O fato de haver transporte de
quantidade de movimento por difusão não elimina a possibilidade de existência de
transporte por convecção e vice-versa.
3.1.2- Dimensão da viscosidade
Através da lei de Newton de viscosidade expressa através da equação (3.4), pode-
se determinar a dimensão da viscosidade dinâmica ou molecular, μ. Tem-se que:
Substituindo-se na lei de Newton da viscosidade, encontra-se que:
dz
dv μ - = τ yzy
t = 
t L
L : 
d
dv velocidade de Gradiente 
 
t L
M : τ tocisalhamen de Tensão
1-
y
x
2yx
t
1 μ = 
t L
M
2
41
Logo,:
No sistema internacional, a viscosidade é expressa em termos das seguintes
unidades:
μ : kg.m-1.s-1 = Pa s.
Uma unidade de viscosidade bastante popular é a referente ao sistema cgs
(centímetro-grama-segundo). Nesse sistema, a viscosidade é dada em g/cm s. Essa
unidade é denominada Poise, P, em homenagem ao cientista francês Poiseuille, que
desenvolveu estudos na área de mecânica dos fluidos.
O centipoise, cP, é uma unidade derivada do Poise e eqüivale a um centésimo
dessa unidade:
 1 cP = 10-2 P
Uma outra grandeza de importância no estudo do transporte de quantidade de
movimento é a viscosidade cinemática, definida pela seguinte relação:
onde:
ν= viscosidade cinemática e ρ = densidade do fluido.
A viscosidade cinemática tem dimensão de M2 / t (verifique isso como um
exercício) e é conhecida também como difusividade de quantidade de movimento.
Antes de ver os métodos para estimativa de viscosidade de fluidos de interesse
na metalurgia, é importante ver a similaridade existente entre a lei de Newton da
viscosidade e leis similares que regem o transporte de calor e massa por difusão.
O transporte de calor por difusão é governado pela seguinte relação:
 
t L
M μ =
(3.5) 
ρ
μ = ν
)(3.6 
dy
dT k - = qy
42
onde:
qy = fluxo de calor por difusão;
k = condutividade térmica do material ao longo do qual o calor é transferido;
T = temperatura.
Essa relação é conhecida como lei de Fourier.
Para o transporte de massa por difusão, tem-se a seguinte expressão:
sendo:
jy = fluxo de massa por difusão;
D = difusividade de massa;
C = concentração ou potencial químico da espécie química que se difunde.
Essa expressão é a representação matemática da lei Fick para difusão de massa.
É imediata a similaridade entre as leis de Newton da viscosidade, de Fourier e de
Fick. Todas elas estabelecem que o fluxo (de quantidade de movimento, calor ou
massa) é proporcional ao gradiente de uma dada variável (velocidade, temperatura e
concentração ou potencial químico). As constantes de proporcionalidade são
específicas para cada situação:
- Transporte de quantidade de movimento: μ (viscosidade);
- Transporte de calor: k (condutividade térmica);
- Transporte de massa: D (difusividade de massa).
A principal diferença entre a lei de Newton e as leis de Fourier e de Fick está
relacionada com a natureza das variáveis envolvidas. Na lei de Newton, o gradiente
(3.7) 
dy
dC D - = j y
43
envolve uma variável vetorial, que é a velocidade.
Nas leis de Fourier e Fick, o gradiente é de uma variável escalar, temperatura e
concentração (ou potencial químico), respectivamente. Como conseqüência desta
diferença, o fluxo de quantidade de movimento, τyx, é uma grandeza tensorial: um índice
está associado à direção da velocidade, e outro à direção do gradiente. Os fluxos de
calor e de massa, qy e jy, são grandezas vetoriais, e o seu índice está relacionado com
a direção do gradiente de temperatura ouconcentração (ou potencial químico).
3.2- Viscosidade de Gases
No estudo da transferência de quantidade de movimento, uma das características
do fluido que deve ser conhecida é a sua viscosidade.
Um grande volume de dados de viscosidade de fluidos encontra-se tabelado na
literatura. Entretanto, nem sempre os valores de que se necessita são encontrados,
especialmente quando se lida com gases, mistura de gases e metais líquidos em altas
temperaturas.
Nesses casos, alguma alternativa para determinação da viscosidade (nem que
seja de modo aproximado) deve ser buscada.
Para gases já existem algumas teorias que permitem uma estimativa da
viscosidade. Uma dessas é a teoria cinética dos gases. Por essa teoria, considera-se
um gás ideal possuindo as seguintes características:
- As moléculas são rígidas como bolas de bilhar, possuindo um diâmetro “d” e massa
“m”;
- As moléculas não exercem forças umas sobre as outras, exceto quando elas
44
colidem;
- As colisões são perfeitamente elásticas e obedecem as leis clássicas de conservação
de quantidade de movimento e energia;
- As moléculas estão uniformemente distribuídas. Elas estão em contínuo movimento
e estão separadas por distâncias que são grandes comparadas com seu diâmetro;
- Todas as direções para a velocidade são igualmente prováveis. A magnitude da
velocidade de uma molécula pode possuir qualquer valor entre zero e infinito.
Assumindo que as moléculas possuem uma distribuição de velocidade dada pela
equação de Maxwell (isto é, a energia térmica do gás é dada pela energia cinética de
todas as moléculas que se movem) e através de um longo desenvolvimento (Geiger e
Poirier, 1980) pode-se determinar que a viscosidade é dada pela seguinte expressão:
onde:
μ = viscosidade do gás em Poise (g/cm s);
m = massa de uma molécula (g);
KB = constante de Boltzmann (1,38 x 10-16 erg/molécula K);
T = temperatura (K);
d = diâmetro de uma molécula (cm).
(Verifique a consistência das unidades da equação acima).
Uma conclusão importante que pode ser obtida através da equação acima é a de
que a viscosidade de um gás é independente da pressão e depende apenas da
temperatura. Esta conclusão está em boa concordância com dados experimentais até
pressões de dez atmosferas. Entretanto, a dependência com a temperatura está apenas
)(3.8 
d
T K m 
π 3
2 = μ
2
B
3/2
45
qualitativamente correta: a viscosidade de um gás cresce com a temperatura.
Quantitativamente, dados reais obtidos para vários gases indicam que μ varia com Tn,
onde “n” está entre 0,6 e 1,0, ao invés de 0,5 como é indicado pela equação (3.8).
Uma teoria mais elaborada substituiu o modelo de bolas de bilhar por um modelo
mais realístico. Este novo modelo considera um campo de forças, englobando forças
de atração e repulsão entre as moléculas. Esta teoria faz uso da energia potencial de
interação entre um par de moléculas no gás. Esta função, normalmente denominada
potencial Lennard-Jones, mostra um comportamento de interação molecular: fraca
atração para grandes separações e forte repulsão para pequenas separações. A figura
3.3 explicita este comportamento.
A função potencial, ψ(r), é descrita pela seguinte relação:
onde:
ε = energia característica (erg/molécula);
σ = diâmetro de colisão (Angstrom).
A posição de equilíbrio das moléculas é dada pelo ponto δ, onde a energia
potencial é mínima e vale -ε. O parâmetro ε é chamado de energia característica.
(3.9) 
r
σ - 
r
σ ε 4 = Ψ(r)
612
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
46
Figura 3.3 – Função potencial de Lennard-Jones, descrevendo a interação de duas
moléculas não polares (Jastrzebski, 1976).
Usando o potencial Lennard-Jones, Chapman e Enskog desenvolveram a seguinte
equação para cálculo de viscosidade de gases não polares a baixas pressões:
)(3.10 
Ω σ
T M 102,6693x = μ
μ
2
5-
0
Atração
Repulsão
δ Distância interatômica, r
Força, F
0
Atração
Repulsão
σ δ
ε
Energia potencial, Ψ(r)
R
ep
ul
sã
o
At
ra
çã
o
Distância interatômica, r
R
ep
ul
sã
o
At
ra
çã
o
47
Sendo que:
μ = viscosidade do gás (Poise);
σ = diâmetro de colisão da molécula (Angstrom);
M = massa molecular do gás (g/mol);
Ωμ = integral de colisão da teoria de Chapman-Enskog;
T = temperatura (K).
A constante da equação (3.10) já incorpora fatores de conversão para que o
resultado de viscosidade seja obtido em Poise, quando os valores de σ, M e Ωμ são
fornecidos nas unidades listadas acima.
A integral de colisão é função do parâmetro adimensional de temperatura KB . T/ε.
Para usar a equação (3.10), são necessários os valores de σ e ε/KB. Esses parâmetros
são conhecidos para várias substâncias, sendo que uma lista parcial é fornecida na
tabela 3.1.
Para determinar a integral de colisão, pode-se usar a tabela 3.2. Se o gás fosse
composto de esferas rígidas de diâmetro σ (ao invés de moléculas reais com forças de
atração e repulsão), o parâmetro Ωμ seria igual a um. Desse modo, pode-se dizer que
a função Ωμ quantifica o desvio do comportamento de esferas rígidas.
A relação (3.10) é, então, útil para determinar a viscosidade de gases não polares
a baixas densidades. Entretanto, ela não pode ser aplicada com confiança para gases
constituídos por moléculas polares ou muito grandes, em especial para H2O, NH3,
CH3OH e NOCl.
Uma alternativa ao uso da tabela 3.2 consiste no uso de correlações matemáticas
obtidas a partir de ajuste de função aos dados desta tabela. Desta forma, evita-se
48
interpolações, uma vez que os valores do parâmetro ε/KB T nem sempre são os
indicados nesta tabela. As correlações obtidas através deste ajuste são:
- para KB T/ ε < 2:
- para KB T/ ε > 2:
Uma limitação da equação (3.10) é que ela fornece resultados bons apenas para
temperaturas acima de 100 K. Para a metalurgia, isso não representa uma restrição
importante, pois na maioria dos casos de lida com temperaturas bem acima deste valor.
Em metalurgia, é bastante comum se ter misturas de gases. Para estas misturas,
a viscosidade pode ser estimada a partir da seguinte relação:
onde:
i = número de componentes da mistura;
xi = fração molar do componente i na mistura;
μi = viscosidade do componente i na mistura;
Mi = massa molecular do gás i.
)(3.11 
ε
T K log 0,4662 - 0,2071 = Ω log Bμ ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
(3.12) 
ε
T K log 0,1497 - 0,0689 = Ω log Bμ ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
)(3.13 
M x 
M μ x 
 = μ
ii
n
=1i
iii
n
=1i
MISTURA
∑
∑
49
Tabela 3.1- Parâmetros de Lennard-Jones ((Bird, Stewart e Lighfoot, 1960; Geiger e
Poirier, 1980), Cussler (1997))
Substância )A(
o
σ ε
Tk B
Substância )A(
o
σ ε
Tk B
Ar 3,542 93,3 CH3COCH3 4,600 560,2
He 2,551 10,22 CH3COOCH3 4,936 469,8
Kr 3,655 178,9 n-C4HIO 4,687 531,4
Ne 2,820 32,8 Isso-C4H1O 5,278 330,1
Xe 4,047 231,0 C2H5OC2H5 5,678 313,8
Ar 3,711 78,6 CH3COOC2H5 5,205 521,3
Br2 4,296 507,9 n-C5H12 5,784 341,1
CCl4 5,947 322,7 C(CH3)4 6,464 193,4
CF4 4,662 134,0 C6H6 5,349 412,3
CHCl3 5,389 340,2 C6H12 6,182 297,1
CH2Cl2 4,898 356,3 n-C6H14 5,949 399,3
CH3Br 4,118 449,2 Cl2 4,217 316,0
CH3Cl 4,182 350 F2 3,357 112,6
CH30H 3,626 481,8 HBr 3,353 449
CH4 3,758 148,6 HCN 3,630 569,1
CO 3,690 91,7 HCl 3,339 344,7
CO2 3,941 195,2 HF 3,148 330
CS2 4,483 467 HI 4,211 288,7
C2H2 4,033 231,8 H2 2,827 59,7
C2H4 4,163 224,7 H2O 2,641 809,1
C2H6 4,443 215,7 H202 4,196 289,3
C2H5CI 4,898 300 H2S 3,623 301,1
C2H5OH 4,530 362,6 Hg 2,969 750
CH3OCH3 4,307 395,0 I2 5,60 474,2
CH2CHCH3 4,678 298,9 NH3 2,900 558,.3
CH3CCH 4,761 251,8 NO 3,492 116,7
C3H6 4,807 248,9 N2 3,98 71,4
C3H8 5,118 237,1 N20 3,828 232,4
n-C3H7OH 4,549 576,7 O2 3,467 106,7
CH3COCH3 4,600 560,2 PH3 3,981 251,.5
 S02 4,112 335,4
50Tabela 3.2- Valores da Integral de Colisão, baseados no potencial de Lennard-Jones
 (Bird, Stewart e Lighfoot, 1960; Geiger e Poirier, 1980)
ε
Tk B
Ω ε
Tk B
Ω ε
Tk B
Ω ε
Tk B
Ω
0,30 2,785 1,30 1,399 2,6 1,081 4,6 0,9422
0,35 2,628 1,35 1,375 2,7 1,069 4,7 0,9382
0,40 2,492 1,40 1,353 2,8 1,058 4,8 0,9343
0,45 2,368 1,45 1,333 2,9 1,048 4,9 0,9305
0,50 2,257 1,50 1,314 3,0 1,039 5,0 0,9269
0,55 2,156 1,55 1,296 3,1 1,030 6 0,8963
0,60 2,065 1,60 1,279 3,2 1,022 7 0,8727
0,65 1,982 1,65 1,264 3,3 1,014 8 0,8538
0,70 1,908 1,70 1,248 3,4 1,007 9 0,8379
0,75 1,841 1,75 1,234 3,5 0,9999 10 0,8242
0,80 1,780 1,80 1,221 3,6 0,9932 20 0,7432
0,85 1,725 1,85 1,209 3,7 0,9870 30 0,7005
0,90 1,675 1,90 1,197 3,8 0,9811 40 0,6718
0,95 1,629 1,95 1,186 3,9 0,9755 50 0,6504
1,00 1,587 2,00 1,175 4,0 0,9700 60 0,6335
1,05 1,549 2,1 1,156 4,1 0,9649 70 0,6194
1,10 1,514 2,2 1,138 4,2 0,9600 80 0,6076
1,15 1,482 2,3 1,122 4,3 0,9553 90 0,5973
1,20 1,452 2,4 1,107 4,4 0,9507 100 0,5882
1,25 1,424 2,5 1,093 4,5 0,9464 200 0,5320
 400 0,4811
Os cálculos de viscosidades de gases puros e misturas de gases geralmente
encontrados em metalurgia podem ser realizados através da planilha viscosidade-
gases.xls (CD que acompanha este livro).
Usando a planilha acima, resolva os exemplos apresentados abaixo.
Exemplo- Avalie a viscosidade do hidrogênio a 1 atm de pressão e a 1000 K.
Solução- Usando a planilha acima, obtém-se:
Ωμ = 0,7183
Logo:
51
μ = 1,94 x 10-4 P.
Exemplo- Calcule a viscosidade do CO2 a 200, 300 e 800 K. Compare com os seguintes
dados experimentais:
200 K: μ = 1,015 x 10-4 P;
 300 K: μ = 1,495 x 10-4 P.
Solução- Para as temperaturas de 200, 300 e 800 K tem-se, respectivamente:
Ωμ (200 K) = 1,5729
Ωμ (300 K) = 1,302
Ωμ (800 K) = 0,945
As viscosidades obtidas são:
 (200 K) = 9,971 x 10-5 P;
 (300 K) = 1,475 x 10-4 P;
 (800 K) = 3,319 x 10-4 P;
Exemplo- Estime a viscosidade de um gás de alto-forno com a seguinte composição:
N2 = 50 % CO = 24 % CO2 = 22 % H2 = 4 %;
a uma temperatura de 100 oC.
Solução- Pelos resultados da planilha, tem-se
 μ (N2) = 2,121 x 10-4 P;
 μ (CO) = 2,169 x 10-4 P;
 μ (CO2) = 1,821 x 10-4 P;
 μ (H2) = 1,035 x 10-4 P;
A viscosidade da mistura é, então:
52
 μ (mistura) = 2,04 x 10-4 P;
3.3- Viscosidade de Líquidos
Ao se lidar com o transporte de quantidade de movimento em líquidos, usualmente
defronta-se com o problema de que a estrutura dos líquidos é bem menos conhecida
que a estrutura de gases e sólidos. Entretanto, existe mais similaridade entre sólidos
e líquidos que entre líquidos e gases. Essa afirmação é baseada na pequena variação
de volume que ocorre quando se passa de sólido para líquido (3 a 5% no caso de
metais) e no pequeno valor do calor de fusão quando este é comparado com o calor de
vaporização.
Dados de raios-X mostram também que nos líquidos existe uma organização a
curta distância.
Várias teorias têm sido formuladas para explicar algumas das propriedades dos
líquidos. Contudo, todas elas apresentam problemas.
Uma dessas teorias propõe a seguinte relação para cálculo de viscosidade de
líquidos:
onde:
μ = viscosidade do líquido (Poise);
A = constante (Poise)
T = temperatura absoluta;
R = constante dos gases (cal/mol . K);
(3.14) 
T R
GΔ exp A = μ vis ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
53
ΔGvis = energia de ativação da viscosidade (cal/mol).
A constante A é objeto de muitos estudos teóricos desenvolvidos sobre a estrutura
dos líquidos. Nenhuma dessas teorias fornece valores satisfatórios. A teoria que fornece
os melhores valores é a de Eyring, que propõe a seguinte equação para avaliação da
constante A:
onde:
No = número de Avogadro;
h = constante de Planck (6,624 x 10-27 erg . s);
Vm = volume molar(cm3/mol).
Para líquidos que apresentam interações apenas do tipo van der Waals a energia
de ativação do fluxo viscoso pode ser obtida da energia de vaporização:
sendo:
ΔEvap= energia de vaporização (cal/mol).
Essa energia de vaporização pode ser relacionada com a entalpia de vaporização
através da seguinte expressão:
onde:
ΔHvap = entalpia de vaporização (cal . mol).
Tb = temperatura de ebulição (K)
Infelizmente as relações (3.16) e (3.17) não são válidas para metais líquidos e não
)(3.15 
V
h N = A
m
o
)(3.16 EΔ 0,41 = GΔ vapvis
)(3.17 T R - HΔ = EΔ bvapvap
54
devem ser usadas, a não ser como último recurso.
É surpreendente como líquidos completamente diferentes, em termos de ligação,
apresentam viscosidade com valores próximos.
A tabela 3.3 mostra faixas de valores de viscosidade para diversos líquidos.
Tabela 3.3- Viscosidade para diferentes tipos de líquidos (Geiger e Poirier, 1980).
Faixa de viscosidade
(Poise)
Materiais
1 - 100 Escórias: CaO - SiO2 - Al2O3
50 % NaOH - 50 % H2O
Óleos
0,1 - 1,0 H2SO4
0,01 - 0,1 Sais fundidos
Metais pesados (Pb, Au, Zn)
Metais alcalinos (Ca, Mg)
Metais de transição (Fe, Ni, Co)
Água (20 oC)
Querosene (20 oC)
0,001 - 0,01 Acetonas
3.3.1. Viscosidade de metais líquidos
As interações existentes nos metais líquidos não são do tipo van der Waals e,
desse modo, as relações de (3.14) a (3.17) não se aplicam a esses materiais.
55
Chapman desenvolveu uma teoria considerando as interações entre os átomos
nos metais e obteve uma relação entre três grandezas adimensionais:
- μ*: viscosidade reduzida;
- T*: temperatura reduzida;
- V*: volume reduzido.
Essas grandezas são definidas através das seguintes expressões:
onde:
δ = distância interatômica no cristal a 0K (cm);
ε = parâmetro de energia, característica do metal (erg);
No= número de Avogadro;
M = massa atômica (g/mol);
R = constante dos gases (8,314 x 107 g . cm2 / s2 . mol . K);
T = temperatura absoluta (K);
KB= constante de Boltzmann; 1,38 x 10-16 erg/K;
n = número de átomos por unidade de volume (átomos/cm3).
O relacionamento entre os três parâmetros acima é mostrado na figura 3.4.
(3.18) 
T R M
N δ μ = μ o
2
*
)(3.19 
ε
T K = T B*
(3.20) 
δ n
1 = V 3
*
56
Figura 3.4 - Curva para a estimativa da viscosidade de metais líquidos (Geiger e Poirier,
1980)
A relação vista graficamente na figura 3.4 pode ser expressa através do seguinte
polinômio:
A tabela 3.4 fornece valores de δ e ε/KB para diversos metais. Os valores de ε/KB
quando colocados como função da temperatura se ajustam bastante bem a uma curva
do tipo:
onde:
Tf = temperatura de fusão do metal (K).
0 1 2 3 4 5 6 7
0
1
2
3
4
8
5
6
7
1/T*
μ*V*
2
(3.21) 
T
1 0,0156 + 
T
1 0,0262 - 
T
1 0,4488 + 0,0088- = V μ *
3
*
2
*
2** ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
(3.22) T 5,20 = 
K
ε
f
B
57
Tabela 3.4- Valores dos parâmetros δ e ε/KB para diversos metais (Geiger e Poirier,
1980).
Metais δ (Angstron) ε/KB (K)
Na
K
Li
Mg
Al
Ca
Fe
Co
Ni
Cu
Zn
Rb
Ag
Cd
In
Sn
Au
Hg
Pb
Pu
3,84
4,76
3,14
3,20
2,86
4,02
2,52
2,32
2,50
2,56
2,74
5,04
2,88
3,04
3,14
3,16
2,88
3,10
3,50
3,10
1970
1760
2350
4300
4250
5250
10900
9550
9750
6600
4700
1600
6400
3300
2500
2650
6750
1250
2800
5550
58
A planilha viscosidade-metais.xls, contida no CD que acompanha o livro, permite
que se faça a estimativa de valores de viscosidade de metais líquidos, bastando digitar
o metal (símbolo), a sua densidade e a temperatura de interesse. Os exemplos a seguir
demonstram o uso da planilha e o cálculo de viscosidade de metais líquidos usando as
relações acima.
Exemplo- Estime a viscosidade dotitânio líquido 1850 oC. Os seguintes dados estão
disponíveis:
 Tf = 1800 oC M = 47,9 g/mol densidade = 4,5 g/cm3 δ = 2,89 A.
Solução- Usando a equação (3.22), determina-se ε/KB :
A temperatura reduzida é:
Pela equação (3.21), encontra-se que:
Resta ainda determinar o valor de V*. Uma vez que:
Logo:
Assim:
10779,6 = 273) + (1800 5,20 = 
K
ε
B
5,0787 = 
T
1 0,1969 = 
10779,6
273 + 1850 = T *
* ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
3,6383 = V μ *2*
cm / átomos 10 x 5,6584 = 
47,9
4,5 10 x 6,023 = 
M
ρ N = n 32223o
0,7322 = 
)10 x (2,89 )10 x (5,6584
1 = 
δ n
1 = V 38-223
*
59
A partir da relação (3.18), pode-se escrever:
Exemplo- Avalie a viscosidade do ferro líquido a 1873 K. Densidade do ferro: 7 g/cm3.
Solução- Usando a planilha, obtém-se:
T* = 0,1718;
n = 7,549 x 1022;
V* = 0,8278;
μ* = 6,9795.
E, finalmente:
μ = 5,38 cP
Para o caso de ligas, não há modelos de aplicação geral. É comum representar estes
dados de viscosidade, superpondo-se linhas de isoviscosidade ao diagrama de fase da
liga. Exemplo deste tipo de abordagem é apresentado na figura 3.5.
6,7864 = 
(0,7322)
3,6383 = 
V
3,6383 = μ 22*
*
cP 3,92 = P 0,0392 = 
)10 x (6,023 )10 x (2,89
(2123) )10 x (8,314 (47,9) 6,7864 = 
N δ
T R M μ = μ
2328-
7
o
2
*
60
Figura 3.5 – Viscosidade da liga ferro-carbono (Geiger e Poirier, 1980)
3.3.2- Viscosidade de escórias
Um outro material que freqüentemente aparece nos processos metalúrgicos e que
apresenta bastante interesse é a escória.
Para se ter uma idéia da importância da viscosidade da escória, pode-se citar o
exemplo do alto-forno. Neste reator, uma escória pouco viscosa (ou muito fluida) é
essencial para que se consiga uma boa produtividade e um ferro gusa menos
contaminado de elementos indesejáveis. Desse modo, torna-se importante estudar a
determinação de viscosidade de escórias, especialmente daquelas que são formadas
nos processos siderúrgicos.
A viscosidade é uma propriedade intrínseca de uma determinada escória, sendo
que o conhecimento de sua estrutura ou do arranjo de suas moléculas ajuda no
61
entendimento dos fatores que afetam a viscosidade. Em geral, escórias são formadas
por cátions e ânions resultantes da ionização de óxidos básicos e ácidos em solução
líquida. Pode-se considerar que óxidos ácidos são aqueles que, quando dissolvidos na
escória, adquirem íons de oxigênio adicionais formando complexos aniônicos, enquanto
os óxidos básicos fornecem os íons oxigênio e o seu cátion possa a se mover
livremente através da estrutura iônica da escória. Os óxidos ácidos mais comuns são
SiO2 e Al2O3, que se comportam de maneira similar. Os óxidos básicos mais
importantes são o CaO e o MgO.
A estrutura da sílica líquida é similar à da sílica sólida, onde cada íon Si+4 
compartilha um elétron com cada um dos quatro íons O-2, que formam um tetraedro em
torno do íon Si+4. No estado sólido, a eletro-neutralidade é mantida com cada íon O-2
compartilhando seu outro elétron entre dois tetraedros ou íons Si+4. A estrutura é um
arranjo cristalino regular de grupos SiO4-4 , como é mostrado na figura 3.6.
Quando a sílica é fundida, o arranjo continua, mas não em toda a sua extensão
sendo que algumas ligações são rompidas, conforme se vê na figura 3.6b. Mesmo
assim, continuam existindo muitas ligações Si-O e a viscosidade do líquido SiO2 é muito
elevada (1,5 x 105 Poise a 1940ºC).
62
Figura 3.6 - Estrutura da sílica sólida e líquida (Geiger e Poirier, 1980)
Quando CaO, ou outro óxido bivalente similar é dissolvido na sílica líquida, os íons
Ca+2 são acomodados nos interstícios da estrutura da sílica e os íons O-2 entram dentro
da rede cristalina, conforme se vê na figura 3.7. Cada íon O-2 do óxido CaO causa a
separação de dois tetraedros, pois com a presença de mais um íon O-2 cada tetraedro
pode ter um oxigênio que seja somente dele. Assim o aumento da dissolução de CaO
resulta numa quebra progressiva da rede tridimensional original, implicando numa
queda acentuada da viscosidade da solução, conforme se vê na figura 3.8.
Essa figura mostra também que o aumento da temperatura contribui para uma
maior quebra de ligações e consequentemente diminui a viscosidade da solução
63
Figura 3.7- Efeito da dissolução da CaO na estrutura da sílica líquida (Geiger e Poirier,
1980)
Figura 3.8 - Viscosidade da solução CaO-SiO2 (Geiger e Poirier, 1980)
64
A figura 3.8 não pode ser aplicada diretamente para escórias de alto-forno devido
à presença de outros óxidos importantes como o Al2O3 e o MgO. A seguir serão vistos
alguns métodos usados na determinação da viscosidade das escórias.
A- Diagrama de isoviscosidade
Na literatura (Carvalho et alii, 1977; e Slag Atlas, 1981), há uma série de
diagramas ternários e pseudo-ternários, para vários sistemas e temperaturas, que
permitem a obtenção de valores de viscosidade para diversos tipos de escória.
Para se usar esses diagramas é necessário saber marcar o ponto referente à
composição da escória. Através da figura 3.9, pode-se ver como assinalar o ponto
referente a uma dada composição da escória.
Figura 3.9 - Diagrama ternário usado na locação de pontos de composição
65
O ponto A representa o componente A puro e qualquer ponto na linha AC
representa uma mistura de A e C sem o componente B. As linhas paralelas ao lado
oposto do vértice A representam linhas de igual concentração de A, sendo que quanto
mais próxima elas estiverem desse vértice, maior será o teor de A .Nesse diagrama,
tem-se que os pontos 1 e 2 apresentam a seguinte composição:
- ponto 1: A = 40%; B = 20%; C = 40%
- ponto 2: A = 30%; B = 40%; C = 30%
É importante salientar que a soma dos teores dos componentes da escória, que estão
incluídos no diagrama, deve ser igual a 100.
A figura 3.10 mostra um diagrama de isoviscosidade adequado para determinação
de viscosidade de escórias de altos-fornos.
Figura 3.10 - Diagrama de isoviscosidade para o sistema CaO-SiO2-Al2O3-MgO.
Temperatura de 1500ºC. Teor de sílica - 35%. (Carvalho et alii, 1977)
66
B) Método da Sílica Equivalente
Um outro método usado para determinação de viscosidade de escórias é o da
sílica equivalente. A base para o desenvolvimento desse método é discutida a seguir.
A alumina (Al2O3), quando dissolvida na escória, forma ânions (AlO3)-3 e o seu
comportamento com relação à viscosidade é similar ao da sílica. Todavia, a base é
(AlO3)-3 (diferente de SiO4-4) e dois íons Al+3 podem substituir dois íons Si+4 somente se
um íon Ca+2 está disponível para manter a eletroneutralidade. Portanto, com relação à
viscosidade, a alumina é equivalente a uma certa quantidade de sílica Xa (denominada
sílica equivalente), que depende da relação Al2O3/CaO e da quantidade total de Al2O3,
como mostra a figura 3.11. Os dados de sílica equivalente foram correlacionados com
a viscosidade para o sistema CaO - MgO - Al2O3 - SiO2 para várias temperaturas, como
mostra a figura 3.12. Para se calcular a viscosidade de uma escória, primeiro deve-se
converter a porcentagem dos constituintes para fração molar e determinar Xa (sílica
equivalente) pela figura 3.11. O MgO é equivalente ao CaO, até cerca de 10% de MgO.
O FeO e o MnO também são equivalentes ao CaO até 5%. Todas essas frações
molares devem ser somadas para se obter XCaO. Passa-se, então, à figura 3.12 e
obtém-se a viscosidade da escória, especificando-se a temperatura desejada.
C) Fórmula de Viscosidade
Outra possibilidade que pode ser adotada para cálculo de viscosidade de escórias
é o uso da equação de viscosidade, que é dada pela seguinte expressão (Castro et alii,
1989):
(3.23) )OAl (% 0,008013 - MgO)(% 0,11818 - CaO) (% 0,09633 - T
25144 + 10,3469- = μ ln 32
67
onde:
μ = viscosidade da escória (kgm-1. s-1);
T = temperatura (K);
% i = porcentagem em massa do óxido “i” na escória.
Para se poder aplicar a equação (3.23), o teor de SiO2 deve estar entre 35 e 45%.
Figura 3.11 – Sílica equivalente à alumina , para várias frações molares de alumina e
para várias relaçõesAl2O3/CaO (Geiger e Poirier, 1980).
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Figura 3.12 - Viscosidade do sistema líquido CaO-SiO2-Al2O3-MgO (Geiger e Poirier,
1980)
69
Exemplo- Estimar a viscosidade de uma escória com a seguinte composição:
CaO = 41,46 % SiO2 = 35 % MgO = 5,62 % Al2O3 = 17,92 %.
Temperatura = 1500oC.
Usar os três métodos apresentados acima.
Solução - Diagrama de isoviscosidade. A temperatura e o teor de SiO2 estão dentro do
limite de validade da figura 3.10. Logo, marcando-se o ponto referente à composição
da escória nesse diagrama, pode-se determinar a viscosidade da escória. O resultado
é visto no diagrama ternário abaixo. O valor obtido é de 4 P.
Para aplicar o método da sílica equivalente, calcula-se, inicialmente, a fração molar dos
óxidos na escória. Tem-se:
XCaO = 0,4516
XSiO2 = 0,3558
XAl2O3 = 0,1074
XMgO = 0,0852.
70
A relação XAl2O3 / XcaO será dada por:
Tomando a curva correspondente a 0,20, obtém-se uma sílica equivalente de: Xa =
0,1654. (Observe a figura a seguir).
O valor de (XSiO2 + Xa) é, então: 0,3558 + 0,1654 = 0,5212. Este valor é lançado no
gráfico da figura 3.12, para a temperatura de 1500 oC, obtendo-se uma viscosidade de
4,03 P (log μ = 0,605), conforme mostrado na figura a seguir.
0,2001 = 
0,0852 + 0,4516
0,1074 = 
X + X
X
MgOCaO
OAl 32
X = 0,1654 a
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Finalmente, usa-se a fórmula de viscosidade, dada pela equação (3.23). Substituindo
valores, obtém-se:
Observa-se que os três métodos forneceram resultados bem semelhantes.
P 3,802 = 
 sm
kg 0,3802 = μ
0,9670 - = (17,92) 0,0080126 - (5,62) 0,118176 - (41,46) 0,096334 - 
1773
25144 + 10,3469- = μ ln
log μ = 0,605
72
Vários modelos mais elaborados têm sido desenvolvidos para previsão de valores
de viscosidades de diferentes tipos de escórias. Os métodos apresentados acima
representam apenas algumas das alternativas que se tem para avaliação de
viscosidades deste tipo de fluido, de grande importância na metalurgia.
73
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
E. L. Cussler. Diffusion – Mass Transfer in Fluid Systems. Cambridge University Press,
1997, 105-107 p.
G.H. Geiger; D.R. Poirier. Transport Phenomena in Metallurgy. Addison-Wesley
Publishing Company, Massachusetts, 1980, 616 p.
J.L.R. Carvalho et alii. Dados Termodinâmicos para Metalurgistas. Edições Engenharia,
Belo Horizonte, 1977, 394 p.
L.F.A. Castro et alii. Tecnologia de Fabricação do Gusa Líquido em Altos-fornos.
Volume 9 - Escórias de Alto-forno, 1989.
Slag Atlas, Verlag StahlEisen M.B.H., Dusseldorf, 1981.
Z.D. Jastrzebski. The Nature and Properties of Engineering Materials, John Wiley, New
York, 1976.
74
EXERCÍCIOS
1- O perfil de velocidade de um fluido em um dado sistema é expresso por:
Faça um esboço desse perfil de velocidades (y varia entre 0 e 0,5 m).
Usando a equação do perfil de velocidade, determinar:
- direção e sentido do fluxo de quantidade de movimento por convecção;
- direção e sentido do fluxo de quantidade de movimento por difusão;
- fluxo de quantidade de movimento por difusão em y=0 m;
- tensão de cisalhamento em y = 0 e y=0,5 m;
O fluido apresenta as seguintes características:
ρfluido = 3 g/cm3 μfluido = 2 x 10-3 lbm/ft.s
2- Para a figura a seguir, indicar a direção e sentido do transporte de quantidade de
movimento por convecção e difusão. Enuncie a lei de Newton da viscosidade para
o caso mostrado. Explicar todas as respostas dadas.
)m[=] y m/s,[=] v( 1 -y 6,25 + y 6,25 - = v x
2
x
Placa superior
Placa inferior
z
z = a
z = b
z = 0
z = L
x
75
3- Calcular as viscosidades do CO2 e N2 no intervalo de 600 a 2000K com incrementos
de 200K. Fazer um gráfico de μN2 e μCO2 versus temperatura (K).
4- Determinar as viscosidades de oxigênio, nitrogênio e metano gasosos a 20 oC e
pressão atmosférica. Fornecer o resultado em centipoise. Comparar com os dados
experimentais abaixo:
μN2 = 0,0175 cP;
μO2 = 0,0203 cP;
μCH4 = 0,0109 cP.
5- a) Calcular a viscosidade do ar a 20º C, considerando-o como uma mistura de 79%
de N2 e 21% de O2.
b)Comparar o resultado com o valor experimental: 0,01813 cP.
6- Determinar a viscosidade do cromo líquido a 2000º C. Os dados são:
- ponto de fusão: 1898º C;
- massa atômica: 52,01 g/mol;
- densidade: 7,1 g/cm3;
- δ: 2,72 A.
7- Estimar a viscosidade do titânio líquido a 1900ºC. Os seguintes dados são
disponíveis:
- temperatura de fusão: 1800ºC;
- massa atômica: 47,9 g/mol;
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- densidade: 4,50 g/cm3;
- δ: 2,89 A.
8- Avaliar a viscosidade do ferro a 1800º C. Dados:
- temperatura de fusão: 1536ºC
- massa atômica: 55,85 g/mol
- densidade: 7 g/cm3.
9- Estimar a viscosidade da seguinte escória:
% SiO2 = 45
% CaO = 35
% Al2O3 = 20
a 1500ºC. Usar os três métodos discutidos e comparar os resultados.
10- Calcular a viscosidade da seguinte escória de alto-forno:
% SiO2 = 40
% CaO = 35
% Al2O3 = 18
% MgO = 7
a 1400ºC.
Comparar os resultados obtidos pelos diferentes métodos de cálculo.
77
4 - ESCOAMENTO LAMINAR E BALANÇO DE QUANTIDADE
DE MOVIMENTO
Neste capítulo será desenvolvido o cálculo da distribuição de velocidade de um
fluido que escoa através de sistemas de geometria simples, em fluxo laminar. Para tal,
serão usados os conceitos de viscosidade e de balanço de massa e quantidade de
movimento. Inicialmente, será feita a distinção entre escoamento laminar e turbulento.
4.1. Escoamento laminar e turbulento
Quando um fluido se move através de um sistema, dois regimes diferentes de
escoamento podem ocorrer. A experiência feita por Reynolds em 1883 demonstra esses
dois tipos de escoamento.
Considere-se, inicialmente, um tubo transparente com água escoando através
dele. Um jato filiforme de tinta é injetado paralelo ao curso do escoamento da água.
Para baixas velocidades do fluido, a tinta escoará em linha reta, sem se misturar com
as camadas adjacentes de água, conforme mostrado na figura 4.1a. Esse tipo de
escoamento é chamado de laminar.
À medida que a velocidade da água é aumentada, atinge-se a situação mostrada
na figura 4.1b. A partir de um certo ponto, a água fica toda colorida pela tinta. Esse é
o escoamento turbulento.
78
Figura 4.1 – Vista esquemática da experiência de Reynolds
O significado do escoamento laminar é que o movimento do fluido é feito através
de camadas infinitesimais de fluido que se movem em trajetórias bem definidas. No
escoamento turbulento, o movimento das partículas do fluido é irregular e as
velocidades são variáveis com o tempo, conforme se observa na figura 4.2, obtida
experimentalmente usando um anemômetro a laser.
Figura 4.2 - Medidas de velocidade no centro de um tubo de 22 mm de diâmetro interno.
Número de Reynolds = 6500 (Guthrie, 1992)
INJEÇÃO DE 
 CORANTE
INJEÇÃO DE 
 CORANTE
a- Escoamento laminar
b- Escoamento turbulento
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O ponto onde ocorre a transição de um regime de escoamento para o outro é
determinado experimentalmente e varia de acordo com a configuração do sistema.
Normalmente, o critério para se saber o tipo de escoamento que prevalece no fluido
é estipulado através de uma grandeza adimensional denominada número de Reynolds.
Esse número é definido genericamente através da seguinte relação:
onde:
L = dimensão característica (definida de acordo com a configuração do sistema);
V = velocidade média do fluido ao longo da seção transversal do tubo;
ρ = densidade do fluido;
μ= viscosidade dinâmica do fluido.
(Verificar que Re é um número adimensional).
No caso de tubos, a dimensão característica é o diâmetro. Dessa forma, o número
de Reynolds em tubos é definido por:
onde:
D = diâmetro do tubo.
O valor do número de Reynolds para o qual ocorre a transição de escoamento
laminar para turbulento em tubos é de aproximadamente 2100. Esse número foi
determinado empiricamente. Sistemas com outras configurações apresentam transição
em outros valores de números de Reynolds.
(4.1) 
μ
ρ V L = Re
(4.2)